高中数学第二章基本初等函数(I)2.3幂函数幂函数及其性质学案(无答案)新人教版必修1
高中数学第二章基本初等函数I2.3幂函数幂函数及其性质学案无答案新人教版必修1163
§2.3 幂函数自学目标1.了解幂函数的概念2.会画出几个常见的幂函数的图象3.了解几个常见的幂函数的性质,并能简单应用 自主学习阅读课本77页—78页完成下列任务 探究任务一：幂函数的概念 1. 什么叫幂函数？2.试试：判断下列函数哪些是幂函数.① 1y x=；②22y x =；③3y x x =-；④1y =.探究任务二：幂函数的图象与性质1.在同一坐标系作出下列函数的图象：（1）y x =；（2）12y x =；（3）2y x = （4）1y x -=；（5）3y x =．2.归纳：幂函数的的性质及图象变化规律：（1）所有的幂函数在(0,)+∞都有定义，并且图象都过点＿＿＿＿（2）0α>时，幂函数的图象通过原点，并且在区间[0,)+∞上单调性是＿＿＿特别地，当1α>时，幂函数的图象下凸；当01α<<时，幂函数的图象上凸； （3）0α<时，幂函数的图象在区间(0,)+∞上单调性是＿＿＿＿．自学检测1、下列所给出的函数中，是幂函数的是 （ ）A ．3x y -=B ．3-=xyC ．32x y =D ．13-=x y2. 79页习题1， 82页10，3. 若幂函数()f x x α=在(0,)+∞上是增函数，则（ ）.A ．α>0B ．α<0C ．α=0D ．不能确定 4. 比大小：（1）11221.3_____1.5； （2）225.1______5.09--.变式 若11221.1,0.9a b -==，那么下列不等式成立的是（ ）. A ． a <l<b B ．1<a <b C ．b <l<a D ．1<b <a 5. 函数43y x =的图象是（ ）.A. B. C. D.6.如图所示，幂函数αx y =在第一象限的图象，比较1,,,,,04321αααα的大小（ ）A ．102431<<<<<ααααB ．104321<<<<<ααααC ．134210αααα<<<<<D ．142310αααα<<<<<1α3α4α2α。
高中数学第二章基本初等函数Ⅰ2.3幂函数教案新人教A版必修
§2.3.1幂函数一．教学目标：1．知识技能（1）理解幂函数的概念；（2）结合这几个幂函数的图象，理解幂函数图象的变化情况和性质;(3)通过观察、总结幂函数的性质，培养概括抽象和识图能力；进一步体会数形结合的思想。
2．过程与方法类比研究一般函数，指数函数、对数函数的过程与方法，后研究幂函数的图象和性质. 3．情感、态度、价值观（1）进一步渗透数形结合与类比的思想方法；（2）体会幂函数的变化规律及蕴含其中的对称性.二．教学重难点重点：从五个具体的幂函数中认识的概念和性质难点：从幂函数的图象中概括其性质三.教学准备（1）学法：通过类比、思考、交流、讨论，理解幂函数的定义和性质 ;（2）教学用具：多媒体四．教学过程：【引入新知】阅读教材P77的具体实例（1）~（5），思考下列问题.思考：以上各题目的函数关系分别是什么？具有什么共同特征？让学生独立思考后交流，引导学生概括出结论：【课堂探究】比较下列两组函数有什么区别？αx y==，其中x是自变量，α是常数.1、上述的问题涉及到的函数，都是形如：y xα思考：（1）你学过的函数中哪些是幂函数？（2）一次函数、二次函数都是幂函数吗？注意：幂函数解析式的结构特征？在同一坐标系中分别作出如下函数的图象：观察图象，说一说它们有什么共同特征？结论：在第一象限内，当a>0时，图象随x增大而上升当a<0时，图象随x增大而下降共同特征：【课堂训练】例1、下列函数中，哪几个函数是幂函数点评：幂函数的解析式的形式，特征可归纳为“两个系数为１，只有１项。
”f x+∞上是增函数例2．证明幂函数()[0,]注意:掌握证明函数单调性的方法和基本模式.【课时小结】1.学习了幂函数的概念；2.掌握幂函数在第一象限内的图象特征，能根据奇偶性完成整个函数的图象;3.利用函数的单调性比较几个“同指数不同底数”的幂的大小.【课后作业】P79 习题2.3 第1、2题五、板书设计六、课后反思精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。
高中数学 第二章 基本初等函数(Ⅰ)2.3 幂函数学案 新
2.3 幂函数预习课本P77～78，思考并完成以下问题[新知初探]1．幂函数的概念函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．[点睛] 幂函数中底数是自变量，而指数函数中指数为自变量．2．常见幂函数的图象与性质[点睛] 幂函数在区间(0，＋∞)上，当α>0时，y ＝x α是增函数；当α<0时，y ＝x α是减函数．[小试身手]1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数y ＝x 0(x ≠0)是幂函数． ( )(2)幂函数的图象必过点(0,0)(1,1)． ( )(3)幂函数的图象都不过第二、四象限． ( ) 答案：(1)√ (2)× (3)× 2．下列函数中不是幂函数的是( ) A ．y ＝x B ．y ＝x 3C ．y ＝2xD ．y ＝x －1答案：C3．已知f (x )＝(m －1)m ＝( )A ．2B ．1C ．3D ．0答案：A4．已知幂函数f (x )＝x α图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，22，则f (4)＝________. 答案：12[例1] 已知幂函数y ＝(m 2－m －1)xm 2－2m －3，求此幂函数的解析式，并指出定义域． [解] ∵y ＝(m 2－m －1)xm 2－2m －3为幂函数， ∴m 2－m －1＝1，解得m ＝2或m ＝－1.当m ＝2时，m 2－2m －3＝－3，则y ＝x －3，且有x ≠0； 当m ＝－1时，m 2－2m －3＝0，则y ＝x 0，且有x ≠0.故所求幂函数的解析式为y ＝x －3，定义域为{x |x ≠0}或y ＝x 0，定义域为{x |x ≠0}．幂函数的概念1．下列函数中不是幂函数的是( ) A ．y ＝x B ．y ＝x3C ．y ＝22xD ．y ＝x －1解析：选C 显然C 中y ＝22x＝4x，不是y ＝x α的形式，所以不是幂函数，而A 、B 、D 中的α分别为12，3，－1，符合幂函数的结构特征，故选C.[例2] 比较下列各组数中两个数的大小．(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫250.5与⎝ ⎛⎭⎪⎫130.5； (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫－23－1与⎝ ⎛⎭⎪⎫－35－1； (3)⎝ ⎛⎪⎫23⎝ ⎛⎪⎫34[解] (1)∵幂函数y ＝x 0.5在(0，＋∞)上是单调递增的， 又25>13，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫250.5>⎝ ⎛⎭⎪⎫130.5. (2)∵幂函数y ＝x －1在(－∞，0)上是单调递减的， 又－23<－35，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫－23－1>⎝ ⎛⎭⎪⎫－35－1.(3)∵函数y 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23x为R 上的减函数，又34>23，∴⎝ ⎛⎪⎫23⎝ ⎛⎪⎫23又∵函数y 2＝(0，＋∞)上是增函数，且34>23，∴⎝ ⎛⎪⎫34⎝ ⎛⎪⎫23⎝ ⎛⎪⎫34⎝ ⎛⎪⎫23比较幂值的大小[活学活用]2．比较下列各组值的大小：(1)(－1.42； 解：(1)∵y ＝x 65为R 上的偶函数，∴(－0.31)又函数y ＝[0，＋∞)上的增函数，且0.31＜0.35，∴(－0.31)(2)∵y ＝[0，＋∞)上是增函数，且1.2<1.4， ∴又∵y ＝1.4x为增函数，且12<2，∴2，∴1.212<1.412<1.42.[例3] 已知幂函数f (x )＝x α的图象过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，14，试画出f (x )的图象并指出该函数的定义域与单调区间．[解] 因为f (x )＝x α的图象过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，14，所以f (2)＝14，即2α＝14，得α＝－2，即f (x )＝x －2，f (x )的图象如图所示，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，单调减区间为(0，＋∞)，单调增区间为(－∞，0)．[一题多变]1．[变设问]本例条件不变，试判断f (x )的奇偶性． 解：由本例知，f (x )＝x －2， 则f (－x )＝(－x )－2＝f (x )， ∴f (x )为偶函数．幂函数的图象与性质2．[变条件]本例中点P 变为⎝ ⎛⎭⎪⎫8，12， (1)判断函数f (x )的奇偶性； (2)判断函数f (x )的单调性，解：∵f (x )的图象过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫8，12， ∴8α＝12，即23α＝2－1，∴3α＝－1，即α＝－13，∴函数f (x )的解析式为f (x )＝x －13(x ≠0)．(1)∵f (－x )＝(－x )－13＝13－x ＝－13x ＝－f (x )，又f (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称， ∴f (x )是奇函数．(2)∵－13<0，∴f (x )＝x －13在(0，＋∞)上是减函数．由(1)，知f (x )是奇函数，∴f (x )＝x －13在(－∞，0)上也是减函数．