矩阵的初等变换共102页文档
矩阵的初等变换
0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1
1 0 I 4,1( 6) 0 6 0 0
0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0.5 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1
I (1,3)可逆
I (1,3)1 I (1,3)
0 1 0 I (1, 2) 1 0 0 0 0 1
0 1 0 0 1 0 1 0 0 I (1, 2) 1 0 0 1 0 0 0 1 0 I 0 0 1 0 0 1 0 I (1,2)
*
I (i ,
1 0 ... ... ... 1 1 j )2 1 1 ... ... ... 0 1 ( i列) ( j列)
0 1 2 3 3 0
4 3 2 5 1 6 5
1 3 0
0
4 2 5 2 3 5 1 6
4 1 0 6 0 2 23 14 0 3 5 1 ( 1)
1 0 0 0 0 2 23 14 0 3 5 1
1 0 0 0 3 0 1 28 15 0 3 5 1
1 0 0 0 0 1 28 15 0 0 79 44
1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 79 44
1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0
1 0 I 2,5( 3) 0 0 0
第三章矩阵的初等变换
3 2 0 0
2 1 0 0
R(A) 3
0 7 1 0
由于R ( A) 3，可知A的最高阶的非零子式为 3 3 阶，而 A 的三阶子式共有 C3 C5＝4 10＝40个 , 要 4 从 40 个子式中找出一个非零子式是比较麻烦的， 但考察 A 的行梯矩阵，记：A (a1 , a2 , a3 , a4 , a5 ) 2 1 7 2 3 5 则由矩阵 B (a1 , a2 , a5 ) 知, R ( B ) 3， 3 2 0 1 0 0 故 B中必有三阶非零子式。 中的三阶子式只有4个 B 2 1 7 显然 2 0 14 0 ，所以该子式便是 A 的最高 3 1 0 0 阶的一个非零子式。
x1 x3 x2 x3 4 3 x4 3 00
(1) r3 2r4 1 (2) r4 r3 0 ~ 0 (3) 0 (4)
(1) r1 r2 r3 1 (2) r2 r3 0 ~ 0 (3) 0 (4)
设 A 经过列的初等变换变这 B，那么， AT 经过行的初等变换变为 BT，由上面的讨论可 知， R(AT)=R(BT) 又因为，R(A) = R(AT) = R(BT) = R(B) 所以，矩阵的初等变换不改变矩阵的秩。
☞上面的命题给出了求矩阵的秩的一种常用
办法。即就是对待求秩的矩阵进行行的初等变 换化为行阶梯矩阵，那么非零行的行数就是矩 阵的秩。
把定义中和“行”换成“列”，即得矩阵的
初等列变换的定义（所用记号是把“r”换成
“c”）。
矩阵的初等行变换与初等列变换，统称为矩 阵的初等变换。
显然，三种初等变换都是可逆的，且其变 换是同一类型的初等变换。变换ri↔rj的逆变换 就是本身；变换 rj×k 的逆变换为 rj÷k ；变换 ri+krj 的逆变换为ri k rj。 如果 A 经过有限次初等变换变为矩阵 B， 称矩阵 A与 B是等价的，记为A～B 。 矩阵的等价关系有如下性质： ☞ 反身性： A～ A 对称性： A～B ，则B ～ A 传递性： A～B， B ～ C，则A ～ C
2.1.矩阵的初等变换
0 1 1 1 0 1 1
2 3 0 5 1 1 2 3 2 1 1 0 1 3 6 1 4 0 3 3 7 1
1
解
A
1 0 0 0 0 0
1 1 1 1 2 0 0 1 3 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 3 0 5
1 A 1 0 0 1 1 1 1 0 3 0 1 1 0 0 1 10 0
3 1
例7 设 A 为 m n 矩阵, 证明:
r ( A) r m r 矩阵 P , r ( P ) = r r n 矩阵 Q , r ( Q ) = r
定理 初等变换不改变矩阵的秩
推论 设矩阵 r(A) = r , 则 A 的标准形矩阵为 Er O O O 推论 可逆矩阵的标准形矩阵( 规范的阶梯形 矩阵) 为单位矩阵
求矩阵的秩的方法 将矩阵化为阶梯形矩阵 阶梯形矩阵的非零行数即为矩阵的秩
例 2 求矩阵 A 的秩
A
1 0 0 0 1 0 0 0 1
1 4 2 5 3 6
初等行变换
例5 用初等变换法解矩阵方程
3 1 5 8 3 0 X 1 3 2 5 2 5 9 0 1
分析 设原方程为 XA B
则
A X B
A PQ
证
例4 用初等变换法解矩阵方程
解 5 1 5 3 3 2 1 2 1
5 1 5 8 5 9 3 3 2 X 3 1 2 1 0 0
8 5 3 9 0 0 1 4 X 2 5 3 6
2.3 矩阵的初等变换
20
用 m 阶初等矩阵 E m ( i , j ) 左乘 A ( aij )mn，得
类似地，以 n 阶初等矩阵 En ( i , j ) 右乘矩阵 A，
a11 第 i 行 a j1 Em ( i , j ) A 第 j 行 ai 1 a m1
矩阵 A 可逆的充要条件是 A 0 ， 1 1 且当A可逆时， A A , A 定理1
8
推论
若AB E 或BA E , 则B A .
