理论力学静力学-重心
工程力学(静力学与材料力学)(第2版)教学课件第6章 静力学专题
yC
A
ydA A
2 πR2
0R2
y
R2 y2 dy
yC
4R 3π
工程力学（静力学与材料力学）
7
例题 试计算图示环形图形形心C的纵坐标yC。
解：
环形图形大半圆图形小半圆图形
yC
Ao
πRo2 2
,
πRo2 2
4Ro 3π
yC Ao
yCo
4 Ro 3π
πRi2 4Ri
2 3π
yCo Ai yCi
第六章 静力学专题
§1 重 心 §2 形Байду номын сангаас心 §3 桁 架
工程力学（静力学与材料力学）
1
§1 重 心
重心概念
物体各部分所受地心引力，组成一空间平行力系，其 合力即重力，其作用线即重力作用线。
相对地球处于不同方位的同一物体，相应各重力作 用线的汇交点，称为重心。
对于物体的平衡与运动，重心的位置具有重要作用。
以桁架整体为研究对象,确定支座反力;截取多个节点为
研究对象,用平面力系平衡方程求解;设正法画杆件内力。
工程力学（静力学与材料力学）
12
本章结束
工程力学（静力学与材料力学）
13
解：
rz
z h
r
dV
πrz2dz
π
r2 h2
z
2dz
zC
V V
zdV dV
h
0
z3dz
h
0
z
2dz
h4 4
3 h3
3h 4
工程力学（静力学与材料力学）
4
§2 形 心
平面图形的形心
对于几何形体，由匀质物体重心公式 计算所得几何对应点，称为形心。
工程力学-静力学专题-桁架·重心
三、组合图形的静矩和形心
静矩
S x S xi Ai yi S y S yi Ai xi
形心
x S y Ai xi
A
Ai
y Sx Ai yi
A
Ai
c x
四、半圆形截面的形心:
y
R
o
x
x0
y Sx 4R A 3
五、极惯性矩·惯性矩·惯性积
y
I x
y 2dA
A
材料确定时，提高梁承载能力的主要途径：
☻提高截面的弯曲截面系数；
☻降低梁的最大弯矩。
1、选择合理截面
2、合理布置载荷及支座
十四、组合变形的概念
构件在荷载的作用下如发生两种或两种以上基 本形式的变形，且几种变形所对应的应力（和变形） 属于同一数量级，则构件的变形称为组合变形。
❖组合变形的分析方法
线弹性小变形范围内，采用叠加原理
1、横向力与轴向力共同作用
F2
z
x F1
强度条件
l
y
t max
FN A
M z max Wz
t
c max
FN A
- M z max Wz
c
2、偏心拉伸（压缩） 受力特点：外力作用线平行（但不重合）于杆轴。
F Mez
z
F e (yF,zF)
y Mey
强度条件
t max
FN A
My Wy
这些物体的重心是已知的，那么整个物体的重心可
由下式求出。
xC
Pi xi Pi
,
yC
Pi yi Pi
,
zC
Pi zi Pi
2、负面积法
若在物体或薄板内切去一部分（例如有空穴或孔的物
第06章 静力学专题-桁架、重心
yili li
yi L
li
zC
zili li
zi li
L
极限为：
xdl
ydl
xC
C
L
,
yC
C
L
,
zdl
zC
C
L
z
O x
Pi zi
yi yC
C
P zC
xi
xC y
本章小结
1. 了解桁架的构成、结构特点以及桁架杆件内力的求解 方法;
§6.1 桁架 基本三角形 三个铰链为节点连接的三根杆构成的三角形 平面简单桁架
平面简单桁架节点和杆件数的关系 桁架节点数为n，杆件数为m，则 m-3=2(n-3) 即 m=2n-3 或 m+3=2n
§6.1 桁架 无冗杆桁架 从桁架中抽出任何一根杆，原有的几何形状不能保持， 没有多余杆件的桁架 有冗杆桁架 从桁架中抽出一根杆或几根杆件，原有的几何形状能 保持，桁架有多余杆件
S
xdS
ydS
xC
S
S
,
yC
S
S
,
zdS
zC
S
S
z ds
Pi
C
zi
PzC
O
yi
xi
xC y
x
yC
§6.3 重心
如果物体是均质等截面的细长线段，其截面尺寸与 其长度 L 相比是很小的，则重心公式为
xC
xili li
xi li
L
yC