∴f (x )＝x －13在(0，＋∞)和(－∞，0)上都是减函数．层级一 学业水平达标1．在函数①y ＝1x，②y ＝x 2，③y ＝2x ，④y ＝1，⑤y ＝2x 2，⑥y ＝( )A ．①②④⑤B ．③④⑥C ．①②⑥D ．①②④⑤⑥解析：选C 幂函数是形如y ＝x α(α∈R ，α为常数)的函数，①是α＝－1的情形，②是α＝2的情形，⑥是α＝－12的情形，所以①②⑥都是幂函数；③是指数函数，不是幂函数；⑤中x 2的系数是2，所以不是幂函数；④是常数函数，不是幂函数．所以只有①②⑥是幂函数．2．已知幂函数f (x )＝kx α(k ∈R ，α∈R)的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2，则k ＋α＝( )A.12 B ．1 C.32D ．.2解析：选A ∵幂函数f (x )＝kx α(k ∈R ，α∈R)的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2，∴k ＝1，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12α＝2，即α＝－12，∴k ＋α＝12.3．下列函数中，既是偶函数，又在区间(0，＋∞)上单调递减的函数是( ) A ．y ＝x －2B ．y ＝x －1C ．y ＝x 2D.y ＝解析：选A 所给选项都是幂函数，其中y ＝x －2和y ＝x 2是偶函数，y ＝x －1和y ＝是偶函数，故排除选项B 、D ，又y ＝x 2在区间(0，＋∞)上单调递增，不合题意，y ＝x －2在区间(0，＋∞)上单调递减，符合题意，故选A.4．函数y ＝1的图象关于x 轴对称的图象大致是( )解析：选B y ＝12的图象位于第一象限且为增函数，所以函数图象是上升的，函数y＝1的图象可看作由y ＝x 12的图象向下平移一个单位得到的(如选项A 中的图所示)，将y ＝1的图象关于x 轴对称后即为选项 B .5.如图所示，曲线C 1与C 2分别是函数y ＝x m和y ＝x n在第一象限内的图象，则下列结论正确的是( )A ．n <m <0B ．m <n <0C ．n >m >0D ．m >n >0解析：选A 由图象可知，两函数在第一象限内递减，故m <0，n <0.当x ＝2时，2m＞2n，所以n ＜m ＜0.6．若y ＝________．解析：由已知y ＝a ＝1，所以y ＝x 12，所以y ≥0，故该函数的值域为[0，＋∞)．答案：[0，＋∞)7．已知幂函数f (x )＝x α的部分对应值如表：则f (x )的单调递增区间是解析：因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝22，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫12α＝22，即α＝12，所以f (x )＝[0，＋∞)．答案：[0，＋∞)8．设α∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，12，1，3，则使f (x )＝x α为奇函数且在(0，＋∞)上单调递减的α的值是________．解析：因为f (x )＝x α为奇函数，所以α＝－1,1,3.又因为f (x )在(0，＋∞)上为减函数，所以α＝－1.答案：－19．已知函数f (x )＝(m 2＋2m )·m 为何值时，函数f (x )是：(1)正比例函数；(2)反比例函数；(3)幂函数．解：(1)若函数f (x )为正比例函数，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m －1＝1，m 2＋2m ≠0，∴m ＝1.(2)若函数f (x )为反比例函数，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m －1＝－1，m 2＋2m ≠0，∴m ＝－1.(3)若函数f (x )为幂函数，则m 2＋2m ＝1， ∴m ＝－1± 2.10．比较下列各组数的大小．(2)⎝ ⎛⎪⎫－2⎝ ⎛⎪⎫－π6解：(1)y ＝(0，＋∞)上为减函数，又3＜ 3.2，所以(2)⎝ ⎛⎪⎫－23⎝ ⎛⎪⎫23⎝ ⎛⎪⎫－π6⎝ ⎛⎪⎫π6函数y ＝(0，＋∞)上为增函数，而23＞π6，所以⎝ ⎛⎪⎫－23⎝ ⎛⎪⎫－π1,0＜3.8－43＜1－43＝1，所以 3.8－43.应试能力达标1．已知函数f (x )＝(a 2－a －1)a 的值为( )A ．－1或2B ．－2或1C ．－1D ．1解析：选C 因为f (x )＝(a 2－a －1)a 2－a －1＝1，即a ＝2或－1.又a －2≠0，所以a ＝－1.2．下列结论中，正确的是( )A ．幂函数的图象都经过点(0,0)，(1,1)B ．幂函数的图象可以出现在第四象限C ．当幂指数α取1,3，12时，幂函数y ＝x α是增函数D ．.当α＝－1时，幂函数y ＝x α在其整个定义域上是减函数解析：选C 当幂指数α＝－1时，幂函数y ＝x －1的图象不经过原点，故A 错误；因为所有的幂函数在区间(0，＋∞)上都有定义，且y ＝x α(α∈R)＞0，所以幂函数的图象不可能出现在第四象限，故B 错误；当α＞0时，y ＝x α是增函数，故C 正确；当α＝－1时，y ＝x －1在区间(－∞，0)，(0，＋∞)上是减函数，但在整个定义域上不是减函数，故D 错误．故选C.3．设a ＝⎝ ⎛⎪⎫12b ＝⎝ ⎛⎪⎫15c ＝⎝ ⎛⎪⎫12( )A ．a <b <cB ．c <a <bC ．b <c <aD ．b <a <c解析：选D 构造幂函数y ＝x ∈(0，＋∞))，由该函数在定义域内单调递增，知a >b ；构造指数函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，由该函数在定义域内单调递减，所以a <c ，故c >a > B.4．如下图所示曲线是幂函数y ＝x α在第一象限内的图象，已知α取±2，±12四个值，则对应于曲线C 1，C 2，C 3，C 4的指数α依次为( )A ．－2，－12，12，2B ．2，12，－12，－2C ．－12，－2,2，12D ．.2，12，－2，－12解析：选B 要确定一个幂函数y ＝x α在坐标系内的分布特征，就要弄清幂函数y ＝xα随着α值的改变图象的变化规律．随着α的变大，幂函数y ＝x α的图象在直线x ＝1的右侧由低向高分布．从图中可以看出，直线x ＝1右侧的图象，由高向低依次为C 1，C 2，C 3，C 4，所以C 1，C 2，C 3，C 4的指数α依次为2，12，－12，－2.5．若(a ＋(3－2a a 的取值范围是________．解析：函数y ＝[0，＋∞)上是增函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1＞0，3－2a ＞0，a ＋1＜3－2a ，解得－1＜a ＜23.答案：⎝⎛⎭⎪⎫－1，236．已知函数f (x )＝(－∞，0)上是增函数，在(0，＋∞)上是减函数，那么最小的正整数α＝________.解析：取值验证．α＝1时，y ＝x 0，不满足；α＝2时，y ＝(0，＋∞)上是减函数．∵它为奇函数，则在(－∞，0)上也是减函数，不满足；α＝3时，y ＝答案：37．已知幂函数f (x )＝(m －1)2xm 2－4m ＋2在(0，＋∞)上单调递增，函数g (x )＝2x－k .(1)求m 的值；(2)当x ∈[1,2]时，记f (x )，g (x )的值域分别为集合A ，B ，若A ∪B ＝A ，求实数k 的取值范围．解：(1)依题意，得(m －1)2＝1，解得m ＝0或m ＝2.当m ＝2时，f (x )＝x －2在(0，＋∞)上单调递减，与题设矛盾，舍去，∴m ＝0. (2)由(1)可知f (x )＝x 2.当x ∈[1,2]时，f (x )，g (x )单调递增， ∴A ＝[1,4]，B ＝[2－k,4－k ]． ∵A ∪B ＝A ，∴B ⊆A ，∴⎩⎪⎨⎪⎧2－k ≥1，4－k ≤4⇒0≤k ≤1.∴实数k 的取值范围是[0,1]．8．已知幂函数f (x )＝m ∈N *)(1)试确定该函数的定义域，并指明该函数在其定义域上的单调性；(2)若该函数还经过点(2，2)，试确定m 的值，并求满足条件f (2－a )＞f (a －1)的实数a 的取值范围．解：(1)m 2＋m ＝m (m ＋1)，m ∈N *，而m 与m ＋1中必有一个为偶数， ∴m (m ＋1)为偶数．∴函数f (x )＝x (m 2＋m )－1(m ∈N *)的定义域为[0，＋∞)，并且在定义域上为增函数． (2)∵函数f (x )经过点(2，2)，∴2＝∴m 2＋m ＝2.解得m ＝1或m ＝－2. 又∵m ∈N *，∴m ＝1.由f (2－a )＞f (a －1)得⎩⎪⎨⎪⎧2－a ≥0，a －1≥0，2－a ＞a －1.解得1≤a ＜32.∴实数a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，32.(时间120分钟 满分150分)一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．函数y ＝x －1·ln(2－x )的定义域为( ) A ．(1,2) B ．[1,2) C ．(1,2]D ．[1,2]解析：选B 要使解析式有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧x －1≥0，2－x ＞0，解得1≤x ＜2，所以所求函数的定义域为[1,2)．2．下列函数中定义域与值域相同的是( ) A ．f (x )＝21xB ．f (x )＝lg xC ．f (x )＝2x－1D ．f (x )＝lg x解析：选C A 中，定义域为(0，＋∞)，值域为(1，＋∞)；B 中，定义域为(0，＋∞)，值域为R ；C 中，由2x≥1，得x ≥0，所以定义域与值域都是[0，＋∞)；D 中，由lg x ≥0，得x ≥1，所以定义域为[1，＋∞)，值域为[0，＋∞)．