一二维形式的柯西不等式讲解
柯西不等式
解 函数的定义域为 1,5, 且 y 0, y 5 x 1 2 5 x
5
2
2
2
x 1
2
5 x
2
27 4 6 3.
当且仅当 2 x 1 5 5 x 时, 等号 127 成立, 即 x 时函数取最大值 6 3 . 27 回顾例2 的求 解过 程 , 可以体会其中式 子变形的作用 , 提高利用柯西不等式解 题的能力.
证明 由于a, b R , 根据柯西不等式 , 得
1 1 1 1 a b a b 4. a b a b 1 1 又 a b 1, 所以 4. a b
2
本例中 a, b R 这个条件可以去掉吗? 为什么 ?
打开几何画板观察实验 .
y
P1x1, y1
y
P1x1, y1 P2 x 2 , y2
O O
x
2
x
P x 2 , y2
图3.1 2
如图3.1 2, 根据两点间距离公式以 及三角形 的边长关系 , 容易发现 x y x y
2 1 2 1 2 2 2 2
用平面 二维向量的坐标表示不等式 ② , 得 所以 | || || | . ②
| ac bd | a b
2
2
c d .两边平方 ,
2 2
① 式与
二维向 2 得 ac bd a2 b2 c2 d 2 . ① 量相对 这是二维形式的柯西不 等式.由此可知 , 应, 所以 二 维 形 式的柯西不等式 ① 是向量形式 称之为 的不等式 ②的坐标表示 .如果向量 和 二维形 中有零向量 , 则ad bc 0 , 以上不等 式的柯 西不等 式取等号 .如果向量 和 都不是零向 式.
5.4柯西不等式与排序不等式 课件(人教A版选修4-5)
2 2 2
ac bd a b c d
2
定理2: （柯西不等式的向量形式）
| || | | |
设α,β是两个向量,则 当且仅当β是零向量,或存在实数k, 使α=kβ时,等号成立.
观 察
反序和≤乱序和≤顺序和
例1 ：有10人各拿一只水桶去接水，设水 龙头注满第i(i=1,2,…,10)个人的水桶需 要ti分，假定这些ti各不相同。 问：只有一个水龙头时，应该如何安排10 人的顺序，使他们等候的总时间最少？ 这个最少的总时间等于多少？
解：总时间(分）是 10t1+9t2+…+2t9+t10 根据排序不等式，当t1<t2<…<t9<t10时， 总时间取最小值。 即：按水桶的大小由小到大依次接水， 则10人等候的总时间最少。 最少的总时间是: 10t1+9t2+…+2t9+t10
即可
三 排序不等式
定理（排序不等式，又称排序定理） 设a1 a2 ... an，b1 b2 ... bn为两组 实数c1 , c2 是b1 , b2 ...bn的任一排列， 那么： a1bn a2bn 1 ... anb1 a1c1 a2 c2 ... an cn a1b1 a2b2 ... anb.n 当且仅当a1 a2 ... an或b1 b2 ... bn时, 反序和等于顺序和。
y
P1(x1,y1)
y P1(x1,y1) 0
0
P2(x2,y2) x
x P2(x2,y2)
根据两点间距离公式以及三角形的 边长关系:
x y x y ( x1 x2 ) ( y1 y2 )
二维形式的柯西不等式
(a b)(c d ) ( ac bd )
当且仅当ad=bc时，等号成立
2
题型一：利用二维形式柯西不等式证明不等式
例1
4
已知a, b为实数，求证：
4 2 2 3 3 2
(a b )(a b ) (a b )
1 1 设a, b R , a b 1, 求证： 4 练习1： a b
定理1的推论：
1、若a,b,c,d都是实数，则
a b c d
2 2 2
2
| ac bd |,
当且仅当ad=bc时，等号成立 2、若a,b,c,d都是实数，则
a b c d | ac | | bd |,
2 2 2 2
当且仅当|ad|=|bc|时，等号成立
3、若a,b,c,d为非负实数，则
( x1 x3 ) ( y1 y3 ) ( x2 x3 ) ( y2 y3 )
2 2 2 2
( x1 x2 ) ( y1 y2 )
2
2
思考：你能解释上述不等式的几何意义吗？
题型三：利用二维形式柯西不等式解决实际问题
例4：在半径为R的圆内，作一个内接长方 形ABCD，求长方形的长和宽满足什么关 系时，长方形的周长最大，并求这个最大 值。
所以 | | | | | |
2 2
②
用平面（二维）向量的坐标表示上面不等式②，得
| ac bd | a b c d
2
2
整理得： (a
2
b )(c d ) (ac bd ) ,
2 2 2 2
由此可知，二维形式的柯西不等式是向量形式 的不等式②的坐标表示。
2024年高考数学高频考点(新高考通用)柯西不等式(精讲+精练)解析版
【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）
素养拓展01柯西不等式（精讲+精练）
1.二维形式的柯西不等式
.),,,,,()())((22222等号成立时当且仅当bc ad R d c b a bd ac d c b a =∈+≥++2.二维形式的柯西不等式的变式
bd ac d c b a +≥+⋅+2222)1( .),,,,,(等号成立时当且仅当bc ad R d c b a =∈bd ac d c b a +≥+⋅+2222)2(
.),,,,,(等号成立时当且仅当bc ad R d c b a =∈.)
