第九章 回归的旋转设计

§1 旋转设计的基本原理
1.3 二次旋转组合设计的通用性

二次回归旋转组合设计，具有同一球面上各试验点的预测值 y 的方 差相等的优点，但它还存在不同半径球面上各试验点的预测值 y 的方差 不等的缺点。为了解决这一问题，于是提出了旋转设计的通用性问题。 所谓“通用性”，就是试验除了仍保持其旋转性外，还具有各试验点与 中心的距离 ρ 在因子空间编码值区间 0＜ρ ＜1 的范围内，其预测值 y 的 方差基本相等的性质，即同时具有旋转性与通用性。这种设计称为通用 旋转组合设计。如何才能满足其通用性呢？ 首先来看预测值 y 的方差，已知在 m 个因素情况下，其预测值 y 的方差
§1 旋转设计的基本原理
当 λ4 确定后，由关系式（见13－33）可以计算出不同 m 的试验处理数 N。
N
m 2 m2
2
2
c
4
m m 2
c
2
当计算结果不是整数时，N 可取其最靠近的整数。然后再由 m0＝N - mc - mγ 计算出不同 m 值的 m0 ，上述计算结果列于表13－25。
因此，采用组合设计选取的试验点，完全能够满足非退化条件式(13－ 30) ，即信息矩阵 A 不会退化。此外，采用组合设计，其信息矩阵 A 的 元素中 2 xi x j xi x j 0 x j

m 的球面上； 的球面上； mγ个点分布在半 m0个点分布在半径 0 的球面上；

(13－32)
其中
t
2 (m 2) 2 4 m 2 4
1
§1 旋转设计的基本原理
对于 m 个因素的二元旋转组合设计，式（13－33）中的m、mc和 γ 都是固 定的。因此，只有适当地调整 N 才能使 λ4 /λ22 ＝1 ，而试验处理数 N ＝ mc+mγ +m0 同样，对于 m 元二次旋转组合设计，上式中的 mc 和 mγ 也都是固定的。这 样就只能通过调整中心点的试验处理数 m0 使 λ4 /λ22 ＝1。由此可见，适当 地选取 m0 ，就能使2次旋转组合设计具有一定的正交性。为了方便设计， 已将 m 元不同实施的 m0 和 N 列入表13－24中。 综上所述，只要对平方项施行中心化变换，并适当调整 就能获得二次 正交旋转组合设计方案，这方面的计划见表13－27和表13－28。
ij
即
y x xx x x x x x x x x x
2 0 1 2 2 3 3 12 1 2 13 1 3 23 2 3 11 2 2 22 2 33 3
1
1,2, , N A的元素分类
表13－25 二次通用旋转组合设计参数表
m
2（全实施） 3（全实施） 4（全实施） 5（1/2全实施） 6（1/2全实施） 7（1/2全实施） 8（1/2全实施） 9（1/4全实施）
mc
4 8 16 16 32 64 128 64
mγ
4 6 8 10 12 14 16 16
γ
1.414 1.682 2.000 2.000 2.378 2.828 3.364 3.828
36
59 36 59 36 100 59 177 100 59
2.000
2.378 2.000 2.378 2.000 2.828 2.378 3.364 2.828 2.374
§1 旋转设计的基本原理
1.2 正交性的获得
2次旋转组合设计具有同一球面预测值 y 的方差相等的优点，但回归 统计数的计算较繁琐。如果使它获得正交性就能大大简化计算手续。
所谓旋转性是指试验因素空间中与试验中心距离相等的球面上各处理 组合的预测值 y 的方差具有几乎相等的特性，具有这种性质的回归设计称 回归旋转设计。利用具有旋转性的回归方程进行预测时，对于同一球面上 的点可直接比较其预测值的好坏，从而找出预测值较优区域。
如何才能使试验设计具有旋转性呢？这就需要弄清楚 旋转性对试验设计有什么要求以及获得旋转性必须满足哪 些基本条件。首先必须明确的是：在旋转设计中，试验处 理的预测值 y 的方差仅与因素空间中从试验点到试验中心 的距离 ρ 有关而与方向无关，从而克服了通常因为不知道 最优点在什么方向的缺陷。
此外，为了使旋转设计成为可能，还必须使信息矩阵 A 不退化（满秩）。 为此，必须有不等式

4 2 2

m m2
(13－30)
式 (13－30) 就是 m 元二次旋转设计的非退化条件。已经证明，只要使 N 个试验点不在同一个球面上，就能满足非退化条件。 最简单的情况是把 N 个试验点分布在 2 个或 3 个半径不等的球面上。如 m0 个点分布在半径为 0 的球面上（即在中心点重复 m0 次试验），另外 m1 ＝N－m0 个点均匀分布在半径为 ρ (ρ≠0)的球面上。
在2次旋转组合计划中，1次项和交互项的回归系数 bi 和 bij 仍保持正 交，但 b0 与 bij 之间，以及 bii 与 bjj 之间都存在相关，即不具正交性，它 们之间的协方差分别为：