选C.3．下列函数中，既是偶函数又在区间(0，＋∞)上单调递减的是( ) A ．y ＝1xB ．y ＝e －xC ．y ＝－x 2＋1 D ．y ＝lg|x |解析：选C A 项，y ＝1x是奇函数，故不正确；B 项，y ＝e －x为非奇非偶函数，故不正确；C 、D 两项中的两个函数都是偶函数，但y ＝－x 2＋1在(0，＋∞)上是减函数，y ＝lg|x |在(0，＋∞)上是增函数，故选C.4．设a ＝log 3π，b ＝log 13π，c ＝π－3，则( )A ．a ＞c ＞bB ．b ＞a ＞cC ．a ＞b ＞cD ．c ＞b ＞a解析：选A ∵a ＝log 3π＞1，b ＝log 13π＜0,0＜c ＝π－3＜1，∴a ＞c ＞b .故选A.5．若log a 3＝m ，log a 5＝n ，则a 2m ＋n的值是( )A ．15B ．75C ．45D ．225解析：选C 由log a 3＝m ，得a m ＝3， 由log a 5＝n ，得a n＝5， ∴a2m ＋n＝(a m )2·a n ＝32×5＝45.6．函数f (x )＝log a [(a －1)x ＋1]在定义域上( )A ．是增函数B ．是减函数C ．先增后减D ．先减后增解析：选A 当a ＞1时，y ＝log a t 为增函数，t ＝(a －1)x ＋1为增函数，∴f (x )＝log a [(a －1)x ＋1]为增函数；当0＜a ＜1时，y ＝log a t 为减函数，t ＝(a －1)x ＋1为减函数，∴f (x )＝log a [(a －1)x ＋1]为增函数．综上，函数f (x )在定义域上是增函数．7．已知f (x )＝a x，g (x )＝log a x (a ＞0且a ≠1)，若f (3)·g (3)＜0，则f (x )与g (x )在同一坐标系里的图象是( )解析：选C ∵a ＞0且a ≠1，∴f (3)＝a 3＞0，又f (3)·g (3)＜0，∴g (3)＝log a 3＜0，∴0＜a ＜1，∴f (x )＝a x在R 上是减函数，g (x )＝log a x 在(0，＋∞)上是减函数，故选C.8．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a －x ，x ≥2，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x－1，x ＜2，满足对任意的实数x 1≠x 2都有f x 1－f x 2x 1－x 2＜0成立，则实数a 的取值范围为( )A ．(－∞，2) B.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，138 C ．(－∞，2]D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫138，2 解析：选B 由题意知函数f (x )是R 上的减函数，于是有⎩⎪⎨⎪⎧a －2＜0，a －⎝ ⎛⎭⎪⎫122－1，由此解得a ≤138，即实数a 的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤－∞，138，选B.二、填空题(本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．请把正确答案填在题中横线上)9．函数y ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x的定义域是________． 解析：由已知1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ≥0，则⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ≤1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫120，所以x ≥0.答案：[0，＋∞)10．若2a＝6，b ＝log 23，则2a －b＝________，a ＋1b＝________.解析：2a －b＝2a2b ＝62log 23＝63＝2. a ＋1b ＝log 26＋1log 23＝log 26＋log 22log 23＝log 212log 23＝log 312. 答案：2 log 31211．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3x ，x ＞0，2x，x ≤0，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫19的值为________，f (x )>12的解集为________．解析：因为19＞0，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫19＝log 319＝log 33－2＝－2，所以f (－2)＝2－2＝14.f (x )>12等价于⎩⎪⎨⎪⎧x >0，log 3x >12或⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，2x >12.解得x >3或－1<x ≤0.故f (x )>12的解集为{x |x >3或－1<x ≤0}．答案：14 {x |x >3或－1<x ≤0}12．若偶函数f (x )＝xa ＋53的定义域为[3a ，a 2＋2]，则实数a 的值为________．解析：∵f (x )是偶函数，∴a 2＋2＝－3a ，即a 2＋3a ＋2＝0，解得a ＝－1或a ＝－2.当a ＝－1时，f (x )＝ x 43＝3x 4，∴f (－x )＝3－x4＝3x 4＝f (x )，此时f (x )是偶函数；当a ＝－2时，f (x )＝x ，∴f (－x )＝－x ＝－f (x )，此时f (x )是奇函数．故a ＝－1.答案：－113．已知函数f (x )＝log 2(x 2＋1＋x )＋12x －1＋1，则f (1)＋f (－1)＝________；如果f (log a 5)＝4(a >0，a ≠1)，那么f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 1a 5的值是________．解析：f (1)＋f (－1)＝log 2(2＋1)＋2＋log 2(2－1)－1＝1.f (x )＋f (－x )＝log 2(x 2＋1＋x )＋12x －1＋1＋log 2(x 2＋1－x )＋12－x －1＋1＝12x －1＋2x1－2x ＋2＝1.∵log 1a5＝－log a 5，∴f (log a 5)＋f ⎝⎛⎭⎪⎫log 1a 5＝1，∴f ⎝⎛⎭⎪⎫log 1a 5＝－3. 答案：1 －314．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －12，x >0，－2，x ＝0，x ＋12，x <0，且b ＝f (f (f (0)))，则b ＝________；若y ＝xa 2－4a －b 是偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数，则整数a 的值是________．解析：由分段函数f (x )可得b ＝f (f (f (0)))＝f (f (－2))＝f (1)＝1.由于y ＝xa 2－4a －b 在(0，＋∞)上是减函数，则a 2－4a －1<0，解得2－5<a <2＋5，由于a 为整数，则a ＝0,1,2,3,4.检验：只有当a ＝1,3时，函数y ＝x －4为偶函数．故a 的值为1或3.答案：1 1或315．如图，矩形ABCD 的三个顶点A ，B ，C 分别在函数y ＝log22x ，y ＝x 12，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22x的图象上，且矩形的边分别平行于两坐标轴．若点A 的纵坐标为2，则点D 的坐标为________．解析：由图象可知，点A (x A,2)在函数y ＝log22x 的图象上，所以2＝log 22x A ，x A ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫222＝12. 点B (x B,2)在函数y ＝x 12的图象上，所以2＝(x B )12，x B ＝4.所以点C (4，y C )在函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22x的图象上， 所以y C ＝⎝⎛⎭⎪⎫224＝14. 又x D ＝x A ＝12，y D ＝y C ＝14，所以点D 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，14.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫12，14 三、解答题(本小题满分本大题共5小题，共74分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)16．(本小题满分14分)计算：(1)12－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫350＋⎝ ⎛⎭⎪⎫94－0.5＋42－4；(2)lg 500＋lg 85－12lg 64＋50×(lg 2＋lg 5)2.解：(1)原式＝2＋1－1＋23＋e －2＝23＋e.(2)原式＝lg 5＋lg 102＋lg 23－lg 5－12lg 26＋50×(lg 10)2＝lg 5＋2＋3lg 2－lg 5－3lg 2＋50＝52.17．(本小题满分15分)已知函数y ＝log a (x ＋3)－89(a ＞0，a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 也在函数f (x )＝3x＋b 的图象上，求b 的值．