第九章 组合变形
组合变形
§9-1 组合变形和叠加原理 说明:小变形前提
图示纵横弯曲问题,横截面上 内力为 FN P
M x ql q x x 2 Pv x 2 2
当变形较大时,弯矩中与 挠度有关的附加弯矩不能略 去.虽然梁是线弹性的,弯矩、 挠度与P的关系却是非线性的 因而不能用叠加法.除非梁的 刚度较大,挠度很小,轴力引起 的附加弯矩可以略去.
9.1.3叠加原理
构件在小变形和服从胡克定理的条件下，力的 独立性原理是成立的。即所有载荷作用下的内力、 应力、应变和位移等是各个单独载荷作用下的值的 叠加
说明:
1. 必须是线弹性材料,加载在弹性范围内,服从胡 克定律; 2. 必须是小变形,保证能按构件初始形状或尺寸进 行分解与叠加计算,且能保证与加载次序无关.
（3） 压缩正应力 FRAx 0.866 F A A （4） 最大弯曲正应力 1.2 FR Ay 0.6 F max Wz Wz （5）危险点的应力
A D F 1.2m
30° 1.2m
B
FRAy FNAB
FRAx A F D
30°
Fy
B
c max
0.866 F 0.6 F 94.37MPa [ ] A Wz 满足强度要求。
Fy
B
AB杆为平面弯曲与轴向压缩组合变形
Fx
§9-3 拉伸（压缩）与弯曲的组合
例题9.2 悬臂吊车如图所示,横梁用20a工字钢制成. 其抗弯刚度Wz = 237cm3,横截面面积 A=35.5cm2,总荷载 F= 34kN,横梁材料的许用应力为[]=125MPa.校核横梁 AB的强度. C
（2）内力分析，确定危险截面
已知：l＝4m， []=160MPa， =5°，P=60kN 求：校核梁的强度。
组合变形
32.2 MPa t
40.2 MPa c
※立柱不满足强度要求
例3：图示矩形截面钢杆,用应变片测得上下表面的 轴向正应变分别为a=1×10-3，b=0.4×10-3,材料的 弹性模量E=210GPa.(1)试绘制横截面上的正应力 分布图；(2)求拉力P及偏心距。 a P P a 25 b 5
S
F
M
a
C
y
1
F
1
Mz Wz
例1 工字梁两端简支，载 荷P=60KN ，若材料 的[σ]=160MPa，试选 择工字钢型号
解：1.分解载荷
Py P s in 2 0 .5 2 K N P Pz P c o s 5 6 .3 8 K N
弯曲(xoy平面) 弯曲(xoz平面)
5 6 .3 8 kN m
C
z
E
例5：短柱的形心为矩形，尺寸为bh，试确定截 面核心 若中性轴与AB边重合： z 中性轴在坐标轴的截距：
A
b B
D a h/6 h C
i
yP
2 z
2 z
ay
h 2
, az
ya y
IZ A
i
2 z
yP
，a z
bh
3
i
2 y
zP
2
12 2 bh 12 h
11.6
A
3
FN
M max WZ
0.2 0.3
FN A
(5.83 5.83) 11.66 MPa
350 10 0.2
2 3
8.75
350 50 6 0.2 0.3
第九章组合变形s
F
F F' My
FN (x) F M z(x) F ey M y(x) F ez
f
ymax
FyL3 3EIz
,
x
F''
My
max
Mz Wz
My Wy
y
fy
max
FyL3 3EIz
,
2、偏心拉(压)的计算 （1）、荷载的简化
My
Fy Fcos Mz Fey
x
y
b
（2）、任意横截面任意点的“σ”
烟囱：自重引起轴向压缩 + 水平方向的风力而引起弯曲； 传动轴：在齿轮啮合力的作用下，发生弯曲 + 扭转 立柱：荷载不过轴线，为偏心压缩 = 轴向压缩 + 纯弯曲
二、组合变形的研究方法 —— 叠加原理
求解步骤 ①外力分解和简化 ②内力分析——确定危险面。