cov b ，b ） 2 t N （ cov b ，b )=( )t N （
2 jj 2 4 2 2 2 ii jj 4
第九章
本章内容：
回归的旋转设计
§1 旋转设计的基本原理 §2 二次正交旋转组合设计及其统计分析 §3 通用旋转组合设计及其统计分析
本章学习目的与要求：
1.
2. 3.
§1 旋转设计的基本原理
§1 旋转设计的基本原理
1.1 回归设计的旋转性
“回归的正交设计” 具有试验处理数比较少，计算简便，消除了回归 系数之间的相关性等优点。但它也存在一定的缺点，即二次回归预测值 y 的方差随试验点在因子空间的位置不同而呈现较大的差异。由于误差的干 扰，就不易根据预测值寻找最优区域。为了克服这个缺点，人们通过进一 步研究，提出了回归的旋转设计（whirly design）。
λ4
0.81 0.86 0.86 0.89 0.90 0.92 0.93 0.93
N
13 20 31 32 53 92 165 93
m0
5 6 7 6 9 14 21 13
§1 旋转设计的基本原理
从上述讨论结果看出，为了满足通用性要求，主要在于确定出适 当的 m0 。因此，只要在中心点安排如表 13－25 所列的 m0 次试验旋 转组合设计便获得通用性。
§1 旋转设计的基本原理
这里应该解决的是二次回归正交的旋转性问题。下面以试验设计中常用的 三元二次回归方程来讨论这个问题。 在3个变量情况下，二次回归模型为：
y x x x x x
3 3 2 j j 1 j j i j ij i j j 1 ij
简单起见。由此可知，只有恰当确定 λ4 ，才能满足通用性的要求。
§1 旋转设计的基本原理
那么，对 λ4 有什么要求呢？总的来说，它必须使式中 D( y ) 在诸 ρ i(0＜ ρ ＜1)区间的内插点）处的值与 ρ ＝1 处的值的差的平方和为最小，即：
Q 4

f
2 n 4 i 1
D y





1 (m1) (m1) (m 2) 1 2 (m 2) (m 2) 4m N
2 4 2 4 2 4 4 4
4

(13－34)
此式是在 λ2 ＝1 的约定下得到的，这种约定并非本质的，只是为了讨论
2
m 1 4 m2 4
2
2
m 3 4
§1 旋转设计的基本原理
为了便于设计，现将 m 个因素不同实施情况下的 γ 值列于表13－24。
表13－24 二次正交旋转组合设计参数表
m
2（全实施） 3（全实施）
mc
4 8
mγ
4 6
m0
8 9
N
16 23
γ
1.414 1.682
4（全实施）
x x x
13 23
x x x x
11 21
12 22
x x x x
11 21
13 23
x x x x
12 22
13 23
x x x
2 11 2 21
x x x
2 12 2 22
x x
2
13

N1

N2

N3


N2

N3

2 N1 N3

2 N2
x x
N1
x x
N1
x x
N2
§1 旋转设计的基本原理
2, …,m)，并可编制出因素水平的编码值表（表13－26）。
§2 二次正交旋转组合设计及其统计分析 表13-26 二次正交旋转设计因素水平编码值表
mc个点分布在半径
c

0
而它的偶次方元素
x m 2
2 i c
2
x m 2
4 i c
4
x x m
2 2 i j
c
均不等于零，完全符合式(13－29)的要求。
§1 旋转设计的基本原理
为了获得旋转设计方案，还必须根据旋转性条件式(13－29)确定 γ 值， 事实上只要
2 f 2( 4) i4 最小 f 1( 4) i
2
(13－35)
式中
f
4
m 2 (m 2) m N
4 4
f
2
4
(m1) (m1) 2 (m 2)
4 2 4
f 1
1 4

4
4
于是，对于不同的 m ，均可计算出满足式（13－35）的 λ4
5（全实施） 5（1/2全实施） 6（1/2全实施） 6（1/4全实施） 7（1/2全实施） 7（1/4全实施） 8（1/2全实施） 8（1/4全实施） 8（1/8全实施）
16
32 16 32 16 64 32 128 64 32
8
10 10 12 12 14 14 16 16 16
12
17 10 15 8 22 13 33 20 11
它的结构矩阵为：
1 1 X 1
1.其指数 1， 2， ， m都是偶数或零 源自文库 2.其指数 1， 2， ， m中至少有1个为奇数
2 23 2 xN3
x x x
11 21
x x x
12 22
2.1 二次正交旋转设计的一般方法
设研究因素为 m 个，分别以 Z1,Z2,…,Zm,表示。在进行设计时，首先确 定每个因素的上、下水平，进而计算零水平，以及变化间距。某因素零 水平及变化间距的计算式为 Z0j ＝(Z1j + Z2j )/2 Δj ＝(Z2j － Z0j )/γ
式中 γ 为待定参数，其值可以从表13－24中查出。 对每个因素 Zj 各水平的取值进行线性变换，以实现其编码 xα j ＝(Zα j － Z0j )/Δj 这样，就将有单位的自然变量 Zj 变成了无单位的规范变量 xj ( j ＝ 1,
§1 旋转设计的基本原理
综上所述，为了获得 m 元二次旋转设计方案，就要求既要满足旋转性 条件式 (13－29) ，又要满足非退化条件式 (13－30) 。满足条件式 (13－29)是旋转设计的必要条件，满足非退化条件式 (13－30)是使旋 转性成为可能的充分条件。两者结合起来才能使旋转性设计得以实现。 实际操作上主要借助于组合设计来实现。因为组合设计中 N 个试验点 N ＝ mc+mγ +m0 ，分布在3个半径不相等的球面上。即
x
4
3 x i x j 求出 γ 值就行了。 j
2 2
在组合设计下，当 mc＝2m （全实施）时，则前式变为
2 2 32
m 4
m
解此方程，即可建立全实施时 γ 值的计算式，即
2
同理 当 当 当
m 4
(13－31)
m 2
c
m 1
m 2
c
m2
m 2
c
m 3
1 （ 实施） 2 1 （ 实施） 4 1 （ 实施） 8
从以上可以看出，正交旋转的好处在于正交性，它是通过增加中
心点的试验次数换来的，但有时并不合算。在某些实际问题中，反倒 不如选用通用旋转设计。因为通用旋转设计，既能在 0＜ρ ＜1 的较 实用区域使方差 D( y )基本不变，又在一定程度上减少了试验次数。

§2 二次正交旋转组合设计及其统计分析
§2 二次正交旋转组合设计及其统计分析