解：当x ＋3＝1，即x ＝－2时，对任意的a ＞0，且a ≠1都有y ＝log a 1－89＝0－89＝－89，所以函数y ＝log a (x ＋3)－89的图象恒过定点A ⎝⎛⎭⎪⎫－2，－89，若点A 也在函数f (x )＝3x＋b 的图象上，则－89＝3－2＋b ，所以b ＝－1.18．(本小题满分15分)已知函数g (x )是f (x )＝a x(a ＞0且a ≠1)的反函数，且g (x )的图象过点⎝⎛⎭⎪⎫22，32. (1)求f (x )与g (x )的解析式；(2)比较f (0.3)，g (0.2)与g (1.5)的大小．解：(1)∵函数g (x )是f (x )＝a x(a ＞0且a ≠1)的反函数，∴g (x )＝log a x (a ＞0且a ≠1)． ∵g (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫22，32，∴log a 22＝32，∴a 32＝22，解得a ＝2. ∴f (x )＝2x，g (x )＝log 2x .(2)∵f (0.3)＝20.3＞20＝1，g (0.2)＝log 20.2＜0，又g (1.5)＝log 21.5＜log 22＝1，且g (1.5)＝log 21.5＞log 21＝0， ∴0＜g (1.5)＜1，∴f (0.3)＞g (1.5)＞g (0.2)．19．(本小题满分15分)已知f (x )＝|log 3x |. (1)画出函数f (x )的图象；(2)讨论关于x 的方程|log 3x |＝a (a ∈R)的解的个数．解：(1)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3x ，x ≥1，－log 3x ，0＜x ＜1，对应的函数f (x )的图象如图所示．(2)设函数y ＝|log 3x |和y ＝a .当a ＜0时，两图象无交点，原方程解的个数为0个． 当a ＝0时，两图象只有1个交点，原方程只有1解． 当a ＞0时，两图象有2个交点，原方程有2解．20．(本小题满分15分)已知定义域为R 的函数f (x )＝b －2x2x ＋a是奇函数．(1)求a ，b 的值；(2)证明f (x )在(－∞，＋∞)上为减函数；(3)若对于任意t ∈R ，不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )＜0恒成立，求k 的取值范围． 解：(1)∵f (x )为R 上的奇函数，∴f (0)＝0，b ＝1.又f (－1)＝－f (1)，得a ＝1.经检验a ＝1，b ＝1符合题意．(2)证明：任取x 1，x 2∈R ，且x 1＜x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝1－2x 12x 1＋1－1－2x 22x 2＋1＝－2x 1x 2＋－－2x 2x 1＋x 1＋x 2＋＝x 2－2x 1x 1＋x 2＋.∵x 1＜x 2，∴2x 2－2x 1＞0. 又∵(2x 1＋1)(2x 2＋1)＞0，∴f (x 1)＞f (x 2)，∴f (x )为R 上的减函数．(3)∵t ∈R ，不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )＜0恒成立， ∴f (t 2－2t )＜－f (2t 2－k )．∴f (x )为奇函数，∴f (t 2－2t )＜f (k －2t 2)．∵f (x )为减函数，∴t 2－2t ＞k －2t 2，即k ＜3t 2－2t 恒成立，而3t 2－2t ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫t －132－13≥－13.∴k ＜－13. 故k 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－13.。
2019高中数学 第二章 基本初等函数(Ⅰ)2.3 幂函数导学案 新人教A版必修1
§2.3 幂函数学习目标：1、了解幂函数的概念，会求幂函数的定义域，会画简单幂函数的图象． 学习重点、难点：幂函数的定义和性质，以及幂函数定义域的求解 自主预习： 知识梳理：一、阅读课本，完成下列题目 二、自我检测 1、 幂函数的定义一般地，我们把形如 的函数叫做幂函数，其中 为自变量， 为常数. 特征：（1）以 为底；（2）幂指数为 ；（3）幂的系数为 ； 幂函数定义域：使得幂函数有意义的自变量的取值集合. 2、 幂函数的性质作出下列函数的图象：x y =， 2x y =，3x y =， 21x y =，1-=x y .幂函数性质归纳:（1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且图象都过点（1，1）；（2）0>α时，幂函数的图象通过原点，并且在区间),0[+∞上是增函数．特别地，当1>α时，幂函数的图象下凸；当10<<α时，幂函数的图象上凸；（3）0<α时，幂函数的图象在区间),0(+∞上是减函数．在第一象限内，当x 从右边趋向原点时，图象在y 轴右方无限地逼近y 轴正半轴，当x 趋于∞+时，图象在x 轴上方无限地逼近x 轴正半轴 自我检测：1． 判断下列函数是否是幂函数；（ ）(1) y = 2 x 2 (2) y = x -1/3 (3) y = x 3/4 (4) y = （x – 1）3(5) y = x 3 – 1 (6) y = 2x2．在函数1,,2,1222=+===y x x y x y xy 中，幂函数的个数为：（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 三、学点探究探究1：幂函数的单调性 例1、证明幂函数x x f =)(在[0,)∞+上是增函数探究2、幂函数的性质 例2、利用单调性判断下列各值的大小（1）34与35（2）212与213方法小结2：比较幂值的大小，可以构造幂函数，利用其图想或性质比较大小，若底数不同，指数不同，需引入中间量。
必修1第二章基本初等函数数学：2.3《幂函数》教案(新人教A必修1)
2.3幂函数教学目的:使学生掌握幂函数的概念,会画幂函数的图象,能判定一个幂函数是增函 数还是减函数,能判断一个幂函数的奇偶性。
教学重点:幂函数的图象、幂函数的增减性的证明。
教学难点:幂函数增减性的证明。
教学过程一、新课引入课本P90,p=w, S=a 2, V=a 3 ,a=S 21,v=t -1,上述问题中的函数具有什么共同特征？二、新课上述问题中涉及的函数,都是形如y ＝x a 的函数。
一般地,函数y ＝x a 叫做幂函数(power function)。
其中x 是自变量,a 是常数。
当a ＝1,2,3,21,－1时,得到下列的幂函数,画出它们的图象,并观察图象, 将你发现的结论写在下表中:y ＝x y ＝x 2 y ＝x 3 y ＝x 21y ＝x －1 定义域 R R R ［0,＋∞) (－∞,0)∪(0,＋∞) 值域 R ［0,＋∞) R ［0,＋∞) (－∞,0)∪(0,＋∞)奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇单调性 增 ［0,＋∞)增 增 增 (－∞,0)减(－∞,0)减 ［0,＋∞)减定点 (1,1) (1,1) (1,1) (1,1) (1,1)例1、证明幂函数f(x)＝x 在［0,＋∞)上是增函数。
证明:任取1x 、2x ∈［0,＋∞),且1x ＜2x ,则f(1x )－f(2x )＝21x x -＝212121))((x x x x x x ++-＝2121x x x x +-因为1x －2x ＜0,21x x +＞0,所以,f(1x )＜f(2x )即幂函数f(x)＝x 在［0,＋∞)上是增函数。
注意:证明函数的单调性时既可以用作差的方法,也可以用作比的方法,应用用比的 方法时应注意分母不为零,及去母时考虑符号问题。
作业:P92 1、2、3。
湖南省衡阳市高中数学 第二章 基本初等函数(Ⅰ)2.3 幂函数教案 新人教A版必修1
§2.3.1幂函数一．教学目标：1．知识技能（1）理解幂函数的概念；（2）结合这几个幂函数的图象，理解幂函数图象的变化情况和性质;(3)通过观察、总结幂函数的性质，培养概括抽象和识图能力；进一步体会数形结合的思想。
2．过程与方法类比研究一般函数，指数函数、对数函数的过程与方法，后研究幂函数的图象和性质. 3．情感、态度、价值观（1）进一步渗透数形结合与类比的思想方法；（2）体会幂函数的变化规律及蕴含其中的对称性.二．教学重难点重点：从五个具体的幂函数中认识的概念和性质难点：从幂函数的图象中概括其性质三.教学准备（1）学法：通过类比、思考、交流、讨论，理解幂函数的定义和性质 ;（2）教学用具：多媒体四．教学过程：【引入新知】阅读教材P77的具体实例（1）~（5），思考下列问题.思考：以上各题目的函数关系分别是什么？具有什么共同特征？让学生独立思考后交流，引导学生概括出结论：【课堂探究】比较下列两组函数有什么区别？αx y==，其中x是自变量，α是常数.1、上述的问题涉及到的函数，都是形如：y xα思考：（1）你学过的函数中哪些是幂函数？（2）一次函数、二次函数都是幂函数吗？注意：幂函数解析式的结构特征？在同一坐标系中分别作出如下函数的图象：观察图象，说一说它们有什么共同特征？结论：在第一象限内，当a>0时，图象随x增大而上升当a<0时，图象随x增大而下降共同特征：【课堂训练】例1、下列函数中，哪几个函数是幂函数点评：幂函数的解析式的形式，特征可归纳为“两个系数为１，只有１项。
”f x=+∞上是增函数例2．证明幂函数()[0,]注意:掌握证明函数单调性的方法和基本模式.【课时小结】1.学习了幂函数的概念；2.掌握幂函数在第一象限内的图象特征，能根据奇偶性完成整个函数的图象;3.利用函数的单调性比较几个“同指数不同底数”的幂的大小.【课后作业】P79 习题2.3 第1、2题五、板书设计六、课后反思。