1
当 A 0时, A称为奇异矩阵(退化矩阵), 当 A 0时, A称为非奇异矩阵(非退化矩阵) .
标准(三个):AX=B, XA=B, AXB=C (其中A,B均可逆)
行最简形矩阵再经过初等列变换，可化成标准形．
15
行最简形矩阵再经过初等列变换，可化成标准形． 1 0 0 1 4 例如：1 0 1 0 4 0 1 1 0 3 c3 c4 0 1 0 1 3 B5 0 0 0 1 3 0 0 1 0 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4 1 0 0 0 0 1 0 0 3 c 4c 3c 3c c4 c1 c2 5 1 2 3 0 0 1 0 3 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 F 矩阵 F 称为矩阵 B 的标准形. 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0
相当于对矩阵 A 施行第一种 初等列变换：把 A 的第 i 列 与第 j 列对调 (ci c j ).
相当于对矩阵 A 施行第一种 初等行变换：把 A 的第 i 行 与第 j 行对调 ( ri rj ).
21
2、以数 k 0 乘某行或某列 以数k 0乘单位矩阵的第i 行( ri k )，得初等矩阵E (i (k )).
0831矩阵的初等变换PPT课件
程 学
其中行最简形矩阵所对应的线性方程组是
院 最简单的 而且是最容易求解的.
③2
③2
2x1 x2 x3 x4 2
23xxx111
x2 3x2 6x2
2x3 x3 9x3
7
x4 x4 x4
4 2 9
增广矩阵的比较
B 4231
1 1
6 6
1 2
2 9
1 1 2 7
9442
1 1 2 1 4
B2
2 2 3
1 3
6
1 1
9
1 1 7
922
显然 把B的第3行乘以(1/2)即得B2.
矩阵A与B行等价 记作 A ~r B.
生 物
如果矩阵A经有限次初等列变换变成矩阵B 就称
医 学
矩阵A与B列等价 记作 A ~c B.
工
如果矩阵A经有限次初等变换变成矩阵B 就称矩
程
学 阵A与B等价 记作 A ~ B.
院 ❖等价关系的性质
(i)反身性 A~A
(ii)对称性 若A~B 则B~A
(iii)传递性 若A~B B~C 则A~C .
一个元素为非零元，即非零行的第一个非零
元．
第三章 矩阵的初等变换与线性方程组
行阶梯形矩阵：
•各非零行首非零元素分布在不同列
生
物 医
•当有零行时，零行在矩阵的最下端
学
工 程 学 院
3 2
2 0
5 1
131
1 4 9
0 5
0 0
3 1 2 5
0 1 6 7
0 0
5 0
3 2
4 1
0 2 6 0 0 3
物
线性代数矩阵的初等变换
r2 （ 2） 1
r3
（
1）
0 0
0 1 0
0 0 1
3 2 1
23 ， 3
3 2 X 2 3.
1 3
如果要求Y CA1,则可对矩阵 A作初等列变换， C
A 列变换 E
C
CA1
,
即可得Y CA1.