③应力分析：确定危险面上的应力分布， 建立危险点的强度条件。
（2）应力：
Mz k
Mz(x)yk Iz
k kFNkMz
Fx MzFey F
Fy
k z
y
在 FN 作用下： Z
在 Mz 作用下： Z
Y
Mz k
Mz(x)yk Iz
（3）叠加：
f y max
Fy L3 3EIz
,
k kFNkMz
Y
b
a
Z
Z
d
c 3、强度计算
危险截面——固定端
z
例 图示悬臂梁，承受载荷F1与F2作用，已知F1=800N，F2=1.6kN， l=1m，许用应力[σ ]=160MPa。试分别按下列要求确定截面尺寸： (1) 截面为矩形，h=2b；(2) 截面为圆形。
最新9组合变形汇总
例9-5：图示Z形截面杆，在自由端作用一集中力F，该杆的变 形设有四种答案：
（A）平面弯曲变形； （B）斜弯曲变形； （C）弯扭组合变形； （D）压弯组合变形。
F
F
例9-6：具有切槽的正方形木杆，受力如 图。求：
（1）m-m截面上的最大拉应力σt 和最 大压应力σc；
（2）此σt是截面削弱前的σt值的几倍？
大小有关，而与外力的大小无关；②一般情况下，I y I z 中性轴不与外力作用平面垂直；③对于圆形、正方形和正
多边形，通过形心的轴都是形心主轴，Iy Iz,
此时梁不会发生斜弯曲。
〈四〉强度校核：
对矩形截面，可以直接断定截面的 LmaxYmax必发生在
' '' 具有相同符号的截面角点处。
max
y
zP z iy2
0
根据该方程式可知中性轴是不过形心的直线。
现令：应力零线N-N，它在y、z轴上的截距分别为 a y a z 分别将
ay,0 0, az 代入 k 表达式得：
ay
iZ 2 yP
aZ
iy2 zP
由ay、az就可把应力零线的位置确定下来，应力零线就是该 截面的中性轴。上式表明ay、az 均与yp 、 zp符号相反，所以中性 轴与偏心压力分别在坐标原点的两侧，以中性轴为界，一侧受
曲。
思考题
正方形，圆形，当外力作用线通过截面形心时，为平面弯曲还 是斜弯曲？
目录
§9-3 拉伸(压缩)与弯曲的组合变形
例1：一折杆由两根圆杆焊接而成，已知 圆杆直径d=100mm，试求圆杆的最大拉应力σt 和最大压应力 σc 。
解： X A 3 kN
YA 4 kN
任 意 横 截 面 x上 的 内 力 :
组合变形PPT课件
M y Pz x Px sin
Mz
Py x
Px cos
§9-2 斜弯曲 9.2.3内力与应力计算
（3）应力分析：对应的应力分布，如图所示。
于是，A截面上任意点处正应力由平面弯曲正应力公 式计算。得：
（M
z
)
Mz Iz
y
（M
y
)
上例中，斜弯曲截面应力分布如图所示
根据中性轴处正应力为零，令（9.3）式等于零便可
得中性轴方程： M y z M z y P x( z sin y cos ) 0
Iy
Iz
Iy
Iz
sin z cos y 0 （9.4）中性轴方程
Iy
Iz
上式为没有截距的直线方程，可见此时中性轴通过截
面形心。如图所示。
§9-2 斜弯曲 9.2.5最大正应力和强度条件
以上一悬臂梁为例，如右图所示
（1）最危险截面：为固定端截面 （2）最危险截点：为正应力最大点
可根据叠加原理分析得出，如下图所示
最大正应力为：
强度条件为：
max
( M y
Mz)Βιβλιοθήκη （9.5）maxWy Wz
max （9.7）
例题9.1
§9-2 斜弯曲
§9-1 组合变形和叠加原理
9.1.4处理组合变形的基本方法
1.外力分析
将外力进行简化分解, 把构件上的外力转化为几个静力 等效载荷，使之每个载荷对应一种基本变形，即将组合 变形分解为基本变形。 2.内力分析 求每个外力分量对应的内力方程和内力图,确定危险截 面.分别计算在每一种基本变形下构件的应力
§9-2 斜弯曲
9.组合变形
