高等代数-7.3线性变换的矩阵

定义 :V V , ＝x11 x22
xn
，
n
易知 为V的一个变换，下证它是线性的.
n
n
任取 ， V , 设 = bii , cii
i 1
i 1
§7.3 线性变换的矩阵
n
n
则 ＋＝ （bi＋c） i i , k (kbi )i
i 1
i 1
n
n
n
于是 ＋ （bi＋c） i i bii cii
( 2
)
12 1
22 2
( n ) 1n1 2n 2
n1 n n2 n nn n
用矩阵表示即为
1,2, , n 1, 2,
§7.3 线性变换的矩阵
, n 1, 2,
,n A
其中
11 12
A
21
22
n1 n2
1n
2n
,
nn
矩阵A称为线性变换 在基 1, 2 , , n下的矩阵.
,
(3 ) (5,1,9)
其中,
12(
1, 0, 2) (0,1,1)
3 (3,1,0)
（1）求 在标准基 1, 2 , 3 下的矩阵. （2）求 在 1,2 ,3 下的矩阵.
§7.3 线性变换的矩阵
解：（1）由已知，有
1
(1,2 ,3 )
(1, 2 , 3 )
0 2
0 1 1
3 1 0
x1
,
n
A
x2
xn
1, 2 ,
y1
,n
y2
1, 2 ,
yn
x1
,
n
A
x2
xn
由于 1, 2 ,
, n线性无关，所以
y1 x1
y2
＝A
x2
.
yn xn
§7.3 线性变换的矩阵
4．同一线性变换在不同基下矩阵之间的关系
定理4 设线性空间V的线性变换 在两组基
§7.3 线性变换的矩阵
注： L(V ) Pnn ; dim L(V ) n2.
事实上，任意取定V的一组基 1, 2 , , n后， 对任意 L(V )，定义 ：
: L(V ) Pnn, ( ) A, 这里A为 在基 1, 2 , , n 下的矩阵. 则 就是L(V )到 Pnn的一个同构映射.
对V中任意n个向量 1,2 , ,n , 存在唯一的线性
变换 , 使
i
，
i
i 1,2,
, n.
§7.3 线性变换的矩阵
二、 线性变换与矩阵
1．线性变换的矩阵
设 1, 2 , , n为数域P上线性空间V的一组基，
为V的线性变换. 基向量的象可以被基线性表出,设
(1 ) 111 21 2
第七章 线性变换
§1 线性变换的定义 §6线性变换的值域与核
§2 线性变换的运算 §7不变子空间
§3 线性变换的矩阵 §8 若当标准形简介
§4 特征值与特征向量 §9 最小多项式
§5 对角矩阵
小结与习题
§7.3 线性变换的矩阵
一、线性变换与基 二、线性变换与矩阵 三、相似矩阵
§7.3 线性变换的矩阵
定理2 设1, 2 , , n为数域P上线性空间V的一组
基，在这组基下，V的每一个线性变换都与 Pnn 中 的唯一一个矩阵对应，且具有以下性质： ① 线性变换的和对应于矩阵的和； ② 线性变换的乘积对应于矩阵的乘积； ③ 线性变换的数量乘积对应于矩阵的数量乘积； ④ 可逆线性变换与可逆矩阵对应，且逆变换对应
求 在标准基 1, 2 , 3 下的矩阵.
解： (1) (1,0,0) (1,0,1)
(2 ) (0,1,0) (0,1,1)
( 3 ) (0,0,1) (0,0,0)
1 0 0
(
1
,
2
,
3
)
(
1
,
2
,
3
)
0 1
1 1
0 0
§7.3 线性变换的矩阵
例2. 设 1, 2 , , m (m n)为n维线性空间V的子空
(
1
,
2
,
3
)
X
,
5 0 5
(1,2 ,3 ) (1, 2 , 3 )
0 3
1 6
1 9
,
设 在标准基 1, 2 , 3 下的矩阵为A，即
(1, 2 , 3 ) (1, 2 , 3 ) A
(1,2 ,3 ) ((1, 2 , 3 ) X ) (1, 2, 3 ) X
(1, 2 , 3 ) AX
§7.3 线性变换的矩阵
（2）
定理5 线性变换在不同基下的矩阵是相似的；
反过来，如果两个矩阵相似，那么它们可以看作
同一线性变换在两组基下所对应的矩阵.
