矩阵可逆的若干判别方法

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矩阵可逆的若干判别方法

可逆矩阵是高等代数中不可缺少的一部分,也是矩阵运算中的重要组成部分,对解决数数学问题有重大意义,学习可逆矩阵,对我们解决一些代数问题有极大的帮助。

如何判断矩阵可逆,主要有以下十一种方法。

一、矩阵可逆的基本概念

(1)对于n 阶矩阵A ,若存在n 阶矩阵B ,使得

AB=BA=I

则称矩阵A 为可逆矩阵(或非退化或非奇异或满秩矩阵),或A 可逆,称B 为A 的

逆矩阵,记作B= A -1 。

注:若矩阵可逆,则A 的逆矩阵由A 唯一确定。

(2)矩阵A 的行秩等于列秩。

(3)矩阵A 经过一系列初等变换得到矩阵B ,则A 与B 等价。

(4)记矩阵A 中元素a ij 的代数余子式为A ij ,则A*=(A ij )T n ×n ,我们就称A*为A 的伴随矩阵。

二、矩阵可逆的性质

(1)若矩阵A 可逆,则A 的逆矩阵A -1也可逆,且(A -1)-1=A 。

(2)若矩阵A,B 均可逆,则矩阵AB 也可逆,且(AB) -1=B -1A -1。

(3)若矩阵A 可逆,则A T 也可逆,且(A T )-1=(A -1)T 。

(4)若矩阵A 可逆,λ≠0,则λA 也可逆,且(A λ)=

λ1A -1。 (5)若矩阵A 可逆,则|A -1|=|

|1A 。 (6)矩阵A 的逆矩阵A -1=|

|*A A 。 (7)若A 为m ×n 阶矩阵,P 为m 阶矩阵,Q 为n 阶矩阵,A,P,Q 均为可逆矩阵,则有r(PAQ)=r(PA)=r(AQ)=r(A)。

三、矩阵可逆的若干判别方法

(一)定义判别法

对于n 阶方阵A ,若存在n 阶方阵B ,使得AB=BA=I,则A 可逆,且B 为A 的逆,

记为B=A -1。

例1. 判断矩阵A=⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛010100001 是否可逆?

证 存在矩阵B=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛010100001,使得AB=BA=⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛100010001

所以矩阵A 可逆。

注:此方法大多适用于简单的矩阵。

(二)行列式判别法

矩阵A 可逆的充要条件是A 为方阵且|A|≠0。

例2. 判断矩阵A=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛311283501与矩阵B=⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛2-04131120是否可逆?

证 因为|A|=-3≠0,|B|=0,所以矩阵A 可逆,而B 不可逆。

(三)秩判别法

n 阶矩阵A 可逆,则r (A )=n 。

证 因为矩阵A 可逆,则|A|≠0,可得到r (A )=n ,反之也成立。

例3. 判断矩阵A=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛711012531与矩阵B=⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛1-22011121是否可逆?

证 A=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛711012521→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---2101030521⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛--→2101600901

所以r (A )=3,A 可逆。

B=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛122001121⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→000120001120001120

所以r (B )=23≠,B 不可逆。

(四)伴随矩阵判别法

若A 可逆,则存在矩阵B=|

|*A A ,使得AB=BA=E 。 例4.矩阵A=⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛341253621,判断它是否可逆,若可逆,求出它的逆。

证 因为|A|=35≠0,则A 可逆,

A*=⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛-----127163726187,所以

A -1=||*A A =⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛351-352-51351631-51-3526-351851 注:求伴随矩阵时,要注意元素的位置与符号。

(五)初等变换判别法

对矩阵A 施行行(列)初等变换,得到矩阵B ,若B 可逆,则A 也可逆。

证 因为A 与B 等价,则有r(A)=r(B),所以当矩阵B 可逆时,矩阵A 也可逆。 注:也可用初等行(列)变换求A 的逆。

用初等行变换:)()(B E E A → B 为A 的逆,B=A -1。

列初等变换:⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛→⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛B E E A B 为A 的逆。

例5.求矩阵A=⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛410113201的逆。

⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛11-354-122-25-10001000111-3013-0011005-10201100013-0014105-10201100010001410113201 所以A -1=⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛----1135412225 (六)初等矩阵判别法

若矩阵A 可逆,则A 可以表示为一系列初等矩阵的乘积,

即A=P 1P 2 ……P S

证 因为|A|=| P 1P 2 ……P S |0≠,所以矩阵A 可逆,反之也成立。

同时,若矩阵A 可逆,则A 可经过一系列初等变换化为单位矩阵。

例6.判断矩阵A=⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛01-2411210是否可逆?

证 A=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛01-2411210⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝

⎛→1000100012-002102018-3-021

041101-2210411 所以矩阵A 可逆。

(七)矩阵的向量组的秩判别法

若矩阵A 可逆,则A 的各行或各列所形成的向量组线性无关。

若矩阵A 可逆,则有r(A)=n,且行秩等于列秩等于n.

(八)线性方程组判别法

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