柯西不等式课件
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一般形式的柯西不等式 课件

答案:B
5.实数 ai(i=1,2,3,4,5,6)满足(a2-a1)2+(a3-a2)2+(a4-a3)2 +(a5-a4)2+(a6-a5)2=1,则(a5 +a6
B.2 2
C. 6
D.1
解析:因为[(a2-a1)2+(a3-a2)2+(a4-a3)2+(a5-a4)2+(a6 -a5)2](1+1+1+4+1)≥[(a2-a1)×1+(a3-a2)×1+(a4-a3)×1 +(a5-a4)×2+(a6-a5)×1]2=[(a6+a5)-(a1+a4)]2,所以[(a6+a5) -(a1+a4)]2≤8,即(a6+a5)-(a1+a4)≤2 2.
答案:B
3.设 x,y,z∈R,且 x+y+z=1. (1)求(x-1)2+(y+1)2+(z+1)2 的最小值; (2)若(x-2)2+(y-1)2+(z-a)2≥1成立,证明:a≤-3 或
3 a≥-1.
解:(1)[(x-1)2+(y+1)2+(z+1)2](12+12+12)≥[(x-1)+(y +1)+(z+1)]2=(x+y+z+1)2=4,
答案:B
6.设 x1,x2,…,xn 都是正数,求证:
x11+x12+…+x1n≥x1+x2+n2…+xn.
证明:∵x1,x2,…,xn 都是正数,
∴(x1+x2+…+xn)x11+x12+…+x1n
=[(
x1)2+(
x2)2+…+(
xn)2]·
1x12+
1x22+…+
1 2 xn
≥ x1·1x1+ x2·1x2+…+ xn·1xn2=n2, ∴x11+x12+…+x1n≥x1+x2+n2…+xn.
知识点二 一般形式的柯西不等式的应用
4.已知 a,b,c 均大于 0,A= 则 A,B 的大小关系是( )
5.实数 ai(i=1,2,3,4,5,6)满足(a2-a1)2+(a3-a2)2+(a4-a3)2 +(a5-a4)2+(a6-a5)2=1,则(a5 +a6
B.2 2
C. 6
D.1
解析:因为[(a2-a1)2+(a3-a2)2+(a4-a3)2+(a5-a4)2+(a6 -a5)2](1+1+1+4+1)≥[(a2-a1)×1+(a3-a2)×1+(a4-a3)×1 +(a5-a4)×2+(a6-a5)×1]2=[(a6+a5)-(a1+a4)]2,所以[(a6+a5) -(a1+a4)]2≤8,即(a6+a5)-(a1+a4)≤2 2.
答案:B
3.设 x,y,z∈R,且 x+y+z=1. (1)求(x-1)2+(y+1)2+(z+1)2 的最小值; (2)若(x-2)2+(y-1)2+(z-a)2≥1成立,证明:a≤-3 或
3 a≥-1.
解:(1)[(x-1)2+(y+1)2+(z+1)2](12+12+12)≥[(x-1)+(y +1)+(z+1)]2=(x+y+z+1)2=4,
答案:B
6.设 x1,x2,…,xn 都是正数,求证:
x11+x12+…+x1n≥x1+x2+n2…+xn.
证明:∵x1,x2,…,xn 都是正数,
∴(x1+x2+…+xn)x11+x12+…+x1n
=[(
x1)2+(
x2)2+…+(
xn)2]·
1x12+
1x22+…+
1 2 xn
≥ x1·1x1+ x2·1x2+…+ xn·1xn2=n2, ∴x11+x12+…+x1n≥x1+x2+n2…+xn.
知识点二 一般形式的柯西不等式的应用
4.已知 a,b,c 均大于 0,A= 则 A,B 的大小关系是( )
二维形式的柯西不等式人教版1课件

讨论 对一个代数结果进行最简单的诠释,往往要借助
设在平面直角坐标系xoy中有向量α=(a,b), =(c,d) ,与之间的夹角为θ,0≤ θ ≤π (如图)
根据向量数量积的定义,有α.β=│α││β│cos θ
0xy 设在平面直角坐标系xoy中有向量α=(
把该式首先展开,再用配方法,问题就可以解决。
分析 把该式首先展开,再用配方法,问题就可以解
解:
展开乘积得(a2+b2)(c2+d2)=a2c2+b2d2+a2d2+b2c2
由于a2c2+b2d2+a2d2+b2c2=(ac+bd)2+(ad-bc)2
即(a2+b2)(c2+d2)=(ac+bd)2+(ad-bc)2
知识与能力
1.认识二维柯西不等式的代数和向量形式.理解二维柯西不等式的几何意义.
教学目标知识与能力1.认识二维柯西不等式的代数和向量形式.理
3.掌握柯西不等式的应用.
2.通过探究,思考和讨论,使学生从数形两方面认识柯西不等式的代数和向量的等价关系。
3.掌握柯西不等式的应用.2.通过探究,思考和讨论,使学生从
证 明≥x12+y12+2│x1x2+y1y2│+x2
《二维形式的柯西不等式》ppt人教版1《二维形式的柯西不等式
不等式(3)对于任何实数都成立,于是可以得到:
分析 不等式(3)对于任何实数都成立,于是可以得到:《
请结合平面直角坐标系,解释不等式(4)的几何意义。
探究 请结合平面直角坐标系,解释不等式(4)的几何意
解:展开乘积得(a2+b2)(c2+d2)=a2c2+b2d
课件2:二 一般形式的柯西不等式