也可改为对( AT ,CT ) 作初等行变换，
行变换
（AT , CT )
a23 a33
a11 a12 a13 a14
a21
a22
a23
a24
a31 a32 a33 a34
矩阵 A 的一个 2 阶子式
a12 a13 a22 a23
矩阵 A 的一个 2 阶子块
a12 a13
a22
a23
定义：设矩阵 A 中有一个不等于零的 r 阶子式 D，且所有 r +1 阶子式（如果存在的话）全等于零，那么 D 称为矩阵 A 的最高阶非零子式，数 r 称为矩阵 A 的秩，记作 R(A)．
口诀：左行右列. 定理3.2 设A是一个 m×n 矩阵， ✓对 A 施行一次初等行变换，相当于在 A 的左边乘以相应的 m 阶初等矩阵； ✓对 A 施行一次初等列变换，相当于在 A 的右边乘以相应的 n 阶初等矩阵.
定理3.3 方阵A可逆的充要条件是存在有限个初等矩阵P1, P2, …, Pl，使 A = P1 P2 …, Pl ．
r3 3r1 0 2 6 2 12
r1 r2 r3 r2
1 0 2 1 4 0 2 5 1 9 0 0 1 1 3
r1 2r3 1 0 0 3 2
r2 5r3
0 0
2 0 4 6 0 1 1 3
线性代数 第三章 矩阵的初等变换
例6 求矩阵 X ,使 AX B，其中
1 2 3
2 5
A 2 2 1, B 3 1.
3 4 3
4 3
解
1 2 3 2 5
(A B) 2 2 1 3 1
3 4 3 4 3
r2 2r1 1 2 3 2 5 0 2 5 1 9
12 11 20 10
14 10 16 03
4 030rr34 2Brr344
r1 r2 r2 r3
1 0 1 0 4
0 0
1 0
1 0
0 1
3 3
B
5
0 0 0 0 0
B5
对应的方程组为
x1 x2
x3 x3
4 3
x4 3
或令x3 c,方程组的解可记作
x1 c 4 1 4
3 4
4 23
x2 x3 x4 0, x4 3,
2 3
0 0,
4
用“回代”的方法求出解：
(B3 ) (B4 )
解得 x1 x3 4, x2 x3 3, x4 3, x3可任意取值.
令x3 c,方程组的解为
x1 c 4
x2 c 3
x3
c
x4 3
小结：
1．上述解方程组的方法称为消元法．
5、 矩阵 B5 都称为行最简形矩阵
特点：
（1）是行阶梯 形矩阵
1 0 1 0 4
0 0
1 0
1 0
0 1
3 3
B
5
0 0 0 0 0
（2）非零行的第一个非零元为1．非零首元1所 在的列其他元素为0
对于任何矩阵Amn ,总可经过有限次初等行 变换把他变为行阶梯形和行最简形.
2-5矩阵的初等变换
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2、以数 k 0 乘某行或某列
以数k 0乘单位矩阵的第 i行( ri k )，得初等 矩阵E ( i ( k )).
1 1 E ( i ( k )) k 1 1
第i 行
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3、以数k 0乘某行(列)加到另一行(列)上去
0 0 , 0 0
即f ( A) 0.
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矩阵方程
AX B XA B
AXB C
解
X A1 B X BA1 X A1 C B1
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A 0 例2 设A, B都是n阶可逆矩阵, 证明D C B 必为可逆矩阵, 并求D的逆矩阵.
1. 对调两行或两列； 2. 以数 k 0 乘某行或某列； 3. 以数 k 乘某行（列）加到另一 行（列）上去．
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1、 对调两行或两列 对调 E 中第 i , j 两行，即 ( ri rj )，得初等方阵
1 1 0 1 第i 行 1 E (i , j ) 1 1 0 第 j 行 1 1
以 k 乘 E 的第 j 行加到第 i 行上 ( ri krj ) [或以 k 乘 E 的第 i 列加到第 j 列上 (c j kci )， 1 第i行 1 k E ( ij ( k )) 第j行 1 1
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(2)定理 方阵 A 可逆 A 经过有限次初等变换化为单位矩阵 E 推论1 方阵A可逆
A 可表示为若干个初等矩阵的乘积
7.4矩阵的初等变换.