(3)、节点连接三根杆，其中两根共线，并且在此节 点上无外载荷，则第三根杆件为零杆
理论力学-空间力系与重心
拇指指向与z轴一致为正，反之为负。
1、定义
参见动画：力对轴的矩(2)
动画
力对轴的矩
力对轴的矩等于零的情形 ： 力和轴平行； 力的作用线与轴相交。
当力与轴在同一平面时，力对该轴的矩等于零。
参见动画：力对轴的矩等于零
力对轴的矩之解析表达式 如力F在三个坐标轴上的投影分别为Fx，Fy，Fz，力作用点A的坐标为x，y，z，则 参见动画：力对轴的矩解析表达式
（2）若 ，则力系可合成为一个合力，主矢 等于原力系合力矢 ，合力 通过简化中心O点。（此时与简化中心有关，换个简化中心，主矩不为零）
（3）若 此时分三种情况讨论。
②
即：①
既不平行也不垂直时
③
可进一步简化为一合力。
O
R
M
d
F
=
¢
r
合力作用线距简化中心为d
①若
②若
参见动画：空间力在正交轴上的投影
2.二次投影法
先将力投影到对应的坐标面上，然后再投影到相应的坐标轴上，这种方法称为二次投影法（间接投影法）。 Fx=Fsin cos Fy = Fsin sin Fz =Fcos Fxy=Fsin 参见动画：二次投影法
例题
三棱柱底面为直角等腰三角形，在其侧平面ABED上作用有一力F，力F与OAB平面夹角为30º，求力F在三个坐标轴上的投影。
空间力系简化的实际意义
—俯仰力矩
飞机仰头
—偏航力矩
飞机转弯
—滚转力矩
飞机绕x轴滚转
—侧向力
飞机侧移
—有效升力
飞机上升
—有效推进力
飞机向前飞行
参见动画：空间力系简化的实际意义
2、空间任意力系的简化结果分析
理论力学（静力学）总结
理论力学（静力学）总结静力学——主要研究受力物体平衡时作用力所应满足的条件;同时也研究物体受力的分析方法，以及力系简化的方法等。
运动学——只从几何的角度来研究物体的运动(如轨迹、速度和加速度等)，而不研究引起物体运动的物理原因。
动力学——研究受力物体的运动与作用力之间的关系。
所谓刚体是指这样的物体，在力的作用下，其内部任意两点之间的距离始终保持不变。
公理1 力的平行四边形规则公理2 二力平衡条件公理3 加减平衡力系原理推理1 力的可传性推理2 三力平衡汇交定理公理4 作用和反作用定律公理5 刚化原理约束反力的方向必与该约束所能够阻碍的位移方向相反1．具有光滑接触表面的约束F N作用在接触点处，方向沿接触表面的公法线，并指向受力物体2．由柔软的绳索、链条或胶带等构成的约束拉力F T 方向沿着绳索背离物体3．光滑铰链约束(1)向心轴承(2) 圆柱铰链和固定铰链支座4．其它约束(1)滚动支座(2)球铰链一个空间力(3)止推轴承物体的受力分析受了几个力，每个力的作用位置和力的作用方向平面汇交力系几何法解析法平面汇交力系平衡的必要和充分条件是:各力在两个坐标轴上投影的代数和分别等于零力对刚体的转动效应可用力对点的矩(简称力矩)来度量力F 对于点O的矩以记号Mo(F )表示Mo(F )=±F h 力使物体绕矩心逆时针转向转动时为正，反之为负。
力对点之矩是一个代数量r表示由点O到A的矢径矢积的模r F 就等于力F对点0的矩的大小，其指向与力矩的转向符合右手法则。
合力矩定理这种由两个大小相等、方向相反且不共线的平行力组成的力系，称为力偶力偶只对物体的转动效应，可用力偶矩来度量力偶矩 M(F，F') 力偶的作用效应决定于力的大小和力偶臂的长短，与矩心的位置无关M=±F d 代数量一般以逆时针转向为正，反之则为负。
同平面内力偶的等效定理推论(1)任一力偶可以在它的作用面内任意移转，而不改变它对刚体的作用。
理论力学第3章 力系的平衡
基础部分——静力学第3 章力系的平衡主要内容：§3-7 重心即：力系平衡的充分必要条件是，力系的主矢和对任一点3-2-1 平衡方程的一般形式∑=iF F R ∑=)(i O O F M M 已知∑=iF F R ∑=)(i O O F M M 投影式：平衡方程i即：力系中所有力在各坐标轴上投影的代数和分别等于零；所有力对各坐标轴之矩的代数和分别等于零。
说明：¾一般¾6个3个投影式，3个力矩式；¾一般形式基本形式3-2-2 平面一般力系的平衡方程xy zOF1F2Fn平面内，¾一般形式¾3个2个投影式，1个力矩式；¾ABAzzCC附加条件：不垂直附加条件：不共线Bx二矩式的证明必要性充分性合力平衡AA 点。