2 y
2 z
设挠度 的方向与Y轴间的夹角 ，则：
z Iz tg tg y Iy
讨论：由上式可看出：要使得 必须：I z I y 即，只 有在 I z I y 的条件下，才是平面弯曲， 否则是斜弯 曲。
思考题
正方形，圆形，当外力作用线通过截面形心时，为平面弯曲还 是斜弯曲？
总目录
本章要点
（1）斜弯曲 （2）偏心压缩 （3）弯扭组合变形
重要概念
组合变形、斜弯曲、偏心压缩、弯扭组合
§9-1 概述
*工程中几种常见的组合变形：
斜弯曲 —————斜屋架上的檩条 拉弯组合 ————冻结管 偏心压缩 ————设有吊车的厂房柱子 弯扭组合变形——机床中靠齿轮传递的轴
由于组合变形是几种基本变形相互组合的结果， 因此，在进行组合变形下的强度和刚度计算时，只 需分别计算形成这种组合变形的几种基本变形下的 应力和变形，然后进行叠加即可得到组合变形下的 应力和变形。 计算组合变形强度问题的步骤如下：
可得中性轴的方程式为：
yP y z P z 1 2 2 0 iz iy
根据该方程式可知中性轴是不过形心的直线。
现令：应力零线N-N，它在y、z轴上的截距分别为 a y a z 分别将 a y ,0 0, az 代入 k 表达式得：
iZ 2 ay yP
aZ
2 1 2 2 1 2 2 3 3 1 2
将C式代入上式，简化整理后可得：
W 3
2
2 n
代入<a><b>式即可得：
1 W
M W 0.75Tn2
材料力学斜弯曲
y
中性轴
Fl
另一条类似。
四、挠度的方向
z F wy
l
x
y
w φ β wz
F
Fl 3 sin 自由端 wy 3EI z
方向
Fl 3 cos wz 3EI y
t an
wy wz
Iy Iz
t an
结论
挠度
中性轴
t an
一、概念
z
Fy
φ
F
Fz
外力：作用线不与形心主 惯性轴重合； 内力: 弯矩矢不与形心主 惯性轴重合（可分解成两 y 个形心主惯性轴方向的弯 矩）； 变形：挠曲线不与载荷线 共面。
斜弯曲
F1
平面弯曲
F2
二、正应力强度条件
例：分析图示斜弯曲变形
z
z
y φ
y
F
A
F φ
B
l
z
y
1.分类：
平面弯曲（绕 y 轴） + 平面弯曲（绕 z 轴）
图中力F是否使梁产生平面弯曲？
F
z y
F
F
z z y
y
弯曲中心的意义
非对称截面梁平面弯曲的条件： 1.外力平行于形心主惯性平面 保证 Iyz=0
（推导弯曲正应力时要求满足Iyz=0）
F
M
2.外力作用线通过弯曲中心 保证 不扭转
图中力F使梁产生平面弯曲， 同时还产生扭转。
A
y
C
z
§9.3 拉（压）弯组合
A
D1
t max
D2
M y max M z max t max 单向应力状态 W c max Wz y
第九章能量法
第九章 能量法/一 外力功 · 计算
分析与讨论
若先加P，后加mo，则外力功为
1 1 W PcP Pcm m Bm 1 o o o 2 2 2 m m 1 Pl3 1 ol ol P P m o 2 48 EI 16 EI 2 3EI
2 Pm l m P2l3 o o l 96 EI 16 EI 6EI 2
dx
q L
F x ) dx N ( UdU L L 2 EA
2
第九章 能量法/二 变形能
（2）圆截面杆的扭转 m m m
A
L
圆截面杆的变形能
o
B
2 M L 1 UW m n 2 2 GI p
式中 Mn——圆杆横截面上的扭矩； I ——圆杆横截面对圆心的极惯性矩。
p
第九章 能量法/二 变形能
叠加,是因为其中一种荷载在另一种荷载引起的位移上不作 功. 例如,一直杆同时承受弯曲与扭转作用时,就可以把扭 转变形能和弯曲变形能叠加起来进行计算.因为扭转在弯曲
引起的转角 上不作功,弯矩在扭转引起的扭转角 上也
不作功.
