二次函数周长最小问题

周长最小问题

基本解题方法：

1.如图，已知抛物线y＝ax2－4x＋c经过点A（0，－6）和B（3，－9）．

（1）求抛物线的解析式；

（2）写出抛物线的对称轴方程及顶点坐标；

（3）点P（m，m）与点Q均在抛物线上（其中m＞0），且这两点关于抛物线的对称轴对称，求m的值及点Q的坐标；

（4）在满足（3）的情况下，在抛物线的对称轴上寻找一点M，使得△QMA的周长最小．

解：（1）依题意有⎩⎨⎧a ×0 2

－4×0＋c ＝－6

a ×3

2－4×3＋c ＝－9

即⎩⎪⎨⎪⎧c ＝－69a －12＋c ＝－9 ····································································· 2分 ∴⎩

⎪⎨⎪⎧a ＝1c ＝－6 ················································································· 4分 ∴抛物线的解析式为：y ＝x

2－4x －6 ··············································· 5分

（2）把y ＝x

2－4x －6配方，得y ＝(x －2)2－10

∴对称轴方程为x ＝2 ·································································· 7分 顶点坐标（2，－10）·································································· 10分 （3）由点P （m ，m ）在抛物线上

得m ＝m

2－4m －6 ······································································ 12分

即m

2－5m －6＝0

∴m 1＝6或m 2＝－1（舍去） ························································ 13分 ∴P （6，6）

∵点P 、Q 均在抛物线上，且关于对称轴x ＝2对称

∴Q （－2，6） ··················································································· 15分 （4）连接AP 、AQ ，直线AP 与对称轴x ＝2相交于点M

由于P 、Q 两点关于对称轴对称，由轴对称性质可知，此时的交点M 能够使得△QMA 的周长最小 ············································································· 17分 设直线AP 的解析式为y ＝kx ＋b

则⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－66k ＋b ＝6 ∴⎩

⎪⎨⎪⎧k ＝2b ＝－6 ∴直线AP 的解析式为：y ＝2x －6 18分 设点M （2，n ）

则有n ＝2×2－6＝－2 19分

此时点M （2，－2）能够使得△QMA 的周长最小 20分

2.如图，在平面直角坐标系中，直线y ＝－3x －3与x 轴交于点A ，与y 轴交于点C ，抛物线y ＝ax 2－

3

3

2x ＋c （a ≠0）经过点A 、C ，与x 轴交于另一点B ． （1）求抛物线的解析式及顶点D 的坐标；

（2）若P 是抛物线上一点，且△ABP 为直角三角形，求点P 的坐标；

（3）在直线AC 上是否存在点Q ，使得△QBD 的周长最小，若存在，求出Q 点的坐标；若不存在，请说明理由．

（1）∵直线y ＝－3x －3与x 轴交于点A ，与y 轴交于C ∴A （－1，0），C （0，－3） ∵点A ，C 都在抛物线上

∴⎩⎨⎧a ＋332＋c ＝0c ＝－3 解得⎩⎨

⎧a ＝33

c ＝－3

∴抛物线的解析式为y ＝33x

2－332x －3＝33( x －1)2－334∴顶点D 的坐标为（1，－3

3

4） （2）令

33x

2－3

3

2x －3＝0，解得x 1＝－1，x 2＝3 ∴B （3，0） ∴AB 2＝( 1＋3)2＝16，AC 2＝1

2＋( 3)2＝4，BC 2＝3

2＋( 3)2＝12 ∴AC 2＋BC 2＝AB 2，∴△ABC 是直角三角形∴P 1（0，－3）

由抛物线的对称性可知P 2的纵坐标为－3

（3）存在．延长BC 到点B ′，使B ′C ＝BC ，连接B ′D 交直线过点B ′ 作B ′H ⊥x 轴于H

在Rt △BOC 中，∵BC ＝12＝32， ∴BC ＝2OC ∴∠OBC ＝30°

∴B ′H ＝21

BB ′＝BC ＝32，BH ＝3B ′H ＝6，∴OH ＝3

∴B ′（－3，－32）设直线B ′D 的解析式为y ＝kx ＋b ，则：

⎩⎨⎧

－32＝－3k ＋b

－3

34＝k ＋b 解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝63b ＝－2

33联立⎩⎨⎧y ＝－3x －3y ＝63x －233 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝73y ＝－7310∴Q （73

，－7310）故在直线AC 上存在点Q ，使得△QBD 的周长最小，Q 点的坐标为（7

3

，－7310）

3.在平面直角坐标系中，矩形OACB 的顶点O 在坐标原点，顶点A 、B 分别在x 轴、y 轴的正半轴上，OA ＝3，OB ＝4，D 为边OB 的中点．

（Ⅰ）若E 为边OA 上的一个动点，当△CDE 的周长最小时，求点E 的坐标；

（Ⅱ）若E 、F 为边OA 上的两个动点，且EF ＝2，当四边形CDEF 的周长最小时，求点E 、F 的坐标．

解：（Ⅰ）如图1，作点D 关于x 轴的对称点D ′，连接CD ′

与x 轴交于点E ，连接DE

若在边OA 上任取点E ′（与点E 不重合），连接CE ′、DE ′、D ′E ′ 由DE ′＋CE ′＝D ′E ′＋CE ′＞CD ′＝D ′E ＋CE ＝DE ＋CE 可知△CDE 的周长最小

∵在矩形OACB 中，OA ＝3，OB ＝4，D 为边OB 的中点 ∴BC ＝3，D ′O ＝DO ＝2，D ′B ＝6

∵OE ∥BC ，∴Rt △D ′OE ∽Rt △D ′BC ，∴BC OE ＝

B

D O

D '' ∴O

E ＝

B

D O D ''·BC ＝62

×3＝1 ∴点E 的坐标为（1，0） ························································ 6分

（Ⅱ）如图2，作点D 关于x 轴的对称点D ′，在CB 边上截取CG ＝2，连接D ′G 与x 轴交于点E ，在EA 上截取EF ＝2，则四边形GEFC 为平行四边形，得GE ＝CF 又DC 、EF 的长为定值，∴此时得到的点E 、F 使四边形CDEF 的周长最小 ∵OE ∥BC ，∴Rt △D ′OE ∽Rt △D ′BG ，∴

BG OE ＝

B

D O

D '' ∴O

E ＝

B D O

D ''·BG ＝

B D O

D ''·(BC －CG )＝62×1＝3

1

∴OF ＝OE ＋EF ＝3

1＋2＝37

∴点E 的坐标为（31，0），点F 的坐标为（37

，0） ··················· 10分