方法二:令 m=( 4a+1, 4b+1, 4c+1).n=(1,1,1), 则|m|= 4a+1+4b+1+4c+1= 4(a+b+c)+3= 7, |n|= 12+12+12= 3. m·n= 4a+1+ 4b+1+ 4c+1, 由|m·n|≤|m||n|,得 4a+1+ 4b+1+ 4c+1≤ 21. 故 4a+1+ 4b+1+ 4c+1的最大值为 21,当且仅当 a= b=c=13时,取等号.
证法二:(利用柯西不等式) (x+y+z)1x+4y+9z ≥ x· 1x+ y· 4y+ z· 9z2=(1+2+3)2=36, 当且仅当 x2=14y2=19z2, 即 x=16,y=13,z=12时等号成立.
【例 2】设 a,b,c 为正实数,且 a+b+c=3,求证: 2a+1+ 2b+1+ 2c+1≤3 3.
典例剖析
【例 1】 已知 a,b,c∈R+, 求证:ab+bc+acba+bc+ac≥9. 【分析】利用柯西不等式证明其他不等式时,关键是构造两
组数,向着柯西不等式的形式转化.本例中对应三维柯西不等式,
记 a1=
ab,a2=
bc,a3=
ac,b1=
b a,
b2= bc,b3= ac,而 a1b1=a2b2=a3b3=1,因而得证.
思考探究
三维形式的柯西不等式中等号成立的条件写成
ab11=ba22=
a3 b3
可以吗?
提示 不可以.因为若出现 bi=0(i=1,2,3)的情况,则分式
不成立了,但是,可以利用分式的形式来形象地记忆.
名师点拨 1.三维形式的柯西不等式 三维形式的柯西不等式可以对比二维形式的柯西不等式来 理解和记忆,一般形式的柯西不等式又可以参照三维形式的柯 西不等式来理解和推广,这样易于记忆不等式的结构特征,对 不等式等号成立的条件加深理解.
《一般形式的柯西不等式》课件 (共14张PPT)

2 2 2 2 1 2 2 2 n
(1 a1 1 a2 1 an )
2 1 2 2 2 n
2
n(a a a ) (a1 a2 an ) 1 2 2 2 2 (a1 a 2 a n ) a1 a2 a n n
2
例2 已 知a , b, c , d是 不 全 相 等 的 正 数 ,证明 a b c d ab bc cd da
2 2 2 2
证明 : (a 2 2 c 2 d 2 )(b 2 c 2 d 2 a 2 ) (ab bc cd da )2 a b c d a , b, c , d是不全相等的正数, 不成立 b c d a (a 2 b 2 c 2 d 2 )2 (ab bc cd da )2 即 a 2 b 2 c 2 d 2 ab bc cd da
一般形式的柯西不等式
教学要求:认识一般形式的柯西不等式, 会用函数思想方法证明一般形式的柯西 不等式,并应用其解决一些不等式的问 题. 教学重点:会证明一般形式的柯西不等 式,并能应用. 教学难点:理解证明中的函数思想.
一、复习准备: 提问:1、二维形式的柯西不等式?
提问:2、柯西不等式的向量形式?
提问:3、(2)式如何得到(1)式?
二、讲授新课: 1. 一般形式的柯西不等式:
2. 教学柯西不等式的应用:
例1 已 知a1 , a2 , , an都 是 实 数 ,求 证 1 2 2 2 (a1 a2 an )2 a1 a2 an n
证 明: (1 1 1 )(a a a )
P 41 6. 设x1 , x 2 ,xn R , 且x1 x2 xn 1,
(1 a1 1 a2 1 an )
2 1 2 2 2 n
2
n(a a a ) (a1 a2 an ) 1 2 2 2 2 (a1 a 2 a n ) a1 a2 a n n
2
例2 已 知a , b, c , d是 不 全 相 等 的 正 数 ,证明 a b c d ab bc cd da
2 2 2 2
证明 : (a 2 2 c 2 d 2 )(b 2 c 2 d 2 a 2 ) (ab bc cd da )2 a b c d a , b, c , d是不全相等的正数, 不成立 b c d a (a 2 b 2 c 2 d 2 )2 (ab bc cd da )2 即 a 2 b 2 c 2 d 2 ab bc cd da
一般形式的柯西不等式
教学要求:认识一般形式的柯西不等式, 会用函数思想方法证明一般形式的柯西 不等式,并应用其解决一些不等式的问 题. 教学重点:会证明一般形式的柯西不等 式,并能应用. 教学难点:理解证明中的函数思想.
一、复习准备: 提问:1、二维形式的柯西不等式?
提问:2、柯西不等式的向量形式?
提问:3、(2)式如何得到(1)式?
二、讲授新课: 1. 一般形式的柯西不等式:
2. 教学柯西不等式的应用:
例1 已 知a1 , a2 , , an都 是 实 数 ,求 证 1 2 2 2 (a1 a2 an )2 a1 a2 an n
证 明: (1 1 1 )(a a a )
P 41 6. 设x1 , x 2 ,xn R , 且x1 x2 xn 1,
一般形式的柯西不等式 课件

类型 1 利用柯西不等式求最值(自主研析)
[典例 1] (1)求函数 f(x)= x-6+ 12-x的最大值 及此时 x 的值;
(2)设 2x+3y+5z=29,求函数 u= 2x+1+ 3y+4 + 5z+6的最大值.
解:(1)由柯西不等式得( x-6+ 12-x)2≤(12+ 12)[( x-6)2+( 12-x)2]=2(x-6+12-x)=12,
(1)求 a+b+c 的值; (2)求 1a2+1b2+c2 的最小值.
49 解:(1)因为 f(x)=|x+a|+|x-b|+c≥|(x+a)-(x-b)| +c=|a+b|+c,当且仅当-a≤x≤b 时,等号成立.
又 a>0,b>0,所以|a+b|=a+b,所以 f(x)的最小 值为 a+b+c,
归纳升华 1.我们在使用柯西不等式解决问题时,往往不能直 接应用,需要先对式子的形式进行变化,拼凑出与柯西不 等式相似的结构,继而达到使用柯西不等式的目的,在应 用柯西不等式求最值时,不但要注意等号成立的条件,而 且要善于构造,技巧如下:
(1)巧拆常数;(2)重新安排某些项的次序;(3)改变结 构;(4)添项.
(2)由柯西不等式知:
左边= ab2+ bc2+ ac2·
ba2+
bc2+
ac2≥
ab·
ba+
b c·
bc+
c a·
ac2=
(1+1+1)2=9.
所以原不等式成立.
归纳升华 利用柯西不等式证明某些不等式时,有时需将表达式 适当地变形,因此必须善于分析题目的特征,根据题设条 件,利用添、拆、分解、组合、配方、变量代换、数形结 合等方法,才能发现问题的突破口.
3.定理 3(二维形式的三角不等式)
设 x1,y1,x2,y2∈R,那么 x12+y21+ x22+y22≥ (x1-x2)2+(y1-y2)2.
柯西不等式(一)教学课件

