安徽省三校2020-2021学年高二(下)期末数学(理)试题(六安二中、霍邱一中、金寨一中)
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C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
6．某产品的销售收入 （万元）关于产量 （千台）的函数为 ；生产成本 （万元）关于产量 （千台）的函数为 ，为使利润最大，应生产产品( )
A．9千台B．8千台C．7千台D．6千台
7．已知变量 ， 之间具有线性相关关系，其回归方程为 ，若 ， ，则 的值为( )
【详解】
，
∵ ，∴ ，则 ．故答案选D．
【点睛】
本题主要考查了利用复数的除法运算法则化简以及根据复数的概念求参数．
3．B
【分析】
根据题目可知，求出事件A的概率，事件AB同时发生的概率，利用条件概率公式求得 ，即可求解出答案．
【详解】
依题意， ， ，
则条件概率 ．故答案选B．
【点睛】
本题主要考查了利用条件概率的公式计算事件的概率，解题时要理清思路，注意 的求解．
喜欢骑行共享单车
合计
男
女
合计
（2）每周骑行共享单车6次及6次以上的用户称为“骑行达人”，将频率视为概率，在我市所有的“骑行达人”中随机抽取4名，求抽取的这4名“骑车达人”中，既有男性又有女性的概率．
附表及公式： ，其中 ；
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
2.706
3.841
5.024
故选：D
【点睛】
本题主要考查了判断既不充分也不必要条件，属于基础题.
6．B
【分析】
根据题意得到利润关于产量的函数式，再由导数求得使利润最大时的产量，即可求解出答案．
【详解】
设利润为 万元，则 ， ，
令 ，得 ，令 ，得 ，
∴当 时， 取最大值，故为使利润最大，应生产8千台．选B.
【点睛】
本题主要考查了利用导数的性质求函数的最值来解决实际问题．
21．已知椭圆 ，若在 ， ， ， 四个点中有3个在 上．
（1）求椭圆 的方程；
（2）若点 与点 是椭圆 上关于原点对称的两个点，且 ，求 的取值范围．
22．ห้องสมุดไป่ตู้知函数 ．
（1）求函数 的极值；
（2）设函数 ．若存在区间 ，使得函数 在 上的值域为 ，求实数 的取值范围．
参考答案
1．B
【解析】
【分析】
4．D
【分析】
根据题意随机变量 可知其正态分布曲线的对称轴，再根据正态分布曲线的对称性求解，即可得出答案．
【详解】
根据正态分布可知 ，故 ．故答案选D．
【点睛】
本题主要考查了根据正态分布曲线的性质求指定区间的概率．
5．D
【分析】
举反例结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可.
【详解】
取 ， ， 但 ，同样取 ， ， 但 ，故“ ”是“ ”的既不充分也不必要条件.
安徽省三校2020-2021学年高二（下）期末数学（理）试题（六安二中、霍邱一中、金寨一中）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知集合 ， ，则 ( )
A． B．
C． D．
2．已知复数 ，若 ，则实数 的值为( )
7．A
【分析】
根据题意 ， 可知， ， ，代入即可求这组样本数据的回归直线方程，即可求解出答案。
A．200种B．160种C．240种D．180种
二、填空题
13．命题“ ”的否定为____________________．
14．若甲、乙两人从5门课程中各选修2门，则甲、乙所选修的课程都不相同的选法种数为___．
15．若随机变量 ，则 _______．
16．已知 ，用数学归纳法证明 时，有 ______．
A． B． C． D．1
8．若 ， ， 0，1，2，3，…，6，则 的值为( )
A． B． C．1D．2
9．若函数 在 上单调递增，则实数 的取值范围是( )
A． B． C． D．
10．将正整数1，2，3，4，…按如图所示的方式排成三角形数组，则第20行从右往左数第1个数是( )
A．397B．398C．399D．400
每周使用次数
1次
2次
3次
4次
5次
6次及以上
男
4
3
3
7
8
30
女
6
5
4
4
6
20
合计
10
8
7
11
14
50
（1）如果用户每周使用共享单车超过3次，那么认为其“喜欢骑行共享单车”．请完成下面的2×2列联表，并判断能否在犯错误概率不超过0.05的前提下，认为是否“喜欢骑行共享单车”与性别有关；
不喜欢骑行共享单车
6.635
7.879
10.828
