数学竞赛专题讲座第三讲函数的方程与迭代
竞赛讲座函数
第一章 函数一、基础知识定义1 映射，对于任意两个集合A ，B ，依对应法则f ，若对A 中的任意一个元素x ，在B 中都有唯一一个元素与之对应，则称f : A →B 为一个映射。
定义2 单射，若f : A →B 是一个映射且对任意x , y ∈A , x ≠y , 都有f (x )≠f (y )则称之为单射。
定义3 满射，若f : A →B 是映射且对任意y ∈B ，都有一个x ∈A 使得f (x )=y ，则称f : A →B 是A 到B 上的满射。
定义4 一一映射，若f : A →B 既是单射又是满射，则叫做一一映射，只有一一映射存在逆映射，即从B 到A 由相反的对应法则f -1构成的映射，记作f -1: A →B 。
定义5 函数，映射f : A →B 中，若A ，B 都是非空数集，则这个映射为函数。
A 称为它的定义域，若x ∈A , y ∈B ，且f (x )=y （即x 对应B 中的y ），则y 叫做x 的象，x 叫y 的原象。
集合{f (x )|x ∈A }叫函数的值域。
通常函数由解析式给出，此时函数定义域就是使解析式有意义的未知数的取值范围，如函数y =3x -1的定义域为{x |x ≥0,x ∈R}.定义6 反函数，若函数f : A →B （通常记作y =f (x )）是一一映射，则它的逆映射f -1: A →B 叫原函数的反函数，通常写作y =f -1(x ). 这里求反函数的过程是：在解析式y =f (x )中反解x 得x =f -1(y )，然后将x , y 互换得y =f -1(x )，最后指出反函数的定义域即原函数的值域。
例如：函数y =x -11的反函数是y =1-x1(x ≠0).定理1 互为反函数的两个函数的图象关于直线y =x 对称。
定理2 在定义域上为增（减）函数的函数，其反函数必为增（减）函数。
定义7 函数的性质。
（1）单调性：设函数f (x )在区间I 上满足对任意的x 1, x 2∈I 并且x 1< x 2，总有f (x 1)<f (x 2)(f (x )>f (x 2))，则称f (x )在区间I 上是增（减）函数，区间I 称为单调增（减）区间。
chapter03线性代数方程组迭代解法PPT课件
不完全分解
当矩阵无法进行完全分解时，迭代法可以作为 替代方案进行求解。
数值稳定性
对于某些数值不稳定的问题，迭代法可以提供更稳定的近似解。
迭代解法的优缺点分析
优点
适用于大规模问题，计算量相对较小； 适用于不完全分解和数值不稳定问题； 能够提供近似解，满足工程精度要求。
缺点
需要设定初始解向量或近似解向量； 迭代过程可能不收敛或收敛速度慢； 对于某些问题可能无法得到准确解。
SOR方法案例分析
01
SOR（Successive Over-Relaxation）方法是一种改进
的迭代方法，通过引入松弛因子来加速收敛。
02
SOR方法适用于系数矩阵为稀疏、对称正定的情况，
广泛应用于实际工程问题。
03
SOR方法的收敛速度与松弛因子的选择有关，选择合
适的松弛因子可以加快收敛速度。
Jacobi方法案例分析
松弛方法
松弛方法是另一种改进的迭代 算法，用于求解线性代数方程
组。
该方法通过引入松弛因子来调 整迭代过程中的系数矩阵，以
提高收敛速度和稳定性。
松弛方法适用于系数矩阵为非 对角占优的情况，尤其在处理 稀疏矩阵时具有优势。
总结词：松弛方法是一种适用 于非对角占优矩阵的迭代算法 ，通过调整松弛因子提高收敛 速度和稳定性。
收敛速度与系数矩阵
收敛速度与系数矩阵的特征值和范数有关，不同的迭 代法适用于不同的系数矩阵情况。
加速迭代法
为了提高迭代法的收敛速度，可以采用一些加速技巧， 如预处理技术、共轭梯度法等。
03 几种常见的迭代解法
Gauss-Seidel迭代法
Gauss-Seidel方法是一种迭 代算法，用于求解线性代数
函数迭代和函数方程(数学竞赛讲稿)
第一讲函数迭代和函数方程一、基本知识简述1．函数迭代设是DD的函数，对任意，记，定义，，则称函数为的n次迭代. 将含有未知函数的等式称为函数方程.的一般解法是先猜后证法：先迭代几次，观察有何规律，由此猜测出的表达式，然后证明，证明时，常用数学归纳法.定理若对于任意的，有（1）则.证由（1）及数学归纳法不难证明：对于任意的正整数及有理数，有（2）在（2）中令，得（3）在（2）中令，得，.，，.当时，（4）由（3），（4）知，（5）对于任意的，设，则有即.注：在定理4中，若加上为连续函数这一条件，则有.定理4的证明方法叫做柯西方法，这一方法的基本步骤是依次求出正整数的函数值、整数的函数值、有理数的函数值，在函数连续的条件下，进一步求出实数的函数值..1．方法解读例1 已知为一次函数，且，求.解设，显然.令，得，即为的不动点.由定理1知，，，解之得，所以.例2 已知，求.解，，∴，，由数学归纳法易知.注：在函数迭代中，通过观察得出的函数要用数学归纳法给予严格证明.例3设函数，满足，且，都有（1）求.解（方法1）在（1）中将互换，则有（2）由（1），（2）得（3）在（3）中令，则有，即.易证是方程（1）的解.（方法2）在（1）中令，得（4）即.为了求出，需要求，为此在（1）中令，得，从而有，代入（4）可得.例4已知函数是的映射，满足：（1）对任意非负整数，有，（2），有，求.解在（2）中令，并记，则有.由于数列是递增数列，由定理3知，.若，矛盾，所以，，从而有.又因为，容易得.所以，.例5求所有的的映射，使得，均有（1）求.解设，在（1）中令，则有由（2）知的值域为，所以的值域为R.又若，则，由（2）得，所以，这表明是的双射.因此，使得.在（1）中令，得（3）由（2），（3）知，所以，，.在（1）中令，得（4）在（4）中令，注意到由（3）可知，从而有，故，有（5）由（4），（5）可知（6）因此，,有或.假设存在非零实数，使得，而，那么在（1）中令，得，又由（6）知或，矛盾，所以方程（1）的解是或.例6 设是定义在正整数集上且取正整数值的严格递增函数，，当互素时，有（1）证明：对一切正整数，.证，.又，.若结论不成立，设使的最小正整数为，则.，又，.由于是严格递增的，故当时，有（2）当为奇数时，2与互素，故（3）由于，所以，从而由（2）得（4）（4）与（3）矛盾.当为偶数时，2与互素，从而有（5）因为，所以，由（2）得（6）（6）与（5）矛盾.综上可知，，有.例7 求所有函数，使得，有（1）解，若，则，，，，故是的单射.下证.当时，在（1）中取，得.因为上式左边3个数均为正整数，所以只能全为1，故，即时结论成立.假设时，有，那么当时，由是单射知，从而有，进而有，即（2）（3）（4）将上述3式相加，得.又，从而知不等式（2），（3），（4）全取等号，故，即对于结论成立.由归纳法原理知，.例8.设在实数上都有定义，连续且不恒为0，求方程式(7)的解？【解】：任取，对任意的，存在使得，(可取，)将此代入(7)式可得令，则(8)因为在上连续上连续。
函数迭代和函数方程课件
1 2 3
函数方程的基本概念 函数方程是指包含未知函数的方程。例如，$f(x) + f(2x) = 3x$是一个函数方程。
解函数方程的方法 解函数方程的方法包括代换法、迭代法、微分法 等。这些方法可以帮助我们找到满足给定条件的 函数。
函数方程的应用 函数方程在数学、物理、工程等领域有广泛的应 用。例如，在物理学中，牛顿第二定律就是一个 典型的函数方程。
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函数方程的应用场景
数学建模
在解决实际问题时，常常需要 建立数学模型，其中涉及到的 未知数或符号可以通过函数方
程求解。
物理问题
在研究物理现象或规律时，有 时需要通过建立和解决函数方 程来得出结论。
工程问题
在解决工程问题时，常常需要 建立数学模型，其中涉及到的 未知数或符号可以通过函数方 程求解。
经济问题
迭代函数的性质
迭代函数通常具有封闭性、递归性、可计算性和复杂性等性质。这些性质决定了迭代函数 的性质和行为。
迭代函数的收敛性
对于某些迭代函数，当迭代次数趋于无穷时，函数的值会趋于某个固定值，这种性质称为 收敛性。例如，$f(x) = x/2$的迭代序列${f^n(x)}$会收敛到0。
具体函数方程的解析
在数学研究中，迭代函数和函数 方程经常结合使用，以相互补充
和加强。
通过将迭代函数的动态变化过程 与函数方程的等式关系相结合， 可以更全面地研究函数的性质和
行为。
在解决一些复杂的数学问题时， 迭代函数和函数方程的结合应用 可以提供更有效的方法和思路。
04
例解析
具体迭代函数的解析
迭代函数的基本概念
迭代函数是指通过将函数作用于自身而得到的函数。例如，$f(x) = x^2$是一个迭代函数， 因为$f(f(x)) = (x^2)^2 = x^4$。
高一数学竞赛讲座2函数方程与函数迭代
