2015届高考数学(苏教,理科)大一轮第十四章 矩阵与变换

第十四章 矩阵与变换第一节矩阵及其变换对应学生用书P1761．乘法规则(1)行矩阵[a 11 a 12]与列矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤b 11b 21的乘法法则：[a 11 a 12]⎣⎢⎡⎦⎥⎤b 11b 21＝[a 11b 11＋a 12b 21]． (2)二阶矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 11 a 12a 21 a 22与列向量⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0的乘法规则： ⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 11 a 12a 21 a 22⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 11x 0＋a 12y 0a 21x 0＋a 22y 0.(3)两个二阶矩阵相乘的结果仍然是一个二阶矩阵，其乘法法则如下：⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 11 a 12a 21 a 22⎣⎢⎡⎦⎥⎤b 11 b 12b 21 b 22＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 11b 11＋a 12b 21 a 11b 12＋a 12b 22a 21b 11＋a 22b 21 a 21b 12＋a 22b 22. (4)两个二阶矩阵的乘法满足结合律，但不满足交换律和消去律，即(AB )C ＝A (BC )． (5)A k A l ＝A k ＋l ，(A k )l ＝A kl (其中k ，l ∈N *)．2．常见的平面变换 (1)恒等变换：因为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 001⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，该变换把点(x ，y )变成(x ，y )，故矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1表示恒等变换．(2)反射变换：因为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 0 0 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－x y ，该变换把点(x ，y )变成(－x ，y )，故矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 0 0 1表示关于y 轴的反射变换；类似地，⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 －1，⎣⎢⎡⎦⎥⎤0， 11 0，⎣⎢⎡⎦⎥⎤0， －1－1 0分别表示关于x 轴、直线y ＝x 和直线y ＝－x 的反射变换．(3)伸缩变换：因为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00k ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ky ，该变换把点(x ，y )变成点(x ，ky )，在此变换中，点的横坐标不变，纵坐标变成原来的k 倍，故矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤1， 00 k 表示y 轴方向上的伸缩变换；类似地，矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤s 001可以用来表示水平伸缩变换．(4)旋转变换：把点A (x ，y )绕着坐标原点逆时针旋转α角的变换，对应的矩阵是⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos α －sin αsin α cos α. (5)切变变换：⎣⎢⎡⎦⎥⎤1s 0 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋sy y 表示的是沿x 轴的切变变换．沿y 轴的切变变换对应的矩阵是⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 0t 1. (6)投影变换：⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0，该变换把所有横坐标为x 的点都映射到了点(x,0)上，因此矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 000表示的是x 轴上的投影变换．类似地，⎣⎢⎡⎦⎥⎤000 1表示的是y 轴上的投影变换．1．二阶矩阵的乘法运算律中，易忽视AB ≠BA ，AB ＝AC ⇒/ B ＝C ，但满足(AB )C ＝A (BC )． 2．易混淆绕原点逆时针旋转90°的变换与绕原点顺时针旋转90°的变换． [试一试] 1．已知A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2 －3－4 6，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤845 5，C ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤5 －23 1.求AB 和AC . 解：AB ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2 －3－4 6⎣⎢⎡⎦⎥⎤845 5＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 －7－2 14， AC ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2 －3－4 6⎣⎢⎡⎦⎥⎤5 －23 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 －7－2 14.2．(2014·福建龙岩模拟)已知点A 在变换T ：⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y →⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋2y y 作用后，再绕原点逆时针旋转90°，得到点B ，若点B 的坐标为(－3,4)，求点A 的坐标．解：⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤1201＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 2. 设A (a ，b )，则由⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－34，得⎩⎪⎨⎪⎧－b ＝－3，a ＋2b ＝4. 所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2b ＝3，即A (－2,3)．待定系数法在平面变换中的应用通过二阶矩阵与平面向量的乘法求出变换前与变换后坐标之间的变换公式，进而得到所求曲线(或点)，求解时应注意待定系数法的应用．[练一练]1．(2014·扬州模拟)已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 002，B ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤11201，若矩阵AB 对应的变换把直线l ：x ＋y －2＝0变为直线l ′，求直线l ′的方程．解：易得AB ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1002⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 120 1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 1202，在直线l 上任取一点P (x ′，y ′)，经矩阵AB 变换为点Q (x ，y )，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1120 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x ′＋12y ′ 2y ′， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x ′＋12y ′，y ＝2y ′，即⎩⎨⎧x ′＝x －14y ，y ′＝y2，代入x ′＋y ′－2＝0中得x －14y ＋y2－2＝0，∴直线l ′的方程为4x ＋y －8＝0.对应学生用书P177二阶矩阵的性质与运算[典例] 求使等式⎣⎢⎡⎦⎥⎤35＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤01M ⎣⎢⎦⎥0 －1成立的矩阵M . [解] 设M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤m n p q ，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 43 5＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 001M ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2m －2n p －q ， 则⎩⎪⎨⎪⎧ 2m ＝2，－2n ＝4，p ＝3，－q ＝5，⇒⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，n ＝－2，p ＝3，q ＝－5，即M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －23 －5.