7.4矩阵的初等变换课题： 矩阵的初等变换目的要求：1 •掌握矩阵的初等行变换的概念。
2 •熟练掌握用矩阵初等行变换求逆矩阵。
3 •会用矩阵初等行变换解线性方程组 重点： 用矩阵初等行变换求逆矩阵 难点：用矩阵初等行变换解线性方程组 教学方法： 教学时数：教学进程：讲练结合 4课时、矩阵的初等行变换定义 矩阵的初等行变换是指对矩阵进行以下三种变换：⑴变换矩阵的某两行位置；⑵用一个非零数乘矩阵某行的所有元素； ⑶把矩阵某一行的 K 倍加到矩阵的另一行上去.矩阵A 经过初等行变换得到矩阵B ，通常记作A B ，一般A B •符号 （r ）（仃）,（rJK,（rJ K（「）分别表示交换A 的第i 行与j 行，第i 行乘K 及第j 行的K 倍加到第i 行上•将定义中所有的“行”字改为“列”字，就得到矩阵的初等列变换的定义，矩阵的初等 行变换和矩阵的初等列变换统称为矩阵的初等变换•0 8 16如果一个矩阵每一个非零行的非零首元素出现在上一行非零首元素的右边，同时没有例1设矩阵A 1 46依次对A 施行如下初等变换:⑷第 2行乘（ 】）；8⑸第 2行乘-4 加到第 1行上•解2 0 41 4A1 4 6 (rj （「2）2 00 8160 8（「2） （8）1 4 0 86 16弘）80 0 01 0 2(4)(1 ”2）（「)0 1 261 4 6 4( 2)( rj (①816 160 8161 460 1 20 0 0⑴交换A 的第1行与第2 行; ⑵第1行乘-2加到第2行上; ⑶第2行乘1加到第3行；个非零行出现在零行之下，则称这种矩阵为行阶梯形矩阵 •如果行阶梯形矩阵的每一个非零 行的非零首元素都是 1，且非零首元素所在列的其余元素都为 0，则称这种矩阵为简化行阶 梯形矩阵•例如下面两个矩阵都是行阶梯形矩阵A 的阶梯形矩阵是不唯一的，但是，一个矩阵的阶梯形矩阵中所 简化行阶梯形矩阵是唯一的•于是，这就为用行初等变换解线性方程组提供了一个明确的目标二、用矩阵初等行变换求逆矩阵若n 阶矩阵A 可逆，矩阵A 总可以通过一系列的初等行变换化为单位矩阵，则用同样 的初等行变换就将 I 化为A -1.这就给我们提供了一个计算 A -1的有效方法：若对AI 施 -以 初等行变换将A 变为I , 则 I 就变为A -1 ,即初等行变换11A II A1 2 3例3将矩阵A2 1 2 ，求逆矩阵A -1.1 3 41 2 3 1 0 0⑴）2(A) 1 2 3 1 0 0 解（A,l ）2 1 2 0 1 0 (r 3)(G0 3 4 2 1 01 3 4 0 0 10 1 1 1 0 11 2 0 0 2 1 3 0 1A 0 0 1 0 1 ,B0 2 1 00 0 0 1 0 0 0 0 11 2 3 2例2将矩阵A1 2 2 12 4 8 12 解先把A 化为阶梯形矩阵1 2 3 2 1 A1 2 2 1 22 4 8 1242化为阶梯形矩阵和行简化阶梯形矩阵 4（r i ） （“） 1仏）2（r i ） 02 3 210 1311 2 3 21⑴）2亿）0 0 1 3 1 ;0 0 0 2 4再化为行简化阶梯；形矩阵，即(「1)3(D)如）1 2 0 7 40 0 1 3 10 0 0 1212 0 010 （「1）7（「3）0 0 1050 0 0 1 2由此例可看到，矩阵 含非零行的行数是唯一的,B 不是简化行阶梯形矩阵且A 为简化行阶梯形矩阵，而（「1）2（「2）10 13 0（「3）3（「2）0 1 1 1 00 0 1 5 11 0 02 1 10 1 0 6 1 40 0 15 1 32 1 11A 6 1 4 .5 1 