人教版高中数学必修1第二章基本初等函数(I)-《2.3幂函数》教案(6)
2.3幂函数教学目标：知识与技能：通过具体实例了解幂函数的图象和性质,并能进行简单的应用。
过程与方法：能够类比研究一般函数、指数函数的过程与方法,来研究幂函数的图象和性质。
情感、态度、价值观：体会幂函数的变化规律及蕴含其中的对称性。
教学重点：从五个具体幂函数中认识幂函数的一些性质。
教学难点：画五个具体幂函数的图象并由图象概括其性质,体会图象的变化规律。
教学过程：一．温故知新复习指数函数、对数函数的定义形如)1,0(≠>=a a a y x 的函数称指数函数；形如)1,0(log ≠>=a a x y a 的函数称指数函数。
提问：之前还学过哪些函数？生答：一次函数、二次函数、反比例函数、正比例函数。
将这些函数的特殊形式写出：12,,-===x y x y x y提问：这些是指数函数吗？若不是说出它们与指数函数的相同点与不同点。
生答：相同点：幂的形式。
不同点：自变量x 的位置。
引出上述三个函数的一般形式αx y =，从而引出课题-------幂函数二．幂函数定义1．幂函数的定义：一般地，形如)(R x y ∈=αα的函数叫称为幂函数(power function), 其中x 是自变量，α是常数。
概念辨析：在下列函数中哪些是幂函数？（1）x y 2= （2）x x y -=3 （3）2)2(-=x y （4）41xy = 同桌讨论，给出观点例1：已知幂函数y=f(x)的图像过点（4，2），试求出这个函数的解析式。
解：设αx y =，又过（4，2），所以212124x y =⇒=⇒=αα 三．探究幂函数图象与性质可通过研究几个常见幂函数的图象与性质------在同一坐标系中画出21312,,,,x y x y x y x y x y =====-函数的图象，然后观察图象，归纳特征。
学生活动：在事先发给他们的作图纸上通过描点法画图。
教师巡视并辅导。
师生一起校对所画图象的正确性，并根据图象编成幂函数操，（帮助学生记图的同时，也提高学生学习的兴趣）。
高中数学第二章基本初等函数Ⅰ2.3幂函数的概念与性质教学案无答案新人教A版
2.2.3幂函数的定义与性质一、学习目标1、掌握幂函数的定义，注意与指数函数区别。
2、掌握几种常见幂函数的性质与图像。
3、数形结合，分类讨论，函数与方程等数学思想在幂函数性质问题中的应用。
二、问题导学（自学课本后，请解答下列问题） 1、通过具体实例，了解幂函数的定义。
2、通过自己对函数的分析，画出几种常见的幂函数的图像，填写下列表格3、明确幂函数与指数函数的区别与联系。
4、下列函数是幂函数的是（ ）。
()3x A f x =、 3()B f x x =、 3()log C f x x =、 ()3()1D f x x =-、5、函数121()(22)m f x m m x -=+-是幂函数，则实数m = 。
三、合作探究例１：（1）下列函数是幂函数的是 。
①3y x = ②12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭③24y x = ④51y x =+⑤()21y x =- ⑥y x = ⑦(1)xy a a =＞（2）已知函数123()(33)m f x m m x -=-+是幂函数，则实数m = 。
（1） 变式：已知α为常数，幂函数()f x x α=满足1()23f =，则(3)f =（ ）2A 、 12B 、 2C 、- 12D 、-例2：如图所示，幂函数αx y =在第一象限的图象，比较1,,,,,04321αααα的大小（ ） A ．102431<<<<<αααα B ．104321<<<<<αααα C ．134210αααα<<<<< D ．142310αααα<<<<<变式：幂函数13y x =的图像大致是（ ）例3：比较大小（1）、0.50.52153⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭与 （2）、112335--⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭与 （3）、32432334⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭与变式：比较大小（1）、0.60.61.51.7与（2）、1.51.50.70.6与（3）、()()22331.2 1.25----与四、当堂检测1、幂函数()y f x =的图像经过点(，则函数解析式为 。
近年高考数学总复习第二章基本初等函数(Ⅰ)2.3幂函数(第一课时)教案新人教A版必修1(2021年
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2.3 幂函数（第一课时）幂函数作为一类重要的函数模型，是学生在系统学习了指数函数、对数函数之后研究的又一类基本初等函数。
学生已经有了学习指数函数和对数函数的图象和性质的学习经历，幂函数概念的引入以及图象和性质的研究便水到渠成。
因此，学习过程中，引入幂函数的概念之后，尝试放手让学生自己进行合作探究学习。
本节通过实例，让学生认识到幂函数同样也是一种重要的函数模型，通过研究，，，,等函数的图象和性质，让学生认识到幂指数大于零和小于零两种情形下,幂函数的共性：当幂指数时,幂函数的图象都经过点（0,0)和(1,1），且在第一象限内函数单调递增；当幂指数时，幂函数的图象都经过点（1,1），且在第一象限内函数单调递减且以两坐标轴为淅近线，在方法上，我们应注意从特殊到一般进行类比研究幂函数的性质，并注意与指数函数进行对比学习.1。
教学重点：从五个具体的幂函数中认识幂函数的概念和性质。
2.教学难点:从幂函数的图象中概括其性质。
一、创设问题情景阅读教材P90的具体实例（1)～（5)，思考下列问题：1．它们的对应法则分别是什么?2．以上问题中的函数有什么共同特征？（答案）1．（1）乘以1；（2）求平方；（3）求立方；(4)开方;（5）取倒数（或求－1次方）．2．上述问题中涉及到的函数，都是形如的函数，其中是自变量，是常数．二、新知探究材料一：幂函数定义及其图象．一般地，形如的函数称为幂函数，其中为常数．下面我们举例学习这类函数的一些性质．作出下列函数的图象：（1）；（2）；（3）；(4）；（5）．[解] 1 列表（略）2 图象材料三：观察与思考观察图象，总结填写下表：定义域值域奇偶性单调性定点材料五：例题［例1］（教材P92例题）［例2］比较下列两个代数值的大小:（1），（2），［例3］讨论函数的定义域、奇偶性，作出它的图象，并根据图象说明函数的单调性．三、学以致用1．利用幂函数的性质，比较下列各题中两个幂的值的大小:（1），；（2），;（3），；（4），．2．作出函数的图象，根据图象讨论这个函数有哪些性质，并给出证明．3．作出函数和函数的图象，求这两个函数的定义域和单调区间．4．用图象法解方程：（1）；（2）．四、当堂检测1．如图所示,曲线是幂函数在第一象限内的图象，已知分别取四个值，则相应图象依次为：．2．在同一坐标系内，作出下列函数的图象，你能发现什么规律？（1)和；（2)和．3．在函数中，幂函数的个数为：A．0 B．1 C．2 D．34．已知幂函数的图象过点，试求出这个函数的解析式．5．在固定压力差（压力差为常数）下，当气体通过圆形管道时，其流量速率R与管道半径r的四次方成正比．（1）写出函数解析式；（2）若气体在半径为3cm的管道中，流量速率为400cm3/s，求该气体通过半径为r的管道时,其流量速率R的表达式；(3)已知（2)中的气体通过的管道半径为5cm,计算该气体的流量速率．6．1992年底世界人口达到54．8亿,若人口的平均增长率为x%，2008年底世界人口数为y（亿)，写出：（1)1993年底、1994年底、2000年底的世界人口数；(2）2008年底的世界人口数y与x的函数解析式．五、课堂小结1．谈谈五个基本幂函数的定义域与对应幂函数的奇偶性、单调性之间的关系？2．幂函数与指数函数的不同点主要表现在哪些方面？。
山西省平遥县高中数学 第二章 基本初等函数(Ⅰ)2.3 幂函数教案 新人教A版必修1
幂函数【教学目标】1．通过生活实例引出幂函数的概念，会画幂函数的图象，了解幂函数图象的变化情况和性质；2．了解几个常见的幂函数的性质，了解幂函数和指数函数的本质区别；3．应用幂函数的图象和性质解决有关简单问题，培养学生观察分析归纳能力．【重点难点】重点：从五个具体的幂函数中认识幂函数的概念和性质．难点：画幂函数的图象并由图象概括其性质是教学中可能遇到的困难．【教学过程】一、情景设置1．①如果正方体的边长为a，则正方体的体积V随a变化的函数关系是_______．②如果正方形的面积为S，则正方形的边长a随S变化的函数关系是_______．a=S 12③如果某人ts内骑车行进了1km，那么他骑车的速度v随t变化的函数关系是_______．以上是我们生活中经常遇到的几个数学模型，①你能发现以上几个函数解析式有什么共同点吗？②它们是否都为指数函数？2．你能画出函数y=x，y=x2，y=x 12，y=x-1，y=x3的图象吗？3．通过对以上五个函数图象的观察，哪个象限一定有幂函数的图象？哪个象限一定没有？哪个象限可能有？这时可通过什么途径来判断？4．通过对以上五个函数图象的观察，你能得出它们的性质吗？(2) y=x，y=x3，y=x-1是奇函数，y=x2是偶函数，y=x 12是非奇非偶函数；(3)在区间(0,+∞)上，y=x，y=x2，，y=x3，y=x 12都是增函数，y=x-1是减函数；(4)在第一象限内，y=x-1向上与y轴无限接近，向右与x轴无限接近；(5)在第一象限内，y=x2，，y=x3向下凸，y=x 12向上凸．二、教学精讲例1．判断下列函数哪些是幂函数？①y=0.2x ；②y=2x 2；③y=x 2+x ；④y=-x 3；⑤y=x -3例2．已知y=(m 2)x 1m 2-1+2n -3是幂函数，求m ，n 的值． 得⎩⎪⎨⎪⎧m2+2m -2=1m 2-1≠02n -3=0解得⎩⎪⎨⎪⎧m=-3n=32为例3．求下列幂函数的定义域，指出其奇偶性、单调性，并画它们的大致图象．①y=x 13；②y=x -2；③y=21-x例4．比较下列各组数的大小： ①253-和251.3-；②4.125，328.3-，(-1.9)35 ：①253- >251.3-；②(-1.9)35<328.3-<4.125三、探索研究 四、课堂练习1． 若幂函数y=f(x)的图象过点(9,13)，则f(25)的值是______．152． 作出函数y=32-x的图象，根据图象讨论这个函数有哪些性质． 3． 比较大小 ①211.1-, 219.0- ②4316.0-,235.0-, 6.2538 ①211.1-<219.0- ②6.2538<235.0-<4316.0-【教学后记】。
