第6章 Z变换

第6章 Z变换
主要内容
定义和收敛域 有理z变换 逆z变换 z变换的性质 有限长序列卷积的计算 传输函数
概述
z变换是离散时间傅立叶变换的推广形式 对于很多序列，其离散时间傅立叶变换不存 在，但其z变换存在 对于实值序列，其z变换是复数变量z的实有 理函数 z变换是数字滤波器设计和分析的重要工具 在z域中，LTI离散时间系统的表示由其传输 函数给出
逆z变换
使用查表法计算逆z变换 使用部分分式展开法求逆变换 P253 例6.14
有用性质的证明
共轭性质 时间反转性质 线性性质 P258 例6.22
有限长序列卷积计算
线性卷积 圆周卷积
线性卷积
两序列x[n],h[n]的线性卷积和y[n] 的z变换 Y(z)可以由x[n]和h[n]的z变换相乘获得 例6.30 6.31
LTI离散时间系统传输函数的表示
FIR数字滤波器 有限维LTI IIR离散时间系统
FIR数字滤波器
冲激响应h[n]定义在区间N1≤n≤N2上，在区间 外有h[n]=0，传输函数为：
H ( z) =
n= N1
h[n]z − n ∑
N2
对于因果FIR滤波器，0≤N1≤N2，所以所有极 点均在z平面的原点处 H(z)的收敛域是除了z=0的整个z平面 P267 例6.33
用极点表示的稳定性条件
基于冲激序列h[n]给出BIBO稳定性：
n = −∞
∑ h[n] < ∞
+∞
问题：对于无限冲激响应系统，稳定性条件很 难检测 解决：用传输函数H(z)的极点位置来表示稳定 条件。 P272 例6.36 例6.37
用极点表示的稳定性条件
通过傅立叶变换H(ejω)的存在性来验证其冲激 响应是否绝对可和：
有限维LTI IIR离散时间系统
用线性常系数差分方程来描述的LTI离散时间系统：
∑d
k =0
N
k
y[n − k ] = ∑ pk x[n − k ]
k =0
M
其传输函数可以通过对方程两边同时取z变换得到：
Y ( z) = H ( z) = X ( z) pk z − k ∑ d k z −k ∑
k =0 k =0 N M
有限维LTI IIR离散时间系统
H(z)是关于z的有理函数：
通过对分子和分母多项式进行因式分解可求得零点和极点 对于因果IIR滤波器，冲激响应是因果序列，则其传输函数 的收敛域在其经过原点最远的极点的圆的外部
z > max λk
k
P268 例6.34
传输函数的频率响应
z变换与傅立叶变换的关系 建立LTI数字滤波器频率响应函数和传输函数的 关系： H e jω = H ( z ) |
arg H e
p0 | H (e ) |= d0
jω
( e jω − ξ l ) ∏ (e jω − λl ) ∏
l =1 l =1 N
M
( )
jω
M N p0 jω = arg + ω ( N − M ) + ∑ arg(e − ξ k ) − ∑ arg(e jω − λk ) d k =1 k =1 0
因果传输函数的稳定性
稳定因果传输函数的所有极点都必须严格 地位于单位圆之中。 P274 例6.41
∏ (z − ξ )
l
M
∏ (z − λ )
l l =1
l =1 N
传输函数的频率响应
因式分解后，频率响应可以通过z=ejω代入得：
H ( e jω ) = p0 j ω ( N − M ) e d0 ( e jω − ξ l ) ∏ (e jω − λl ) ∏
l =1 l =1 N M
幅度函数： 相位响应：
定义
由LTI数字离散时间系统，其冲激响应为h[n]，则 系统的输入输出关系为
∞
y[n] =
k = −∞
∑ h[k ]x[n − k ]
由z变换的卷积定理可知：
Y ( z) = H ( z) X ( z)
结论 LTI离散时间系统的传输函数H(z)是输出序列 y[n]的z变换Y(z)与输入序列x[n]的z变换X(z)之比
圆周卷积
仍可用多项式乘法来计算，但需引入模运算 步骤：
按线性卷积进行运算 按z的次数进行模运算
例6.32
传输函数