3值得注意的是，用初等行变换求逆矩阵时，必须始终用初等行变换，其间不能作任何初等列变换•且在求一个矩阵的逆矩阵时，不必考虑这个矩阵是否可逆，只要在用初等行变换的过程中，发现这个矩阵不能化成单位矩阵，则它就没有逆矩阵三、用矩阵初等行变换解线性方程组消元法是解二元、三元一次线性方程组常用的办法，将其运用到解n元线性方程组中也是有效的•它的基本思想是将方程组中的一部分方程变成未知量较少的方程，从而求出方程组的解•下面通过例子说明如何解系数行列式不等于零的线性方程组x-i 2 x2 3x37例4用消元法解线性方程组2x1 x2 2x38 •x-i 3x27解把方程组的消元过程与方程组对应的增广矩阵的初等变换过程对照方程组的消兀过程增广矩阵的变换过程X1 2x23x3 7 1 2 3 72x1 x22x3 8 2 1 2 83x27 0 0 0 1（「2）2（「J% 2x23x37（「2）2（「J 1 2 3 7（「3）（「1）5x2 4x3 6 （「3）（「1）0 5 4 6X2 3x314 0 1 3 14% 2 X2 3X3 7 1 2 3 7（「2）（「3）X2 3x314 （「2）（「3）0 1 3 145x2 4x3 6 0 5 4 6X1 2X2 3X3 7 1 2 3 7（「3）5（「2X2 3X3 14 （「3）5（「20 1 3 1419x376 0 019 76（「2）（「3）10 130 1 1 1 0 0 15 （rj （b）加3） 19 X 1 X 2 X 32X 2 3x 3 43x 3 147舟亿） 19 1 0 0 2 10 3 3 17 144(rj 3亿）(A) 3(叨X 1 2x 2 51 2 0 5亿）3仏） X 22(r 2)3( r 3)0 1 0 2X 3 40 0 1 4X 1 11 0 0 1(G 2(r 2)X 2 2(r 1)2( r 2)0 1 0 2X 3 40 0 1 4x 1 1 由此得到方程组的解为X 2 2X 3 4由上表可以看出，方程组的消元顺序与增广矩阵的初等变换顺序完全相同x1=c 1 , X 2=C 2,…,X n =C n .这种消元法称为矩阵法2 3 1 1 3 31 1 1〜3 解A11 1 0(rj（「2）2 3 1 1 34 1 1 1 7 4 1 1 1721 1 1 521 1 1517 0 0 0 7 7 (r 1) 1 0 00 1 (A) （「3）2 3 1 1 3（「） 2 3 11 34 1 1 1 74 1 11 72 1 1 1 52 1 11 5(r 2) 2(r 1)(r 3) 4(r 1) 1 0 0 0 11 0 00 1 (L) 2(G0 3 1 1 1（「） （「）0 1 11 311 1 31 11 33x 1 X 2 X 3 X 4 0 4x 1 X 2 X 3 X 4 7 2x 1 X 2 X 3 X 4 52x i 3x 2 X 3 X 43例5用矩阵法解线性方程组般地，对一个n 元线性方程组，当它的系数行列式不等于零时,增广矩阵施以适当的行初等变换，使它成为以下的形式:1 0 0 C 1 0 10 c 22，那么矩阵的最后一列元素就是方程组的解，即 只要对方程组的0 01 c n0 1 1 1 3 0 3 1 1 1由此可见，用矩阵的初等行变换表示线性方程组求解过程，不仅简便而且清晰明了 •归纳起来，用矩阵法求线性方程组的解的过程可以表述为：首先用增广矩阵A 表示线性方程组AX B ，然后将A 用初等行变换化为行简化阶梯形矩阵，最后写出简化阶梯形 矩阵所对应的线性方程组，从中解出原方程组的解小结本讲内容： 强调1 •矩阵的初等行变换的概念。
《矩阵的初等变换》课件
《矩阵的初等变换》PPT 课件
矩阵的初等变换，简要介绍了初等行变换、初等列变换、矩阵的行等价与列 等价、初等矩阵的定义与性质、矩阵的初等变换与线性方程组、应用举例： 高斯消元法，最后总结结论与要点。
初等行变换
1
加倍某行
将某行的所有元素乘以非零数k.