,0,,,(())()(3(2等号成立，时当且仅当bc ad d c b a bd ac d c b a =≥+≥++3.
二维形式的柯西不等式的向量形式
.),,,(等号成立时使或存在实数是零向量当且仅当βαβk k =≤注：有条件要用；没有条件，创造条件也要用。
比如，对2
2
2
c b a ++，并不是不等式的形状，但变成
()()
2222221113
1
c b a ++∙++∙就可以用柯西不等式了。
4.扩展：()()233221122322212
2322
21)(n n n n b a b a b a b a b b b b a a a a ++++≥++++++++ ，当且仅当n n b a b a b a :::2211=== 时，等号成立.
【题型训练1-刷真题】
二、题型精讲精练
一、知识点梳理。
二维形式的柯西不等式
06
二维形式的柯西不等式的拓 展与推广
向高维空间的拓展
高维柯西不等式
对于任意两个n维向量a和b，有 (a1^2+a2^2+...+an^2)(b1^2+b2^2+... +bn^2) ≥ (a1b1+a2b2+...+anbn)^2，当 且仅当a和b线性相关时取等号。
几何意义
高维柯西不等式在几何上可以理解为两个高 维向量长度的乘积大于等于它们内积的平方。
与其他数学分支的联系与应用
01
线性代数中的应用
柯西不等式在线性代数中可用于证明矩阵的正定性、求解特征值问题等。
02 03
概率论与数理统计中的应用
在概率论与数理统计中，柯西不等式可用于证明某些概率不等式、求解 某些统计量的界等。例如，利用柯西不等式可以证明切比雪夫不等式、 马尔可夫不等式等。
分析学中的应用
柯西不等式二维形式的几何意义
柯西不等式的二维形式可以看作是平面中两个向量的模长之积与它们的内积的 平方之间的关系。当且仅当两个向量共线时，等号成立。
柯西不等式二维形式的性质
• 性质一：正定性。当$a_1, a_2$和$b_1, b_2$均不为零时，柯西不等式的左边 总是大于零，即$(a_1^2 + a_2^2)(b_1^2 + b_2^2) > 0$。
04
二维形式的柯西不等式在几 何中的应用
在三角形中的应用
面积估计
通过二维形式的柯西不等式，可以对 三角形的面积进行估计，得到面积的 上界和下界。
边长关系
式关系， 如两边之和大于第三边等。
在平行四边形中的应用
对角线性质
二维形式的柯西不等式可用于研究平行四边形的对角线性质，如对角线长度与边 长之间的关系。
第三讲柯西不等式的基本方法与排序不等式(柯西不等式的一般形式)
作业:P41
2、 4、 5、 6
问题:已知A、B都是锐角, 且cosA+cosB-cos(A+B)=
2 3
,
求A、B的值
当且仅当bi=0(i=1 ,2 ,3 , …,n)或
bi≠0(i=1 ,2 ,3 , … ,n)时,
等号成立.
a1 a 2 = = b1 b2
an = bb
问题：已知a1 ,a 2 , a n ∈ R +，求证 n 1 1 + + a1 a 2 a1 + a 2 + ≤ 1 n + an + an
使得ai=kbi(i=1 ,2 ,3 , … ,n)时,等号成立.
注:简记;积和方不大于方和积
定理:设a1,a2 ,a3 , … ,an ,b1 ,b2 ,b3 , …,bn 是实数,则
2 2 2 2 2 3 2 2 (a1 +a2 +a + +a )(b + b + b + + b ) (a b +a b + +a b ) 2 3 n 1 2 3 n 1 1 2 2 n n
定理:设a1,a2 ,a3 , … ,an ,b1 ,b2 ,b3 , …,bn 是实数,则
2 2 2 2 2 3 2 2 (a1 +a2 +a + +a )(b + b + b + + b ) (a b +a b + +a b ) 2 3 n 1 2 3 n 1 1 2 2 n n
当且仅当bi=0(i=1 ,2 ,3 , …,n)或存在一个数k
+a
二维形式的柯西不等式
根据两点间距离公式以及三角形 的边长关系:
x12 y12 x22 y22 (x1 x2)2 (y1 y2)2
定理３（二维形式的三角不等式）设x1,Fra biblioteky, 1
x
,
2
y R 2
，那么
x12 y12 x22 y22 (x1 x2 )2 ( y1 y2 )2
问题：
你能否利用柯西不等式，从代数的角度 证明这个不等式？
这在以后证明不等式时会用到
定理2: （柯西不等式的向量形式） 设 , 是两个向量,则
当且仅当 是零向量,或存在实数k , 使 k 时,等号成立.
