热传导基本理论与建模

• 沥青混合料是目前高速路面最常用的材 料之一；
• 沥青混合料到的优点是振动小，噪声 低，车辆运行平稳；
• 沥青混合料的缺点是在高温下容易软 化，会造成路面破损；
• 高速路面材料需要通过碾压试验检验其 特性，并寻求最佳配比。
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高等传热学
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2.3.1环道碾压试验设计
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对于热水，只要补充水的能量方程即可
ρc ∂t ∂τ
=λ
1 r
∂ ∂r

r
∂t ∂r

mc p
dtW dz
= − 2πλr ∂t ∂r
r=R
z = 0, tW = tW 0
τ = 0, t = t∞
r = R, t = tWZ 0
r → ∞,t → t∞
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12
2.3 建模的例子——路面材料特性 试验台温度场的预报
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2.3.13得到的设计参考数据
• 为了保证加热表面不低于600W/m2 的净 加热强度，系统的加热强度要高于1200 W/m2即可
• 这里的计算要根据最坏情况设计的，实 际情况可能会因为采取保温措施（如遮 盖，底部和侧面加保温材料等），所需 要的加热强度要少一些。
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x 104
等效直径为5mm的颗粒冷却过程中的温度变化
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33
800
700
600
500
温度/℃
400
300
200
100 0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
时 间 /s
等效直径为5mm的颗粒冷却过程中的平均温度变化
4 x 104
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34
冷却时间/s
14 12 10
8 6 4 2 0
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2.3.14小结
• 从实际问题到数学模型的过程需要关于 研究对象的知识
• 数学模型可以有很多个选择，但是一个 能够求解的近似模型的作用远远优于一 个无法求解的详细模型
• 本例中很多的影响因素被忽略了。 习题——请指出本例中的模型有哪些不足
之处（４～５人小组讨论）
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高等传热学
r = r0
− λ ∂t = 0 ∂r
r=R
−
λ
∂t ∂x
=
h(t
−
tf
)
τ = 0 t = t0
0
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高等传热学
r
21
2.3.8恒温阶段的温度场模型
ρc ∂t ∂τ
=
λ

1 r
∂ ∂r

r
∂t ∂r

+
∂2t ∂x2
x = L t = tw
x = 0 − λ ∂t = 0 ∂x
τ = 0,t = t∞ r = R,t = t0 r → ∞,t → t∞
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2.2垂直埋管传热问题的建模
O
r
z
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高等传热学
10
2.2垂直埋管传热问题的建模
解决的一个方案是：
– 从井筒的底部或顶部开始，将底层水平分割成中空 的圆盘，每个圆盘近似看成是径向的一维导热；
q
q
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43
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高等传热学
44
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高等传热学
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可视为各向同性介质的材料
• 钢材 • 有机玻璃 • 普通塑料 • 岩石
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典型的各向异性材料
• 木材 • 纸张 • 云母 • 变压器铁芯 • 复合建材
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2 热传导理论
——热传导问题的建模与解析
2.1 热传导基本理论
r 2.1.1 傅里叶定律（Fourier’s Law) q = −λ grad t
grad t
=
∂t
v i
∂x
+
∂t ∂y
uv j
+
∂t ∂z
uv k
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高等传热学
2
2.1.2 各向同性介质热传导方程
对于各向同性连续介质(Isotropic Media)
r = r0
− λ ∂t = 0 ∂r
r=R
−λ
∂t ∂x
=
h(t
−tf
)
τ = 0 t = t0
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x
r
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2.3.9必要的物性参数
参数名称 数值
表1 实验材料物性参数表
W/(m K) 导热系数
2.0~3.099
(kg/m3) 表观密度 1800~2500
J/(kg K) 比热
– 建立介质通过井筒的能量方程——垂直通过这段井 筒的介质能量损失应该等于通过径向的导热；
– 每段井筒的介质入口温度等于上一段的出口温度， 该温度也可近似看作该段井筒传热的内边界条件；
注：如果考虑到井筒内的阻力损失，则还要补充介质 的动量方程。
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2.2垂直埋管传热问题的建模
ρc ∂t ∂τ
= −∇g(qr) + Q&V
直角坐标系(Cartesian coordinates )
ρc ∂t ∂τ
=
∂ ∂x
(λ
∂t ∂x
)
+
∂ ∂y
(λ
∂t ∂y
)
+
∂ ∂z
(λ
∂t ∂z
)
+
Q&V
圆柱坐标系(Cylindrical coordinates )
ρc ∂t ∂τ
=
1 ∂ (λr ∂t ) + 1 ∂ r ∂r ∂r r ∂φ
739~921
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2.3.10加热阶段表面温度计算结果
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2.3.11恒温阶段沿高度方向的温度 变化
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2.3.12附加的因素
• 实际情况与模型的差异 • 材料物性的不确定性 • 表面对流传热损失 • 表面辐射热损失 • 其它
τ = 0,t = t∞
r = R,t = t0
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r
→ ∞,t → 高等传热学
t∞
8
2.2垂直埋管传热问题的建模
模型问题解决了吗？前面的定解条件能
符合实际情况吗？
介质在井筒中的温度是变化的!!!怎么办？ 方程和定解条件还能用吗?
ρc ∂t = λ 1 ∂ (r ∂t ) ∂τ r ∂r ∂r
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问题
隔板中水的运动方向？ 哪一块木板承载更多？
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高等传热学
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2.4 各向异性介质的热传导 （Heat Conduction in Anisotropic Media)
• 各向同性介质 • 各向异性介质
问题 在相同的热流和其它条件的情况下，哪一 块木板上下两侧的温差会更大？
− λ ∂t = 0 ∂r
r=R
−
λ
∂t ∂x
=
h(t
−tf
)
τ = 0 t = t0
0
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高等传热学
r
20
2.3.7温度场的数学模型
ρc ∂t ∂τ
=
λ

