导学案033不等式与不等关系

不等式与不等关系
考纲要求
1.了解现实世界和日常生活中的不等关系．
2.了解不等式(组)的实际背景. 考情分析
1.从高考内容上来看，不等关系、不等式的性质及应用 是命题的热点．
2.着重突出考查对不等式性质的灵活运用，有时与充要性的判断交汇命题，体现了化归转化思想，难度中、 低档．
3.考查题型多为选择、填空题. 教学过程
基础梳理
一、实数大小顺序与运算性质之间的关系
a －
b ＞0⇔ ；a －b ＝0⇔ ；a －b ＜0⇔ . 二、不等式的基本性质
1.对称性a >b ⇔
2.传递性a >b ，b >c ⇒
3.可加性a >b ⇒
4.可乘性
a >
b
c >0⇒ ，
⎭⎪⎬⎪
⎫a >b c <0⇒
5.同向可加性
⎭⎪⎬⎪
⎫a >b c >d ⇒
6.同向同正可乘性
⎭
⎪⎬⎪
⎫a >b >0c >d >0⇒
7.可乘方性a >b >0⇒ (n ∈N ，n ≥2)
8.可开方性a >b >0⇒ (n ∈N ，n ≥2)
两条常用性质
① a ＞b ，ab ＞0⇒1a ＜1
b
② 若a ＞b ＞0，m ＞0，则b a ＜b ＋m
a ＋m
；
双基自测
1．若x ＋y >0，a <0，ay >0，x －y 的值为 ( ) A ．大于0 B ．等于0 C ．小于0
D ．不确定
2．(教材习题改编)已知a ，b ，c 满足c <b <a ，且ac <0.那么下列选项中一定成立的是 ( ) A ．ab >ac B ．c (b －a )<0 C ．c b 2
<a b 2
D ．ac (a －c )>0
3．已知a ，b ，c ，d 均为实数，且c >d ，则“a >b ”是“a －c >b －d ”的
( )
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
4．(教材习题改编)3＋7与25的大小关系是________． 5．已知a ，b ，c ∈R ，有以下命题：
①若a >b ，则a c 2
>b c 2
； ②若a c 2
>b c 2
，则a >b ； ③若a >b ，则a ·2c
>b ·2c
以上命题中正确的是____________(请把正确命题的序号都填上)．
典例分析
考点一、比较大小
[例1] (2012·珠海模拟)已知b >a >0，x >y >0，求证：
x x ＋a >y
y ＋b
.
变式1．(2012·杭州模拟)已知a>b≥2.现有下列不等式：①b2>3b－a；②ab>a ＋b.其中正确的是 ( )
A．①B．②
C．①②D．都不正确
比较大小的方法
1．作差法：
其一般步骤是：(1)作差；(2)变形；(3)定号；(4)结论．其中关键是变形，常采用配方、因式分解、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式．当两个式子都为正数时，也可以先平方再作差．
2．作商法：
其一般步骤是：(1)作商；(2)变形；(3)判断商与1的大小；(4)结论．
3．特例法：
若是选择题还可以用特殊值法比较大小，若是解答题，也可以用特殊值法探路. 考点二、不等式的性质
[例2](2011·全国卷)下面四个条件中，使a>b成立的充分而不必要的条件是()
A．a>b＋1 B．a>b－1
C．a2>b2D．a3>b3
变式2．(2012·义乌模拟)设a，b∈R，若b－|a|>0，则下列不等式中正确的是()
A．a－b>0 B．a＋b>0
C．a2－b2>0 D．a3＋b3<0
(1)判断一个关于不等式的命题的真假时，先把要判断的命题与不等式性质联系起来考虑，找到与命题相近的性质，并应用性质判断命题的真假，当然判断的同时可能还要用到其他知识，比如对数函数、指数函数的性质．
(2)特殊值法是判断命题真假时常用到的一个方法，在命题真假未定时，先用特殊值试试可以得到一些对命题的感性认识，如正好找到一组特殊值使命题不成立，则该命题为假命题.
考点三、不等式性质的应用
[例3](2011·浙江高考)若a，b为实数，则“0＜ab＜1”是“b＜1
a
”的
()
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
变式3．(2012·金华质检)已知a∈R，则“a>2”是“a2>2a”成立的( ) A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条
(1)运用不等式性质解决问题时，必须注意性质成立的条件．
(2)同向不等式的可加性与可乘性可推广到两个以上的不等式．
一个技巧
作差法变形的技巧：作差法中变形是关键，常进行因式分解或配方．
一种方法
待定系数法：求代数式的范围时，先用已知的代数式表示目标式，再利用多项式相等的法则求出参数，最后利用不等式的性质求出目标式的范围．
两条常用性质
(1)倒数性质：
①a＞b，ab＞0⇒1
a
＜
1
b
；
②a＜0＜b⇒1
a
＜
1
b
；
③a＞b＞0,0＜c＜d⇒a
c
＞
b
d
；
④0＜a＜x＜b或a＜x＜b＜0⇒1
b
＜
1
x
1
a
(2)若a＞b＞0，m＞0，则
①真分数的性质：
b a ＜b ＋m a ＋m ；b a ＞b －m a －m (b －m ＞0)； ②假分数的性质：
a b ＞a ＋m b ＋m ；a b ＜a －m b －m (b －m ＞0)．
本节检测
1．(2011·长沙一模)若a ，b ∈R ，则下列命题正确的是( )
A ．若a >b ，则a 2>b 2
B ．若|a |>b ，则a 2>b 2
C ．若a >|b |，则a 2>b 2
D ．若a ≠|b |，则a 2≠b 2
2．(2011·泉州质检)已知a 1，a 2∈(0,1)，记M ＝a 1a 2，N ＝a 1＋a 2－1，则M 与N 的大小关系是( )
A ．M <N
B ．M >N
C ．M ＝N
D ．不确定
3．设a ，b 是非零实数，若a <b ，则下列不等式成立的是( )
A ．a 2<b 2
B ．ab 2<a 2b C.
1ab 2<1
a 2b
D.b a <a b
4．设0<b <a <1，则下列不等式成立的是( )
A ．ab <b 2<1
B ．12
log b <12
log a <0
C ．2b <2a <2
D ．a 2<ab <1
5.
12－1
与3＋1的大小关系为________．
6. (2011·陕西)设0＜a ＜b ，则下列不等式中正确的是( )．
A ．a ＜b ＜ab ＜a ＋b
2 B ．a ＜ab ＜a ＋b
2＜b
C ．a ＜ab ＜b ＜
a ＋
b 2
D.ab ＜a ＜
a ＋b
2
b
自我反思。