陕西省西安市高中数学第二章基本初等函数(Ⅰ)2.3幂函数学案新人教A版必修1
2.3幂函数1．幂函数的概念：一般地，我们把形如 的函数称为幂函数，其中 是自变量， 是 常数；注意：幂函数与指数函数的区别．2.幂函数的性质：（1）幂函数的图象都过点 ；（2）当0α>时，幂函数在[0,)+∞上 ；当0α<时，幂函数在(0,)+∞上 ；（3）当2,2α=-时，幂函数是 ；当11,1,3,3α=-时，幂函数是 ．3．幂函数的性质：（1）都过点 ；（2）任何幂函数都不过 象限；（3）当0α>时，幂函数的图象过 ．4．幂函数的图象在第一象限的分布规律：（1）在经过点(1,1)平行于y 轴的直线的右侧，按幂指数由小到大的关系幂函数的图象从 到 分布；（2）幂指数的分母为偶数时，图象只在 象限；幂指数的分子为偶数时，图象在第一、第二象限关于 轴对称；幂指数的分子、分母都为奇数时，图象在第一、第三象限 关于 对称．例1.写出下列函数的定义域，并指出它们的奇偶性：（1）3y x = （2）12y x = （3）2y x -=（4）22y x x -=+ （5）1122y x x -=+ （6）1124()3()f x x x =+- 解：（1）此函数的定义域为R ，33()()()f x x x f x -=-=-=-∴此函数为奇函数．（2）12y x ==∴此函数的定义域为[0,)+∞此函数的定义域不关于原点对称∴此函数为非奇非偶函数．（3）221y x x -==∴此函数的定义域为(,0)(0,)-∞⋃+∞ 2211()()()f x f x x x -===-∴此函数为偶函数（4）22221y x x x x -=+=+∴此函数的定义域为(,0)(0,)-∞⋃+∞222211()()()()f x x x f x x x -=-+=+=- ∴此函数为偶函数（5）1122y x x-=+=∴此函数的定义域为[0,)+∞此函数的定义域不关于原点对称∴此函数为非奇非偶函数（6）1124()3()f x x x =+-=00x x ≥⎧∴⎨-≥⎩ 0x ∴=∴此函数的定义域为{0}∴此函数既是奇函数又是偶函数变式训练1：讨论下列函数的定义域、值域，奇偶性与单调性：（1）5y x = （2）43y x -= （3）54y x =（4）35y x -=（5）12y x -=分析：要求幂函数的定义域和值域，可先将分数指数式化为根式．解：（1）定义域R ，值域R ，奇函数，在R 上单调递增．（2）定义域(,0)(0,)-∞⋃+∞，值域(0,)+∞，偶函数，在(,0)-∞上单调递增，在(0,)+∞ 上单调递减．（3）定义域[0,)+∞，值域[0,)+∞，偶函数，非奇非偶函数，在[0,)+∞上单调递增．（4）定义域(,0)(0,)-∞⋃+∞，值域(,0)(0,)-∞⋃+∞，奇函数，在(,0)-∞上单调递减，在(0,)+∞上单调递减．（5）定义域(0,)+∞，值域(0,)+∞，非奇非偶函数，在(0,)+∞上单调递减．例2比较大小：（1）11221.5,1.7 （2）33( 1.2),( 1.25)--（3）1125.25,5.26,5.26---（4）30.530.5,3,log 0.5解：（1）∵12y x =在[0,)+∞上是增函数，1.5 1.7<，∴11221.5 1.7<（2）∵3y x =在R 上是增函数，1.2 1.25->-，∴33( 1.2)( 1.25)->-（3）∵1y x -=在(0,)+∞上是减函数，5.25 5.26<，∴115.25 5.26-->；∵ 5.26x y =是增函数，12->-，∴125.26 5.26-->；综上，1125.25 5.26 5.26--->>（4）∵300.51<<，0.531>，3log 0.50<，∴30.53log 0.50.53<<变式训练2：将下列各组数用小于号从小到大排列：（1）2223332.5,( 1.4),(3)--（2）3338420.16,0.5,6.25--（3）11121333322253(),(),(),3,()3532-- 解：（1）222333( 1.4) 2.5(3)-<<-（2）3338246.250.50.16,--<<（3）11211333322523()()()()35332--<<<< 例3已知幂函数223mm y x --=（m Z ∈）的图象与x 轴、y 轴都无交点，且关于原点对称，求m 的值．分析：幂函数图象与x 轴、y 轴都无交点，则指数小于或等于零；图象关于原点对称，则函数为奇函数．结合m Z ∈，便可逐步确定m 的值．解：∵幂函数223mm y x --=（m Z ∈）的图象与x 轴、y 轴都无交点， ∴2230m m --≤，∴13m -≤≤；∵m Z ∈，∴2(23)m m Z --∈，又函数图象关于原点对称，∴223m m --是奇数，∴0m =或2m =．变式训练3：证明幂函数12()f x x =在[0,)+∞上是增函数．分析：直接根据函数单调性的定义来证明．证明：设120x x ≤<， 则11221212()()f x f x x x -=-== 12x x <120x x ∴-<0>12()()0f x f x ∴-< 即12()()f x f x <∴ 此函数在[0,)+∞上是增函数1．注意幂函数与指数函数的区别．2.幂函数的性质要熟练掌握。
高中数学 第二章 基本初等函数(Ⅰ)2.3 幂函数教学设计数学教案
§2.3幂函数一、 教学目标：⑴ 通过实例，了解幂函数的概念；结合函数x y =,2x y =, 3x y =,21x y =,1-=x y 的图像，了解幂函数的图象和性质它们的变化情况。
⑵ 能够类比研究一般函数、指数函数、对数函数的过程与方法，来研究幂函数的图象和性质．并能进行简单的应用．二、教学重难点：重点 从五个具体幂函数中认识幂函数的一些性质．难点 画五个具体幂函数的图象并由图象概括其性质，体会图象的变化规律． 三、教具：多媒体四、学法指导：数形结合，从特殊到一般 五、教学过程：组织探究材料一：幂函数定义及其图象．一般地，形如αxy=的函数称为幂函数，其中x为自变量，α为常数．下面我们举例学习这类函数的一些性质．画出下列函数的图象：（1）xy=；（2）21xy=；（3）2xy=；（4）1-=xy；（5）3xy=．[解] ○1列表（略）○2图象师：说明：幂函数的定义来自于实践，它同指数函数、对数函数一样，也是基本初等函数，同样也是一种“形式定义”的函数，引导学生注意辨析．生：利用所学知识和方法尝试画出五个具体幂函数的图象，观察图象，体会幂函数的变化规律．师：引导学生应用画函数的性质画图象，如：定义域、奇偶性．师生共同分析，强调画图象易犯的错误．环节教学内容设计设计意图六、教学反思：幂函数作为一类重要的函数模型，是学生在系统学习了指数函数、对数函数之后研究的又一类基本初等函数。
学生已经有了学习指数函数和对数函数的图象和性质的学习经历，幂函数概念的引入以及图象和性质的研究便水到渠成。
因此，学习过程中，引入幂函数的概念之后，尝试放手让学生自己进行合作探究学习。
在方法上，我们应注意从特殊到一般进行类比研究幂函数的性质，并注意与指数函数进行对比学习。
将幂函数限定为五个具体函数，通过研究它们来了解幂函数的性质。
所以本人建议，逐个画出五个函数的图象，从定义域、值域、奇偶性、单调性、过定点等方面进行分析、探究，得到各自的性质，从而再归纳出幂函数的基本性质。
人教版高中数学必修1第二章基本初等函数(I)-《2.3幂函数》教案(7)
2.3 幂函数三维目标定向〖知识与技能〗（1）了解幂函数的概念；（2）会画函数21132,,,,x y x y x y x y x y =====-的图象，并了解它们的变化情况。
〖过程与方法〗通过画21132,,,,x y x y x y x y x y =====-的图象，由特殊到一般，归纳出幂函数的图象和性质。
〖情感、态度与价值观〗通过大量实例，感受幂函数的概念，体会幂函数在客观现实中的应用，学会应用数学的方法，形成一定的数学应用意识。
教学重难点：幂函数的图象和性质。
教学过程设计一、实例剖析引例：（1）如果张红购买了每千克1元的蔬菜x 千克，那么她需要支付y = 元； （2）如果正方形的边长为x ，那么正方形的面积y = ； （3）如果立方体的边长为x ，那么立方体的体积y = ；（4）如果一个正方形场地的面积为x ，那么这个正方形的边长为y = ； （5）如果某人x s 内骑车行进了1km ，那么他骑车的平均速度y = km / s 。
问题：以上函数具有什么共同特征？共同特征：函数解析式是幂的形式，且指数是常数，底数是自变量。
二、幂函数的图象和性质（一）定义：函数αx y =叫做幂函数。
（其中x 为自变量，α为常数）探究1：你能指几个学过的幂函数的例子吗？ 探究2：你能说出幂函数与指数函数的区别吗？探究3：如何判断一个函数是幂函数还是指数函数？ 看看自变量x 是指数（指数函数）还是底数（幂函数）。
练习：1、下面几个函数中，哪几个函数是幂函数？（1）21y x=；（2）22y x =；（3）2y x x =+；（4）y =；（5）2x y =。
2、已知幂函数y = f (x )的图象经过点（3 ，求这个函数的解析式。
3、如果函数2()(1)mf x m m x =--⋅是幂函数，求实数m 的值。