1 r
∂ ∂r

r
∂t ∂r

+
∂2t ∂x2
x=L
−
λ
∂t ∂x
=
h(t
−
tf
)
x
x = 0 − λ ∂t = 0 ∂x
圆柱坐标系(Cylindrical coordinates )
ρc ∂t ∂τ
=
1∂ r ∂r
(λr
∂t ) + 1 ∂r r
∂ ∂φ
(λ 1 r
∂t ) + ∂ (λ ∂φ ∂z
∂t ∂z
)
+
Q&V
没有内热源
Hale Waihona Puke Baidu
ρc ∂t = 1 ∂ (λr ∂t ) + 1 ∂ (λ 1 ∂t ) + ∂ (λ ∂t ) ∂τ r ∂r ∂r r ∂φ r ∂φ ∂z ∂z
28
案例：高温颗粒急冷过程的分析
• 背景
– 金属热处理 – 炉渣冷却 – 核反应堆溃堆
• 研究思路
– 数学模型 – 定解条件 – 问题的数学特征
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高温颗粒急冷过程的数学模型
ρc ∂t ∂τ
=
1 r2
∂ ∂r

λ
r
2
∂t ∂r
r = 0 ∂t = 0 ∂r
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中心温度/℃
900 800 700 600 500 400 300 200 100
0 0
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10
20
30
40
50
时间间隔/个×ms
图3.5 3m高m等颗传粒热学的急冷过程
60
70
38
中心温度/℃
800 700 600 500 400 300 200 100
0 0
2009-9-9
20

+
r
2
1 sinθ
∂ ∂θ
(λ sinθ
∂t ∂θ
)
+
r
2
1 sin2
θ
∂ ∂φ
(λ
∂t ∂φ
)
+
Q&V
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4
2.1.3 热传导方程的定解条件
• 初始条件(Initial Condition, IC) • 边界条件(Boundary Condition, BC)
（1）第一类边界条件（边界温度） （2）第二类边界条件（边界热流） （3）第三类边界条件（对流散热条件） （4）辐射边界条件
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5
2.2 垂直埋管传热问题的建模
应用于：地源热泵、地热开采、石油热采等
O
r
井筒内可以是热水、蒸汽、或原油等
z
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6
2.2 垂直埋管传热问题的建模
r=R
−λ
∂t ∂r
=
q(∆t f
)
τ = 0 t = t0
0<r<R
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30
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高等传热学
31
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高等传热学
32
温度/℃
900 800 700 600 500 400 300 200 100
0
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0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
时间/s
(λ
1 r
∂t ∂φ
)
+
∂ ∂z
(λ
∂t ∂z
)
+
Q&V
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高等传热学
3
2.1.2 各向同性介质热传导方程
球坐标系(Spherical coordinates )
ρc ∂t ∂τ
=
1 r2 sinθ

