数学竞赛专题讲座第三讲函数的方程与迭代

第三讲 函数的方程迭代

主讲人：高云

1、函数迭代

定义和符号

设f(x)是定义在集合M 上并在M 上取值的函数，归纳地定义函数迭代如下： f (1)(x)=f(x) (x ∈M)

f (n)(x)=f(f (n-1)(x)) (x ∈M) (n ≥2)

f (n)(x)称为函数f(x)的n 次迭代。

有时还规定f (0)(x)=f(x) (x ∈M)

2、不定方程

有一个古老的传说：一个老人有11匹马，他打算把

21分给大儿子，41分给二儿子，61分给小儿子，应该怎样分呢？

这个传说的另一个“版本”略有不同：一个老人有17头牛，他打算把21分给大儿子，31分给二儿子，9

1分给小儿子，应该怎样分呢？ 问题：一个老人有n 头马，他打算把a 1分给大儿子，b 1分给二儿子，c

1分给小儿子，并满足 A

a 1+

b 1+c

1)(n+1)=n 问老人的马的匹数n 有多少种可能分法？显然就是求方程a 1+b 1+c 1=1 n n 满足条件a

3、高斯函数[x]

定义：[x]－表示不超过x 的最大整数，称[x]为高斯函数又叫取整函数，与它相伴随的是x 的小数部分函数y={x}, {x}=x －[x]。

图象：

性质：

① y=[x]的定义域为R ，值域为Z ，y={x}定义域为R ，值域为[0,1)，是周期函数。

y=[x] y={x}

②

对任意实数x ，有x －1<[x]≤[x]+1； ③

[x]是不减函数，即当x ≤y 时，有[x]≤[y]； ④

[x+m]=[x]+m ⇔m ∈Z ； ⑤

对一切实数x,y 有[x]+[y]≤[x+y]≤[x]+[y]+1, {x+y}≤{x}+{y}； ⑥ 若x ≥0, y ≥0，则[xy]≥[x]·[y]；

⑦ [－x]=⎩

⎨⎧---不是整数　为整数 x x x x 1][][ ⑧ 若n ∈N*, x ∈R ，则[nx]≥n[x]；

⑨ ⎥⎦⎤⎢⎣⎡n x =⎥⎦

⎤⎢⎣⎡n x ][，其中x ∈(0,+∞), n ∈N*； ⑩ 把n!中素数p 的最高次记为p(n!)，则p(n!)=⎥⎦⎤⎢⎣⎡p n +⎥⎦

⎤⎢⎣⎡2p n +…+⎥⎦⎤⎢⎣⎡k p n ，这里p k ≤n ≤p k+1； 取整函数[x]在18世纪为大数学家高斯采用以来，在数论和其他数学分支中有广泛的应用。而在计算机的理论上，高斯函数具有特别重要的地位。由于它知识少，而技巧性强，所以经常出现在国际、国内的竞赛的试卷上。

一、填空题

1．已知f(x)+2f(

x 1)=3x ，则f(x)的解析式为 。 解析：f(x)=x

2-x 2．已知f(x)=ax 2+bx+c ，若f(0)=0且f(x+1)=f(x)+x+1，则f(x)= 。 解析：f(x)=

21x 2+21x 二、解答题

3．设f(x)=x 2+px+q, A={x|x=f(x)}, B={x|f[f(x)]=x}。

①求证：A ⊂B ；②如果A={－1,3}，求B 。

解析：①设x 0是集合A 中的任一元素，即有x 0∈A

∵A={x|x=f(x)}

∴x 0=f(x 0)⇒f[f(x 0)]=f(x 0)=x 0⇒x 0∈B

∴A ⊂B

②∵A={－1,3}={x|x 2+px+q=x}={x|x 2+(p-1)x+q=0}

∴⎩⎨⎧=⨯---=+-q p 3)1()1(31⇒⎩⎨⎧-=-=3

1q p ⇒f(x)= x 2-x-3 ∵f[f(x)]=x ⇒x 4-2x 3-6x 2+6x+9=0⇒(x 2-2x-3)(x 2-3)=0⇒x=-1或3或3或-3

∴B={-1,3,-3,3}。

4．已知f(x)是定义在R 上的函数，且f(1)=1，对任意x ∈R 都有下列两式成立：

①f(x+5)≥f(x)+5；②f(x+1)≤f(x)+1。

若g(x)=f(x)+1－x ，求g(6)的值。

解析：反复利用②

∵f(x+5)≤f(x+4)+1≤f(x+3)+2≤f(x+2)+3≤f(x+1)+4≤f(x)+5 (*)

∴f(x+5)=f(x)+5

∴由(*)可以得到f(x+1)=f(x)+1

∴g(6)=f(6)+1-6=[f(1)+5]-5=f(1)=1

5．已知二次函数f(x)=ax 2+bx (a,b 是常数，且a ≠0)满足条件：f(x －1)=f(3－x)，且方程f(x)=2x 有等根。

①求f(x)的解析式；

②是否存在实数m ，n (m

解析：①∵方程f(x)=2x 有等根⇒⊿＝0⇒b=2

∵f(x －1)=f(3－x)⇒f(x)=f(2-x)⇒图象的对称轴为x=-

a b 2=1⇒a=-1 ∴f(x)=-x 2+2x

②f(x)=-(x-1)2+1≤1

∴4n ≤1⇒n ≤4

1 ∵抛物线y=-x 2+2x 的对称轴为x=1

∴n ≤4

1时，f(x)在[m,n]上为增函数 若满足题设条件的m,n 存在，则

⎩⎨⎧==n n f m m f 4)(4)(⇒⎩⎨⎧-==-==2

020n n m m 或或 ∵m

1 ∴m=-2,n=0，这时定义域为[-2,0]，值域为[-8,0]

∴存在m=-2,n=0，满足条件。

6．定义在(0,+∞)上的函数f(x)满足：①f(2)=1；②f(xy)=f(x)+f(y)，其中x,y 为任意实数；③任意正实数x,y 满足x>y 时，f(x)>f(y)。试求下列问题：

（1）求f(1), f(4)；

（2）试判断函数f(x)的单调性；

（3）如果f(x)+f(x －3)≤2，试求x 的取值范围。

解析：

①f(1)=0, f(4)=2；②增函数；③(3,4]。

7．已知函数f(x)=6x －6x 2，设函数g 1(x)=f(x), g 2(x)=f[g 1(x)], g 3(x)=f[g 2(x)], …, g n (x)=f[g n-1(x)], …。

①求证：如果存在一个实数x 0，满足g 1(x 0)=x 0，那么对一切n ∈N*, g n (x 0)=x 0都成立； ②若实数x 0，满足g n (x 0)=x 0，则称x 0为稳定动点，试求所有这些稳定不动点。

③设区间A=(-∞,0)，对于任意x ∈A ，有g 1(x)=f(x)=a<0, g 2(x)=f[g 1(x)]=f(0)<0，且n ≥2时，g n (x)<0。试问是否存在区间B (A ∩B ≠φ)，对于区间内任意实数x ，只要n ≥2，都有g n (x)<0？ 解析：