一. 学习新课
（一）定理3 （二）例题 （三）练习
观察
y
0
P1(x1,y1)
y P1(x1,y1)
P2(x2,y2)
0
x
x P2(x2,y2)
一、二维形式的柯西不等式 （第二课时）
一. 课前复习
（一）定理1（二维形式的柯西不等式）:
若a,b,c,d都是实数,则 (a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2
当且仅当ad=bc时,等号成立.
二维形式的柯西不等式经过变形后 可得到两个比较重要的不等式：
a2 b2 c2 d 2 ac bd a2 b2 c2 d 2 ac | | bd
例3.设a,b∈R+,a+b=1,求证
11 4 ab
注意应用公式： (a b)( 1 1 ) 4
ab
练习巩固：
练习一：
设a，b为正数，求
(a 1)(2b 1 )
b
2a
的最小值
练习二： P37 第6题
小结：
5.4柯西不等式与排序不等式 课件(人教A版选修4-5)
1 1 4 ∴ a b bc a c
例6：若 a, b, c R
a b c 3 求证： bc ca ab 2
分析：左端变形
a b c 1 1 1 bc ca ab
1 1 1 (a b c)( ) bc ca ab
9 ∴只需证此式 2
3 3 3 2 2 2
练习
3.设a1 , a2 ,..., an为正数，求证 a1a2 a2 a3 a3 a1 a1 a2 a3 . a3 a1 a2
练习
4.设a1 , a2 ,..., an为正数，试分别用柯西 不等式与排序不等式证明 a a a a ... a1 a2 ... an . a2 a3 an a1
( x1 y1 ) 2 ( x2 y2 ) 2 ... ( xn yn ) 2
( xi , yi R, i 1,2,..., n).
例1 已知 a1 , a2 , a3 ,..., an 都是实数，求证：
1 2 2 2 2 (a1 a2 ... an ) a1 a2 ... an . n
1 1 4 a b
注意应用公式： 1 1 ( a b )( ) 4 a b
练习：
1.已知2x 3 y 6,
2 2
求证x 2 y 11 2.已知a b 1,
2 2
求证|a cos b sin | 1
作业
第37页,第1,5,6题
二 一般形式的 柯西不等式
二维形式的柯西不等式）: (a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2
三维形式的柯西不等式）:
(a a a ) (b b b )
二维形式的柯西不等式 课件
a1b1， a2b2； ab11， ab22.
证明 ∵(a1b1＋a2b2)ba11＋ab22
＝[( a1b1)2＋( a2b2)2]
ab112＋
ba222≥
a1b1·
ba11＋
a2b2·
ab222＝(a1＋a2)2.
提示
∵cos〈α，β〉＝|αα|·|ββ|＝
a1b1＋a2b2 a12＋a22 b21＋b22
∴cos2〈α，β〉＝a21a＋1ba122＋ba212＋b2b222≤1，
即(a12＋a22)(b12＋b22)≥(a1b1＋a2b2)2，
a21＋a22· b21＋b22≥|a1b1＋a2b2|.
∴|α||β|≥|α·β|，等号成立的充要条件为 α＝λβ (λ≠0)．
二维形式的柯西不等式
1．二维形式的柯西不等式
(1) 定 义 ： 若 a ， b ， c ， d 都 是 实 数 ， 则 (a2＋ b2)(c2＋ 形式的柯西不等式的一些变式 变式 1: a2＋b2· c2＋d2≥|ac＋bd|(当且仅当 ad＝bc 时，等 号成立) 变式 2：(a＋b)(c＋d)≥( ac＋ bd)2.(a，b，c，d∈R＋，当 且仅当 ad＝bc 时，等号成立) 变式 3: a2＋b2· c2＋d2≥|ac|＋|bd|(当且仅当|ad|＝|bc|时， 等号成立)
∴原不等式得证．
题型二 利用柯西不等式求函数的最值 【例 3】 求函数 y＝5 x－1＋ 10－2x的最大值．
[思维启迪] 变形 → 构造柯西不等式的形式 → 巧拆常数 → 凑出定值 解 函数的定义域为{x|1≤x≤5}． y＝5 x－1＋ 2 5－x≤ 52＋2 x－1＋5－x ＝ 27×2＝6 3， 当且仅当 5 5－x＝ 2 x－1， 即 x＝12277时取等号，故函数的最大值为 6 3.