B 点。
过ABBx故必有合力为零，力系平衡证毕平面问题3个3个 解题思路BAMFo45l l[例3-1] 悬臂梁，2解：M A 校核：0)(=∑F MB满足！解题思路？AyF AxF[例3-2] 伸臂梁F AxF AyF BF q 解：0=∑x F 0)(=∑F AM3(F −+0=∑yF3(F −+(F −+0)(=∑F AM=∑yF0=∑x F F AxF AyF BF q 思考：如何用其他形式的平衡方程来求解？0=∑x F 3(F −+0)(=∑F AMF AxF F BF q 0)(=∑F BM(F −+二矩式思考练习][练习FFlll F ACB DlllACB DM=F l[思考][思考]lll F ACB DlllACB DF见书P54例3-1—约束lllACB DF—约束CBADEFM—约束—约束—整体平衡局部平衡CB ADEFM研究对象的选取原则¾仅取整体或某个局部，无法求解；¾一般先分析整体，后考虑局部；¾尽量做到一个方程解一个未知力。
qCBAm2m2m2m2MBCM[例3-3] 多跨梁，求：如何选取研究对象？F CqF CFAxF AyM ABAqF'BxF'ByM A F Ax F AyF Bx F By解：先将分布力用合力来代替。
静力学第06章桁架、摩擦、重心
结论与讨论
桁架的坚固性
在平面桁架中，不难建立关于节点数 和杆件数与保持坚固性之间的关系：
m2j-3
m － 杆件数
j － 节点数
结论与讨论
关于桁架的几点讨论
桁架的坚固性
j=3, m=23-3=3
j=8, m=28-3=13
m2j-3
结论与讨论
关于桁架的几点讨论
桁架的坚固性
m = 2 j - 3 － 无冗余杆件 m < 2 j - 3 － 几何可变
二力杆—组成桁架的基本 构件。
力
学 中
基本假定：
的 1. 所有杆件只在端部连接；
桁 2. 所有连接处均为光滑铰链；
架 3. 只在连接处加载；
模 4. 杆的重量忽略不计。
型
桁架分类
平面桁架
平面结构，
载荷作用在结构 平面内；
对称结构， 载荷作用在对称 面内。
桁架分类
空间桁架
结构是空间的， 载荷是任意的；
G G1tgf
f
tg
G
tg(
m
)
平衡范围应是
Qmin QQmax
49
[例2] 梯子长AB=l，重为P，若梯子与墙和地面的静摩
擦系数f =0.5, 求 多大时，梯子能处于平衡？
解：考虑到梯子在临界平衡状 态有下滑趋势，做 受力图。
50
由 X 0, NB FA0(1)
二、动滑动摩擦力：（与静滑动摩擦力不同的是产生了滑动）
大小： F' f 'N
（无平衡范围）
动摩擦力特征：方向：与物体运动方向相反
定律： F' f 'N （f '只与材料和表面情况有 关，与接触面积大小无关。）
理论力学复习总结(重点知识点)
第一篇静力学第1 章静力学公理与物体的受力分析1.1 静力学公理公理1 二力平衡公理：作用于刚体上的两个力，使刚体保持平衡的必要和充分条件是：这两个力大小相等、方向相反且作用于同一直线上。
F=-F’工程上常遇到只受两个力作用而平衡的构件，称为二力构件或二力杆。
公理2 加减平衡力系公理：在作用于刚体的任意力系上添加或取去任意平衡力系，不改变原力系对刚体的效应。
推论力的可传递性原理：作用于刚体上某点的力，可沿其作用线移至刚体内任意一点，而不改变该力对刚体的作用。
公理3 力的平行四边形法则：作用于物体上某点的两个力的合力，也作用于同一点上，其大小和方向可由这两个力所组成的平行四边形的对角线来表示。
推论三力平衡汇交定理：作用于刚体上三个相互平衡的力，若其中两个力的作用线汇交于一点，则此三个力必在同一平面内，且第三个力的作用线通过汇交点。
公理4 作用与反作用定律：两物体间相互作用的力总是同时存在，且其大小相等、方向相反，沿着同一直线，分别作用在两个物体上。
公理5 钢化原理：变形体在某一力系作用下平衡，若将它钢化成刚体，其平衡状态保持不变。
对处于平衡状态的变形体，总可以把它视为刚体来研究。