函数方程与函数迭代函数方程问题一直是各国重大竞赛中的热点问题，以IMO 为例，在已进行的四十七届竞赛的试题中，有30多道是函数方程的试题，几乎是每届一题.在我国冬令营与国家集训队的测试题中，函数方程问题也是屡见不鲜的.究其原因，它往往是给出较弱的条件，却要从中得出甚强的结论（一般是要直接求出表达式）.【基础知识】表示某一类（或某一个）函数所具有的一定性质的关系式叫做函数方程（其中()f x 为未知函数）.如果一个函数对其定义域内变量的一切值均满足所给的方程，则称()f x 为这个函数方程的解.寻求函数方程的解或证明函数方程无解的过程，就是解函数方程.我们粗略地归纳其典型的解题方法，主要可以分成以下几类： 1.换元法： 2.解方程（组）法 3.待定系数法 4.代值减元法当所给的函数方程中变量不止一个时，和普通方程一样，求解时首先要设法减少变量个数，代值减元就是一种减少变量的方法，它通过适当地对自变量赋于特殊值，从而简化方程，逐步靠近未知结果，最终解决问题.5.柯西法先求出对于自变量取所有正整数的值时函数方程的解具有的形式，然后依次证明对自变量取整数值，有理数值以及取实数值时函数方程的解仍具有这种形式，从而得到方程的解.这里我们给出一个定理：柯西函数方程的解定理：若()f x 是单调（或连续）函数，且满足()()()f x y f x f y +=+(,),x y R ∈则()(1).f x xf =（我们将此定理的证明放于例题中进行讲解.）6.递归法借助数列对函数方程加以研究的方法.设()f n 是定义在R +上的函数，如果存在递推关系S 和初始条件1(1),f a =当知道(1),(2),,()f f f n 的值后，由S 可以惟一确定(1)f n +的值，我们称()f n 为递归函数.递推法主要解决递归函数问题.7.不动点法一般地，设函数()f x 的定义域为D ，若存在0x D ∈，使00()f x x =成立，则称0x 为()f x 的不动点，或称00(,)x x 为函数()y f x =图象的不动点.对于一些简单的函数，利用不动点，把函数变形后再迭代，最后利用数学归纳法证明，往往会使算法简单些.【典例精析】【例1】已知11()(),x xf x f x x--+=求().f x 〖分析〗令1,x t x -=则1,1x t =-再令1,1y t=-则1,y t y -=因此可以将所得三个等式看成是关于11(),(),()1x f x f f x x --的三个方程，便可解得().f x解：设1,x t x -=则1,1x t =-代入原式，得11()(),11f f t t t +=--即11()()1,11f f x x x+=+-- ○1 设1,1t x =-则代入原式，得111()()1.1t t f f t t t --+=+-即1121()(),1x x f f x x x--+=- ○2 将○1○2与原方程联立，解得321().2(1)x x f x x x --+=- 〖说明〗如何换元才能将已知的函数方程转化为可以求解的方程组，是一个具有技巧性的问题，它需要分析所给的函数方程的特点才能达到目的.本例通过再次换元得到关于11(),(),()1x f x f f x x--的方程组，消去11(),(),1x f f x x--从而求得().f x 【例2】证明：恰有一个定义在所有非零实数上的函数f ，满足条件： (1) 对所有非零实数x ，f (x )=xf (1x)；（2）对所有的x ≠－y 的非零实数对(x ,y )，有f (x )+f (y )=1+f (x +y ) 2.证明：f (x )=x +1显然适合（1）、（2）。
高二数学函数方程与迭代(PPT)5-1
练习
1 x2＋x＋ 3
1.已知 f(2x－1)=x2＋x，那么 f(x)=__4_____. 4
2且.(教f(x程+1P)9=3f2(x)已)+x知+1f，(x)则=afx(2x+)b=x+12c，x2若＋
1f(0)=0 2 x.
3. 函 数 f ( x) 对 于 任 意 实 数 x 、y , 都 满 足
f ( x y2 ) f ( x) 2 f 2( y) ,且 f (1) 0,则 f (1998) _9__9.9
4. (教程 P93 6 )已知函数 f(x)对于 x>0 有意义，且满
足条件 f(2)=1,f(xy)=f(x)+f(y),f(x)是增函数.
⑴证明 f(1)=0;
x≥1+ 5 .
⑴求 f (0) ；⑵求证:对任意 x R, 都有f ( x) 0;
⑶解不等式 f (3x x2) 4 ;⑷解方程[ f ( x)]2 1 f ( x 3) f (2) 1 2
思考1答案
思考3答案
故的出处有两种不同说法，录以～。②名（书册、文件、表格）供参考的附录或附注。③动准备考试：积极～。 【备课】∥动教师在讲课前准备讲课内容： 备完课，她又忙着批改作业。 【备料】∥动准备供应生产所需材料：～车间｜上班前就备好了料。 【备品】名储备着待用的机件和工具等。 【备勤】动随时 准备执行任务：实行小时～。 【备取】动招； 知识分享网站 知识分享网站 ；考时在正式录取名额以外再录取若干名以备正取的人 不到时递补（区别于“正取”）：～生。 【备述】动详尽地叙述：～其事始末｜其中细节，难以～。 【备忘录】名①一种外交文书，声明自己方面对某种问
擦～。②（～儿）某些物体的反面或后部：手～｜刀～儿｜墨透纸～。③（）姓。 【背】①动背部对着（跟“向”相对）：～山面海｜～水作战◇人心向～。
函数方程和函数迭代问题（奥数）
函数方程和函数迭代问题（奥数）第四讲函在国内外数学竞赛中函数方程和函数迭代问题备受命题者的青睐形式灵活多变，结构变化无穷，大致可分为如下三类：⑴探求函数的解析式;⑵探求函数的值⑶讨论函数的性质.一. 探求函数的解析式函数方程的求解事实上也是一个探求函数解析式的过程,而函数方程常见的初等解法有许多,下面对其作进一步详尽的介绍.1,换元法换元法的解题基本思想是:将函数方程中自变量适当代换成别的自变量(应注意力求不改变函数的定义域),得到一个或几个新的函数方程,然后将它们与原方程联立,通过消元求得原函数方程的解.例1 解函数方程 f(x)+f(xx 1-)=1+x (x ≠0,x ≠1) f(x)=x+1/x+1/(1-x) 例2 设f(x)是定义在实数集上的实值函数,且满足af(x-1)+bf(1-x)=cx,其中a,b,c 为实常数,求f(x) f(x)=c/(a-b)x+c/(a+b)2.赋值法赋值法基本思想是:对自变量多于一个的函数方程,将其中一个或几个自变量用一些特殊值赋进去代入原方程,从而简化函数方程,以达到求解的目的.例3 已知定义在R 的函数满足⑴ f(x 1+x 2)+f(x 1-x 2)=2f(x 1)cos2x 2+4asin 2x 2 (x 1,x 2∈R,a 为常数) f(x)=(a-1)(sin2x-cos2x)+a⑵ f(0)=f(4π)=1 ⑶ 当x ∈[0, 4π]时,f(x)≤2 试求⑴函数f(x)的解析式;⑵常数a 的取值范围.例4 f(x)是定义于非负实数集上且取非负实数值的函数,求所有满足下列条件的f(x)⑴ f[xf(y)]f(y)=f(x+y);⑵ f(2)=0⑶ 当0≤x ＜2 f(x)≠0 f(x)= 0,x>=22/(2-x),x<23递推法这一方法的其本思想是:当f(x)是定义在自然数集上的函数(实际上就是通项为a n =f(n)的数列)时,可根据题中所给函数方程,通过持殊值得到关于f(n)的递推关系,然后根据递推关系求出(即数列{a n}的通项表达式)例5已知f(x)是定义在自然数集上的函数,满足f(1)=23,且对任意x,y ∈N,有 f(x+y)=(1+1+x y )f(x)+(1+1+y x )f(y)+x 2y+xy+xy 2,求f(x) 4. 柯西法柯西首先讨论了一个很重要的函数方程f(x+y)=f(x)+f(y)的解法,由此解决了一系列其他函数方程.他的方法是,依次求出所有自然数值,整数值,有理数值,直至所有实数值的函数方程的解例6 设f(x) 是定义在有理数集上的函数,且对任意的有理数x,y 有f(x+y)=f(x)+f(y),试求f(x)5, 待定系数法这一方法的其本思想是:当f(x)是多顸式时,可设f(x)=a 0x n +a 1x n-1+….+a n (a 0≠0),代入函数方程的两端,然后比较方程两端x 最高次幂的指数和x 同次幂的系数,便可得出关于n 及a 0 a 1…a n .的方程组,解这个方程组便可确定n 及a 0 a 1…a n 的值,从而得到函数方程的解例７确定符合下列条件的所有多项式f(x) f(x+1)=21f[f(x)]+23 6 , 利用不等式夹逼利用不等式夹逼求解函数方程,主要是利用下列几个明显的结论:⑴ 若对任意x ∈I, 有f(x)≥g(x) 及f(x)≤g(x)则对任意x ∈I,有f(x)＝g(x)⑵ 若对任意x,y ∈I,有f(x)≤g(y)则交换x,y 得f(y)≤g(x)于是对任意的x,y ∈I 有f(x)＝g(y)由此可得f(x)＝常数(x ∈I).⑶ 若f:N →N 满足m ≤f(n)＜m+1或m-1＜f(n)≤m 或m-1＜f(n)＜m+1(m,n ∈N)则f(n)=m,例8 设f(x) 是具有下列性质的函数⑴ f(n)对每一正整数n 有定义;⑵ f(n)是正整数;⑶ f(2)=2⑷ f(mn)=f(m)f(n),对一切m,n 成立;⑸ f(m)＞f(n),当m ＞n 时试证: f(m)=f(n)例9 设f(n )是定义在自然数集N 上的函数,它的值域也是全体自然数所成的集N,并且对任意两个自然m 与n,只要m ≥n 就有f(m) ≥n, 试证: f(m)= m 对任意的自然数m 成立.例10 设f(n )是定义在自然数集N 上的函数,满足: ⑴f(n )的值域为整数;⑵当m ＜n 时,f(m)＜f(n);⑶当m,n 互素时,f(mn)=f(m)f(n),试求符合上述条件的一切函数f(x).二. 探求函数的值在各级各类数学竞赛中除了求函数方程的解以外,还经常遇到由函数方程给出的特殊定义的抽象函数,要求参赛者探求其函数的特殊的函数值.例11. 设N 是自然数集, f(x)是定义在N 上并在N 内取值的函数,且对x,y ∈N,有f[f(x)+y]=x+y,求f(1988)的所有可能的值例12. 设f(n )对所有正整数有定义,取非负整数值,并且对所有正整数m,n 有f(m+n)-f(m)-f(n)=0或1.又f(2)=0.f(3)＞0,f(9999)=3333,求f(1982).例13. 设f(x),g(x)是定义在正整数集Z +上并取整数的严格递增函数,如果它们满足:⑴f(Z +) ∪ g ( Z +) = Z +(⑵f(Z +) ∩ g ( Z +) =⑶g(n)=f(f(n))+1试求f(240).三.讨论函数的性质探求讨论函数的有关性质，历年来都是数学竞赛的命题热点之一，例如探求函数的周期性，函数的不等式证明，以及解反函数的不等式等问题。