2 2
例 3、已知 x、y R 且 3x2 2 y 2 „ 6 ,求证: 2 x y „ 11.
证明:由柯西不等式可得
a c b d
证法四、 (全量不小于部分) 由于 (a2 b2 )(c2 d 2 ) (ac bd )2 (ad bc)2 所以 (a2 b2 )(c2 d 2 ) …(ac bd )2 .
当且仅当 ad bc 即 时,等号成立
a c b d
定理 1 对任意实数 a,b,c,d ,有 (a2 b2 )(c2 d 2 ) …(ac bd )2 . 当向量 (a, b) 与 (c, d ) 共线,即 时,等号成立.
两
边
平
方
a
得
b
A
a 2 b 2 c 2 d 2 卆 ac bd
即 (a b )(c d ) …(ac bd )
2 2 2 2
2
a
c
当且仅当 OB OA 即
a c
b 时,等号成立. d
定理 1 对任意实数 a,b,c,d ,有 (a2 b2 )(c2 d 2 ) …(ac bd )2 . 当向量 (a, b) 与 (c, d ) 共线,即 时,等号成立.
若 a、b 不全为 0,构造函数
f ( x) (a2 b2 ) x2 2(ac bd ) x (c2 d 2 )
由 f ( x) (ax c)2 (bx d )2 …0 对任意 x R 恒成立 所以 4(ac bd )2 4(a2 b2 )(c2 d 2 ) „ 0 即 (a2 b2 )(c2 d 2 ) …(ac bd )2
注: (1)该不等式称为(二维)柯西不等式;
例 3、已知 x、y R 且 3x2 2 y 2 „ 6 ,求证: 2 x y „ 11.
证明:由柯西不等式可得
a c b d
证法四、 (全量不小于部分) 由于 (a2 b2 )(c2 d 2 ) (ac bd )2 (ad bc)2 所以 (a2 b2 )(c2 d 2 ) …(ac bd )2 .
当且仅当 ad bc 即 时,等号成立
a c b d
定理 1 对任意实数 a,b,c,d ,有 (a2 b2 )(c2 d 2 ) …(ac bd )2 . 当向量 (a, b) 与 (c, d ) 共线,即 时,等号成立.
两
边
平
方
a
得
b
A
a 2 b 2 c 2 d 2 卆 ac bd
即 (a b )(c d ) …(ac bd )
2 2 2 2
2
a
c
当且仅当 OB OA 即
a c
b 时,等号成立. d
定理 1 对任意实数 a,b,c,d ,有 (a2 b2 )(c2 d 2 ) …(ac bd )2 . 当向量 (a, b) 与 (c, d ) 共线,即 时,等号成立.
若 a、b 不全为 0,构造函数
f ( x) (a2 b2 ) x2 2(ac bd ) x (c2 d 2 )
由 f ( x) (ax c)2 (bx d )2 …0 对任意 x R 恒成立 所以 4(ac bd )2 4(a2 b2 )(c2 d 2 ) „ 0 即 (a2 b2 )(c2 d 2 ) …(ac bd )2
注: (1)该不等式称为(二维)柯西不等式;
《柯西不等式》课件

感谢您的观看
THANKS
应用场景
幂和不等式在数学分析和最优化理论等领域有应用,例如在求解约束优化问题、估计函数 的极值以及分析函数的收敛性等方面。
05
习题与解答
习题一:证明柯西不等式
总结词
通过数学推导证明柯西不等式
详细描述
这道习题要求学生掌握柯西不等式的证明方法,通过数学推导和证明,理解柯西不等式的原理和性质 。
习题二:应用柯西不等式解决问题
总结词
运用柯西不等式解决实际问题
详细描述
这道习题要求学生能够运用柯西不等式解决实际问题,如最大值、最小值问题等,培养学生的数学应用能力。
习题三:探索柯西不等式的变体
总结词
研究柯西不等式的变体形式
详细描述
这道习题要求学生探索柯西不等式的变体形式,理解不同形式的不等式及其应用,培养学生的数学探究能力。
详细描述
平方和不等式是指对于任意非负实数序列a_1, a_2, ..., a_n,有(a_1^2 + a_2^2 + ... + a_n^2)(b_1^2 + b_2^2 + ... + b_n^2) >= (a_1b_1 + a_2b_2 + ... + a_nb_n)^2。
应用场景
平方和不等式在数学、物理和工程领域有广泛的应用,例如在求解最优 化问题、估计数值稳定性以及分析信号处理中的频率响应等方面。
时。
数学期望
柯西不等式在大数定律的研究中也有应用, 如在研究强大数定律和弱大数定律时。
大数定律
利用柯西不等式,可以推导出一些数学期望 的性质和计算方法。
概率不等式
柯西不等式在概率不等式的证明中也有应用 ,如Chebyshev不等式等。
柯西不等式(二)教学课件