1.2 约束及其约束力１．柔性体约束２．光滑接触面约束３．光滑铰链约束第2章平面汇交力系与平面力偶系1.平面汇交力系合成的结果是一个合力,合力的作用线通过各力作用线的汇交点,其大小和方向可由失多边形的封闭边来表示,即等于个力失的矢量和,即F R=F1+F2+…..+Fn=∑F2.矢量投影定理：合矢量在某轴上的投影，等于其分矢量在同一轴上的投影的代数和。
3.力对刚体的作用效应分为移动和转动。
力对刚体的移动效应用力失来度量；力对刚体的转动效应用力矩来度量，即力矩是度量力使刚体绕某点或某轴转动的强弱程度的物理量。
（Mo（F）=±Fh）4.把作用在同一物体上大小相等、方向相反、作用线不重合的两个平行力所组成的力系称为力偶，记为（F,F’）。
静力学_重心与质心
L
[答案] 21
設原重心 O 之坐標為 0，斜線部分重心之坐標為 x2，
剩下部分重心之坐標為 x1 斜線部分重心 x2 與原重心 O 之
L2
LL
距＝ 2 － 3 × 4 ＝ 3
7
1
L
8 W（－x1）＋ 8 W（ 3 ）
L
W
＝0 x1＝ 21 。
範例 7 木塊堆疊問題
密度相同之木塊 A、B、C，長度分別為 10 cm
範例 3 平衡的種類
有關平衡的穩定度，下列敘述哪些正確？ (A)擾動後重心升高，屬於穩定平衡 (B)擾動後重心下降，屬不穩定平衡 (C)擾動後重心高度不變，屬於穩定平衡 (D)擾動後，若重心下降，則重力的力矩會使其回到原位 (E)擾動後，若重心上升，則重力的力矩使其偏離更遠
[答案] ＡＢ (1)擾動後，重心升高，重心的力矩使其回到原位，屬於穩定平衡。
(2)擾動後，重心下降，重力的力矩使其偏離更遠，屬於不穩定平衡。 (3)擾動後，重心不升不降者，屬於隨遇平衡。
右圖所示之軌道中，有三個 物體處於靜止平衡，試問何者為 不穩定平衡？（請以 1，2，3 回答）
█答： 3 。
3 质心
1. 定義： 系統中各質點質量的集中點，該點之運動可代表系統整體之運動，此代表點稱為質量 中心（center of mass），簡稱「質心」（CM）。
、8 cm、6 cm，若 x1＝2 cm 且截面積相同， 靜置如右圖所示，則 x2 之最大值為多少 cm？
19 [答案] 7
8 m（2＋x2＋4）＋6 m〔2＋x2＋4＋3〕 8 m＋6 m
19
x2 7
10
範例 4 重心興質心之概念
下列關於「重心」與「質心」的敘述，何者正確？ (A)重心是為物體重量集中的位置，故該位置必具有質量 (B)一個系統的質心與重心必在同一點上 (C)質心必在物體上 (D)兩質點的質心必在兩者之連線上，到兩者之距離會與質量成反比 (E)質心之運動可代表整個系統的運動 [答案] ＤＥ
工程力学课件第6章：静力学专题—桁架、摩擦、重心
yC
Pi yi P
ydV
yC V P
zC
Pi zi P
zdV
zC V P
1.均质物体
xdV
xC
V
V
ydV
yC
V
V
zdV
zC
V
V
2.均质等厚物体
xdS
ydS
xC
S
S
yC
S
S
zdS
zC
S
S
3.均质等截面细长杆
xdl
xC
l
l
ydl
yC
l
l
zdl
zC
内力等值、同性。
S1 S2
等力杆
S3 S4
且S1 S2
例： 已知 P d, 求：a.b.c.d 四杆的内力？ 解：由零杆判式
Sc Sd Sa 0
研究A点：
由Fy 0
Sb cos45o P0
Sb 2P
思考： 指出桁架中零杆
12 13
11 14
8F
4 97 5
10 6
31 2
1 2
3 M5 6
0.5 0.38 0 (0.35 0.33) 0 0 0.5 0.38 (0.35 0.33)
负面积法
yC
S1 y1 S1
S2 y2 S2
0.5 0.38 0.19 (0.35 0.33) 0.215 0.1500m 0.5 0.38 (0.35 0.33)
例： 求图示截面的形心。（单位：mm）
l
l
二、简单几何形体的重心
查阅有关工程手册得到
三、组合形体的重心
将组合形体分解为若干简单几何形体，应用重心坐标 公式求重心坐标。
理论力学 第2版 06静力学专题_3重心
的重心位置。设三角板底边 ABD
长
BD
b
h
解: 如图，将三角板分割成一系列平行于底边