20．甲将要参加某决赛，赛前 ， ， ， 四位同学对冠军得主进行竞猜，每人选择一名选手，已知 ， 选择甲的概率均为 ， ， 选择甲的概率均为 ，且四人同时选择甲的概率为 ，四人均末选择甲的概率为 ．
（1）求 ， 的值；
（2）设四位同学中选择甲的人数为 ，求 的分布列和数学期望．
11．已知双曲线C： － ＝1(a>0，b>0)的离心率为2，左、右焦点分别为F1，F2，点A在双曲线C上，若△AF1F2的周长为10a，则△AF1F2的面积为（）
A．2 a2B． a2
C．30a2D．15a2
12．如图，用5种不同的颜色把图中 、 、 、 四块区域分开，若相邻区域不能涂同一种颜色，则不同的涂法共有( )
三、解答题
17．已知函数 ．
（1）求曲线 在点 处的切线方程；
（2）求过点 且与曲线 相切的直线方程．
18．如图，四边形 中， ， ， ， 为边 的中点，现将 沿 折起到达 的位置（折起后点 记为 ）．
（1）求证： ；
（2）若 为 中点，当 时，求二面角 的余弦值．
19．随着节能减排意识深入人心，共享单车在各大城市大范围推广，越来越多的市民在出行时喜欢选择骑行共享单车．为了研究广大市民在共享单车上的使用情况，某公司在我市随机抽取了100名用户进行调查，得到如下数据：
A． B．6C． D．
3．袋中有大小完全相同的2个红球和2个黑球，不放回地依次摸出两球，设“第一次摸得黑球”为事件 ，“摸得的两球不同色”为事件 ，则概率 为( )
A． B． C． D．
4．已知随机变量 ，若 ，则 的值为( )
A．0.1B．0.3C．0.6D．0.4
5．“ ”是“ ”的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
根据题意，利用指数函数的性质解出集合 ，再根据集合的并集运算，即可求解出答案。
【详解】
由题意得，集合
又因为
所以， ，故答案选B。
【点睛】
本题主要考查了利用指数函数得性质解不等式以及集合的基本运算。
2．D
【解析】
【分析】
根据题目复数 ，且 ，利用复数的除法运算法则，将复数z化简成 的形式，再令虚部为零，解出 的值，即可求解出答案．
6．某产品的销售收入 （万元）关于产量 （千台）的函数为 ；生产成本 （万元）关于产量 （千台）的函数为 ，为使利润最大，应生产产品( )
A．9千台B．8千台C．7千台D．6千台
7．已知变量 ， 之间具有线性相关关系，其回归方程为 ，若 ， ，则 的值为( )
【详解】
，
∵ ，∴ ，则 ．故答案选D．
【点睛】
本题主要考查了利用复数的除法运算法则化简以及根据复数的概念求参数．
3．B
【分析】
根据题目可知，求出事件A的概率，事件AB同时发生的概率，利用条件概率公式求得 ，即可求解出答案．
【详解】
依题意， ， ，
则条件概率 ．故答案选B．
【点睛】
本题主要考查了利用条件概率的公式计算事件的概率，解题时要理清思路，注意 的求解．
喜欢骑行共享单车
合计
男
女
合计
（2）每周骑行共享单车6次及6次以上的用户称为“骑行达人”，将频率视为概率，在我市所有的“骑行达人”中随机抽取4名，求抽取的这4名“骑车达人”中，既有男性又有女性的概率．
附表及公式： ，其中 ；
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
2.706
3.841
5.024
故选：D
【点睛】
本题主要考查了判断既不充分也不必要条件，属于基础题.
6．B
【分析】
根据题意得到利润关于产量的函数式，再由导数求得使利润最大时的产量，即可求解出答案．
【详解】
设利润为 万元，则 ， ，
令 ，得 ，令 ，得 ，
∴当 时， 取最大值，故为使利润最大，应生产8千台．选B.
【点睛】
本题主要考查了利用导数的性质求函数的最值来解决实际问题．
21．已知椭圆 ，若在 ， ， ， 四个点中有3个在 上．
（1）求椭圆 的方程；
（2）若点 与点 是椭圆 上关于原点对称的两个点，且 ，求 的取值范围．
22．ห้องสมุดไป่ตู้知函数 ．
（1）求函数 的极值；
（2）设函数 ．若存在区间 ，使得函数 在 上的值域为 ，求实数 的取值范围．
参考答案
1．B
【解析】
【分析】
4．D
【分析】
根据题意随机变量 可知其正态分布曲线的对称轴，再根据正态分布曲线的对称性求解，即可得出答案．
【详解】
根据正态分布可知 ，故 ．故答案选D．
【点睛】
本题主要考查了根据正态分布曲线的性质求指定区间的概率．
5．D
【分析】
举反例结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可.