证：前一部分显然成立. 下证后一部分.
设 A~B, 且A是线性变换 在基1, 2 , , n下的矩阵.
B= X 1AX , 令 1,2 , ,n 1, 2 , , n X .
§7.3 线性变换的矩阵
5 0 5
因而，
AX
0 3
1 6
1 9
,
5 0 5
5 0 5 1 0 3 1
A
0 3
1 6
1 9
X
1
0 3
1 6
91
0 2
1 1
01
1 7
5 4 27
20 5 18
20
2 24
§7.3 线性变换的矩阵
（2）设 在1,2 ,3下的矩阵为B，则A与B相似，且
一、 线性变换与基
1．设 1, 2 , , n是线性空间V的一组基， 为V
的线性变换. 则对任意 V 存在唯一的一组数
x1, x2 , , xn P, 使 x11 x2 2 xn n 从而， ( ) x1 (1 ) x2 ( 2 ) xn ( n ).
由此知， ( ) 由 (1), (2 ), , ( n ) 完全确定. 所以要求V中任一向量在 下的像，只需求出V的 一组基在 下的像即可.
§7.3 线性变换的矩阵
3．线性变换矩阵与向量在线性变换下的像
定理3 设线性变换 在基1, 2 , , n下的矩阵为A,
V在基 1, 2 , , n下的坐标为 ( x1, x2 , , xn ), ( )在基 1, 2 , , n下的坐标为 ( y1, y2 , , yn ),
则有
y1 x1
间W 的一组基，把它扩充为V的一组基：1, 2 , , n .
并定义线性变换 ：
i i i 0
i 1,2, ,m i m 1, ,n
则
1
m行
1,2,
,n 1,2,
,
n
1 0
0
称这样的变换 为对子空间W的一个投影.
易验证 2 .
§7.3 线性变换的矩阵
2．线性变换运算与矩阵运算
注： ① A的第i列是 ( i ) 在基 1, 2 , , n下的坐标，
它是唯一的. 故 在取定一组基下的矩阵是唯一的.
② 单位变换在任意一组基下的矩阵皆为单位矩阵；
零变换在任意一组基下的矩阵皆为零矩阵；
数乘变换在任意一组基下的矩阵皆为数量矩阵；
§7.3 线性变换的矩阵
例1. 设线性空间 P3的线性变换 为 ( x1, x2 , x3 ) ( x1, x2 , x1 x2 )
§7.3 线性变换的矩阵
2．基本性质
（1）相似是一个等价关系，即满足如下三条性质： ① 反身性： A~A.
A= E 1AE.
② 对称性： A~B B~A.
B X 1AX A Y 1BY ,Y X 1.
③ 传递性： A~B, B~C A~C.
B= X 1AX , C= Y 1BY C = Y 1BY = Y 1( X 1AX )Y = ( XY )1 A( XY ).
由已知，即得 ＝ . .
由此知，一个线性变换完全被它在一组基上的作 用所决定.
§7.3 线性变换的矩阵
3．设 1, 2 , , n 是线性空间V的一组基，对V中
任意n个向量 1,2, ,n , 都存在线性变换 使
( i ) i , i 1, 2, , n
证： V ,设 x11 x2 2 xn n
i源自文库1
i 1
i 1
n
n
k (kbi )i k bii k
i 1
i 1
为V的线性变换.
又 i 01 0 i1 i 0 i1 ( i ) i , i 1, 2, , n
§7.3 线性变换的矩阵
0 n
由2与3即得
定理1 设1, 2 , , n为线性空间V的一组基，
1,2, ,n A B
∴ + 在基 1, 2 , , n下的矩阵为A＋B.
§7.3 线性变换的矩阵
② 1,2, ,n 1,2, ,n 1,2, ,n B 1, 2, , n B
1,2, ,n AB
∴ 在基 1, 2 , , n下的矩阵为AB.