人教A版高二数学二维形式的柯西不等式课件
变式1：若1 , 1 , 2 , 2 , 3 , 3 ∈ ，则结合以上几
何意义，可得到怎样的三角不等式？
三维形式的三角不等式 x12 y12 z12
x22 y22 z22
( x1 x2 )2 ( y1 y2 ) 2 ( z1 z2 ) 2
即|α•β|≤ |α||β|.
(2)
当向量α、β 中有零向量或|cosθ|= 1
(即向量α、β 共线)，等号成立
y
θ
o
用平面(二维)向量坐标表示不等式(2)得
|ac+bd |≤ 2 + 2 2 + 2
即： (ac+bd)2≤(a2+b2)(c2+d2)
(1)
(1)式 与(2)式的关系？
(1)式是(2)式的坐标表示，(1)式的几何意义是(2).
α (a,b)
x
2. 柯西不等式的向量形式:
定理2：设α、β是两个向量，则|α•β|≤|α||β|当且仅当β是
零向量或存在实数k，使α=kβ时，等号成立.
证明：设向量α=(a,b),β=(c,d),<α,β>=θ∈[0,]
∴|cosθ|≤ 1， ∴|α•β|=|α||β||cosθ|≤ |α||β|，
−
2
+ −
当且仅当ad=bc时，等号成立.
讨论：其几何意义？（构造三角形）
.
2
已知a、b、c、d为实数，求证: 2 + 2 + 2 + 2 ≥
当且仅当ad=bc时，等号成立.
2
+ −
2
设点P1(a,b), P2(c,d);
一_二维形式的柯西不等式讲解
=(ac+bd)2+(ad-bc)2 即(a2+b2)(c2+d2)=(ac+bd)2+(ad-bc)2 而(ad-bc)2≥0,
因此(a2+b2)(c2+d2) ≥(ac+bd)2
(1)
上式(1)是本节课所要研究 提示 的柯西不等式.
二维形式的柯西不等式
因为│cosθ│≤1, 所以│ α.β │≤│ α ││ β │
用平面向量的坐标表示不等式(2)得：
ac bd a2 b2 • c2 d 2
定理2（柯西不等式的向量形式）
设α，β是两个向量，则 │α .β│≤│α││β│,当且仅当β是零向量或存在 实数k,使α=kβ时，等号成立.
观察
如图，在平面直角坐标系中，设点P1,P2 的坐标分别是(x1,y1)(x2,y2)，根据△oP1P2 的边长 关系，你能发现这四个实数 x1,y1,x2,y2蕴含着何 种大小关系吗？
一般形式的三角不等式 x12 x22 xn2 y12 y22 yn2
( x1 y1 )2 ( x2 y2 )2 ( xn yn )2
例1 已知a,b为实数。 试证(a4+b4)(a2+b2)≥(a3+b3)
分析
虽然可以作乘法展开上式的两边， 然后在比较它们的大小。但如果注 意到不等式的形式与柯西不等式的 一致性，既可以避免繁杂了。
证明
根据柯西不等式，有 (a4+b4)(a2+b2)≥(a2a+b2b)2=(a3+b3)2
反思
在证明不等式时，联系经典不等式， 既可以启发证明思路，又可以简化运算.
二维形式的柯西不等式-PPT课件
(2)推论：对于任意的 x1，x2，x3，y1，y2，y3∈R，有 x1－x32＋y1－y32＋ x2－x32＋y2－y32
≥ x1－x22＋y1－y22. 事实上，在平面直角坐标系中，设点 P1、P2、P3 的坐标 分别为(x1，y1)、(x2，y2)、(x3，y3)，根据△P1P2P3 的边长关系 有|P1P3|＋|P2P3|≥|P1P2|，当且仅当三点 P1、P2、P3 共线，并 且点 P1、P2 在 P3 点的异侧时，等号成立．
3．设 a，b，c 为正数，
求证： a2＋b2＋ b2＋c2＋ a2＋c2≥ 2(a＋b＋c)． 证明：由柯西不等式：
a2＋b2· 12＋12≥a＋b，
Байду номын сангаас
即 2· a2＋b2≥a＋b.
同理： 2· b2＋c2≥b＋c，
2· a2＋c2≥a＋c，
将上面三个同向不等式相加得：
2
a2＋b2＋
∴ a2＋b2＋
2．已知 a1，a2，b1，b2 为正实数． 求证：(a1b1＋a2b2)(ab11＋ab22)≥(a1＋a2)2. 证明：(a1b1＋a2b2)(ab11＋ba22)＝[( a1b1)2＋( a2b2)2][( ba11)2 ＋( ab22)2]≥ ( a1b1· ab11＋ a2b2· ab22)2＝(a1＋a2)2.
