江苏省高一下学期期末数学试卷

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江苏省苏州市2023-2024学年高一下学期6月期末考试数学含答案

苏州市2023~2024学年第二学期学业质量阳光指标调研卷高一数学（答案在最后）2024.6注意事项学生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求：1.本卷共4页，包含单项选择题（第1题~第8题）､多项选择题（第9题~第11题）､填空题（第12题~第14题）､解答题（第15题~第19题）.本卷满分150分，答题时间为120分钟.答题结束后，请将答题卡交回.2.答题前，请您务必将自己的姓名､调研序列号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在答题卡的规定位置.3.请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效.作答必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔.请注意字体工整，笔迹清楚.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设i 为虚数单位，已知复数11i z =+，则||z =（）A.12B.2C.D.22.sin164sin 44cos16sin 46-= （）A.12-B.2C.12D.23.某射击运动员射击6次，命中的环数如下：7，9，6，9，10，7，则关于这组数据的说法正确的是（）A.极差为10B.中位数为7.5C.平均数为8.5D.4.某科研单位对ChatGPT 的使用情况进行满意度调查，在一批用户的有效问卷（用户打分在50分到100分之间的问卷）中随机抽取了100份，按分数进行分组（每组为左闭右开的区间），得到如图所示的频率分布直方图，估计这批用户问卷的得分的第75百分位数为（）A.78.5B.82.5C.85D.87.55.在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若6b =，2c =，60B =︒，则A =（）A.45︒B.60︒C.75︒D.105︒6.已知l ，m 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）A.若//l m ，//l α，//m β，则//αβB.若l m ⊥，l α⊥，//m β，则//αβC.若//αβ，l ⊂α，m β⊂，则//l mD.若l m ⊥，l α⊥，m β⊥，则αβ⊥7.在ABC 中，已知2cos 2cos 22cos A B C +=，则ABC 的形状一定为（）A .等腰三角形B.锐角三角形C.直角三角形D.钝角三角形8.长篇评弹《玉蜻蜓》在江南可谓家喻户晓，是苏州评弹的一颗明珠.为了让更多年轻人走近评弹､爱上经典，苏州市评弹团在保留原本精髓的基础上，打造了《玉蜻蜓》精简版，将长篇压缩至三场，分别是《子归》篇､《认母》篇､《归宗》篇.某班级开展对《玉蜻蜓》的研究，现有三位学生随机从三篇中任意选一篇研究，记“三人都没选择《子归》篇”为事件M ，“至少有两人选择的篇目一样”为事件N ，则下列说法正确的是（）A.M 与N 互斥B.()()P M P MN = C.M 与N 相互独立D.()()1P M P N +<二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知函数2()sin 2233f x x x =+-，则（）A.()f x 的最小正周期为2π B.()2f x ≥-C.()f x 的图象关于直线π6x=对称 D.()f x 在区间π,04⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增10.已知复数1z ，2z ，3z ，则下列说法正确的有（）A.1212||||||z z z z = B.若120z z ->，则12z z >C.若120z z =，则1212||||z z z z -=+ D.若1213z z z z =且10z ≠，则23z z =11.如图，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，E ，F ，G ，H 分别为AB ，1CC ，11A D ，1DD 的中点，则（）A.1B D ⊥平面EFGB.//AH 平面EFGC.点1B ，D 到平面EFG 的距离相等D.平面EFG 截该正方体所得截面的面积为三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.设向量(1,3)m = ，(4,2)n =- ，p m n λ=+，若m p ⊥ ，则实数λ的值为___________.13.在直角三角形ABC 中，已知CH 为斜边AB 上的高，AC =2BC =，现将BCH V 沿着CH 折起，使得点B 到达点B '，且平面B CH '⊥平面ACH ，则三棱锥B ACH '-的外接球的表面积为___________.14.在ABC 中，已知cos 21sin 2cos 212C C C =++，则3sin 2sin A B +的最大值为___________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.如图，在四棱锥P ABCD -中，已知底面ABCD 为矩形，PA ⊥底面ABCD ，PA AB =，E ，F ，G 分别为线段AD ，BC ，PB 的中点.（1）求证：AG ⊥平面PBC ；（2）求证：//PE 平面AFG .16.一个袋子中有大小和质地均相同的四个球，其中有两个红球（标号为1和2），一个黑球（标号为3），一个白球（标号为4），从袋中不放回地依次随机摸出两个球.设事件A =“第一次摸到红球”，B =“第二次摸到黑球”，C =“摸到的两个球恰为一个红球和一个白球”.（1）用数组()12,x x 表示可能的结果，1x 是第一次摸到的球的标号，2x 是第二次摸到的球的标号，试用集合的形式写出试验的样本空间Ω；（2）分别求事件A ，B ，C 发生的概率；（3）求事件A ，B ，C 中至少有一个发生的概率.17.如图，在平面四边形ABCD 中，已知AC 与BD 交于点E ，且E 是线段BD 的中点，BCE 是边长为1的等边三角形.（1）若sin 14ABD ∠=，求线段AE 的长；（2）若:AB AD =AE BD <，求sin ADC ∠.18.如图，在平行四边形ABCD 中，已知3A π=，2AB =，1AD =，E 为线段AB 的中点，F 为线段BC 上的动点（不含端点）.记BF mBC =.（1）若12m =，求线段EF 的长；（2）若14m =，设AB xCE yDF =+ ，求实数x 和y 的值；（3）若CE 与DF 交于点G ，AG EF ∥，求向量GE 与GF的夹角的余弦值.19.如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，已知侧面11CDD C 为矩形，60BAD ABC ∠=∠=︒，3AB =，2AD =，1BC =，1AA =，12AE EA =uu u r uuu r ，2AF FB = .（1）求证：平面DEF 平面1A BC ；（2）求证：平面11ADD A ⊥平面ABCD ；（3）若三棱锥1E A BC -的体积为33，求平面1A BC 与平面ABCD 的夹角的余弦值.苏州市2023~2024学年第二学期学业质量阳光指标调研卷高一数学2024.6注意事项学生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求：1.本卷共4页，包含单项选择题（第1题~第8题）､多项选择题（第9题~第11题）､填空题（第12题~第14题）､解答题（第15题~第19题）.本卷满分150分，答题时间为120分钟.答题结束后，请将答题卡交回.2.答题前，请您务必将自己的姓名､调研序列号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在答题卡的规定位置.3.请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效.作答必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔.请注意字体工整，笔迹清楚.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设i 为虚数单位，已知复数11i z =+，则||z =（）A.12B.2C.D.2【答案】B 【解析】【分析】利用复数的商的运算法则求得z ，进而可求||z .【详解】11i 1i 1i 1i (1i)(21i)z --====-++-，则2||2z ==.故选：B .2.sin164sin 44cos16sin 46-= （）A.12-B. C.12D.32【解析】【分析】利用诱导公式与两角差的正弦公式化简求值.【详解】()()sin164sin 44cos16sin 46sin 18016sin 9046cos16sin 46-=---()1sin16cos 46cos16sin 46sin 1646sin 302=-=-=-=-.故选：A.3.某射击运动员射击6次，命中的环数如下：7，9，6，9，10，7，则关于这组数据的说法正确的是（）A.极差为10B.中位数为7.5C.平均数为8.5D.【答案】D 【解析】【分析】利用极差、中位数、平均数、标准差的定义，根据条件逐一对各个选项分析判断即可得出结果.【详解】某射击运动员射击6次，命中的环数从小到大排列如下：6，7，7，9，9，10，对A ，极差为1064-=，故A 错误；对B ，中位数为7982+=，故B 错误；对C ，平均数为677991086+++++=，故C 错误；对D ，标准差为=，故D 正确.故选：D4.某科研单位对ChatGPT 的使用情况进行满意度调查，在一批用户的有效问卷（用户打分在50分到100分之间的问卷）中随机抽取了100份，按分数进行分组（每组为左闭右开的区间），得到如图所示的频率分布直方图，估计这批用户问卷的得分的第75百分位数为（）A.78.5B.82.5C.85D.87.5【答案】B【分析】根据百分位数计算规则计算可得.【详解】因为()0.010.0250.035100.70.75++⨯=<，()0.010.0250.0350.02100.90.75+++⨯=>，所以第75百分位数位于[)80,90，设为x ，则()()0.010.0250.035100.02800.75x ++⨯+-=，解得82.5x =.故选：B5.在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c，若b =，2c =，60B =︒，则A =（）A.45︒B.60︒C.75︒D.105︒【答案】C 【解析】【分析】利用正弦定理求出C ，即可求出A .【详解】由正弦定理sin sin c b C B=，则32sin 22sin 2c B C b ⨯===，又c b <，所以60C B <=︒，所以45C =︒，所以180604575A =︒-︒-︒=︒.故选：C6.已知l ，m 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）A.若//l m ，//l α，//m β，则//αβB.若l m ⊥，l α⊥，//m β，则//αβC.若//αβ，l ⊂α，m β⊂，则//l mD.若l m ⊥，l α⊥，m β⊥，则αβ⊥【答案】D 【解析】【分析】根据空间中线线、线面、面面的位置关系一一判断即可.【详解】对于A ：若//l m ，//l α，则//m α或m α⊂，又//m β，则//αβ或α与β相交，故A 错误；对于B ：若l m ⊥，l α⊥，则//m α或m α⊂，又//m β，则//αβ或α与β相交，故B 错误；对于C ：若//αβ，l ⊂α，则//l β，又m β⊂，则l 与m 平行或异面，故C 错误；对于D ：若l m ⊥，l α⊥，则//m α或m α⊂，若//m α，则在平面α内存在直线c ，使得//m c ，又m β⊥，则c β⊥，又c α⊂，所以αβ⊥；若m α⊂，又m β⊥，所以αβ⊥；综上可得，由l m ⊥，l α⊥，m β⊥，可得αβ⊥，故D 正确.故选：D7.在ABC 中，已知2cos 2cos 22cos A B C +=，则ABC 的形状一定为（）A.等腰三角形B.锐角三角形C.直角三角形D.钝角三角形【答案】C 【解析】【分析】利用二倍角公式及正弦定理将角化边，即可判断.【详解】因为2cos 2cos 22cos A B C +=，所以22212sin 12sin 22sin A B C -+-=-，所以222sin sin sin A B C +=，由正弦定理可得222+=a b c ，所以ABC 为直角三角形.故选：C8.长篇评弹《玉蜻蜓》在江南可谓家喻户晓，是苏州评弹的一颗明珠.为了让更多年轻人走近评弹､爱上经典，苏州市评弹团在保留原本精髓的基础上，打造了《玉蜻蜓》精简版，将长篇压缩至三场，分别是《子归》篇､《认母》篇､《归宗》篇.某班级开展对《玉蜻蜓》的研究，现有三位学生随机从三篇中任意选一篇研究，记“三人都没选择《子归》篇”为事件M ，“至少有两人选择的篇目一样”为事件N ，则下列说法正确的是（）A.M 与N 互斥B.()()P M P MN = C.M 与N 相互独立D.()()1P M P N +<【答案】B 【解析】【分析】计算事件M 和事件N 的概率，由互斥事件的性质和相互独立事件的定义，对选项进行判断即可.【详解】三个人随机选三篇文章研究，样本空间共33327⨯⨯=种，事件M ：“三人都没选择《子归》篇”共有：2228⨯⨯=，所以()827P M =，事件N ：“至少有两人选择的篇目一样”共有27621-=种，所以()1272P N =，()()1P M P N +>，所以M 与N 不互斥，A 错误，D 错误；事件MN 共有2338++=种，所以()782P MN =，B 正确；因为()()()P MN P M P N ≠，所以C 错误.故选：B.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知函数2()sin 2f x x x =+-，则（）A.()f x 的最小正周期为2π B.()2f x ≥-C.()f x 的图象关于直线π6x =对称 D.()f x 在区间π,04⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递增【答案】BD 【解析】【分析】利用二倍角公式及两角和的正弦公式化简，在根据正弦函数的性质计算可得.【详解】因为2()sin 2sin 22f x x x x x=+=+132sin 2cos 222x x ⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭π2sin 23x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以()f x 的最小正周期2ππ2T ==，故A 错误；因为π1sin 213⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭x ，所以()2f x ≥-，故B 正确；因为πππ2sin 2663f ⎛⎫⎛⎫=⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()f x 的图象不关于直线π6x =对称，故C 错误；当π,04x ⎛⎫∈-⎪⎝⎭，则,ππ233π6x ⎛⎫-∈ ⎝+⎪⎭，又sin y x =在ππ,63⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，所以()f x 在区间π,04⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，故D 正确.故选：BD10.已知复数1z ，2z ，3z ，则下列说法正确的有（）A .1212||||||z z z z = B.若120z z ->，则12z z >C.若120z z =，则1212||||z z z z -=+ D.若1213z z z z =且10z ≠，则23z z =【答案】ACD 【解析】【分析】A 项，表达出12||z z 和12||||z z ，即可得出相等；B 项，作出示意图即可得出结论；C 项，写出12||z z -和12||z z +的表达式，利用120z z =得出两复数的实部和虚部的关系，即可得出结论；D 项，对1213z z z z =进行化简即可得出结论.【详解】由题意，设12i,i,,,,Rz a b z c d a b c d =+=+∈A 项，()()()12i i i z z a b c d ac bd bc ad =++=-++=12z z ==∴1212||||||z z z z =,A 正确；B 项，当120z z ->时，若两复数是虚数1z ，2z 不能比较大小，B 错误；C 项，()()1212i,i z z a c b d z z a c b d -=-+-+=+++，12z z -==12z z +==，当120z z =时，12120z z z z ==0=，∴0,0a b ==，,c d 任取，或0,0c d ==，,a b 任取，即12,z z 至少有一个为0∴1212z z z z -=+=（其中至少有两项为0），C 正确；D 项，∵1213z z z z =，∴()1230z z z -=，∵10z ≠，∴230z z -=，即23z z =，D 正确；故选：ACD.11.如图，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，E ，F ，G ，H 分别为AB ，1CC ，11A D ，1DD 的中点，则（）A.1B D ⊥平面EFGB.//AH 平面EFGC.点1B ，D 到平面EFG 的距离相等D.平面EFG 截该正方体所得截面的面积为【答案】ACD 【解析】【分析】取BC 的中点L ，11C D 的中点K ，1AA 的中点M ，即可得到正六边形LEMGKF 为平面EFG 截该正方体所得截面，求出截面面积，即可判断D ；根据线面垂直的判定定理说明A ，证明1//AD 平面EFG ，即可说明B ，根据正方体的性质判断D.【详解】如图，取BC 的中点L ，11C D 的中点K ，1AA 的中点M ，连接GK 、KF 、FL 、LE 、EM 、MG 、11A C 、MF 、AC 、1AD ，则11//GK A C ，//EL AC ，11////A C AC MF ，所以//GK MF ，所以G 、K 、F 、M 四点共面，又//EL MF ，所以L 、E 、F 、M 四点共面，同理可证//KF ME ，所以K 、E 、F 、M 四点共面，正六边形LEMGKF 为平面EFG 截该正方体所得截面，又12EL AC ===，所以216sin 602LEMGKF S =⨯⨯⨯︒=D 正确；因为AC ⊥平面11DBB D ，1DB ⊂平面11DBB D ，所以1AC DB ⊥，则1EL DB ⊥同理可证1FL DB ⊥，又EL FL L = ，,EL FL ⊂平面LEMGKF ，所以1DB ⊥平面LEMGKF ，即1B D ⊥平面EFG ，故A 正确；因为1//GM AD ，GM ⊂平面LEMGKF ，1AD ⊄平面LEMGKF ，所以1//AD 平面LEMGKF ，即1//AD 平面EFG ，又1AH AD A = ，1,AH AD ⊂平面11AD A A ，平面EFG ⋂平面11AD A A GM =，所以AH 不平行平面EFG ，故B 错误；设O 为正方体的中心，即O 为1DB 的中点，根据正方体的性质可知1EF DB O = ，即1DB 交平面LEMGKF 于点O ，所以点1B ，D 到平面LEMGKF 的距离相等，即点1B ，D 到平面EFG 的距离相等，故D 正确.故选：ACD三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.设向量(1,3)m = ，(4,2)n =- ，p m n λ=+，若m p ⊥ ，则实数λ的值为___________.【答案】15##0.2【解析】【分析】求出p，利用m p ⊥ ，即可求出实数λ的值.【详解】由题意，(1,3)m = ，(4,2)n =- ，p m n λ=+，∴()4,32p λλ=+-∵m p ⊥ ，∴()()143320λλ⨯++-=，解得：15λ=，故答案为：15.13.在直角三角形ABC 中，已知CH 为斜边AB 上的高，AC =2BC =，现将BCH V 沿着CH 折起，使得点B 到达点B '，且平面B CH '⊥平面ACH ，则三棱锥B ACH '-的外接球的表面积为___________.【答案】13π【解析】【分析】证明,,HA HB HC '两两垂直，由,,HA HB HC '的边长，求出外接球半径，求表面积即可.【详解】直角三角形ABC 中，AC =2BC =，则斜边4AB =，30A = ，CH 为斜边AB 上的高，则CH =3AH =，1HB =，平面B CH '⊥平面ACH ，平面B CH ' 平面ACH CH =，B H CH '⊥，B H '⊂平面B CH '，则B H '⊥平面ACH ，又AH CH ⊥，所以,,HA HB HC '两两垂直，HC =3HA =，1HB '=，则三棱锥B ACH '-的外接球半径1322R ==，所以三棱锥B ACH '-的外接球表面积为24π13πS R ==.故答案为：13π.14.在ABC 中，已知cos 21sin 2cos 212C C C =++，则3sin 2sin A B +的最大值为___________.【解析】【分析】利用二倍角公式化简，即可求出C ，从而得到π3A B +=，从而将3sin 2sin A B +转化为A 的三角函数，再利用辅助角公式计算可得.【详解】因为cos 21sin 2cos 212C C C +=++，所以222cos sin 12sin cos 2cos 112C C C C C -+=+-+，即()()()cos sin cos sin 132cos cos sin 2C C C C C C C -+=+，所以cos sin 1113tan 2cos 222C C C C -=-=，所以tan C =，又()0,πC ∈，所以2π3C =，则π3A B +=，所以π3sin 2sin 3sin 2sin 3A B A A ⎛⎫+=+-⎪⎝⎭()ππ3sin 2sin cos 2cos sin 2sin33A A A A A A ϕ=+-==+，取ϕ为锐角，其中sinϕ=，cos ϕ=1sin 2ϕ=>，所以π6ϕ>，所以当π2A ϕ+=时3sin 2sin AB +.【点睛】关键点点睛：本题关键是推导出C 的值，从而将3sin 2sin A B +转化为A 的三角函数，结合辅助角公式求出最大值.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.如图，在四棱锥P ABCD -中，已知底面ABCD 为矩形，PA ⊥底面ABCD ，PA AB =，E ，F ，G 分别为线段AD ，BC ，PB 的中点.（1）求证：AG ⊥平面PBC ；（2）求证：//PE 平面AFG .【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）先证BC ⊥平面PAB ，有BC AG ⊥，再由AG PB ⊥，可证AG ⊥平面PBC ；（2）连接BE 交AF于点H ，由AHE FHB ≅ ，得H 为BE 中点，可得//GH PE ，线面平行的判定定理得//PE 平面AFG .【小问1详解】底面ABCD 为矩形，所以BC AB ⊥，PA ⊥底面ABCD ，BC ⊂底面ABCD ，则PA BC ⊥，AB PA A = ，,AB PA ⊂平面PAB ，则BC ⊥平面PAB ，AG ⊂平面PAB ，所以BC AG ⊥，又PA AB =，G 为PB 中点，则AG PB ⊥，,BC PB ⊂平面PBC ，BC PB B = ，所以AG ⊥平面PBC .【小问2详解】连接BE 交AF 于点H ，连接GH ，由四边形ABCD 为矩形，,E F 分别为,AD BC 中点，所以AHE FHB ≅ ，则BH HE =，即H 为BE 中点，又因为G 为BP 中点，有//GH PE ，GH Ì平面AFG ，PE ⊄平面AFG ，所以//PE 平面AFG .16.一个袋子中有大小和质地均相同的四个球，其中有两个红球（标号为1和2），一个黑球（标号为3），一个白球（标号为4），从袋中不放回地依次随机摸出两个球.设事件A =“第一次摸到红球”，B =“第二次摸到黑球”，C =“摸到的两个球恰为一个红球和一个白球”.（1）用数组()12,x x 表示可能的结果，1x 是第一次摸到的球的标号，2x 是第二次摸到的球的标号，试用集合的形式写出试验的样本空间Ω；（2）分别求事件A ，B ，C 发生的概率；（3）求事件A ，B ，C 中至少有一个发生的概率.【答案】（1）()()()()()()()()()()()(){}Ω1,2,1,3,1,4,2,1,2,3,2,4,3,1,3,2,3,4,4,1,4,2,4,3=（2）()12P A =，()14P B =，()13P C =（3）()34P A B C ⋃⋃=【解析】【分析】（1）根据事件的定义列出样本空间即可；（2）根据古典概型概率计算公式计算即可；（3）根据古典概型概率计算公式计算即可.【小问1详解】样本空间()()()()()()()()()()()(){}Ω1,2,1,3,1,4,2,1,2,3,2,4,3,1,3,2,3,4,4,1,4,2,4,3=，Ω共有12个基本事件；【小问2详解】事件A 的基本事件为：()()()()()(){}1,2,1,3,1,4,2,1,2,3,2,4共6个基本事件，所以()12P A =，事件B 的基本事件为：()()(){}1,3,2,3,4,3共3个基本事件，所以()14P B =，事件C 的基本事件为：()()()(){}1,42,4,4,1,4,2共4个基本事件，所以()13P C =，【小问3详解】事件A ，B ，C 中至少有一个发生的基本事件为：()()()()()()()()(){}1,2,1,3,1,4,2,1,2,3,2,44,1,4,2,4,3共9个基本事件，所以()34P A B C ⋃⋃=.17.如图，在平面四边形ABCD 中，已知AC 与BD 交于点E ，且E 是线段BD 的中点，BCE 是边长为1的等边三角形.（1）若sin 14ABD ∠=，求线段AE 的长；（2）若:AB AD =AE BD <，求sin ADC ∠.【答案】（1）12（2）7【解析】【分析】（1）由sin 14ABD ∠=，有cos 14ABD ∠=，又120AEB ∠= ，AEB △中，()sin sin BAE AEB ABD ∠=∠+∠，求值后由正弦定理求线段AE 的长；（2）在AED △和AEB △中，余弦定理得22222AB AD AE +=+，又:AB AD =解得13AE =，在ACD 中，由余弦定理求cos ADC ∠，再得sin ADC ∠.【小问1详解】因为BCE 为等边三角形，所以120AEB ∠= ，又sin 14ABD ∠=，所以cos 14ABD ∠=，在AEB △中，()()sin sin 180sin BAE AEB ABD AEB ABD ⎡⎤∠=-∠+∠=∠+∠⎣⎦，所以21sin sin cos cos sin 7BAE AEB ABD AEB ABD ∠=∠∠+∠∠=，由正弦定理得sin sin AE BEABD BAE =∠∠，21sin 114sin 2217BE ABD AE BAE ⋅∠===∠.【小问2详解】()cos cos 180cos AED AEB AEB ∠=-∠=-∠ ，1DE BE ==，在AED △中，由余弦定理，2222cos AD AE DE AE DE AED =+-⋅⋅∠，在AEB △中，由余弦定理，2222cos AB AE BE AE BE AEB =+-⋅⋅∠两式相加得222222222AB AD AE DE BE AE +=++=+，因为:AB AD =，所以设AB =，AD =，则AE =，在AEB △中，120AEB ∠= ，由余弦定理得，2222cos AB AE BE AE BE AEB =+-⋅⋅∠，得2211310112m m ⎛⎫=-+-- ⎪⎝⎭，化简得23m =由0m >，解得1m =或13m =，当1m =时，3AE BD =>，不合题意，舍去；当13m =时，13AE BD =<，符合题意，所以13AE =，43AC AE EC =+=，73AD ==，在DCE △中，1CE DE ==，120DEC ︒=∠，可得CD =，在ACD中，由余弦定理，222cos 2AD CD AC ADC AD CD+-∠==⋅，所以sin 7ADC ∠=.18.如图，在平行四边形ABCD 中，已知3A π=，2AB =，1AD =，E 为线段AB 的中点，F 为线段BC 上的动点（不含端点）.记BF mBC =.（1）若12m =，求线段EF 的长；（2）若14m =，设AB xCE yDF =+ ，求实数x 和y 的值；（3）若CE 与DF 交于点G ，AG EF ∥，求向量GE 与GF的夹角的余弦值.【答案】（1）2（2）68,1111x y =-=（3）7-【解析】【分析】（1）由向量的线性运算可得1122EF AD AB =+，两边平方可求解；（2）由已知可得34DF DC CF AB AD =+=- ，12CE CB BE AD AB =+=--，可得结论；（3）利用向量的线性关系可得1255GE AB AD =-- ，933510GF AD AB =-+，计算可得结论.【小问1详解】若12m =，则1122BF BC AD == ，12BE AB =-，所以1122EF BF BE AD AB =-=+ ，两边平方可得22222211117()(2)(12122)44424EF AD AB AD AD AB AB =+=++=+⨯⨯⨯+= ，所以2EF =；【小问2详解】若14m =，则1144BF BC AD == ，所以34CF AD =-，34DF DC CF AB AD =+=- ①，12CE CB BE AD AB =+=-- ②，由①②可得681111AB CE DF =-+；【小问3详解】1122EF EB BF AB mBC AB mAD =+=+=+，1122EC EB BC AB BC AB AD =+=+=+ ，设2EG EC AB AD λλλ==+ ，又122AG AE EG AE AB AD AB AD λλλλ+=+=++=+，又AG EF ∥，所以1212m λλ=+①，由EG EC λ= ，可得GE CE λ= ，所以CE CG CE λ-=，所以(1)CG CE λ=- ，所以11(1)(1)()(1)22CG CE AB BC CB CD λλλλ-=-=---=-+ ，由BF mBC = ，可得(1)CF m CB =- ，11CB CF m=-所以11(1)12CG CE CF CD m λλλ--=-=+-，又,,D F G 三点共线，所以11112m λλ--+=-②，联立①②解11,23m λ==，所以1142EG AB AD =+ ，所以1142GE AB AD =--，111111242424CG CB CD BC DC AD AB =+=--=-- ，21111(32464GF CF CG AD AD AB AD AB =-=----=-+ ），所以2211111111····64422412168GE GF AD AB AB AD AD AB AD AB AD AB ⎛⎫⎛⎫=-+--=+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭111112412484=+--=-，又2222111111113()4216444444GE AB AD AB AB AD AD =--=++=++=，所以||2GE =，同理可得||6GF = ，所以1214cos ,726GE GF -==-.【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是用基底表示向量后，求向量模或者夹角就可以利用公式直接计算.19.如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，已知侧面11CDD C 为矩形，60BAD ABC ∠=∠=︒，3AB =，2AD =，1BC =，1AA =，12AE EA =uu u r uuu r ，2AF FB =.（1）求证：平面DEF 平面1A BC ；（2）求证：平面11ADD A ⊥平面ABCD ；（3）若三棱锥1E A BC -的体积为3，求平面1A BC 与平面ABCD 的夹角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3）19或7.【解析】【分析】（1）由已知可得//EF 平面1A BC ，//DF 平面1A BC ，从而可证结论；（2）由余弦定理可得23DC =，从而可证AD CD ⊥，进而结合已知可证CD ⊥平面11ADD A ，可证结论；（3）延长,AD BC 交于N ，过1A 作1A M AD ⊥于M ，过M 作MH BN ⊥于H ，连接1A H ，可得1A HM ∠为平面1A BC 与平面ABCD 所成二面角的平面角，求解即可.【小问1详解】因为12AE EA =uu u r uuu r ，2AF FB = ，所以1EF A B ∥，又1A B ⊂平面1A BC ，EF ⊄平面1A BC ，所以//EF 平面1A BC ，2AF FB = ，3AB =，可得2AF =，又2AD =，60BAD ∠=︒，所以ADF △是等边三角形，所以2DF =，60AFD ∠=︒，又60ABC ∠=︒，所以DF BC ∥，又BC ⊂平面1A BC ，DF ⊄平面1A BC ，//DF 平面1A BC ，又DF EF F = ，又,DF EF ⊂平面DEF ，所以平面DEF 平面1A BC ；【小问2详解】由侧面11CDD C 为矩形，可得1CD DD ⊥，连接CF ，可得BCF △是等边三角形，所以60BFC ∠=︒，所以60DFC ∠=︒，又2DF =，1CF =，由余弦定理可得22211221232DC =+-⨯⨯⨯=，所以222DC CF DF +=，所以90FCD ∠=︒，所以30FDC ∠=︒，所以90ADC ∠=︒，所以AD CD ⊥，又1AD DD D = ，1,AD DD ⊂平面11ADD A ，所以CD ⊥平面11ADD A ，又CD ⊂平面ABCD ，所以平面11ADD A ⊥平面ABCD ；【小问3详解】延长,AD BC 交于N ，可得ABN 是等边三角形，过1A 作1A M AD ⊥于M ，由（1）可知//EF 平面1A BC ，所以三棱锥1E A BC -的体积即为三棱锥1F A BC -的体积，又三棱锥1F A BC -的体积等于三棱锥1A BCF -的体积，由（2）可知平面11ADD A ⊥平面ABCD ，且两平面的交线为AD ，所以AM ⊥平面ABCD ，所以111111331133223B F BCF A C V S A M A M -==⨯⨯⨯⨯= ，解得14A M =，过M 作MH BN ⊥于H ，连接1A H ，AM ⊥平面ABCD ，BN ⊂平面ABCD ，所以AM BN ⊥，又1HM A M M ⋂=，1,HM A M ⊂平面1A MH ，所以BN ⊥平面1A MH ，又1A H ⊂平面1A MH ，1BN A H ⊥，所以1A HM ∠为平面1A BC 与平面ABCD 所成二面角的平面角，若12A AD π∠<，则点M 在线段AD 上，且为AD 中点，又117AA =，由勾股定理可得1AM =，所以2MN =，所以3MH =131619A H =+=，所以1357cos 1919A HM ∠==，所以平面1A BC 与平面ABCD 的夹角的余弦值为5719；若12A AD π∠>，则点M 在线段DA 延长线上，此时13,7MH A H ==，11321cos 727MH A HM A H ∠===.。

