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(2)a和b也可能在τ的同一个 轮换之内,比方, τ=(aa1…asbb1…bi)… 则 (ab)τ=(aa1…as)(bb1…bi) … 而仍有 sgn(ab)τ=(-1)sgnτ 总之,以一个对换乘τ则将sgnτ变号,
今σ等于 (rj-1)个对换之积,故以σ
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k
乘τ将sgnτ变号
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个对换的乘积,于是,奇置换可表为奇数个对换 之积,偶置换可表为偶数个对换之积,现在我 们证明:
定理6.3.3 每个置换都能分解 为对换的乘积,但偶置换只能分 解为偶数个对换的乘积,奇置换 只能分解为奇数个对换的乘积。 证明:定理中的第一句断言是 定理6.3.2推论1的复述,第二 句断言中“能分解”之说也已说明, 现在需要证明的是“只能分解”。为证此 ,我们定义一个置换σ的符号sgnσ如下 :
设(a1a2…ar)为一轮换,我们 称r为该轮换的长度,一轮换的 长度也就是其中所含的元素个数。 特别,长度为2的轮换称为对换。 不难看出,任意轮换可以写成 对换的乘积,例如我们有下列公式:
(a1a2…ar)=(a1ar)(a1ar-1)…(a1 a3)(a1a2) (3)
于是由定理6.3.2即可推知下列推论。 推论1 对任意置换,有一法(但未必只 有一法)可将其写成一些对换的乘积。 这里,乘积中出现的诸对换已非不相杂,例 如上列式中的诸对换竟一律杂以a1。而 且,表法也不唯一。比方,
k
( 1)
( r j 1)
j 1
sgnσ= 显然,偶置换的符号为1,奇置换的符号 为-1。首先证明 sgnστ=sgnσsgnτ ( 4)
事实上,试将σ和τ分为不相杂的 轮换之积,设σ等于k个轮换之积, 这些轮换分别含r1,r2,…,rk个元
r -1)个对 素,于是σ可以写成 ( j 换之积,设这些对换中最后一个为 (a b)。以(a b)乘τ而看其变化, (1)a和b可能在τ的两个不同的轮换之内,比 方 τ=(aa1…as)(bb1…bi) … 这样,则不难看出 (ab)τ=(aa1…asbb1…bi) … 若τ为h个不相杂的轮换之积,我们知道 sgnτ=(-1)n-h 其中n是置换σ和τ的元素总数。今(ab)τ比 τ少一个轮换,所以 sgn(ab)τ=(-1)sgnτ
G σ=
α iz i
i 1
n
=α1z1 +α2z2 + … +αnzn,
0 ≤α1≤n; αn=0或1; 全部α都是非负整数。
6.3.4 置换的奇偶性 设σ表为k个不相杂的轮换的乘积, 这些轮换的长度分别为r1,r2,…,rk。 视
(rj-1)= n - k,
j 1
k
(计k时包括长度为1的轮换在内)为 奇或为偶,我们说σ是一个奇置换或偶置换。由 前面的定理6.3.2及公式(3),我们知道这样 的σ可表为 ( rj-1)
(rj-1)次,即
j 1
k
sgnστ=
( r j 1) sgnτ j 1 ( 1)
k
=sgnσsgnτ 即(4)式sgnστ=sgnσsgnτ得证。 由(4)式立可推知,σ和τ的奇偶性与 其乘积στ的奇偶性之关系如下: 偶×偶=偶, 奇×奇=偶, 奇×偶=奇, 偶×奇=奇。 因为对换是奇置换,所以奇数个对换之积 是奇置换,偶数个对换之积是偶置换, 这就证明了定理6.3.3。
3
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4
在该表示法中,我们从a向b引一箭头,就 表示在该置换下,a变到b。
总之,一个n元置换σ有一图形 表达式 Gσ =α1z1 +α2z2 + … +αrzr 其中α1+2α2+…+rαr = n称为 该置换的图型;反之,给一个 图型,即如上的图形表达式,就 相应有一个n元置换σ。因为n元 置换最多只能出现1个最长的圈zn,也最 多只能出现n个最短的圈z1,所以对于上列 的图形表达式Gσ,总可写成
(12)=(1 2)(1 3)(1 3)=(2 3)(1 3)(2 3) 。
6.3.3 置换的顺向圈表示 置换表成一组轮换之乘积后, 就可以在平面上用一组顺向圈来 表示,这样,就得到一个平面上 的有向图形,它直观地描绘出元 素之间的变换关系,例如,例6.3.4 中的置换(1 2)(3 4)有图形
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离散数学
(第wenku.baidu.com十七讲)
主讲人: 杨凤杰
学 时:64
例6.3.4 设M的元数为4, 于是M的24个置换可以写成下 面的形式: I,(1 2),(1 3),(1 4),(2 3), (2 4),(3 4); (1 2 3),(1 3 2),(1 2 4),(1 4 2), (1 3 4),(1 4 3),(2 3 4),(2 4 3); (1 2 3 4),(1 2 4 3),(1 3 2 4), (1 3 4 2),(1 4 2 3),(1 4 3 2); (1 2)(3 4),(1 3)(2 4),(1 4)(2 3)。
