物理光学 第三章

第三章 高斯光束基本理论

激光由于其良好的方向性、单色性、相干性和高亮度在军事中在已经有了很多应用，激光器发出的光束是满足高斯分布的，因而本章将对高斯光束的基本特性和一些参数进行简单地理论描述。

高斯光束及基本参数

激光器产生的光束是高斯光束。高斯光束依据激光腔结构和工作条件不

同，可以分为基模高斯光束、厄米分布高阶模高斯分布、拉盖尔分布高阶模高斯

分布和椭圆高斯光束等。激光雷达常常使用激光谐振腔的最低阶模00TEM 模。

高斯光束的分布函数：

)ex p(),(22

0a

r I a r I -= (3-1)

从激光谐振腔发出的模式辐射场的横截面的振幅分布遵守高斯分布，即光能量遵守高斯分布，但是高斯光束不是严格的电磁场方程解，而是赫姆霍兹方程在缓变振幅近似下的一个特解，它可以很好地描述基模激光光束的性质。稳态传输电磁场满足赫姆霍兹方程：

()0,,),,(2=+∇z y x E k z y x E （3-2）

式中),,(z y x E 与电场强度的复数表示),,,(t z y x E 间有关系：

)exp(),,(),,,(t i z y x E t z y x E ω= （3-3）

高斯光束不是式子(2-3)的精确解，而是在缓变振幅近似下的一个特解。得到

2

20

U(,)exp()11r U r z iz

iz

Z Z ω=

--- （3-4）

是赫姆霍兹方程在缓变振幅近似下的一个特解 ，它可以变形为基模高斯光束的 场强度复振幅的表达式：

2222002(x,y,z)exp exp (z)(z)(z)2(z)x y x y U U i k z R ωϕωω⎧⎫⎡⎤⎡⎤⎛⎫++⎪⎪

=-+-⎨⎬⎢⎥ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎪⎪⎣⎦⎩

⎭ （3-5） 其中的(z)ω为振幅衰减到中心幅值1/e 时的位置到光束中心的距离，称为光束在

该平面上的光斑半径，(z)R 为平面球面波的曲率半径。光斑半径最小的平面称为激光光束的束腰，束腰半径为0w 。 假设激光束的波长为λ，以束腰位置作为z 轴方向的参考面，则沿光传播方向上不同截面上光斑半径表示为：

2222

00(z)(1)z z ωω=+ （3-6）

2(z)z[1()]R R z z =+ （3-7）

球面的曲率半径得到：

∞→=R z ,0等相面为平面

z Z R Z z 200~,<<等相面亦可近似视为平面 002,Z R Z z =±=取极小值

z R Z z →>>,0在远场可将高斯光束近似视为一个由0=z 点出发，半径为z 的球面波。而且，高斯光束等相面的曲率中心并不是一个固定点，它随着光束的传输而移动。

由已知高斯光束的束腰半径0w 和束腰半径的位置或者知道某给定位置（设其坐标为z ）处的光斑半径()z ω及等相位面曲率半径()z R ,也可以由公式（）和（）转换，都可以唯一确定一个高斯光束。

在式（）中0z 为一个由束腰大小决定的量，称为激光束的共焦参数或瑞利长度，可表示为：

2

0w z πλ

= （3-8）

当0z z =时，00()z ω=。在实用中常取0z z ≤范围内高斯光束的准值范围，在这段长度内，高斯光束可以近似认为是平行的。所以，瑞利长度越长，就意味着高斯光束的准直范围越大，反之亦然。 接着引入一个新的复参数)(z q ，定义为：

)

()(1)(12

z i z R z q πωλ

-= （3-9） 其所定义的复参数q 将描述高斯光束基本特征的两个参数)(z ω和)(z R 统一在一个表达式。如果以)0(0q q =表示0=z 处的q 参数值，并注意到∞→)0(R ，

0)0(ωω=,则：

)

0()0(1)0(112

0πωλ

i R q q -== （3-10）

由此得出if i q ==λπω2

00。用q 参数来研究高斯光束的传输规律，特别是高

斯光束通过光学系统的传输将比使用其他参数更加方便。 高斯光束传播包络双曲线的渐近线与z 轴的交角：

00

(z)

lim

z z

ωλ

θπω→∞

==

（3-11） 定义为高斯光束的远场发散角。束腰半径越小，光束发散程度越大。

高斯光束的发散程度，工程上常以全场发散角

0022

λθθπω=== （3-12） 来描述。

高斯光束薄透镜变换规律

由于我们要对激光器输出的高斯光束进行整形所以必然要对高斯光束进行成像变换，将高斯光束经过薄透镜变换是高斯光束的主要应用。经过薄透镜后，高斯激光光束可以聚焦，也可以压缩发散角进行准直。下面介绍薄透镜对高斯激光光束的变换规律。

高斯光束的性质，可以由束腰半径和位置来确定，也可以由其复参数q 来决定。一般研究高斯光束经薄透镜的变换规律，实际上是确定复参数q 决定的束腰半径和位置的变换规律。

以高斯光束传播方向为z 轴，研究复参数的变换规律。如图所示，入射高斯光束的束腰0ω位于焦距为F 的薄透镜的左侧z 处，经薄透镜变换后的出射的高

图 3.1 高斯光束的薄透镜变换

斯光束束腰'0ω位于薄透镜右侧'z 处。此光学系统所对应的光学传递矩阵为

''1

011101101Z F Z A B z z T T T C D F ⎡⎤

⎡⎤⎡⎤

⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-

⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦

（3-13） 经计算后相对应的矩阵元素分别为：

1'''1

1A z F

B z z zz F

C F

D z F

=-⎧⎪=+-⎪⎪

⎨=-⎪⎪=-⎪⎩ （3-14）

由复参数q 的ABCD 定律可得以下式子：

000(z)B (z')q '(z)D Aq B

Aq q Cq Cq D

++==

=++ （3-15）

其中，0q 和0'q 分别为入射和出射高斯光束束腰处的复参数：

2

00q q i πωλ

== （3-16） 20

0'''q q i πωλ

== （3-17） 由式（），可以确定出射高斯光束的束腰半径和位置分别为：

2

2

00

24

20

22

'(1)z F F

ωωπωλ=

-+ （3-18）

24

2022(1)'1(1)z F z F z F F πωλ⎡⎤

-⎢⎥

=-⎢⎥⎢⎥-+⎢⎥⎣⎦

（3-19）

即为高斯光束经过薄透镜变换应用的基本公式。 而高斯光束新的远场全发散角可以表示为：

'θ=

（3-20）

本章小结

以上从理论的角度分析了高斯光束的基本原理和性质以及它的一些重要参