江苏省高一下学期期末考试(数学)

高一下学期期末考试（数学）一.填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1.已知集合{}{}=⋂==B A B A ,4,3,2,5,3,1 2.在等比数列{}n a 中，若===642,1,4a a a 则 3.函数164-=x y 的定义域为4.计算=+85lg4lg 2 5.在ABC ∆中，设角B A ,所对边分别为b a ,，若bBa A cos sin =，则角=B 】6.一个容量为20的数据样本分组后，分组与频数为：(](](](](](]个。

个；个；个；个；个2,70,604,60,505,50,404,40,303,30,20;2,20.10则样本数据在(]5010，上的频率为7.已知α为第二象限角，且=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=4cos ,54sin παα则 8.已知向量()()2,1,1,3==b a ，则向量b a 与的夹角=θ9.投掷一颗质地均匀的骰子两次，观察出现的点数，记下第一次的点数为m ，第二次的点数为n ，设向量()()n b m a ,3,2,==，则“向量b a 与共线”的概率为 10.计算=-40sin 160cos 140cos 200sin 11.已知正数y x ,满足,12=+y x 则yx 11+的最小值 12.一个伪代码如右图所示，输出的结果是SPrint ForEnd I ×3 +S S 10 to 1 From I For 1S ←← ：13.若对任意的实数n m ,，都有()()()()21005,=+=+f n m f n f m f 且，则()()()()=++++2009531f f f f14.已知()为常数a a 100≤≤，在区间[]100，上任取两个实数y x ,，设“a y x ≤+2”的概率为p ，“a y x ≥-2”的概率为q ，若有q p ≤，则实数a 的取值范围二．解答题（本大题共6小题，共90分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

2022-2023学年江苏省徐州市高一(下)期末数学试卷【答案版】

2022-2023学年江苏省徐州市高一（下）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知复数z 满足z （1+i ）＝5+i ，则复数z 在复平面内所对应的点位于（） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．先后两次掷一枚质地均匀的骰子，则两次掷出的点数之和为6的概率为（） A ．19B ．536C ．16D ．7363．已知m ，n 是两条不重合的直线，α，β是两个不重合的平面，则下列说法正确的是（） A ．若m ⊥α，m ⊥n ，则n ⊂α B ．若m ，n 与α所成的角相等，则m ∥n C ．若m ∥α，m ∥β，则α∥βD ．若m ∥n ，n ⊥β，m ⊂α，则α⊥β4．有一组样本数据，x 1，x 2，…，x n ，其平均数为a ，中位数为b ，方差为c ，极差为d ．由这组数据得到新样本数据，y 1，y 2，…，y n ，其中y i ＝2x i +8（i ＝1，2，…，n ），则新样本数据的（） A ．样本平均数为2a B ．样本中位数为2b C ．样本方差为4cD ．样本极差为2d +85．已知向量a →，b →的夹角为π3，若(a →−b →)⊥a →，则向量a →在向量b →上的投影向量为（） A ．14b →B ．12b →C ．√32b →D ．b →6．已知sin(α+π3)+sinα=√33，则sin(2α−π6)的值是（）A ．79B ．−79C ．29D ．−297．如图，一种工业部件是由一个圆台挖去一个圆锥所制成的．已知圆台的上、下底面半径分别为2和4，且圆台的母线与底面所成的角为π3，圆锥的底面是圆台的上底面，顶点在圆台的下底面上，则该工业部件的体积为（）A ．2√3πB ．16√3πC ．7√3π3D ．56√33π8．在锐角三角形ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a cos B ﹣b cos A ＝b ，则b a+c的取值范围是（）A ．(√33，√22)B ．(2−√3，1)C ．(2−√3，√2−1)D ．(√2+1，√3+2)二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2022-2023学年江苏省南京市高一下学期期末六校联合体联考数学试题【含答案】

2022-2023学年江苏省南京市高一下学期期末六校联合体联考数学试题一、单选题1．已知向量()2,1a m = ，()1,2b = ，若a b ∥，则m 的值为（）A ．－1B ．1C ．14-D ．14【答案】D【分析】由两向量平行的坐标表示列出等式，即可解出答案.【详解】因为a b ∥，所以2211m ⨯=⨯，解得：14m =.故选：D2．已知复数z 满足()1i 1i z +=+,则复数z 的实部为（）A ．1-B ．1C ．22D ．22-【答案】C【分析】根据复数的模和复数的除法,即可得出22i 22z =-,进而可得结果.【详解】因为()()()()()21i 2221i 1i 1i 2i 1i 1i 1i 22z z z -+=+⇒+=⇒===-++-,所以实部是22.故选:C.3．甲、乙、丙、丁四个乡镇的人口比为4:3:3:2，为了解某种疾病的感染情况，采用分层抽样方法从这四个乡镇中抽取容量为n 的样本，已知样本中甲乡镇的人数比乙乡镇的人数多20人，则样本容量n 的值是（）A ．200B ．240C ．260D ．280【答案】B【分析】根据已知条件，结合分层抽样的定义，即可求解．【详解】甲、乙、丙、丁四个乡镇的人口比为4:3:3:2，利用分层抽样方法抽取一个样本量为n 的样本，因为样本中甲乡镇的人数比乙乡镇的人数多20人，则432043324332n n-=++++++，解得240n =．故选：B ．4．塔是一种在亚洲常见的，有着特定的形式和风格的中国传统建筑.如图，为测量某塔的总高度AB ，选取与塔底B 在同一水平面内的两个测量基点C 与D ，现测得30BCD ∠=︒，45BDC ∠=︒，20CD =米，在C 点测得塔顶A 的仰角为60︒，则塔的总高度为（）A ．()1033+B ．()1031+C ．()2031-D ．()2033-【答案】D【分析】先在BCD △中利用正弦定理求出BC 的长，再在直角ABC 利用三角函数可求得结果.【详解】在BCD △中，30BCD ∠=︒，45BDC ∠=︒，则180105DBC BCD BDC ∠=︒-∠-∠=︒，()62sin105sin 6045sin 60cos 45cos 60sin 454+︒=︒+︒=︒︒+︒︒=，由正弦定理得sin sin CD BC DBC BDC =∠∠，即20sin105sin 45BC=︒︒，所以sin10520sin 45BC ︒=︒，得4031BC =+，在直角ABC 中，60ACB ∠=︒，则40tan 320(31)320(33)31AB BC ACB =∠=⨯=-⨯=-+，故选：D5．从数字1，2，3，4中，无放回地抽取2个数字组成一个两位数，其各位数字之和等于5的概率为（）A ．13B ．316C ．516D ．12【答案】A【分析】先得出所有的两位数的个数，再列举出其各位数字之和为5的两位数，根据古典概率公式可得选项.【详解】两位数共有4312⨯=个，其各位数字之和为5的两位数有：14，41，23，32共4个数，所以各位数字之和等于5的概率为13，故选：A.6．已知圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆，过圆锥高的中点且与底面平行的平面截此圆锥所得的圆台体积是（）A ．73π24B ．3π6C ．34πD ．73π8【答案】A【分析】由题意易知圆锥的高为3，母线长为2，底面圆半径为1，再由大圆锥的体积减小圆锥的体积即可得出圆台体积.【详解】设圆锥的高为h ，母线长为l ，底面圆半径为r ，则21π2π2π2πl l r⎧=⎪⎨⎪=⎩，解得：2l =，1r =，所以223h l r =-=，所以圆台体积为：22111373π13ππ332224⎛⎫⨯⨯-⨯⨯=⎪⎝⎭，故选：A7．已知()2cos 3αβ+=，1tan tan 3αβ=-，则()cos αβ-的值为（）A ．23-B ．13-C ．13D ．23【答案】C【分析】由已知条件列方程组可求出cos cos αβ和sin sin αβ，再利用两角差的余弦公式可求得结果.【详解】因为()2cos 3αβ+=，1tan tan 3αβ=-，所以2cos cos sin sin 3sin sin 1cos cos 3αβαβαβαβ⎧-=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，解得1cos cos 21sin sin 6αβαβ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，所以()111cos cos cos sin sin 263αβαβαβ⎛⎫-=+=+-= ⎪⎝⎭，故选：C8．在平行四边形ABCD 中，π3BAD ∠=，4BD =，则3AB AD AC ⋅- 的最小值为（）A ．－10B ．－13C ．443-D ．253-【答案】B【分析】设,AB x AD y ==，求得133282AB AD AC xy xy ⋅-=-⋅+ ，令8t xy =+，化简得到2133242AB AD AC t t ⋅-=-- ，结合二次函数的性质，即可求解.【详解】如图所示，设,AB x AD y ==，且π3BAD ∠=，在ABD △中，由余弦定理可得2222cos BD AB AD AB AD BAD =+-⋅∠，即2216x y xy =+-，可得2216x y xy+=+可得π1cos 32AB AD xy xy ⋅=⋅= ，2222222162AC AB AD AB AD AB AD x y xy xy =+=++⋅=++=+ ，所以133282AB AD AC xy xy ⋅-=-⋅+ ，设8t xy =+，可得28xy t =-，因为22162x y xy xy xy xy =+-≥-=，当且仅当x y =时，等号成立，所以2226t <≤，则22113324(32)1322AB AD AC t t t ⋅-=--=-- ，当32t =时，取得最小值，最小值为13-.故选：B.二、多选题9．已知复数1z ，2z ，则下列说法正确的是（）A ．若2110z +=，则1iz =±B ．1212z z z z =C ．若1212z z z z -=+，则120z z =D ．若12=z z ，则12=±z z【答案】AB【分析】利用虚数单位的意义判断A ；利用复数代数形式的乘法结合模的意义判断B ；举例说明判断CD 作答.【详解】对于A ，由2110z +=，得221(i)z =±，因此1i z =±，A 正确；对于B ，令12i,i,,,,R z a b z c d a b c d =+=+∈，则222212||||z z a b c d =+⋅+，12(i)(i)()i z z a b c d ac bd ad bc =++=-++，222222222212||()()z z ac bd ad bc a c b d a d b c =-++=+++2222a b c d =+⋅+，即1212z z z z =，B 正确；对于C ，令121,i z z ==，1212|1i |2|1i |z z z z -=-==+=+，而12i 0z z =≠，C 错误；对于D ，取12,1i 1i z z =+=-，显然122z z ==，而12z z ≠，且12z z ≠-，D 错误.故选：AB10．先后两次掷一枚质地均匀的骰子，A 表示事件“两次掷出的点数之和是3”，B 表示事件“第二次掷出的点数是偶数”，C 表示事件“两次掷出的点数相同”，D 表示事件“至少出现一个奇数点”，则下列结论正确的是（）A ．A 与B 互斥B ．A 与C 互斥C ．B 与C 独立D ．B 与D 对立【答案】BC【分析】写出事件,,,A B C D 所包含的基本事件，根据互斥事件和对立事件的概念进行判断ABD ；求出()()()P B C P B P C =⋅ ，得到C 正确.【详解】先后两次掷一枚质地均匀的骰子，样本空间()()()()()()()()()()(){()Ω1,1,1,2,1,3,1,4,1,5,1,6,2,1,2,2,2,3,2,4,2,5,2,6,=()()()()()()()()()()()()3,1,3,2,3,3,3,4,3,5,3,6,4,1,4,2,4,3,4,4,4,5,4,6,()()()()()()()()()()()()}5,1,5,2,5,3,5,4,5,5,5,6,6,1,6,2,6,3,6,4,6,5,6,6，故事件()(){}1,2,2,1A =，事件()()()()(){()()()()()()()1,2,1,4,1,6,2,2,2,4,2,6,3,2,3,4,3,6,4,2,4,4,4,6B =()()()()()()},5,2,5,4,5,6,6,2,6,4,6,6，事件()()()()()(){}1,1,2,2,3,3,4,4,5,5,6,6C =，事件()()()()()()()()(){()()()()1,1,1,2,1,3,1,4,1,5,1,6,2,1,2,3,2,5,3,1,3,2,3,3,3,4,D =()()()()()()()()()()()()()()}3,5,3,6,4,1,4,3,4,5,5,1,5,2,5,3,5,4,5,5,5,6,6,1,6,3,6,5.A 选项，(){}1,2AB = ，故A 与B 不互斥，A 错误；B 选项，AC ⋂=∅，故A 与C 互斥，B 正确；C 选项，()()(){}2,2,4,4,6,6B C = ，故()313612P B C == ，又()181362P B ==，()61366P C ==，故()()()P B C P B P C =⋅ ，所以B 与C 独立，C 正确；D 选项，B D =Ω ，但()()()()()()()()(){}1,2,1,4,1,6,3,2,3,4,3,6,5,2,5,4,5,6B D =≠∅ ，所以B 与D 不对立，D 错误.故选：BC11．已知ABC 内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，则下列说法正确的是（）A ．若AB <，则sin sin A B<B ．若2a =，π3B =，且该三角形有两解，则32b <<C ．若22tan tan A Ba b=，则ABC 为等腰三角形D ．若tan tan tan 0A B C ++>，则ABC 为锐角三角形【答案】ABD【分析】根据大边对大角及正弦定理判断A ，根据图形数形结合可判断B ，由正弦定理及三角恒等变换判断C ，由两角和的正切公式变形可判断D.【详解】因为A B <，所以a b <，由正弦定理sin sin a bA B=，可知sin sin A B <，故A 正确；如图，2a =，π3B =，且该三角形有两解，所以πsin23a b a <<=，即32b <<，故B 正确；由正弦定理可得，22tan tan sin sin A B A B =，即11sin cos sin cos A A B B=，所以sin 2sin 2A B =，因为2,2(0,2π)A B ∈，所以22A B =或22πA B +=，即A B =或π2A B +=，所以三角形为等腰或直角三角形，故C 错误；因为tan tan tan tan()(1tan tan )tan A B C A B A B C++=+-+tan tan tan tan tan C A B C C =-++tan tan tan 0A B C =>，且,,(0,π)A B C ∈，所以tan 0,tan 0,tan 0A B C >>>，即,,A B C 为锐角，所以ABC 为锐角三角形，故D 正确.故选：ABD12．如图，正方体1111ABCD A B C D -中，M ，N ，Q 分别是AD ，1CC ，1AA 的中点，()01AP AB λλ=≤≤，则下列说法正确的是（）A ．若12λ=，则11B D ∥平面MPN B ．若1λ=，则1AC ∥平面MPN C ．若1AC ⊥平面MPQ ，则12λ=D ．若13λ=，则平面MPN 截正方体所得的截面是五边形【答案】ACD【分析】根据线线平行即可判断A ，根据线面平行的性质即可得矛盾判断B,根据线面线面垂直的性质即可判断C ，根据平行关系，即可由线段成比例得线线平行，即可求解截面.【详解】对于A,连接11,B D BD ,在正方体中，可知11//B D BD ，当12λ=时，P 是AB 的中点，则//MP BD ,所以11//MP B D ，由于MP ⊂平面MNP ,11B D ⊄平面MNP ,所以11B D ∥平面MPN ，故A 正确，对于B,当1λ=时，P 与点B 重合，连接BM 交AC 于点O ,连接NO ,若1AC ∥平面MPN ,则1AC ⊂平面1ACC ,且平面1ACC 平面MNP NO =,则1AC ∥NO ，由于N 是1CC 的中点，则O 为AC 中点，这显然不符合要求，故B 错误，对于C,若1AC ⊥平面MPQ ，则1AC MP ⊥,由于MP ⊂平面,ABCD BD ⊂平面ABCD ,又1,BD AC BD CC ⊥⊥,11,,AC CC C AC CC =⊂ 平面1ACC ,所以BD ⊥平面1ACC ,1AC ⊂平面1ACC ,则1BD AC ⊥,显然1AC 与平面ABCD 不垂直，故1AC MP ⊥,则//BD MP ,由于M 为AD 中点，所以P 为AB 中点，故12λ=，C 正确，对于D ，取NC 中点F ,在1DD 上取点H ,使得118DH DD =，在棱1BB 取E ,使得114BE BB =，在棱1CC 上取118CK CC =由于,N M 分别为1,CC AD 的中点，所以11,,//44NF HD HD NFMH NE EF MD MD EF⇒⇒===,同理33,,//88EB NK NK EBHN PE PB HK HK PB⇒⇒===连接,,,,PE NE HN MH MP 即可得到截面多边形，故D 正确，故选：ACD三、填空题13．已知π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，1cos 3α=，则sin 2α=.【答案】33【分析】由半角公式求解.【详解】π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则sin 02α>，由半角公式可得111cos 33sin2223αα--===.故答案为：3314．已知某3个数据的平均数为2,方差为2,现加入数字2构成一组新的数据,这组新的数据的方差为.【答案】32/1.5【分析】利用方差公式计算即可得到结果.【详解】设原数据为123,,a a a ,则31236i i a ==⨯=∑,()3211223i i a =-=∑,加入2后,所得4个数据的平均数为31262244i i a =++==∑,所得4个数据的方差为()322212(22)63442ii a s =-+-===∑.故答案为:32.15．在解析几何中，设()111,P x y 、()222,P x y 为直线l 上的两个不同的点，则我们把12PP及与它平行的非零向量都称为直线l 的方向向量，把直线l 垂直的向量称为直线l 的法向量，常用n表示，此时120PP n ⋅= .若点P l ∉，则可以把1PP 在法向量n 上的投影向量的模叫做点P 到直线l 的距离.现已知平面直角坐标系中，()4,0P -，()12,1P -，()21,3P -，则点P 到直线l 的距离为.【答案】215【分析】利用向量法即可求得点到直线的距离.【详解】由已知得，1(6,1)PP =- ，12(3,4)PP =-，所以2216(1)37P P =+-= ，1PP 在直线l 上的投影向量的长度为12121226(3)(1)4225(3)4PP h PP PP ⋅⨯-+-⨯===-+，故点P 到直线l 的距离2221222137()55d PP h =-=-=.故答案为：215四、双空题16．已知三棱锥的三个侧面两两垂直，且三个侧面的面积分别是62，62，1，则此三棱锥的外接球的体积为；此三棱锥的内切球的表面积为.【答案】776π/776π(2086)π-【分析】由题意可知三棱锥的三条侧棱两两垂直，首先求得三条侧棱的棱长，然后计算外接球的半径，最后计算其体积即可；等体积法计算三棱锥内切球的半径，从而求出内切球的表面积.【详解】解：设三棱锥A BCD -中，面ABC ，面ACD ，面ABD 两两垂直，则三棱锥的三条侧棱,,AB AC AD 两两垂直，可设三条侧棱的长度分别为a ，b ，c ，由题意可得：16221622112ab bc ac ⎧=⎪⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎪⎩，解得232a b c ⎧=⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩，设三棱锥的外接球半径为R ，则()222327R =++=，即72R =，外接球的体积34π77π36R V ==；设三棱锥的内切球半径为r ，由勾股定理可知：2,5,5BC BD CD ===，则125122BCD S =⨯⨯-= ，则有1111112232223232233222V r ⎛⎫=⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+ ⎪⎝⎭，解得：32r =-，则表面积为：()24π2086πS r ==-.故答案为：77π6；()2086π-【点睛】关键点点睛：此题考查三棱锥与其外接球和内切球的综合问题，求其内切球半径的关键是利用等体积法，考查空间想象能力，属于较难题.五、解答题17．某商场为了制定合理的停车收费政策，需要了解顾客的停车时长（单位：分钟）.现随机抽取了该商场到访顾客的100辆车进行调查，将数据分成6组：(]0,100，(]100,200，(]200,300，(]300,400，(]400,500，(]500,600，并整理得到如下频率分布直方图：(1)若某天该商场到访顾客的车辆数为1000，根据频率分布直方图估计该天停车时长在区间(]400,600上的车辆数；(2)为了吸引顾客，该商场准备给停车时长较短的车辆提供免费停车服务.若以第30百分位数为标准，请你根据频率分布直方图，给出确定免费停车时长标准的建议（数据取整数）.【答案】(1)50(2)免费停车时长为153分钟【分析】（1）根据频率之和为1列出方程，求出(]400,500的频率，从而得到样本中停车时长在区间(]400,600上的频率并估计该天停车时长在区间(]400,600上的车辆数；（2）先确定第30百分位数位于(]100,200之间，列出方程，求出答案.【详解】（1）根据频率分布直方图中所有频率和为1，设(]400,500的频率为x ，可列等式为()0.00020.00130.00160.00320.00341001x ++++⨯+=，0.03x ∴=，所以样本中停车时长在区间(]400,600上的频率为0.05，估计该天停车时长在区间(]400,600上的车辆数是50；（2）设免费停车时间长不超过y 分钟，又因为(]0,100的频率为0.1330%<，并且(]0,200的频率为0.4530%>，所以y 位于(]100,200之间，则满足()0.131000.00320.3y +-⨯=，153y ∴≈，确定免费停车时长为153分钟.18．已知π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，π0,2β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且25cos 5α=，72sin 10=β.(1)求()tan αβ+的值；(2)求2αβ+的值.【答案】(1)3-(2)3π24αβ+=【分析】（1）利用同角三角函数的平方关系求得sin ,αcos β，然后求得1tan ,tan 72αβ==由两角和的正切公式可得答案；（2）结合（1），利用()()tan 2tan αβαβα⎡⎤+=++⎣⎦，由两角和的正切公式，结合3π20,2αβ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭可得答案.【详解】（1）由题意255272cos ,sin ,cos ,sin 551010ααββ====所以1tan ,tan 72αβ==所以17tan tan 2tan()311tan tan 172αβαβαβ+++===---⨯（2）由,αβ为锐角，可得3π20,2αβ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭()()()()()13tan tan 2tan 2tan 111tan tan 132αβααβαβααβα-+++⎡⎤+=++===-⎣⎦-+--⨯所以3π24αβ+=19．已知ABC 中，2AB =，1AC =，120BAC ∠=︒，点D 在边BC 上且满足2CD BD =.(1)用AB、AC 表示AD ，并求AD ；(2)若点E 为边AB 中点，求CE 与AD夹角的余弦值.【答案】(1)2133AD AB AC =+ ，133(2)33926【分析】（1）根据向量的线性运算即可求解，（2）由向量的线性运算表示向量，由数量积，利用夹角公式即可求解.【详解】（1）()22123333AD CD AC AC CB AC A AB AC AB C =+=+-=+=+ ，所以222212141441411313===421==3333999999293AD AB AC AB AC AB AC AB AC ⎛⎫=++++⋅⨯++⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭ （）-,（2）易知12CE AB AC =-,所以221111=4121=32442CE AB AC AB AC AB AC ⎛⎫=-=+-⋅⨯+-⨯⨯ ⎪⎝⎭-,又22211111111132133233233222AD CE AB AC AB AC AB AC AB AC ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅--⋅⨯⨯⨯⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ =-=4---=,所以33392cos ,261333AD CE AD CE AD CE⋅<>==⋅⨯=,20．我校开展体能测试，甲、乙、丙三名男生准备在跳远测试中挑战2.80米的远度，已知每名男生有两次挑战机会，若第一跳成功，则等级为优秀，挑战结束；若第一跳失败，则再跳一次，若第二跳成功，则等级也为优秀，若第二跳失败，则等级为良好，挑战结束.已知甲、乙、丙三名男生成功跳过2.80米的概率分别是34，12，13，且每名男生每跳相互独立.记“甲、乙、丙三名男生在这次跳远挑战中获得优秀”分别为事件A ，B ，C .(1)求()P A 、()P B 、()P C ；(2)求甲、乙、丙三名男生在这次跳远挑战中恰有两人获得良好的概率.【答案】(1)1516、34、59；(2)77576.【分析】（1）获得优秀，可以是第一跳成功，也可以是第一跳失败第二跳成功，利用互斥事件的概率公式计算.（2）利用相互独立事件和互斥事件的概率的应用求出结果．【详解】（1）记“甲、乙、丙三名男生第1跳成功”分别为事件A 1，B 1，C 1，记“甲、乙、丙三名男生第2跳成功”分别为事件A 2，B 2，C 2.记“甲、乙、丙三名男生在这次跳远挑战中获得“优秀”为事件A ，B ，C .112()()P A P A A A =+112()()P A P A A =+33315144416⎛⎫=+-⨯= ⎪⎝⎭，112()()P B P B B B =+112()()P B P B B =+111312224⎛⎫=+-⨯= ⎪⎝⎭，.112()()P C P C C C =+112()()P C P C C =+111513339⎛⎫=+-⨯= ⎪⎝⎭，甲、乙、丙三名男生在这次跳远挑战中获得优秀的概率1516、34、59；（2）记“甲、乙、丙三名男生在这次跳远挑战中恰有两人获得良好”为事件D ，()()P D P ABC ABC ABC =++()()()P ABC P ABC P ABC =++()()()()()()()()()P A P B P C P A P B P C P A P B P C =++153515351953511111116416491649⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯-⨯-+-⨯⨯-+-⨯-⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭77576=.甲、乙、丙三名男生在这次跳远挑战中恰有两人获得良好的概率77576.21．ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos 3sin a C a C b c +=+.(1)求A ；(2)若ABC 为锐角三角形，且2b =，求ABC 面积的取值范围.【答案】(1)π3A =(2)3(,23)2【分析】（1）由正弦定理结合()sin sin B A C =+得到3sin cos 1A A =+，利用辅助角公式得到π1sin()62A -=，结合角A 的范围得到π3A =；（2）法一：由（1）中π3A =，结合三角形面积公式得到32ABC S c = ，由正弦定理求出14c <<，得到面积的取值范围；法二：由余弦定理得到2242c c a +-=，结合三角形为锐角三角形得到222244a c a c ⎧+>⎨+>⎩①②，从而求出14c <<，求出面积的取值范围.【详解】（1）由正弦定理可得：sin cos 3sin sin sin sin A C A C B C +=+，因为()sin sin sin cos cos sin B A C A C A C =+=+，所以sin cos 3sin sin sin cos cos sin sin A C A C A C A C C +=++，所以3sin sin cos sin sin A C A C C =+，因为()0,πC ∈，所以sin 0C >，所以3sin cos 1A A =+，所以π1sin()62A -=，因为ππ5π(,)666A -∈-，所以ππ66A -=，即π3A =；（2）法一：由2b =及（1）知ABC 的面积13sin 22ABC S bc A c == .由正弦定理得sin 2sin(120)31sin sin tan b C B c B B B︒-===+.由于ABC 为锐角三角形，故090B ︒<<︒，090C ︒<<︒.由（1）知120B C +=︒，所以3090B ︒<<︒，因为tan y x =在π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上单调递增，故3tan 3B >，故()30,3tan B∈，故14c <<，从而3232ABC S <<△.因此ABC 面积的取值范围是3(,23)2；法二：因为π3A =，2b =，由余弦定理得222cos 2b c a A bc +-=，即224142c a c +-=，故2242c c a +-=，ABC 为锐角三角形，则222222a b c a c b ⎧+>⎨+>⎩，即222244a c a c ⎧+>⎨+>⎩①②，由①得22424c c c +-+>，解得4c <，由②得22424c c c +-+>，解得1c >或0c <（舍去），综上14c <<，所以13sin (,23)3222ABC bc A S c ==∈ .22．如图，已知斜三棱柱111ABC A B C -中，平面11ACC A ⊥平面111A B C ，1AB 与平面11ACC A 所成角的正切值为217，所有侧棱与底面边长均为2，D 是边AC 中点.(1)求证：1AB ∥平面1BDC ；(2)求异面直线1BB 与11A C 所成的角；(3)F 是边1CC 一点，且1CF CC λ=，若11AB A F ⊥，求λ的值.【答案】(1)证明见解析(2)60︒(3)1=5λ【分析】（1）连接1B C 与1BC 交于点O ，连接DO ，则可证得1AB ∥DO ，再由线面平行的判定定理可证得结论；（2）取11AC 的中点E ，连接AE ，则11⊥B E AC ，由面面垂直的性质可得1B E ⊥平面11ACC A，所以1B AE ∠即为1AB 与平面11ACC A 所成角，可求出AE ，然后在1A AE 中利用余弦定理得11120AA C ∠=︒，再根据平行关系可求得结果；（3）由1B E ⊥平面11ACC A ，可得11A F B E ⊥，而11A F AB ⊥，则1A F ⊥平面1AB E ，从而可得1A F AE ⊥，然后在菱形11ACC A 中，以A 为坐标原点，AC 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，再利用向量可求得结果.【详解】（1）如图，连接1B C 与1BC 交于点O ，连接DO ，在斜三棱柱111ABC A B C -中，四边形11BCC B 是平行四边形，则O 是1B C 的中点，又D 是AC 中点，则1AB ∥DO ，又1AB ⊄平面1BDC ，DO ⊂平面1BDC ，则1AB ∥平面1BDC ，（2）取11AC 的中点E ，连接AE ，斜三棱柱111ABC A B C -底面111A B C △边长均为2，则11⊥B E AC ，平面11ACC A ⊥平面111A B C ，平面11ACC A 平面11111A B C AC =，1B E ⊂平面111A B C ，所以1B E ⊥平面11ACC A ，所以1B AE ∠即为1AB 与平面11ACC A 所成角，1Rt B AE 中，13B E =，121tan 7B AE ∠=，则7AE =，又112,1AA A E ==，则在1A AE 中，由余弦定理得2221111114171cos 22212A A A E AE AA C A A A E +-+-∠===-⋅⨯⨯，因为110180AA C ︒<∠<︒所以11120AA C ∠=︒，则```，因为1AA ∥1BB ，11A C ∥AC ，所以异面直线1BB 与11AC 所成的角为1A AC ∠，即为60︒，（3）由（2）知1B E ⊥平面11ACC A ，又1A F ⊂11ACC A ，则11A F B E ⊥，又11A F AB ⊥，111B E AB B = ，11,B E AB ⊂平面1AB E ，所以1A F ⊥平面1AB E ，又AE ⊂平面1AB E ，所以1A F AE ⊥，在菱形11ACC A 中，以A 为坐标原点，AC 所在直线为x轴建立平面直角坐标系，如图所示，则11(0,0),(2,0),(3,3),(1,3),(2,3)A C C A E ，所以1(1,3)CC = ，(2,3)AE =，所以1(13)(,3)CF CC λλλλ===，，所以(23)F λλ+，，所以1(133)A F λλ=+-，，因为1A F AE ⊥，所以1=0A F AE ⋅，所以2(1)3(33)0λλ++-=，解得1=5λ.。