③ k 1,2, ,n k 1 , ,k n k 1 , ,k n k 1 , , n
1 1
1 2
,
（1）求 在1,2下的矩阵B.
（2）求 Ak .
§7.3 线性变换的矩阵
解：（1）由定理4， 在基 1,2 下的矩阵
B
1 1
1 1 2
21 1 0
1 1 1 2
21 11
21 1 0
1 1
1 2
1 0
1 1
.
（2）由 B= X 1 AX , 有 A= XBX 1,
y2
＝A
x2
.
yn xn
§7.3 线性变换的矩阵
证：由已知有
1,2, , n 1, 2, , n A,
＝1, 2 ,
x1
,
n
x2
,
xn
( ) 1, 2,
y1
,n
y2
.
yn
§7.3 线性变换的矩阵
又
( ) 1, 2,
x1
,
n
x2
1,
2
,
xn
于是， 1,2, ,n 1, 2, , n X 1, 2 , , n AX 1,2, ,n X - 1AX .
由此即得 B= X - 1AX .
§7.3 线性变换的矩阵
三、相似矩阵
1．定义
设A、B为数域P上的两个n级矩阵，若存在可逆 矩阵 X P nn , 使得
B X - 1AX 则称矩阵A相似于B，记为 A~B.
显然，1,2 , ,n 也是一组基，且 在这组基下的
矩阵就是B.
§7.3 线性变换的矩阵
（3）相似矩阵的运算性质 ① 若 B1 X 1A1X , B2 X 1A2 X , 则 B1 B2 X 1( A1 A2 )X , B1B2 X 1( A1A2 )X . 即， A1 A2 ~B1 B2 , A1 A2 ~B1B2 .
于是 Ak = XBk X 1.
Ak =
1 1 1 2
1 1 k 1 1 1 0 1 1 2
=
1 1 1 2
1k 01
21 11
k 1 k
k k 1
.
§7.3 线性变换的矩阵
练习.在线性空间P3 中，线性变换 定义如下：
(1 (2
) )
( 5, 0, (0, 1,
3) 6)
② 若 B X 1AX , f ( x) P[x], 则 f (B) X 1 f ( A)X .
特别地， Bm X 1Am X .
§7.3 线性变换的矩阵
例3.设 1, 2为线性空间V一组基， 线性变换 在
这组基下的矩阵为
A
21 1 0
,
1,2 为V的另一组基，且
(1,2 ) (1,2 )
于逆矩阵.
§7.3 线性变换的矩阵
证：设 , 为两个线性变换，它们在基 1, 2 , , n
下的矩阵分别为A、B，即
1,2, ,n 1,2, 1,2, ,n 1,2,
,n A ,n B
①
1,2, ,n
1,2, ,n 1,2, ,n
1, 2 , , n A 1 2 n B
1, 2 , , n
(Ⅰ)
1,2 , ,n
(Ⅱ)
下的矩阵分别为A、B，且从基(Ⅰ) 到基(Ⅱ)的过渡
矩阵矩阵是X，则 B X 1AX .
§7.3 线性变换的矩阵
证：由已知，有
1,2, , n 1, 2, , n A, 1,2, ,n 1,2, ,n B,
1,2, ,n 1, 2, , n X .
§7.3 线性变换的矩阵
2．设 1, 2 , , n 是线性空间V的一组基， , 为
V的线性变换，若 ( i ) ( i ), i 1, 2, , n. 则 .
证：对 V , x11 x2 2 xn n
＝x1 1 x2 2 xn n ＝x1 1 x2 2 xn n
B X 1AX
1 0 3 1 5 0 5
B
0 2
1 1
1 0
0 3
1 6
91
2 3 5
1 1
0 1
1 0
§7.3 线性变换的矩阵
k 1, 2, , n k 1,2, , n A 1,2, ,n kA
∴ k 在基 1, 2 , , n下的矩阵为 kA.
§7.3 线性变换的矩阵
④ 由于单位变换(恒等变换) E对应于单位矩阵E.
所以， E
与 AB＝BA＝E 相对应.
因此，可逆线性变换 与可逆矩阵A对应，且 逆变换 - 1 对应于逆矩阵 A- 1.