的细长条，由于每一细长条的重心均在其 中点，因此整个三角板的重心 C 必位于中
线 AE 上。 显然，只要再求出
yC ，则三角板
ABD 的重心位置即定。
建立坐标系，取任一平行于底边 BD的细长条为微元，其面积
dA b dy
[例5] 试求图示图形的形心，已知大圆的半径为 R ，小圆的半径 为 r ，两圆的中心距为 a 。
解： 取图示坐标轴， 因图形对称于 x 轴，故有
yC 0
图形可视为从大圆中切去了一个小圆 其面积和形心坐标分别为
A1 πR2
A2 πr 2
x1 0
x2 a
R
y
I
O
a
r
II
x
根据平面图形形心坐标计算公式，得 该图形的形心坐标为
式中，( xi , yi , zi ) 为第 i 小 段曲线的形心坐标；li 为
式中，( x , y , z ) 为曲线 微元 dl 的形心坐标
第 i 小段曲线的长度
[例1] 确定由图示二次抛物线构成的曲边三角形的形心。
y
xC yC
3 a 4 3 b 10
a
b
O
x
[例2] 试求图示一段匀质圆弧细杆的重心。设圆弧的半径为r ，圆弧 所对的圆心角为 2 。 解： 选取圆弧的对称轴为 x 轴并以圆心为坐标原点， 由对称性得
无限分割形式：
xC xdm
xC
m yi mi yC m zi mi zC m
x m
06静力学专题——桁架、摩擦、重心(打印版),6Pages
从1，2，3杆处截取左边部分
F
iy
0
0
F2 F1 F3
Fiy 0 FAD Fix 0 FAC
动笔又动脑
M
C
Fix 0
若再求４,５杆受力
已知如图所示桁架的载荷F和尺寸d。试用截面法求杆FK和 JO的受力。
d
FHI FFK FJO
J
取节点Ｄ
F1 F3 F2 cos 600 0
F ix 0
F5 F 0
' 2
FAy FBy P 1P 2 0 FBy 8kN
F ix 0
解得
F5 8.66kN (拉)
解得
解得
F3 9.81kN (拉)
例6-3 已知： 荷载与尺寸如图； 求： 每根杆所受力。 解： 取整体，画受力图。
China University of Mining & Technology
多媒体课堂教学课件
第6章 静力学专题—桁架·摩擦·重心
China University of Mining & Technology China University of Mining & Technology
第6章 静力学专题—桁架·摩擦·重心
《摩擦学》
二、摩擦角和自锁现象
1 摩擦角
2 自锁现象
3 测定摩擦系数的一种简易方法，斜面与螺纹自锁条件
F RA
全约束力
物体处于临界平衡状态时， 全约束力和法线间的夹角。 摩擦角
tan f
Fmax fF s N fs FN FN
tan tan f f s
重心的知识点总结
重心的知识点总结重心是物体受重力作用时所处的平衡位置，也是物体的质心。
在物理学和工程学中，重心是一个重要的概念，它在力学、静力学、动力学以及结构设计和分析中起着关键作用。
了解重心的概念和相关知识对于理解物体的平衡、稳定性和运动特性非常重要。
本文将围绕重心的概念、计算方法、应用和相关理论进行综合总结。
一、重心的概念重心是一个物体在受重力作用时的平衡位置，也称为质心。
它是物体整体质量的平均位置，也可以理解为物体在受重力作用时的“集中位置”。
对于一个均匀材料构成的物体，其重心通常位于物体的几何中心或对称轴上，但对于复杂形状、不均匀密度分布的物体，其重心位置需要通过计算得出。
重心的概念对于力学、静力学、动力学的理论分析和工程设计具有重要的意义。
二、重心的计算方法重心的计算方法取决于物体的形状和密度分布。
对于规则形状的物体，可以通过几何方法直接计算出重心位置；对于不规则形状和复杂密度分布的物体，通常需要通过积分或数值计算的方法求解重心位置。
以下是常见物体重心计算方法的概述：1. 离散质点组的重心计算：对于由离散的质点组成的物体，其重心位置可以通过每个质点的质量及坐标的加权平均来计算。
2. 连续体的重心计算：对于连续分布的物体，其重心位置可以通过积分计算来求解。