[备课札记] [类题通法]1．矩阵相等实质上是矩阵对应元素相等，体现了方程思想，要注意矩阵对应元素相等． 2．矩阵的乘法只满足结合律，不满足交换律和消去律． [针对训练] 已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 12 1，向量β＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12.求向量α，使得A 2α＝β.解：A 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 121⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 12 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 243.设α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y .由A 2α＝β， 得⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 24 3⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12， 从而⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y ＝1，4x ＋3y ＝2.解得x ＝－1，y ＝2，所以α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 2.[典例] 的顶点坐标为(2,1)，求△ABC 在矩阵MN 作用下变换所得到的图形△A ′B ′C ′的面积，其中M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 002，N ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0. 解：因为△ABC 在MN 作用下变换为 △A ′B ′C ′， 且MN ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤200 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －22 0， 所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －22 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤00＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤00，⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －22 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤20＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤04， ⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －22 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤21＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－24. 即A ′(0,0)，B ′(0,4)，C ′(－2,4)． 可得S △A ′B ′C ′＝4.所以△ABC 在矩阵MN 作用下变换所得的图形的面积为4.[备课札记][类题通法]1．对于平面图形的变换要分清是伸缩、反射、还是切变变换．2．伸缩、反射、切变变换这三种几何变换称为初等变换，对应的变换矩阵为初等变换矩阵，由矩阵的乘法可以看出，矩阵的乘法对应于变换的复合，一一对应的平面变换都可以看作这三种初等变换的一次或多次的复合．[针对训练]在直角坐标系中，已知椭圆x 2＋4y 2＝1，矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 110，N ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤21 0，求椭圆x 2＋4y 2＝1，在矩阵MN 作用下变换所得到的图形的面积．解：MN ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 110⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 21 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 002.设(x 0，y 0)为椭圆x 2＋4y 2＝1上任一点，它在MN 的作用下所对应的点为(x ，y )， 则⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 002⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 02y 0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0，y ＝2y 0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x ，y 0＝y 2.代入x 20＋4y 20＝1，得x 2＋y 2＝1，∴在矩阵MN 作用下变换所得到的图形的面积为π.[典例] (2013·福建高考)已知直线l ：ax ＋y ＝1在矩阵A ＝⎣⎢⎦⎥01对应的变换作用下变为直线l ′：x ＋by ＝1.(1)求实数a ，b 的值；(2)若点P (x 0，y 0)在直线l 上，且A ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0，求点P 的坐标． [解] (1)设直线l ：ax ＋y ＝1上任意点M (x ，y )在矩阵A 对应的变换作用下的像是M ′(x ′，y ′)．由⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤120 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋2y y ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x ＋2y ，y ′＝y . 又点M ′(x ′，y ′)在l ′上，所以x ′＋by ′＝1， 即x ＋(b ＋2)y ＝1，依题意得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1，b ＋2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－1.(2)由A ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0，得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x 0＋2y 0，y 0＝y 0，解得y 0＝0.又点P (x 0，y 0)在直线l 上，所以x 0＝1. 故点P 的坐标为(1,0)．[备课札记] [类题通法]1．在解决通过矩阵进行平面曲线的变换时，变换矩阵可以通过待定系数法解决，在变换时一定要把变换前后的变量区别清楚，防止混淆．2．曲线(或点)经过二阶矩阵变换后的曲线(或点)的求法，类似于平面解析几何中的代入法求轨迹，此类问题的关键是求对坐标之间的变换公式．[针对训练](2014·江苏横山桥中学模拟)已知M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 002，N ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 00 1，设曲线y ＝sin x 在矩阵MN 对应的变换作用下得到曲线F ，求F 的方程．解：由题设得MN ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1002⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 00 1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 00 2 设所求曲线F 上任意一点的坐标为(x ，y )，y ＝sin x 上任意一点的坐标为(x ′，y ′)， 则MN ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 00 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝12y .把⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x y ′＝12y 代入y ′＝sin x ′，化简得y ＝2sin 2x .所以，曲线F 的方程为y ＝2sin 2x .对应学生用书P178[课堂练通考点]1．