2022-2023学年江苏省南京市高一下学期期末联考数学试题【含答案】

2022-2023学年江苏省南京市高一下学期期末联考数学试题一、单选题1．2022i 的值为（）A ．1B ．－1C ．iD ．i-【答案】B【分析】根据41i =计算可得结果.【详解】由41i =，得202245052i i i 1⨯=⋅=-.故选：B2．数据0，1，2，3，4，5，6，7，8，9的60百分位数为（）A ．6B ．6.5C ．7D ．5.5【答案】D【分析】由百分位数的求法求60百分位数.【详解】由题设，1060%6⨯=，故60百分位数为565.52+=.故选：D3．向量a 与b不共线，AB a kb =+ ，(),AC la b k l R =+∈ ，且AB 与AC 共线，则k ，l 应满足（）A ．0k l +=B ．0k l -=C ．10kl +=D ．10kl -=【答案】D【分析】根据AB 与AC 共线，由()a kb a b λ+=+求解.【详解】由AB 与AC共线，故AB AC λ= ，即()a kb a b λ+=+，故1l k λλ=⎧⎨=⎩，所以10kl -=.故选：D.【点睛】本题主要考查平面向量共线定理的应用，属于基础题.4．一个圆锥的侧面展开图恰好是一个半径为1的半圆，则该圆锥的表面积为（）A ．3π4B ．π2C ．π4D ．3π24【答案】A【分析】根据题意求得圆锥底面半径和高，由此求得圆锥的表面积.【详解】依题意，设圆锥底面半径为r ，高为h ，母线长为1l =，则2221l r h =+=，底面周长为()12π2π12r =⨯⨯，则12r =，所以213122h ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，所以圆锥的表面积为2ππ3πππ424S S S r rl =+=+=+=侧底，故选：A.5．已知向量()cos ,sin a θθ= ，()2,1b =- ，若//a b ，则πtan 4θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A ．3-B ．13-C ．13D ．3【答案】C【分析】先根据向量平行得到正余弦间的关系，再弦化切，进而用正切和公式展开代入即可.【详解】因为//a b →→，所以cos 2sin θθ-=，易知cos 0θ≠，所以1tan 2θ=-，所以πtan 11tan 41tan 3θθθ+⎛⎫+== ⎪-⎝⎭.故选：C.6．从长度为2,4,6,8,10的5条线段中任取3条，则这三条线段能构成一个三角形的概率为（）A ．15B ．310C ．25D ．12【答案】B【分析】求出从长度为2,4,6,8,10的5条线段中任取3条，共有几种取法,再求出取出的三条线段能构成一个三角形的情况有几种，根据古典概型的概率公式即可得答案.【详解】从长度为2,4,6,8,10的5条线段中任取3条，共有35C 10=种取法,而取出的三条线段能构成一个三角形的情况有4,6,8和4,8,10以及6,8,10,共3种,故这三条线段能构成一个三角形的概率为310P =,故选：B7．在ABC 中，下列命题正确的个数是（）①AB AC BC →→→-=；②0AB BC CA ++= ；③若()()0AB AB AC AC →→→→+⋅-=，则ABC 为等腰三角形；④0AB AC →→⋅>，则ABC 为锐角三角形．A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【分析】①AB AC CB →→→-=，所以错误；②0AB BC CA →→→→++=，所以正确；③由题得||||AB AC →→=,所以ABC 为等腰三角形，所以正确；④0AB AC →→⋅>，则A 是锐角，但是ABC 不一定为锐角三角形，所以错误．【详解】①AB AC CB →→→-=，所以错误；②0BC CA A A CA B C →→→→→→++==+，所以正确；③若()()0AB AB AC AC →→→→+⋅-=，则22=,||||AB AC AB AC →→→→∴=,所以ABC 为等腰三角形，所以正确；④0AB AC →→⋅>，则||||cos 0,cos 0,AB AC A A A →→>∴>∴是锐角，但是ABC 不一定为锐角三角形，所以错误．故选：B8．已知锐角ABC ，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若22sin sin sin sin B A A C -=⋅，3c =，则a 的取值范围是（）A ．2,23⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．()1,2C ．()1,3D ．3,32⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】D【分析】由正弦定理可得22b a ac -=，结合三角形为锐角三角形可得a 的取值范围.【详解】∵22sin sin sin sin B A A C -=⋅，∴由正弦定理可得22b a ac -=，∵ABC 为锐角三角形，∴可得222222a c b a b c ⎧+>⎨+>⎩，即22293239a a aa a ⎧+>+⎨+>⎩解得3,32a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.故选：D.【点睛】本题主要考查三角形的正余弦定理的应用，及锐角三角形的性质，属于中档题.二、多选题9．设复数2i 2i z =+，则下列结论正确的是（）A ．z 的共轭复数为2i-B ．z 的虚部为1C ．z 在复平面内对应的点位于第二象限D ．|1|2z +=【答案】BCD【分析】根据共轭复数的定义即可判断A 选项；根据虚部的概念即可判断B 选项；根据复数的几何意义可以判断C 选项；根据复数模的计算公式可以判断D 选项.【详解】由题得，复数2i 2i 2i z =+=-+，故z 的共轭复数为2i --，则A 错误；z 的虚部为1，故B 正确；z 在复平面内对应的点为(2,1)-，位于第二象限，故C 正确；|1||1i |112z +=-+=+=，故D 正确．故选:BCD ．10．下列说法中错误的是（）A ．已知(1,2),(1,1)a b == ，且a 与a λb + 的夹角为锐角，则实数5,3λ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭B ．向量1(2,3)e =-，213(,)24e =- 不能作为平面内所有向量的一组基底C ．若//a b ，则存在唯一实数λ，使得=a bλ D ．非零向量a 和b 满足a b a b ==- ，则a 与a b +的夹角为60o【答案】ACD【分析】A.根据a 与a λb +的夹角为锐角，由()0a a λb +> ，且不共线求解判断；B.判断12,e e 是否共线；C.由0b = 时判断；D.根据a 和b满足a b a b ==- ，得到222a b a b ⋅== ，然后利用向量的夹角公式求解判断.【详解】A.因为(1,2),(1,1)a b == ，所以()1,2a λb λλ+=++ ，又因为a 与a λb +的夹角为锐角，所以()0a a λb +> ，即()1220λλ+++>且0λ≠，解得53λ>-且0λ≠，故错误；B.因为向量1(2,3)e =- ，213(,)24e =- ，所以124e e = ，即12,e e 共线，所以12,e e不能作为平面内所有向量的一组基底，故正确；C.当0b = 时，满足//a b ，则存在无数个实数λ，使得=a b λ，故错误；D.因为非零向量a 和b满足a b a b ==- ，则22b a b =- ，即222a b a b ⋅== ，则()2232a ab a a b a ⋅+=+⋅= ，()22223a b a b a a b b a +=+=+⋅+= ，所以()()3cos ,2a a b a a ba a b⋅++==⋅+，因为()[],0,a a b π+∈ ，则(),6a a bπ+=，故错误；故选：ACD11．抛掷两枚质地均匀的骰子，设事件A =“第一枚出现奇数点”，事件B =“第二枚出现偶数点”，事件C =“两枚骰子出现点数和为8”，事件D =“两枚骰子出现点数和为9”，则（）A ．A 与B 互斥B ．C 与D 互斥C ．A 与D 独立D ．B 与C 独立【答案】BC【分析】对于A ，结合互斥事件的概念举反例排除即可；对于B ，列举出事件,C D 所包含的基本事件，结合结合互斥事件的概念即可判断；对于CD ，利用古典概型求出事件,,,,,A B C D AD BC 的概率，结合独立事件的概率公式判断即可.【详解】对于A ，记(),x y 表示事件“第一枚点数为x ，第二枚点数为y ”，则事件A 包含事件()1,2，事件B 也包含事件()1,2，所以A B ⋂≠∅，故A 与B 不互斥，故A 错误；对于B ，事件C 包含的基本事件有()()()()()2,6,3,5,4,4,5,3,6,2共5件，事件D 包含的基本事件有()()()()3,6,4,5,5,4,6,3共4件，故C D ⋂=∅，即C 与D 互斥，故B 正确；对于C ，总的基本事件有6636⨯=件，事件A 的基本事件有1863=⨯件，故()181362P A ==，由选项B 知()41369P D ==，而事件AD 包含的基本事件有()()3,6,5,4共2件，故()213618P AD ==，所以()()()P AD P A P D =，故A 与D 独立，故C 正确；对于D ，事件B 的基本事件有6318⨯=件，故()181362P B ==，由选项B 知()536P C =，而事件BC 包含的基本事件有()()()2,6,4,4,6,2共3件，故()313612P BC ==，所以()()()15512367212P B P C P BC =⨯=≠=，故B 与C 不独立，故D 错误.故选：BC.12．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知45,2A c =︒=，下列说法正确的是（）A ．若3,a ABC = 有两解B ．若3,a ABC = 有两解C ．若ABC 为锐角三角形，则b 的取值范围是(2,22)D ．若ABC 为钝角三角形，则b 的取值范围是(0,2)【答案】AC【分析】根据三角形的构成，可判断三角形有几个解所要满足的条件，即sin c A a c <<，ABC 有两解，a c >或sin a c A =，ABC 有一解，sin a c A <，ABC 有0解，根据直角三角形的情况，便可得出ABC 为锐角或钝角三角形时，b 的取值范围.【详解】A 选项，∵sin c A a c <<，∴ABC 有两解，故A 正确；B 选项，∵a c >，∴ABC 有一解，故B 错误；C 选项，∵ABC 为锐角三角形，∴cos cos cc A b c A<<，即222b <<，故C 正确；D 选项，∵ABC 为钝角三角形，∴0cos b c A <<或cos cb c A>，即02b <<或22b >，故D 错误.故选：AC三、填空题13．设有两组数据：12,...n x x x 与12,...n y y y ，它们之间存在关系式：i i y ax b =+（1,2,i n = ，其中,a b 非零常数），若这两组数据的方差分别为2x σ和2y σ，则2x σ和2y σ之间的关系是．【答案】222y xa σσ=【分析】注意两组数据的关系,后一组中的每一个数字是前一组数字的a 倍,这样两组数据的方差之间的关系就是后者的方差是前者的2a 倍.【详解】两组数据:12,x x ,n x ⋯与12,y y ,n y ⋯,它们之间存在关系式:i i y ax b =+即第二组数据是第一组数据的a 倍还要整体加上b ,在一列数字上同时加上一个数字方差不变,而同时乘以一个数字方差要乘以这个数字的平方,2x σ∴和2y σ之间的关系是222y x a σσ=,故填:222y x a σσ=,【点睛】本题考查方差的变换特点,若在原来数据前乘以同一个数,平均数也乘以同一个数,而方差要乘以这个数的平方,在数据上同加或减同一个数,方差不变,属于基础题.14．边长为5,7,8的三角形的最大角与最小角之和为．【答案】120°【详解】试题分析：根据三角形角边关系可得，最大角与最小角所对的边的长分别为8与5，设长为7的边所对的角为θ，则最大角与最小角的和是180°-θ，有余弦定理可得，cosθ=256449258+-⨯⨯=12，易得θ=60°，则最大角与最小角的和是180°-θ=120°，故答案为1200．【解析】本试题主要考查了余弦定理的运用，解本题时注意与三角形内角和定理结合分析题意点评：解决该试题的关键是设长为7的边所对的角为θ，根据余弦定理可得cosθ的值，进而可得θ的大小，则由三角形内角和定理可得最大角与最小角的和是180°-θ，即可得答案．15．已知向量()2,1a = ，(),2b x = ，若b 在a 方向上的投影向量为a，则x 的值为．【答案】32/1.5【分析】利用投影向量公式求解即可.【详解】解： ()2,1a =，(),2b x = ，∴22a b x ⋅=+ ，415a =+= ，∴b 在a方向上的投影向量为225a b a x a aa ⋅+⋅=， b在a 方向上的投影向量为a，∴2215x +=，32x ∴=，故答案为：32.16．如图，圆形纸片的圆心为O ，半径为12cm ，该纸片上的正方形ABCD 的中心为,,,,O E F G H 为圆O 上的点，ABE ∆，BCF ∆，CDG ∆，ADH ∆分别是以,,,AB BC CD DA 为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后，分别以,,,AB BC CD DA 为折痕折起ABE ∆，BCF ∆，CDG ∆，ADH ∆使得,,,E F G H 重合，得到一个四棱锥.当该四棱锥的侧面积是底面积的2倍时，该四棱锥的外接球的表面积为．【答案】4003π【分析】先连接OE 交AB 与点N ，结合四棱锥的侧面积是底面积的2倍，求得正方形边长，再画出折叠后的立体图形，找出外接球的球心，结合勾股定理即可求解【详解】如图：连接OE 交AB 与点N ，设正方形边长为x ，()0122x <≤，则2xON =，122x EN =-则正方形面积为：2x ，四棱锥的侧面积为：()2142122242AB EN x x x x ⨯⨯=-=-，由题意得2S S =侧底，即22242x x x -=，解得8x =，画出折叠后的立体图形．如图：设重合点为P ，该四棱锥为正四棱锥，球心应在OP 的连线上，设为'O ，设外接球半径为R ，则8NP EN ==，4ON =，43PO =，'','43O P O B R OO R ===-，42OB =，由勾股定理得222''O B OO OB=+，即()()2224243R R =+-，解得1033R =，外接球表面积为：21004004433πS πR π==⨯=故答案为4003π【点睛】本题考查图形折叠前后的变换关系，四棱锥的外接球半径的求法，属于中档题四、解答题17．已知i 是虚数单位，设13i 22ω=-+.(1)求证：1＋ω＋ω2＝0；(2)计算：(1＋ω－ω2)(1－ω＋ω2)．【答案】(1)证明见解析；(2)4.【分析】（1）代入13i 22ω=-+，化简210ωω++=，即可作出证明；（2）由（1）知210ωω++=，求解31ω=，代入即可求解.【详解】（1）证明：∵13i 22ω=-+，222131133(i)2()(i)(i)224222ω∴=-+=+⨯-⨯+13313i i 42422=--=--，∴2131311i i 0.2222ωω++=-+--=（2）由1＋ω＋ω2＝0知，(ω－1)(1＋ω＋ω2)＝0，∴ω3－1＝0，∴ω3＝1.∴(1＋ω－ω2)(1－ω＋ω2)＝(－2ω2)(－2ω)＝4ω3＝4.18．已知4sin 5α=，,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，5cos 13β=-，β是第三象限角．（Ⅰ）求tan 2α的值；（Ⅱ）求()cos αβ+的值．【答案】（Ⅰ）247；（Ⅱ）6365．【分析】（Ⅰ）先求得cos α，然后求得tan α，从而求得tan 2α.（Ⅱ）先求得sin β，从而求得()cos αβ+的值.【详解】（Ⅰ）∵4sin 5α=，,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴23cos 1sin 5αα=--=-，∴sin tan s 43co ααα==-，∴22tan 24tan 21tan 7ααα==-．（Ⅱ）∵5cos 13β=-，β是第三象限角，∴212sin 1cos 13ββ=--=-，故63cos()cos cos sin sin 65αβαβαβ+=⋅-=．19．为测量地形不规则的一个区域的径长AB ，采用间接测量的方法，如图，阴影部分为不规则地形，利用激光仪器和反光规律得到ACB DCB ∠=∠，ACD ∠为钝角，5AC =，7AD =，26sin 7ADC ∠=．(1)求sin ACB ∠的值；(2)若测得BDC BCD ∠=∠，求待测径长AB ．【答案】(1)15sin 5ACB ∠=(2)15AB =【分析】（1）由正弦定理结合二倍角的余弦公式求解即可；（2）分别在ACD ，BCD △用余弦定理可求得4CD =，10BD BC ==，再由两角差的余弦公式可求出cos ADB ∠，最后在在ABD △，由余弦定理即可求出答案.【详解】（1）在ACD 中，由正弦定理可得：57sin sin sin 267AC AD ADC ACD ACD =⇒=∠∠∠，则26sin 5ACD ∠=，因为ACB DCB ∠=∠，因为ACD ∠为钝角，所以1cos 5ACD ∠=-，所以215cos 12sin sin 5ACD ACB ACB ∠=-∠⇒∠=.（2）在ACD ，由余弦定理可得：212549cos 525CD ACD CD+-∠=-=⨯⋅，解得：4CD =或6CD =-（舍去），因为BDC BCD ∠=∠，所以BD BC =，在BCD △，10cos cos 5BDC BCD ∠=∠=，由余弦定理可得：22210162cos 528CD BD BC BDC CD BD BD BD+-∠====⋅，解得：10BD BC ==，10cos 5BDC ∠=，15sin 5BDC ∠=，26sin 7ADC ∠=，5cos 7ADC ∠=，()cos cos cos cos sin sin ADB BDC ADC BDC ADC BDC ADC∠=∠-∠=∠∠+∠∠1051526510610111057573535+=⨯+⨯==，在ABD △，由余弦定理可得：22211102cos 104921071535AB BD AD BD AD ADB =+-⋅∠=+-⨯⨯⨯=，故15AB =.20．社会的进步与发展，关键在于人才，引进高素质人才对社会的发展具有重大作用．某市进行人才引进，需要进行笔试和面试，一共有200名应聘者参加笔试，他们的笔试成绩都在[]40,100内，将笔试成绩按照[)40,50、[)50,60、L 、[]90,100分组，得到如图所示频率分布直方图．(1)求频率分布直方图中a 的值；(2)求全体应聘者笔试成绩的众数和平均数（每组数据以区间中点值为代表）；(3)若计划面试150人，请估计参加面试的最低分数线．【答案】(1)0.020a =(2)众数为75，平均数为74.5(3)65【分析】（1）利用频率分布直方图中所有矩形面积之和为1可求得a 的值；（2）利用频率分布直方图中最高矩形底边的中点值为众数，将矩形底边的中点值乘以对应矩形的面积，将所得结果全加可得应聘者笔试成绩的平均数；（3）计算出25%百分位数，可得结果.【详解】（1）解：由题意有()0.0050.0100.0300.015101a a +++++⨯=，解得0.020a =.（2）解：应聘者笔试成绩的众数为7080752+=，应聘者笔试成绩的平均数为450.05550.1650.2750.3850.2950.1574.5⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．（3）解：1500.75200= ，所以，面试成绩的最低分为25%百分位数，前两个矩形面积之和为0.050.10.15+=，前三个矩形的面积之和为0.150.20.35+=，设25%百分位数为m ，则()0.15600.020.25m +-⨯=，解得65m =.因此，若计划面试150人，估计参加面试的最低分数线为65.21．如图，三棱锥A BCD -中，ABC 为等边三角形，且面ABC ⊥面BCD ，CD BC ⊥．(1)求证：CD AB ⊥；(2)当AD 与平面BCD 所成角为45°时，求二面角C AD B --的余弦值．【答案】(1)证明见解析；(2)1010.【分析】(1)根据给定条件证得CD ⊥平面ABC 即可推理作答.(2)由AD 与平面BCD 所成角确定正ABC 边长与CD 长的关系，再作出二面角C AD B --的平面角，借助余弦定理计算作答.【详解】（1）在三棱锥A BCD -中，平面ABC ⊥平面BCD ，平面ABC ⋂平面BCD BC =，而CD BC ⊥，CD ⊂平面BCD ，因此有CD ⊥平面ABC ，又有AB ⊂平面ABC ，所以CD AB ⊥.（2）取BC 中点F ，连接AF ，DF ，如图，因ABC 为等边三角形，则AF BC ⊥，而平面ABC ⊥平面BCD ，平面ABC ⋂平面BCD BC =，AF ⊂平面ABC ，于是得AF ⊥平面BCD ，ADF ∠是AD 与平面BCD 所成角，即45ADF ∠= ，令2BC =，则3DF AF ==，因CD BC ⊥，即有2DC =，由(1)知，DC AC ⊥，则有6AD BD ==，过C 作CO AD ⊥交AD 于O ，在平面ABD 内过O 作OE AD ⊥交BD 于E ，连CE ，从而得COE ∠是二面角C AD B --的平面角，Rt ACD △中，23AC CD CO AD ⋅==，222226(2)()33OD CD CO =-=-=，ABD △中，由余弦定理得222222(6)(6)22cos 23266AD BD AB EDO AD BD +-+-∠===⋅⨯⨯，6cos 2OD DE EDO ==∠，22306OE DE OD =-=，显然E 是Rt BCD 斜边中点，则1622CE BD ==，COE 中，由余弦定理得2222222306()()()623cos 2230263CO EO CE COE CO EO+-+-∠==⋅⨯⨯1010=，所以二面角C AD B --的余弦值1010.22．设ABC 是边长为1的正三角形，点123,,P P P 四等分线段BC （如图所示）．（1）求112AB AP AP AP ⋅+⋅ 的值；（2）Q 为线段1AP 上一点，若112AQ mAB AC =+ ，求实数m 的值；（3）P 为边BC 上一动点，当PA PC ⋅ 取最小值时，求cos PAB ∠的值．【答案】（1）138；（2）14；（3）51326．【分析】（1）利用线段的中点向量公式将所求化为212AP ，再结合余弦定理求解；（2）利用平面向量的线性运算进行化简求解；（3）先讨论P 的位置，研究PA PC ⋅ 的符号，再设PC x = ，将PA PC ⋅ 表示为关于x 的函数，利用二次函数的最值判定P 的位置，再利用余弦定理进行求解．【详解】（1）原式2121()2AP AB AP AP =⋅+= ，在1△ABP 中，由余弦定理，得211113121cos 6016416AP ︒=+-⨯⨯⨯=，所以112138AB AP AP AP ⋅+⋅= （2）易知114BP BC = ，即11()4AP AB AC AB -=- ，即13144AP AB AC =+ ，因为Q 为线段1AP 上一点，设13114412AQ AP AB AC m AB AC λλλ==+=+ ，所以3411412m λλ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得1314m λ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以14m =；（3）①当P 在线段2BP 上时，0PA PC ⋅≥ ；②当P 在线段2P C 上时，0PA PC ⋅≤ ；要使PA PC ⋅ 最小，则P 必在线段2P C 上，设PC x = ，则cos PA PC PA PC APC ⋅=⋅∠ 222111cos 2416PA PC APB PC PP x x x ⎛⎫=-∠=-=-=-- ⎪⎝⎭ ，当14x =时，即当P 为3P 时，PA PC ⋅ 最小，则由（1）可知134 AP=，则由余弦定理得222139151616cos1322613214AB AP BPBAPAB AP+-+-∠===⋅⨯⨯，。

江苏连云港市高级中学2024年高一下学期期末数学试题(解析版)