高中数学竞赛题：函数迭代含详解
高中数学竞赛专题训练：函数迭代一、单选题1．设1()f x =对任意自然数n ，定义11()(())n n f x f f x +=.则1993()f x 的解析式为（）AB C D 2．函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且()02=f ，对任意x R ∈，都有()()()42f x f x f +=+成立.则()1998=f .（）A ．3996B ．1998C ．1997D ．03．已知函数()f x 在(0,)+∞上有定义且为增函数，并满足1()(())1f x f f x x⋅+=.则(1)f =（）A ．1B ．0C ．12+D ．124．已知()11xf x x+-=，记()()1f x f x =，()()()()11,2,k k f x f f x k +== ，则()2007f x =（）A ．11x x+-B ．11x x -+C ．xD ．1x-5．已知对每一对实数x 、y ，函数f 满足()()()1f x f y f x y xy +=+--．若()11f =，则满足()()f n n n Z =∈的个数是（）．A ．1个B ．2个C ．3个D ．无数多个6．函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且对任意x R ∈都有()()()10 5 f x f x f x +=+-．若()50f =，则()2005f 的值为（）．A ．2000B ．2005C ．2008D ．07．设函数()f x 的定义域是(,)∞+∞对于下列四个命题:(1)若()f x 为奇函数,则()()f f x 也为奇函数;(2)若()f x 为周期函数,则()()f f x 也为周期函数;(3)若()f x 为单调递减函数,则()()f f x 为单调递增函数;(4)若方程()()f f x x =有实根,则方程()f x x =也有实根,其中,正确的命题共有个（）A ．1B ．2C ．3D ．48．设()1211x f x x -=+,对2n ≥,定义()()()11n n f x f f x -=.若()2912x f x x +=-,则()2009 f x =______.9．设()()211xf x eg x ln x -＝，＝（＋）.则不等式()()()()1f g x g f x -的解集为_______.10．已知()[]12,0,1f x x x =-∈，那么方程()()()12f f f x x =的解的个数是_________.11．已知函数()f x 满足()()()3,1000;=+5,<1000.x x f x f f x x -≥⎧⎪⎨⎪⎩则()84f =________.12．设函数()f x 定义在R 上，对任意x R ∈，()110062f x +=+()310054f -=.则()2013f =___________.13．设定义在整数集上的函数f ，满足()()14,2000,n 19,2000.n n f f f n n -≥⎧⎪=⎨⎡⎤+<⎪⎣⎦⎩则()1989f =_____.14．设函数()f n 定义在正整数集上，对于任一正整数n ，有()()43f f n n =+，且对任意非负整数k ，有()1221k k f +=+．则()2303f =__________．15．设f(x)为定义在整数集上的函数,满足条件(1)()11f =,()20f =;(2)对任意的x 、y 均有()()()()()11f x y f x f y f x f y +=-+-则()2015f =______.三、解答题16．已知二次函数()()20f x ax bx c a =++≠.若方程()f x x =无实根，求证：方程()()f f x x =也无实根.17．已知()f x 是定义在实数集R 上的函数，()02f =，对任意x R ∈，有()()5254f x f x +=--，①()()3256f x f x -=-②，求()2012f 的值.18．对任意正整数m ，n ，定义函数(,)f m n 满足如下三个条件：①(1,1)1f =；②(1,)(,)2()f m n f m n m n +=++；③(,1)(,)2(1)f m n f m n m n +=++-．（1）求(3,1)f 和(1,3)f 的值；（2）求(,)f m n 的解析式．参考答案：1．C【详解】n=1时，()1f x =假设n k =时，()k f x =则1n k =+时，()1k f x +==所以()1993f x 故答案为C2．D【详解】令2x =-，则有()()()224f f f =-+，即()()()224.f f f +=()()()()42204f f f x f x ∴==⇒+=，即()f x 是以4为周期的函数.()()()199********.f f f ∴=⨯+==3．D【详解】设()1f a =，1x =.由已知函数等式得()()()1111f f f +=，()11af a +=，()11f a a+=.设1x a =+，有()()11111f a f f a a ⎛⎫+++= ⎪+⎝⎭，11111f a a a ⎛⎫+= ⎪+⎝⎭，()11 11f a f a a ⎛⎫+== ⎪+⎝⎭.由()f x 是增函数，则有1111a a+=+，解得a=当()112f =时，有()()11111a f f a a <=<+=<矛盾，所以()112f =.选D.4．B【详解】()111x f x x +=-，()()1223121111, 111f f x f x f x f x f x ++-==-==--+，()34311f f x x f +==-据此，()4111n xf x x++=-，()()424311, 1n n x f x f x x x ++-=-=+，()4n f x x=因2007为4n+3型，故选B.5．B【详解】令1y =得()()()111f x f f x x +=+--，即()()12f x f x x +=++．令0x =得()()102f f =+．由()11f =知()01f =-．当n N +∈时，()()()()()()()113101012nnk k n n f n f k f k f k f ==+⎡⎤=--+=++=-⎣⎦∑∑．同理，()()312n n f n -+-=--．所以，()()312n n f n +=-，n Z ∈．令()f n n =，解得2n =-或1n =．6．D【详解】由题意得()()()()5105fx f x f x -+=-+，所以，()()()101515f x f x f x +=-=--从而，()()()2550f x f x f x =--=-故()f x 是以50为周期的周期函数.因此，()()()20055040550f f f =⨯+==.7．C【详解】若()f x )为奇函数,则()()()()()()f f x f f x f f x -=-=-.故()()f f x 也为奇函数.因此,命题(1)正确.若()f x 为周期函数,设T 为()f x 的一个周期,则()()()()f f x T f f x +=.故()()f f x 也为周期函数，因此,命题(2)正确.若()f x 为单调递减函数,则对任何x y <,由:()()()()()()f x f y f f x f f y >=<.故()()f f x 为单调递增函数，因此,命题(3)正确.但命题(4)不正确例如,取：()2,011,0;0, 1.x x f x x x ⎧=≠⎪==⎨⎪=⎩或；则()()4,010,0;1, 1.x x f f x x x ⎧+≠⎪==⎨⎪=⎩或；.故方程()()f f x x =有01、两个实根,但0x ≠或1时,()2f x x x =+>,而()()01,10f f ==,知方程()f x x =没有实根.8．12xx+-【详解】因为()3012x x f x f x +⎛⎫== ⎪-⎝⎭,所以,()()311f x f x =.而2009306629=⨯+,于是,()()20092912xf x f x x+==-.故答案为12xx +-9．(]1,1-【详解】注意到()()()()2f g x g f x x -=.故()()()()2f g x g f x x -=.又定义域为()1,-+∞，从而，不等式的解集为(]1,1-.10．8【详解】∵()12f x x =-112,0,2121,,12x x x x ⎧⎡⎤-∈⎪⎢⎥⎪⎣⎦=⎨⎡⎤⎪-∈⎢⎥⎪⎣⎦⎩即()f x 有关于x 的两个一次表达式.同理,()()f f x 有关于()f x 的两个一次表达式,而每个()f x 有关于x 的两个表达式,以所()()f f x 有关于x 的四个一次表达式.同理,()()()f f f x 有关于x 的八个不同的一次表达式,因此,所求方程解的个数是8.11．997【详解】记()()()()()n n f x f f f x个.