2
行交换
交换两行的位置.
3
行加减
将一行的倍数加到另一行或将一行的倍数加到另一行的倍数上.
2 性质
初等矩阵的逆矩阵仍是初等矩阵，初等矩阵 的乘积仍是初等矩阵.
矩阵的初等变换与线性方程组系数矩阵可以通过矩
增广矩阵
2
阵的初等变换进行简化.
线性方程组对应的增广矩阵可以通过矩
阵的初等变换进行简化.
3
解的表示
矩阵的初等变换可以标记线性方程组的 解的个数和性质.
应用举例：高斯消元法
步骤
通过一系列初等变换将线性方程组化为阶梯形或简 化阶梯形，进而求解方程组的解.
示例
通过高斯消元法解决实际问题，如计算机图形学中 的求交问题.
结论及要点
结论
矩阵的初等变换能够简化矩阵的形式，标记线性方程组的性质和解的个数.
要点
掌握初等行变换和初等列变换的定义、性质和应用，理解矩阵的初等变换与线性方程组的关 系.
初等列变换
加倍某列
将某列的所有元素乘以非零数k.
列交换
交换两列的位置.
列加减
将一列的倍数加到另一列或将一列的倍数加到另一列的倍数上.
矩阵的行等价与列等价
行等价
两个矩阵之间可以通过一系列初等行变换互相转化.
列等价
两个矩阵之间可以通过一系列初等列变换互相转化.
初等矩阵的定义与性质
第六讲 矩阵的初等变换
因为在上述变换过程中，仅仅只对方程组 的系数和常数进行运算，未知量并未参与运 算． 若记 1 2 2 1 1 1 2 1 4 1 B ( A b) 4 6 2 2 4 3 6 9 7 9
则对方程组的变换完全可以转换为对矩阵B(方 程组（1）的增广矩阵）的变换．
r2 4 r3 r3 0 2r1 B2 r4 6 3r1 3
r2 2 r3 5r2
r4 3r2
1 0 0 0
4 1 1 1 0 B3 0 0 2 6 0 0 1 3
1 2 1
1 r3 r4 0 B3 r4 2r3 0 0
1 2
3
4
2
(1)
解
1 2 3 2
(1)
x1 x2 2 x3 x4 4, 2 x x x x 2, 1 2 3 4 2 x1 3 x2 x3 x4 2, 3 x1 6 x2 9 x3 7 x4 9, x1 x2 2 x3 x4 4, 2 x 2 x 2 x 0, 2 3 4 5 x2 5 x3 3 x4 6, 3 x2 3 x3 4 x4 3,
分析：用消元法解下列方程组的过程．
引例 求解线性方程组
2 x1 x2 x3 x4 2, x x 2 x x 4, 1 2 3 4 4 x1 6 x2 2 x3 2 x4 4, 3 x1 6 x2 9 x3 7 x4 9,
A
1
T
.