(2014·福州模拟)将曲线xy ＝1绕坐标原点按逆时针方向旋转45°，求所得曲线的方程． 解：由题意，得旋转变换矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos 45° －sin 45°sin 45° cos 45°＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤22 －2222 22， 设xy ＝1上的任意点P ′(x ′，y ′)在变换矩阵M 作用下为P (x ，y )，⎣⎢⎡⎦⎥⎤22 －2222 22 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，∴⎩⎨⎧x ＝22x ′－22y ′，y ＝22x ′＋22y ′.得y 22－x 22＝1. 故将曲线xy ＝1绕坐标原点按逆时针方向旋转45°，所得曲线的方程为y 22－x 22＝1.2．已知a ，b 为实数，如果A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 10 b 所对应的变换T 把直线x －y ＝1变换为自身，试求a ，b 的值．解：设点(x ，y )是直线x －y ＝1上任意一点．在变换T 作用下的对应点为(x ′，y ′)， 则⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 10b ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝ax ＋y ，y ′＝by . 由题意x ′－y ′＝1，∴ax ＋y －by ＝1，即ax ＋(1－b )y ＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，1－b ＝－1， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2. 3．已知△ABC 的三个顶点A (0,0)，B (4,0)，C (0,3)，△ABC 在矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 2对应的变换作用下变为△A ′B ′C ′，求△A ′B ′C ′的面积．解：由题意⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 002⎣⎢⎡⎦⎥⎤00＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤00， ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤40＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤40， ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 002⎣⎢⎡⎦⎥⎤03＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤06，∴A ′(0,0)，B ′(4,0)，C ′(0,6)， ∴S △A ′B ′C ′＝12×4×6＝12.[课下提升考能]1．设M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 6 p －q p ＋q 5，N ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤xy －11 x ＋y ，若M ＝N ，求x ，y ，p ，q .解析：∵M ＝N ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ xy ＝6，x ＋y ＝5，p －q ＝－1，p ＋q ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，y ＝3，p ＝0，q ＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝2，p ＝0，q ＝1.2．曲线C 1：x 2＋2y 2＝1在矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 201的作用下变换为曲线C 2，求C 2的方程．解：设P (x ，y )为曲线C 2上任意一点，P ′(x ′，y ′)为曲线C 1上与P 对应的点， 则⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 201⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，即⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝x ′＋2y ′y ＝y ′⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x －2y ，y ′＝y .∵P ′是曲线C 1上的点，∴C 2的方程为(x －2y )2＋2y 2＝1. 3．求出曲线y 2＝4x 依次经过矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤t 00 1，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0作用下变换得到的曲线方程x 2＝2y ，求实数t .解：由已知得BA ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤t 00 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －1t 0.任取曲线y 2＝4x 上一点P (x 0，y 0)，它在矩阵AB 对应的变换作用下变为P ′(x ′，y ′)，即有⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －1t 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′，则有⎩⎪⎨⎪⎧ －y 0＝x ′，tx 0＝y ′⇒⎩⎪⎨⎪⎧y 20＝(－x ′)2，2tx 0＝2y ′.∵P ′在曲线x 2＝2y 上，∴x ′2＝2y ′. 即y 20＝2tx 0，① y 20＝4x 0，②比较①②得2t ＝4⇒t ＝2.4．已知曲线C ：x 2＋y 2＝1在矩阵M 对应的变换作用下得到曲线C ′：x 24＋y 2＝1，求矩阵M .解：在曲线C 上任取一点P (x ，y )，点P 在矩阵M 作用下得点P ′(x ′，y ′)，设M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab c d ，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝ax ＋by ，y ′＝cx ＋dy . 由题意⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12x ′，y ＝y ′，即⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝y ，∴a ＝2，b ＝0，c ＝0，d ＝1，∴M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2001.5．如果曲线x 2＋4xy ＋3y 2＝1在矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 a b 1的作用下变换得到曲线x 2－y 2＝1，求a ＋b 的值．解：在曲线x 2＋4xy ＋3y 2＝1上任取一点P (x ，y )，设点P (x ，y )在矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 a b1的作用下变换得到点P ′(x ′，y ′)，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 a b 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′. 所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋ay bx ＋y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′， 即⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x ＋ay ，y ′＝bx ＋y . 则(x ＋ay )2－(bx ＋y )2＝1.化简，得(1－b 2)x 2＋2(a －b )xy ＋(a 2－1)y 2＝1. 从而⎩⎪⎨⎪⎧1－b 2＝1，2(a －b )＝4，a 2－1＝3.解得a ＝2，b ＝0，所以a ＋b ＝2.6．若一个变换所对应的矩阵是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 002，求抛物线y 2＝－4x 在这个变换下所得到的曲线的方程．解：设P (x ，y )为y 2＝－4x 上任意一点，P ′(x ′，y ′)为变换后所得曲线上对应P 的点，由题意⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝－x ，y ′＝2y ，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－x ′，y ＝y ′2.∴⎝⎛⎭⎫y ′22＝－4(－x ′)，即y ′2＝16x ′. ∴抛物线y 2＝－4x 经变换后的曲线方程为y 2＝16x .7．