离散数学全套课件

式，每个析取项是所有命题变元式其否定的析
取式。
§1.8 命题联结词的扩充与归约 （13）命题联结词的扩充 ——异或：、与非： 、或非：、蕴含否定：C （14）命题联结词的归约 命题联结词可归约为如下形式之一： {, } {, }
{}
{}
第二章 谓词逻辑
§2.1 谓词与个体
xP（x）∨Q＝x（P（x）∨Q） xP（x）∧Q＝x（P（x）∧Q）
xyP（x , y）＝yx（P（x , y）
xyP（x , y）＝yx（P（x , y） x P（x）Q＝x（P（x）Q）
x P（x）Q＝x（P（x）Q）
（10）11个推理规则 P，Q P； P ，Q Q ； P P∨Q； Q P∨Q； P，Q P∧Q； P，P∨Q Q； P，PQ Q； Q，PQ P； PQ，QR P R； PQ，RS P∧R Q∧S； P∨Q，PR，QR R；
§1.7 范式 （11）范式——命题公式的一种标准形式 （ 12 ）特异析取范式：该范式是一个析取 式，每个析取项是所有命题变元式其否定的合 取式。 （ 13 ）特异合取范式：该范式是一个合取
§1.4 命题逻辑基本等式
（6）命题逻辑42个基本等式。 交换律 P∨Q＝Q∨P； P∧Q＝Q∧P； PQ＝QP． 结合律 （P∨Q）∨R＝P∨（Q∨R）； （P∧Q）∧R＝P∧（Q∧R）； （PQ）R＝P（QR）． 分配律 P∧（Q∨R）＝（P∧Q）∨（P∧R）； P∨（Q∧R）＝（P∨Q）∧（P∨R）；
函数
（6）函数 ——个体间的特定关系称函数，它是个体
间的映射。
f (x)中X是个体而f为函数符号，f (x)为函数。
§2.2 谓词逻辑公式 （7）谓词逻辑公式 项：个体是项，函数是项 原子公式：P（t1 , t2 ,…tn）是原子公式 （其中ti为项） 公式： 原子公式是公式； A ， B 是公式，则（ A ） , （A∨B） , （A∧B）,（AB）， （AB）是公式； A是公式，x为个体变量，则（x）A， （x）A为公式； 公式由且仅由有限次使用前面三步而 得。
离散数学
绪
言
1． 计算机科学与离散数学 介绍离散数学在计算机科学发展中的作用与关 系，明确离散数学是掌握与研究计算机科学的基础理 论与工具。 2．离散数学的特征 离散性 能行性 3．离散数学的内容 离散数学的主要内容为： 数理逻辑 集合论 代数系统 图论
第一篇
数理逻辑
数理逻辑是用数学方法研究形式逻辑演绎 推理规则的科学，它是一门数学，是一门研究演 绎推理规则的数学，在学习此部分时，主要要掌 握如下几个要点： ① 思维的形式化 ② 指派法
§2.4 谓词逻辑永真公式
（9）谓词逻辑永真公式定义 谓词公式的解释与赋值
（10）谓词逻辑永真公式定义——公式在所有解释 下对所有赋值均为真
（11）谓词逻辑永真公式等式：
（xP（x））＝x（P（x））
（x P（x））＝x（P（x）） xP（x）∨Q＝x（P（x）∨Q）
xP（x）∧Q＝x（P（x）∧Q）
常值与变元的联结 T∧P＝P； F∧P＝F； T∨P＝T； F∨P＝F； TP＝P； FP＝T； PT＝T； PF＝P； TP＝P； FP＝P；
联结词化归 P∧Q＝（P∨Q）；
P∨Q＝（P∧Q）；
PQ＝P∨Q； PQ＝（PQ）∧（QP）
其它
PQ＝QP (PQ)∧（PR）＝PQ∧R
③ 公式推理
④ 公理系统 ⑤ 范式 ⑥ 自动定理证明
本篇由命题逻辑、谓词逻辑、公理化 理论及非经典逻辑等四部分组成，其中 命题逻辑以命题为研究对象而谓词逻辑 则以谓词为研究对象，而公理化理论则 是数理逻辑中演绎推理的形式化思想的 介绍，最后非经典逻辑则介绍若干种计 算机科学中常用的一些特殊形式逻辑， 以上四部分有机结合构成完整的整体。
否定深入 P＝P； （P∧Q）＝P∨Q； （P∨Q）＝P∧Q； （PQ）＝P∧Q； (14)（PQ）＝PQ＝PQ； 变元等同 P∧P＝P； P∨P＝P； P∧P＝F； P∨P＝T； PP＝T； PP＝P； PP＝P； PP＝T； PP＝PP＝F；
§2.3 自由变元与约束变元
（8）谓词公式中的自由变元与约束变元 谓词公式中的自由变元与约束变元 约束变元的改名规则——改名在量词变元及其
辖域中该变元的约束出现处进行且该变元不在量词辖
域内出现过。 自由变元的代入规则——代入在公式的自由变
元出现的每一处进行且该代入变元不允许在式中以任
何约束形式出现。
P∨（P∧Q）＝P
P（QR）＝P∧QR P∧（P∨Q）＝P
§1.5 对偶定理
（7）对偶公式定义
（8）对偶公式性质：
一个等式成立其对偶等式也
成立
§1.6 命题逻辑基本蕴含式及推理规则
（9）19个基本蕴含重言式
P∧QP；
P∧QQ； P P∨Q； QP∨Q； P P Q ； Q P Q ； （PQ） P； （PQ） Q；
（1）个体
个体常量与个体变量 个体域与全总个体域 （2）谓词 一元谓词——刻划个体性质
二元谓词——刻划两个个体间关系
n元谓词——刻划n个个体间关系
量词 （3）存在量词：x P (x)——“有一些”之语义 （4）全称量词：x P (x)——“所有”之语义 （5）量词的辖域——量词所作用的范围
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P∧（P∨Q）Q； Q∧（P∨Q）P； P∧（PQ）Q； Q∧（PQ）P； (PQ)∧(QR) PR； (PQ)∧(RS) P∧RQ∧S； (P∨Q)∧(PR)∧(QR)R； P(QP∧Q)； (PQ)((QR)(PR))； (P(QR))(Q(PR))； (PQ)((RQ)(P∨RQ))．