1 4 9 即 …36. a b c
例 3、已知 a、b、c、x、y、z R 且 a2 b2 c2 25, x2 y 2 z 2 36 ,
abc ax by cz 30 ,求 的值. x yz
证明:由于柯西不等式有
302 (ax by cz)2 „ (a2 b2 c2 )( x2 y 2 z 2 ) 25 36 900 ,
1 4 9 例 2、已知 a、b、c R ,且 a b c 1 ,求证: …36. a b c
证明:由于柯西不等式可知
1 4 9 1 4 9 1 2 3 2 (a b c)( ) …( a b c ) 36. a b c a b c a b c
1.2一般形式的柯西不等式
一、复习回顾
定理 1(二维柯西不等式) 对任意实数 a,b,c,d ,有 (a2 b2 )(c2 d 2 ) …(ac bd )2 .
a b 当向量 (a, b) 与 (c, d ) 共线,即 时,等号成立. c d
注:(1)不等式的证明方法 (2)柯西不等式的应用技巧
a1 x b1 0 a x b 0 a a 2 当且仅当 2 即 1 2 b1 b2 an x bn 0
an 时,等号成立. bn
理
2
设 a1, a2 , , an 与 b1 , b2 , , bn 是 两 组 实 数 , 则 有
an2 )(b12 b22 bn2 ) …(a1b1 a2b2 anbn )2 .
a1 a2 即 b1 b2 an 时,等号成立. bn
定理 2 设 a1, a2 , , an 与 b1 , b2 , , bn 是两组实数,则有
例 3、已知 a、b、c、x、y、z R 且 a2 b2 c2 25, x2 y 2 z 2 36 ,
abc ax by cz 30 ,求 的值. x yz
证明:由于柯西不等式有
302 (ax by cz)2 „ (a2 b2 c2 )( x2 y 2 z 2 ) 25 36 900 ,
1 4 9 例 2、已知 a、b、c R ,且 a b c 1 ,求证: …36. a b c
证明:由于柯西不等式可知
1 4 9 1 4 9 1 2 3 2 (a b c)( ) …( a b c ) 36. a b c a b c a b c
1.2一般形式的柯西不等式
一、复习回顾
定理 1(二维柯西不等式) 对任意实数 a,b,c,d ,有 (a2 b2 )(c2 d 2 ) …(ac bd )2 .
a b 当向量 (a, b) 与 (c, d ) 共线,即 时,等号成立. c d
注:(1)不等式的证明方法 (2)柯西不等式的应用技巧
a1 x b1 0 a x b 0 a a 2 当且仅当 2 即 1 2 b1 b2 an x bn 0
an 时,等号成立. bn
理
2
设 a1, a2 , , an 与 b1 , b2 , , bn 是 两 组 实 数 , 则 有
an2 )(b12 b22 bn2 ) …(a1b1 a2b2 anbn )2 .
a1 a2 即 b1 b2 an 时,等号成立. bn
定理 2 设 a1, a2 , , an 与 b1 , b2 , , bn 是两组实数,则有
第3讲2一般形式的柯西不等式课件人教新课标

当且仅当bi=0(i=1,2,…,n)或存在一个数k,使得ai=kbi(i=1,2,…,n)
时等号成立.
题型探究
类型一 利用柯西不等式证明不等式 命题角度1 三维情势的柯西不等式的应用 例1 设a,b,c为正数,且不全相等. 求证:a+2 b+b+2 c+c+2 a>a+9b+c.
证明
反思与感悟 有些问题一般不具备直接应用柯西不等式的条件,可以通过: (1)构造符合柯西不等式的情势及条件,可以巧拆常数. (2)构造符合柯西不等式的情势及条件,可以重新安排各项的次序. (3)构造符合柯西不等式的情势及条件,可以改变式子的结构,从而到达使 用柯西不等式的目的. (4)构造符合柯西不等式的情势及条件,可以添项.
∴a+2b+3c的最小值为9.
1234
解析 答案
3.设 a,b,c,d 均为正实数,则(a+b+c+d)1a+b1+1c +1d的最小值为 __1_6_____.
解析 (a+b+c+d)1a+1b+1c+1d
=[(
a)2+(
b)2+(
c)2+(
d)2]·
1a2+
1b2+
1c2+
1
2
d
≥
a·1a+
a2b2+a3b3)2 ,当且仅当 b1=b2=b3=0或存在一个数 k,使得 ai=kbi
(i=1,2,3)时等号成立.
知识点二 一般情势的柯西不等式
1.一般形式的柯西不等式 设 a1,a2,a3,…,an,b1,b2,b3,…,bn 是实数,则(a21+a22+…+a2n)(b21 +b22+…+b2n)≥ (a1b1+a2b2+…+anbn)2 . 2.柯西不等式等号成立的条件
b·1b+
c·1c+
d·1d2
时等号成立.
题型探究
类型一 利用柯西不等式证明不等式 命题角度1 三维情势的柯西不等式的应用 例1 设a,b,c为正数,且不全相等. 求证:a+2 b+b+2 c+c+2 a>a+9b+c.
证明
反思与感悟 有些问题一般不具备直接应用柯西不等式的条件,可以通过: (1)构造符合柯西不等式的情势及条件,可以巧拆常数. (2)构造符合柯西不等式的情势及条件,可以重新安排各项的次序. (3)构造符合柯西不等式的情势及条件,可以改变式子的结构,从而到达使 用柯西不等式的目的. (4)构造符合柯西不等式的情势及条件,可以添项.
∴a+2b+3c的最小值为9.
1234
解析 答案
3.设 a,b,c,d 均为正实数,则(a+b+c+d)1a+b1+1c +1d的最小值为 __1_6_____.
解析 (a+b+c+d)1a+1b+1c+1d
=[(
a)2+(
b)2+(
c)2+(
d)2]·
1a2+
1b2+
1c2+
1
2
d
≥
a·1a+
a2b2+a3b3)2 ,当且仅当 b1=b2=b3=0或存在一个数 k,使得 ai=kbi
(i=1,2,3)时等号成立.
知识点二 一般情势的柯西不等式
1.一般形式的柯西不等式 设 a1,a2,a3,…,an,b1,b2,b3,…,bn 是实数,则(a21+a22+…+a2n)(b21 +b22+…+b2n)≥ (a1b1+a2b2+…+anbn)2 . 2.柯西不等式等号成立的条件
b·1b+
c·1c+
d·1d2
二维形式的柯西不等式 课件

又∵(p+q)2≤2(p2+q2),
( p q)2
( p q)2
∴ 2 ≤p2+q2≤ 2 p+q,∴ 2 ≤ 2· p+q,则(p+q)4≤8(p+q).
又 p+q>0,∴(p+q)3≤8,故 p+q≤2.
使用二维柯西不等式的向量形式证明不等式,关键是合理构造出两个向量. 同时,要注意向量模的计算公式|a|= x2+y2对数学式子变形的影响.
1.利用柯西不等式求最值,不但要注意等号成立的条件,而且要善于配 凑,保证出现常数结果. 2.常用的配凑的技巧有:①巧拆常数;②重新安排某些项的次序;③适 当添项;④适当改变结构,从而达到运用柯西不等式求最值的目的.
2.若 3x+4y=2,试求 x2+y2 的最小值及最小值点.
【解】 由柯西不等式(x2+y2)(32+42)≥(3x+4y)2,得 25(x2+y2)≥4.
【证明】 根据柯西不等式,有
[(2-a)+(2-b)]2-a2 a+2-b2 b=[(
2-a)2+(2-b)源自]2a-a2+b2
2-b
≥
2-a· 2a-a+
2-b· 2b-b2=(a+b)2=4.
∴2-a2a+2-b2b≥2-a+4 2-b=2,
当且仅当 2-a· 2b-b= 2-b· 2a-a,
二维形式的柯西不等式
教材整理 二维形式的柯西不等式
内容
等号成立的条件
代数形式
若 a,b,c,d 都是实数,则(a2 当且仅当 ad=bc 时,等号成立
+b2)·(c2+d2)≥ (ac+bd)2
向量形式 三角形式
设 α , β 是 两 个 向 量 , 则 当且仅当 β是零向量 ,或 存在实数k,
题型二、运用柯西不等式求最值
人教A版选修4-5 第三章 一 二维形式的柯西不等式 课件(29张)