系统频率响应H(ejω)是系统冲激响应的 DTFT 频率响应函数是关于频率变量ω的复函数， 很难依据系统频响函数实现滤波器。 传输函数：系统冲击响应的z变换 对于实冲激响应，传输函数的系数为实数， 则滤波器的传输函数是z-1的实有理函数， 易于合成实现。
H ( e jω ) ≤
n = −∞
∑ h[n]
+∞
满足BIBO稳定性条件的LTI数字滤波器的传输函 数H(z)的收敛域一定包含单位圆 反之，若LTI数字滤波器的传输函数的收敛域包 含单位圆，则该滤波器是BIBO稳定的
FIR和IIR数字滤波器的设计
LTI FIR数字滤波器总是稳定的，因为其传 输函数在z平面上的所有极点均在原点处。 LTI IIR数字滤波器若设计不当，则可能会 是不稳定的。 由于量化的原因导致极点漂移，原本理论 计算稳定的IIR滤波器也有可能不稳定。 P273 例6.38 使用matlab程序测试IIR稳定性
( )
z = e jω
对于稳定的有理传输函数：
P ( z ) p0 + p1 z −1 + L + pM −1 z − ( M −1) + pM z − M H ( z) = = D( z ) d 0 + d1 z −1 + L + d N −1 z −( N −1) + d N z − N
因式分解： ( N − M ) p0 H ( z) = z d0
N
g[ n − M ] z N + M − n ∑
n =0
zN
z=∞处有M个极点，z=0处有N个极点 在z=0或z=∞处可能不收敛外，在z平面的其他 地方都收敛
右边无限长序列的z变换
U l ( z) =
n=M
∑ u [ n] z
l
∞
−n
序列定义于区间：M≤n≤ ∞ 收敛域是z平面上某个圆的外部，该圆是以最 远的极点位置为半径的圆
只有指出z变换的收敛域，其与原序列才有唯一 的对应关系 若序列的z变换的收敛域包括单位圆，则序列的 傅立叶变换可以简单的通过它在单位圆上的z变 换求得

各种序列的z变换收敛域
有限长序列的z变换 右边序列的z变换 左边序列的z变换 双边序列的z变换
有限长序列的z变换
N +M
G( z) =
n=− M
g[ n] z − n = ∑
P270 例6.35 声门脉冲模型
频率响应的几何解释
频响表达式中的典型因式：
(e
jω
− ρe
jϕ
)
LTI数字滤波器传输函数 的幅度和相位响应的近似 图可以通过研究它的极点 和零点的位置得到。
频率响应的几何解释
当ω=φ是零点时，原式具有最小幅度值 当ω=φ是极点时，原式具有最大幅度值（∞） 频率衰减设计：若所设计的数字滤波器需要在特 定频率范围内很大程度地衰减信号，则需要在该 频率范围内将传输函数的零点放到距单位圆非常 接近的位置，或直接放在单位圆上。 频率增强设计：若需要在某个特定频率范围内很 大程度上强化信号，就需要在该频率范围内将传 输函数的极点放在与单位圆非常近的地方
左边无限长序列的z变换
vl ( z ) =
n = −∞
∑ v [ n] z
l
N
−n
序列定义于区间：-∞ ≤n≤ N 收敛域是z平面上某个圆的内部，该圆是以最 近的极点位置为半径的圆
双边无限长序列的z变换
w( z ) = w[n]z − n = ∑ w[n]z − n + ∑
n =0 ∞ ∞
n = −∞
n = −∞
w[n]z − n ∑
−1
序列定义于整个坐标轴 收敛域是两个同心圆之间的环，该环在两个极 点上，没有极点在环内 例6.8：双边无限长序列不存在z变换
matlab计算
根据有理式形式的多项式确定z变换的零极点 例6.9 程序6_1 根据零极点来确定有理式形式的多项式 例6.10 程序6_2
定义和收敛域
对于给定的序列g[n]，其z变换G(z)定义为：
G( z) =
n = −∞
∑ g[ n] z
∞
−n
z变换可以看成是{g[n]r-n}的DFT 收敛域(ROC)：使z变换收敛的所有z的集合Rg z变换收敛的条件为：
n = −∞
∑ g[n]r
∞
−n
<∞
P243 例6.1
有理z变换
z变换是关于z-1的有理函数，即是关于z-1的 两个多项式之比 零点和极点 z变换的收敛域