6．求函数 f(x)＝ x－6＋ 12－x的最大值及此时 x 的值．
解：函数的定义域为[6,12]，由柯西不等式得 ( x－6＋ 12－x)2≤(12＋12)[( x－6)2＋( 12－x)2]＝2(x －6＋12－x)＝12， 即 x－6＋ 12－x≤2 3. 故当 x－6＝ 12－x时 即 x＝9 时函数 f(x)取得最大值 2 3.
一二维形式的柯西不等式
一二维形式的柯西不等式柯西不等式是数学中常用的不等式之一，用来描述向量空间中内积的性质。
它有两种形式：标量形式和矢量形式。
在这篇文章中，我们将重点介绍二维形式的柯西不等式，并给出其证明。
柯西不等式的二维形式可以表示为：a·b，≤，a，，b其中，a、b是向量，a·b表示a和b的内积，a，表示a的模长。
证明二维形式的柯西不等式需要用到向量投影的概念。
给定两个非零向量a、b，我们可以将b在a上的投影记为proj_a(b)，它是一个在a上的向量。
根据柯西不等式，我们有：a · b， = ，a · proj_a(b)为了证明这个等式，我们引入一个中间向量k，定义为：k = b - proj_a(b)因此，proj_a(b) + k = b然后，我们将a两边同时乘以k，得到：a · (proj_a(b) + k) = a · b由于内积的分配性质，上式变为：a · proj_a(b) + a · k = a · b将上述等式的两边减去a·k，并注意到a·k=0（因为a与k垂直），我们得到：a · proj_a(b) = a ·b - a · k上式两边同时取绝对值，得到：a · proj_a(b)， = ，a ·b - a · k由于绝对值的性质，右边等式可以写为：a · proj_a(b)， = ，(a · b) - (a · k)再次利用内积的分配性质，我们有：a · proj_a(b)， = ，a ·b - (a · (b - proj_a(b)))进一步化简得：a · proj_a(b)， = ，a ·b - (a · b - a · proj_a(b))由于a · proj_a(b) = proj_a(b) · a（内积的交换性质），我们有：a · proj_a(b)， = ，a ·b - (a · b - proj_a(b) · a)再次利用内积的分配性质和交换性质，我们得到：a · proj_a(b)， = ，a ·b - a · b + proj_a(b) · a进一步化简得：a · proj_a(b)， = ，proj_a(b) · a由于内积的对称性，我们有：a · proj_a(b)， = ，a · proj_a(b)即，我们证明了二维形式的柯西不等式。
柯西不等式及应用
柯西不等式及应用一、二维形式的柯西不等式：22222()()()a b c d ac bd ++≥+(,,,) a b c d R ∈，当且仅当ad bc =时取等号；二、二维形式的柯西不等式的变式：bd ac d c b a +≥+⋅+2222)1((,,,) a b c d R ∈，当且仅当ad bc =时取等号；bd ac d c b a +≥+⋅+2222)2((,,,) a b c d R ∈，当且仅当ad bc =时取等号；2(3)()()a b c d ++≥(,,,0)a b c d ≥，当且仅当ad bc =时取等号；三、n 维形式的柯西不等式：设,(1,2,3,)i i a b i n = 为实数，则22212()n a a a +++ 22212()n b b b +++ 21122()n n a b a b a b ≥+++ ，当且仅当0(1,2,3,)i b i n == 或存在一个实数k ，使得(1,2,3,)i i a kb i n == 时等号成立。
四、二维形式的柯西不等式的向量形式：αβαβ⋅≤ ，当且仅当0β= 或存在实数k ，使k αβ= 时取等号；五、基本方法：利用柯西不等式常常根据所求解(证)的式子结构入手，观察是否符合柯西不等式形式或有相似之处，将其配成相关结构形式是解决问题的突破口，有时往往要进行添项、拆项、重组、配方、换序等方法的处理.六、应用：1、证明恒等式：已知0,1a b ≤≤且1，求证：221a b +=.2、解方程（组）：12(1)x x =++.3、求最值（范围）:若实数x ，y ，z 满足232x y z ++=，求222x y z ++的最小值.4、证明不等式:已知正数,,a b c 满足1a b c ++= 证明： 2223333a b c a b c ++++≥.六、巩固练习：1.已知22223102x y z ++=，则32x y z ++的最小值为 .2. 已知实数,,a b c ,d 满足3a b c d +++=， 22222365a b c d +++=，则a 的最大值为 ，最小值为 .3．在实数集内方程组22294862439x y z x y z ⎧++=⎪⎨⎪-+-=⎩的解为 . 4.设❒ABC 之三边长x ，y ，z 满足20x y z -+=及320x y z +-=，则❒ABC 的最大角的大小是 .5.