陕西专升本高数真题+解答
年陕西专升本高数真题+解答
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2012年陕西省普通高等教育专升本招生考试（样题）
高等数学
注意事项：
全卷共10页，满分150分。考试时间150分钟。其中试题3页，用钢笔或圆珠笔直接答在答题纸上，答在试卷上的答案无效。
一、选择题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将选好的答案填在答题纸上题号所在的位置上。
1. 0x =是函数11()12
x
f x =
+的 【 B 】
A. 可去间断点
B. 跳跃间断点
C. 振荡间断点
D. 连续点 2．设函数0()(1)x
f x t dt =-?, 则()f x 有 【 D 】
A. 极大值
12 B. 极大值12- C. 极小值12 D. 极小值12
- 3. 设函数)(x f 的导函数为sin x , 则)(x f 有一个原函数为 【 A 】 A. 1sin x - B. 1sin x + C. 1cos x - D. 1cos x +
4. 不定积分2(1)x
xe dx x =+?
【 A 】 A. 1x e C x ++ B. 1x
e C x -++ C. 2(1)x e C x ++ D. 2
(1)x e C x -++ 5. 无穷级数1
51
(1)n p n n +∞
=-∑ 【 B 】
A. 当15p >
时, 为条件收敛 B. 当1
5p >时, 为绝对收敛 C. 当105p <≤时, 为绝对收敛 D. 当1
05p <≤时, 为发散的
二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分。将答案填在答题
纸上题号所在的位置。
6. 设函数22,3
()1,
3x x x f x x x ?++<=?-≥?, 则((1))f f =
3-.
7. 极限520
1
sin
lim
sin x x x x
→=0.
8. 已知0a >，当0x →时, 1ax e ax --与1cos x -是等价无穷小, 则常数
a =
1.
9. 321
()x d f t dt dx -=?233(2)x f x -.
10. 微分方程0y y ''+=的通解为y =
12cos sin y C x C x
=+.
三、计算题：本大题共10个小题，每小题8分，共80分. 计算题要有计算
过程.
11．求极限2
20
ln(1sin )lim
1
x x x e →+-.
解：2
222
0ln(1sin )sin lim
lim 11
x x x x x
x e →→+==- 12．设参数方程(sin )(1cos )
x a t t y a t =-??=-?确定了函数()y y x =，求22d y
dx .
解：因为sin sin (1cos )1cos dy
dy a t t
dt dx dx a t t
dt
===
-- (4分) 所以 22222
1cos (1cos )sin 11
()(1cos )(1cos )(1cos )d y d dy t t t dx dx dt dx t a t a t dt
---=?=?=--- (8分) 13. 求函数23()(10)(5)f x x x =+-的单调区间和极值.
解：12
33325(1)
()(5)(10)(5)335
x f x x x x x -+'=-++?-=- (3分)
当1x <-时，()0f x '>; 当15x -<<时，()0f x '<;当5x >时, ()0f x '>. 所以
()f x 的单调增区间为(,1],[5,)-∞-+∞;单调减区间为[1,5]-; (6分)
()f x 在1x =-处取得极大值23
(1)96f -=?, 在5x =处取得极小值(5)0f = (8分)
14. 求不定积分2
3
2
(ln )1x x x dx x
++?. 解：2
3
2
(ln )1x x x dx x +
+? 4
211ln (1)41xdx dx x =
+-+?? (2分) 4311
ln arctan 44x x x dx x x =-+-? (6分)
4411
ln arctan 416x x x x x C =-+-+ (8分)
15. 设函数((),)z f xy xy ?=, 其中f 具有二阶连续偏导数, ?二阶可导, 求
z
x
??和2z x y ???. 解：
12()z
f xy y f y x
??'=??+?? (4分) 211121(())()(()()z
f xy x f x xy y f xy xy xy x y
?????'''''=?+?+?+??
21222
(())f xy x f x y f ?'+?+?+
(8分)
16. 求空间曲线2
1
z x xyz ?=?=?在点(1,1,1)处的切线方程和法平面方程.