【详解】
取 ， ， 但 ，同样取 ， ， 但 ，故“ ”是“ ”的既不充分也不必要条件.
安徽省三校2020-2021学年高二（下）期末数学（理）试题（六安二中、霍邱一中、金寨一中）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知集合 ， ，则 ( )
A． B．
C． D．
2．已知复数 ，若 ，则实数 的值为( )
7．A
【分析】
根据题意 ， 可知， ， ，代入即可求这组样本数据的回归直线方程，即可求解出答案。
A．200种B．160种C．240种D．180种
二、填空题
13．命题“ ”的否定为____________________．
14．若甲、乙两人从5门课程中各选修2门，则甲、乙所选修的课程都不相同的选法种数为___．
15．若随机变量 ，则 _______．
16．已知 ，用数学归纳法证明 时，有 ______．
A． B． C． D．1
8．若 ， ， 0，1，2，3，…，6，则 的值为( )
A． B． C．1D．2
9．若函数 在 上单调递增，则实数 的取值范围是( )
A． B． C． D．
10．将正整数1，2，3，4，…按如图所示的方式排成三角形数组，则第20行从右往左数第1个数是( )
A．397B．398C．399D．400
每周使用次数
1次
2次
3次
4次
5次
6次及以上
男
4
3
3
7
8
30
女
6
5
4
4
6
20
合计
10
8
7
11
14
50
（1）如果用户每周使用共享单车超过3次，那么认为其“喜欢骑行共享单车”．请完成下面的2×2列联表，并判断能否在犯错误概率不超过0.05的前提下，认为是否“喜欢骑行共享单车”与性别有关；
不喜欢骑行共享单车
6.635
7.879
10.828
20．甲将要参加某决赛，赛前 ， ， ， 四位同学对冠军得主进行竞猜，每人选择一名选手，已知 ， 选择甲的概率均为 ， ， 选择甲的概率均为 ，且四人同时选择甲的概率为 ，四人均末选择甲的概率为 ．
（1）求 ， 的值；
（2）设四位同学中选择甲的人数为 ，求 的分布列和数学期望．
11．已知双曲线C： － ＝1(a>0，b>0)的离心率为2，左、右焦点分别为F1，F2，点A在双曲线C上，若△AF1F2的周长为10a，则△AF1F2的面积为（）
A．2 a2B． a2
C．30a2D．15a2
12．如图，用5种不同的颜色把图中 、 、 、 四块区域分开，若相邻区域不能涂同一种颜色，则不同的涂法共有( )
三、解答题
17．已知函数 ．
（1）求曲线 在点 处的切线方程；
（2）求过点 且与曲线 相切的直线方程．
18．如图，四边形 中， ， ， ， 为边 的中点，现将 沿 折起到达 的位置（折起后点 记为 ）．
（1）求证： ；
（2）若 为 中点，当 时，求二面角 的余弦值．
19．随着节能减排意识深入人心，共享单车在各大城市大范围推广，越来越多的市民在出行时喜欢选择骑行共享单车．为了研究广大市民在共享单车上的使用情况，某公司在我市随机抽取了100名用户进行调查，得到如下数据：
A． B．6C． D．
3．袋中有大小完全相同的2个红球和2个黑球，不放回地依次摸出两球，设“第一次摸得黑球”为事件 ，“摸得的两球不同色”为事件 ，则概率 为( )
A． B． C． D．
4．已知随机变量 ，若 ，则 的值为( )
A．0.1B．0.3C．0.6D．0.4
5．“ ”是“ ”的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
根据题意，利用指数函数的性质解出集合 ，再根据集合的并集运算，即可求解出答案。
【详解】
由题意得，集合
又因为
所以， ，故答案选B。
【点睛】
本题主要考查了利用指数函数得性质解不等式以及集合的基本运算。
2．D
【解析】
【分析】
根据题目复数 ，且 ，利用复数的除法运算法则，将复数z化简成 的形式，再令虚部为零，解出 的值，即可求解出答案．