第九章 能量法
三 利用功能原理计算位移
第九章 能量法/三 利用功能原理计算位移
第九章 能量法/二 变形能
例题 计算图示梁在集中力P作用下的变形能
EI
(b) A x
P
B
l
2 2 3 2 l ( Px ) dx P l M dx ( x ) U U b p 02 0 EI 2 EI 6 EI l
第九章 能量法/二 变形能
例题 计算图示梁在集中力偶mo、集中力P共同作用下的变形能
第九章 能量法/四 求位移的卡氏定理
组合变形
MT WT
在杆的根部a处取一单元体分析
y 0, x B , x T
计算主应力
1 B B 2 2 ( ) T 2 3 2
2 0
第三、第四强度理论
r 3 4
2 B 2 T
2 2 r4 B 3 T
即最大安全载荷为 790N。
r3
M 2 T2 W
(0.2Q ) 2 (0.18Q ) 2 6 80 10 0.033 32 Q 790N
例8-5 某齿轮轴，n=265r/min、NK=10kW、D1=396mm， D2=168mm， =20o ， d=50mm，[]= 50MPa。校核轴的强度。
C max
N M max c A Wz
例8-1 悬臂吊车,横梁由 25 a 号工字钢制成，l=4m，电葫芦重 Q1=4kN，起重量Q2=20kN, =30º , []=100MPa，试校核强度。
（1）外力计算
取横梁AB为研究对象，受力如 图b所示。
梁 上载荷为 P =Q1+Q2 = 24kN， 斜杆的拉力S 可分解为XB和YB
f
f f
2 y
2 z
如悬臂梁自由端挠度等于P的分量 平面内挠度的几何叠加。
py , pz
在各自弯曲
pl 3 fy cos 3 EI z 3 EI z pz l 3 pl 3 fz sin 3 EI y 3 EI y
pyl 3
故自由端的总挠度：
f
f f
2 y
2 z
总挠度 f 的方向线与y轴之间的夹角 可由下式求得
如图b所示。
（2）作内力图
材料力学
第一章绪论1.土木工程中，各种建筑物在施工和使用阶段所承受的所有外力统称为荷载。
建筑物中承受荷载并且传递荷载的空间骨架称为结构，而任何结构都是由构件所组成的。
为保证构件在荷载作用下的正常工作，必须使它同时满足三方面的力学要求，即强度、刚度和稳定性的要求：(1) 构件抵抗破坏的能力称为强度(strength)。
对构件的设计应保证它在规定的荷载作用下能够正常工作而不会发生破坏(2) 构件抵抗变形的能力称为刚度(stiffness)。
构件的变形必须要限制在一定的限度内，构件刚度不满足要求同样也不能正常工作。
(3) 构件在受到荷载作用时在原有形状下的平衡应保证为稳定的平衡，这就是对构件的稳定性(stability)要求。
但是在材料力学中，构件的变形不能忽略不计，因此我们把构件作为可变形体来研究，称它们为可变形固体(deformable solid)。
在对可变形固体材料制成的构件进行强度、刚度和稳定性研究时，为抽象出某种理想的力学模型，通常根据其主要性质做出一定的假设，同时忽略一些次要因素，然后进行理论分析。
在材料力学中，通常对可变形固体作如下基本假设：(1) 连续性假设(continuity assumption)。
这一假设认为，构件的材料在变形后仍然保持连续性，在其整个体积内都毫无空隙地充满了物质，忽略了体积内空隙对材料力学性质的影响。
(2) 均匀性假设(homogenization assumption)。
这一假设认为，构件的材料各部分的力学性能是相同的。
从任意一点取出的单元体，都具有与整体同样的力学性能。
(3) 各向同性假设(isotropy assumption)。
这一假设认为，构件的材料在各个方向的力学性能是相同的。
如工程上常用的金属材料，虽然从它们的晶粒来说，其力学性能并不一样；但从宏观上看，各个方向的力学性能接近相同。
有些材料沿各方向的力学性能并不相同，像这样的材料称之为各向异性材料，如木材等。
第9章(组合变形)
z
F
k
z Fz
F
Fy
1 荷载的分解
xF
Fy F cos
Fz F sin
2 任意横截面的内力