设6 ),2,1,2(=-=b a ，则b a ⋅之最小值为 ,此时=b .6.设a = (1，0，- 2)，b = (x ，y ，z)，若22216x y z ++=，则a b ⋅ 的最大值为 .7.空间二向量(1,2,3)a = ，(,,)b x y z =，已知b = a b ⋅ 的最大值为 ,此时b = .8.设a 、b 、c 为正数，则4936()()a b c a b c++++的最小值为 .9.设x ，y ，z ∈ R ，且满足2225x y z ++=，则23x y z ++之最大值为 ，此时(x ，y ，z) = .10.设,,x y z R ∈，22225x y z ++=，则22x y z -+的最大值为 ，最小值为 .11.设622 , , ,=--∈z y x z y x R ，则222z y x ++之最小值为 .12.,,x y z R ∈，226x y z --=，则222x y z ++的最小值为 ，此时x = ，y = ，z = .13.设,,x y z R ∈，2280x y z +++=，则222(1)(2)(3)x y z -+++-之最小值为 .14.设,,x y z R ∈，若332=+-z y x ，则222)1(z y x +-+之最小值为 ，又此时=y15.设,,a b c R +∈且a + b + c = 9，则cb a 1694++之最小值为 . 16.设,,a bc R +∈，且232=++c b a ，则c b a 321++之最小值为 ，此时=a . 17.空间中一向量a 与x 轴，y 轴，z 轴正向之夹角依次为,,αβγ，则γβα222sin 9sin 4sin 1++的最小值为 .18.空间中一向量a 的方向角分别为,,αβγ，则22292516sin sin sin αβγ++的最小值为 . 19.设,,x y z R ∈，若4)2()1(222=+++-z y x ，则z y x 23--之范围为 ；又z y x 23--取最小值时，=x20.设,,x y z R ∈且14)3(5)2(16)1(222=-+++-z y x ，则x y z ++之最大值为 ，最小值为 .21.求2sin sin cos cos θθϕθϕ-的最大值与最小值.22.设a 、b 、c 为正数且各不相等。
讲柯西不等式与排序不等式二维形式的柯西不等式
讲柯西不等式与排序不等式二维形式的柯西不等式汇报人：2023-12-02目录•引言•柯西不等式•排序不等式•二维形式的柯西不等式•案例分析•结论与展望CONTENTSCHAPTER01引言柯西不等式是数学中的一个基本不等式，它提供了一个在特定条件下，实数的平方和与乘积之间的关系。
排序不等式是另一个重要的不等式，它描述了当一组实数被排序后，它们的和与积之间的关系。
二维形式的柯西不等式结合了柯西不等式和排序不等式的思想，进一步探讨了向量模长的平方和与它们之间的角度余弦乘积之间的关系。
背景介绍数学模型与定义柯西不等式01对于任意实数a,b,c,d，有(ac+bd)^2 ≤ (a^2+b^2)(c^2+d^2)。
当且仅当ad=bc时，等号成立。
排序不等式02对于一组实数x1,x2,...,xn，若它们按升序排列，即x1≤x2≤...≤xn，则有∑xi^2 ≤ (x1+x2+...+xn)^2 / n，等号在所有数都相等时成立。
二维形式的柯西不等式03对于两个非零向量A=(x1,y1),B=(x2,y2)，有|A|^2*|B|^2 ≥ (A·B)^2，等号在A和B共线时成立。
其中|A|表示向量A的模长，A·B表示两个向量的点积。
CHAPTER02柯西不等式•利用数学归纳法证明：通过数学归纳法，证明对于任何一组实数a_1, a_2, ..., a_n和b_1, b_2, ..., b n，都有∑{i=1}^{n}a_ib i≤∑{i=1}^{n}a i^2/∑{i=1}^{n}b_i^2利用排序不等式，可以证明一些优化问题的最优解，如线性规划、二次规划等排序不等式可以用于证明大数定理和强大数定理等概率论中的重要结论在概率论中的应用在最优化中的应用与其他数学知识的联系二维形式的排序不等式即为柯西不等式，两者是等价的与范德蒙公式的关系范德蒙公式是排序不等式的推广，适用于更广泛的情况CHAPTER03排序不等式对于任意实数 $x_1, x_2, \ldots, x_n$ 和 $y_1, y_2, \ldots, y_n$，有$\sum_{i=1}^{n}x_i^2 \cdot\sum_{i=1}^{n}y_i^2 \geq\left(\sum_{i=1}^{n}x_iy_i\right)^2$。
5.4柯西不等式与排序不等式 课件(人教A版选修4-5)
例2 设a1,a2,…,an是n个互不相等的正整数， 求证：
an a2 a3 1 1 1 1 ... a1 2 2 ... 2 2 3 n 2 3 n
证明：设b1,b2,…,bn是a1,a2,…an的一个排列， 且有 b1<b2<…<bn 因为b1,b2,…,bn是互不相等的正整数， 所以b1≥1,b2≥2,…,bn≥n.