连云港高级中学高一年级第二学期期末冲刺试卷数学试题注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知i 为虚数单位，若i 1i z =−，则z z ⋅=（） A. 1 B. 2C.12D. 3【答案】B 【解析】【分析】利用复数的除法运算求得1i z =−−，进而计算可求得z z ⋅. 【详解】由i 1i z =−，得1i (1i)i1i i i iz −−===−−×，则(1i)(1i)112z z ⋅=−−−+=+=. 故选：B.2. 总体编号为01，02，…，29，30的30个个体组成．利用下面的随机数表选取6个个体，选取方法是从随机数表第1行的第3列和第4列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第6个个体的编号为（）7816 1572 0802 6315 0216 4319 9714 0198 3204 9234 4936 8200 3623 4869 6938 7181 A. 02 B. 14C. 15D. 16【答案】B 【解析】【分析】结合随机数表法确定正确答案.【详解】选取方法是从随机数表第1行的第3列和第4列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的个体的编号为16，15，72（舍去），08，02，63（舍去），15（舍去），02（舍去），16（舍去），43（舍去），19，97（舍去），14. 故选出的第6个个体编号为14. 故选：B.3. 若向量()1,2a =− ，()2,3b = ，则a 在b上的投影向量为（）A. ()8,12B. 812,1313−C. 812,1313D.【答案】C 【解析】【分析】首先求出a b ⋅ 、b，再根据投影向量的定义计算可得.【详解】因为()1,2a =−，()2,3b = ，所以12234a b ×⋅=−+×=，b =所以a 在b上的投影向量为812,1313a b b b b ×= =⋅ . 故选：C4. 魏晋南北朝时期，祖冲之利用割圆术以正4576边形，求出圆周率π约为355113，和真正的值相比，其误差小于八亿分之一，这个记录在一千年后才给打破.若已知π的近似值还可以表示成4cos38°，则） A. 18− B.8−C. 8D.18【答案】C 【解析】【分析】将π的近似值代入，利用倍角公式和诱导公式进行化简即可. 【详解】π的近似值还可以表示成4cos38°，16cos38sin 388sin 768cos14cos14°°°===°°，故选：C.5. 设l ，m 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列说法中错误的是（） A. 若l⊥平面α，//αβ，m β⊂，则l m ⊥ B. 若l α⊥，m β⊂，//l m ，则αβ⊥C. 若l α⊥，m α⊥，则//l mD. 若//l α，l //β，则//αβ【答案】D 【解析】【分析】由面面垂直的判定定理可判断A 、B ；线面垂直的性质定理可判断C ；由面面平行的判定定理可判断D .【详解】对于A ，因l⊥平面α，//αβ，所以l ⊥平面β，又因为m β⊂，所以l m ⊥，故A 正确；对于B ，若l α⊥，//l m ，则m β⊥，又因为m β⊂，所以αβ⊥，故B 正确；对于C ，若l α⊥，m α⊥，则//l m ，故C 正确；对于D ，若//l α，l //β，则可能α与β相交，故D 错误. 故选：D .6. 已知ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，ABC 的面积为S，a =，12b =，cos S B =，则A =（） A. 30°或150° B. 30°C. 45°D. 150°【答案】B 【解析】【分析】根据题意，由三角形的面积公式即可得到角B ，再由正弦定理即可得到结果.【详解】因为1cos sin 2Sac B ac Bsin B B =，即tan B =，且()0,πB ∈，所以π3B =，又a =，12b =，由正弦定理sin sin a b A B=可得，sin 1sin 2a B Ab ⋅==，因为a b <，A 为锐角，所以π6A =. 故选：B7. 在长方体1111ABCD A B C D −中，已知2AB BC ==，13AA =，E 为11B C 的中点，则直线CE 与平面11BB D D 所成角的余弦值为（）为A.B.C.D.【答案】B 【解析】【分析】利用线面垂直以及线线平行可得1MB N ∠为直线CE 与平面11BB D D 所成角的线面角，又三角形边角关系即可求解，或者建立空间直角坐标系，利用线面角公式即可求解．【详解】方法一：连接,AC BD 相交于O ，取OB 中点M ，BC 中点为N ,连接1,MN B M ，则//MN AC ,1//EC B N ,由于1BB ⊥底面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，所以1BB AC ⊥,又AC BD ⊥,11,,BB BD B BB BD ∩=⊂平面11BB D D ，所以AC ⊥平面11BB D D ，所以MN ⊥平面11BB D D ,因此1MB N ∠为直线CE 与平面11BB D D 所成角，12MNOC ==,1B N =,所以1B M则111cos B MMB N B N ∠=,方法二：建立如图空间直角坐标系，则(0C ,2,0),(1E ,2,3),(2A ,0,0)，(2AC − ,2,0)，(1CE =,0,3)，由于1,,AC BD AC BB ⊥⊥所以平面11BB D D 的法向量为(2AC − ,2,0)，设直线CE 与平面11BB D D 所成角为θ，则||sin ||||AC CE AC CE θ⋅== ，则直线CE 与平面11BB D D故选：B ．8. 已知点A ，B ，C 均位于单位圆（圆心为O ，半径为1）上，且AB AB AC =⋅的最大值为（）A.B.C.1+D.1【答案】C 【解析】【分析】设O为圆心，由||AB =，可得0OB OA =，利用()AB ACAB OC OB OA OA =−− ，计算可求最大值.【详解】设O 为圆心，则||||||1OA OB OC ===，因为||AB =所以2222()22AB OB OA OB OB OA OA =−=−+= ，所以0OB OA = ，所以()()AB AC AB OC OA AB OC AB OA AB OC OB OA OA =−=−=−−2···cos ,1,1AB OC OB OA OA AB OC AB OC AB OC −+=+=+，因为cos ,[1,1]AB OC ∈−，所以max ()1AB AC = 故选：C.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 关于复数的命题正确的有（） A. 若复数12z z >，则12,z z ∈RB. 若复数()211i z m m =−++为纯虚数，则1m =±C. 若i 2z −=，则z 的最小值为1D. 若12=z z ，则2212z z =【答案】AC 【解析】【分析】根据复数的分类即可判断AB,根据复数模长的计算，结合三角函数的性质即可判断C ，根据模长公式即可判断D.【详解】由复数定义可知，若复数12z z >，则1z ，2R z ∈，A 正确；若复数21(1)i z m m =−++为纯虚数，则21010m m −= +≠，则1m =，B 错误；设i(,R)z x y x y =+∈，|i |2z −=的几何意义是z 的轨迹是以(0,1)为圆心，以2为半径的圆，令2cos x α=，12sin y α=+，则1z =≥，即||z 的最小值为1，C 正确；若12||||z z =，但2212z z =不一定成立，比如121i,z z =−，则12||||z z ==，22122i,2z z =−=−，D 错误．故选：AC ．10. 下列关于平面向量的说法中，正确的是（）A. 对于任意向量a 、b，有a b a b −≥− 恒成立B. 若平面向量a ，b满足22b a == ，则2a b − 的最大值是5 C. 若向量a ，b 为单位向量，2a b −=，则向量a 与向量b的夹角为60° D. 若非零向量a ，b 满足()0,xa ybx y +=∈R ，且a ，b不共线，则0x y == 【答案】ABD 【解析】【分析】由平面向量的线性运算的几何性质可判断A ，根据模长的计算公式即可判断B ，数由夹角公式即可利用模长求解C ，根据共线的性质即可判断D.【详解】对于A ，由向量减法的三角形法则及三角形两边之差小于第三边知a b a b −≥−恒成立，故A 正确；对于B ， ||2||2b a ==，∴25a b −=≤，故B 正确；对于C ，向量a ，b为单位向量，|2|a b − ，∴2(2)7a b −= ，∴22447a b a b +−⋅= ，∴12a b ⋅=− ，对于D ，a ，b 不共线，当0x ≠时，由()0,xa yb x y +=∈R ，则y a b x=− ，此时与a ，b 不共线矛盾，若0y ≠时，此x b a y=− ，也与a ，b 不共线矛盾，故0xy ==，故D 正确．故选：ABD ．11. 某市商品房调查机构随机抽取n 名市民，针对其居住的户型结构和满意度进行了调查，如图1调查的所有市民中四居室共300户，所占比例为13，二居室住户占16．如图2是用分层抽样的方法从所有调查的市民的满意度问卷中，抽取10%的调查结果绘制成的统计图，则下列说法错误的是（）A. 样本容量为90B. 样本中三居室住户共抽取了35户C. 据样本可估计对四居室满意的住户有110户D. 样本中对二居室满意的有3户【答案】BC 【解析】【分析】推导出二居室有150户，三居室有450户，由此利用图1和图2能求出结果．【详解】解：如图1调查的所有市民中四居室共300户，所占比例为13，二居室住户占16， ∴30090013=，二居室有19001506×=户，三居室有450户，由图1和图2得：在A 中，样本容量为：90010%90n =×=，故A 正确；在B 中，样本中三居室住户共抽取了45010%45×=户，故B 错误；在C 中，根据样本可估计对四居室满意的住户有30040%120×=户，故C 错误；在D 中，样本中对二居室满意的有15010%20%3××=户，故D 正确．故选：BC ．12. 如图，在正方体1111ABCD A B C D −中，E ，O 分别为线段11A D ，AC 的中点，F 在棱BC 上.则下列命题正确的是（）A. 直线1B O ⊥直线1D CB. 直线1DB ⊥平面1AD CC. 直线1//B O 平面11A DCD. 设直线AB 与直线EF 所成的角为θ，则sin θ∈ 【答案】BCD 【解析】【分析】根据题意作出辅助线结合线面垂直及平行的判定定理证明A 、B 、C ，取11B C 的中点G ，连接EG 、EF 、FG ，则FEG ∠即为直线AB 与直线EF 所成的角，再由锐角三角函数计算即可判断D.【详解】对于A ：连接1AD 交1A D 于点M ，连接1D C 、OM ，根据正方体的性质可得M 为1AD 的中点，又为AC 的中点，所以1//OM D C ，设正方体的棱长为2，所以1OB OM 1B M ，所以11MB OB =，显然190MOB ∠≠°，故直线1B O 与直线1D C 不垂直，故A 错误；对于B ：由正方体的性质可得AC BD ⊥，1BB ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，所以1BB AC ⊥，1BB BD B ∩=，1,BB BD ⊂平面11BB D D ，所以AC ⊥平面11BB D D ，1B D ⊂平面11BB D D ，所以1B D AC ，同理可证11B D AD ⊥，1AD AC A = ，1,AD AC ⊂平面1AD C ，所以直线1DB ⊥平面1AD C ，故B 正确；对于C ：连接11A C ，11B D 交于点H ，连接DH ，由正方体性质1//OD HB 且1OD HB =，所以四边形1ODHB 为平行四边形，所以1//DH OB ，1B O ⊄平面11A DC ，DH ⊂平面11A DC ，所以1//B O 平面11A DC ，故C 正确；对于D ：取11B C 的中点G ，连接EG 、EF 、FG ，因为11//EG A B ，11//AB A B ，所以//EG AB ，则FEG ∠即为直线AB 与直线EF 所成的角，即FEG θ∠=，设正方体的棱长为2，GF x =，则2x ≤≤，则2EG =，EF ，的所以sin GFEFθ==因为2x ≤≤245x ≤≤，211154x ≤≤，即24415x ≤≤，294125x ≤+≤≤≤≤≤即sin θ∈，故D 正确.故选：BCD三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把答案填写在答题卡相应位置上.13. ()()1tan 221tan 23+°+°的值为__________．【答案】2 【解析】【分析】利用正切的和角公式进行化简求值.【详解】已知()tan 22tan 23tan 222311tan 22tan 23°+°°+°==−°⋅°，故tan 22tan 23tan 22tan 231°+°+°⋅°=，所以()()1tan 221tan 231tan 22tan 23tan 22tan 232+°+°=+°+°+°⋅°= 故答案为：214. 中国古典神话故事《白蛇传》中“水漫金山寺”中的金山寺位于镇江金山公园内，唐宋时期，寺里有南北相向的两座宝塔，一名荐慈塔，一名荐寿塔，后双塔毁于火，明代重建该塔，当年值逢慈禧60大寿，地方官员以此塔作为贺礼进贡，故取名慈寿塔.某校高一研究性学习小组为了实地测量该塔的高度，选取与塔底中心O 在同一个水平面内的两个测量基点A 与B ，在A 点测得：塔顶P 的仰角为45°，O 在A 的北偏东60°处，B 在A 的正东方向41米处，且在B 点测得O 与A 的张角为45°，则慈寿塔的高度约为__________米（四舍五入，保留整数）.【答案】30 【解析】【分析】在ABO 中利用正弦定理求出AO ，依题意APO △为等腰直角三角形，即可得到PO . 【详解】由题意可得在AOB 中，30OAB ∠=°，45ABO ∠=°，41AB =米，所以105AOB ∠=°，在ABO 中利用正弦定理可得sin sin AB AOAOB ABO=∠∠，所有sin 41sin 45sin sin105AB ABO AOAOB ⋅∠×°==∠°1)30≈，因为45PAO ∠=°，所以APO △为等腰直角三角形，所以30POAO =≈米．故答案为：30．15. 一个直角梯形上底、下底分别为3cm 和4cm ，将此直角梯形以垂宜于底的腰为轴旋转周形成一个圆台，此圆台外接球的半径为5cm ，则这个圆台的高为_________. 【答案】1或7 【解析】【分析】分别求出球心到两底面的距离，分类讨论可求出圆台的高.【详解】圆台的外接球的半径为5，则圆台外接球的球心到上底面的距离为14d ==,则圆台外接球的球心到下底面的距离为13d ,若球心在上下两底面之间，则圆台的高为347h =+=, 若上下两底面在球心的同一侧，则圆台的高为431h =−=, 综上所述：这个圆台的高为1或7. 故答案为：1或7.16. 在边长为2的正方体1111ABCD A B C D −中，E ，F ，G 是1111,,AB A D C D 的中点，那么过点E ，F ，G 的截面图形为__________（在“三角形、四边形、五边形、六边形”中选择一个）；截面图形的面积为__________．【答案】 ①. 六边形 ②. 【解析】【分析】根据面面平行的性质定理可推断正方体截面图形的形状为正六边形，再根据截面图的边长与正方体棱长关系以及正六边形结构特征即可求解面积.【详解】如图，分别取BC 、1AA 、1CC 的中点为H 、I 、J ，连接,,,,FI IE EH HJ JG ，则由正方体的结构特征可知：FI IE EH HJ JG FG =====，且//,//,//FI HJ IE JG FG EH ，又由面面平行的性质定理可知过点E ，F ，G 的截面与正方体上下面的两条交线平行，与左右两个面的两条交线平行，与前后两个面的交线也平行，故六边形FGJHEI E ，F ，G 的截面, 所以过点E ，F ，G 的截面图形为六边形.因为FG ，所以六边形FGJHEI 的正六边形，如图，根据正六边形结构特征可以将其分割成6，故由正三角形面积公式得截面图形的面积为6×故答案为：六边形；四、解答题：本大题共6小题，共70分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.17. 在ABC 中，AD 是BAC 的角平分线，AE 是边BC 上的中线，点D 、E 在边BC 上．（1）用正弦定理证明AB BDAC CD=；（2）若4360AB AC BAC ==∠=°，，，求DE 长．【答案】（1）证明见解析（2）DE =【解析】【分析】（1）由正弦定理知，sin sin AB BDADB BAD =∠∠，sin sin AC BD ADC DAC=∠∠，结合条件可得结论；（2）由余弦定理可求得BC =，进而利用（1）的结论可求DE . 【小问1详解】由正弦定理知，在ABD △中，sin sin AB BDADB BAD=∠∠，在ADC △中，sin sin AC BDADC DAC=∠∠，由πADB ADC ∠+∠=，BAD DAC ∠=∠，所以sin sin ,sin sin ADB ADC BAD DAC ∠=∠∠=∠，所以AB BDAC DC=；【小问2详解】在ABC 中，由余弦定理可得2222cos 169243cos 6013BC AB AC AB AC BAC =+−=+−×××°= ，所以BC =，由（1）可得43BDAB DCAC ==，所以47BD BC ==，因为AE 是BC边上的中线，所以12BEBC ==，所以DE BD BE =−=18. 已知12sin 13α=，()3tan 4αβ−=，其中α，β均为锐角.（1）求tan 2α的值；（2）求cos β的值. 【答案】（1）120119− （2）5665的【解析】分析】（1）首先求出cos α，即可求出tan α，再由二倍角正切公式计算可得；（2）根据同角三角函数的基本关系求出()sin αβ−，()cos αβ−，再根据()cos cos βααβ=−− 利用两角差的余弦公式计算可得. 【小问1详解】因为12sin 13α=且α为锐角，所以cos 135α=，所以sin 12tan cos 5ααα==，所以221222tan 12051tan 119tan 21215ααα×===−−−. 【小问2详解】因为α、β均为锐角，所以ππ22αβ−<−<，又()3tan 4αβ−=，所以π02αβ<−<，又()()()sin 3tan cos 4αβαβαβ−−==−且()()22sin cos 1αβαβ−+−=，解得()3sin 5αβ−=，()4cos 5αβ−=（负值舍去），所以()()()cos cos cos cos sin sin βααβααβααβ=−−=−+−541235613513565=×+×=. 19. 如图，三棱柱111ABC A B C 中，E 为1BC 中点，F 为1AA 中点．（1）求证：//EF 平面ABC ；（2）若1EF BB ⊥，平面11BB C C ⊥平面ABC ，ACBC ⊥，求证：1BB ⊥平面ABC ．【【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）取BC 的中点M ，连接,ME MA ，由已知易证四边形MEFA 是平行四边形，进而可得//EF AM ，可证结论；（2）由面面垂直的性质可得AC ⊥平面11BB C C ，进而可得1AC BB ⊥，结合（1）与已知可得1AM BB ⊥，进而由线面垂直的判定定理可证结论. 【小问1详解】取BC 的中点M ，连接,ME MA ，因为E 为1BC 中点，所以1//ME CC 且1ME CC =，又F 为1AA 中点，11//AA CC ，11AA CC =，所以//ME AF 且ME AF =，所以四边形MEFA 是平行四边形，所以//EF AM ，又因为EF ⊄平面ABC ，AM ⊂平面ABC ，所以//EF 平面ABC ；【小问2详解】因为1EF BB ⊥，由（1）可知//EF AM ，所以1AM BB ⊥，又ACBC ⊥，平面11BB C C ⊥平面ABC ，平面11BB C C 平面ABC BC =，AC ⊂平面ABC ，所以AC ⊥平面11BB C C ，1BB ⊂平面11BB C C ，所以1AC BB ⊥，又AC AM A ∩=，,AM AC ⊂平面ABC ，所以1BB ⊥平面ABC ．20. 为了调查疫情期间数学网课学习情况，某校组织了高一年级学生进行了数学测试．根据测试成绩（总分100分），将所得数据按照[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]分成6组，其频率分布直方图如图所示．（1）求图中a 的值；为了更全面地了解疫情对网课的影响，求该样本的60百分位数；（2）试估计本次数学测试成绩的平均分；（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（3）该校准备对本次数学测试成绩优异（将成绩从高到低排列，排在前13%的为优异）的学生进行嘉奖，则受嘉奖的学生分数不低于多少？【答案】（1）0.025a =；60百分位数为74；（2）71 （3）88 【解析】【分析】（1）由直方图区间频率和为1求参数a ；设该样本的60百分位数为x 分，由题意可得0.5(70)0.0250.6x +−×=，求解即可；（2）根据直方图求物理测试成绩的平均分即可；（3）根据直方图求出成绩从高到低排列且频率0.13为对应分数即可. 【小问1详解】由(0.0050.010.01520.030)101a ++×++×=，解得0.025a =；设该样本的60百分位数为x 分，因为[40,50),[50,60)[60,70),[70,80)，对应的频率分别为0.05，0.15，0.3，0.25，所以60百分位数在[70,80)内，由题意可得0.5(70)0.0250.6x +−×=，解得74x =，所以60百分位数为74；【小问2详解】450.05550.15650.3750.25850.15950.171×+×+×+×+×+×=，故本次防疫知识测试成绩的平均分为71；【小问3详解】设受嘉奖的学生分数不低于x 分，因为[80,90),[90,100]对应的频率分别为0.15，0.1，所以(90)0.0150.10.13x −×+=，解得88x =，故受嘉奖的学生分数不低于分88．21.条件①cos sin b C C a c =+；②()cos 2cos b C a c B =−；③()sin cos cos cos R B B a C c A =+（其中R 为ABC 的外接圆半径）.在这三个条件中任选一个，补充到下面横线上，并解答.在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足__________. （1）求角B 的大小；（2）若4b =，求ABC 面积S 最大值.（注：若选择多个条件分别解答，则按第一个计分）【答案】（1）π3（2）【解析】【分析】（1）若选①，由正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得π1sin()62B −=，可求ππ5π,666B−∈−，进而可得B 的值；若选②，由正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得1cos 2B =，结合(0,π)B ∈，可求B 的值；若选③，由正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得1cos 2B =，结合(0,π)B ∈，可求B 的值．（2）由题意利用余弦定理以及基本不等式可求ac 的最大值，进而利用三角形的面积公式即可求解．【小问1详解】若选①，因为cos sin b C C a c +=+，由正弦定理可得sin cos sin sin sin B C B C A C +=+，因为sin sin()sin cos cos sin AB C B C B C =+=+，可得sin cos sin sin cos cos sin sin B C B C B C B C C =++，sin cos sin sin B C B C C =+，又C 为三角形内角，sin 0C ≠，的cos 1B B =+，可得π1sin()62B −=，因为(0,π)B ∈，可得ππ5π,666B −∈−，所以ππ66B −=，可得π3B =；若选②，因为cos (2)cos b C a c B =−，由正弦定理可得sin cos (2sin sin )cos BC A C B =−，可得sin cos sin cos sin()sin 2sin cos B C C BB C A A B +=+==，又A 为三角形内角，sin 0A ≠，可得1cos 2B =，因为(0,π)B ∈，所以π3B =；若选③，因为sin cos (cos cos )R B B a C c A =+（其中R 为ABC 的外接圆半径），又由正弦定理可得2sin sin sin ab cR A B C===，所以cos (cos cos )2bB aC c A =+，可得1sin cos (sin cos sin cos )cos sin()cos sin 2B B AC C A B A C B B =+=+=，又B 为三角形内角，sin 0B ≠，所以1cos 2B =，因为(0,π)B ∈，所以π3B =．【小问2详解】因为π3B =，4b =，所以余弦定理可得22162a c ac ac ac ac =+−≥−=，可得16ac ≤，当且仅当4a c ==时取等号，所以ABC 的面积1sin 2Sac B ac =≤，当且仅当4b c ==时，等号成立，所以ABC 面积S 的最大值为22. 如图，在正方形123SG G G 中，E ，F 分别是12G G ，23G G 的中点，D 为EF 的中点，若沿SE ，SF 及EF 把这个正方形折成一个四面体，使1G ，2G ，3G 三点重合，重合后的点记为G .（1）在四面体S EFG −中，请写出不少于3对两两垂直的平面，并证明其中的一对；（2）若正方形的边长为4，求点G 到平面SEF 的距离. 【答案】（1）答案见解析（2）43【解析】【分析】（1）依题意可得SG GE ⊥，SG GF ⊥，GE GF ⊥，根据面面垂直的判定定理证明即可；（2）根据S EGF G SEF V V −−=，利用等体积法计算可得. 【小问1详解】依题意可得平面SGE ⊥平面GEF ，平面SGF ⊥平面GEF ，平面SGE ⊥平面SGF ．证明如下：在折前正方形123SG G G 中，11SG G E ⊥，33SG G F ⊥，∴折成四面体S EFG −后，SG GE ⊥，SG GF ⊥，又GE GF G ∩= ，,GE GF ⊂平面GEF ，SG ∴⊥平面GEF ．SG ⊥ 平面GEF ，SG ⊂平面SGE ，∴平面SGE ⊥平面GEF ；因为SG ⊂平面SGF ，∴平面SGF ⊥平面GEF ；又令正方体的边长为2，则1GF GE ==，EF ，所以222EF GE GF =+，所以GE GF ⊥，SG GF G = ，,SG GF ⊂平面SGF ，所以GE ⊥SGF ，因为GE 平面SGE ，所以平面SGE ⊥平面SGF .【小问2详解】若正方形的边长为4，则2GE GF ==，SE SF ===EF所以12222GEF S =××= ，162SEF S =×=由（1）可知SG ⊥平面GEF ，所以11842333S EGF GEF V SG S −⋅=××== ，设点G 到平面SEF 的距离为h ，又S EGF G SEF V V −−=，所以8133SEF S h =×× ，即38163h =××，解得43h =．。

