初中数学模型解题法

初中数学模型解题法解答题1. （2001江苏苏州6分）如图，已知AB是半圆O的直径，AP为过点A的半圆的切线。

在上任取一点C（点C与A、B不重合），过点C作半圆的切线CD交AP于点D；过点C 作CE⊥AB，垂足为E．连接BD，交CE于点F。

（1）当点C为的中点时（如图1），求证：CF=EF；（2）当点C不是的中点时（如图2），试判断CF与EF的相等关系是否保持不变，并证明你的结论。

【答案】解：（1）证明：∵DA是切线，AB为直径，∴DA⊥AB。

∵点C是的中点，且CE⊥AB，∴点E为半圆的圆心。

又∵DC是切线，∴DC⊥EC。

又∵CE⊥AB，∴四边形DAEC是矩形。

∴CD∥AO，CD=AD。

∴，即EF= AD= EC。

∴F为EC的中点，CF=EF。

（2）CF=EF保持不变。

证明如下：如图，连接BC，并延长BC交AP于G点，连接AC，∵AD、DC是半圆O的切线，∴DC=DA。

∴∠DAC=∠DCA。

∵AB是直径，∴∠ACB=90°。

∴∠ACG=90°。

∴∠DGC+∠DAC=∠DCA+∠DCG=90°。

∴∠DGC=∠DCG。

∴在△GDC中，GD=DC。

∵DC=DA，∴GD=DA。

∵AP是半圆O的切线，∴AP⊥AB。

又∵CE⊥AB，∴CE∥AP。

∴△BCF∽△BGD，△BEF∽△BAD。

∴。

∵GD=AD，∴CF=EF。

【考点】探究型，圆的综合题，切线的性质，矩形的判定和性质，平行线分线段成比例定理，等腰三角形的判定，相似三角形的判定和性质。

【分析】（1）由题意得DA⊥AB，点E为半圆的圆心，DC⊥EC，可得四边形DAEC是矩形，即可得出，即可得EF与EC的关系，可知CF=EF。

（2）连接BC，并延长BC交AP于G点，连接AC，由切线长定理可得DC=DA，∠DAC=∠DCA，由角度代换关系可得出∠DGC=∠DCG，即可得GD=DC=DA，由已知可得CE∥AP，所以，即可知CF=EF。

2. （2001江苏苏州7分）已知一个三角形纸片ABC，面积为25，BC的长为10，∠B、∠C都为锐角，M为AB边上的一动点（M与A、B不重合），过点M作MN∥BC交AC于点N，设MN=x。

（1）用x表示△AMN的面积；（2）△AMN沿MN折叠，使△AMN紧贴四边形BCNM（边AM、AN落在四边形BCNM 所在的平面内），设点A落在平面BCNM内的点A′，△A′MN与四边形BCNM重叠部分的面积为y。

①用的代数式表示y，并写出x的取值范围；②当x为何值时，重叠部分的面积y最大，最大为多少？【答案】解：（1）∵MN∥BC，∴△AMN∽△ABC。

∴。

∴，即。

（2）①当点A′落在四边形BCMN内或BC边上时，（0＜x≤5）。

当点A′在四边形BCMN外，连接AA′与MN交于点G与BC交于点F，∵MN∥BC，∴，即。

∴AG= x。

∴AA′=2AG=x。

∴A′F=x－5。

∴，即。

∴。

∴重合部分的面积。

综上所述，重合部分的面积。

②∵∴当x= 时，y最大，最大值为y最大= 。

【考点】翻折变换（折叠问题），相似三角形的判定和性质，二次函数的最值。

【分析】（1）根据已知条件求出△AMN∽△ABC，再根据面积比等于相似比的平方的性质即可求出△AMN的面积。

（2）根据已知条件分两种情况进行讨论，当点A′落在四边形BCMN内或BC边上时和当点A′在四边形BCMN外时进行讨论，第一种情况很容易求出，第二种情况进行画图，连接AA′与MN交于点G与BC交于点F，再根据面积比等于相似比的平方的性质求出即可．再根据求出的式子，即可求出重叠部分的面积y的最大值来。