5）若 A1 , AB AC B C 6）若 A , A
1
线性代数课件-05矩阵的初等变换与初等矩阵
伴随矩阵法
利用伴随矩阵的定义和性质，通 过计算伴随矩阵的元素，得到逆 矩阵的元素。
行列式计算
行列式定义
对于一个n阶方阵A，其行列式记 为|A|，定义为所有取自不同行不 同列的元素乘积的代数和。
初等行变换法
通过初等行变换将矩阵A化为阶梯 形矩阵，同时记录下每一步的变 换，最后得到的行列式即为所求 。
消元法
利用初等行变换将增广矩阵化为阶梯 形矩阵的过程，实际上是消元的过程 ，通过消元可以逐步求解线性方程组 。
求逆矩阵
逆矩阵定义
对于一个非奇异矩阵A，其逆矩阵 A^(-1)满足AA^(-1)=E，其中E为 单位矩阵。
初等行变换法
通过初等行变换将矩阵A化为单位 矩阵，同时记录下每一步的变换 ，最后得到的逆矩阵即为所求。
代数余子式
行列式中的每一项可以表示为对 应元素的代数余子式的乘积，代 数余子式是去掉某一元素所在的 行和列后得到的行列式的值乘以(1)^(i+j)，其中i和j分别为该元素 所在的行号和列号。
04
矩阵的初等变换与初等矩阵 的性质
初等矩阵的逆矩阵
定义
如果存在一个矩阵A，使得$AB=BA=I$， 则称A是B的逆矩阵，记作$A=B^{-1}$。
性质
如果$A$是可逆矩阵，则$A^{-1}$也是可逆的，且 $(A^{-1})^{-1}=A$。
计算方法
通过高斯消元法或LU分解等方法计算逆矩阵 。
初等变换的性质
01
交换两行（列）
如果矩阵A经过交换两行（列） 后得到矩阵B，则$det(A)=det(B)$。
02
某行（列）乘以常 数k
如果矩阵A经过某行（列）乘以 常数k后得到矩阵B，则 $det(A)=k*det(B)$。
线性代数第四讲矩阵的初等变换(最全版)PTT文档
1 1
4 0
rr32++ rr21
1 0
0 1 1 1
0 0
4 3
0 0 0 1 3
0 0 0 1 3
0 0 0 20 06
0 0 0 0 0
行阶梯形矩阵
行最简形矩阵
下页
例 判断下列矩阵是否为行阶梯形矩阵. 0 2 1 0 3
1 0 0
00 000
1 0 0
1 3 0
2 2 3, 0 0 0
例如
2x1 x2 x3 x4 2
43xxx111
x2 6x2 6x2
2x3 2x3 9x3
x4 2x4 7 x4
4 4 9
①2②
①2②
3x2 3x3 x4 6
43xxx111
x2 6x2 6x2
2x3 2x3 9x3
x4 2x4 7x4
4 4 9
增广矩阵的比较
非零数 某个方程的非零倍加到另一个方程上 线性方程组与其增广矩阵相互对应 对方程组的变换完
全可以转换为对方程组的增广矩阵的变换 把方程组的上述三种同解变换移植到矩阵上 就得到矩
阵的三种初等变换
下页
v2.矩阵的初等变换 定义 矩阵的初等行(列)变换 (i)对调两行(列) ——换法变换 (ii)以非零数k乘某一行(列)中的所有元素 ——倍法变换 (3)把某一行(列)的k倍加到另一行(列)上去 ——消法变换
B1
2 4 3
1 6
6
1 2 9
1 2
7
942
显然 交换B的第1行与第2行即得B1
下页
v1.引例 在解线性方程组的过程中 我们可以把一个方程变为另
一个同解的方程 这种变换过程称为同解变换 同解变换有 交换两个方程的位置 把某个方程乘以一个
第二章 矩阵代数 S3_2矩阵的初等变换
1
i列
j列
1
i列
j列
i行
0
1
0
1
E
j行
1
0
1
0
1
1
因此： 类似可得:
(Eij )1 Eij
初等矩阵是可
( Eii
(k ))1
Eii
( 1 ),(k k
0)
逆矩阵，而且 它们的逆矩阵
(Eij (k))1 Eij (k)
也是初等矩阵.
16
几个定理性结论
1. 矩阵A与B等价
有初等矩阵
0
0
mn
17
4. n 阶矩阵A为可逆的 等矩阵的乘积
A Q1Q2 Qt .
它能表成一些初
5. 可逆矩阵总可以经过一系列初等行变换化成单 位矩阵.
【可逆矩阵总可以经过一系列初等列变换化成 单位矩阵.】
18
三、用初等变换求逆矩阵
设An可逆，则存在一系列初等矩阵 P1 ,
使
E Pm P1 A
所以 于是 Pm
1 2
1 0
0
0
1
1
0
1
2
2
0
0
1
1
0
1
2
2
29
5 1
即
2 A 1
1
1 2
0
易求得 |A|=1/2, 故
1 2 0 1 2
5 1 1 5 2 1
A
1
|
A A|
2
2 1
1 2
1 0
2 0 1
2
2 1
2 0
0
1
30
§2.4.1转置矩阵