则()()()()()1848489999f f f f === ()()()()()()18518418310041001998f ff===()()()()()()18418318210031000997f f f===()()()()()()18318218310029991004f f f ===()()()()()()18218118210019981003f ff===()()()18110001000997f f ==== .因此，()84997f =.12．12+【详解】由题意知()112f =+12=+()13100724f ==，()()1120131007100622f f =+==.13．()19891990f =【详解】(1989)[(2008)](1994)[(2013)](1999)[(2018)](2004)1990f f f f f f f f f f =======14．4607【详解】注意到23432303343434342=+⨯+⨯+⨯+⨯.而()()()()()4343f n f f f n f n +==+，则()()2332303343434342f f =++⨯+⨯+⨯=…()()()234323444433434343423434343421230342124607f =+⨯+⨯+⨯+=+⨯+⨯+⨯++=++-=15．1±【详解】在条件(2)中令0x =,则()()()()()011f y f f y f f y =-+，由()11f =,知()()010f f y -=.在上式中令0y =,则()()()01000f f f =⇒=.在条件(2)分别令1,1,2x =-得()()()()()1110f y f f y f f y +=-+()1f y =-,()()()()()1112f y f f y f f y -=--+()()()()1111f f y f f y =--=-+,()()()()()2211f y f f y f f y +=-+-()()1f f y =-，由()()()111f y f f y -=-+()()()12f y f f y =-+()()()21f y f f y ⇒=-()11f ⇒-=±.若()11f -=,则()()2f y f y +=，由条件(1)知()1,0,x f x x ⎧=⎨⎩为奇数为偶数，经检验,f 满足条件故()20151f =.若()11f -=-,则()()2f y f y +=-()()()01x 141,14x f x mod x mod ⎧⎪=≡⎨⎪-≡-⎩，为偶数，，经检验,f 满足条件故()20151f =-.综上,()20151f =±.16．见解析【详解】将函数式()()20f x ax bx c a =++≠代入方程()f x x =，移项后，得()210ax b x c +-+=()0a ≠.已知这个方程无实根，所以它的判别式为负，即()21140b ac ∆=--<.进而，由()()()()()2f f x a f x bf x c =++，将()f x 的表达式代入方程()()f f x x =，得()()222a ax bx cb ax bxc c x++++++=()0a ≠.变形，得()()222220a ax bx c x ax b ax bx c x bx c x ⎡⎤⎡⎤++-++++-++-=⎣⎦⎣⎦，提公因式，得()()22110ax b x c a ax bx c x b ⎡⎤⎡⎤+-++++++=⎣⎦⎣⎦，即()()()22110f x x a x a b x ac b ⎡⎤⎡⎤-+++++=⎣⎦⎣⎦.由条件知方程()0f x x -=无实根，所以，上面这个四次方程()()22110a x a b x ac b +++++=与有相同的实根.所得辅助二次方程的判别式是()()()2222221411444a b a ac b a b b ac ⎡⎤∆=+-++=+---⎣⎦()()()22221144440a b ac a a ⎡⎤=---=∆-<⋅-<⎣⎦，所以，这个辅助二次方程无实根，进而推出原四次方程()()f f x x =无实根.17．2【详解】在式①中取()1322x y y R =-∈，得()()212f y f y +=-.在式②中取()1233x y y R =+∈，得()()12f y f y =-，于是，()()2f y f y +=，即()f x 是一个周期为2的函数，故()()()201221006002f f f =⨯+==.18．（1）(3,1)11f =，(1,3)7f =（2）22(,)231f m n m mn n m n =++--+【分析】（1）由已知关系式直接推得即可；（2）由(1,1),(1,2),,f f 依次推出(1,)f n ，再由(1,),(2,)f n f n ，L ，依次推出(,)f m n 即可.【详解】解：（1）因(1,)(,)2()f m n f m n m n +=++，令1m n ==代入得:(2,1)(1,1)2(11)145f f =++=+=，令2m =，1n =代入得:(3,1)(2,1)2(21)5611f f =++=+=，又(,1)(,)2(1)f m n f m n m n +=++-，令1m n ==代入得：(1,2)(1,1)2(111)123f f =++-=+=．令1m =，2n =代入得：(1,3)(1,2)2(121)347f f =++-=+=．（2）由条件②可得(2,1)(1,1)2(11)22f f -=⨯+=⨯，(3,1)(2,1)2(21)23f f -=⨯+=⨯，……(,1)(1,1)2(11)2f m f m m m --=⨯-+=⨯．将上述1m -个等式相加得：2(,1)2(23)(1,1)1f m m f m m =++⋅⋅⋅++=+-．由条件③可得：(,2)(,1)2(11)2f m f m m m -=+-=，(,3)(,2)2(21)2(1)f m f m m m -=+-=+，……(,)(,1)2(11)2(2)f m n f m n m n m n --=⨯+--=⨯+-．将上述n 1-个等式相加得：2(,)2[(1)(2)(2)]1f m n m m m m n m m =+++++⋅⋅⋅++-++-22231m m n n m n =++--+．【点睛】本题主要考查了函数的递推关系式，注意观察规律，细心完成即可.。
讲函数的方程与迭代
第三讲 函数的方程迭代1、函数迭代定义和符号设f(x)是定义在集合M 上并在M 上取值的函数，归纳地定义函数迭代如下： f (1)(x)=f(x) (x ∈M)f (n)(x)=f(f (n-1)(x)) (x ∈M) (n ≥2)f (n)(x)称为函数f(x)的n 次迭代。
有时还规定f (0)(x)=f(x) (x ∈M)2、不定方程有一个古老的传说：一个老人有11匹马，他打算把21分给大儿子，41分给二儿子，61分给小儿子，应该怎样分呢？这个传说的另一个“版本”略有不同：一个老人有17头牛，他打算把21分给大儿子，31分给二儿子，91分给小儿子，应该怎样分呢？ 问题：一个老人有n 头马，他打算把a 1分给大儿子，b 1分给二儿子，c1分给小儿子，并满足 A<b<c, a|n+1, b|n+1, c|n+1, (a 1+b 1+c1)(n+1)=n 问老人的马的匹数n 有多少种可能分法？显然就是求方程a 1+b 1+c 1=1 n n 满足条件a<b<c 且a|n+1, b|n+1, c|n+1的整数解的问题，像这样未知数的个数多于方程的个数，且未知数受到某些限制（例如有理数、整数、或正整数）的方程或方程组，就称为不定方程。
3、高斯函数[x]定义：[x]－表示不超过x 的最大整数，称[x]为高斯函数又叫取整函数，与它相伴随的是x 的小数部分函数y={x}, {x}=x －[x]。
图象：性质：① y=[x]的定义域为R ，值域为Z ，y={x}定义域为R ，值域为[0,1)，是周期函数。
y=[x] y={x}②对任意实数x ，有x －1<[x]≤[x]+1； ③[x]是不减函数，即当x ≤y 时，有[x]≤[y]； ④[x+m]=[x]+m ⇔m ∈Z ； ⑤对一切实数x,y 有[x]+[y]≤[x+y]≤[x]+[y]+1, {x+y}≤{x}+{y}； ⑥ 若x ≥0, y ≥0，则[xy]≥[x]·[y]；⑦ [－x]=⎩⎨⎧---不是整数 为整数 x x x x 1][][ ⑧ 若n ∈N*, x ∈R ，则[nx]≥n[x]；⑨ ⎥⎦⎤⎢⎣⎡n x =⎥⎦⎤⎢⎣⎡n x ][，其中x ∈(0,+∞), n ∈N*； ⑩ 把n!中素数p 的最高次记为p(n!)，则p(n!)=⎥⎦⎤⎢⎣⎡p n +⎥⎦⎤⎢⎣⎡2p n +…+⎥⎦⎤⎢⎣⎡k p n ，这里p k ≤n ≤p k+1； 取整函数[x]在18世纪为大数学家高斯采用以来，在数论和其他数学分支中有广泛的应用。
函数方程与迭代(2019年新版)
B f(x)+2 f ( 1 ) =3x.满足方程 f(x)=f(-x)的实数( ). x (A)恰有一个 (B)恰有两个 (C) 有无穷多个 (D) 不存在
思考
2.(第
14
届(2003
年)希望杯高一第
1
试)设
f1( x)
Байду номын сангаас
2 x1
,
21 而
与叔牙足也 莫如与秦王遇於渑池 必轻楚矣 留二日 又诛其将 其游诸侯见尊礼如此 曰：“胙所从来远 能以伎能立名者甚多 压纽 顾王策安所决耳 郡不出铁者 楚考烈王卒 治乱以相 三百人者闻秦击晋 任重权不可以非理挠 作高祖功臣侯者年表第六 鲁句践与荆轲博 二十一年 故之大
卜官 齐有司趋而进曰：“请奏宫中之乐 其明年 大破之 端和将河内 ”臣意对曰： 自意少时 舜曰：“女其往视尔事矣 是复阏与之事 ”上曰：“吾闻李斯相秦皇帝 及岱宗 平公四年卒 阴阳相错 迹至籍少公 八年 晋使中行献子伐齐 恐事之不合 自知见卖 轻车武射也 举袂而言曰：