解：曲线方程x t =，31
y t
=
，2z t =，1t =对应点为(1,1,1) (2分) 因为 1dx dt =；43dy dt t -=；2dz t dt
= 所以 1|1t dx dt ==；1|3t dy dt ==-；1|2
t dz
dt == (4分) 所求切线方程为
111
132
x y z ---==- (6分) 法平面方程为 (1)3(1)2(1)
x y z ---+
-=
即 320x y z -+= (8分)
17. 计算二重积分223D
I x y dxdy =+??, 其中积分区域22:9D x y +≤.
解：法一 223
22
33
D
I x y dxdy d r rdr πθ=+=???
? (4分)
2
53
33
3
30032722|984
r dr r πππ==?=? (8分) 法二：1
2
3
2222333
20
44D
D I x y dxdy x y dxdy d r rdr π
θ=+=+=??????
833
30
3272|984
r ππ=?= 18. 计算对坐标的曲线积分232()(2)L
x xy dx y xy dy -+-?, 其中L 是四个顶点
分别为(0,0), (2,0), (2,2)和(0,2)的正方形区域的正向边界.
解：设23(,)P x y x xy =-，2(,)2Q x y y xy =-，L 所围区域为D ，且
D ：02x ≤≤，02y ≤≤
由格林公式，得
232()(2)(
)L
D
Q P
x xy dx y xy dy dxdy x y
??-+-=-???
?? (4分)
22
20
(23)dx y xy dy =-+?? (6分)
2
2
23
20
()|(48)8y xy dx x dx =-+=-+=?? (8分)
19. 将函数2()4x
f x x +=
+展开为麦克劳林级数. 解：22
()144x f x x x
+==-++ (2分)
011111()1224
4
14
n
n x x x ∞==-?=---<+∑
(6分)
111(1)4
224n n n
n x x +∞=-=+
(8分)
20. 求微分方程256x y y y xe '''-+=的通解. 解：原微分方程所对应齐次方程为
560y y y '''-+=，
它的特征方程为
2560r r -+=
特征根为 12r =，23r =.于是所给方程对应的齐次方程的通解为
2312()x x Y x C e C e =+ (3分) 设非齐次方程的特解为 *2()x y x ax b e =+ (5分) 代入方程，得
22ax a b x -+-=
解得 1
2a =-，1b =-
所求特解为
*21
(1)2
x
y x x e =--
(6分)
从而所求非齐次方程的通解为
2322121
()(2)2
x x x
y x C e C e x x e =+-+
(8分)
四、证明题和应用题：本大题共2个小题, 每小题10分, 共20分。计算题要有计算过程, 证明题要有证明过程。
21. 设函数()f x 在[,]a b 上的连续函数, 且()0f x >
1
()()()
x x a
b
F x f t dt dt f t =
+?
?
,
求证: ① ()2F x '≥;
② 方程()0F x =在(,)a b 内仅有一个实根.
证明: ① 21
1
()()(())22()()
F x f x f x f x f x '=+
=-+≥ (5分) ② 因为()F x 在[,]a b 上是单调增加函数, 所以方程()0F x =在(,)a b 内最多只有一个根. 又 1
()0()
a b
F a dt f t =
, ()()0b a F b f t dt =>? (8分)
根据零点定理, 方程()0F x =在(,)a b 内至少有一个根.
综合以上可知, 方程()0F x =在(,)a b 内仅有一个实根. (10分)
22. 求抛物线243y x x =-+-及其在点(0,3)-和(3,0)处的切线所围成的图形的面积.
解：因为 24y x '=-+ (2分) 所以曲线在(0,3)-处切线方程为
34(0)y x +=- 即
43y x =-
曲线在(3,0)处切线方程为
02(3)y x -=--
即
26y x =-+ (5分)
因为两切线交点为3
(,3)2 (6分)
所以，所求面积为
33
2
2230
2
[(43)(43)][(26)(43)]S x x x dx x x x dx =---+-+-+--+-?? (8
分)
33
3
2230
2
(43)(26)(43)x dx x dx x x dx =-+-+--+-???
3
2
23233
20
30
2
19(23)|(6)|(23)|34x x x x x x x =-+----= (10分)