2 1 2 2 2 n 1 2 n
( x1 y1 ) 2 ( x2 y2 ) 2 ... ( xn yn ) 2
( xi , yi R, i 1,2,...,n).
例1 已知 a1 , a2 , a3 ,..., an 都是实数，求证：
1 2 2 2 2 (a1 a2 ... an ) a1 a2 ... an . n
(a1b1 a2b2 ... anbn )
2
定理 设 a1, a2 , a3 ,...,an , b1, b2 , b3 ,...,bn 是实数，则
2 2 2 2 (a12 a2 ... an ) (b12 b2 ... bn )
(a1b1 a2b2 ... anbn ) 2
3 3 3 2 2 2
练习
3.设a1 , a2 ,..., an为正数，求证 a1a2 a2 a3 a3 a1 a1 a2 a3 . a3 a1 a2
练习
4.设a1 , a2 ,..., an为正数，试分别用柯西 不等式与排序不等式证明 a a a a ... a1 a2 ... an . a2 a3 an a1
反序和≤乱序和≤顺序和
例1 ：有10人各拿一只水桶去接水，设水 龙头注满第i(i=1,2,…,10)个人的水桶需 要ti分，假定这些ti各不相同。 问：只有一个水龙头时，应该如何安排10 人的顺序，使他们等候的总时间最少？ 这个最少的总时间等于多少？
5.4二维形式的柯西不等式1 课件(人教A版选修4-5)
定理 1(二维形式的柯西不等式) 若 x1 , y1 , x2 , y2 都是实数,则 ( x12 y12 )( x22 y22 ) ≥( x1 x2 y1 y2 )2 . 当且仅当 x1 y2 x2 y1 时,等号成立.
三角不等式
定理 1(二维形式的柯西不等式) 若 x1 , y1 , x2 , y2 都是实数,则 ( x12 y12 )( x22 y22 ) ≥( x1 x2 y1 y2 )2 .
可以体会到，运用柯西不等式，思路一步到 位，简洁明了！解答漂亮！
定理 1(二维形式的柯西不等式) 若 a, b, c, d 都 是实数,则 (a2 b2 )(c2 d 2 ) ≥ (ac bd )2 . 当且仅当 ad bc 时,等号成立.
变变形……,可得下面两个不等式:
⑴ 若 a, b, c, d 都 是实数 ,则 (a 2 b 2 ) (c 2 d 2 ) ≥ ac bd . 当且仅当 ad bc 时,等号成立. 当且仅当 ad bc 时,等号成立. 这两个结论也是非常有用的.
2
3.证明：在不等式的左端嵌乘以因式 x2 x3 xn x1 ， 也即嵌以因式 x1 x2 xn ，由柯西不等式，得
2 2 2 xn1 xn x1 x22 x2 x3 xn x1
( x2 x3 xn x1 )
2
2 a b c a b b c c a 这 样就 给我 们利 用柯 西不等式提供了条件。证明： 1 1 1 1 1 1 2a b c a b b c c a a b b c c a ab bc ca 1 2 1 2 1 2 a b 2 b c 2 c a 2 a b b c c a
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人们称它们为经典不等式.
如均值不等式:
a1 a2 n
an ≥ n a1a2
an (ai R , i 1, 2 ,
, n) .
本讲,我们来学习数学上两个有名的经典不等式:柯西 不等式与排序不等式,知道它的意义、背景、证明方 法及其应用，感受数学的美妙，提高数学素养
由柯西不等式可知
ax1 bx2 ax2 bx1 ≥ a x1 x2 b x1 x2 2
= a b2 x1 x2 x1 x2 .得证
补充例 3：已知 a 1 b2 b 1 a2 1, 求证： a2 b2 1 。
证明：由柯西不等式，得
a 1 b2 b 1 a2 ≤ a2 1 a2 b2 1 b2 1
x12 y12 2( x1x2 y1 y2 ) x22 y22
x 12
2 x1x2
x22
y12
2 y1 y2
y
2 2
(x1 x2 )2 ( y1 y2 )2
x12 y12 x22 y22 ( x1 x2 )2 ( y1 y2 )2
运用这个定理,我们可以解决以前感觉棘手的问题.