【解】 (1)设 m=coas θ,sinb θ,n=(cos θ,sin θ),
则|a+b|=coas
θ·cos
θ+sinb
θ·sin
θ
=|m·n|≤|m||n|
=
a cos
θ2+sinb
θ2·
1
= coas22θ+sibn22θ,
所以(a+b)2≤coas22θ+sibn22θ.
栏目 导引
第三讲 柯西不等式与排序不等式
利用柯西不等式求最值 (1)先变形凑成柯西不等式的结构特征,是利用柯西不等式求解 的先决条件; (2)有些最值问题从表面上看不能利用柯西不等式,但只要适当 添加上常数项或和为常数的各项,就可以应用柯西不等式来解, 这也是运用柯西不等式解题的技巧; (3)有些最值问题的解决需要反复利用柯西不等式才能达到目 的,但在运用过程中,每运用一次前后等号成立的条件必须一 致,不能自相矛盾,否则就会出现错误.多次反复运用柯西不 等式的方法也是常用技巧之一.
栏目 导引
第三讲 柯西不等式与排序不等式
已知 a,b∈R+,且 a+b=1,求证:(ax+by)2 ≤ax2+by2. 证明:设 m=( ax, by),n=( a, b), 则|ax+by|=|m·n|≤|m||n| = ( ax)2+( by)2· ( a)2+( b)2 = ax2+by2· a+b = ax2+by2, 所以(ax+by)2≤ax2+by2.
栏目 导引
第三讲 柯西不等式与排序不等式
已知 a,b 都是正实数,且 ab=2, 求证:(1+2a)(1+b)≥9. 证明:因为 a,b 都是正实数, 所以由柯西不等式可知(1+2a)(1+b) =[12+( 2a)2][12+( b)2]≥(1+ 2ab)2, 当且仅当 a=1,b=2 时取等号. 因为 ab=2, 所以(1+ 2ab)2=9, 所以(1+2a)(1+b)≥9.
二维形式的柯西不等式 课件

[思维启迪] 利用柯西不等式的关键是找出相应的两组 数,对柯西不等式的原型,两组数可取为
a1b1, a2b2; ab11, ab22.
证明 ∵(a1b1+a2b2)ba11+ab22
=[( a1b1)2+( a2b2)2]
ab112+
ba222≥
a1b1·
ba11+
a2b2·
ab222=(a1+a2)2.
提示
∵cos〈α,β〉=|αα|·|ββ|=
a1b1+a2b2 a12+a22 b21+b22
∴cos2〈α,β〉=a21a+1ba122+ba212+b2b222≤1,
即(a12+a22)(b12+b22)≥(a1b1+a2b2)2,
a21+a22· b21+b22≥|a1b1+a2b2|.
∴|α||β|≥|α·β|,等号成立的充要条件为 α=λβ (λ≠0).
二维形式的柯西不等式
1.二维形式的柯西不等式
(1) 定 义 : 若 a , b , c , d 都 是 实 数 , 则 (a2+ b2)(c2+ 形式的柯西不等式的一些变式 变式 1: a2+b2· c2+d2≥|ac+bd|(当且仅当 ad=bc 时,等 号成立) 变式 2:(a+b)(c+d)≥( ac+ bd)2.(a,b,c,d∈R+,当 且仅当 ad=bc 时,等号成立) 变式 3: a2+b2· c2+d2≥|ac|+|bd|(当且仅当|ad|=|bc|时, 等号成立)
∴原不等式得证.
题型二 利用柯西不等式求函数的最值 【例 3】 求函数 y=5 x-1+ 10-2x的最大值.
[思维启迪] 变形 → 构造柯西不等式的形式 → 巧拆常数 → 凑出定值 解 函数的定义域为{x|1≤x≤5}. y=5 x-1+ 2 5-x≤ 52+2 x-1+5-x = 27×2=6 3, 当且仅当 5 5-x= 2 x-1, 即 x=12277时取等号,故函数的最大值为 6 3.
a1b1, a2b2; ab11, ab22.
证明 ∵(a1b1+a2b2)ba11+ab22
=[( a1b1)2+( a2b2)2]
ab112+
ba222≥
a1b1·
ba11+
a2b2·
ab222=(a1+a2)2.
提示
∵cos〈α,β〉=|αα|·|ββ|=
a1b1+a2b2 a12+a22 b21+b22
∴cos2〈α,β〉=a21a+1ba122+ba212+b2b222≤1,
即(a12+a22)(b12+b22)≥(a1b1+a2b2)2,
a21+a22· b21+b22≥|a1b1+a2b2|.
∴|α||β|≥|α·β|,等号成立的充要条件为 α=λβ (λ≠0).
二维形式的柯西不等式
1.二维形式的柯西不等式
(1) 定 义 : 若 a , b , c , d 都 是 实 数 , 则 (a2+ b2)(c2+ 形式的柯西不等式的一些变式 变式 1: a2+b2· c2+d2≥|ac+bd|(当且仅当 ad=bc 时,等 号成立) 变式 2:(a+b)(c+d)≥( ac+ bd)2.(a,b,c,d∈R+,当 且仅当 ad=bc 时,等号成立) 变式 3: a2+b2· c2+d2≥|ac|+|bd|(当且仅当|ad|=|bc|时, 等号成立)
∴原不等式得证.
题型二 利用柯西不等式求函数的最值 【例 3】 求函数 y=5 x-1+ 10-2x的最大值.
[思维启迪] 变形 → 构造柯西不等式的形式 → 巧拆常数 → 凑出定值 解 函数的定义域为{x|1≤x≤5}. y=5 x-1+ 2 5-x≤ 52+2 x-1+5-x = 27×2=6 3, 当且仅当 5 5-x= 2 x-1, 即 x=12277时取等号,故函数的最大值为 6 3.
柯西不等式课件