已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 1a0，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 2b 0，直线l 1：x －y ＋4＝0经矩阵A 所对应的变换得到直线l 2，直线l 2又经矩阵B 所对应的变换得到直线l 3：x ＋y ＋4＝0，求直线l 2的方程．解：BA ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤02b0⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 1a 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2a 00 b ，设P (x ，y )是l 1上的任意一点，其在BA 所对应的变换作用下的像为(x ′，y ′)，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤2a 00 b ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′，得⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2ax ，y ′＝by . 由题意可得，点(x ′，y ′)在直线l 3上，所以2ax ＋by ＋4＝0即为直线l 1：x －y ＋4＝0，故a ＝12，b ＝－1.此时B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 02－10，同理可设Q (x 0，y 0)为l 2上的任意一点，其在B 所对应的变换作用下的像为(x ′0，y ′0)，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 02－10⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′0y ′0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ′0＝2y 0，y ′0＝－x 0.，又(x ′0，y ′0)在直线l 3上，所以2y 0－x 0＋4＝0，故直线l 2的方程为2y －x ＋4＝0，即x －2y －4＝0.8．二阶矩阵M 对应变换将点(1,2)和(2,1)分别变换成(5,1)和(4，－1)． (1)求矩阵M ；(2)求矩阵M 将圆x 2＋y 2＝1变换后的方程． 解：(1)设矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b cd ，则由M ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤51和M ⎣⎢⎡⎦⎥⎤21＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤4－1，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2b ＝5，c ＋2d ＝1，2a ＋b ＝4，2c ＋d ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2，c ＝－1，d ＝1，所以M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 12－11.(2)设点P (x ，y )是圆x 2＋y 2＝1上的任意一点，变换后的点为P ′(x ′，y ′)，则M ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x ＋2y ，y ′＝－x ＋y ，从而⎩⎨⎧x ＝13(x ′－2y ′)，y ＝13(x ′＋y ′)，代入x 2＋y 2＝1并化简得(x ′－2y ′)2＋(x ′＋y ′)2＝9， 即(x －2y )2＋(x ＋y )2＝9.第二节特征值与特征向量对应学生用书P1781．逆变换与逆矩阵(1)逆变换：设ρ是一个线性变换，如果存在线性变换σ，使得σρ＝ρσ＝1，则称变换ρ可逆，并且称σ是ρ的逆变换．(2)逆矩阵：设A 是一个二阶矩阵，如果存在二阶矩阵B ，使得BA ＝AB ＝E 2，则称矩阵A 可逆，或称矩阵A 是可逆矩阵，并且称B 是A 的逆矩阵．(3)逆矩阵的性质性质①：设A 是一个二阶矩阵，如果A 是可逆的，则A 的逆矩阵是唯一的．性质②：设A ，B 是二阶矩阵，如果A ，B 都可逆，则AB 也可逆，且(AB )－1＝B －1A －1.(4)定理：二阶矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b cd 可逆，当且仅当det A ＝ad －bc ≠0.2．逆矩阵与二元一次方程组(1)定理：如果关于变量x ，y 的二元一次方程组(线性方程组)⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋by ＝e ，cx ＋dy ＝f 的系数矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab c d 可逆，那么该方程组有唯一解⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab c d －1⎣⎢⎡⎦⎥⎤e f .(2)推论：关于变量x ，y 的二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋by ＝0，cx ＋dy ＝0.其中a ，b ，c ，d 是不全为零的常数，有非零解的充分必要条件是系数矩阵的行列式⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b cd ＝0.3．特征值和特征向量 设矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b cd ，如果存在数λ以及非零向量ξ，使得Aξ＝λξ，则称λ是矩阵A 的一个特征值，ξ是矩阵A 的属于特征值λ的一个特征向量．4．特征向量的性质设λ1，λ2是二阶矩阵A 的两个不同特征值，ξ1，ξ2是矩阵A 的分别属于特征值λ1，λ2的特征向量，对于任意的非零平面向量α，设α＝t 1ξ1＋t 2ξ2(t 1，t 2为实数)，则对任意的正整数n ，有A n α＝t 1λn 1ξ1＋t 2λn2ξ2.1．并不是每一个二阶矩阵都是可逆的： 矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd 可逆的充分必要条件是它对应的行列式|A |满足|A |＝ad －bc ≠0，且A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤d |A | －b|A |－c |A | a |A |. 2．不是每个矩阵都有特征值与特征向量，矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b cd 有特征值λ的充分必要条件是方程⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－a －b －c λ－d ＝0有解．3．属于矩阵的不同特征值的特征向量不共线． [试一试]1．若矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 00 2，N ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤23 00 12，求矩阵MN 的逆矩阵． 解：法一 ∵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 002为一伸缩变换对应的矩阵，∴M－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤13 00 12.又∵N ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤23 00 12也为一伸缩变换对应的矩阵，∴N －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤32002. 由矩阵的性质知(MN )－1＝N －1M －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤32 00 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤13 00 12＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1200 1.法二：由已知，得MN ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 001∴MN 的逆矩阵是(MN )－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤120 0 1 2．已知矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 22x 的一个特征值为3，求其另一个特征值． 解：矩阵M 的特征矩阵为⎣⎢⎡⎦⎥⎤λ－1 －2－2 λ－x ，其特征多项式为(λ－1)(λ－x )－(－2)×(－2)． 由题意：(3－1)(3－x )－4＝0， ∴x ＝1， ∴M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 221.由(λ－1)(λ－1)－(－2)×(－2)＝0，解得λ＝3或λ＝－1. 矩阵M 的另一个特征值为－1.1．