M z (x) Fy x F cos x M y (x) Fz x F sin x
3 任意横截面上任意一点的应力
1 k
M z yk Iz
y
2 k
M y zk Iy
y
k
z Fz
F
Fy
Mz
z
f y I y Fy I y
z wz
w
wy
Example
如图所示木制檩条，宽度 L=3m，受均布载荷
q=800N/m，材料的许用应力及变形分别为
[]=12MPa 和 L/200 ，E=9GPa，
试计算截面的尺寸(b/h=0.5)并校核梁的刚度
q
A
B
L
y
q
z
a 26°34´
解： 1 分解外载荷q
y
ez zk iy2
z
zk yk
yk
3 强度计算
危险截面——各截面
危险点——“A”点有最大的拉应力， “C”点有最大的压应力。
t max
F A
M z maxymax Iz
M y m zax max Iy
F A
M zmax Wz
M ymax Wy
c max
F A
M z maxymax Iz
M件
max
二、偏心拉(压)
1 偏心拉(压)的概念 作用在杆件上的外力与杆的轴线平行但不重合。
x
FP
FP y
z
My
x
Mz z
第九章强度理论和组合变形讲解学习
b．剪应力强度校核(K2)点
C截面
m a x Q I C Z S b Z * 1 7 .2 1 1 0 0 0 2 1 0 7 3 1 0 3 8 3 .1 M p a 9 5 M p a
正应力和剪应力强度条件均满足。
c．校核腹板和翼板交接处（K3）点的强度。 K3点处的复杂应力状态，绘出K3点的应力状态图。
变为 0，则外力偶ｍ＝？
m
CL10mTU60
解：(1)将应变片贴于与母线成45°角的外表面上
(2) 1 ,2 0 ,3
1E 11(23) max
min
1
E
1
E
m
d3
0
16
m d 3E 0 16(1 )
9.4组合变形的概念
在外力的作用下，构件若同时产生两种或 两种以上基本变形的情况，就是组合变形
解：1．梁的内力分析 首先，将载荷F沿x和y轴分
解，得相应分力为
Fx Fcos30=8.66103N Fy Fsin305.00103N
然后，将Fx平移到梁的轴线上， 得轴向力Fc和附加力偶Me。
（4）选用适当的强度理论计算相当应力eq。 （5）确定材料的许用拉应力[] ，将其与eq比较。
例 从某构件的危险点处取出一单元体如图7-8a 所示，已知钢
材的屈服点s = 280MPa.试按最大剪应力理论和形状改变比能
理论计算构件的工作安全系数。
先计算 oxy 平面内的主应力，然后 计算工作安全系数
Tm
a
x
15000
6000
3.140.1252 3.140.1235
4
32
32.4106 32.4MPa35MPa
满足强度条件，最后选用立柱直 d = 12.5cm
组合变形
第九章 组合变形授课学时：8学时主要内容：拉弯、斜弯曲和弯扭组合变形的强度和变形的校核和计算。
§9–1 概 述1．定义在复杂外载荷作用下，构件的变形会包含几种简单变形，当几种变形所对应的应力属同一量级时，不能忽略之，这类构件的变形称为组合变形。
2．组合变形形式两个平面弯曲的组合；拉伸或压缩与弯曲的组合；扭转与弯曲。
3．组合变形的研究方法 —— 叠加原理 对于线弹性状态的构件，将其组合变形分解为基本变形，考虑在每一种基本变形下的应力和变形，然后进行叠加。
4．解题步骤外力分析：外力向形心简化并沿主惯性轴分解内力分析：求出每个外力分量对应的内力方程和内力图，确定危险面。
应力分析：画危险面应力分布图，叠加，建立危险点的强度条件。
§9–2拉(压)弯组合例 起重机的最大吊重kN P 12=，[]2/100m kN =σ。
试为横梁AB 选择适用的工字钢。
解：（1）受力分析由0=∑AM得kN T y 18=，kN T T y x 245.12==（2）作AB 的弯矩图和剪力图，确定C（3）确定工字钢型号按弯曲强度确定工字钢的抗弯截面系数[]363120101001012cm MW =⨯⨯=≥σ查表取3141cm W =的16号工字钢，其横截面积为21.26cm 。