2,当且仅当 b =0( i =1,2,3,…, n )或存在一个数 k ,
+…+
a
b
)
2
n n
i
使得 ai = kbi ( i =1,2,3,…, n )时,等号成立.
利用函数知识证明柯西不等式.
[证明] 构造二次函数
f ( x )=( a 1 x + b 1)2+( a 2 x + b 2)2+…+( anx + bn )2
法,构造向量法是三种常见的证明方法.
跟踪训练
4. 请用数学归纳法证明柯西不等式.
证明:(1)当 n =1时,左式=( a 1 b 1)2,右式=( a 1 b 1)2,
显然,左式=右式;
当 n =2时,左式=( 12 + 22 )( 12 + 22 )=( a 1 b 1)2+( a 2 b 2)2+ 22 12 +
个是零向量,则规定 a ·b =0,上面的结果仍然正确.
请利用此结论证明下列问题:已知 p , q ∈R+,且 p 3+ q 3=2.求证: p
+ q ≤2.
[证明]
p , q ∈R+,且 p 3+ q 3=2,设 a =( 3 , 3 ), b =( ,
),由向量数量积知| a || b |≥| a ·b |,则| a |2·| b |2≥( a ·b )2,
+ 2 )≤0,
例3
即( a 1 b 1+ a 2 b 2+…+ anbn )2≤( 12 + 22 +…+ 2 )( 12 + 22 +…+ 2 ),
1
2
当且仅当 aix + bi =0( i =1,2… n )即 = =…= 时等号成立.
1
2
方法总结
柯西不等式的证明方法很多,有十几种,其中构造函数、数学归纳
+…+
a
b
)
2
n n
i
使得 ai = kbi ( i =1,2,3,…, n )时,等号成立.
利用函数知识证明柯西不等式.
[证明] 构造二次函数
f ( x )=( a 1 x + b 1)2+( a 2 x + b 2)2+…+( anx + bn )2
法,构造向量法是三种常见的证明方法.
跟踪训练
4. 请用数学归纳法证明柯西不等式.
证明:(1)当 n =1时,左式=( a 1 b 1)2,右式=( a 1 b 1)2,
显然,左式=右式;
当 n =2时,左式=( 12 + 22 )( 12 + 22 )=( a 1 b 1)2+( a 2 b 2)2+ 22 12 +
个是零向量,则规定 a ·b =0,上面的结果仍然正确.
请利用此结论证明下列问题:已知 p , q ∈R+,且 p 3+ q 3=2.求证: p
+ q ≤2.
[证明]
p , q ∈R+,且 p 3+ q 3=2,设 a =( 3 , 3 ), b =( ,
),由向量数量积知| a || b |≥| a ·b |,则| a |2·| b |2≥( a ·b )2,
+ 2 )≤0,
例3
即( a 1 b 1+ a 2 b 2+…+ anbn )2≤( 12 + 22 +…+ 2 )( 12 + 22 +…+ 2 ),
1
2
当且仅当 aix + bi =0( i =1,2… n )即 = =…= 时等号成立.
1
2
方法总结
柯西不等式的证明方法很多,有十几种,其中构造函数、数学归纳
高二数学课件 柯西不等式

定理 设 a1, a2 , a3,..., an ,b1,b2 ,b3,..., bn 是实数,则
(a12 a22 ... an2 ) (b12 b22 ... bn2 ) (a1b1 a2b2 ... anbn )2
当且仅当 bi 0 (i=1,2,…,n) 或 存在一个
例5 若a>b>c 求证:
11 4 ab bc ac
证明:(a c)( 1 1 ) [(a b) (b c)]( 1 1 )
ab bc
ab bc
(1 1)2 4
∴
11 4 ab bc ac
例6:若 a, b, c R 求证: a b c 3
ab bc ca abc 证明: 2(a b c)( 1 1 1 )
ab bc ca [(a b) (b c) (c a)]( 1 1 1 )
ab bc ca
(1 1 1)2 9
又a、b、c各不相等,故等号不能成立 ∴原不等式成立。
数k使得 ai kbi (i=1,2,…,n) 时等号成立。 以上不等式称为一般形式的柯西不等式。
定理3(二维形式的三角不等式)
设
x1,
y, 1
x
,
2
y 2
R
,那么
x12 y12 x22 y22 (x1 x2 )2 ( y1 y2 )2
一般形式的三角不等式
x12 y12 z12 x22 y22 z22 ( x1 x2 )2 ( y1 y2 )2 ( z1 z2 )2
bc ca ab 2 分析:左端变形 a 1 b 1 c 1
二维形式的柯西不等式-PPT课件

(2)推论:对于任意的 x1,x2,x3,y1,y2,y3∈R,有 x1-x32+y1-y32+ x2-x32+y2-y32
≥ x1-x22+y1-y22. 事实上,在平面直角坐标系中,设点 P1、P2、P3 的坐标 分别为(x1,y1)、(x2,y2)、(x3,y3),根据△P1P2P3 的边长关系 有|P1P3|+|P2P3|≥|P1P2|,当且仅当三点 P1、P2、P3 共线,并 且点 P1、P2 在 P3 点的异侧时,等号成立.
3.设 a,b,c 为正数,
求证: a2+b2+ b2+c2+ a2+c2≥ 2(a+b+c). 证明:由柯西不等式:
a2+b2· 12+12≥a+b,
Байду номын сангаас
即 2· a2+b2≥a+b.
同理: 2· b2+c2≥b+c,
2· a2+c2≥a+c,
将上面三个同向不等式相加得:
2
a2+b2+
∴ a2+b2+
2.已知 a1,a2,b1,b2 为正实数. 求证:(a1b1+a2b2)(ab11+ab22)≥(a1+a2)2. 证明:(a1b1+a2b2)(ab11+ba22)=[( a1b1)2+( a2b2)2][( ba11)2 +( ab22)2]≥ ( a1b1· ab11+ a2b2· ab22)2=(a1+a2)2.
6.求函数 f(x)= x-6+ 12-x的最大值及此时 x 的值.
解:函数的定义域为[6,12],由柯西不等式得 ( x-6+ 12-x)2≤(12+12)[( x-6)2+( 12-x)2]=2(x -6+12-x)=12, 即 x-6+ 12-x≤2 3. 故当 x-6= 12-x时 即 x=9 时函数 f(x)取得最大值 2 3.
人教A版高中数学选修4-5第三讲二一般形式的柯西不等式上课课件