求逆矩阵的常见方法 (1)待定系数法：设A 是一个二阶可逆矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b cd ，AB ＝BA ＝E 2；(2)公式法：|A |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b cd ＝ad －bc ，有A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤d |A | －b |A |－c |A | a |A |，当且仅当|A |≠0；(3)从几何变换的角度求解二阶矩阵的逆矩阵； (4)利用逆矩阵的性质(AB )－1＝B －1A －1.2．求特征值和特征向量的方法 (1)矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d 的特征值λ满足(λ－a )(λ－d )－bc ＝0，属于λ的特征向量a ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y 满足M ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝λ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y . (2)求特征向量和特征值的步骤：①解f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－a －b －c λ－d ＝0得特征值；②解⎩⎪⎨⎪⎧(λ－a )x －by ＝0，－cx ＋(λ－d )y ＝0⇔(λ－a )x －by ＝0，取x ＝1或y ＝1，写出相应的向量．[练一练] 1．给定矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12－14，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤53，求A 4B .解：设A 的一个特征值为λ，由题知⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－1 －21 λ－4＝0，得(λ－2)(λ－3)＝0，λ1＝2，λ2＝3，当λ1＝2时，由⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 12－1 4⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，得A 的属于特征值2的特征向量α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤21.当λ1＝3时，由⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 12－14⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝3⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，得A 的属于特征值3的特征向量α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11.由于B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤53＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤21＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝2α1＋α2，故A 4B ＝A 4(2α1＋α2)＝2(24α1)＋(34α2)＝32α1＋81α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤6432＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤8181＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤145113. 2．已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ，若矩阵A 属于特征值3的一个特征向量为α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，属于特征值－1的一个特征向量为α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1，求矩阵A . 解：由矩阵A 属于特征值3的一个特征向量为α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11可得⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b cd ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝3⎣⎢⎡⎦⎥⎤11， 即⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝3，c ＋d ＝3； 由矩阵A 属于特征值－1的一个特征向量为α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1可得⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1＝(－1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1， 即⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＝－1，c －d ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2，c ＝2，d ＝1，即矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 221.对应学生用书P180[典例] (2013·江苏高考)已知矩阵A ＝⎣⎢⎦⎥⎤－1 00 2，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 6，求矩阵A －1B .[解] 设矩阵A 的逆矩阵为⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b cd ，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 00 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 001，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤－a －b 2c 2d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1001，故a ＝－1，b ＝0，c ＝0，d ＝12， 从而A 的逆矩阵为A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1 0 0 12， 所以A －1B ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1 0 0 12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1206＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 －20 3. [备课札记] [类题通法]1．逆矩阵的求法常用待定系数法．2．若A ，B 两个矩阵均存在可逆矩阵，则有(AB )－1＝B －1A －1，若A ，B ，C 为二阶矩阵且A 可逆，则当AB ＝AC 时，有B ＝C ，即此时矩阵乘法的消去律成立． [针对训练](2014·宿迁模拟)已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 21－13将直线l ：x ＋y －1＝0变换成直线l ′.(1)求直线l ′的方程；(2)判断矩阵A 是否可逆？若可逆，求出矩阵A 的逆矩阵A －1；若不可逆，请说明理由．解：(1)在直线l 上任取一点P (x 0，y 0)，设它在矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤21－1 3对应的变换作用下变为Q (x ，y )． ∵⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2 1－13⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2x 0＋y 0，y ＝－x 0＋3y 0，即⎩⎨⎧x 0＝3x －y 7y 0＝x ＋2y 7，又∵点P (x 0，y 0)在直线l ：x ＋y －1＝0上， ∴3x －y 7＋x ＋2y7－1＝0， 即直线l ′的方程为4x ＋y －7＝0.(2)∵⎪⎪⎪⎪⎪⎪ 2 1－13≠0，∴矩阵A 可逆．设A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ，∴AA －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤100 1，∴⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋c ＝1，2b ＋d ＝0，－a ＋3c ＝0，－b ＋3d ＝1，解之得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝37，b ＝－17，c ＝17，d ＝27，∴A－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤37 －1717 27.