柯西不等式课件

1.
2.
变式引申:
若 2 x 3 y 1, 求 4 x
解 : 由柯西不等式 4x
2
2
9 y 的最小值 , 并求最小值点
2
2
.
(4 x .
9 y )( 1 1 ) ( 2 x 3 y )
2
2
2
2
1,
9y
2

1 2
当且仅当 2 x 1 3 y 1 , 即 2 x 3 y 时取等号 . 1 x 4 2 x 3 y 由 得 1 2 x 3 y 1 y 6 4x
1 x1

1 x2
x2
) ( 1 x1 xn 1 xn
2
x1 1 x1
1 x2
1 x2
2

1 xn
) ( x1 x 2 x n ) 1

x1
2
1 x1

x2
2
1 x2

xn
2
1 xn

1 n1
例 6 已知实数 a b c d
(a1 a2 an )(b1 b2 bn ) (a1b1 a2b2 anbn )
2 2 2 2 2 2 2
当且仅当bi=0(i=1 ,2 ,3 , …,n)或 bi≠0(i=1 ,2 ,3 , … ,n)时, 等号成立.
a1 b1 = a2 b2 = = an bb
2

1 x1

x2
2
2
1 x2


x2
2
xn
2
1 xn

xn
2
1 n 1
) x2
2
证明 : ( n 1 ) (
x1
1 x1
1 x2

1 xn x1
2
(1 x 1 1 x 2 1 x n ) ( xn 1 xn
2
变式 .设 x 1 ,x 2 , x n R , 且 x 1 x 2 x n 1, 求证 : x1
2

1 x1

x2
2
1 x2

xn
2
1 xn

1 n 1
变式 .设 x 1 ,x 2 , x n R , 且 x 1 x 2 x n 1, 求证 : x1
当且仅当 β 是零向量，或存在k实数使
α = kβ
时，等号成立．
二维形式的三角不等式
设 x 1 ,y 1 ,x 2 ,y 2 R , 那么
(x1 + y1 ) + (x 2 + y 2 )
2 2 2 2
( x 1 - x 2 ) +( y 1 - y 2 )
2
2
三维形式的三角不等式
设 x 1 ,y 1 ,z 1 ,x 2 ,y 2 ,z 2 R , 那么
2
2
2
即 4 ( 16 e ) ( 8 e ) , 即 64 4 e 5 e 16 e 0 , 故 0 e
2
2
64 16 e e
2
16 5
（二维形式的柯西不等式）
若 a ,b ,c ,d 都是实数，则
(a + b )(c + d ) (ac + bd)
( x 1 + y 1 + z1 ) + ( x 2 + y 2 + z 2 )
2 2 2 2 2 2
( x 1 - x 2 ) +( y 1 - y 2 ) ( z 1 - z 2 )
2
2
2
柯西不等式的一般形式
设a1,a2 ,a3 , … ,an ,b1 ,b2 ,b3 , …,bn 是实数,则
柯西不等式
例1. 求函数
引：
y 5
x 1
10 2 x
的最大值
若 2 x 3 y 1, 求 4 x 9 y 的 最 小 值 , 并 求 最 小 值 点 .
2 2
例2.设实数 x , y , z 满足 x 2 y 3 z 3 ,
2 2 2
求 S x 2 y 3 z 的最大值
2
9 y 的最小值为
2
1
1 1 , 最小值点为 ( , ) 2 4 6
例 3 .已知实数 m , n 0 （1）求证： a
2

b
2

(a b) mn 9 1 2x
2
; 1 2 )的最小值。
m （ 2）求函数 y
n 2 x
, x (0,
例4.Δ ABC之三边长为4，5，6，P为三角形 內部一点P，P到三边的距离分別为x，y，z， 求x2+y2+z2的最小值。
15
7 4 4 x 5 y 6 z 15
2 7
而(4x+5y+6z)2≤(x2+y2+z2)(42+52+62)
x2+y2+z2
225 44
例 5 .已知 x 1 , x 2 , , x n R , 求证 x1
2


x2
2

x n 1 xn
2

xn
2
x2
x3
x1
x1 x 2 x n .
2 2 2
a , b , c , d , e 满足 a b c d e 8 ,
2
e 16 , 求 e 的取值范围
2
.
解 : 4(a
2
b c d )
2
2
2
2
( 1 1 1 1 )( a (a b c d)
2 2 2
b c d )
2 2 2 2 2
当且仅当 a d = b c 时等号成立． （二维形式的柯西不等式） 若 a ,b ,c ,d 都是实数，则
a b c d | ac bd |
2 2 2 2
当且仅当 a d = b c 时等号成立．
柯西不等式的向量形式
β 设 α , 是两个向量,则
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
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注:简记;积和方不大于方和积

n
ai
2
i 1

n
bi
2
i 1
( a i bi )
i 1
n
2
练习：
1.已知： n m
2
2
2， a
2
b
2
1 ,
证明：
2 am bn
2
2 。
2x y z x 2y z
2 2
2.设x，y，zR，求 最大值。
的
3.求函数 f ( x ) a sin x b cos x 在 ( 0 , ) 上 2 的最大值,其中a，b为正常数．
C
6 F z x A D 4 B P y E 5
C
6
解： s
456 2

15 2
A
F z x D 4 B P y E 5
ABC面积=
s ( s a )( s b )( s c ) 15 2
7 2

5 2

3 2

15 4
7
又
1 2
(4 x 5 y 6 z )