补充例 2:已知 a,b R ，a+b=1, x1 , x2 R ,
求证： ax1 bx2 bx 要证明的结论.若把第二个小括号内的前后项对调一 下，情况就不同了.
证明：∵ ax1 bx2 bx1 ax2 = ax1 bx2 ax2 bx1
cos ,
x1 x2 y1 y2
x12 y12 x22 y22
y
y
P1 (x1, y1 )
x
| y1 - y2 |
O
P2 (x2 , y2 )
这个图中有什么
不等关系?
O
P1(x1, y1)
P2 (x2 , y2 )
| x1 - x2 |
x
由图根据两点间距离公式以及三角形的边长关系容易发 现 x12 y12 x22 y22 (x1 x2 )2 ( y1 y2 )2
例 3:设 a, b R , a b 1, 求证: 1 1 ≥ 4 . ab
证明:由于 a, b R ,根据柯西不等式,得
(a b)( 1 1 )≥ ( a 1
ab
a
又a b 1,
∴1 1≥4 ab
b 1 )2 4 b
以上几例说明柯西不等式在证明不等式时的简单应用，可 以体会到，运用柯西不等式，思路一步到位，简洁明了，解答漂 亮。
例1 已知a,b为实数, 证明(a 4 b4 )(a 2 b2 ) (a3 b3 )2
证明： (a4 b4 )(a2 b2 ) (a2 • a b2 • b)2 (a3 b3 )2
例1中哪4个数分别对应二维形式的柯西不等式中的 a,b,c,d
例 2.求函数 y 5 x 1 10 2x 的最大值.
补充例1
已知x,
y,
a,
b
R
,
且
a x
b y
1, 求x y的最小值.
解
:
x,
y,a,b
R ,
a x
b y
1,
x y ( x )2 ( y )2
( a b )2
a x
2
b y
2
当 且 仅 当 x b y a ,即 x a 时 取 等 号.
y
xy b
( x y)min ( a b )2
(2) a2 b2 c2 d 2 ac bd
有柯西不等式的几何意义，可以得到柯西不等式的向量 形式
定理2 (柯西不等式的向量形式)
设 , 是两个向量,则 .
当且仅当 是零向量,或存在实数k,
使 k 时,等号成立.
注：若 ( x1, y1)， ( x2, y2 ) ，则
当且仅当 b 1 b2 时，上式取等号，
1 a2
a
ab 1 a2 1 b2 ,
a2b2 1 a2 1 b2 ,
于是 a2 b2 1 。 注：这里是利用其取等号的充分必要条件来达到目的
补充练习
1.若a, b R, 且a2 b2 10,则a b的取值范围是( A )
A. - 2 5,2 5
B. 2 10,2 10
C. 10, 10
D. 5, 5
2.已知x y 1,那么2x2 3 y2的最小值是( B )
A. 5
B. 6
C. 25
6
5
36
即得到定理 3(二维形式的三角不等式) 设 x1 , y1 , x2 , y2 R, 那么
x12 y12 x22 y22 x1 x2 2 y1 y2 2 . 当 且
仅当 x1 y2 x2 y1 时,等号成立.
证明: ( x12 y12 x22 y22 )2
x12 y12 2 x12 y12 x22 y22 x22 y22 x12 y12 2 x1x2 y1 y2 x22 y22
定理1 (二维形式的柯西不等式) 若a,b, c, d都是
实数,则 (a2 b2 )(c2 d 2 ) (ac bd)2
当且仅当ad bc时,等号成立.
你能简明地写出这个定理的证明？
根据二维形式的柯西不等式可以很容易 地得到它的变式:
(1) a2 b2 c2 d 2 ac bd
由 a2 b2 ≥ 2ab 两个实数的平方和与乘积 的大小关系,类比考虑与下面式子有关的有什 么不等关系:
设 a,b,c, d为任意实数.
(a2 b2 )(c2 d 2 )
联想
展开这个乘积，可得(a2 b2 )(c2 d 2 ) (ac bd)2
上式反映了4个实数的特定数量关系，不仅排列形式上 规律明显，具有简洁、对称的美感，而且再数学和物理 中有重要作用。它是柯西不等式的最简形式，即二维形 式的柯西不等式。
解：函数的定义域为 1,5 ，且y>0
y 5 x 1 2 5 x
52
2
2
2
2
x 1 5 x 27 4 6 3
当且仅当 2 x 1 5 5 x 时，等号成立，
即当 x 127时函数取最大值。 27
回顾例2的求解过程，可以体会其中式子变形的作用，提
高利用柯西不等式解题的能力。