二元一次方程组的矩阵解法[典例] 用矩阵方法求二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x －5y ＝4，3x ＋y ＝6的解．[解] 已知方程组可以写为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 －53 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤46，令M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 －53 1，其系数行列式为⎪⎪⎪⎪⎪⎪2 －53 1＝2×1－3×(－5)＝17≠0，所以M－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤117 517－317 217，所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝M －1⎣⎢⎡⎦⎥⎤46＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤20， 即方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝0.[备课札记] [类题通法]1．用矩阵方法求解二元一次方程组的关键是求解系数所对应的矩阵的逆矩阵．2．若系数矩阵为⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ，则方程组的解可以表达成⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab c d －1⎣⎢⎡⎦⎥⎤e f .[针对训练]利用矩阵解二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y ＝2，4x ＋2y ＝3.解：方程组可写为⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 142⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，因为系数行列式为3×2－4×1＝2≠0，所以方程组有唯一解．利用矩阵求逆公式得⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 142－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －12－2 32， 因此原方程组的解为 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －12－232⎣⎢⎡⎦⎥⎤23＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1212，即⎩⎨⎧x ＝12，y ＝12.二阶矩阵的特征值及特征向量[典例] (2014·福州质检)已知矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 －1，向量α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤75.(1)求矩阵M 的特征值及属于每个特征值的一个特征向量； (2)求M 3α.[解] (1)矩阵M 的特征多项式为f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－4 3－2 λ＋1＝λ2－3λ＋2，令f (λ)＝0，得λ1＝1，λ2＝2.当λ1＝1时，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ －3x ＋3y ＝0，－2x ＋2y ＝0，得一个非零解⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1.因此，矩阵M 属于特征值λ1＝1的一个特征向量为α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11；当λ2＝2时，同理可得矩阵M 属于特征值λ2＝2的一个特征向量为α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤32. (2)设α＝m α1＋n α2，得⎩⎪⎨⎪⎧m ＋3n ＝7，m ＋2n ＝5，解得m ＝1，n ＝2.所以M 3α＝M 3(α1＋2α2)＝M 3α1＋2M 3α2＝λ31α1＋2λ32α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＋2×23⎣⎢⎡⎦⎥⎤32＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤4933. [备课札记][类题通法]1．关于特征值问题的一般解法如下： 给定矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b cd ，向量α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，若有特征值λ，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝λ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤λ－a －b －c λ－d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤00，所以⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－a －b －c λ－d ＝0，即λ2－(a ＋d )λ＋(ad －bc )＝0.2．求M n α，一般都是先求出矩阵M 的特征值与特征向量，将α写成t 1α1＋t 2α2.利用性质M n α＝t 1λn 1α1＋t 2λn2α2求解．[针对训练](2014·扬州模拟)已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 10 1，向量b ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤102.求向量a ，使得A 2a ＝b .解：A 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 101⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 10 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤4 301，设a ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，由A 2a ＝b 得⎣⎢⎡⎦⎥⎤4 301⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤102， 即⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋3y ＝10，y ＝2， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2，所以a ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12.对应学生用书P181[课堂练通考点]1．(2014·厦门质检)已知向量⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1在矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 m 0 1变换下得到的向量是⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 0－1.(1)求m 的值；(2)求曲线y 2－x ＋y ＝0在矩阵M－1所对应的线性变换作用下得到的曲线方程．解：(1)因为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 m 0 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－m －1，所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－m －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 0－1，得m ＝1.(2)由(1)得M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 101，det M ＝1≠0，所以M －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －10 1.设曲线y 2－x ＋y ＝0上任意一点(x ，y )在矩阵M －1所对应的线性变换作用下的像是(x ′，y ′)，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －10 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x －y y ， 所以⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ＝x ′，y ＝y ′，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x ′＋y ′，y ＝y ′，代入曲线y 2－x ＋y ＝0得y ′2＝x ′. 