∂ ∂r
(λ
r
2
sinθ
∂t ) + ∂ ∂r ∂θ
(λ sinθ
∂t ) + ∂ ∂θ ∂φ
40
60
80
100
120
时间间隔/个×ms
图3.6 15高m等颗传粒热的学 急冷过程
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中心温度/℃
800 700 600 500 400 300 200 100
0 0
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20
40
60
80
100
120
时间间隔/个×ms
高等传热学
40
分析和解释
• 事实
– 理论和实验并不一致
• 问题
理论正确吗？ 实验准确吗？ 如何进一步证实或解释？
λzy
λzz

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高等传热学
50
矩阵中各项的意义
λxx • — x 方向的温度变化率对x 方向热流密度的影响系数； λxy • — y 方向的温度变化率对x 方向热流密度的影响系数； λxz • — z 方向的温度变化率对x 方向热流密度的影响系数； λyx • — x 方向的温度变化率对y 方向热流密度的影响系数； λyy • — y 方向的温度变化率对y方向热流密度的影响系数； λyz • — z 方向的温度变化率对y 方向热流密度的影响系数；
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加热器
H
路面
高等传热学
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2.3.5温度场的数学模型
ρc ∂t ∂τ
=
λ

1 r
∂ ∂r

r
∂t ∂r

+
∂2t ∂x2
x = L − λ ∂t = q ∂x
x
x = 0 − λ ∂t = 0 ∂x
r = r0
− λ ∂t = 0 ∂r
L
r=R
−
λ
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木材的纹理照片（横纹）
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高等传热学
48
木材的纹理照片（断面）
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高等传热学
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傅里叶定律的推广
• 对于各向异性介质, 导热系数用张量表示（Tensor)
uv
q = − {λ} gradt
{ }λ = λλxyxx
λxy λyy
λxz λyz

λzx
0
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5
10
15
20
颗粒直径/mm
不同等效直高等径传颗热粒学对应的冷却时间
25
35
平均温度/℃
400 350 300 250 200 150 100
0
5
10 15 20 25
颗粒直径/mm
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不同等效直径颗粒在表高等面传急热冷学结束后的平均温度
36
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高等传热学
∂t ∂x
=
h(t
−
tf
)
τ = 0 t = t0
0
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高等传热学
r
19
2.3.6温度场的数学模型
ρc ∂t ∂τ
=
λ

1 r
∂ ∂r

r
∂t ∂r

+
∂2t ∂x2
x=L
−
λ
∂t ∂x
=
εσ
(T
4
− T∞4 )
x
x = 0 − λ ∂t = 0 ∂x
r = r0
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2.3.2加热设计要求
• 温度自上而下逐渐降低 • 温度场基本恒定 • 加热均匀
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2.3.3加热方式选择
• 电加热器＋温度控制系统 • 远红外加热器 • 加热方式
– 侧向加热 – 水平加热
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2.3.4加热器布置
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高等传热学
(λ 1 sinθ
∂t ∂φ
)

+
Q&V
常用的形式
ρc ∂t ∂τ
=
1 r2
∂ (λr2 ∂r
∂t ) + ∂r
1 r2 sinθ
∂ ∂θ
(λ sinθ
∂t ) + ∂θ
1 r2 sin2 θ
∂ ∂φ
(λ
∂t ∂φ
)

+
Q&V
ρc ∂t ∂τ
=
1∂ r ∂r
λ
∂(rt) ∂r
轴对称
ρc ∂t = 1 ∂ (λr ∂t ) + ∂ (λ ∂t ) ∂τ r ∂r ∂r ∂z ∂z
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高等传热学
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2.2垂直埋管传热问题的建模
垂直温度梯度远小于径向
均匀介质
ρc ∂t = 1 ∂ (λr ∂t ) ∂τ r ∂r ∂r
定解条件
ρc ∂t = λ 1 ∂ (r ∂t ) ∂τ r ∂r ∂r