3. （江苏省苏州市2002年7分）已知：⊙与⊙外切于点，过点的直线分别交⊙、⊙于点、，⊙的切线交⊙于点、，为⊙的弦，（1）如图（1），设弦交于点，求证：；（2）如图（2），当弦绕点旋转，弦的延长线交直线B 于点时，试问：是否仍然成立？证明你的结论。

【答案】解：（1）证明：连结，过点作⊙与⊙的公切线。

∴。

又∵是⊙的切线，∴。

又∵，∴。

又∵，∴。

∴，即。

（2）仍成立。

证明如下：连结，过点作⊙和⊙的公切线。

∵是⊙的切线，∴。

∴。

∴。

又∵，∴。

又∵，∴。

∴，即。

【考点】相切两圆切线的性质，弦切角定理，切线长定理，等腰三角形的性质，对顶角的性质，相似三角形的判定和性质。

【分析】（1）连结，过点作⊙与⊙的公切线。

根据弦切角定理可得，由也是⊙的切线，根据切线长定理可得，从而根据等腰三角形等边对等角的性质，得到，由对顶角相等的性质，得到。

又，从而，根据相似三角形的性质即可证明。

（2）同（1）可以证明。

4.（江苏省苏州市2002年7分）如图，梯形OABC中，O为直角坐标系的原点，A、B、C 的坐标分别为（14，0）、（14，3）、（4，3）。

点P、Q同时从原点出发，分别作匀速运动。

其中点P沿OA向终点A运动，速度为每秒1个单位；点Q沿OC、CB向终点B运动。

当这两点中有一点到达自己的终点时，另一点也停止运动。

（1）设从出发起运动了秒，如果点Q的速度为每秒2个单位，试分别写出这时点Q 在OC上或在CB上时的坐标（用含的代数式表示，不要求写出的取值范围）；（2）设从出发起运动了秒，如果点P与点Q所经过的路程之和恰好为梯形OABC的周长的一半。

①试用含的代数式表示这时点Q所经过的路程和它的速度；②试问：这时直线PQ是否可能同时把梯形OABC的面积也分成相等的两部分？如有可能，求出相应的的值和P、Q的坐标；如不可能，请说明理由。

【答案】解：（1）当点Q在OC上时，如图，过点C作CE⊥OA于点E，过点Q作QF⊥OA于点F。

依题意，有OE=4，EC=3，OC=5，OQ=2 。

由△OCE∽△OQF得，即。

∴。

∴当点Q在OC上时，点Q的坐标为。

当点Q在CB上时，如图，过点C作CM⊥OA于点M，过点Q作QN⊥OA于点N。

∵CQ=2 －5，∴OM=4＋2 －5=2 －1。

又MQ=3，∴当点Q在CB上时，点Q的坐标为（）。

（2）①∵点P所经过的路程为，点Q所经过的路程为OQ，且点P与点Q 所经过的路程之和恰好为梯形OABC的周长的一半，∴＋OQ= （14＋3＋10＋5），即OQ=16－。