由(x ，y )的任意性可知，曲线y 2－x ＋y ＝0在矩阵M －1所对应的线性变换作用下的曲线方程为y 2＝x .2．(2014·龙岩质检)已知向量e 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11是二阶矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 10b 的属于特征值λ1＝2的一个特征向量．(1)求矩阵M ； (2)若a ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤21，求M 10a .解：(1)依题意，Me 1＝λ1e 1， 即⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 10b ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1＝2，b ＝2，∴a ＝1，b ＝2. ∴M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 102.(2)由(1)知，矩阵M 的特征多项式为f (λ)＝(λ－1)(λ－2)， ∴矩阵M 的另一个特征值为λ2＝1.设e 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y 是矩阵M 属于特征值λ2＝1的一个特征向量，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 10 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝x ，2y ＝y ，取x ＝1，得e 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤10，∴a ＝e 1＋e 2，∴M 10a ＝M 10e 1＋M 10e 2＝λ101e 1＋λ102e 2＝210⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＋110⎣⎢⎡⎦⎥⎤10＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 0251 024. 3．设矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤m 00 n ，若矩阵A 属于特征值1的一个特征向量为⎣⎢⎡⎦⎥⎤10，属于特征值2的一个特征向量为⎣⎢⎡⎦⎥⎤01，求实数m ，n 的值． 解：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧⎣⎢⎡⎦⎥⎤m 00 n ⎣⎢⎡⎦⎥⎤10＝1⎣⎢⎡⎦⎥⎤10，⎣⎢⎡⎦⎥⎤m 00 n ⎣⎢⎡⎦⎥⎤01＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤01，化简得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，0·n ＝0，0·m ＝0，n ＝2，所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，n ＝2.4．(2014·常州模拟)已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤33cd ，若矩阵A 属于特征值6的一个特征向量为α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，属于特征值1的一个特征向量为α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3－2.求矩阵A ，并写出A 的逆矩阵． 解：由矩阵A 属于特征值6的一个特征向量为α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11可得，⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 3c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝6⎣⎢⎡⎦⎥⎤11， 即c ＋d ＝6；由矩阵A 属于特征值1的一个特征向量为α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3－2，可得⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 3c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤3－2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3－2，即3c －2d ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝2，d ＝4.即A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 32 4，A 的逆矩阵是⎣⎢⎡⎦⎥⎤23 －12－13 12. [课下提升考能]1．求矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤2112的特征值及属于每个特征值的一个特征向量．解：特征多项式f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－2 －1－1 λ－2＝(λ－2)2－1＝λ2－4λ＋3，由f (λ)＝0，解得λ1＝1，λ2＝3，将λ1＝1代入特征方程组，得⎩⎪⎨⎪⎧－x －y ＝0，－x －y ＝0，即x ＋y ＝0，可取⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1为属于特征值λ1＝1的一个特征向量，同理，λ2＝3时，由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝0，－x ＋y ＝0，即x －y ＝0，所以可取⎣⎢⎡⎦⎥⎤11为属于特征值λ2＝3的一个特征向量．综上所述，矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 112有两个特征值λ1＝1，λ2＝3；属于λ1＝1的一个特征向量为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1，属于λ2＝3的一个特征向量为⎣⎢⎡⎦⎥⎤11.2．已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 2－2 －3，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 31 2，C ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 11 0，求满足AXB ＝C 的矩阵X .解：AXB ＝C ，所以(A －1A )XB ·B －1＝A －1CB －1 而A －1AXB ·B －1＝EXBB －1＝X (BB －1)＝X ，所以X ＝A －1CB －1因为A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3 －22 1，B －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 －3－1 2，所以X ＝A －1CB －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3 －2 2 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 110⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 －3－1 2 ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2 －3 1 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 －3－1 2 ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－100 1.3．已知M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －2－2 1，a ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤31，试计算M 20α. 解：矩阵M 的特征多项式为f (λ)＝(λ－1)2－4，令f (λ)＝0解得λ1＝3，λ2＝－1，对应的特征向量分别为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1和⎣⎢⎡⎦⎥⎤11， 而α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1＋2⎣⎢⎡⎦⎥⎤11， 所以M 20α＝320⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1＋2(－1)20⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤320＋2－320＋2. 4．