例3
已知x+2y+3z=1以及 x2+y2+z2 的最小值.
分析 由x+2y+3z=1以及 x2+y2+z2 的情势,联 系柯西不等式,可以通过构造(12+22+32) 作为一个因式而解决问题.
解:
根据柯西不等式,得
x 2 y 2 z2 12 2 2 32 x 2 y 3z 2 1,
例1
已知a1 , a2,...,an为实数,
试证:1
n
a1 a2 ... an
2 a12 a22 ... an2 .
分析
用n乘要证的式子两边,能使式 子变成明显符合柯西不等式的情势.
证明
根据柯西不等式,有 (12+12+…+12)(a12+a22+…+an2)
≥(1×a1+ 1×a2+…+ 1×an)2,
证明
根据柯西不等式,有
a2 b2 c2 d 2 b2 c2 d 2 a2 ab c cd da 2
因为a, b, c, d 是不全相等的正数,所以等式
a b c d 不成立, bcd a
所以
a2 b2 c2 d 2
2
ab
bc
cd
da 2
,
即a2 b2 c2 d 2ab bc cd da
新课导入
回顾旧知
1.二维情势的柯西不等式的代数情势? 若a,b,c,d都是实数, 则(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2,当且仅当 ad=bc时,等号成立.
2.二维情势的柯西不等式的向量情势?
设αβ是两个向量,则│α.β│≤│α││β│, 当且仅当β是零向量,或存在实数k,使α=kβ 时,等号成立.
《柯西不等式》课件

推广柯西不等式
1
多维向量
柯西不等式不仅适用于二维向量,还可以推广到任意维度的向量空间中。
2
不等式链
我们还将介绍其他与柯西不等式相关的不等式,如广义柯西不等式和卡尔曼不等 式。
3
应用举例
最后,我们将通过一些实际例子,展示推广柯西不等式在不同领域中的具体应用。
柯西不等式的变形
数学运算
我们将探讨柯西不等式在数学 运算中的一些变形,如加权柯 西不等式和积分形式的柯西不 等式。
数据分析
优化问题
另外,我们还将研究柯西不等 式在数据分析和统计学中的一 些变体,如协方差和相关系数。
最后,我们将介绍柯西不等式 在优化问题中的应用,如线性 规划和最优化算法。
结论和要点
通过本课程的学习,我们深入理解了柯西不等式的概念、推导方法、应用领 域与变形形式。希望大家能够将这一重要数学理论应用于实际问题中,推动 科学研究和技术发展的进步。
《柯西不等式》PPT课件
欢迎大家来到今天的课程,我们将深入探讨柯西不等式,一个在数学和物理 领域中非常重要的理论。
什么是柯西不等式?
柯西不等式是一种用于描述向量空间中内积的不等式定理。它指出了内积的性质,以及在不同情况下如 何利用该不等式进行数学推导和证明。
推导柯西不等式
1
内积定义
首先,我们回顾向量空间中的内积定义及其性质,为后续推导做好铺垫。
机器学习算法
柯西不等式在机器学习领域中 的应用是优化算法和提高模型 性能的关键。
柯西不等式的证明
几何证明
通过几何图形的推导,我 们可以直观地理解柯西不 等式的成立原理。
代数证明
另外,我们也可以通过代 数运算和数学推导,证明 柯西不等式在一般情况下 的有效性。
一般形式的柯西不等式 课件

分析:已知条件中 a1+a2+…+an=1,可以看作“1” 的代换,而要证明不等式左侧,“数式”已经可以看出来,
为
a1 , a1+a2
a2 ,…,所以 a2+a3
a1+a2+…+an=1,应扩大
2 倍后再利用,本题还可柯西不等式,得 左=a1+a21 a2+a2+a22 a3+…+an-a12n+-1 an+an+a2n a1 =[(a1+a2)+(a2+a3)+…+(an-1+an)+(an+a1)]
法三:对于不等式左边的第一个公式a1+a21 a2,
配制辅助式 k(a1+a2),k 为待定系数,这里 k 取14,则
a1+a21 a2+14(a1+a2)≥2
a1+a21 a2×14a1+a2=a1,
同理a2+a22 a3+14(a2+a3)≥a2,
…
an-a12n+-1 an+14(an-1+an)≥an-1, an+a2n a1+14(a1+an)≥an,
已知 a,b,c∈R+,求证:
ba+bc+caba+bc+ac≥9.
分析:对应三维形式的柯西不等式,a1= ba,
a2= bc,a3= ca,b1= ba,b2= bc,b3= ac, 而 a1b1=a2b2=a3b3=1,因而得证.
证明:由柯西不等式,知左边
= ba2+ bc2+ ac2× ba2+ bc2+ ca2 ≥ ba× ba+ bc× bc+ ac× ac2
一般形式的柯西不等式
1.柯西不等式向量形式:|α||β|___≥_____|α·β|.
2.定理:(柯西不等式的推广形式):设 n 为大于 1 的自然数,ai,bi(i=1,2,…,n)为任意实数,
nn
n
则:a2i b2i ____≥____(aibi)2,
人教A版数学选修4-5《二维形式的柯西不等式》 (共15张PPT)课件