(2)a和b也可能在τ的同一个 轮换之内,比方, τ=(aa1…asbb1…bi)… 则 (ab)τ=(aa1…as)(bb1…bi) … 而仍有 sgn(ab)τ=(-1)sgnτ 总之,以一个对换乘τ则将sgnτ变号,
今σ等于 (rj-1)个对换之积,故以σ
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乘τ将sgnτ变号
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个对换的乘积,于是,奇置换可表为奇数个对换 之积,偶置换可表为偶数个对换之积,现在我 们证明:
定理6.3.3 每个置换都能分解 为对换的乘积,但偶置换只能分 解为偶数个对换的乘积,奇置换 只能分解为奇数个对换的乘积。 证明:定理中的第一句断言是 定理6.3.2推论1的复述,第二 句断言中“能分解”之说也已说明, 现在需要证明的是“只能分解”。为证此 ,我们定义一个置换σ的符号sgnσ如下 :
设(a1a2…ar)为一轮换,我们 称r为该轮换的长度,一轮换的 长度也就是其中所含的元素个数。 特别,长度为2的轮换称为对换。 不难看出,任意轮换可以写成 对换的乘积,例如我们有下列公式:
(a1a2…ar)=(a1ar)(a1ar-1)…(a1 a3)(a1a2) (3)
于是由定理6.3.2即可推知下列推论。 推论1 对任意置换,有一法(但未必只 有一法)可将其写成一些对换的乘积。 这里,乘积中出现的诸对换已非不相杂,例 如上列式中的诸对换竟一律杂以a1。而 且,表法也不唯一。比方,
k
( 1)
( r j 1)
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sgnσ= 显然,偶置换的符号为1,奇置换的符号 为-1。首先证明 sgnστ=sgnσsgnτ ( 4)
事实上,试将σ和τ分为不相杂的 轮换之积,设σ等于k个轮换之积, 这些轮换分别含r1,r2,…,rk个元
r -1)个对 素,于是σ可以写成 ( j 换之积,设这些对换中最后一个为 (a b)。以(a b)乘τ而看其变化, (1)a和b可能在τ的两个不同的轮换之内,比 方 τ=(aa1…as)(bb1…bi) … 这样,则不难看出 (ab)τ=(aa1…asbb1…bi) … 若τ为h个不相杂的轮换之积,我们知道 sgnτ=(-1)n-h 其中n是置换σ和τ的元素总数。今(ab)τ比 τ少一个轮换,所以 sgn(ab)τ=(-1)sgnτ
G σ=
α iz i
i 1
n
=α1z1 +α2z2 + … +αnzn,
0 ≤α1≤n; αn=0或1; 全部α都是非负整数。
6.3.4 置换的奇偶性 设σ表为k个不相杂的轮换的乘积, 这些轮换的长度分别为r1,r2,…,rk。 视
(rj-1)= n - k,
j 1
k
(计k时包括长度为1的轮换在内)为 奇或为偶,我们说σ是一个奇置换或偶置换。由 前面的定理6.3.2及公式(3),我们知道这样 的σ可表为 ( rj-1)
(rj-1)次,即
j 1
k
sgnστ=
( r j 1) sgnτ j 1 ( 1)
k
=sgnσsgnτ 即(4)式sgnστ=sgnσsgnτ得证。 由(4)式立可推知,σ和τ的奇偶性与 其乘积στ的奇偶性之关系如下: 偶×偶=偶, 奇×奇=偶, 奇×偶=奇, 偶×奇=奇。 因为对换是奇置换,所以奇数个对换之积 是奇置换,偶数个对换之积是偶置换, 这就证明了定理6.3.3。
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在该表示法中,我们从a向b引一箭头,就 表示在该置换下,a变到b。
总之,一个n元置换σ有一图形 表达式 Gσ =α1z1 +α2z2 + … +αrzr 其中α1+2α2+…+rαr = n称为 该置换的图型;反之,给一个 图型,即如上的图形表达式,就 相应有一个n元置换σ。因为n元 置换最多只能出现1个最长的圈zn,也最 多只能出现n个最短的圈z1,所以对于上列 的图形表达式Gσ,总可写成
(12)=(1 2)(1 3)(1 3)=(2 3)(1 3)(2 3) 。
6.3.3 置换的顺向圈表示 置换表成一组轮换之乘积后, 就可以在平面上用一组顺向圈来 表示,这样,就得到一个平面上 的有向图形,它直观地描绘出元 素之间的变换关系,例如,例6.3.4 中的置换(1 2)(3 4)有图形
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吉林大学远程教育课件
离散数学
(第wenku.baidu.com十七讲)
主讲人: 杨凤杰
学 时:64
例6.3.4 设M的元数为4, 于是M的24个置换可以写成下 面的形式: I,(1 2),(1 3),(1 4),(2 3), (2 4),(3 4); (1 2 3),(1 3 2),(1 2 4),(1 4 2), (1 3 4),(1 4 3),(2 3 4),(2 4 3); (1 2 3 4),(1 2 4 3),(1 3 2 4), (1 3 4 2),(1 4 2 3),(1 4 3 2); (1 2)(3 4),(1 3)(2 4),(1 4)(2 3)。