已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 a －1 b ，A 的一个特征值λ＝2，其对应的特征向量是α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤21. (1)求矩阵A ； (2)设向量β＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤74，试计算A 5β的值． 解：(1)由题设条件可得，⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 a －1b ⎣⎢⎡⎦⎥⎤21＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤21， 即⎩⎪⎨⎪⎧ 2＋a ＝4，－2＋b ＝2， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝4， ∴矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 2－1 4. (2)矩阵A 的特征多项式方程为f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－1 －21 λ－4＝λ2－5λ＋6＝0， 解得λ1＝2，λ2＝3.当λ2＝3时，可得特征向量α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11. 设β＝m α1＋n α2，则⎩⎪⎨⎪⎧2m ＋n ＝7m ＋n ＝4解得m ＝3，n ＝1， ∴A 5β＝A 5(3α1＋α2)＝3(A 5α1)＋A 5α2＝3(λ51α1)＋λ52α2＝3×25⎣⎢⎡⎦⎥⎤21＋35⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤435339. 5．已知矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤7 －64 －3，向量ξ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤65. (1)求矩阵M 的特征值λ1，λ2和特征向量ξ1和ξ2；(2)求M 6ξ的值．解：(1)M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤7 －64 －3的特征多项式为 f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－7 6－4 λ＋3＝λ2－4λ＋3， 令f (λ)＝0，得λ1＝1，λ2＝3.当λ1＝1时，得ξ1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11；当λ2＝3时 ，得ξ2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤32. (2)由ξ＝m ξ1＋n ξ2得⎩⎪⎨⎪⎧m ＋3n ＝6，m ＋2n ＝5，得m ＝3，n ＝1. M 6ξ＝M 6(3ξ1＋ξ2)＝3(λ61ξ1)＋λ62ξ2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 1901 461. 6．(2014·苏北四市调研)已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 a 13，其中a ∈R ，若点P (1,2)在矩阵A 对应的变换作用下得到点P ′(6,7)．(1)求实数a 的值与矩阵A ； (2)求矩阵A 的特征值及相应的特征向量．解：(1)由题意知，⎣⎢⎡⎦⎥⎤2a 1 3⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2＋2a 7＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤67， ∴2＋2a ＝6，∴a ＝2，∴A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 213. (2)由(1)知，A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 21 3，其特征多项式为f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－2 －2－1 λ－3＝(λ－2)(λ－3)－2， 令f (λ)＝0，即λ2－5λ＋4＝0，解得λ1＝1，λ2＝4.当λ1＝1时，设对应的特征向量为α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤m n ， 则⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 21 3⎣⎢⎡⎦⎥⎤m n ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤m n ，即⎩⎪⎨⎪⎧2m ＋2n ＝m ，m ＋3n ＝n ，取n ＝1， 则m ＝－2，故α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－21；当λ2＝4时，设对应的特征向量为β＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ， 则⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 21 3⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝4⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，即⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋2y ＝4x ，x ＋3y ＝4y ，取x ＝1， 则y ＝1，故β＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11. ∴矩阵A 的属于特征值1的一个特征向量为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2 1，属于特征值4的一个特征向量为⎣⎢⎡⎦⎥⎤11. 7．设M 是把坐标平面上点的横坐标不变、纵坐标沿y 轴方向伸长为原来5倍的伸缩变换．(1)求直线4x －10y ＝1在M 作用下的方程；(2)求M 的特征值与相应的特征向量．解：(1)由题意得M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 005.设(x ′，y ′)是所求曲线上的任一点，⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 5⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x ，y ′＝5y ， 所以⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝x ′，y ＝15y ′，代入4x －10y ＝1得，4x ′－2y ′＝1， 所以所求曲线的方程为4x －2y ＝1.(2)矩阵M 的特征多项式f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－1 00 λ－5＝(λ－1)(λ－5)，令f (λ)＝0， 所以M 的特征值为λ1＝1，λ2＝5.当λ1＝1时，由M α1＝λ1α1，得特征向量α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤10； 当λ2＝5时，由M α2＝λ2α2，得特征向量α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤01. 8．已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤6 24 4.(1)求矩阵A 的特征值及对应的特征向量；(2)计算矩阵A n .解：(1)矩阵A 的特征方程为⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－6 －2－4 λ－4＝(λ－6)(λ－4)－8＝λ2－10λ＋16＝0. 得矩阵A 的特征值为λ1＝8，λ2＝2.当λ1＝8时，A 属于λ1的特征向量为 α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11；当λ2＝2时，A 属于λ2的特征向量为 α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－2.(2)设A n ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a bc dA n α1＝8n α1，A n α2＝2n α2， 即⎣⎢⎡⎦⎥⎤a bc d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤8n 8n⎣⎢⎡⎦⎥⎤a bc d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2n －2·2n ，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝8n ，c ＋d ＝8n，a －2b ＝2n ，c －2d ＝－2·2n . 解得a ＝2×8n ＋2n 3，b ＝8n －2n 3， c ＝2×8n －2n ＋13，d ＝8n ＋2n ＋13.故A n ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2×8n ＋2n 38n －2n 32×8n －2n ＋13 8n ＋2n ＋13.。