∴点Q所经过的路程为16－，速度为。

②不能。

理由如下：当Q点在OC上时，如图，过点Q作QF⊥OA于点F。

则OP= ，QF= 。

∴。

又∵，∴令，解之，得。

∵当时，，这时点Q不在OC上，故舍去；当时，，这时点Q不在OC上，故舍去。

∴当Q点在OC上时，PQ不可能同时把梯形OABC的面积也分成相等的两部分。

当Q在CB上时，CQ=16－－5=11－，∴。

∵，∴当Q点在CB上时，PQ不可能同时把梯形OABC的面积也分成相等的两部分。

综上所述，这时PQ不可能同时平分梯形OABC的面积。

【考点】动点问题，勾股定理，相似三角形的判定和性质。

【分析】（1）当点Q在OC上时，作直角三角形OCE和OQF，由二者相似即可求出此时点Q的坐标。

当点Q在CB上时，过点C作CM⊥OA于点M，过点Q作QN⊥OA于点N，即可得出OM=4＋2 －5=2 －1，从而求出此时点Q的坐标。

（2）①由点P与点Q所经过的路程之和恰好为梯形OABC的周长的一半，列出等式，＋OQ= （14＋3＋10＋5），即可求出点Q所经过的路程。

用路程÷时间即可求得速度。

②分Q点在OC上和Q点在OC上，分别讨论即可得出结论。

5. （江苏省苏州市2003年7分）如图1，⊙O的直径为AB，过半径OA的中点G作弦CE ⊥AB，在上取一点D，分别作直线CD、ED，交直线AB于点F、M。

（1）求∠COA和∠FDM的度数；（2）求证：△FDM∽△COM；（3）如图2，若将垂足G改取为半径OB上任意一点，点D改取在上，仍作直线CD、ED，分别交直线AB于点F、M。

试判断：此时是否仍有△FDM∽△COM？证明你的结论。

【答案】解：（1）∵AB为直径，CE⊥AB，∴，CG=EG。

在Rt△COG中，∵OG= OC，∴∠OCG=30°。

∴∠COA=60°。

又∵∠CDE的度数= 的度数= 的度数=∠COA的度数=60°，∴∠FDM=180°－∠CDE=120°。

（2）证明：∵∠COM=180°－∠COA=120°，∴∠COM=∠FDM。

在Rt△CGM和Rt△EGM中，，∴Rt△CGM≌Rt△EGM（HL）。

∴∠GMC=∠GME。

又∵∠DMF=∠GME，∴∠GMC=∠DMF。

∴△FDM∽△COM。

（3）结论仍成立。

证明如下：∵∠EDC的度数= 的度数= 的度数=∠COA的度数，∴∠FDM=180°－∠COA=∠COM。

∵AB为直径，∴CE⊥AB。

在Rt△CGM和Rt△EGM中，∴Rt△CGM≌Rt△EGM（HL）。

∴∠GMC=∠GME。

∴△FDM∽△COM。

【考点】圆周角定理，锐角三角函数，特殊角的三角函数值，线段垂直平分线的性质，直角三角形两锐角的关系，平角定义，直角三角形全等的判定和性质，垂径定理，相似三角形的判定。

【分析】（1）由于CG⊥OA，根据垂径定理可得出，，那么根据圆周角定理可得出∠CDE=∠COA，在Rt△COG中，可根据OG是半径的一半得出∠AOC是60°，那么就能得出∠FDM=180°－∠CDE=120°。

（2）在（1）中根据垂径定理得出OA是CE的垂直平分线，那么△CMG和△BMG就应该全等，可得出∠CMA=∠EMG，也就可得出∠CMO=∠FMD，在（1）中已经证得∠AOC=∠EDC=60°，那么∠COM=∠MDF，因此两三角形相似。

（3）可按（2）的方法得出∠DMF=∠CMO，关键是再找出一组对应角相等，还是用垂径定理来求，根据垂径定理我们可得出，那么∠AOC=∠EDC，根据等角的余角相等即可得出∠COM=∠FDM，由此可证出两三角形相似。

6. （江苏省苏州市2003年7分）OABC是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，O为原点，点A在x轴上，点C在y轴上，OA=10，OC=6。

（1）如图1，在OA上选取一点G，将△COG沿CG翻折，使点O落在BC边上，记为E，求折痕CG所在直线的解析式。

（2）如图2，在OC上选取一点D，将△AOD沿AD翻折，使点O落在BC边上，记为。

①求折痕AD所在直线的解析式；②再作F∥AB，交AD于点F，若抛物线过点F，求此抛物线的解析式，并判断它与直线AD的交点的个数。

（3）如图3，一般地，在OC、OA上选取适当的点，使纸片沿翻折后，点O落在BC边上，记为。

请你猜想：折痕所在直线与②中的抛物线会有什么关系？用（1）中的情形验证你的猜想。

【答案】解：（1）由折叠法知，四边形OCEG是正方形，∴OG=OC=6。