（二）幂函数性质的探究：对于幂函数，我们只讨论21,1,3,2,1-=α时的情况， 即：21132,,,,x y x y x y x y x y =====-探究4：结合前面指数函数与对数函数的方法，我们应如何研究幂函数呢？ 作具体幂函数的图象 → 观察图象特征 → 总结函数性质探究5：在同一平面直角坐标系内作出幂函数21132,,,,x y x y x y x y x y =====-的图象：探究6：性质：三、例题例1：证明幂函数x x f =)(在),0[+∞上是增函数。
高中数学第二章基本初等函数(Ⅰ)2.3幂函数教学设计新人教A版必修1
2.3 幂函数整体设计教学分析幂函数作为一类重要函数模型，是学生在系统地学习了指数函数、对数函数之后研究又一类根本初等函数．学生已经有了学习指数函数与对数函数图象与性质学习经历，幂函数概念引入以及图象与性质研究便水到渠成．因此，学习过程中，引入幂函数概念之后，尝试放手让学生自己进展合作探究学习．本节通过实例，让学生认识到幂函数同样也是一种重要函数模型，通过研究y＝x，y＝x2，y＝x3，y ＝x－1，y＝12x等函数性质与图象，让学生认识到幂指数大于零与小于零两种情形下，幂函数共性：当幂指数α＞0时，幂函数图象都经过点(0,0)与(1,1)，且在第一象限内函数单调递增；当幂指数α＜0时，幂函数图象都经过点(1,1)，且在第一象限内函数单调递减且以两坐标轴为渐近线．在方法上，我们应注意从特殊到一般地去进展类比研究幂函数性质，并注意与指数函数进展比照学习．将幂函数限定为五个具体函数，通过研究它们来了解幂函数性质．其中，学生在初中已经学习了y＝x，y＝x2，y＝x－1等三个简单幂函数，对它们图象与性质已经有了一定感性认识．现在明确提出幂函数概念，有助于学生形成完整知识构造．学生已经了解了函数根本概念、性质与图象，研究了两个特殊函数：指数函数与对数函数，对研究函数已经有了根本思路与方法．因此，教材安排学习幂函数，除内容本身外，掌握研究函数一般思想方法是另一目，另外，应让学生了解利用信息技术来探索函数图象及性质是一个重要途径．学习中学生容易将幂函数与指数函数混淆，因此在引出幂函数概念之后，可以组织学生对两类不同函数表达式进展辨析．三维目标1．通过生活实例引出幂函数概念，会画幂函数图象，通过观察图象，了解幂函数图象变化情况与性质，加深学生对研究函数性质根本方法与流程经历，培养学生概括抽象与识图能力，使学生体会到生活中处处有数学，激发学生学习兴趣．2．了解几个常见幂函数性质，通过这几个幂函数性质，总结幂函数性质，通过画图比拟，使学生进一步体会数形结合思想，利用计算机等工具，了解幂函数与指数函数本质差异，使学生充分认识到现代技术在人们认识世界过程中作用，从而激发学生学习欲望．3．应用幂函数图象与性质解决有关简单问题，培养学生观察分析归纳能力，了解类比法在研究问题中作用，渗透辩证唯物主义观点与方法论，培养学生运用具体问题具体分析方法去分析与解决问题能力．重点难点教学重点：从五个具体幂函数中认识幂函数概念与性质．教学难点：根据幂函数单调性比拟两个同指数指数式大小．课时安排1课时教学过程导入新课思路11．如果张红购置了每千克1元水果w千克，那么她需要付钱数p(元)与购置水果量w(千克)之间有何关系？根据函数定义可知，这里p是w函数．2．如果正方形边长为a，那么正方形面积S＝a2，这里S是a 函数．3．如果正方体边长为a，那么正方体体积V＝a3，这里V是a 函数．4．如果正方形场地面积为S，那么正方形边长a＝12S，这里a 是S函数．5．如果某人t s内骑车行进了1 km，那么他骑车速度v＝t－1 km/s，这里v是t函数．以上是我们生活中经常遇到几个数学模型，你能发现以上几个函数解析式有什么共同点吗？(右边指数式，且底数都是变量)．(适当引导：从自变量所处位置这个角度)(引入新课，书写课题：幂函数)．思路2．我们前面学习了三类具体初等函数：二次函数、指数函数与对数函数，这一节课我们再学习一种新函数——幂函数，教师板书课题：幂函数．推进新课新知探究提出问题(1)给出以下函数：y＝x，y＝12x，y＝x2，y＝x－1，y＝x3，考察这些解析式特点，总结出来，是否为指数函数？(2)根据(1)，如果让我们起一个名字话，你将会给他们起个什么名字呢？请给出一个一般性结论．(3)我们前面学习指对数函数性质时，用了什么样思路？研究幂函数性质呢？(4)画出y＝x，y＝12x，y＝x2，y＝x－1，y＝x3五个函数图象，完成以下表格.(5)通过对以上五个函数图象观察，哪个象限一定有幂函数图象？哪个象限一定没有幂函数图象？哪个象限可能有幂函数图象，这时可以通过什么途径来判断？(6)通过对以上五个函数图象观察与填表，你能类比出一般幂函数性质吗？活动：考虑到学生已经学习了指数函数与对数函数，对函数学习、研究有了一定经历与根本方法，所以教学流程又分两条线，一条以内容为明线，另一条以研究函数根本内容与方法为暗线，教学过程中同时展开，学生相互讨论，必要时，教师将解析式写成指数幂形式，以启发学生归纳，学生作图，教师巡视，学生小组讨论，得到结论，必要时，教师利用几何画板演示．讨论结果：(1)通过观察发现这些函数变量在底数位置，解析式右边都是幂，因为它们变量都在底数位置上，不符合指数函数定义，所以都不是指数函数．(2)由于函数指数是一个常数，底数是变量，类似于我们学过幂形式，因此我们称这种类型函数为幂函数，如果我们用字母α来表示函数指数，就能得到一般式子，即幂函数定义：一般地，形如y＝xα函数称为幂函数，其中x是自变量，α是常数．如y＝x2，y＝12x，y＝x3等都是幂函数，幂函数与指数函数、对数函数一样，都是根本初等函数．(3)我们研究指数、对数函数时，根据图象研究函数性质，由具体到一般；一般要考虑函数定义域、值域、单调性、奇偶性；有时也通过画函数图象，从图象变化情况来看函数定义域、值域、单调性、奇偶性等性质，研究幂函数性质也应如此．(4)学生用描点法，也可应用函数性质，如奇偶性、定义域等，画出函数图象．利用描点法，在同一坐标系中画出函数y＝x，y＝12x，y＝x2，y＝x3，y＝x－1图象．列表：图1让学生通过观察图象，分组讨论，探究幂函数性质与图象变化规律，教师注意引导学生用类比研究指数函数、对数函数方法研究幂函数性质．通过观察图象，完成表格.(5)第一象限一定有幂函数图象；第四象限一定没有幂函数图象；而第二、三象限可能有，也可能没有图象，这时可以通过幂函数定义域与奇偶性来判断．(6)幂函数y＝xα性质．①所有幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点(1,1)(原因：1x＝1)；②当α＞0时，幂函数图象都通过原点，并且在[0，＋∞)上是增函数(从左往右看，函数图象逐渐上升)．特别地，当α＞1时，x∈(0,1)，y＝xα图象都在y＝x图象下方，形状向下凸，α越大，下凸程度越大．当0＜α＜1时，x∈(0,1)，y＝xα图象都在y＝x图象上方，形状向上凸，α越小，上凸程度越大．③当α＜0时，幂函数图象在区间(0，＋∞)上是减函数．思路1应用例如例1 判断以下函数哪些是幂函数．①y x；②y＝x－3；③y＝x－2；④y＝15x.活动：学生独立思考，讨论答复，教师巡视引导，及时评价学生答复．根据幂函数定义判别，形如y＝xα函数称为幂函数，变量x系数为1，指数α是一个常数，严格按这个标准来判断．解：①y x底数是0.2，因此不是幂函数；②y＝x－3底数是变量，指数是常数，因此是幂函数；③y＝x－2底数是变量，指数是常数，因此是幂函数；④y＝15x底数是变量，指数是常数，因此是幂函数．点评：判断函数是否是幂函数要严格按定义来判断.例2(1)23y x=；(2)32y x-=；(3)y＝x－2.活动：学生思考，小组讨论，教师引导，学生展示思维过程，教师评价．根据你学习经历，回忆求一个函数定义域方法，判断函数奇偶性、单调性方法．判断函数奇偶性、单调性方法，一般用定义法．解决有关函数求定义域问题时，可以从以下几个方面来考虑：列出相应不等式或不等式组，解不等式或不等式组即可得到所求函数定义域．解：(1)要使函数23y x=有意义，只需y＝3x2有意义，即x∈R.所以函数23y x=定义域是x∈R.又f(－x)＝f(x)，所以函数23y x=是偶函数，它在(－∞，0]上是减函数，在[0，＋∞)上是增函数．(2)要使函数32y x-=有意义，只需y＝12x3有意义，即x∈R＋，所以函数32y x-=定义域是R＋，由于函数32y x-=定义域不关于原点对称，所以函数32y x-=是非奇非偶函数，它在(0，＋∞)上是减函数．(3)要使函数y＝x－2有意义，只需y＝1x2有意义，即x≠0，所以函数y＝x－2定义域是x≠0，又f(－x)＝f(x)，所以函数y＝x－2是偶函数，它在(－∞，0)上是增函数，在(0，＋∞)上是减函数．点评：在函数解析式中含有分数指数时，可以把它们解析式化成根式，根据“偶次根号下非负〞这一条件来求出对应函数定义域；当函数解析式幂指数为负数时，根据负指数幂意义将其转化为分式形式，根据分式分母不能为0这一限制条件来求出对应函数定义域，求函数定义域本质是解不等式或不等式组．例3 证明幂函数f (x )＝x 在[0，＋∞)上是增函数．活动：学生先思考或讨论，再答复，教师根据实际，可以提示引导．证明函数单调性一般用定义法，有时利用复合函数单调性．证明：任取x 1，x 2∈[0，＋∞)，且x 1＜x 2，那么f (x 1)－f (x 2)＝x 1－x 2＝(x 1－x 2)(x 1＋x 2)x 1＋x 2＝x 1－x 2x 1＋x 2，因为x 1－x 2＜0，x 1＋x 2＞0，所以x 1－x 2x 1＋x 2f (x 1)＜f (x 2)，即f (x )＝x 在[0，＋∞)上是增函数．点评：证明函数单调性要严格按步骤与格式书写，利用作商方法比拟大小，f (x 1)与f (x 2)符号要一致．思路2例1 函数y ＝122(2)x x --定义域是( ) A ．{x |x ≠0，或x ≠2} B ．(－∞，0)∪(2，＋∞)C ．(－∞，0]∪[2，＋∞) D．