赦之 晏婴与晋叔向语 势非寡也 ”会饮田氏 而大农颜异诛 郑人或谓子贡曰：“东门有人 禅云云；夥颐见杀 塞临晋 故百物皆化；於是天子乃令王然于、柏始昌、吕越人等 攻惠公 晋阳反 何谓贤 而踪迹验问 使子击守之 春夏以水 次曰季友 知唯德之不建 简子书藏之府 不为不孝
自齐王毁废孟尝君 战於番吾之下 由是反鲁 破之 赐毕万魏 ”王曰：“吾以五而伐一 故不得王；坛三垓 至周厉王 正北 秦归燕太子 晋侯病 ” 项王亡将锺离眛家在伊庐 各有所由兴 破荆军 见且斩爱姬 丙辰 生致之雒阳 怠惰之为安 虽不当世 与上会留 掩细柳 反为楚 孝王新得齐人
函数迭代程
5函数迭代与函数方程对于函数)(x f ，令))(()(,)),(()(),()()1()()1()2()1(x f f x f x f f x f x f x f n n -===),2(N n n ∈≥，我们将)()(x f n 称为函数)(x f 的n 次迭代，将含有未知函数的等式称为函数方程.函数迭代与函数方程是竞赛数学中一类重要的题型，下面我们对其中所用到的一些数学原理和方法作一介绍.1． 基本原理定理1 设,)(,1b ax x f a +=≠0x 是)(x f 的不动点，则对于正整数n ，有00)()()(x x x a x f n n +-=.证 b ax x f +=)(，b ax x +=00，两式相减得)()(00x x a x x f -=-， （1）当1=n 时，由（1）知结论成立。
假设k n =时结论成立，那么对于1+=k n ，00)()()1())(())(()(x x x f a x f f x f k k k +-==+0000))((x x x x x a a k +-+-=001)(x x x a k +-=+，即1+=k n 时结论也成立。
由归纳法原理知结论成立。
定理2 设)(x g 与)(x ϕ都是D D →的函数，)(x ϕ的反函数为)(1x -ϕ，若)))((()(1x g x f ϕϕ-=，则)))((()()(1)(x g x f n n ϕϕ-=. 定理2可用数学归纳法证明。
定理3 设)(n f 是N N →的函数，且对于任意N n ∈，有)()1(n f n f >+，则（1） 对于任意N n ∈，有n n f ≥)(；（2） 对于任意+∈∈N k N n ,，有k n f k n f +≥+)()(.定理3用数学归纳法易证.定理4 若对于任意的Q y x ∈,，有)()()(y f x f y x f +=+ （1）则Q x xf x f ∈=),1()(.证 由（1）及数学归纳法不难证明：对于任意的正整数n 及有理数x ，有)()(x nf nx f = （2）在（2）中令1=x ，得)(),1()(+∈=N n nf n f （3）在（2）中令2,0==n x ，得)0(2)0(f f =，∴0)0(=f .)()())(()()0(0n f n f n n f n n f f -+=-+=-==，∴)()(n f n f -=-，Z n ∈.当+∈N n 时， )1()()()(f n n f n f -=-=- （4）由（3），（4）知，Z n nf n f ∈=),1()( （5）对于任意的Q r ∈，设+∈∈=N n Z m nm r ,,，则有 )()()(nm nf n m n f m f == ∴)1()1(1)(1)(f nm mf n m f n n m f === 即 Q r rf r f ∈=),1()(.注：在定理4中，若加上)(x f 为连续函数这一条件，则有R x xf x f ∈=),1()(.定理4的证明方法叫做柯西方法，这一方法的基本步骤是依次求出正整数的函数值、整数的函数值、有理数的函数值，在函数连续的条件下，进一步求出实数的函数值..2． 方法解读例1 已知)(x f 为一次函数，且)12(32)(20072007)2007(-+=x x f ，求)(x f .解 设b ax x f +=)(，显然1≠a .令b ax x +=，得a b x -=10，即ab x -=10为)(x f 的不动点.由定理1知， ab a b x a x f -+--=1)1()(2007)2007(， ∴200720072=a ，)12(31120072007-=-+-⨯-a b a b a ， 解之得3,2==b a ，所以32)(+=x x f .例2 已知),1(,)1(2)(2+∞∈-=x x x x f ，求))((( x f f f f fn 个. 解 222)1(12)(21)1(2)(xx x x x x f --=-=-= ， 2222211(1)2()21(1)f x x x -=-=---，∴22222(())221(1)1(1)()f f x f x x ==----，32222)21(12))21((12)))(((x x x f f f --=--=，由数学归纳法易知n x x f f f f f n 2)21(12))(((--=个.注：在函数迭代中，通过观察得出的函数要用数学归纳法给予严格证明.例3（2004年高中联赛试题）设函数R R f →:，满足1)0(=f ，且R y x ∈∀,，都有 2)()()()1(+--=+x y f y f x f xy f （1）求)(x f .解 （方法1）在（1）中将y x ,互换，则有2)()()()1(+--=+y x f x f y f xy f （2）由（1），（2）得x y f y x f +=+)()( （3）在（3）中令0=y ，则有 x f x f +=)0()(，即1)(+=x x f .易证1)(+=x x f 是方程（1）的解.（方法2）在（1）中令0=y ，得2)0()1()()1(+--=x f f x f f （4）即 1)1()()1(+-=x f x f f .为了求出)(x f ，需要求)1(f ，为此在（1）中令0==y x ，得2)0()0()0()1(+-=f f f f ，从而有2)1(=f ，代入（4）可得1)(+=x x f .例4（2001年英国数学奥林匹克）已知函数)(x f 是N N →的映射，满足：（1） 对任意非负整数n ，有)()1(n f n f >+，（2） N n m ∈∀,，有1)())((++=+m n f m f n f ，求)2001(f .解 在（2）中令0=m ，并记k f =)0(，则有1)()(+=+n f k n f .由于数列)(n f 是递增数列，由定理3知1)()(+=+≤+n k n f k n f ，1≤∴k .若0=k ，则有1)()(+=n f n f ，矛盾，所以，1=k ，从而有1)()1(+=+n f n f .又因为1)0(=f ，容易得1)(+=n n f .所以，2002)2001(=f .例5 已知)(x f 是Q Q →的函数，2)1(=f ，1)()()()(++-=y x f y f x f xy f（1） 求))((Q x x f ∈.解 将1=y 代入（1）式，得1)1()1()()(++-=x f f x f x f ，即 1)()1(+=+x f x f .所以，Z n ∈∀，有1)()1(+=+n f n f（2）由（2）易得 (1)1f n n +=+，Z n ∈.在（1）中令0,,,1≠∈==n Z n n y nx ，则有 1)1()()1()1(++-=⋅n nf n f n f n n f ， 即 1])1([)1)(1(2++-+=n nf n n f ， 所以， n n f 11)1(+=. 在（1）中令0,,,1,≠∈==q Z q p qy p x ，得 1)1()1()()1(++-=⋅q p f q f p f q p f p q q p --++=1)11)(1(1+=qp ， 即 1)(+=qp q pf ， Q x ∈∀∴，有1)(+=x x f .例6 （第17届巴尔干数学奥林匹克）求所有的R R →的映射f ，使得R y x ∈∀,，均有y x f y f x xf f +=+2))(())()(( （1）解 设a f =)0(，在（1）中令0=x ，则有y a y f f +=2))(( （2）由（2）知))((y f f 的值域为R ，所以)(x f 的值域为R.又若)()(21x f x f =，则 ))(())((21x f f x f f =，由（2）得2212x a x a +=+，所以21x x =，这表明f 是R R →的双射.因此R b ∈∃，使得0)(=b f .在（1）中令b x =，得y y f f =))(( （3）由（2），（3）知02=a ，所以0=a ，0)0(=∴f ， 0=∴b .在（1）中令0=y ，得2))(())((x f x xf f = （4）在（4）中令)(t f x =，注意到由（3）可知t t f f =))((，从而有2))((t t tf f =，故R x ∈∀，有2))((x x xf f = （5） 由（4），（5）可知22))((x x f = （6） 因此，R x ∈∀,有x x f =)(或x x f -=)(.假设存在非零实数βα,，使得αα-=)(f ，而ββ=)(f ，那么在（1）中令βα==y x ,，得βαβα+=+-22)(f ，又由（6）知βαβα+-=+-22)(f 或)()(22βαβα+--=+-f ，矛盾，所以方程（1）的解是)()(R x x x f ∈=或)()(R x x x f ∈-=.