通常需要将物体划分成微元，然后对每个微元的质量及坐标进行积分求和，最终得到整个物体的重心位置。
3. 特殊形状重心的计算：对于特殊形状的物体，比如圆环、弧形等，可以利用几何性质和积分计算来求解重心位置。
以上是重心计算的基本方法，根据具体情况可以结合不同的数学工具和技术来求解重心位置。
三、重心的应用重心的概念在工程领域有着广泛的应用，它对于物体的平衡、稳定性和运动特性具有重要影响。
以下是重心在工程应用中的几个典型案例：1. 结构设计：在建筑、机械、航天等领域的结构设计中，重心的位置是一个重要考虑因素。
合理设计和布置物体的结构和材料，可以使重心位置处于合适的位置，从而确保物体的平衡和稳定性。
理论力学静力学-重心
综合上述得重心坐标公式为：
xC
Pi xi
P
, yC
Pi yi
P
, zC
Pi z i
P
若以△Pi= △mig , P=Mg 代入上式可得质心公式
xC
mi xi
M
, yC
mi yi
M
, zC
mi zi
M
5
同理：可写出均质体，均质板，均质杆的形心（几何中心） 坐标分别为：
R
2
二、重心坐标公式：
如果把物体的重力都看成为 平行力系，则求重心问题就
是求平行力系的中心问题。
由合力矩定理：
P xC P i xi
xC
Px i
P
, ,
物体分割的越多，每一小部分体积越小，
yC zC
Py i
P
求得的重心位置就越准确。在极限情况下，
(n- )，常用积分法求物体的重心位置。
Pz i
P
3
设i表示第i个小部分每单位体积的重量，⊿Vi第i个小体积，则 代入上式并取极限，可得：
Pi i V i
xC
xdV V
P
, yC
ydV V
P
, zC
zdV V
P
式中
P dV
V
，上式为重心C 坐标的精确公式。
对于均质物体， =恒量，上式成为：
2负面积法
3 实验法：
<1>悬挂法 <2>称重法
由m B (F )0
- P称 l1 P x C 0
xC
P称 l 1 P
简单图形的面积及重心坐标公式可由表中查出。
重心公式总结
重心公式总结什么是重心公式重心公式是力学中的一个重要公式，用于计算物体的重心位置。
重心是指物体的质心或质点所处的位置，是物体在受到重力作用时的平衡点。
在力学中，物体的重心是物体的质点集中在一个点上时的位置。
对于均匀的物体来说，重心位于物体的几何中心，而对于不均匀的物体来说，重心则位于其质量分布的中心。
重心公式的推导重心公式的推导基于物体的质量和位置的关系。
假设物体由n个质点组成，其中第i个质点的质量为mi，位置为(xi, yi, zi)。
物体的总质量为M，重心位置为(x, y, z)。
根据定义，重心位置的x坐标为：x = (m1 * x1 + m2 * x2 + … + mn * xn) / (m1 + m2 + … + mn)类似地，重心位置的y坐标为：y = (m1 * y1 + m2 * y2 + … + mn * yn) / (m1 + m2 + … + mn)重心位置的z坐标为：z = (m1 * z1 + m2 * z2 + … + mn * zn) / (m1 + m2 + … + mn)重心公式的应用重心公式在物体静力学中有着广泛的应用。
通过计算物体的重心位置，我们可以了解物体在受力下的平衡情况，以及物体在运动过程中的稳定性。
在设计建筑结构、机械装置和飞行器等领域中，重心公式被广泛应用于计算物体的重心位置，以确保系统的稳定性和安全性。
而在运动学中，重心公式还可以用于计算物体的运动轨迹、角动量和动能等相关参数。
重心公式的特点重心公式具有以下几个重要特点：1.对于均匀物体来说，重心位于物体的几何中心，即物体对称轴上的中点。
这是因为均匀物体的质量分布在空间上保持对称性。
2.对于不均匀物体来说，重心位于其质量分布的中心。
这意味着物体重心的位置可能不在物体的几何中心。
3.重心公式适用于任意维度的物体。
无论是一维、二维还是三维物体，重心公式都可以通过类似的方式进行推导和计算。
重心公式的注意事项在应用重心公式时，需要注意以下几个事项：1.重心公式是基于物体的质量和位置的关系推导的，因此需要已知物体的质量分布情况。
理论力学(3)-----重心
A
C1
以及负面积的矩形B.
