高数第六章总知识题目解析

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复习题A

一 、判断正误:

1、 若c b b a ⋅=⋅且≠0b ,则c a =; ( ⨯ ) 解析 c b b a ⋅-⋅=)(c a b -⋅=0时,不能判定=b 0或c a =.例如i a =,j b =,

k c =,有⋅=⋅=0a b b c ,但c a ≠.

2、 若c b b a ⨯=⨯且≠0b ,则c a =; ( ⨯ ) 解析 此结论不一定成立.例如i a =,j b =,)(j i c +-=,则

k j i b a =⨯=⨯,k j i j c b =+-⨯=⨯)]([,c b b a ⨯=⨯,但c a ≠.

3 、若0=⋅c a ,则=0a 或=0c ; ( ⨯ ) 解析 两个相互垂直的非零向量点积也为零.

4、 a b b a ⨯-=⨯. ( √ ) 解析 这是叉积运算规律中的反交换律.

二、选择题:

1 、 当a 与b 满足( D )时,有b a b a +=+;

(A)⊥a b ; (B)λ=a b (λ为常数); (C)a ∥b ; (D)⋅=a b a b .

解析 只有当a 与b 方向相同时,才有a +b =a +b .

(A)中a ,b 夹角不为0,(B),(C)中a ,b 方向可以相同,也可以相反.

2、下列平面方程中,方程( C )过y 轴;

(A) 1=++z y x ; (B) 0=++z y x ; (C) 0=+z x ; (D) 1=+z x . 解析 平面方程0=+++D Cz By Ax 若过y 轴,则0==D B ,故选C .

3 、在空间直角坐标系中,方程2

2

21y x z --=所表示的曲面是( B );

(A) 椭球面; (B) 椭圆抛物面; (C) 椭圆柱面; (D) 单叶双曲面. 解析 对于曲面2

2

21y x z --=,垂直于z 轴的平面截曲面是椭圆,垂直于x 轴或y 轴的平面截曲面是开口向下的抛物线,根据曲面的截痕法,可以判断曲面是椭圆抛物面.

4、空间曲线⎩⎨⎧=-+=5,

222z y x z 在xOy 面上的投影方程为( C );

(A)72

2

=+y x ; (B)⎩

⎨⎧==+57

22z y x ; (C)

⎧==+07

22z y x ;(D)⎩⎨⎧=-+=0222z y x z 解析 曲线⎩⎨⎧==+5722z y x 与xOy 平面平行,在xOy 面上的投影方程为⎩⎨⎧==+0

7

22z y x .

5 、直线

1

1121-+==-z y x 与平面1=+-z y x 的位置关系是( B ). (A) 垂直; (B) 平行; (C) 夹角为

π4; (D) 夹角为π

4

-. 解析 直线的方向向量s ={2,1,-1},平面的法向量n ={1,-1,1},n s ⋅=2-1-1=0,所以,s ⊥n ,直线与平面平行.

三、填空题:

1、若2=

b a ,π

()2

=

a,b ,则=⨯b a 2 ,=⋅b a 0 ; 解 =⨯b a b a sin()a,b π22=2,=⋅b a b a cos()a,b π

22

=0.

2、与平面062=-+-z y x 垂直的单位向量为 }2,1,1{6

6

; 解 平面的法向量 n ={1,-1,2}与平面垂直,其单位向量为0

n =411++=6,

所以,与平面垂直的单位向量为}2,1,1{6

6

3、过点)2,1,3(--和)5,0,3(且平行于x 轴的平面方程为 057=-+z y ;

解 已知平面平行于x 轴,则平面方程可设为 0=++D Cz By ,将点 (-3,1,-2)和

(3,0,5)代入方程,有{

20,50,B C D C D -+=+= ⇒ 7,51,

5B D C D ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩

得 05157=+--D Dz Dy ,

即 057=-+z y .

4、过原点且垂直于平面022=+-z y 的直线为

z y

x -==2

0; 解 直线与平面垂直,则与平面的法向量 n ={0,2,-1}平行,取直线方向向量s =n ={0,2,-1},由于直线过原点,所以直线方程为

z y

x -==2

0 .

5、曲线⎩⎨⎧=+=1

,

222z y x z 在xOy 平面上的投影曲线方程为

⎩⎨

⎧==+.

0,

1222z y x 解: 投影柱面为 122

2

=+y x ,故 ⎩⎨⎧==+0

,

1222z y x 为空间曲线在xOy 平面上的投影

曲线方程.

四、解答题:

1、 已知}1,2,1{-=a ,}2,1,1{=b ,计算(a) b a ⨯; (b) ()()-⋅+2a b a b ; (c)

2

b a -;

解: (a) b a ⨯=2

11121

-k

j i

1,3}5,{--=. (b) {2,4,2}{1,1,2}{1,5,0}2a b -=--=-,1,3}{2,{1,1,2}2,1}{1,-=+-=+b a , 所以()()-⋅+2a b a b 7}3,1,2{}0,5,1{=-⋅-=.

(c) 1}3,{0,{1,1,2}2,1}{1,--=--=-b a ,所以2

b a -10)19(2

=+=.

2、已知向量21P P 的始点为)5,2,2(1-P ,终点为)7,4,1(2-P ,试求:(1)向量21P P 的坐标表示; (2)向量21P P 的模;(3)向量21P P 的方向余弦; (4)与向量21P P 方向一致的单位向量.

:

(1)

}2,6,3{}5

7),2(4,21{21-=-----=P P ;(2)

74926)3(222==++-=;

(3) 21P P 在z y x ,,三个坐标轴上的方向余弦分别为3

62cos ,cos ,cos 777

αβγ=-==; (4)k j i k j i

7

2

76737263)(21++-=++-=

=

P P

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