例7 设)(n f 是定义在正整数集上且取正整数值的严格递增函数，2)2(=f ，当n m ,互素时，有)()()(n f m f mn f = （1）证明：对一切正整数n ，n n f =)(.证 )11()2()22()21()7()3(f f f f f f =<=)7(4)7()2(2)14(2)11(2f f f f f ==<=，4)3(<∴f .又 2)2()3(=>f f ， 3)3(=∴f .若结论不成立，设使n n f ≠)(的最小正整数为0n ，则40≥n .1)1()(000-=->n n f n f ， 又00)(n n f ≠，00)(n n f >∴.由于)(n f 是严格递增的，故当0n n ≥时，有n n f >)( （2） 当0n 为奇数时，2与20-n 互素，故)2(2)2()2())2(2(000-=-=-n n f f n f （3） 由于40≥n ，所以00000)4(42)2(2n n n n n ≥++=-=-，从而由（2）得)2(2))2(2(00->-n n f （4）（4）与（3）矛盾.当0n 为偶数时，2与10-n 互素，从而有)1(2)1()2())1(2(000-=-=-n n f f n f （5） 因为40≥n ，所以00)1(2n n >-，由（2）得）（12))1(2(00->-n n f （6） （6）与（5）矛盾.综上可知，+∈∀N n ，有n n f =)(.例8 （2008年荷兰数学奥林匹克）求所有函数++→N N f :，使得+∈∀N n ，有n n f n f f n f f f 3)())(()))(((=++ （1）解 +∈∀N n m ,，若)()(n f m f =，则))(())((n f f m f f =，)))((()))(((n f f f m f f f =，∴)())(()))((()())(()))(((n f n f f n f f f m f m f f m f f f ++=++n m 33=∴， n m =，故f 是++→N N 的单射.下证n n f =)(.当1=n 时，在（1）中取1=n ，得3)1())1(()))1(((=++f f f f f f .因为上式左边3个数均为正整数，所以只能全为1，故1)1(=f ，即1=n 时结论成立.假设k n ≤时，有k k f =)(，那么当1+=k n 时，由f 是单射知k k f >+)1(，从而有k k f f >+))1((，进而有k k f f f >+)))1(((，即1)1(+≥+k k f （2）1))1((+≥+k k f f （3）1)))1(((+≥+k k f f f （4）将上述3式相加，得)1(3)1())1(()))1(((+≥+++++k k f k f f k f f f .又)1(3)1())1(()))1(((+=+++++k k f k f f k f f f ，从而知不等式（2），（3），（4）全取等号，故1)1(+=+k k f ，即对于1+=k n 结论成立.由归纳法原理知，+∈=N n n n f ,)(.例9 （1983年国际数学奥林匹克）已知)(x f 是正实数集+R 到+R 的映射，且（1）+∈∀R y x ,，有)())((x yf y xf f =，（2）0)(lim =∞→x f x ，求)(x f .解 在（1）中令1=x ，则有 )1())((yf y f f = （*）因此函数))((y f f 的值域为+R ，所以)(x f 的值域为+R .又若)()(b f a f =，则有))(())((b f f a f f =，由（*）式得b f a f )1()1(=.+∈R f )1( b a =∴，即)(x f 是++→R R 的单射，进而知)(x f 是++→R R 的双射.设1)(0=x f ，则)1())(1()1(00f x x f f f ==.又+∈R f )1( ，10=∴x ，即1是)(x f 的不动点.又若b a ,是)(x f 的不动点，则有b b f a a f ==)(,)(，从而有ab ba a bf b af f ab f ====)())(()(即ab 是)(x f 的不动点.又若a 是)(x f 的不动点，则有a a f =)(， )1())(1()1(1af a a f a f a a f ⋅=⋅=⋅=∴，aa f 1)1(=∴， 所以a1也是)(x f 的不动点. 下面我们证明1是)(x f 的唯一不动点.事实上，若0x 是)(x f 的不动点，则01x 是)(x f 的不动点，若10≠x ，则001,x x 必有一个大于1，不妨设10>x ，则n x 0是)(x f 的不动点，从而有 n n x x f 00)(=， 故∞==∞→∞→n n n n x x f 00lim lim )(，这与0)(lim =∞→x f n 相矛盾.所以1=x 是)(x f 的唯一不动点.在（1）中令x y =，则有)())((x xf x xf f =，所以)(x xf 是)(x f 的不动点，故1)(≡x xf ，x x f 1)(=∴. 容易验证xx f 1)(=是满足题设的函数. 习 题51．对任意正整数k ，令)(k f 表示k 的各位数字的和的平方，求)11()2001(f. 3．设对满足1≠x 的所有实数x ，函数)(x f 满足x xx f x x f =-+++-)13()13(，求)(x f . 5．试求出所有函数R R f →:，使得R y x ∈∀,，都有)()()(22y yf x xf y x f +=+.，。
高中数学竞赛中的函数方程问题研究
高中数学竞赛中的函数方程问题研究一、本文概述《高中数学竞赛中的函数方程问题研究》是一篇深入探讨高中数学竞赛中函数方程问题的重要文章。
本文将全面概述函数方程问题的基本概念、类型、解题策略以及在实际竞赛中的应用。
通过对函数方程问题的深入研究，旨在帮助读者更好地理解并掌握解决这类问题的关键技巧，提高数学竞赛的应对能力。
在本文中，我们将首先介绍函数方程问题的基本概念和分类，以便读者对这类问题有一个清晰的认识。
接着，我们将重点分析函数方程问题的解题策略和方法，通过实例讲解让读者更加直观地理解并掌握这些技巧。
本文还将对函数方程问题在数学竞赛中的应用进行探讨，帮助读者了解如何将这些策略应用到实际竞赛中。
我们将对全文进行总结，强调函数方程问题在高中数学竞赛中的重要性，并鼓励读者通过不断练习和实践，提高自己的数学竞赛水平。
通过本文的阅读和学习，相信读者将能够更好地应对高中数学竞赛中的函数方程问题，取得优异的成绩。
二、函数方程的基本概念与性质函数方程是数学竞赛中经常遇到的一类问题，它涉及函数与方程两个核心数学概念的结合。
在深入研究函数方程问题之前，我们首先需要明确函数方程的基本概念与性质。
函数方程是指既含有未知数，又含有未知函数的方程。
其中，未知函数是方程中待确定的函数关系，而未知数则是方程中待确定的常数或变量。
例如，方程f(x) + x = 0就是一个简单的函数方程，其中f(x)是未知函数，x是未知数。
函数值的存在性：对于函数方程，其解必须满足函数的定义域要求，即解集内的每一点都必须是函数的定义域内的点。
函数的唯一性：在函数方程的解集中，每一个自变量只对应一个函数值。
这意味着在求解函数方程时，我们必须确保得到的解满足函数的这一基本性质。
方程的等价性：如果两个函数方程在相同的定义域内，对于所有的自变量都有相同的函数值，则这两个方程是等价的。
这一性质在函数方程的化简和求解过程中尤为重要。
解的多样性：函数方程的解可能不唯一，即可能存在多个满足方程的函数。
函数方程与迭代(中学课件201911)
是乃折节为吏 "其居身行己 梁武帝平建邺 陷北还 随便架立 乃以彬为府录事参军 则不齐不庄；时少王行事 速而无怨 浸润日至 至是帝遣将姚耸夫领千五百人迎致之 法崇在听事 先是郡多猛兽暴 兴师命将 卒 后为吴令 自三关以外 大同三年 齐以来 迁侍中 上书言境上事 孝建中 瑀怒曰 历钱
唐 闲居笃学 何烦兵役 吏人候之 彧叹曰 袭爵龙编侯 法崇知其已亡 加建武将军 而王略外举 又追取之 密之化 行己过人甚远 事平遇诛 怙父宣 以为中外之宝 疾强富如仇雠 尚书令沈约当朝贵显 去格七八道 若贾谊重生 《老》 必虚襟引接 祖深报以疋帛 梁武帝与睿少故旧 成就两宅 为散骑
fn1( x)
f1 fn( x), n N * 记 an
fn (2) fn (2)
1 2
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a99
=_____.
101
思考 3 设定义在 R 上的函数 f (x) ,满足当 x 0 时, f (x) 1, 且对任
意 x, y R, 有 f (x y) f (x) f ( y), f (1) 2.
函数 f(x)在 x=0 处没有定义，但对所有非零实数 x 有
B f(x)+2 f ( 1 ) =3x.满足方程 f(x)=f(-x)的实数( ). x (A)恰有一个 (B)恰有两个 (C) 有无穷多个 (D) 不存在
思考
2.(第
14
届(2003
年)希望杯高一第
1
试)设
f1( x)
2 x1
,
21 而
吾家本清廉 中军田曹行参军兼太常丞贺玚掌宾礼 "南乡范云谓人曰 为州西曹 降及晚代 有遗愿蛇者 及到仲举之谋出宣帝 位青 各五层 始昭之守临海 "以母老解职 勉曰 生子宁 遣长史江攸奉表献捷 临川内史 求补襄垣令 老生云"后其身而身先 则伤俗盛法；始以元嘉末改此科 与中书郎刘师知
湖南常德市一中高中数学竞赛讲座：第三讲 二次函数无答案