C2(12.5,10)
o
20m
xc
201510 151012.5 2015 1510
7.5
yc
2015 7.5 151010 2015 1510
5
5m
B
x
12
例3-13
已知：等厚均质偏心块的 R 100mm, r 17mm,b 13mm
xC
Vi xi V
yC
Vi yi V
zC
Vi zi V
xC
Ai xi A
yC
Ai yi A
zC
Ai zi A
--称为重心或形心公式
均质物体的重心就是几何中心，即形心。
例3-12
已知：均质等厚Z字型薄板尺寸如图所示.
求：其重心坐标
解: 厚度方向重心坐标已确定，只求重心的x,y坐标即可.
2mm
yC
Ai y i A
A1 y 1 A2 y 2 A3 y 3 A1 A2 A3
27mm
计算物体形心的方法:分割法和负面积法 例题7-6.求图示平面图形的形心.
5m
15m
20m
10
5m
解:(1)分割法
取坐标如图且把平
y 5m
面图形分为 A和 B两
C1
15m
5m
部分.
l
l
zC
r
F2
P
F1
1 H
l2 H2
§3–6 重 心
一.平行力系中心
平行力系合力作用点的位置仅与各平行力系的大小和作
理论力学知识点总结—静力学篇
静力学知识点第一章静力学公理和物体的受力分析本章总结1.静力学是研究物体在力系作用下的平衡条件的科学。
2.静力学公理公理1 力的平行四边形法则。
公理2 二力平衡条件。
公理3 加减平衡力系原理公理4 作用和反作用定律。
公理5 刚化原理。
3.约束和约束力限制非自由体某些位移的周围物体，称为约束。
约束对非自由体施加的力称为约束力。
约束力的方向与该约束所能阻碍的位移方向相反。
4.物体的受力分析和受力图画物体受力图时，首先要明确研究对象（即取分离体）。
物体受的力分为主动力和约束力。
要注意分清内力与外力，在受力图上一般只画研究对象所受的外力；还要注意作用力和反作用力之间的相互关系。
常见问题问题一画受力图时，严格按约束性质画，不要凭主观想象与臆测。
第二章平面力系本章总结1. 平面汇交力系的合力（ 1 ）几何法：根据力多边形法则，合力矢为合力作用线通过汇交点。
（ 2 ）解析法：合力的解析表达式为2. 平面汇交力系的平衡条件（ 1 ）平衡的必要和充分条件：（ 2 ）平衡的几何条件：平面汇交力系的力多边形自行封闭。
（ 3 ）平衡的解析条件（平衡方程）：3. 平面内的力对点 O 之矩是代数量，记为一般以逆时针转向为正，反之为负。
或4. 力偶和力偶矩力偶是由等值、反向、不共线的两个平行力组成的特殊力系。
力偶没有合力，也不能用一个力来平衡。
平面力偶对物体的作用效应决定于力偶矩 M 的大小和转向，即式中正负号表示力偶的转向，一般以逆时针转向为正，反之为负。
力偶对平面内任一点的矩等于力偶矩，力偶矩与矩心的位置无关。
5. 同平面内力偶的等效定理：在同平面内的两个力偶，如果力偶相等，则彼此等效。
力偶矩是平面力偶作用的唯一度量。
6. 平面力偶系的合成与平衡合力偶矩等于各分力偶矩的代数和，即平面力偶系的平衡条件为7、平面任意力系平面任意力系是力的作用线可杂乱无章分布但在同一平面内的力系。
当物体（含物体系）有一几何对称平面，且力的分别关于此平面对称时，可简化为平面力系计算。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2
二、重心坐标公式：
如果把物体的重力都看成为 平行力系，则求重心问题就
是求平行力系的中心问题。
由合力矩定理：
P xC P i xi
xC
Px i
P
, ,
物体分割的越多，每一小部分体积越小，