2022-2023学年江苏省苏州高一(下)期末数学试卷【答案版】

2022-2023学年江苏省苏州高一（下）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．cos105°cos45°+sin105°sin45°＝（） A ．12B ．−12C ．√32D ．−√322．已知复数z 是一元二次方程x 2+2x +2＝0的一个根，则|z |＝（） A ．0B ．1C ．√2D ．23．抛掷三枚质地均匀的硬币，观察它们落地时朝上的面的情况，“既有正面向上，也有反面向上”的概率为（） A ．14B ．38C ．12D ．344．已知A （2，3），B （4，﹣3），点P 在线段AB 的延长线上，且|AP →|=2|PB →|，则点P 的坐标为（） A ．（0，9） B ．（6，﹣9） C ．(103，−1) D ．（6，﹣9）或(103，−1) 5．中国南北朝时期数学家、天文学家祖冲之、祖暅父子总结魏晋时期著名数学家刘徽的有关工作，提出“幂势既同，则积不容异”的“祖暅原理”，其中“幂”是截面积，“势”是几何体的高．如图，已知正六棱台的上、下底面边长分别为1和2，高为2√3，一个不规则的几何体与此棱台满足“幂势既同”，则该几何体的体积为（）A ．72√33B ．16√3C ．18√3D ．216．已知平面向量a →，b →满足|b →|=1，a →⋅b →=−2，则3a →−b →在b →上的投影向量为（） A ．7b →B ．−7b →C ．5b →D ．−5b →7．已知a =45，b =sin 23，c =cos 13，则a ，b ，c 的大小关系为（） A ．c ＜b ＜aB ．a ＜b ＜cC ．b ＜a ＜cD ．b ＜c ＜a8．用长度分别为2，3，4，5，6（单位：cm ）的5根细木棒围成一个三角形（允许连接，但不允许折断），能够得到的三角形的最大面积为（） A ．8√5cm 2B ．6√10cm 2C ．15√2cm 2D ．3√55cm 2二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．已知一组数据4，2，a ，10，7的平均数为5，则此组数据的（） A ．众数为2B ．中位数为4C ．极差为3D ．方差为48510．下列条件中能推导出△ABC 一定是锐角三角形的有（） A ．AB →⋅AC →＞0B ．sin A ：sin B ：sinC ＝4：5：6C ．cos A cos B cos C ＞0D ．tan A •tan B ＝211．折扇是一种用竹木或象牙做扇骨、韧纸或者绫绢做扇面的能折叠的扇子（如图1），打开后形成以O 为圆心的两个扇形（如图2），若∠AOB ＝150°，OA ＝2OC ＝2，点F 在AB ̂上，∠BOF ＝120°，点E 在CD ̂上，OE →=xOC →+yOD →（x ，y ∈R ），则（）A ．OE →⋅EF →的取值范围为[﹣2，1] B ．OE →⋅EF →的取值范围为[﹣3，1] C ．当OE →⊥EF →时，x +y =1+√3D ．当OE →⊥EF →时，x +y =2+√312．已知正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为1，点P 在线段AC 上运动，则下列说法正确的有（） A ．B 1P ⊥BD 1B ．三棱锥C 1﹣A 1DP 的体积为定值C ．若Q 为棱BC 上一动点，则△B 1PQ 的周长的最小值为√3+1D ．过P 作平面α，使得A 1C ⊥α，则α截正方体所得的截面可以是四边形三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知事件A 与B 相互独立，P （A ）＝0.6，P （AB ）＝0.42，则P （A +B ）＝．14．已知三条不同的直线a ，b ，c 和两个不同的平面α，β满足以下条件：①a ⊥α，b ⊥β；②α∩β＝m ；③c ⊥a ，c ⊥b ，c ⊄α，c ⊄β，则c 与m 的位置关系是．（填“相交”，“平行”或“异面”） 15．已知棱长为4的正四面体A ﹣BCD 的四个顶点都在同一球面上，过棱AB 的中点M 的一个平面截此球所得截面面积为k π（k ∈N *），请写出一个符合条件的k 的值：． 16．已知α，β为一个斜三角形的两个内角，若cosα−sinαcosα+sinα=cos2β，则tan α+tan β的最小值为．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）已知i 为虚数单位，复数z 0＝3+4i ．（1）若复数z 1满足z 1z 0＝3z 1+z 0，求z 1的虚部；（2）设复数z ＝（x 2﹣4x ）+（x +2）i （x ∈R ），若复平面内表示复数z +z 0的点位于第二象限，求x 的取值范围．18．（12分）数字人民币在数字经济时代中体现的价值、交易媒介和支付手段职能，为各地数字经济建设提供了安全、便捷的支付方式，同时也为金融监管、金融产品设计提供更多选择性和可能性．苏州作为全国首批数字人民币试点城市之一，提出了2023年交易金额达2万亿元的目标．现从使用数字人民币的市民中随机选出200人，并将他们按年龄（单位：岁）进行分组：第1组[15，25），第2组[25，35），第3组[35，45），第4组[45，55），第5组[55，65]，得到如图所示的频率分布直方图．（1）求直方图中a 的值和第25百分位数；（2）在这200位市民中用分层随机抽样的方法从年䯍在[25，35）和[45，55）内抽取6位市民做问卷调查，并从中随机抽取两名幸运市民，求两名幸运市民年龄都在[25，35）内的概率．19．（12分）如图，在三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，侧面BB 1C 1C 是菱形，平面ABC ⊥平面BB 1C 1C ，AB ⊥BC ，M 和N 分别是AB 和B 1C 1的中点．（1）求证：MN ∥平面AA 1C 1C ；（2）求证：B 1C ⊥AC 1．20．（12分）已知向量a →=(sinx ，cosx)，b →=(cosx ，√3cosx)，函数f(x)=a →⋅b →−√32．（1）若f(x 02)=−13，且x 0∈(−π2，π2)，求sin x 0的值；（2）已知A （﹣3，2），B （3，10），将f （x ）的图象向左平移π12个单位长度得到函数g （x ）的图象．在g（x）的图象上是否存在一点P，使得AP⊥BP？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由．21．（12分）《几何原本》是古希腊数学家欧几里得创作的一部传世巨著，该书以基本定义、公设和公理作为推理的出发点，第一次实现了几何学的系绕化、条理化，成为用公理化方法建立数学演绎体系的最早典范．书中第Ⅰ卷第47号命题是著名的毕达哥拉斯（勾股定理），证明过程中以直角三角形ABC中的各边为边分别向外作了正方形（如图1）．某校数学兴趣小组对上述图形结构作拓广探究，提出了如下问题，请帮忙解答．问题：如图2，已知△ABC满足AC=2√2，AB＝2，设∠BAC＝θ（0＜θ＜π），四边形ABGF、四边形ACED、四边形BCQP都是正方形．（1）当θ=π2时，求EQ的长度；（2）求AQ长度的最大值．22．（12分）如图，在四棱锥A﹣BCDE中，DE＝3，AE＝2，BC＝CD＝1，∠BCD=∠CDE=2π3，∠AEB=π2．（1）当AB⊥BC时，求直线AB与平面BCDE所成角的大小；（2）当二面角A﹣BE﹣C为π3时，求平面ABC与平面ADE所成二面角的正弦值．2022-2023学年江苏省苏州高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．cos105°cos45°+sin105°sin45°＝（） A ．12B ．−12C ．√32D ．−√32解：cos105°cos45°+sin105°sin45°=cos(105°−45°)=cos60°=12．故选：A ．2．已知复数z 是一元二次方程x 2+2x +2＝0的一个根，则|z |＝（） A ．0B ．1C ．√2D ．2解：设z ＝a +bi ，a ，b ∈R ，（a +bi ）2+2（a +bi ）+2＝0，即a 2﹣b 2+2a +2+（2ab +2b ）i ＝0，故{a 2−b 2+2a +2=02ab +2b =0，解得{a =−1b =1或{a =−1b =−1，故z ＝﹣1±i ，所以|z|=√1+1=√2．故选：C ．3．抛掷三枚质地均匀的硬币，观察它们落地时朝上的面的情况，“既有正面向上，也有反面向上”的概率为（） A ．14B ．38C ．12D ．34解：抛掷三枚质地均匀的硬币，观察它们落地时朝上的面的情况：（正，正，正），（正，正，反），（正，反，正），（反，正，正），（反，反，正），（反，正，反），（正，反，反），（反，反，反），共有8种不同的结果，既有正面向上，也有反面向上情况：（正，正，反），（正，反，正），（反，正，正），（反，反，正），（反，正，反），（正，反，反），有6种不同的结果，所以，既有正面向上，也有反面向上的概率为68=34．故选：D ．4．已知A （2，3），B （4，﹣3），点P 在线段AB 的延长线上，且|AP →|=2|PB →|，则点P 的坐标为（）A ．（0，9）B ．（6，﹣9）C ．(103，−1) D ．（6，﹣9）或(103，−1) 解：由题意得，点B 为AP 中点，设点P （x ，y ），则{x+22=4y+32=−3，解得{x =6y =−9，所以点P 的坐标为（6，﹣9）．故选：B ．5．中国南北朝时期数学家、天文学家祖冲之、祖暅父子总结魏晋时期著名数学家刘徽的有关工作，提出“幂势既同，则积不容异”的“祖暅原理”，其中“幂”是截面积，“势”是几何体的高．如图，已知正六棱台的上、下底面边长分别为1和2，高为2√3，一个不规则的几何体与此棱台满足“幂势既同”，则该几何体的体积为（）A ．72√33B ．16√3C ．18√3D ．21解：因为正六棱台的上下底面为正六边形，所以S 上=6×√34×12=3√32，S 下=6×√34×22=6√3，所以V 六棱台=13(3√32+6√3+√3√32×6√3)×2√3=21，由祖暅原理知该几何体的体积也为21．故选：D ．6．已知平面向量a →，b →满足|b →|=1，a →⋅b →=−2，则3a →−b →在b →上的投影向量为（） A ．7b →B ．−7b →C ．5b →D ．−5b →解：由题意，3a →−b →在b →上的投影向量为(3a →−b →)⋅b→|b →|•b →=3a →⋅b →−b→2|b →|•b →=3×(−2)−11•b →=−7b →．故选：B ．7．已知a =45，b =sin 23，c =cos 13，则a ，b ，c 的大小关系为（） A ．c ＜b ＜aB ．a ＜b ＜cC ．b ＜a ＜cD ．b ＜c ＜a解：因为sin 23＜sin π4=√22＜45＜sin π3=√32，c =cos 13＞cosπ6=√32＞45=a ，所以c ＞a ，所以b ＜a ＜c ．故选：C ．8．用长度分别为2，3，4，5，6（单位：cm ）的5根细木棒围成一个三角形（允许连接，但不允许折断），能够得到的三角形的最大面积为（） A ．8√5cm 2B ．6√10cm 2C ．15√2cm 2D ．3√55cm 2解：方法一：因为三角形的周长为20，所以三角形越接近等边三角形，面积越大，所以三边长为6，7，7时面积最大，此时边长为6的边上的高为√72−32=2√10，面积为S =12×6×2√10=6√10，方法二：设三角形的三边分别为a ，b ，c ，令p =a+b+c2，则p ＝10．由海伦公式S =√p(p −a)(p −b)(p −c)，知S =√10(10−a)(10−b)(10−c)≤√10[(10−a)+(10−b)+(10−c)3]3=100√39＜20＜3√55，由于等号成立的条件为10﹣a ＝10﹣b ＝10﹣c ，故“＝”不成立， ∴S ＜20＜3√55．排除CD ；由以上不等式推测，当三边长相等时面积最大，故考虑当a ，b ，c 三边长最接近时面积最大，此时三边长为7，7，6，用2、5连接，3、4连接各为一边，第三边长为6组成三角形，此三角形面积最大，解法同一可知面积为6√10cm 2，故选：B ．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．已知一组数据4，2，a ，10，7的平均数为5，则此组数据的（） A ．众数为2 B ．中位数为4C ．极差为3D ．方差为485解：由题意可得4+2+a+10+75=5⇒a =2，所以A 正确：2，2，4，7，10的中位数为4，故B 正确；极差为10﹣2＝8，故C 错误；对于D ：S 2=(4−5)2+(2−5)2+(2−5)2+(10−5)2+(7−5)25=485，D 正确．10．下列条件中能推导出△ABC 一定是锐角三角形的有（） A ．AB →⋅AC →＞0B ．sin A ：sin B ：sinC ＝4：5：6C ．cos A cos B cos C ＞0D ．tan A •tan B ＝2解：对于A ，因为AB →⋅AC →=|AB →||AC →|cos〈AB →⋅AC →〉＞0，即cos〈AB →⋅AC →〉＞0，又0＜〈AB →⋅AC →〉＜π，故角A 为锐角，但无法确定另两个角的范围，故△ABC 不一定是锐角三角形，故A 错误；对于B ：因为sin A ：sin B ：sin C ＝4：5：6，由正弦定理得a ：b ：c ＝4：5：6，令a ＝4k ，则b ＝5k ，c ＝6k ，显然最大角为C ，且cosC =a 2+b 2−c 22ab =(4k)2+(5k)2−(6k)22×4k×5k＞0，所以最大角C 为锐角，所以△ABC 一定是锐角三角形，故B 正确；对于C ，因为cos A cos B cos C ＞0，若cos A ＜0，则cos B ＜0，cos C ＞0或cos B ＞0，cos C ＜0，又0＜A ，B ，C ＜π，则除了角A 为钝角外，还有一角为钝角，矛盾；同理cos B ＜0，cos C ＜0都不可能，故cos A ＞0，cos B ＞0，cos C ＞0，即三个角均为锐角，故C 正确；对于D ，因为tan A •tan B ＝2＞0，易知tan A ＞0，tan B ＞0，则A ，B 均为锐角，又tanC =−tan(A +B)=−tanA+tanB1−tanA⋅tanB=tanA +tanB ＞0，则C 也为锐角，所以△ABC 一定为锐角三角形，故D 正确．故选：BCD ．11．折扇是一种用竹木或象牙做扇骨、韧纸或者绫绢做扇面的能折叠的扇子（如图1），打开后形成以O 为圆心的两个扇形（如图2），若∠AOB ＝150°，OA ＝2OC ＝2，点F 在AB ̂上，∠BOF ＝120°，点E 在CD ̂上，OE →=xOC →+yOD →（x ，y ∈R ），则（）A ．OE →⋅EF →的取值范围为[﹣2，1]B ．OE →⋅EF →的取值范围为[﹣3，1]C ．当OE →⊥EF →时，x +y =1+√3D ．当OE →⊥EF →时，x +y =2+√3解：对于A ，OE →⋅EF →=OE →⋅(OF →−OE →)=OE →⋅OF →−OE →2=OE →⋅OF →−1=2cos∠EOF −1，因为∠EOF ∈[0，2π3]．所以cos ∠EOF ∈[−12，1]，所以2cos ∠EOF ﹣1∈[﹣2，1]，即OE →⋅EF →∈[−2，1]，A 正确；B 错误；对于C ，如图，当OE →⊥EF →时，可判断E 为BF 中点，OF ＝2OE ＝2，则∠OFE ＝∠AOF ＝30°，OA ∥BF ，作EM ∥OB ，则四边形OBEM 为平行四边形，则OE →=OM →+OB →，OM =BE =EF =√3，所以OM →=√3OC →，OB →=2OD →，所以OE →=OM →+OB →=√3OC →+2OD →．所以x +y =2+√3，C 错误，D 正确．故选：AD ．12．已知正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为1，点P 在线段AC 上运动，则下列说法正确的有（） A ．B 1P ⊥BD 1B ．三棱锥C 1﹣A 1DP 的体积为定值C ．若Q 为棱BC 上一动点，则△B 1PQ 的周长的最小值为√3+1D ．过P 作平面α，使得A 1C ⊥α，则α截正方体所得的截面可以是四边形解：对于A ，在正方体中，DD 1⊥平面ABCD ，所以DD 1⊥AC ，又因为BD ⊥AC ，BD ∩DD 1＝D 且BD ⊂平面BDD 1，DD 1⊂平面 BDD 1，所以AC ⊥平面BDD 1，所以AC ⊥BD 1，同理可证AB 1⊥BD 1，又因为AC ∩AB 1＝A ，AC ⊂平面AB 1C ，AB 1⊂平面AB 1C ，所以BD 1⊥平面AB 1C ，因为B 1P ⊂平面AB 1C ，所以B 1P ⊥B 1D ，故A 正确；因为在正方体中，AA 1∥CC 1，且AA 1＝CC 1，所以ACC 1A 1是平行四边形，所以AC ∥A 1C 1，又A 1C 1⊂平面A 1DC 1，AC ⊄平面A 1DC 1，所以AC ∥平面A 1DC 1，又P ∈AC ，所以点P 到平面A 1DC 1的距离为定值，而△A 1DC 面积为定值，所以三棱锥C 1﹣A 1DF 的体积为定值，故B 正确；对C，如图，将△AB1C绕AC旋转，△BB1C绕BC旋转，使得△AB1C与和△BB1C与△ABC共面，如图点P在AC上，点Q在BC上，若△B1PQ周长最小，即B1P+PQ+QB1最小，当B1，P，Q，B1四点共线时，B1P+PQ+QB1最小，在△CB1B1中，由余弦定理得B1B12=（√2）2+（√2）2﹣2×√2×√2×cos150°＝4+2√3，所以B1B1=√3+1，故C正确；对于D，如图，在正方体中，与正方体体对角线垂直的截面只有两种图形，三角形与六边形，所以D错误．故选：ABC．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知事件A与B相互独立，P（A）＝0.6，P（AB）＝0.42，则P（A+B）＝0.88．解：因为事件A与B相互独立，所以P（AB）＝P（A）×P（B）＝0.6×P（B）＝0.42⇒P（B）＝0.7，所以P（A+B）＝P（A）+P（B）﹣P（AB）＝0.6+0.7﹣0.42＝0.88．故答案为：0.88．14．已知三条不同的直线a，b，c和两个不同的平面α，β满足以下条件：①a⊥α，b⊥β；②α∩β＝m；③c⊥a，c⊥b，c⊄α，c⊄β，则c与m的位置关系是平行．（填“相交”，“平行”或“异面”）解：由题意可知，直线a与直线b不平行，过a上一点A作与直线b′∥b，如图所示，则a 与b ′确定一个平面γ，由a ⊥α，a ⊂γ，则γ⊥α，由b ⊥β，b ′∥b ，则b ′⊥β，又b ′⊂γ，则γ⊥β，由α∩β＝m ，得m ⊥γ，由c ⊥b ，得c ⊥b ′，又c ⊥a ，a ∩b ′＝A ，a ，b ′⊂γ，所以c ⊥γ， c ⊄a ，c ⊄β，所以c ∥m ．故答案为：平行．15．已知棱长为4的正四面体A ﹣BCD 的四个顶点都在同一球面上，过棱AB 的中点M 的一个平面截此球所得截面面积为k π（k ∈N *），请写出一个符合条件的k 的值： 4或5或6 ．解：如图，棱长为4的正四面体ABCD ，置入到正方体中，此正方体棱长为2√2，四面体外接球即为此正方体外接球，球心即为正方体中心O ，半径R =12×√(2√2)2+(2√2)2+(2√2)2=√6．则过点M 的最大截面圆即为过球心时，此时截面圆半径即为球半径√6，截面面积为π×(√6)2=6π，当点M 为截面圆圆心时，此时截面圆面积最小，其中OM =√2，最小截面圆半径为r =√R 2−OM 2=√6−2=2，截面圆面积为π×22＝4π，所以过点M 的截面圆面积取值范围为[4π，6π]，所以k ∈{4，5，6}．故答案为：4或5或6．16．已知α，β为一个斜三角形的两个内角，若cosα−sinαcosα+sinα=cos2β，则tan α+tan β的最小值为 −14 ．解：cosα−sinαcosα+sinα=cos2β，等号左边弦化切，右边用二倍角公式可得，1−tanα1+tanα=cos 2β−sin 2βcos 2β+sin 2β，1−tanα1+tanα=1−tan 2β1+tan 2β，tan α＝tan ²β，∴tan α+tan β＝tan ²β+tan β＝（tan β+12）²−14≥−14，取等号条件：tan β=−12时，此时tan α=14，tan （α+β）=−29＜0，0＜α＜π2，π2＜β＜π，π2＜(α+β)＜π，0＜π−(α+β)＜π2，∴满足α、β、π﹣（α+β）为一斜三角形内角．所以tan α+tan β最小值为−14．故答案为：−14．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）已知i 为虚数单位，复数z 0＝3+4i ．（1）若复数z 1满足z 1z 0＝3z 1+z 0，求z 1的虚部；（2）设复数z ＝（x 2﹣4x ）+（x +2）i （x ∈R ），若复平面内表示复数z +z 0的点位于第二象限，求x 的取值范围．解：（1）设z 1＝a +bi （a ，b ∈R ），则由z 1z 0＝3z 1+z 0可得（a +bi ）（3+4i ）＝3（a +bi ）+3+4i ，整理得﹣4b ﹣3+（4a ﹣4）i ＝0，所以{4a −4=0−4b −3=0，解得a ＝1，b =−34，所以z 1的虚部为−34；（2）z +z 0=(x 2−4x)+(x +2)i +3−4i =(x 2−4x +3)+(x −2)i ，因为复平面内表示复数z +z 0的点位于第二象限，所以{x 2−4x +3＜0x −2＞0⇒⇒{1＜x ＜3x ＞2⇒⇒2＜x ＜3，即x 的取值范围为（2，3）．18．（12分）数字人民币在数字经济时代中体现的价值、交易媒介和支付手段职能，为各地数字经济建设提供了安全、便捷的支付方式，同时也为金融监管、金融产品设计提供更多选择性和可能性．苏州作为全国首批数字人民币试点城市之一，提出了2023年交易金额达2万亿元的目标．现从使用数字人民币的市民中随机选出200人，并将他们按年龄（单位：岁）进行分组：第1组[15，25），第2组[25，35），第3组[35，45），第4组[45，55），第5组[55，65]，得到如图所示的频率分布直方图．（1）求直方图中a 的值和第25百分位数；（2）在这200位市民中用分层随机抽样的方法从年䯍在[25，35）和[45，55）内抽取6位市民做问卷调查，并从中随机抽取两名幸运市民，求两名幸运市民年龄都在[25，35）内的概率．解：（1）（a +0.03+0.015+0.01×2）×10＝1⇒a ＝0.035，因为第一组的频率为0.01×10＝0.1，0.1＜0.25，第二组的频率为0.03×10＝0.3，0.1+0.3＞0.25，所以第25百分位数在第二组，设为x ，则0.1+x−2510×0.3=0.25⇒x =30，所以第25百分位数为30．（2）年龄在[25，35）的市民人数为200×0.3＝60，年龄在[45，55）的市民人数为200×0.15＝30，用分层随机抽样的方法抽取年龄在[25，35）的人数为6×6060+30=4人，年龄在[45，55）的人数为6×3060+30=2人，设年龄在[25，35）的4人为A ，B ，C ，D ，年龄在[45，55）的2人为E ，F ，从这6为市民中抽取两名的样本事件为{（AB ），（AC ），（AD ），（AE ），（AF ），（BC ），（BD ），（BE ），（BF ），（CD ），（CE ），（CF ），（DE ），（DF ），（EF ）}，共15种，其中2名年龄都在[25，35）内的样本事件有{（AB ），（AC ），（AD ），（BC ），（BD ），（CD ）}6种，所以两名幸运市民年龄都在[25，35）内的概率为615=25．19．（12分）如图，在三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，侧面BB 1C 1C 是菱形，平面ABC ⊥平面BB 1C 1C ，AB ⊥BC ，M 和N 分别是AB 和B 1C 1的中点．（1）求证：MN ∥平面AA 1C 1C ；（2）求证：B 1C ⊥AC 1．证明：（1）取AC 中点为Q ，连接MQ ，C 1Q ，∵M ，Q 分别为AB ，AC 中点，∴MQ ∥BC ，MQ =12BC ，∵BC ∥B 1C 1，BC ＝B 1C 1，又N 为B 1C 1中点， ∴NC 1∥BC ，NC 1=12BC ， ∴MQ ∥NC 1，MQ ＝NC 1， ∴四边形MQC 1N 为平行四边形， ∴MN ∥C 1Q ，∵C 1Q ⊂平面AA 1C 1C ，MN ⊄平面AA 1C 1C ， ∴MN ∥平面AA 1C 1C ．（2）连接B 1C ，∵四边形BB 1C 1C 是菱形， ∴B 1C ⊥BC 1，∵平面ABC ⊥平面BB 1C 1C ，平面ABC ∩平面BB 1C 1C ＝BC ，AB ⊂平面ABC ，AB ⊥BC ， ∴AB ⊥平面BB 1C 1C ，又B 1C ⊂平面BB 1C 1C ， ∴AB ⊥B 1C ，∵AB ∩BC 1＝B ，AB ，BC 1⊂平面ABC 1， ∴B 1C ⊥平面ABC 1， ∵AC 1⊂平面ABC 1， ∴B 1C ⊥AC 1．20．（12分）已知向量a →=(sinx ，cosx)，b →=(cosx ，√3cosx)，函数f(x)=a →⋅b →−√32．（1）若f(x02)=−13，且x 0∈(−π2，π2)，求sin x 0的值；（2）已知A （﹣3，2），B （3，10），将f （x ）的图象向左平移π12个单位长度得到函数g （x ）的图象．在g （x ）的图象上是否存在一点P ，使得AP ⊥BP ？若存在，求出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，说明理由．解：（1）f(x)=a →⋅b →−√32=sinxcosx +√3cos 2x −√32=12sin2x +√32(1+cos2x)−√32=sin(2x +π3)，f(x 02)=sin(x 0+π3)=−13，因为x 0∈(−π2，π2)，所以x 0+π3∈(−π6，5π6)，而sin(x 0+π3)=−13＜0，所以x 0+π3∈(−π6，0)，所以cos(x 0+π3)=√1−sin 2(x 0+π3)=2√23，所以sinx 0=sin[(x 0+π3)−π3]=12sin(x 0+π3)−√32cos(x 0+π3)=−1+2√66；（2）由题意得g(x)=sin(2(x +π12)+π3)=cos2x ，假设g （x ）的图象上存在点P （x 1，cos2x 1）使得AP ⊥BP ，因为AP →=(x 1+3，cos2x 1−2)，BP →=(x 1−3，cos2x 1−10)，因为AP ⊥BP ，所以AP →⋅BP →=(x 1+3)(x 1−3)+(cos2x 1−2)(cos2x 1−10)=x 12+cos 22x 1−12cos2x 1+11=0，令ℎ(x 1)=x 12+cos 22x 1−12cos2x 1+11=x 12+(cos2x 1−6)2−25，因为cos2x 1∈[﹣1，1]，所以ℎ(x 1)=x 12+(cos2x 1−6)2−25≥x 12+(1−6)2−25=x 12≥0，当且仅当{x 1=0cos2x 1=1时取等，所以h （x 1）＝0存唯一解x 1＝0，此时cos2x 1＝1，点P （0，1），综上，符合条件的点P 坐标为（0，1）．21．（12分）《几何原本》是古希腊数学家欧几里得创作的一部传世巨著，该书以基本定义、公设和公理作为推理的出发点，第一次实现了几何学的系绕化、条理化，成为用公理化方法建立数学演绎体系的最早典范．书中第Ⅰ卷第47号命题是著名的毕达哥拉斯（勾股定理），证明过程中以直角三角形ABC 中的各边为边分别向外作了正方形（如图1）．某校数学兴趣小组对上述图形结构作拓广探究，提出了如下问题，请帮忙解答．问题：如图2，已知△ABC 满足AC =2√2，AB ＝2，设∠BAC ＝θ（0＜θ＜π），四边形ABGF 、四边形ACED 、四边形BCQP 都是正方形．（1）当θ=π2时，求EQ的长度；（2）求AQ长度的最大值．解：（1）在△ABC中，AC=2√2，AB＝2，∠BAC=π2，则BC=2√3，cos∠ACB=23，因为∠ACB+∠ECQ＝π，所以cos∠ECQ=cos(π−∠ACB)=−cos∠ACB=√2 3，在△ECQ中，CE=AC=2√2，CQ=BC=2√3，由余弦定理EQ2=CE2+CQ2−2CE×CQ×cos∠ACB=8+12−2×2√2×2√3×√2√3)=36⇒EQ=6，所以EQ的长度为6．（2）在△ABC中，BC2＝AB2+AC2﹣2AB•AC•cosθ，所以BC2=12−8√2cosθ，设∠ACB＝α，在△ACQ中，AQ2=AC2+CQ2−2AC⋅CQ⋅cos(α+π2 )，所以AQ2=8+12−8√2cosθ+4√2⋅CQ⋅sinα①，在△ABC中，由正弦定理得ABsinα=BCsinθ，所以CQ•sinα＝BC•sinα＝AB•sinθ＝2sinθ，代入①可得AQ2=20−8√2cosθ+8√2sinθ=20+16sin(θ−π4 )，因为0＜θ＜π，所以−π4＜θ−π4＜3π4，当θ−π4=π2即θ=3π4时，AQ2的最大值为20+16＝36，所以AQ长度的最大值为6．22．（12分）如图，在四棱锥A﹣BCDE中，DE＝3，AE＝2，BC＝CD＝1，∠BCD=∠CDE=2π3，∠AEB=π2．（1）当AB⊥BC时，求直线AB与平面BCDE所成角的大小；（2）当二面角A﹣BE﹣C为π3时，求平面ABC与平面ADE所成二面角的正弦值．解：（1）如图，延长BC ，ED 交于点F ，连接AF ．∵∠BCD =∠CDE =2π3，∴∠FCD =∠FDC =π3，故△CDF 为等边三角形， ∴CF ＝DF ＝1，∠F =π3．∵DE ＝3，BC ＝1，∴BF ＝2，EF ＝DF +DE ＝4，在△BEF 中，由余弦定理得BE 2＝BF 2+EF 2﹣2BF •EF cos ∠BFE ＝12， ∴BE =2√3，∴BF 2+BE 2＝EF 2，∴BC ⊥BE ．∵AB ⊥BC ，AB ∩BE ＝B ，∴BC ⊥平面ABE ． ∵AE ⊂平面ABE ，∴BC ⊥AE ． ∵AE ⊥BE ，BE ∩BC ＝B ， ∴AE ⊥平面BCDE ，∴∠ABE 即为直线AB 与平面BCDE 的所成角，在Rt △AEB 中，tan ∠ABE =AEBE =√33，故直线AB 与平面BCDE 所成角的大小为π6．（2）过E ，F 分别作BC ，BE 的平行线交于点G ，连接AG ，取EG 的中点H ，连接AH ．则四边形BFGE 为平行四边形，由（1）知，BF ＝2，故EG ＝2，∵BC ⊥BE ，EG ∥BC ，∴EG ⊥BE ．又∵AE ⊥BE ，∴∠AEG 为二面角A ﹣BE ﹣C 的平面角，即∠AEG =π3．在△AEG 中，∵AE ＝EG ＝2，∠AEG =π3，∴△AEG 为等边三角形， ∴AH ⊥EG ，且AH =√3，AG ＝2．由（1）知BC ⊥BE ，∴EG ⊥BE ，∵AE ⊥BE ，AE ∩EG ＝E ，∴BE ⊥平面AEG ． ∵AH ⊂平面AEG ，∴BE ⊥AH ． ∵EG ∩BE ＝E ，∴AH ⊥平面BFGE ， ∵FG ∥BE ，∴FG ⊥平面AEG ， ∵AG ⊂平面AEG ，∴FG ⊥AG ，在△AFG 中，AG ＝2，FG =2√3，∠AGF =π2，∴AF ＝4．在△AEF 中，AE ＝2，EF ＝AF ＝4，∴cos ∠EAF =AE 2+AF 2−EF 22AE⋅AF=4+16−162×2×4=14，故sin ∠EAF =√1−cos 2∠EAF =√154，∴S △AEF =12AE ⋅AFsin∠EAF =√15．易求得S △BEF =2√3．设点B 到平面AEF 和边AF 的距离分别为d 1，d 2， ∵V A ﹣BEF ＝V B ﹣AEF ，∴13S △BEF ⋅AH =13S △AEF ⋅d 1，即2√3×√3=√15×d 1，∴d 1=6√15．在△ABF 中，AB ＝AF ＝4，BF ＝2，故△ABF ≌△FEA ，故S △ABF ＝S △AEF ，∴12×4×d 2=√15，∴d 2=√152．设平面ABC 与平面ADE 所成二面角的大小为θ，则sinθ=d1d 2=6√152√15=45．。

2024届江苏省南京市、盐城市高一数学第二学期期末综合测试试题含解析

2024届江苏省南京市、盐城市高一数学第二学期期末综合测试试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。