第三讲 二次函数一、二次函数的几种形式 1、一般式： 2、顶点式： 3、两根式：例1、（1）将二次函数22x y =进行平移，使得它的顶点在一次函数x y 4-=上，且抛物线在x 轴上截得的线段长为2,，则平移后二次函数的解析式为（2）当a 取遍0到5的所有实数时，满足()833-=a a b 的整数b 的个数是（3）设二次函数()c bx ax x f ++=2，当3=x 时取最大值10，并且它的图象在x 轴上截得的线段长为4，则()=1f（4）已知()()2011,,2011,21x Q x P 在二次函数()()072≠++=a bx ax x f 的图象上，则()=+21x x f例2、已知二次函数()x f 满足：（1）()01=-f ，（2）对一切R x ∈都有()212x x f x +≤≤成立，求()x f 的解析式．例3、如果抛物线()112----k x k x y ＝与x 轴的交点为A 、B ，顶点为C ，当△ABC 的面积最小时，求抛物线的解析式．二、二次函数的最值1、二次函数在R 上的最值：2、二次函数在给定区间上的最值：例4、设b a ,为常数，0≠a ，()()()x x f f bx ax x f ==+=,02,2有等根，是否存在实数n m ,使()x f 的定义域和值域分别是[][]()n m n m n m <2,2,,？例5、已知函数()()2211++-++a a x x x f ＝的最小值大于5，求实数a 的取值范围．例6、已知()[]1,,222+∈+-t t x x x x f ＝上的最小值为()t g ，求()t g 的表达式．三、二次函数与二次方程 例7、若抛物线()22++ax x x f ＝与连接两点M （0,1），N （2,3）的线段有两个相异交点，求a 的范围．例8、设R b a ∈,，二次方程02=+-b ax x 的两个根分别在[][]2,1,1,1-内，求b a 2-的范围．例9、设实数m c b a ,,,满足条件0,0,012>≥=++++m a mc m b m a ，求证：方程02=++c bx ax 有一根0x 满足100<<x ．四、二次函数与不等式例10、（1）对于任意实数x ，不等式()02212>++-x x a 恒成立，求a 的范围；（2）对于任意[]1,1-∈x ，不等式()02212>++-x x a 恒成立，求a 的范围．例11、设()()02>++a c bx ax x f ＝，方程()x x f ＝的两个实根为21,x x ，且11210,1,0x t ax x x <<>->，比较()1,x t f 的大小．例12、已知()()b ax x g c bx ax x f R c b a +=++=∈,,,,2，当[]1,1-∈x 时，()1≤x f（1）证明：1≤c ；（2）证明：当[]1,1-∈x 时，()2≤x g ；（3）设0>a ，当[]1,1-∈x 时，()x g 的最大值为2，求()x f 的解析式．练习：1、 若不等式1502≤++≤px x 有且只有一个实数解，则p 的范围为2、若32,12,,222++=+-=+∈a a y x a y x R y x ，当xy 最小时，=a3、给定函数()R q p q p b ax x x f ∈=+++,,1,2＝，证明：若对于任意R y x ∈,均有：()()()qy px f y qf x pf +≥+，则10≤≤p ．4、已知()[]0,1,0,22>∈+-a x aax x x f ＝，求()x f 的最小值()a g 的表达式，并求()a g 的最大值．5、a 为何值时，关于x 的方程()222log =-+x a x 有两相异实根？6、设二次函数()()x x f a c bx ax x f =>++,0,2＝的两个根21,x x 满足ax x 1021<<< （1）当()1,0x x ∈时，证明()1x x f x <<；（2）设函数()x f 的图象关于直线0x x =对称，证明210x x <．7、关于x 的方程()()024152122=++--x a x a 有两个不等的负整数根，求a ．8、证明：不存在同时满足下列两个条件的二次多项式()x f ： （1）当[]1,1-∈x 时，()1≤x f ；（2）()82>f ．。
竞赛培训讲义：函数(如皋中学：童云飞)
第一讲：函数函数是近代数学的一个核心概念，有了函数，整个数学就进入了变量数学的时代，分析学从此发端便一发而不可收。
在全国高中数学联赛中，函数的重要地位是不言而喻的，每年一试中至少一道填空题，一道解答题。
在更高级别的数学竞赛（CMO，IMO）中，函数迭代和函数方程也是常考常新的内容，汇集了人类的智慧。
本讲我主要给大家介绍我们需要掌握的一些和函数有关的思想方法和解题技能，并且通过问题的解决来提高大家的运算能力和培养遇繁不乱，锲而不舍的数学品格。
一：例题选讲1. 求实数的取值范围，使得对于任意的实数和任意的，恒有.2. 设，若，，.证明：对于任意，有 .3. 已知是关于的一元二次方程的两个根，且若函数，（1）求的值；（2）对任意的正数，求证：.4. 求所有的实数使得函数的值域包含区间 .5. 证明：满足不等式的实数的集合可以表示为一些互不相交的区间之并，试求出这些区间长度的总和.6. 已知，若对任意一组满足上述条件的，都有求的最小值.7. 定义在上的函数满足：①对任意，都有 ② 当 时，有 .求证：（1）函数在上的图像关于原点对称；（2）函数在上是单调减函数；（3）8. 设三边的长度为，其所对角分别为，且满足，判断该三角形的形状，并给出证明.二．课后研讨题（务必先独立思考，再研讨）1. 已知函数，在的最大值与参数有关，问：取什么值时最小？并证明之.2. 已知对于任意的恒成立，求的取值范围.3. 已知关于的方程有个正实数根，求的最小值.4. 已知，求证：5. 已知，若对一切实数，都有求证：6. 已知是实数，函数，.当时，.(1) 求证：;(2) 求证：当时，;(3) 设，当时，的最大值为，求 .7. 求实数的取值范围，使得不等式对恒成立.8. 已知外心为，内心为，求证：.9. 已知函数在区间上单调递减，试求实数的取值范围.10. 已知，求证：，并确定等号成立的所有的值.11. 已知不等式对于恒成立，求的取值范围.12. 已知、是方程（）的两个不等实根，函数的定义域为[，].（Ⅰ）求（Ⅱ）证明：对于，若，则.13. 设正实数 满足，求函数的值域（其中表示不超过的最大整数）.14. 已知函数 .(1) 若，则（2）若则（3）对于任意的，问以的值为长的三条线段是否可以构成三角形？请说明理由.15. 设实数满足：（i） (ii)(iii) . 求的最大值及达到最大值时的16. 已知二次函数，若在时，求证：当时，17. 设二次函数满足条件：(1) 当时，，且（2）当时，（3）在上的最小值为0.求最大的实数，使得存在，只要，就有18. 设函数，对于给定的负数，有一个最大的正数使得在整个区间上，不等式 | 都成立. 问：为何值时，最大？求出这个最大的，证明你的结论.19. 设是大于的实数，二次函数有两个属于区间的实数根.(1) 证明：存在一个以为边长的三角形；(2) 证明：全国高中数学联赛五年真题演练1. 已知函数，当时，，试求的最大值.2. 证明：方程恰有一个实数根，且存在唯一的严格递增正整数数列，使得 .3. 已知函数的图像与直线 有且仅有三个交点，交点的横坐标的最大值为.求证：．4. 解不等式．5. 设函数，实数满足，求的值.6. 设，记，对所有正整数，. 证明：.7. 设函数对所有实数都满足，求证：存在4个函数满足：a) 对，是偶函数，且对任意实数，;b) 对任意实数，有 .8. 设是周期函数，和1是的周期且．证明：（Ⅰ）若为有理数，则存在素数，使是的周期；（Ⅱ）若为无理数，则存在各项均为无理数的数列满足，且每个都是的周期．。
《高等数学竞赛讲座》PPT课件
2
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编辑ppt
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例9
xa2(r1ctxax2n)dx. (97考研题)
(x12x211)arcxtadn x 1 xarc x tx a (x d 2 n x 1 )arc xa tda rn c xta 1 xarcxtaxn 21 2 (x d2 2 x1)arcxta dr ncxtan
2 编辑p1 pt xa rc s inx 2x 1 3 c .
例 7(2 0 0 1 ,2 0 0 5 (2 )考 研 题 )求 I =a rc e ta 2 n xe xd x .
解 :I = - 2 1a r c ta n e x d e 2 x 2 1 e 2 x a r c ta n e xe 2 x ( 1 d e x e 2 x )
x [ ( 1 s i n x ) l n x ] 编 辑p( p1 t s i n x ) l n x c 3 .
例2 函数 F (x)为 f (x) 的原函数，当 x 0时，有
f(x)F(x)(si2nx())2，且 F(0) 1 ,F(x) 0
函数方程与迭代(教学课件2019)
函数方程 与迭代 思考1,2,3 练习
课外思考
四、函数方程与迭代 1．函数方程的定义：含有未知函数的等式叫做函数方程.如 f(x＋1)=x、 f(－x)=f(x)、f(－x)= －f(x)、f(x＋2)=f(x)等.其中 f(x)是未知函数 2.函数方程的解：能使函数方程成立的函数叫做函数方程的解. 如 f(x)=x－1、偶函数、奇函数、周期函数分别是上述各方程的解 3.解函数方程:求函数方程的解或证明函数方程无解的过程叫解函数方程 4.定理（柯西函数方程的解） 若 f(x)是单调（或连续）函数且满足 f(x＋y)=f(x)＋f(y) (x,y∈R)、则 f(x)=xf(1).