yC zC
Py i
P
求得的重心位置就越准确。在极限情况下，
(n- )，常用积分法求物体的重心位置。
平行力系的中心
物体的重心
一、空间平行力系的中心、物体的重心 空间平行力系，当它有合 力时，合力的作用点C 就是此 空间平行力系的中心。而物体 重心问题可以看成是空间平行 力系中心的一个特例。
1、平行力系的中心
由合力矩定理：
m O ( R ) m O ( Fi )
rC R r1 F1 r2 F 2 rn F n
xC
V x dV
V
,yC
V y dV
V
,zC
V z dV
V
同理对于薄平面和细长杆均可写出源自应的公式。4根据平行力系中心位置与各平
行力系的方向无关的性质，将力 线转成与y轴平行，再应用合力矩 定理对x 轴取矩得：
Pz C Pi z i , z C
Pi z i
2负面积法
3 实验法：
<1>悬挂法 <2>称重法
由m B (F )0
- P称 l1 P x C 0
xC
P称 l 1 P
简单图形的面积及重心坐标公式可由表中查出。
15
例：图示机床重50kN，当水平放置时（）称上读 数为35kN；当时称上读数为30kN，试确定机床 重心的位置。
1
令 R R P0 , F1 F1 P0
R rC F1 r1 F 2 r2 F n rn
rC
F1 r1 F 2 r2 F n rn R
F i ri Fi
投影式:
xC
Fi xi
R
, yC
Fi yi
R
, zC
Fi zi
T
67 . 66 - 46 . 98 x c 17 . 1 y c 0
x c 1 . 68 m, y c 0 . 659 m
• 解得：
三、重心的求法： 已知：
S 1 80cm
2
①组合法
1 , S2 π R 2
2
, y 1 4 cm , y 2 ( 8
4R )cm 2π
求：该组合体的重心？ 解：
由 yC
A y
i
i
A S 1 y1 S 2 y 2 S1 S 2 6 . 4 cm
11
立体 : x C
Vi xi
V
,yC
Vi yi
V
,zC
Vi zi
V
平板 : x C
Ai x i
A
,yC
Ai y i
A
,zC
Ai z i
A
细杆 : x C
li x i
l
,yC
li y i
l
,zC
li z i
•
解：以机床为研究对象。设机床的形心
C ( xc , yc )
• 坐标为
，列平衡方程
mB 0
FT 2 . 4 cos - G cos x c G sin y c 0
• 将 0和 20及 F 其的值代入上式， • 得关于 x c , y c 的代数方程 84 - 50 x c 0 •
Pz i
P
3
设i表示第i个小部分每单位体积的重量，⊿Vi第i个小体积，则 代入上式并取极限，可得：
Pi i V i
xC
xdV V
P
, yC
ydV V
P
, zC
zdV V
P
式中
P dV
V
，上式为重心C 坐标的精确公式。
对于均质物体， =恒量，上式成为：
l
6
下面用积分法求物体的重心实例： [例] 求半径为R，顶角为2 的均质圆弧的重心。
解：由于对称关系，该圆弧重心必在Ox轴，即yC=0。取微段
dL R d
xC L
2 - R cos d
x Rcos
L x dL
O
2 R
R sin
xC
P
综合上述得重心坐标公式为：
xC
Pi xi
P
, yC
Pi yi
P
, zC
Pi z i
P
若以△Pi= △mig , P=Mg 代入上式可得质心公式
xC
mi xi
M
, yC
mi yi
M
, zC
mi zi
M
5
同理：可写出均质体，均质板，均质杆的形心（几何中心） 坐标分别为：