用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。

将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。

2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。

答案不能答在试题卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．如图，测量河对岸的塔高AB 时可以选与塔底B 在同一水平面内的两个测点C 与D ，测得∠BCD ＝15°，∠BDC ＝30°，CD ＝30，并在点C 测得塔顶A 的仰角为60°，则塔高AB 等于（）A ．56B ．153C ．52D ．1562． “结绳计数”是远古时期人类智慧的结晶，即人们通过在绳子上打结来记录数量.如图所示的是一位农民记录自己采摘果实的个数.在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满四进一.根据图示可知，农民采摘的果实的个数是（）A ．493B ．383C ．183D ．1233．若tan 0α>，则（） A ．sin 0α> B ．cos 0α>C ．sin 20α>D ．cos20α>4．已知ππ042βα<<<<，且π10sin 410α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，π4sin 45β⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则()sin αβ+=( )A ．1010B ．1010-C ．31010D ．31010-5．设集合{1,2,3,4,5},{1,2,5}U A ==，则U C A =（） A ．{1,5}B ．{3,4}C ．{3,5}D ．{1,2,3,4,5}6．给出下列命题：（1）存在实数α使5sin cos 3αα+= . （2）直线20192x π=是函数cos y x =图象的一条对称轴. （3）()()cos sin y x x R =∈的值域是[]cos1,1.（4）若,αβ都是第一象限角，且sin sin αβ>，则tan tan αβ>. 其中正确命题的题号为（） A ．（1）（2）B ．（2）（3）C ．（3）（4）D ．（1）（4）7．汉朝时，张衡得出圆周率的平方除以16等于58，如图，网格纸上的小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，俯视图中的曲线为圆，利用张衡的结论可得该几何体的体积为（）A ．32B ．40C ．32103D ．1038．某单位职工老年人有30人，中年人有50人，青年人有20人，为了了解职工的建康状况，用分层抽样的方法从中抽取10人进行体检，则应抽查的老年人的人数为（） A ．3B ．5C ．2D ．19．直线310x y -+=的倾斜角为 A ．23π B ．56π C ．3π D ．6π 10．正四棱柱的高为3cm ,17,则正四棱柱的侧面积为( ) A ．10B ．24C ．36D ．40二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

江苏省13市2024届高一数学第二学期期末学业水平测试试题含解析

江苏省13市2024届高一数学第二学期期末学业水平测试试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．下图是实现秦九韶算法的一个程序框图，若输入的5x =，2n =，依次输入的a 为2,2,5，则输出的s =（）A ．10B ．12C ．60D ．652．若实数满足，则的取值范围为（） A ．B ．C ．D ．3．已知两座灯塔A 和B 与海洋观察站C 的距离都等于5km ，灯塔A 在观察站C 的北偏东020，灯塔B 在观察站C 的南偏东040，则灯塔A 与灯塔B 的距离为（） A ．52kmB ．3kmC ．5kmD ．10km4．已知向量m ，n ，若1m =，22m n -=，则m n n -+的最大值为( ) A ．5B 10C ．4D ．55．已知向量(2,tan ),(1,1)a b θ==-，且//a b ，则tan()4πθ-=（）A ．2B ．3-C ．1-D ．13-6．已知函数()sin cos 6f x x x π⎛⎫=-+⎪⎝⎭在区间03π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上()f x a ≤恒成立，则实数a 的最小值是（） A ．32-B ．12-C ．12D ．327．如图，正四面体A BCD -，P 是棱CD 上的动点，设CP tCD =（()01t ∈，），分别记AP 与BC ，BD 所成角为α，β，则（）A ．αβ≥B ．αβ≤C ．当102t ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，时，αβ≥D ．当102t ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，时，αβ≤ 8．函数2sin cos y x x =+，当x ϕ=时函数取得最大值，则cos ϕ=（）A ．55B ．255C ．223D ．139．七巧板是古代中国劳动人民的发明，到了明代基本定型．清陆以湉在《冷庐杂识》中写道：近又有七巧图，其式五，其数七，其变化之式多至千余．如图，在七巧板拼成的正方形内任取一点，则该点取自图中阴影部分的概率是（）A ．116B ．18 C ．38D ．31610．已知数列{}n a 的前n 项和1nn S a =-（0a ≠），那么{}n a （）A ．一定是等差数列B ．一定是等比数列C ．或者是等差数列，或者是等比数列D ．既不可能是等差数列，也不可能是等比数列二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

2022-2023学年江苏省淮安市高一(下)期末数学试卷【答案版】

2022-2023学年江苏省淮安市高一（下）期末数学试卷一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．若复数z 满足方程z 2+1＝0（i 是虚数单位），则z ＝（） A ．1B ．iC ．±iD ．﹣i2．某地为实现乡村生态振兴，走乡村绿色发展之路，决定采用分层抽样的方式从甲村、乙村、丙村抽取部分村民参与环保调查研究．已知甲村、乙村、丙村人数之比是5：2：3，被抽到的参与环保调查研究的村民中，甲村的人数为40人，则参加调查研究的总人数是（） A ．80B ．800C ．100D ．603．下列各组向量中，可以作为基底的是（） A ．e 1→=(0，0)，e 2→=(1，2)B ．e 1→=(2，−3)，e 2→=(12，−34)C ．e 1→=(3，4)，e 2→=(−6，−8)D ．e 1→=(−2，1)，e 2→=(1，2)4．随着网络技术的发达，电子支付变得愈发普遍．已知某群体的成员，只用现金支付的概率为0.05，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.1，则不用现金支付的概率为（） A ．0.9B ．0.85C ．0.95D ．0.85．在△ABC 中，边长c =√6，A ＝105°，B ＝45°，则△ABC 的外接圆的面积是（） A ．6πB ．24πC ．2√6πD ．4√6π6．已知一个古典概型，其样本空间中共有12个样本点，其中事件A 有6个样本点，事件B 有4个样本点，事件A +B 有8个样本点，则下列说法正确的是（） A ．事件A 与事件B 互斥 B ．P(B)=13C ．P(AB)＞P(AB)D ．事件A 与事件B 相互独立7．若sin θ＝2cos10°•cos （20°﹣θ），0°＜θ＜180°，则θ＝（） A ．50°B ．60°C ．70°D ．80°8．在正四棱锥P ﹣ABCD 中，若PE →=23PB →，PF →=13PC →，平面AEF 与棱PD 交于点G ，则四棱锥P ﹣AEFG与四棱锥P ﹣ABCD 的体积比为（） A ．746B ．845C ．745D ．445二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

2022-2023学年江苏省常州市高一下学期期末数学试题【含答案】

2022-2023学年江苏省常州市高一下学期期末数学试题一、单选题1．已知复数z 满足2i 1iz =+-，则z =（）A ．1B ．2C ．3D ．5【答案】D【分析】直接根据复数的除法运算以及复数模的定义即可得到答案.【详解】()()()21i 2i i 1i i 12i 1i 1i 1i z +=+=+=++=+--+，所以22125z =+=．故选：D ．2．已知ABC 中，5AB =，7BC =，9CA =，则CAB ∠∈（）A ．ππ,65⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．ππ,54⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．ππ,43⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．ππ,32⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】C【分析】根据题意，由余弦定理即可得到cos CAB ∠，从而得到其范围.【详解】由题意，在三角形ABC 中，由余弦定理可得，22225814957cos 225990AB AC BC CAB AB AC +-+-∠===⋅⋅⨯⨯，且257cos 4290π=>，157cos 3290π=<，所以4ππ,3CAB ⎛⎫ ⎪⎝∈⎭∠.故选:C3．已知直线1:20l x ay ++=，2:2430l x y ++=相互平行，则1l 、2l 之间的距离为（）A ．510B ．55C ．255D ．52【答案】A【分析】根据两直线平行得到关于a 的方程，求出a 的值，再由两平行线之间的距离公式计算即可.【详解】因为直线1:20l x ay ++=，2:2430l x y ++=相互平行，所以240a -=，解得2a =，所以1:220l x y ++=，即2440x y ++=，所以1l 、2l 之间的距离224351024d -==+.故选：A.4．一个圆台的上底面半径为1，下底面半径为2，高为2，以该圆台的上底面为底面，挖去一个半球，则剩余部分几何体的体积为（）A ．11π3B ．10π3C ．4πD ．3π【答案】C【分析】由题意得到圆台和半球的体积，即可求解．【详解】()2222114π2π1π1π2π233V 圆台=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯=，314π2π1233V 半球=⨯⨯=，∴剩余部分几何体的体积为4πV V 圆台半球-=．故选:C5．若直线20x ay a +--=与圆()22:24C x y -+=交于A ，B 两点，当AB 最小时，劣弧 AB 的长为（）A ．π2B ．4π3C ．2π3D ．π【答案】B【分析】化简直线方程化为(2)(1)0x a y -+-=，得到直线恒过定点()2,1M ，结合圆的性质和圆的弦长公式，即可求解.【详解】由题意，直线20x ay a +--=可化为(2)(1)0x a y -+-=，当20x -=且10y -=，即2x =且1y =时，等式恒成立，所以直线恒过定点()2,1M ，由圆的方程知，圆心为()2,0C ，半径2r =，当MC ⊥直线AB 时，AB 取得最小值，且最小值为222||24123r MC -=-=，如图，此时弦长AB 对的圆心角一半的正切值为3，故圆心角为2π3，所以劣弧长为2π4π233⨯=.故选：B.6．在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 为正方形，PA ⊥平面ABCD ，且6,8PA AB ==，则四棱锥P ABCD -的外接球与内切球的表面积之比为（）A ．412B ．414C ．3D ．112【答案】B【分析】根据几何体内切圆半径公式3Vr S=（V 为几何体的体积，S 为几何体的表面积），由,,PA AB AD 两两垂直，四棱锥可补形为长方体，可得外接圆的半径公式，可得答案.【详解】设四棱锥P ABCD -的外接球与内切球的半径分别为,R r .因为21861283P ABCD V -=⨯⨯=四棱锥，四棱锥P ABCD -的表面积2118682*********S =+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=，所以-32P ABCD Vr S==四棱锥，因为,,PA AB AD 两两垂直，四棱锥可补形为长方体，所以2221886412R =++=，所以四棱锥P ABCD -的外接球与内切球的表面积之比为2244144R r ππ=.故选：B.7．在如图所示的长方体1111ABCD A B C D -中12,3,4AB AD AA ===，点M 为棱1AA 的中点，若N 为底面1111D C B A 内一点，满足//MN 面1BDC ，设直线MN 与直线1CC 所成角为α，则tan α的取值范围是（）A ．33,13413⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．33,13413⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．3313,264⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．3113,262⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】C【分析】先根据面面平行找出与平面1BDC 平行的平面MEF ，确定底面1111D C B A 内一点N 所在线段EF 上，然后将直线MN 与直线1CC 所成角转化为直线MN 与直线1AA 所成角1A MN ∠，再在直角三角形1A MN 中，通过线段1A N 的最值即可得到1tan A MN ∠的最值，从而得到tan α的取值范围.【详解】取11A D 中点E ，取11A B 中点F ，连接ME ，MF ，EF ，1AD ，1AB ，11B D .在长方体1111ABCD A B C D -中，11AB C D =，11//AB C D ，所以四边形11ABC D 为平行四边形，所以11//AD BC ，又因为M ，E 分别为1AA ，11A D 的中点，所以1//ME AD ，所以1//ME BC ，又因为ME ⊄平面1BDC ，1BC ⊂平面1BDC ，所以//ME 平面1BDC .因为11AD B C =，11//AD B C ，所以四边形11ADC B 为平行四边形，所以11//AB DC ，又因为M ，F 分别为1AA ，11A B 的中点，所以1//MF AB ，所以1//MF C D ，又因为MF ⊄平面1BDC ，1C D ⊂平面1BDC ，所以//MF 平面1BDC .因为ME MF M = ，ME ⊂平面MEF ，MF ⊂平面MEF ，所以平面//MEF 平面1BDC .所以底面1111D C B A 内满足满足//MN 面1BDC 的点N 在线段EF 上，又因为11//AA CC ，所以直线MN 与直线1CC 所成角即为直线MN 与直线1AA 所成角1A MN ∠.在线段EF 上任取一点N ，连接1A N ，MN ，因为1AA ⊥底面1111D C B A ，1A N ⊂底面1111D C B A ，所以11AA A N ⊥，所以1A MN ∆为直角三角形，1111tan tan 2A N A NA MN AA α=∠==，在1A MN ∆中，11A F =，132A E =，2211132EF A F A E =+=，因为点N 在线段EF 上，所以当1A N EF ⊥时，1A N 的长度最小，此时可利用等面积法11111122A EF S A N EF A F A E ∆=⋅=⋅，解得131313AN =，所以tan α的最小值为31331313226=，当点N 和点E 重合时1A N 的长度最长为32，所以tan α的最大值为33224=，所以tan α的取值范围是3313,264⎡⎤⎢⎥⎣⎦.故选：C.8．如图，已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的右焦点为F ，过点F 的直线与双曲线的两条渐近线相交于M ，N 两点．若3,30MF FN OM OP OP PF ==⋅=,，则双曲线的离心率为（）A ．62B ．2C ．2D ．3【答案】A【分析】先利用向量的坐标表示求得22,bc M c a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，再利用双曲线焦点到渐近线的距离为b 求得OP ，进而求得OM ，从而利用两点距离公式得到关于,,a b c 的齐次方程，从而得解.【详解】依题意，双曲线22221x y a b -=的渐近线为b y x a =±，不妨设1122,,,b b M x x N x x a a ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为(),0F c ，所以1122,,,b b MF c x x FN x c x a a ⎛⎫⎛⎫=--=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，又3MF FN = ，所以1212333c x x cb b x x aa -=-⎧⎪⎨-=-⎪⎩，则1222,3c x c x ==，则22,bc M c a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，因为(),0F c 到by x a=±，即0bx ay ±=的距离为22bc bcPF b ca b ===+，又OF c =，0OP PF ⋅=，即OP PF ⊥，所以22OP c b a =-=，又3OM OP =，所以3OM a =，所以22222449b c c a a+=，则()222449a b c a +=，即4449c a =，则62e =.故选：A.【点睛】关键点睛：本题的关键点有两个，一个是利用平面向量的坐标表示求得点M 的坐标，另一个利用点线距离公式求得双曲线焦点到渐近线的距离，从而求得OM ，由此得解.二、多选题9．在复平面内，O 为坐标原点，A 为1i z =+对应的点，则（）A ．z 的虚部为iB ．1i z =-C ．613i 14z -=D ．22OA z = 【答案】BC【分析】根据复数的虚部概念判断A ；根据共轭复数的概念判断B ；根据复数模的计算判断C ；根据复数的乘方以及复数的几何意义可判断D.【详解】由题意1i z =+，z 的虚部为1，选项A 错误．1i z =-，选项B 正确．()3623(2i)8i z z ===-，则6|||8i|=8z =-，故6613i |13i |1482||z z --+===，选项C 正确．由题意知(1,1)A ，故(1,1)OA = ，则22OA = ，而22i z =-，22OA z ≠ ，选项D 错误，故选：BC10．已知抛物线2:4C y x =，O 为坐标原点，点P 为直线2x =-上一点，过点P 作抛物线C 的两条切线，切点分别为A ，B ，则（）A ．抛物线的准线方程为=1x -B ．直线AB 一定过抛物线的焦点C ．线段AB 长的最小值为42D ．OP AB⊥【答案】ACD【分析】根据抛物线的焦点坐标和准线方程，结合一元二次方程根的判别式进行判断A 、B 、D ；联立直线与抛物线方程，根据韦达定理,结合弦长公式即可判断C.【详解】由抛物线2:4C y x =可知，焦点坐标为(1,0)F ，准线方程为=1x -，故选项A 正确；设(2,)P m -，显然直线PA 存在斜率且不为零，设为1k ，方程为1(2)y m k x -=+，与抛物线方程联立214(2)y x y m k x ⎧=⎨-=+⎩，得2114840k y y k m -++=，因为PA 是该抛物线的切线，所以()211Δ44(84)0k k m =--+=，即211210k k m +-=，且A 的纵坐标为：11422k k --=，代入抛物线方程中可得A 的横坐标为：211k ，设直线PA 存在斜率且不为零，设为2k ，同理可得：222210k k m +-=，且B 的纵坐标为：22422k k --=，横坐标为221k ，显然1k 、2k 是方程2210k km +-=的两个不等实根，所以12121,22m k k k k +=-=-，因为21121222112212221112222AB OPk k k k m m m k k m k k k k --⨯⋅=⋅=⋅=⋅=--+----，所以OP AB ⊥，因此选项D 正确；由上可知：AB 的斜率为2m ，直线AB 的方程为：211221()y x k m k -=-，即22111222mk y mk k x -=-，又211210k k m +-=，所以21112k m k =-，所以()3221111(2)21222k k y k k x ---=-，即211(12)2(2)k y k x -=-，所以直线AB 一定过(2,0)，显然该点不是抛物线的焦点，因此选项B 不正确，由题意知，直线AB 的斜率不为0，设直线AB 的方程为2x my =+，()11,A x y ，()22,B x y ，由224x my y x=+⎧⎨=⎩得2480y my --=，所以124y y m +=，128y y =-，所以()()()()222212121411632AB m y y y y m m ⎡⎤=++-=++⎣⎦24223143244224m m m ⎛⎫=++=+-≥ ⎪⎝⎭，当且仅当0m =时等号成立，故选项C 正确；故选：ACD11．在△ABC 中，已知a ＝2b ，且111tan tan sin A B C+=，则（）A ．a ，c ，b 成等比数列B ．sin :sin :sin 2:1:2A BC =C ．若a ＝4，则7ABC S =△D ．A ，B ，C 成等差数列【答案】ABC【分析】首先根据三角恒等变换，将已知条件化简得2c ab =，再结合条件2a b =，再依次判断选项即可得到答案.【详解】因为111tan tan sin A B C+=，所以()sin cos cos sin cos cos sin sin 1sin sin sin sin sin sin sin sin sin A B A B B A B A C A B A B A B A B C+++====，即2sin sin sin C A B =，即2c ab =.对选项A ，因为2c ab =，所以a 、c 、b 成等比数列，故A 正确；对选项B ，因为2a b =，222c ab b ==，即2c b =，所以::2:1:2a b c =，即sin :sin :sin 2:1:2A B C =，故B 正确；对选项C ，若4a =，则2b =，22c =，则()222422252cos 82224B +-==⨯⨯，因为0πB <<，所以14sin 8B =.故114224728ABC S =⨯⨯⨯=△，故C 正确.对选项D ，若A 、B 、C 成等差数列，则2B A C =+.又因为πA B C ++=，则π3B =.因为::2:1:2a b c =，设2a k =，b k =，2c k =，0k >，则()()22222521cos 82222k kk B k k+-==≠⨯⨯，故D 错误.故选：ABC12．如图，在四棱锥P ABCD -中，AD BC ∥，122BC CD AD ===，E 为边AD 的中点，异面直线PA 与CD 所成的角为90︒，90ADC PAB ∠=∠=︒，二面角P CD A --的大小为45︒，则（）A ．四边形ABCD 为直角梯形B ．在平面PAB 内，使得直线CM 平面PBE 的点M 有无数个C ．2PA =D ．直线PA 与平面PCE 所成角的正弦值为13【答案】ABD【分析】确定四边形ABCD 为直角梯形，A 正确，M 的轨迹为两平面的交线，B 正确，计算4PA =，C 错误，确定APH ∠为直线PA 与平面PCE 所成角，计算得到D 正确，得到答案.【详解】对选项A ：AD BC ∥，12BC AD =，且90ADC ∠=︒，故四边形ABCD 为直角梯形，正确；对选项B ：CM 与平面PBE 平行，M 的集合为平面，设为α，则M α∈且M ∈平面PAB ，故M 的轨迹为两平面的交线，正确；对选项C ：PA CD ⊥，CD AD ⊥，PA AD A ⋂=，,PA AD ⊂平面PAD ，故CD ⊥平面PAD ，PD ⊂平面PAD ，故CD PD ⊥，又AD CD ⊥，平面PCD 平面ABCD CD =，且AD ⊂平面ABCD ，PD ⊂平面PCD ，故PDA ∠为二面角P CD A --的平面角，45PDA ∠=︒，4PA AD ==，错误；对选项D ：如图所示，过A 作AG 垂直于CE 的延长线于G ，连接PG ，作AH PG ⊥于H ，PA AB ⊥，PA CD ⊥，AB 与CD 相交，,AB CD ⊂平面ABCD ，故PA ⊥平面ABCD ，CG ⊂平面ABCD ，故PA CG ⊥，AG CG ⊥，AG CG G = ，,AG CG ⊂平面PAG ，故CG ⊥平面PAG ，AH ⊂平面PAG ，故AH CG ⊥，又AH PG ⊥，PG CG G = ，,PG CG ⊂平面PCG ，故AH ⊥平面PCG ，故APH ∠为直线PA 与平面PCE 所成角，AGE 为等腰直角三角形，故222AG AE ==，2232PG PA AG =+=，1sin 3AG APH PG ∠==，正确；故选：ABD.三、填空题13．在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为a ，b ，c ，若3sin cos sin C A B =，221a c -=，则b =．【答案】3【分析】运用正弦定理和余弦定理，将角化成边.【详解】因为3sin cos sin C A B =，由正弦定理和余弦定理有22232b c a c b bc +⋅=－，整理得()222=3b a c －又221a c -=，所以2=3b ，则=3b .故答案为：314．已知直线:240l kx y k --+=与曲线24y x =-有两个交点，则k 的取值范围为．【答案】3,14⎛⎤ ⎥⎝⎦【分析】直线240kx y k --+=过定点()2,4，曲线24y x =-表示以O 为圆心，2为半径的上半圆，数形结合可求实数k 的取值范围.【详解】直线:240l kx y k --+=，得()240k x y --+=，可知直线l 过定点()2,4P ，如图，曲线24y x =-表示以O 为圆心，2为半径的上半圆．当直线l 与半圆相切时，22421k k -+=+，解得34k =．曲线24y x =-与x 轴负半轴交于点()2,0,1PA A k -=．因为直线l 与曲线24y x =-有两个交点，所以3k 14<≤．故答案为：3,14⎛⎤ ⎥⎝⎦.15．已知长方形纸片ABCD 中，10AB =，点E ，F 分别是边AB ，CD 上的动点，且EF AB ⊥，将长方形纸片ABCD 沿EF 进行翻折，使得90AEB '∠=︒，连接AB '，'DC ，得到一个三棱柱AEB DFC ''-，如图．已知三棱柱AEB DFC ''-的体积是10，当三棱柱AEB DFC ''-的外接球的表面积取得最小值时，AB E ' 的面积是．【答案】252【分析】分别取,AB DC ''的中点,H I ，连接HI ，取HI 的中点G ，由直三棱柱和直角三角形的性质可得点G 为三棱柱AEB DFC ''-的外接球球心，设AE a =，B E b '=，AD c =，由已知可得外接球半径2140010022()R ab ab =-+，再利用均值定理和函数单调性即可求解.【详解】由题可知三棱柱AEB DFC ''-是直三棱柱，分别取,AB DC ''的中点,H I ，连接HI ，取HI 的中点G ，由EF AB ⊥可得FC DF '⊥，EB AE '⊥，则点G 到三棱柱AEB DFC ''-的六个顶点的距离都是相等，因此点G 是三棱柱AEB DFC ''-的外接球的球心，设AE a =，B E b '=，AD c =，则101102a b abc +=⎧⎪⎨=⎪⎩，解得20c ab =，又因为222()21002a b a b ab ab +=+-=-，所以三棱柱AEB DFC ''-的外接球的半径22222222140010022222()c a b a b c R ab ab ⎛⎫+++⎛⎫=+==-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，若三棱柱AEB DFC ''-的外接球的表面积取到最小值，只需外接球的半径取到最小值，即2140010022()R ab ab =-+取最小值，因为10a b +=，所以2()0254a b ab +<≤=，当且仅当5a b ==时等号成立，又因为函数2400y x=和2100y x =-+在(]0,25上单调递减，所以24002100y x x =-+在(]0,25上单调递减，从而当25ab =时，2140010022()R ab ab =-+取到最小值，即三棱柱AEB DFC ''-的外接球的表面积取到最小值，此时AB E ' 的面积为12522ab =.故答案为：25216．已知1F 、2F 分别为椭圆22142x y +=的左、右焦点，P 为椭圆上的动点，点2F 关于直线1PF 的对称点为M ，点1F 关于直线2PF 的对称点为N ，则当MN 最大时，12PF F △的面积为.【答案】233/233【分析】将对称性和椭圆的定义结合起来，得到PM ，PN 的和为定值2a ，从而知当M 、N 、P 三点共线时，MN 的值最大，然后通过几何关系求出1260F PF ∠=︒，结合余弦定理即可求出三角形的面积.【详解】根据椭圆的方程可知，()()122,0,2,0F F -，连接PM ，PN ，则12||||||||24PM PN PF PF a +=+==，所以当M 、N 、P 三点共线时，|MN|的值最大此时112212,.MPF F PF NPF F PF ∠=∠∠=∠又因1122180MPF F PF F PN ∠+∠+∠=︒，可得1260F PF ∠=︒在12F PF △中，由余弦定理可得，()222122||||c PF PF =+，即()212121283163PF PF PF PF PF PF =+-⋅=-⋅，解得1283PF PF ⋅=，121212118323sin .22323PF F S PF PF F PF =⋅∠=⨯⨯=V 故答案为：233.【点睛】方法点睛：焦点三角形的作用在焦点三角形中，可以将圆锥曲线的定义，三角形中边角关系，如正余弦定理、勾股定理结合起来．四、解答题17．已知方程222440x y x y m +-++=.(1)若此方程表示圆，求实数m 的取值范围；(2)若m 的值为（1）中能取到的最大整数，则得到的圆设为圆E ，若圆E 与圆F 关于y 轴对称，设(),P x y 为圆F 上任意一点，求(),P x y 到直线10x y +-=的距离的最大值和最小值.【答案】(1)5,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭(2)最大值为221+，最小值221-【分析】（1）根据表示圆的限制条件可得实数m 的取值范围；（2）先确定圆E 的方程，再利用对称性得到圆F 的方程，根据圆心到直线的距离可得答案.【详解】（1）若此方程表示圆，则22(2)4440m -+-⨯>，解得54m <，即实数m 的取值范围是5,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭；（2）由（1）可知1m =，此时圆E ：222440x y x y +-++=，圆心坐标为()1,2E -，半径为1，因为圆F 和圆E 关于y 轴对称，所以圆F 圆心坐标是()1,2--，半径是1，故圆F 方程为22(1)(2)1x y +++=，则圆心()1,2--到直线10x y +-=的距离121222d ---==，故(),P x y 到直线10x y +-=的距离的最大值为221+，最小值221-.18．记ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，分别以,,a b c 为边长的三个正三角形的面积依次为123,,S S S ，已知12353,sin 5S S S C +-==.(1)求ABC 的面积；(2)若5sin sin 3A B =，求c .【答案】(1)12(2)155【分析】（1）根据面积公式及余弦定理得到cos 2ab C =，再求出cos C ，即可求出ab ，最后由面积公式计算可得；（2）由正弦定理求出sin c C，即可得解.【详解】（1）由题意得221133224S a a =⋅⋅=，2234S b =，2334S c =，则2221233333444S S S a b c +-=+-=，即2224a c b -+=，由余弦定理得222cos 2a b c C ab +-=，整理得cos 2ab C =，则cos 0C >，又5sin 5C =，则2525cos 155C ⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭，所以25cos ab C ==，则11sin 22ABC S ab C == ；（2）由正弦定理得sin sin sin b a c B A C==，所以2253sin sin sin sin sin 53c a b ab C A B A B =⋅===，则3sin c C =或3sin c C =（舍去），所以153sin 5c C ==.19．如图，已知在矩形ABCD 中，2AB =，2BC =，点E 是边BC 的中点，DE 与AC 相交于点H ，现将ACD 沿AC 折起，点D 的位置记为D ¢，此时153ED '=，M 是AD '的中点.(1)求证：//BM 平面D HE '；(2)求证：CH ⊥面D HE '；(3)求二面角H ED C -'-的余弦值.【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3)147【分析】（1）取线段AH 的中点N ，连接MN 、BN ，证明出平面//BMN 平面D HE '，利用面面平行的性质可证得结论成立；（2）翻折前，利用勾股定理证明出AC DE ⊥，翻折后则有CH EH ⊥，CH D H '⊥，利用线面垂直的判定定理可证得结论成立；（3）过点C 在平面CD E '内作CF D E '⊥，垂足为点F ，连接FH ，分析可知二面角H ED C -'-的平面角为CFH ∠，证明出CH FH ⊥，计算出CF 的长，即可求得CFH ∠的余弦值，即为所求.【详解】（1）证明：取线段AH 的中点N ，连接MN 、BN ，翻折前，在矩形ABCD 中，E 为BC 的中点，//BC AD ，则12CH CE AH AD ==，所以，2AH CH =，翻折后，在三棱锥D ABC '-中，M 、N 分别为AD '、AH 的中点，则//MN D H '，MN ⊄平面D HE '，D H '⊂平面DH E '，//MN ∴平面D HE '，N Q 为AH 的中点，且2AH CH =，则AN NH CH ==，所以，H 为CN 的中点，又因为E 为BC 的中点，所以，//EH BN ，EH ⊂ 平面D HE '，BN ⊄平面D HE '，所以，//BN 平面D HE '，BN MN N = ，所以，平面//BMN 平面D HE '，因为BM ⊂平面BMN ，//BM ∴平面D HE '.（2）证明：在矩形ABCD 中，2CD AB ==，112CE BC ==，226AC AD CD =+=，223DE CD CE =+=，因为12CH AH =，则1633CH AC ==，因为//BC AD ，E 为BC 的中点，所以，12EH CE DH AD ==，则12EH DH =，所以，1333EH DE ==，所以，222EH DH CE +=，则AC DE ⊥，在三棱锥D ABC '-中，则有CH EH ⊥，CH D H '⊥，因为D H EH H '= ，所以，CH ⊥面D HE '.（3）解：在三棱锥D ABC '-中，233D H '=，33EH =，153ED '=，所以，222D H EH D E ''+=，D H EH '∴⊥，过点C 在平面CD E '内作CF D E '⊥，垂足为点F ，连接FH ，CH ⊥ 平面D EH '，D E '⊂平面D EH '，CH D E '∴⊥，因为D E CF '⊥，CF CH C = ，D E '∴⊥平面CFH ，FH ⊂ 平面CFH ，D E FH '∴⊥，所以，二面角H ED C -'-的平面角为CFH ∠，在CD E ' 中，2CD '=，1CE =，153ED '=，由余弦定理可得222230cos 215CD ED CE CD E CD ED ''+-'∠==''⋅，所以，2105sin 1cos 15CD E CD E ''∠=-∠=，所以，210sin 15CF CD CD E ''=∠=，因为CH ⊥平面D EH '，FH ⊂平面D EH '，CH FH ∴⊥，所以，2221515FH CF CH =-=，故14cos 7FH CFH CF ∠==，因此，二面角H ED C -'-的余弦值为147.20．已知离心率为22的椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的下顶点为()0,2A -，过点B （0，3）作斜率存在的直线交椭圆C 于P ，Q 两点，连AP ，AQ 分别与x 轴交于点M ，N ，记点M ，N 的横坐标分别为xM ，xN .(1)求椭圆C 的标准方程；(2)试判断xM xN 是否为定值？若为定值，请求出该定值；若不是定值，请说明理由.【答案】(1)22184x y +=(2)是，定值为85.【分析】（1）根据条件，列出关于,,a b c 的方程组，即可求椭圆方程；（2）首先设直线PQ 方程，与椭圆方程联立，并求得根与系数的关系，分别利用点,P Q 的坐标表示直线,AP AQ 的方程，并利用韦达定理表示M N x x ⋅.【详解】（1）由条件可知222222c a b a b c ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得222a b c ⎧=⎪⎨==⎪⎩，所以椭圆C 的标准方程为22184x y +=；（2）由条件设直线PQ 的方程为()()11223,,,,y kx P x y Q x y =+，联立223184y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()222112100k x kx +++=，则()222(12)4102164400k k k ∆=-⨯⨯+=->，解得258k >.根据韦达定理得1212221210,2121k x x x x k k +=-=++根据题意，直线112:2y AP y x x +=-，令y =0，得1122M x x y =+，同理2222N x x y =+.，于是()()()()12121212442255M N x x x x x x y y kx kx ⋅==++++()2122212122210444082110125252555252121x x k k k x x k x x k k k k ⨯+====+++⎛⎫⨯+-+ ⎪++⎝⎭所以M N x x ⋅是定值，该定值为85.21．在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，cos 3cos 23A a C b c =-+，点D 是边BC 上的一点，且sin sin 32BAD CAD b c a ∠∠+=．(1)求证：3a AD =；(2)若2CD BD =，求cos ADC ∠．【答案】(1)详见解析；(2)1314【分析】（1）先利用余弦定理由cos 3cos 23A a C b c =-+得到5π6A =，再利用正弦定理由sin sin 32BAD CAD b c a ∠∠+=即可求得3a AD =；（2）先利用余弦定理求得37cb a b⎧=⎪⎨=⎪⎩，进而利用余弦定理求得13cos 14ADC ∠=【详解】（1）在ABC 中，cos 3cos 23A a C b c=-+，则22222223223b c a ab a bc a b c b c+-⨯=-+-+整理得2223b c a bc -=-+，则2223cos 22b c a A bc +-==-又0πA <<，则5π6A =在ACD 中，由正弦定理得sin sin CAD C CD AD ∠=，则sin sin CD C CAD AD ⋅∠=在BAD 中，由正弦定理得sin sin BAD B BD AD ∠=，则sin sin BD B BAD AD ⋅∠=则sin sin sin sin BAD CAD BD B CD C b c AD b AD c∠∠⋅⋅+=+=⋅⋅()11sin sin 132222BD CD a BD A CD A AD a AD a AD a AD a AD a+⨯⨯⋅⋅=+====⋅⋅⋅⋅则3aAD =（2）由2CD BD =，可得21,33CD a BD a ==，又3a AD =则22222221113333cos ,cos 1211223333a ab a ac ADC ADB a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭∠=∠=⨯⨯⨯⨯由cos cos 0ADC ADB ∠+∠=可得2222222111333301211223333a a ba a c a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭+=⨯⨯⨯⨯，解之得2222abc -=又5π6A =，则2223a b c bc =++，由22222223a b c a b c bc ⎧-=⎪⎨=++⎪⎩，可得37c b a b⎧=⎪⎨=⎪⎩则222222215713339cos 1241427339a a b b b ADC a a b ⎛⎫⎛⎫+-⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∠===⨯⨯⨯22．在棱长均为2的正三棱柱111ABC A B C -中，E 为11B C 的中点．过AE 的截面与棱1BB ，11AC 分别交于点F ，G．（1）若F 为1BB 的中点，求三棱柱被截面AGEF 分成上下两部分的体积比12V V ；（2）若四棱锥1A AGEF -的体积为7312，求截面AGEF 与底面ABC 所成二面角的正弦值；（3）设截面AFEG 的面积为0S ，AEG ∆面积为1S ，AEF △面积为2S ，当点F 在棱1BB 上变动时，求2012S S S 的取值范围．【答案】（1）121323V V =；（2）45；（3）94,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦．【分析】（1）连结EF ，并延长分别交1CC ，CB 于点M ，N ，连结AM 交11AC 于点G ，连结AN ，GE ，利用比例关系确定G 为11AC 靠近1C 的三等分点，然后先求出棱柱的体积，连结1A E ，1A F ，由11111A EFB G AA E F AA E V V V V ---=++和21V V V =-进行求解，即可得到答案；（2）求出点G 到平面1A AE 的距离，得到点G 为11AC 靠近1C 的四等分点，通过面面垂直的性质定理可得1AGA ∠即为截面AGEF 与底面ABC 所成的二面角，在三角形中利用边角关系求解即可；（3）设1GC m =，则[0m ∈，1]，先求出12S S 的关系以及取值范围，然后将2012S S S 转化为1S ，2S 表示，求解取值范围即可．【详解】解：（1）连接EF ，并延长分别交1CC ，CB 延长线于点M ，N ，连接AM 交11AC 于点G ，连接AN ，GE ．易得11113GC MC C E AC MC CN ===．故G 为11A C 靠近1C 的三等分点．11MC =，123GC =．下面求三棱柱被截面分成两部分的体积比．三棱柱111ABC A B C -的体积2322234V =⨯⨯=．连接1A E ，1A F ．由1//BB 平面1A AE 知，1F AA E V -为定值．1113321323F AA E V -=⨯⨯⨯⨯=．11111A EFBG AA E F AA E V V V V ---=++1111231331132332323318=⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯+=．2123318V V V =-=．故121323V V =．（2）由111A AGEF G AA E F AA E V V V ---=+及133F AA E V -=得，134G AA E V -=．又1113G AA E AA E V S h -=⨯⨯△，所以34h =．即点G 到1A E 的距离为34，G 为11A C 靠近1C 的四等分点．因为平面111//A B C 平面ABC ，所以截面AGEF 与平面ABC 所成角即为截面AGEF 与平面111A B C 所成角，在1GC E △中，112GC =，11C E =，故1EG GC ⊥．又因为平面11ACC A ⊥平面111A B C ，且平面11ACC A 平面11111A B C AC =，所以EG ⊥平面11ACC A ．则1AGA ∠即为截面AGEF 与底面ABC 所成的二面角．在1Rt AGA △中，132A G =，12AA =，52AG =．故114sin 5AA A GA AG ∠==．因此，截面AGEF 与平面ABC 所成二面角的正弦值为45．（3）设1GC m =，则[]0,1m ∈，2MG m GA m=-．设MGE 的面积为S ，所以12S m S m =-．又因为21S S S =+，所以1222S m S -=．且1221,122S m S -⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦．令12S t S =则1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦故()21201212122212S S SS S S S S S S S +==++．令12S t S =则1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以()12g t t t =++在1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上单调递减，所以()()min 14g t g ==，()max 1922g t g ⎛⎫== ⎪⎝⎭，所以()94,2g t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以20121221924,2S S S S S S S ⎡⎤=++∈⎢⎥⎣⎦。