在C 左侧的下边缘压应力最大，需要进行校核。
+=MPaMPa W M A N 1003.94101411012104.2610246343max max <=⨯⨯+⨯⨯=+=--σ固所选工字钢为合适。
§9–3斜弯曲1．斜弯曲概念：梁的横向力不与横截面对称轴或形心主惯性轴重合，这时杆件将在形心主惯性平面内发生弯曲，变形后的轴线与外力不在同一纵向平面内，2．解题方法1）分解：将外载沿横截面的两个形心主轴分解，于是得到两个正交的平面弯曲。
2）叠加：对两个平面弯曲进行研究；然后将计算结果叠加起来。
例 矩形截面悬臂梁，求根部的最大应力和梁端部的位移。
材料力学 9-1组合变形
a
a
斜弯曲（双向弯曲） 斜弯曲（双向弯曲） 矩形截面梁的斜弯曲: ①. 矩形截面梁的斜弯曲 a . 危险点 危险点:
M Z max ⋅ Ymax σ a = σ max = IZ M Y max ⋅ Z max ≤ [ σ ] + IY
b . 中性轴及其方程 中性轴及其方程:
MZ ⋅ Y0 M Y ⋅ Z0 + =0 IZ IY
图示链条中的一个链环，受拉力P作用 已知： 作用， 例3. 图示链条中的一个链环，受拉力 作用，已知： d，e，试求最大应力。 ， ，试求最大应力。 解：(1) 外力分析
P
(2) 内力分析 N M
d
N=P， M=Pe ， 属拉弯组合变形 (3) 应力分析
e
e
P
P
(3) 应力分析
d
N M
σ max = σ M + σ N
②.圆形截面梁的双向弯曲: 圆形截面梁的双向弯曲:
仍属于平面弯曲。 仍属于平面弯曲。 危险点： 危险点：
σ (a)
Pl Pl − = σ max = , σ ( b ) = σ max = WZ WZ
+
∴ σ max ≤ [σ
]
属单向应力状态。 属单向应力状态。
z
P
x
x F
y
中性轴及危险点：
例5. 已知 E , ε a , ε b , ε c , a , 求 PX , PY , PZ 解: 1) a、b、c三点都属于单向应力状态 、 、 三点都属于单向应力状态 2)
2、相当应力计算(Calculating equal stress) 相当应力计算(Calculating 第三强度理论, 第三强度理论,计算相当应力
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一、是非题
9.1 斜弯曲时，危险截面上的危险点是距形心主轴最远的点。
（）
9.2 工字形截面梁发生偏心拉伸变形时，其最大拉应力一定在截面的角点处。
（）
9.3 对于偏心拉伸或偏心压缩杆件，都可以采用限制偏心矩的方法，以达到使全部截面上都不出现拉应力的目的。
（）
9.4 直径为d 的圆轴，其危险截面上同时承受弯矩M 、扭矩T 及轴力N 的作用。
若按第三强度理论计算，则危险点处的
9.5 图示矩形截面梁，其最大拉应力发生在固定端截面的a 点处。
（）
二、选择题
9.6 图（ a ）杆件承受轴向拉力F ，若在杆上分别开一侧、两侧切口如图（ b ）、图（ c ）所示。
令杆（ a ）、（ b ）、（ c ）中的最大拉应力分别为和，则下列结论中（）是错误的。
A. B.
C. D.
9.7 对于偏心压缩的杆件，下述结论中（）是错误的。
A. 截面核心是指保证中性轴不穿过横截面的、位于截面形心附近的一个区域
B. 中性轴是一条不通过截面形心的直线
C. 外力作用点与中性轴始终处于截面形心的相对两边
D. 截面核心与截面的形状、尺寸及载荷大小有关
三. 计算题
9.8材料为灰铸铁HT 15－33的压力机框架如图所示。
许用拉应力为
，许用压应力为，试校核该框架立柱的强度。
9.9图示皮带轮传动轴，传递功率N =7kW ，转速n =200 r/min 。
皮带轮重量Q =1.8 kN 。
左端齿轮上啮合力与齿轮节圆切线的夹角（压力角）为。
轴的材料为A5钢，其许用应力。
试分别在忽略和考虑皮带轮重量的两种情况下，按第三强度理论估算轴的直径。
答案
9.1 × 9.2 √ 9.3 × 9.4 √ 9.5 √ 9.6 C 9.7 D
9.8解：
9.9解：。