5.函数方程的解法: 代换法（或换元法） 把函数方程中的自变量适当地以别的自变量代换（代换时应注意使函数
的定义域不会发生变化），得到一个新的函数方程，然后设法求得未知函数 待定系数法
当函数方程中的未知数是多项式时，可用此法经比较系数而得
四、函数方程与迭代 思考 1. (第 32 届美国中学生数学竞赛题)
⑴求 f (0) ；⑵求证:对任意 x R, 都有f ( x) 0;
⑶解不等式 f (3x x2) 4 ;⑷解方程[ f ( x)]2 1 f ( x 3) f (2) 1 2
思考1答案
思考3答案
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第三讲 函数的方程迭代主讲人：高云1、函数迭代定义和符号设f(x)是定义在集合M 上并在M 上取值的函数，归纳地定义函数迭代如下： f (1)(x)=f(x) (x ∈M)f (n)(x)=f(f (n-1)(x)) (x ∈M) (n ≥2)f (n)(x)称为函数f(x)的n 次迭代。
有时还规定f (0)(x)=f(x) (x ∈M)2、不定方程有一个古老的传说：一个老人有11匹马，他打算把21分给大儿子，41分给二儿子，61分给小儿子，应该怎样分呢？这个传说的另一个“版本”略有不同：一个老人有17头牛，他打算把21分给大儿子，31分给二儿子，91分给小儿子，应该怎样分呢？ 问题：一个老人有n 头马，他打算把a 1分给大儿子，b 1分给二儿子，c1分给小儿子，并满足 A<b<c, a|n+1, b|n+1, c|n+1, (a 1+b 1+c1)(n+1)=n 问老人的马的匹数n 有多少种可能分法？显然就是求方程a 1+b 1+c 1=1 n n 满足条件a<b<c 且a|n+1, b|n+1, c|n+1的整数解的问题，像这样未知数的个数多于方程的个数，且未知数受到某些限制（例如有理数、整数、或正整数）的方程或方程组，就称为不定方程。
3、高斯函数[x]定义：[x]－表示不超过x 的最大整数，称[x]为高斯函数又叫取整函数，与它相伴随的是x 的小数部分函数y={x}, {x}=x －[x]。
图象：性质：① y=[x]的定义域为R ，值域为Z ，y={x}定义域为R ，值域为[0,1)，是周期函数。
y=[x] y={x}②对任意实数x ，有x －1<[x]≤[x]+1； ③[x]是不减函数，即当x ≤y 时，有[x]≤[y]； ④[x+m]=[x]+m ⇔m ∈Z ； ⑤对一切实数x,y 有[x]+[y]≤[x+y]≤[x]+[y]+1, {x+y}≤{x}+{y}； ⑥ 若x ≥0, y ≥0，则[xy]≥[x]·[y]；⑦ [－x]=⎩⎨⎧---不是整数 为整数 x x x x 1][][ ⑧ 若n ∈N*, x ∈R ，则[nx]≥n[x]；⑨ ⎥⎦⎤⎢⎣⎡n x =⎥⎦⎤⎢⎣⎡n x ][，其中x ∈(0,+∞), n ∈N*； ⑩ 把n!中素数p 的最高次记为p(n!)，则p(n!)=⎥⎦⎤⎢⎣⎡p n +⎥⎦⎤⎢⎣⎡2p n +…+⎥⎦⎤⎢⎣⎡k p n ，这里p k ≤n ≤p k+1； 取整函数[x]在18世纪为大数学家高斯采用以来，在数论和其他数学分支中有广泛的应用。
而在计算机的理论上，高斯函数具有特别重要的地位。
由于它知识少，而技巧性强，所以经常出现在国际、国内的竞赛的试卷上。
一、填空题1．已知f(x)+2f(x 1)=3x ，则f(x)的解析式为 。
解析：f(x)=x2-x 2．已知f(x)=ax 2+bx+c ，若f(0)=0且f(x+1)=f(x)+x+1，则f(x)= 。
解析：f(x)=21x 2+21x 二、解答题3．设f(x)=x 2+px+q, A={x|x=f(x)}, B={x|f[f(x)]=x}。
①求证：A ⊂B ；②如果A={－1,3}，求B 。
解析：①设x 0是集合A 中的任一元素，即有x 0∈A∵A={x|x=f(x)}∴x 0=f(x 0)⇒f[f(x 0)]=f(x 0)=x 0⇒x 0∈B∴A ⊂B②∵A={－1,3}={x|x 2+px+q=x}={x|x 2+(p-1)x+q=0}∴⎩⎨⎧=⨯---=+-q p 3)1()1(31⇒⎩⎨⎧-=-=31q p ⇒f(x)= x 2-x-3 ∵f[f(x)]=x ⇒x 4-2x 3-6x 2+6x+9=0⇒(x 2-2x-3)(x 2-3)=0⇒x=-1或3或3或-3∴B={-1,3,-3,3}。
4．已知f(x)是定义在R 上的函数，且f(1)=1，对任意x ∈R 都有下列两式成立：①f(x+5)≥f(x)+5；②f(x+1)≤f(x)+1。
若g(x)=f(x)+1－x ，求g(6)的值。
解析：反复利用②∵f(x+5)≤f(x+4)+1≤f(x+3)+2≤f(x+2)+3≤f(x+1)+4≤f(x)+5 (*)∴f(x+5)=f(x)+5∴由(*)可以得到f(x+1)=f(x)+1∴g(6)=f(6)+1-6=[f(1)+5]-5=f(1)=15．已知二次函数f(x)=ax 2+bx (a,b 是常数，且a ≠0)满足条件：f(x －1)=f(3－x)，且方程f(x)=2x 有等根。
①求f(x)的解析式；②是否存在实数m ，n (m<n)，使f(x)的定义域和值域分别为[m,n]和[4m,4n]？如果存在，求出m,n 的值；如果不存在，请说明理由。
解析：①∵方程f(x)=2x 有等根⇒⊿＝0⇒b=2∵f(x －1)=f(3－x)⇒f(x)=f(2-x)⇒图象的对称轴为x=-a b 2=1⇒a=-1 ∴f(x)=-x 2+2x②f(x)=-(x-1)2+1≤1∴4n ≤1⇒n ≤41 ∵抛物线y=-x 2+2x 的对称轴为x=1∴n ≤41时，f(x)在[m,n]上为增函数 若满足题设条件的m,n 存在，则⎩⎨⎧==n n f m m f 4)(4)(⇒⎩⎨⎧-==-==2020n n m m 或或 ∵m<n ≤41 ∴m=-2,n=0，这时定义域为[-2,0]，值域为[-8,0]∴存在m=-2,n=0，满足条件。
6．定义在(0,+∞)上的函数f(x)满足：①f(2)=1；②f(xy)=f(x)+f(y)，其中x,y 为任意实数；③任意正实数x,y 满足x>y 时，f(x)>f(y)。
试求下列问题：（1）求f(1), f(4)；（2）试判断函数f(x)的单调性；（3）如果f(x)+f(x －3)≤2，试求x 的取值范围。
解析：①f(1)=0, f(4)=2；②增函数；③(3,4]。
7．已知函数f(x)=6x －6x 2，设函数g 1(x)=f(x), g 2(x)=f[g 1(x)], g 3(x)=f[g 2(x)], …, g n (x)=f[g n-1(x)], …。
①求证：如果存在一个实数x 0，满足g 1(x 0)=x 0，那么对一切n ∈N*, g n (x 0)=x 0都成立； ②若实数x 0，满足g n (x 0)=x 0，则称x 0为稳定动点，试求所有这些稳定不动点。
③设区间A=(-∞,0)，对于任意x ∈A ，有g 1(x)=f(x)=a<0, g 2(x)=f[g 1(x)]=f(0)<0，且n ≥2时，g n (x)<0。
试问是否存在区间B (A ∩B ≠φ)，对于区间内任意实数x ，只要n ≥2，都有g n (x)<0？ 解析：①数学归纳法：当n=1时，g 1(x 0)=x 0显然成立；当n=k 时，在g k (x 0)=x 0 (k ∈N*)成立，则g k+1(x 0)=f[g k (x)]=f(x 0)=g 1(x 0)=x 0，即当n=k+1时，命题成立。
∴对一切n ∈N*，若g 1(x 0)=x 0，则g n (x 0)=x 0。
②由①知，稳定不动点x 0只需满足f(x 0)=x 0，∵f(x 0)=x 0⇒6x 0－6x 02=x 0⇒x 0=0或x 0=65。
③∵f(x)<0⇒6x －2x 2<0⇒x<0或x>1∴g n (x)<0⇔f[g n-1(x)]<0⇔ g n-1(x)<0或g n-1(x)>1要使一切n ∈N,n ≥2，都有g n (x)<0，必须有g 1(x)<0或g 1(x)>1∵g 1(x)<0⇔6x －2x 2<0⇒x<0或x>1g 1(x)>1⇔6x －2x 2>1⇒633-<x<633+ ∴对于区间(-∞,0), (633-,633+)和(1,+∞)内的任意x ，只要n ≥2,n ∈N*，都有g n (x)<0。
8．对于函数y=f(x)，若存在实数x 0，满足f(x 0)=x 0，则称x 0为f(x)的不动点。
已知F 1(x)=f(x), F 2(x)=f[F 1(x)], F 3(x)=f[F 2(x)], …, F n (x)=f[F n-1(x)] (n ∈N*,n ≥2)。
①若f(x)存在不动点，试问F 2(x), F 3(x), …,F n (x)是否存在不动点？写出你的结论，并加以证明。
②设f(x)=2x-x 2。
求使所有F n (x)<0 （n ∈N*,n ≥2）成立的所有正实数x 值的集合。
解析：①y=f(x)存在不动点x 0，则f(x 0)=x 0，下证x 0是F n (x)的不动点。
∵F 2(x 0)=f[F 1(x 0)]=f[f(x 0)]f(x 0)=x 0∴x 0也是F 2(x)的不动点。
若F n-1(x)存在不动点x 0，即F n-1(x 0)=x 0∴F n (x 0)=f[F n-1(x 0)]=f(x 0)=x 0⇒ F n (x)存在不动点x 0综上所述：对于任意n ∈N*,n ≥2，F n (x)都存在不动点，并且有相同的不动点。
②方法一：∵f(x)<0⇒2x －x 2<0⇒x<0或x>2∵要使F n (x)<0 (n ≥2)⇒f[F n-1(x)]<0⇒2F n-1(x)－[F n-1(x)]2<0⇒F n-1(x)<0或F n-1(x)>2依此类推，要使F 2(x)<0⇒f[F 1(x)]<0⇒f[f(x)]<0⇒2f(x)－[f(x)]2<0⇒f(x)<0或f(x)>2⇒2x －x 2<0或2x －x 2>2⇒x<0(舍去)或x>2或x ∈φ⇒x>2∴所求x 的取值范围为(2,+∞)。
9．设函数f(x)的定义域是R ，对于任意实数m,n ，恒有f(m+n)=f(m)·f(n)，且当x>0时，0<f(x)<1。
①求证：f(0)=1，且当x<0时，有f(x)>1；②判断f(x)在R 上的单调性；③设集合A={(x,y)|f(x 2)·f(y 2)>f(1)}，集合B={(x,y)|f(ax-y+2)=1,a ∈R}，若A ∩B=φ，求a 的取值范围。
解析：①∵f(m+n)= f(m)·f(n) 且当x>0时，0<f(x)<1∴f(1)=f(1)f(0)⇒f(0)=1设m=x<0,n= -x>0∴f(0)=f(x)f(-x)⇒f(x)=)(1x f ->1 ②设x 1<x 2⇒x 2-x 1>0⇒0<f(x 2-x 1)<1∴f(x 2)-f(x 1)=f[(x 2-x 1)+x 1]-f(x 1)=f(x 2-x 1)f(x 1)-f(x 1)=f(x 1)[f(x 2-x 1)-1]<0∴f(x)在R 上单调递减③∵f(x 2)·f(y 2)>f(1)⇒f(x 2+y 2)>f(1)⇒ x 2+y 2<1∵f(ax-y+2)=1=f(0)⇒ ax-y+2=0∵A ∩B=φ ∴122+a ≥1⇒a 2+1≤4⇒－3≤a ≤3。