2
+ −
2
.
分析:平方 → 应用柯西不等式
.
2
+ 2
2
+ 2
2
证明:∵
+
= 2 + 2 + 2 2 + 2 • 2 + 2 + 2 + 2
≥ 2 + 2 + 2| + | + 2 + 2
≥ 2 + 2 − 2( + ) + 2 + 2
.
二、讲授新课:
1. 二维形式的柯西不等式:
定理1 (二维形式的柯西不等式
) 若a , b, c , d都是
实数, 则 (a 2 b 2 )(c 2 d 2 ) (ac bd )2
当且仅当ad bc时, 等号成立.
你能简明地写出这个定理的其它证明?
∵(a2+b2)(c2+d2)
当且仅当ad bc时, 等号成立.
( 2) a 2 b 2
c 2 d 2 ac bd
( 3) a 2 b 2
c 2 d 2 ac bd
(4)柯西不等式的向量形式 .当且仅当
是零向量, 或存在实数k , 使 k 时,等号成立.
证明:
= a2c2+b2d2+a2d2+ b2c2
=(ac+bd)2+(ad-bc)2
∵(ad-bc)2≥0,
∴ (a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2
(1)
当且仅当ad=bc时,等号成立.
)
二维形式的柯西不等式的变式:
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15
7 4 4 x 5 y 6 z 15
2 7
而(4x+5y+6z)2≤(x2+y2+z2)(42+52+62)
x2+y2+z2
225 44
例 5 .已知 x 1 , x 2 , , x n R , 求证 x1
2
x2
2
x n 1 xn
2
xn
2
x2
x3
x1
x1 x 2 x n .
2 2 2
a , b , c , d , e 满足 a b c d e 8 ,
2
e 16 , 求 e 的取值范围
2
.
解 : 4(a
2
b c d )
2
2
2
2
( 1 1 1 1 )( a (a b c d)
2 2 2
b c d )
变式 .设 x 1 ,x 2 , x n R , 且 x 1 x 2 x n 1, 求证 : x1
2
1 x1
x2
2
1 x2
xn
2
1 xn
1 n 1
变式 .设 x 1 ,x 2 , x n R , 且 x 1 x 2 x n 1, 求证 : x1
2
9 y 的最小值为
2
1
1 1 , 最小值点为 ( , ) 2 4 6
例 3 .已知实数 m , n 0 (1)求证: a
2
b
2
(a b) mn 9 1 2x
2
; 1 2 )的最小值。
m ( 2)求函数 y
n 2 x
, x (0,
例4.Δ ABC之三边长为4,5,6,P为三角形 內部一点P,P到三边的距离分別为x,y,z, 求x2+y2+z2的最小值。
( x 1 + y 1 + z1 ) + ( x 2 + y 2 + z 2 )
2 2 2 2 2 2
( x 1 - x 2 ) +( y 1 - y 2 ) ( z 1 - z 2 )
2
2
2
柯西不等式的一般形式
设a1,a2 ,a3 , … ,an ,b1 ,b2 ,b3 , …,bn 是实数,则
变式引申:
若 2 x 3 y 1, 求 4 x
解 : 由柯西不等式 4x
2
2
9 y 的最小值 , 并求最小值点
2
2
.
(4 x .
9 y )( 1 1 ) ( 2 x 3 y )
2
2
2
2
1,
9y
2
1 2
当且仅当 2 x 1 3 y 1 , 即 2 x 3 y 时取等号 . 1 x 4 2 x 3 y 由 得 1 2 x 3 y 1 y 6 4x
1 x1
1 x2
x2
) ( 1 x1 xn 1 xn
2
x1 1 x1
1 x2
1 x2
2
1 xn
) ( x1 x 2 x n ) 1
x1
2
1 x1
x2
2
1 x2
xn
2
1 xn
1 n1
例 6 已知实数 a b c d
2
1 x1
x2
2
2
1 x2
x2
2
xn
2
1 xn
xn
2
1 n 1
) x2
2
证明 : ( n 1 ) (
x1
1 x1
1 x2
1 xn x1
2
(1 x 1 1 x 2 1 x n ) ( xn 1 xn
2
2 2 2 2 2
当且仅当 a d = b c 时等号成立. (二维形式的柯西不等式) 若 a ,b ,c ,d 都是实数,则
a b c d | ac bd |
2 2 2 2
当且仅当 a d = b c 时等号成立.
柯西不等式的向量形式
β 设 α , 是两个向量,则
| || || |
(a1 a2 an )(b1 b2 bn ) (a1b1 a2b2 anbn )
2 2 2 2 2 2 2
当且仅当bi=0(i=1 ,2 ,3 , …,n)或 bi≠0(i=1 ,2 ,3 , … ,n)时, 等号成立.
a1 b1 = a
2
2
2
即 4 ( 16 e ) ( 8 e ) , 即 64 4 e 5 e 16 e 0 , 故 0 e
2
2
64 16 e e
2
16 5
(二维形式的柯西不等式)
若 a ,b ,c ,d 都是实数,则
(a + b )(c + d ) (ac + bd)
C
6 F z x A D 4 B P y E 5
C
6
解: s
456 2
15 2
A
F z x D 4 B P y E 5
ABC面积=
s ( s a )( s b )( s c ) 15 2
7 2
5 2
3 2
15 4
7
又
1 2
(4 x 5 y 6 z )
柯西不等式
例1. 求函数
引:
y 5
x 1
10 2 x
的最大值
若 2 x 3 y 1, 求 4 x 9 y 的 最 小 值 , 并 求 最 小 值 点 .
2 2
例2.设实数 x , y , z 满足 x 2 y 3 z 3 ,
2 2 2
求 S x 2 y 3 z 的最大值
当且仅当 β 是零向量,或存在k实数使
α = kβ
时,等号成立.
二维形式的三角不等式
设 x 1 ,y 1 ,x 2 ,y 2 R , 那么
(x1 + y1 ) + (x 2 + y 2 )
2 2 2 2
( x 1 - x 2 ) +( y 1 - y 2 )
2
2
三维形式的三角不等式
设 x 1 ,y 1 ,z 1 ,x 2 ,y 2 ,z 2 R , 那么
注:简记;积和方不大于方和积
n
ai
2
i 1
n
bi
2
i 1
( a i bi )
i 1
n
2
练习:
1.已知: n m
2
2
2, a
2
b
2
1 ,
证明:
2 am bn
2
2 。
2x y z x 2y z
2 2
2.设x,y,zR,求 最大值。
的
3.求函数 f ( x ) a sin x b cos x 在 ( 0 , ) 上 2 的最大值,其中a,b为正常数.