2022-2023学年江苏省常州市高一下学期期末数学试题【含答案】

2022-2023学年江苏省常州市高一下学期期末数学试题一、单选题1．复数1i 1+在复平面内对应的点位于（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】D【分析】直接利用复数的除法运算，结合复数的几何意义即可.【详解】复数()()11i 1i 11i i 11i 1i 222--===-++-，则其在复平面所对应的点为11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，故其在第四象限，故选：D.2．若α、β是两个不重合的平面，①若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线，则//αβ；②设α、β相交于直线l ，若α内有一条直线垂直于l ，则αβ⊥；③若α外一条直线l 与α内的一条直线平行，则//l α.以上说法中成立的有（）个.A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】C【分析】利用面面平行的判定定理可判断①；根据已知条件判断平面与平面的位置关系，可判断②；利用线面平行的判定定理可判断③.【详解】对于①，设a 、b 为平面α内两条相交直线，m 、n 为平面β内两条相交直线，且满足//a m ，//b n ，因为//a m ，a β⊄，m β⊂，所以，//a β，同理可得//b β，因为a 、b 为平面α内两条相交直线，故//αβ，①对；对于②，设α、β相交于直线l ，若α内有一条直线垂直于l ，则α、β相交（不一定垂直），②错；对于③，若α外一条直线l 与α内的一条直线平行，由线面平行的判定定理可知，//l α，③对.所以，真命题的个数为2.故选：C.3．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，二面角1D BC D --的大小为A ．6πB ．4πC ．3πD ．2π【答案】B【分析】根据BC ⊥平面11CDD C ，可知1BC CD ⊥，同时BC CD ⊥，可知二面角1D BC D --的平面角为1∠DCD ，即可得结果.【详解】由题可知：在正方体1111ABCD A B C D -中，BC ⊥平面11CDD C 由1CD ⊂平面11CDD C ，所以1BC CD ⊥，又BC CD ⊥所以二面角1D BC D --的平面角为1∠DCD ，因为1=CD DD ，则1=4π∠DCD 故选：B【点睛】本题考查二面角的平面角的大小，关键在于找到该二面角的平面角，考查观察能力以及概念的理解，属基础题.4．如图，“蘑菇”形状的几何体是由半个球体和一个圆柱体组成，球的半径为2，圆柱的底面半径为1，高为3，则该几何体的表面积为（）A ．26πB ．20πC ．19πD ．18π【答案】D【分析】由题意可知该几何体的体积是由半球的表面积加上圆柱的侧面积，再加上圆的面积即可.【详解】解：由题意得，球的半径2R =，圆柱的底面半径1r =，高3h =，则该几何体的表面积为2222S R R rh πππ=++8421318ππππ=++⨯⨯=.故选：D.5．在ABC 中，2AB AC ==，点M 满足30BM CM +=，若1BC AM ⋅= ，则BC 的值为（）A ．1B ．3C ．2D ．3【答案】C【分析】取BC 中点O ，由已知可确定3BM MC = ，利用向量的运算和长度关系将BC AM ⋅转化为214BC，由此构造方程求得2BC = .【详解】取BC 中点O ，连接AO ，30BM CM += ，即3BM MC = ，∴M 为BC 边上靠近C 的四等分点，()BC AM BC AO OM BC AO BC OM ⋅=⋅+=⋅+⋅ ，AB AC = ，AO BC ∴⊥，0BC AO ∴⋅=，又14OM BC =，2114BC AM BC OM BC ∴⋅=⋅== ，2BC ∴=.故选：C.6．正四面体ABCD 中异面直线AB 与CD 所成角为α，侧棱AB 与底面BCD 所成角为β，侧面ABC 与底面BCD 所成的锐二面角为γ，则（）A ．αγβ>>B ．αβγ>>C ．βαγ>>D ．γαβ>>【答案】A【分析】分别根据异面直线所成角的定义，线面角的定义，以及二面角的定义确定,,αβγ的大小即可得到结论．【详解】过A 作A 在底面的射影O ，∵A BCD -是正四面体，∴O 是底面的中心，取BC 的中点E ，连接OB OE AE ,,，如图所示，在正四面体A BCD -中，AO ⊥平面BCD ，CD ⊂平面BCD ，AO CD ⊥，又BO CD ⊥，,AO BO ⊂平面ABO ，AO BO O = ，则CD ⊥平面ABO ，AB ⊂平面ABO ，AB CD ⊥，即异面直线AB 与CD 所成的角为90α= ，侧棱AB 在底面BCD 内的射影为OB ，则ABO ∠是侧棱AB 与底面BCD 所成的角，即ABO β=∠，AE BC ⊥，OE BC ⊥，侧面ABC 与底面BCD 所成的角为AEO ∠，∴AEO γ=∠，∵sin sin AO ABO AB β=∠=，sin sin AOAEO AEγ=∠=，∵AB AE >，∴AO AO AB AE<，即sin sin βγ<，则90βγ<< ，即βγα<<.故选：A7．ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，角C 的平分线交边AB 于点D ．若π3C =，2c =，且43CD =，则ABC 中最长的边为（）A ．233B ．433C ．43D ．4【答案】B【分析】由ABC BCD ACD S S S =+△△△结合三角形的面积公式可得出334a b ab +=，利用余弦定理可求得ab 的值，进而可得出关于a 、b 的方程组，解之即可.【详解】因为π3C =，由ABC BCD ACD S S S =+△△△，即1π1π1πsin sin sin 232626ab a CD b CD =⋅+⋅，整理可得334a b ab +=，由余弦定理可得()22222222π2742cos33316c a b ab a b ab a b ab a b ab ==+-=+-=+-=-，所以，()22748640ab ab --=，即()()38980ab ab -+=，解得83ab =或89ab =-（舍）.所以，3382343a b +=⨯=，即2383a b ab ⎧+=⎪⎨=⎪⎩，解得233433a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或433233a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，因为4323233>>，故ABC 中最长的边为433，故选：B.8．已知三棱锥P -ABC 的四个顶点在球O 的球面上，PA =PB =PC ，△ABC 是边长为2的正三角形，E ，F 分别是PA ，AB 的中点，∠CEF =90°，则球O 的体积为A ．86πB ．46πC ．26πD ．6π【答案】D【分析】先证得PB ⊥平面PAC ，再求得2PA PB PC ===，从而得-P ABC 为正方体一部分，进而知正方体的体对角线即为球直径，从而得解.【详解】解法一:,PA PB PC ABC ==∆ 为边长为2的等边三角形，P ABC ∴-为正三棱锥，PB AC ∴⊥，又E ，F 分别为PA 、AB 中点，//EF PB ∴，EF AC ∴⊥，又EF CE ⊥，,CE AC C EF =∴⊥ 平面PAC ，PB ⊥平面PAC ，2APB PA PB PC ∴∠=90︒,∴===，P ABC ∴-为正方体一部分，22226R =++=，即364466,62338R V R =∴=π=⨯=ππ，故选D ．解法二:设2PA PB PC x ===，,E F 分别为,PA AB 中点，//EF PB ∴，且12EF PB x ==，ABC ∆ 为边长为2的等边三角形，3CF ∴=又90CEF ∠=︒213,2CE xAE PA x ∴=-==AEC ∆中余弦定理()2243cos 22x x EAC x+--∠=⨯⨯，作PD AC ⊥于D ，PA PC = ，D 为AC 中点，1cos 2AD EAC PA x ∠==，2243142x x x x +-+∴=，221221222x x x ∴+=∴==，2PA PB PC ∴===，又===2AB BC AC ，,,PA PB PC ∴两两垂直，22226R ∴=++=，62R ∴=，344666338V R ∴=π=π⨯=π，故选D.【点睛】本题考查学生空间想象能力，补体法解决外接球问题．可通过线面垂直定理，得到三棱两两互相垂直关系，快速得到侧棱长，进而补体成正方体解决．二、多选题9．某市2022年经过招商引资后，经济收入较前一年增加了一倍，实现翻番，为更好地了解该市的经济收入的变化情况，统计了该市招商引资前后的年经济收入构成比例，得到如下扇形图：则下列结论中正确的是（）A ．招商引资后，工资净收入较前一年增加B ．招商引资后，转移净收入是前一年的1.25倍C ．招商引资后，转移净收入与财产净收入的总和超过了该年经济收入的25D ．招商引资后，经营净收入较前一年增加了一倍【答案】AD【分析】根据已知条件及扇形图的特点即可求解.【详解】设招商引资前经济收入为M ，而招商引资后经济收入为2M ，则对于A ，招商引资前工资性收入为60%0.6M M ⨯=，而招商引资后的工资性收入为237%0.74M M ⨯=，所以工资净收入增加了，故A 正确；对于B ，招商引资前转移净收入为4%0.04M M ⨯=，招商引资后转移净收入为25%0.1M M ⨯=，所以招商引资后，转移净收入是前一年的2.5倍，故B 错误；对于C ，招商引资后，转移净收入与财产净收入的总和为20.10.560.6620.85M M M M M +=<⨯=，所以招商引资后，转移净收入与财产净收入的总和低于该年经济收入的25，故C 错误；对于D ，招商引资前经营净收入为30%0.3M M ⨯=，招商引资后转移净收入为230%0.6M M ⨯=，所以招商引资后，经营净收入较前一年增加了一倍，故D 正确.故选：AD.10．一名射击运动员射击一次击中目标的概率为13，若他连续射击两次，则下列正确的是（）A ．事件“两次均击中”与“恰击中一次”为互斥事件B ．事件“两次均未击中”与“至少击中一次”互为对立事件C ．事件“第一次击中”与“两次均击中”相互独立D ．该运动员击中目标的概率为59【答案】ABD【分析】根据互斥事件、对立事件和相互独立事件的概念判断ABC 选项；先求出该运动员未击中目标的概率，进而可得该运动员击中目标的概率，即可判断D 选项.【详解】事件“两次均击中”与“恰击中一次”不能同时发生，属于互斥事件，故A 正确；事件“两次均未击中”的对立事件是“至少击中一次”，故B 正确；事件“两次均击中”包含了事件“第一次击中”，故C 错误；该运动员未击中目标的概率为11411339⎛⎫⎛⎫--= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，则该运动员击中目标的概率为45199-=，故D 正确.故选：ABD.11．长方体1111ABCD A B C D -中，3AB =，4=AD ，15AA =，点E ，点F 分别线段AC ，1BB 的中点，点P ，点Q 分别为线段AC ，1CC 上的动点，则下列说法正确的是（）A ．存在P ，Q ,使得11B D PQ ⊥B ．三棱锥1B BPQ -体积的最大值为10C ．若PCQ △的周长为10，则π4PAQ ∠=D ．QE QF +的最小值为7【答案】AB【分析】利用线面垂直可得线线垂直判断A ，利用等体积法求出最大体积判断B ，利用三角形边长的范围判断C ，将侧面11CC B B 翻折到与平面11AAC C 同一平面，利用三点共线可判断D.【详解】对于选项A ，因为1CC ⊥平面1111D C B A ，11B D ⊂平面1111D C B A ，所以111CC B D ⊥，当点P 与点C 重合，点Q 与1C 重合时，11B D PQ ⊥，正确；对于选项B ，因为平面ABCD ⊥平面11BB C C ，所以点P 到平面11BB C C 的距离h 即点P 到BC 的距离h ，所以点P 到平面11BB C C 的最大距离为3，又1154102BB Q S =⨯⨯= ，所以1111010310333P BB Q BB Q h V S h -=⋅⋅=≤⨯= ，所以1110B BPQ P BB Q V V --=≤，即三棱锥1B BPQ -体积的最大值为10，正确；对于选项C ，因为1C C ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，所以1C C AC ⊥，又15C C AC ==，所以在1C CA △中，1π4C AC ∠=，若π4PAQ ∠=，则点Q 与点1C 重合，此时PCQ △即1PCC 的周长为11112210PC CC PC PC CC CC ++>+>=，错误；对于选项D ，将矩形11CC B B 和矩形11AAC C 展开为矩形11AA B B ，则2222551944222QE QF EF EB BF ⎛⎫⎛⎫+≥=+=++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，错误.故选：AB12．在圆O 的内接四边形ABCD 中，2AB =，3BC =，22CD =，1DA =．则下列说法正确的是（）A ．四边形ABCD 的面积为72B ．圆O 的半径为10C ．12AO BD ⋅=-D ．若DH BC ⊥于点H ，则4DB DH ⋅=【答案】ACD【分析】对于A ，利用圆内接四边形对角互补及余弦定理和面积公式进行判断；对于B ，利用正弦定理求出该外接圆的直径；对于C ，利用数量积公式求解判断；对于D ，利用数量积公式求解判断．【详解】对于A ，连接AC ，在ACD 中，22189cos 4242AC AC D +--==，222911cos 6262AC AC B +--==，πB D += ，22911cos cos 04262AC AC B D --∴+=+=，解得249,5AC =，2cos 10D ∴=-，2cos 10B =，272sin sin 110010B D ∴==-=，117221sin 23221010ABC S AB BC B ∴=⨯⨯⨯=⨯⨯⨯= ，11727sin 12222105ADC S AD DC D =⨯⨯⨯=⨯⨯⨯= ，∴四边形ABCD 的面积217357105102S =+==，故A 正确；对于B ，设外接圆半径为R ，则由正弦定理得495210sin 7210ACR B ===，∴该外接圆的半径为102，故B 错误；对于C ，过点O 作OG AB ⊥于点G ，过点D 作AB DN ⊥于点N ，所以,AG ND BN GO ⊥⊥，2222102222GO R AG ⎛⎫⎛⎫=-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,则由垂径定理得1222AG AB ==，πA C += ，221298cos cos 022122BD BD A C +-+-∴+=+=，解得5BD =，2cos 2C ∴=，π4C ∴=，()22sin π122DN AD A =⋅-=⨯=，232222BN AB AN ∴=+=+=,∴()()AO BD AG GO BN ND AG BN ND GO AG ND BN GO AG BN ND GO⋅=+⋅+=⋅+⋅+⋅+⋅=⋅+⋅2322122222AG BN ND GO =-⋅+⋅=-⨯+⨯=- ，故C 正确；对于D ，由C 选项得π4C =，π||sin 222422DF CD ∴=⋅=⨯= ，2cos 4DB DH DB DH BDH DF ⋅=⋅∠== ,故D 正确．故选：ACD ．三、填空题13．某人5次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为x ，y ，10，11，9．已知这组数据的平均数为10，方差为2，则|x ﹣y|的值为．【答案】4【分析】利用平均数、方差的概念列出关于,x y 的方程组，解方程即可得到答案．【详解】由题意可得：()()2220,10108x y x y +=-+-=，设10x t =+，10y t =-，则228t =，解得2t =±，∴24x y t -==故答案为4．【点睛】本题考查统计的基本知识，样本平均数与样本方差的概念以及求解方程组的方法，属于基础题．14．22sin 70sin 50sin 704cos 501︒-︒︒=︒-．【答案】14/0.25【分析】根据二倍角公式以及和差角公式，结合辅助角公式即可求解.【详解】()22222sin 70sin 50sin 70sin 70sin 50sin 70sin 70sin 50sin 704cos 5012cos100122cos 5011︒-︒︒︒-︒︒︒-︒︒==︒-︒+︒-+()()()()()()(22sin 6010sin 6010sin 6010sin 60cos10cos 60sin10sin 60cos10cos 60sin10sin 602cos 901012sin101︒+︒-︒-︒︒+︒︒︒+︒︒-︒︒-︒︒︒==︒+︒+-︒+()2231112sin 20sin 102sin 60cos10cos60sin102cos60sin1022222sin1012sin101⨯⨯⨯︒+︒︒︒︒︒+︒︒==-︒+-︒+()13111111sin 20cos 20sin 2030sin102224124242sin1012sin1012sin1014⎛⎫︒-︒+ ⎪-+-+⎝⎭====-︒+-︒+-︒+ ,故答案为：1415．甲乙二人争夺一场围棋比赛的冠军，若比赛为“三局两胜”制（无平局），甲在每局比赛中获胜的概率均为23，且各局比赛结果相互独立，则甲获得冠军的概率为．【答案】2027【分析】分别求出比赛进行了2，3局的概率,然后相加，得到答案;【详解】根据题意，比赛为“三局两胜”制（无平局），则甲获胜分为比赛2局或者比赛3局两种情况，则甲获得冠军的概率为：22212122203333333327⋅+⋅⋅+⋅⋅=.故答案为：2027.16．设点Q 在半径为1的圆P 上运动，同时，点P 在半径为2的圆O 上运动．O 为定点，P ，Q 两点的初始位置如图所示，其中OP PQ ⊥，当点P 转过角度α时，点Q 转过角度2α，则在运动过程中OP OQ ⋅的取值范围为．【答案】[]2,6【分析】建立直角坐标系，由向量的坐标运算即可结合三角函数的性质求解.【详解】建立如图所示的平面直角坐标系，设ππ(2cos ,2sin ),(cos(2),sin(2))22P PQ αααα=++，则(2cos sin 2,2sin cos 2)OQ OP PQ αααα=+=-+，()()222cos 2cos sin 22sin 2sin cos 24cos 4sin 2cos sin 22sin cos 2OP OQ αααααααααααα⋅=-++=+-+ ()42sin 242sin ααα=--=-，由于R α∈,所以[]sin 1,1α∈-，故[]42sin 2,6α-∈，故OP OQ ⋅的取值范围为[]2,6，故答案为：[]2,6四、解答题17．已知向量()1,3a =- ，向量b 与a 的夹角为2π3，且2b = ．(1)求向量b的坐标；(2)设向量()sin ,cos c x x = ，()R x ∈，向量()3,1m =- ，若0b m ⋅=，求b c + 的最大值并求出此时x的取值集合．【答案】(1)(2,0)-或(1,3)；(2)3，π{|2π,Z}6x x k k =+∈.【分析】（1）设出向量b的坐标，利用向量数量积和向量的模建立方程组并求解作答.（2）由（1）的结论结合0b m ⋅= 确定向量b，再求出b c + 并借助辅助角公式及正弦函数性质求解任何.【详解】（1）设(,)b x y = ，依题意，22||1(3)2a =+-= ，2π||||cos 23a b a b ⋅==- ，而3a b x y ⋅=- ，因此22324x y x y ⎧-=-⎪⎨+=⎪⎩，解得20x y =-⎧⎨=⎩或13x y =⎧⎪⎨=⎪⎩，所以向量b的坐标是(2,0)-或(1,3).（2）向量()3,1m =- ，且0b m ⋅=，当(2,0)b =- 时，230b m ⋅=≠ ，不符合题意，舍去，当(1,3)b = 时，1(3)310b m ⋅=⨯-+⨯= ，符合题意，即(1,3)b =，则(1sin ,cos )3b c x x ++=+ ，22)|π|(1sin )(cos )52sin 23cos 54sin(33c x x x b x x =++=++++=++ ，因为x ∈R ，则当ππ2π,Z 32x k k +=+∈，即π2π,Z 6x k k =+∈时，max |)3(|b c =+ ，所以b c + 的最大值是3，此时x 的取值集合是π{|2π,Z}6x x k k =+∈.18．如图，在四棱锥E ABCD -中，四边形ABCD 为平行四边形，BE BC =， AE BE ⊥，M 为CE 上一点，且BM ⊥平面ACE .（1）求证：AE BC⊥（2）如果点N 为线段AB 的中点，求证：//MN 平面ADE 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【分析】（1）根据已知条件容易证明⊥AE 平面BCE ，所以得到AE BC ⊥；（2）根据已知条件容易判断出M 是CE 中点，取CD 中点F ，并连接MF ，NF ，则容易说明平面//MNF 平面ADE ，MN ⊂平面MNF ，所以得到//MN 平面ADE ；【详解】解：（1）BM ⊥Q 平面ACE ，AE ⊂平面ACE ，BM AE ∴⊥，即AE BM ⊥；又AE BE ⊥，BE BM B ⋂=，BE 、BM ⊂平面EBC ，AE ∴⊥平面BCE ，因为BC ⊂平面BCE ，AE BC ∴⊥；（2）取CD 中点F ，连接MF ，NF ；BM ⊥平面ACE ，CE ⊂平面ACE ，BM CE ∴⊥，又BE BC =；M ∴是CE 的中点；//MF DE ∴，DE ⊂平面ADE ，MF ⊂/平面ADE ；//MF ∴平面ADE ，同理，//NF 平面ADE ，MF NF F = ，NF ⊂平面MFN ，MF ⊂平面MFN∴平面//MFN 平面ADE ，MN ⊂平面MFN ；//MN ∴平面ADE ；【点睛】考查线面垂直的性质，线面垂直的判定定理，中位线的性质，线面平行的判定定理，以及面面平行的判定定理，属于中档题．19．某区为了全面提升高中体育特长生的身体素质，开设“田径队”和“足球队”专业训练，在学年末体育素质达标测试时，从这两支队伍中各随机抽取100人进行专项体能测试，得到如下频率分布直方图：(1)估计两组测试的平均成绩，(2)若测试成绩在90分以上的为优秀，从两组测试成绩优秀的学生中按分层抽样的方法选出7人参加学校代表队，再从这7人中选出2人做正，副队长，求正、副队长都来自“田径队”的概率．【答案】(1)“田径队”的平均成绩为73，“足球队”的平均成绩为71(2)27【分析】（1）根据频率和为1计算得到0.020a =，0.010b =，再根据平均数公式计算得到答案.（2）确定抽取的比例为12，列举出所有情况，统计满足条件的情况，得到概率.【详解】（1）由田径队的频率分布直方图得：()100.0160.0240.0320.0081a ⨯++++=，解得0.020a =，同理可得0.010b =．其中“田径队”的平均成绩为：10550.016650.024750.032850.020950.0087(3)x =⨯⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，“足球队”的平均成绩为：550.02650.58750.24850.10950.0671y =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.（2）“田径队”中90分以上的有100.0081008⨯⨯=（人），“足球队”中90分以上有100.0061006⨯⨯=（人）．所以抽取的比例为71862=+，在“田径队”抽取1842⨯=（人），记作a ，b ，c ，d ；在“足球队”抽取1632⨯=（人）．记作A ，B ，C ．从中任选2人包含的基本事件有：ab ，ac ，ad ，aA ，aB ，aC ；bc ，bd ，bA ，bB ，bc ；cd ，cA ，cB ，cC ；dA ，dB ，dC ；AB ，AC ；BC ，共21个，正、副队长都来自“田径队”包含的基本事件有ab ，ac ，ad ，bc ，bd ，cd 共6个，故正、副队长都来自“田径队”的概率为62217=．20．如图所示，在平行四边形ABCD 中，A ＝45°，2AB AD =，E 为AB 的中点，将△ADE 沿直线DE 翻折成△PDE ，使平面PDE ⊥平面BCD ，F 为线段PC 的中点．(1)证明：//BF 平面PDE ；(2)已知M 为线段DE 的中点，求直线MF 与平面PDE 所成的角的正切值．【答案】(1)见解析(2)2【分析】（1）取PD 的中点H ，证明四边形FHEB 为平行四边形，由线面平行判定定理即可得证；（2）由题目条件易得AB DE ⊥，在由面面垂直的性质定理证得平面AB ⊥平面PDE ，连接GM ,GMF ∠即为直线MF 与平面PDE 所成的角，tan GFGMF GM∠=,代入即可求出答案.【详解】（1）取PD 的中点G ,连接EG ,GF ，∵F ，G 分别为PC ，PD 的中点，∴1//2FG CD FG CD =，又∵E 为AB 的中点，∴1//,2EB CD BE CD =，∴//,FG EB FG EB =，∴FGEB 为平行四边形，∴FB GE ∥，又∵BF ⊄面PDE ，GE Ì面PDE ，∴BF ∥平面PDE .（2）在平行四边形ABCD 中，因为2AB AD =，所以2AD AE =，又因为A ＝45°，可得90,AED ∠=︒即AB DE ⊥，因为平面PDE ⊥平面BCD ，平面PDE 平面BCD=DE ，所以平面AB ⊥平面PDE ，由（1）可知，GF AB ∥，所以GF ⊥平面PDE ，连接GM ,GMF ∠即为直线MF 与平面PDE 所成的角，因为1,2GF BE PE GM PE ===，所以tan 2GFGMF GM∠==，即直线MF 与平面PDE 所成的角的正切值为2.21．记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2222sin 2cos cos A a B C a c b =+-．(1)求角C 的大小；(2)若点D 在边AB 上，且2BD AD =，3cos 5B =，求cos BCD ∠的值．【答案】(1)π4C =(2)1517【分析】（1）先利用余弦定理，再结合正弦定理得出结果；（2）先根据三角形三个内角关系及正弦两角差公式求解sin A ，在ACD 与BCD △中分别使用正弦定理并结合2BD AD =求得结果．【详解】（1）由余弦定理可得2sin 2sin cos cos 2cos cos A a A aB C ac B C c=⇒=,由正弦定理可得sin sin cos sin tan 1s sin co CA AC C C C =⇒=⇒=,由于()0,πC ∈,所以π4C =，（2）设BCD θ∠=，则π4ACD θ∠=-．3cos 5B =，(0,π)B ∈，故234sin 1()55B =-=，∴3227sin sin[π()]sin(π)cos sin 242210A B C B B B =-+=-=+=，在ACD 中，由正弦定理可得sin sin CD ADA ACD =∠，即7210sin()4CD AD πθ=-，在BCD △中，同理45sin CD BD θ=，2BD AD = ，∴742105πsin 2sin()4θθ=-，即742105sin 2cos 2sin θθθ=-，整理得8cos 15sin θθ=，又22cos sin 1θθ+=,故15cos 17θ=所以cos BCD ∠的值为1517．22．在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为11A D 的中点，过1,,A B E 的平面截此正方体，得如图所示的多面体，F 为棱1CC上的动点．(1)已知点H 在棱BC 上，且14CH CB =，若用FH ∥平面1AEB ，求11C F C C ；(2)若2AB =，求点D 到平面AEF 的最大距离．【答案】(1)12(2)263【分析】(1)取BC 的中点G ，利用线面平行的性质定理和面面平行的性质定理推出1//GC FH ，即可得到点F 的位置；(2)建立空间直角坐标系，计算平面AEF 的法向量，然后利用公式求解点D 到平面AEF 的最大距离.【详解】（1）设平面11BCC B 与平面1AEB 的交线为l ，因为FH //平面1AEB ，平面11BCC B 平面1AEB l =，FH ⊂平面11BCC B ，所以//FH l由正方体1111ABCD A B C D -知，平面11//BCC B 平面1ADD E ，又因为平面1ADD E 平面1AEB AE =，平面11BCC B 平面1AEB l =，所以//AE l ，所以//AE FH ，取BC 的中点G ，连接1C G ，易知1//AE GC ，所以1//GC FH ，又因为H 为CG 的中点，所以F 为1CC 的中点.所以1112C F C C =（2）以点D 为坐标原点，,,DA DC DD分别为,,x y z 轴的正方向，建立空间直角坐标系，则有()()()()0,0,0,2,0,0,1,0,2,0,2,D A E F t 其中[]0,2t ∈，()()()1,0,2,2,2,,2,0,0AE AF t DA =-=-=，设平面AEF 的法向量为(),,n x y z = ，则有0202200n AE x z x y tz n AF ⎧⋅=-+=⎧⎪⇒⎨⎨-++=⋅=⎩⎪⎩ 不妨取2x =，则2,2,12t n ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以24263522D AEFn AD d nt -⋅==≤⎛⎫+- ⎪⎝⎭ ，当2t =，即点F 与点1C 重合时，取等号，所以点D 到平面AEF 的最大距离为263.。

