导学案033不等式与不等关系

不等式与不等关系

考纲要求

1.了解现实世界和日常生活中的不等关系．

2.了解不等式(组)的实际背景. 考情分析

1.从高考内容上来看，不等关系、不等式的性质及应用 是命题的热点．

2.着重突出考查对不等式性质的灵活运用，有时与充要性的判断交汇命题，体现了化归转化思想，难度中、 低档．

3.考查题型多为选择、填空题. 教学过程

基础梳理

一、实数大小顺序与运算性质之间的关系

a －

b ＞0⇔ ；a －b ＝0⇔ ；a －b ＜0⇔ . 二、不等式的基本性质

1.对称性a >b ⇔

2.传递性a >b ，b >c ⇒

3.可加性a >b ⇒

4.可乘性

a >

b

c >0⇒ ，

⎭⎪⎬⎪

⎫a >b c <0⇒

5.同向可加性

⎭⎪⎬⎪

⎫a >b c >d ⇒

6.同向同正可乘性

⎭

⎪⎬⎪

⎫a >b >0c >d >0⇒

7.可乘方性a >b >0⇒ (n ∈N ，n ≥2)

8.可开方性a >b >0⇒ (n ∈N ，n ≥2)

两条常用性质

① a ＞b ，ab ＞0⇒1a ＜1

b

② 若a ＞b ＞0，m ＞0，则b a ＜b ＋m

a ＋m

；

双基自测

1．若x ＋y >0，a <0，ay >0，x －y 的值为 ( ) A ．大于0 B ．等于0 C ．小于0

D ．不确定

2．(教材习题改编)已知a ，b ，c 满足c ac B ．c (b －a )<0 C ．c b 2

D ．ac (a －c )>0

3．已知a ，b ，c ，d 均为实数，且c >d ，则“a >b ”是“a －c >b －d ”的

( )

A ．充分而不必要条件

B ．必要而不充分条件

C ．充要条件

D ．既不充分也不必要条件

4．(教材习题改编)3＋7与25的大小关系是________． 5．已知a ，b ，c ∈R ，有以下命题：

①若a >b ，则a c 2

>b c 2

； ②若a c 2

>b c 2

，则a >b ； ③若a >b ，则a ·2c

>b ·2c

以上命题中正确的是____________(请把正确命题的序号都填上)．

典例分析

考点一、比较大小

[例1] (2012·珠海模拟)已知b >a >0，x >y >0，求证：

x x ＋a >y

y ＋b

.

变式1．(2012·杭州模拟)已知a>b≥2.现有下列不等式：①b2>3b－a；②ab>a ＋b.其中正确的是 ( )

A．①B．②

C．①②D．都不正确

比较大小的方法

1．作差法：

其一般步骤是：(1)作差；(2)变形；(3)定号；(4)结论．其中关键是变形，常采用配方、因式分解、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式．当两个式子都为正数时，也可以先平方再作差．

2．作商法：

其一般步骤是：(1)作商；(2)变形；(3)判断商与1的大小；(4)结论．

3．特例法：

若是选择题还可以用特殊值法比较大小，若是解答题，也可以用特殊值法探路. 考点二、不等式的性质

[例2](2011·全国卷)下面四个条件中，使a>b成立的充分而不必要的条件是()

A．a>b＋1 B．a>b－1

C．a2>b2D．a3>b3

变式2．(2012·义乌模拟)设a，b∈R，若b－|a|>0，则下列不等式中正确的是()

A．a－b>0 B．a＋b>0

C．a2－b2>0 D．a3＋b3<0

(1)判断一个关于不等式的命题的真假时，先把要判断的命题与不等式性质联系起来考虑，找到与命题相近的性质，并应用性质判断命题的真假，当然判断的同时可能还要用到其他知识，比如对数函数、指数函数的性质．

(2)特殊值法是判断命题真假时常用到的一个方法，在命题真假未定时，先用特殊值试试可以得到一些对命题的感性认识，如正好找到一组特殊值使命题不成立，则该命题为假命题.

考点三、不等式性质的应用

[例3](2011·浙江高考)若a，b为实数，则“0＜ab＜1”是“b＜1

a

”的

()

A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件

C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件

变式3．(2012·金华质检)已知a∈R，则“a>2”是“a2>2a”成立的( ) A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条

(1)运用不等式性质解决问题时，必须注意性质成立的条件．

(2)同向不等式的可加性与可乘性可推广到两个以上的不等式．

一个技巧

作差法变形的技巧：作差法中变形是关键，常进行因式分解或配方．

一种方法

待定系数法：求代数式的范围时，先用已知的代数式表示目标式，再利用多项式相等的法则求出参数，最后利用不等式的性质求出目标式的范围．

两条常用性质

(1)倒数性质：

①a＞b，ab＞0⇒1

a

＜

1

b

；

②a＜0＜b⇒1

a

＜

1

b

；

③a＞b＞0,0＜c＜d⇒a

c

＞

b

d

；

④0＜a＜x＜b或a＜x＜b＜0⇒1

b

＜

1

x

1

a

(2)若a＞b＞0，m＞0，则

①真分数的性质：