精编江苏省南京市高一下期末数学试卷((有答案))

江苏省南京市高一第二学期期末考试数学试卷一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）1．（5分）直线y=x﹣2的倾斜角大小为．2．（5分）若数列{a n}满足a1=1，且a n+1=2a n，n∈N*，则a6的值为．3．（5分）直线3x﹣4y﹣12=0在x轴、y轴上的截距之和为．4．（5分）在△ABC中，若a=，b=，A=120°，则B的大小为．5．（5分）不等式（x﹣1）（x+2）＜0的解集是．6．（5分）函数y=sinx﹣cosx的最大值为．7．（5分）若函数y=x+，x∈（﹣2，+∞），则该函数的最小值为．8．（5分）如图，若正四棱锥P﹣ABCD的底面边长为2，斜高为，则该正四棱锥的体积为．9．（5分）若sin（θ+）=，θ∈（，），则cosθ的值为．10．（5分）已知a，b，c是三条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，那么下列命题中正确的序号为．①若a⊥c，b⊥c，则a∥b；②若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；③若a⊥α，b⊥α，则a∥b；④若a⊥α，α⊥β，则α∥β．11．（5分）设等比数列{a n}的公比q，前n项和为S n．若S3，S2，S4成等差数列，则实数q的值为．12．（5分）已知关于x的不等式（x﹣1）（x﹣2a）＞0（a∈R）的解集为A，集合B=（2，3）．若B⊆A，则a的取值范围为．13．（5分）已知数列{a n}满足a1=1，且a n+1﹣a n=2n，n∈N*，若+19≤3n对任意n∈N*都成立，则实数λ的取值范围为．14．（5分）若实数x，y满足x＞y＞0，且+=1，则x+y的最小值为．二、解答题（共6小题，满分90分）15．（14分）已知sinα=，α∈（，π）．（1）求sin（﹣α）的值；（2）求tan2α的值．16．（14分）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CA=CB，M，N，P分别为AB，A1C1，BC的中点．求证：（1）C1P∥平面MNC；（2）平面MNC⊥平面ABB1A1．17．（14分）已知三角形的顶点分别为A（﹣1，3），B（3，2），C（1，0）（1）求BC边上高的长度；（2）若直线l过点C，且在l上不存在到A，B两点的距离相等的点，求直线l的方程．18．（16分）如图，在圆内接△ABC，A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足acosC+ccosA=2bcosB．（1）求B的大小；（2）若点D是劣弧上一点，AB=3，BC=2，AD=1，求四边形ABCD的面积．19．（16分）某商场在一部向下运行的手扶电梯终点的正上方竖直悬挂一幅广告画．如图，该电梯的高AB为4米，它所占水平地面的长AC为8米．该广告画最高点E到地面的距离为10.5米．最低点D到地面的距离6.5米．假设某人的眼睛到脚底的距离MN为1.5米，他竖直站在此电梯上观看DE的视角为θ．（1）设此人到直线EC的距离为x米，试用x表示点M到地面的距离；（2）此人到直线EC的距离为多少米，视角θ最大？20．（16分）已知等差数列{a n}和等比数列{b n}，其中{a n}的公差不为0．设S n是数列{a n}的前n项和．若a1，a2，a5是数列{b n}的前3项，且S4=16．（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（2）若数列{}为等差数列，求实数t；（3）构造数列a1，b1，a2，b1，b2，a3，b1，b2，b3，…，a k，b1，b2，…，b k，…，若该数列前n项和T n=1821，求n的值．江苏省南京市高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）1．（5分）直线y=x﹣2的倾斜角大小为60°．【解答】解：由题意得：直线的斜率是：k=，设倾斜角等于α，则0°≤α＜180°，且tanα=，∴α=60°，故答案为60°．2．（5分）若数列{a n}满足a1=1，且a n+1=2a n，n∈N*，则a6的值为32．【解答】解：∵数列{a n}满足a1=1，且a n+1=2a n，n∈N*，则a6=1×25=32．故答案为：32．3．（5分）直线3x﹣4y﹣12=0在x轴、y轴上的截距之和为1．【解答】解：直线3x﹣4y﹣12=0化为截距式：=1，∴直线3x﹣4y﹣12=0在x轴、y轴上的截距之和=4﹣3=1．故答案为：1．4．（5分）在△ABC中，若a=，b=，A=120°，则B的大小为45°．【解答】解：∵a=，b=，A=120°，∴由正弦定理，可得：sinB===，∵b＜a，B为锐角，∴B=45°．故答案为：45°．5．（5分）不等式（x﹣1）（x+2）＜0的解集是（﹣2，1）．【解答】解：方程（x﹣1）（x+2）=0的两根为1、﹣2，又函数y=（x﹣1）（x+2）的图象开口向上，∴（x﹣1）（x+2）＜0的解集是（﹣2，1），故答案为：（﹣2，1）．6．（5分）函数y=sinx﹣cosx的最大值为．【解答】解：∵y=sinx﹣cosx===．∴函数y=sinx﹣cosx的最大值为．故答案为：7．（5分）若函数y=x+，x∈（﹣2，+∞），则该函数的最小值为4．【解答】解：∵x∈（﹣2，+∞），∴x+2＞0∴y=x+=x+2+﹣2≥2﹣2=6﹣2=4，当且仅当x=1时取等号，故该函数的最小值为4，故答案为：48．（5分）如图，若正四棱锥P﹣ABCD的底面边长为2，斜高为，则该正四棱锥的体积为．【解答】解：如图，正四棱锥的高PO，斜高PE，则有PO=，正四棱锥的体积为V==2，故答案为：．9．（5分）若sin（θ+）=，θ∈（，），则cosθ的值为．【解答】解：sin（θ+）=，利用和与差构造即可求解．∵θ∈（，），∴θ+∈（，π）∴cos（θ+）=﹣．那么：cosθ=cos[（θ+）﹣]=cos（θ+）cos+sin sin（θ+）==．故答案为：．10．（5分）已知a，b，c是三条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，那么下列命题中正确的序号为③④．①若a⊥c，b⊥c，则a∥b；②若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；③若a⊥α，b⊥α，则a∥b；④若a⊥α，α⊥β，则α∥β．【解答】解：由a，b，c是三条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，知：在①中，若a⊥c，b⊥c，则a与b相交、平行或异面，故①错误；在②中，若α⊥γ，β⊥γ，则α与β相交或平行，故②错误；在③中，若a⊥α，b⊥α，则由线面垂直的性质定理得a∥b，故③正确；在④中，若a⊥α，α⊥β，则由面面平行的判定定理得α∥β，故④正确．故答案为：③④．11．（5分）设等比数列{a n}的公比q，前n项和为S n．若S3，S2，S4成等差数列，则实数q的值为﹣2．【解答】解：∵S3，S2，S4成等差数列，∴2S2=S3+S4，∴2a3+a4=0，可得q=﹣2．故答案为：﹣2．12．（5分）已知关于x的不等式（x﹣1）（x﹣2a）＞0（a∈R）的解集为A，集合B=（2，3）．若B⊆A，则a的取值范围为（﹣∞，1] ．【解答】解：关于x的不等式（x﹣1）（x﹣2a）＞0（a∈R）的解集为A，①2a≥1时，A=（﹣∞，1）∪（2a，+∞），∵B⊆A，∴2a≤2，联立，解得．②2a＜1时，A=（﹣∞，2a）∪（1，+∞），满足B⊆A，由2a＜1，解得a．综上可得：a的取值范围为（﹣∞，1]．故答案为：（﹣∞，1]．13．（5分）已知数列{a n}满足a1=1，且a n+1﹣a n=2n，n∈N*，若+19≤3n对任意n∈N*都成立，则实数λ的取值范围为（﹣∞，﹣8] ．【解答】解：∵a1=1，且a n+1﹣a n=2n，n∈N*，即n≥2时，a n﹣a n﹣1=2n﹣1．∴a n=（a n﹣a n﹣1）+（a n﹣1﹣a n﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1=2n﹣1+2n﹣2+…+2+1==2n﹣1．∵+19≤3n，化为：λ≤=f（n）．+19≤3n对任意n∈N*都成立，⇔λ≤f（n）min．由f（n）≤0，可得n≤，因此n≤6时，f（n）＜0；n≥7时，f（n）＞0．f（n+1）﹣f（n）=﹣=≤0，解得n≤．∴f（1）＞f（2）＞f（3）＞f（4）＞f（5）＜f（6），可得f（n）min=f（5）=﹣8．则实数λ的取值范围为（﹣∞，﹣8]．故答案为：（﹣∞，﹣8]．14．（5分）若实数x，y满足x＞y＞0，且+=1，则x+y的最小值为．【解答】解：实数x，y满足x＞y＞0，且+=1，则x+y===≥=．当且仅当y=，x=时取等号．故答案为：．二、解答题（共6小题，满分90分）15．（14分）已知sinα=，α∈（，π）．（1）求sin（﹣α）的值；（2）求tan2α的值．【解答】解：∵sinα=，α∈（，π）．∴cosα==．可得：tanα=．（1）sin（﹣α）=sin cosα﹣cos sinα=×=．（2）tan2α==．16．（14分）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CA=CB，M，N，P分别为AB，A1C1，BC的中点．求证：（1）C1P∥平面MNC；（2）平面MNC⊥平面ABB1A1．【解答】证明：（1）连接MP，因为M、P分别为AB，BC的中点∵MP∥AC，MP=，又因为在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∴AC∥A1C1，AC=A1C1且N是A1C1的中点，∴MP∥C1N，MP=C1N∴四边形MPC1N是平行四边形，∴C1P∥MN∵C1P⊄面MNC，MN⊂面MNC，∴C1P∥平面MNC；（2）在△ABC中，CA=CB，M为AB的中点，∴CM⊥AB．在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，B1B⊥面ABC．∵CM⊂面ABC，∴BB1⊥CM由因为BB1∩AB=B，BB1，AB⊂平面面ABB1A1又CM⊂平面MNC，∴平面MNC⊥平面ABB1A1．17．（14分）已知三角形的顶点分别为A（﹣1，3），B（3，2），C（1，0）（1）求BC边上高的长度；（2）若直线l过点C，且在l上不存在到A，B两点的距离相等的点，求直线l的方程．【解答】解：（1）∵三角形的顶点分别为A（﹣1，3），B（3，2），C（1，0），∴BC的斜率为=1，故直线BC的方程为y﹣0=1•（x﹣1），即x﹣y﹣1=0，故BC边上高的长度即点A到直线BC的距离，即=．（2）∵直线l过点C，且在l上不存在到A，B两点的距离相等的点，∴直线l垂直于线段AB，故直线l的斜率为==4，故直线l的方程为y﹣0=4•（x﹣1），即4x﹣y﹣4=0．18．（16分）如图，在圆内接△ABC，A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足acosC+ccosA=2bcosB．（1）求B的大小；（2）若点D是劣弧上一点，AB=3，BC=2，AD=1，求四边形ABCD的面积．【解答】解：（1）∵acosC+ccosA=2bcosB．由正弦定理，可得sinAcosC+sinAcosA=2sinBcosB．得sinB=2sinBcosB．∵0＜B＜π，sinB≠0，∴cosB=，即B=．（2）在△ABC中，AB=3，BC=2，B=．由余弦定理，cos=，可得：AC=．在△ADC中，AC=，AD=1，ABCD在圆上，∵B=．∴∠ADC=．由余弦定理，cos==．解得：DC=2四边形ABCD的面积S=S△ABC +S△ADC=AD•DC•sin+AB•BC•sin=2．19．（16分）某商场在一部向下运行的手扶电梯终点的正上方竖直悬挂一幅广告画．如图，该电梯的高AB为4米，它所占水平地面的长AC为8米．该广告画最高点E到地面的距离为10.5米．最低点D到地面的距离6.5米．假设某人的眼睛到脚底的距离MN为1.5米，他竖直站在此电梯上观看DE的视角为θ．（1）设此人到直线EC的距离为x米，试用x表示点M到地面的距离；（2）此人到直线EC的距离为多少米，视角θ最大？【解答】解：（1）由题意可知MG=CH=x，由△CHN∽△CAB可得，即，∴NH=，∴M到地面的距离MH=MN+NH=．（2）DG=CD﹣CG=CD﹣MH=，同理EG=9﹣，∴tan∠DMG===，tan∠EMG==，∴tanθ=tan（∠EMG﹣∠DMG）===，∵0＜x≤8，∴5x+≥2=30，当且仅当5x=即x=3时取等号，∴当x=3时，tanθ取得最大值，即θ取得最大值．20．（16分）已知等差数列{a n}和等比数列{b n}，其中{a n}的公差不为0．设S n是数列{a n}的前n项和．若a1，a2，a5是数列{b n}的前3项，且S4=16．（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（2）若数列{}为等差数列，求实数t；（3）构造数列a1，b1，a2，b1，b2，a3，b1，b2，b3，…，a k，b1，b2，…，b k，…，若该数列前n项和T n=1821，求n的值．【解答】解：（1）设{a n}的公差d≠0．∵a1，a2，a5是数列{b n}的前3项，且S4=16．∴，即，4a1+=16，解得a1=1，d=2，∴a n=1+（n﹣1）×2=2n﹣1．∴b1=1，b2=3，公比q=3．∴b n=3n﹣1．（2）S n==n2．∴=．∵数列{}为等差数列，∴=+，t2﹣2t=0．解得t=2或0，经过验证满足题意．（3）由（1）可得：S n=n2，数列{b n}的前n项和A n==．数列{A n}的前n项和U n=﹣n=﹣n．数列a1，b1，a2，b1，b2，a3，b1，b2，b3，…，a k，b1，b2，…，b k，…，∴该数列前k+=项和=k2+﹣（k﹣1），∵37=2187，38=6561．∴取k=8，可得前=36项的和为：=1700，令T n=1821=1700+，解得m=5．∴n=36+5=41．。

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江苏省高一下学期期末数学试卷
姓名:________ 班级:________ 成绩:________
一、选择题 (共12题；共24分)
1. （2分） (2017高二上·钦州港月考) 某学校有教师160人,其中有高级职称的32人,中级职称的56人,初级职称的72人.现抽取一个容量为20的样本,用分层抽样法抽取的中级职称的教师人数应为（）
A . 4
B . 6
C . 7
D . 9
2. （2分）同时掷2枚硬币，那么互为对立事件的是（）
A . 恰好有1枚正面和恰有2枚正面
B . 至少有1每正面和恰好有1枚正面
C . 至少有2枚正面和恰有1枚正面
D . 最多有1枚正面和恰有2枚正面
3. （2分）若为常数，且，，则函数的最大值为（）
A .
B .
C .
D .
4. （2分） (2019高一下·上海期末) 若数列的前项和为，则下列命题：（1）若数列是递增数列，则数列也是递增数列；（2）数列是递增数列的充要条件是数列的各项均为正数；（3）若
是等差数列（公差），则的充要条件是；（4）若是等比数列，则
的充要条件是．其中，正确命题的个数是（）
A . 0个
B . 1个
C . 2个
D . 3个
5. （2分） (2020高二上·玉溪月考) 已知，是方程的两根，且，
，则（）
A .
B .
C .
D . 或
6. （2分） (2020高二上·赣县期中) 一组数据中的每一个数据都乘以3，再减去50，得到一组新数据，若求得新的数据的平均数是1.6，方差是3.6，则原来数据的平均数和方差分别是（）
A . 17.2，3.6
B . 54.8，3.6
C . 17.2，0.4
D . 54.8，0.4
7. （2分） (2019高二下·南昌期末) 为了解某社区居民的家庭年收入所年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：
收入（万元）8.28.610.011.311.9
支出（万元） 6.27.58.08.59.8
根据上表可得回归直线方程，其中，据此估计，该社区一户收入为15万元家庭年支出为（）
A . 11.4万元
B . 11.8万元
C . 12.0万元
D . 12.2万元
8. （2分）函数的部分图象如图所示，则函数表达式为（）
A .
B .
C .
D .
9. （2分）执行如右图所示的程序框图,输出的k值为（）
A . 3
B . 4
C . 5
D . 6
10. （2分） (2016高一下·芦溪期末) 在△ABC中，角A，B，C，所对的边分别为a，b，c．若acosA=bsinB，则sinAcosA+cos2B=（）
A . ﹣
B .
C . ﹣1
D . 1
11. （2分）若A，B，C为圆O：x2+y2=1上的三点，且AB=1，BC=2，则•=（）
A . 0
B .
C .
D .
12. （2分）(2017·福建模拟) 设函数f（x）= 在区间[0，e]上随机取一个实数x，则f （x）的值不小于常数e的概率是（）
A .
B . 1﹣
C .
D .
二、填空题 (共4题；共4分)
13. （1分）已知{an}为等差数列，若a1+a5+a9=5π，则cos（a2+a8）为________．
14. （1分） (2016高二上·大连开学考) 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b（tanA+tanB）= ctanB，BC边的中线长为1，则a的最小值为________．
15. （1分） (2017高一下·西华期末) 将二进制数101101（2）化为八进制数，结果为________．
16. （1分）(2020·济宁模拟) 在平行四边形ABCD中，，，
，若，则 ________.
三、解答题 (共6题；共60分)
17. （15分）已知平面内三个向量： =（3，2）． =（﹣1，2）． =（4，1）
（1）求（+λ ）和（2 ﹣）的坐标
（2）若（+λ ）∥（2 ﹣），求实数λ；
（3）若（+λ ）⊥（2 ﹣），求实数λ．
18. （10分） (2020高一下·海丰月考) 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 .
（1）求；
（2）若，的面积为，求 .
19. （10分） (2020高一下·扬州期末) 某医院为促进行风建设，拟对医院的服务质量进行量化考核，每个患者就医后可以对医院进行打分，最高分为100分.上个月该医院对100名患者进行了回访调查，将他们按所打分数分成以下几组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，得到频率分布直方图，如图所示.
（1）求所打分数不低于60分的患者人数；
（2）该医院在第二､三组患者中按分层抽样的方法抽取6名患者进行深入调查，之后将从这6人中随机抽取2人聘为医院行风监督员，求行风监督员来自不同组的概率.
20. （10分） (2017高一下·西华期末) 已知向量与向量的夹角为θ，且| |=1，| |= ．
（1）若∥ ，求• ；
（2）若﹣与垂直，求θ．
21. （5分）设函数f（x）=cos（2x﹣）+2cos2x，
（Ⅰ）求f（x）的最大值，并写出使f（x）取最大值时x的集合；
（Ⅱ）已知△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若f（B+C）= ，a=1，求△ABC的面积的最大值．
22. （10分） (2019高一下·安徽期中) 已知锐角面积为，，，所对边分别是，，，，平分线相交于点，且 .
求：
（1）的大小；
（2）周长的最大值.
参考答案一、选择题 (共12题；共24分)
答案：1-1、
考点：
解析：
答案：2-1、
考点：
解析：
答案：3-1、
考点：
解析：
答案：4-1、考点：
解析：
答案：5-1、考点：
解析：
答案：6-1、考点：
解析：
答案：7-1、考点：
解析：
答案：8-1、考点：
解析：
答案：9-1、考点：
解析：
答案：10-1、考点：
解析：
答案：11-1、考点：
解析：
答案：12-1、
考点：
解析：
二、填空题 (共4题；共4分)答案：13-1、
考点：
解析：
答案：14-1、
考点：
解析：
答案：15-1、考点：
解析：
答案：16-1、考点：
解析：
三、解答题 (共6题；共60分)
答案：17-1、
答案：17-2、
答案：17-3、
考点：
解析：
答案：18-1、
答案：18-2、考点：
解析：
答案：19-1、
答案：19-2、考点：
解析：
答案：20-1、
答案：20-2、考点：
解析：
答案：21-1、考点：
解析：
答案：22-1、
答案：22-2、考点：
解析：。

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江苏省苏州市2023-2024学年高一下学期6月期末考试数学含答案