(0,2)解析：函数y ＝122(2)x x --化为y ＝1x 2－2x ，要使函数有意义需x 2－2x ＞0，即x ＞2或x ＜0，所以函数定义域为{x |x ＞2，或x ＜0}．答案：B(1),－0.2,0.3,0.3,.活动：学生先思考或回忆，然后讨论交流，教师适时提示点拨．比拟数大小，常借助于函数单调性．对(1)(2)可直接利用幂函数单调性．对(3)只利用幂函数单调性是不够，还要利用指数函数单调性，事实上，这里可作为中间量．解：(1)由于要比拟数指数一样，所以利用幂函数单调性，考察函数y＝x单调性，在第一象限内函数单调递增，又因为1.1＜1.2，所以.(2)由于要比拟数指数一样，所以利用幂函数单调性，考察函数y ＝x.(3)首先比拟指数一样两个数大小，考察函数y ＝x 单调性，在第一象限内函数单调递增，又因为0.2＜0.3，所以.再比拟同底数两个数大小，考察函数y x 单调性，在定义域内函数单调递减，又因为0.2＜0.3，所以.另外，此题还有图象法，计算结果等方法，留作同学们自己完成． 点评：指数一样幂大小比拟可以利用幂函数单调性；底数一样幂大小比拟可以利用指数函数单调性．知能训练1．以下函数中，是幂函数是( )A ．y ＝2xB ．y ＝2x 3C ．y ＝1xD ．y ＝2x 2．以下结论正确是( )A ．幂函数图象一定过原点B ．当α＜0时，幂函数y ＝x α是减函数C ．当α＞0时，幂函数y ＝x α是增函数D ．函数y ＝x 2既是二次函数，也是幂函数3．以下函数中，在(－∞，0)是增函数是( )A ．y ＝x 3B ．y ＝x 2C ．y ＝1xD ．32y x = 4．某幂函数图象经过点(2，2)，那么这个函数解析式为__________．答案：1．C 2．D 3．A 4．12y x =拓展提升分别在同一坐标系中作出以下函数图象，通过图象说明它们之间关系．①y＝x－1，y＝x－2，y＝x－3；②12y x-=，13y x-=；③y＝x，y＝x2，y＝x3；④12y x=，13 y x =.活动：学生思考或交流，探讨作图方法，教师及时提示，必要时，利用几何画板演示．解：利用描点法，在同一坐标系中画出上述四组函数图象如图2、图3，图4、图5.图2 图3图4 图5①观察图2得到：函数y＝x－1、y＝x－2、y＝x－3图象都过点(1,1)，且在第一象限随x增大而下降，函数在区间(0，＋∞)上是单调减函数，且向右无限接近x轴，向上无限接近y轴，指数越小，向右无限接近x轴图象在下方，向上离y轴越远．②观察图3得到：函数12y x-=、13y x-=图象都过点(1,1)，且在第一象限随x增大而下降，函数在区间(0，＋∞)上是单调减函数，且向右无限接近x轴，向上无限接近y轴，指数越小，向右无限接近x轴图象在下方，向上离y轴越远．③观察图4得到：函数y＝x、y＝x2、y＝x3图象过点(1,1)、(0,0)，且在第一象限随x增大而上升，函数在区间[0，＋∞)上是单调增函数，指数越大图象下凸越大，从第一象限来看，图象向上离y轴近，向下离x轴近．④观察图5得到：函数12y x=、13y x=图象过点(1,1)、(0,0)，且在第一象限随x增大而上升，函数在区间[0，＋∞)上是单调增函数，指数越小图象上凸越大，从第一象限来看，图象在点(1,1)左边离y轴近，在点(1,1)右边离x轴近．根据上述规律可以判断函数图象分布情况．课堂小结1．幂函数概念．2．幂函数性质．3．幂函数性质应用．作业课本习题2.3 1,2,3.设计感想幂函数作为一类重要函数模型，是学生在系统地学习了指数函数、对数函数之后研究又一类根本初等函数，课本内容较少，但高考内容不少，应适当引申，所以设计了一些课本上没有题目类型，以扩展同学们视野，同时由于作图内容较多，建议抓住关键点作图，要会熟练地运用计算机或计算器作图，强化对知识理解．备课资料历史上数学计算方面三大创造你知道数学计算方面三大创造吗？这就是阿拉伯数字、十进制与对数．研究自然数遇到第一个问题是计数法与进位制问题，我们采用十进制是中国人一大创造．在商代中期甲骨文中已有十进制，其中最大数是3万，印度最早到六世纪末才有十进制．但是，目前使用计数法与阿拉伯数字1,2,3,4,5,6,7,8,9,0是印度人最早开场使用，后来传到阿拉伯，由阿拉伯人传到欧洲，并被欧洲人所承受．十进制位置计数法诞生，是自然数开展史上一次飞跃，同一个数字由于它所在位置不同而有不同值．无穷多个自然数可以用有限个符号来驾驭，所有自然数都可以方便清楚地表示出来．16世纪前半叶，由于实际需要，对计算技术改良提出了前所未有要求．这一时期计算技术最大改良是对数创造与应用，它产生主要是由于天文与航海计算迫切需要．为了简化天文航海方面所遇到繁杂数值计算，自然希望将乘除法归结为简单加减法．苏格兰数学家纳皮尔(J.Napier,1550—1617)在球面天文学三角学研究中，首先创造了对数方法.1614年他在题为?奇妙对数定理说明书?一书中，阐述了他对数方法，对数使用价值为纳皮尔朋友——英国数学家布里格斯(H.Birggs,1561—1630)所认识，他与纳皮尔合作，并于1624年出版了?对数算术?一书，公布了以10为底14位对数表，并称以10为底对数为常用对数．常用对数曾经在简化计算上为人们做过重大奉献，而自然对数以及以e为底指数函数成了研究科学、了解自然必不可少工具．恩格斯曾把对数创造与解析几何创始，微积分学建立并称为17世纪数学三大成就．法国著名数学家、天文学家拉普拉斯曾说：“对数创造以其节省劳力而延长了天文学家寿命．〞一直到18世纪，瑞士数学家欧拉(L.Euler,1707—1783)才发现了指数与对数关系，他指出“对数源出于指数〞，这个见解很快被人们所承受．。
高中数学 第二章 基本初等函数(Ⅰ)2.3 幂函数课堂导学案 新人教A版必修1
2.3 幂函数课堂导学三点剖析一、幂函数的概念【例1】 请在下列的各幂函数与各图象之间建立能符合实际情况的一一对应.（1）y=32x ;(2)y=x -2; (3)y=21x ;(4)y=x -1; (5)y=31x ;(6)y=23x ;(7)y=34x ;(8)y=25x .解析：由幂函数的图象规律可得（1）⇔⑤；（2）⇔③；（3）⇔①；（4）⇔⑦；（5）⇔②；（6）⇔⑨；（7）⇔④；（8）⇔⑥.温馨提示幂函数图象比较复杂，可从如下几个方面去考虑作其草图：（1）在第一象限的图象大致形状与位置：当n<0，其图象为双曲型，过点（1，1），但不过（0，0）点.其形状如图①所示;当0<n<1时，其图象为抛物线型，过（0，0），（1，1）两点,其形状如图②所示；当n=1时，其图象为直线.如图③所示；当n>1时图象为抛物线型，过（0，0），（1，1）两点，其形状如图④所示.（2）图象在第一象限的排队情况，在x=1的右侧，沿箭头的方向，幂指数逐渐减小.如图：【例2】比较大小：（1）535.1____________537.1;(2)0.71.5_____________________0.61.5; (3)322.2-_____________328.1-;(4)0.15-1.2_____________0.17-1.2; (5)0.20.6_____________________0.30.4; (6)879-_______________76)98(. 解析：（1）—（4）可直接应用幂函数的单调性比较大小.（1）<;(2)>;(3)<;(4)>.由于（5）（6）中的两数的底数和指数均不相同，需借助“中间量”，同时利用幂函数和指数函数的单调性比较大小. （5）0.20.6<0.30.6<0.30.4;(6)879-=87)91(<76)91(<76)98(. 答案：（1）< (2)> (3)< (4)> (5)< (6)<温馨提示利用幂函数的单调性比较两个函数值的大小一般有如下三种情况：（1）同指数，不同底，可用幂函数的单调性直接比较大小.（2）同底不同指数的，可用幂函数图象的排队情况进行比较.（3）不同底，不同指数的，有时需要引入“中间量”进行比较.二、幂函数的图象和性质【例3】函数f(x)=(m 2-m-1)322--m m x 是幂函数,且在x ∈(0,+∞)上是减函数,则实数m 的取值集合是( )A.{m|m=-1或m=2}B.{m|-1<m<3}C.{2}D.{-1}思路分析:由幂函数定义,只有具有y=x α形式的函数才是幂函数,因此所给函数为幂函数,必须有m 2-m-1=1.又f(x)在(0,+∞)上是减函数,则有m 2-2m-3<0,由此确定m 的取值.解:由条件知⎪⎩⎪⎨⎧<--=--,032,1122m m m m 解得m=2.答案:C【例4】若幂函数的图象经过点(4,21),则f(161)=____________________. 思路分析:根据图象上的点求解析式的思路就是解方程确定α. 解:设幂函数为y=x α,点(4,21)满足解析式,则21=4α,即2-1=22α, ∴α=-21. ∴f(x)=21-x ,f(161)=21)161(-=(41)-1=4. 温馨提示本题是利用待定系数法确定解析式.各个击破类题演练1幂函数y=x a 在第一象限的图象如下图所示，a 取2,-2,21,-21四个值，则相应的曲线C 1，C 2，C 3，C 4的a 值依次为（ ）A.-2，-21，21，2B.2，21，-21，-2C.-21，-2，2，21D.2，21，-2，-21 解析：由上面的图象规律可知应选B.答案：B变式提升1(1)如下图，曲线C 1与C 2分别是函数y=x m 和y=x n 在第一象限的图象，则下列结论正确的是（ ）A.n<m<0B.m<n<0C.n>m>0D.m>n>0解析：由幂函数的图象规律可知n<0,且m<0，再根据其排队情况可知:n<m<0,故选A. 答案：A(2)若幂函数y=x α(α∈R)的图象在0<x<1时，位于直线y=x 的上方，则α的范围是______.解析：由图象可知0<α<1，α=0，α<0三种情况都符合条件，故α<1.答案：α<1类题演练2将下列各组数从小到大排列起来，并说明理由.（1）325.2,32)4.1(-,31)31(-； (2)525.4,328.3,53)9.1(-； (3)4316.0-,235.0-,8325.6.解析：（1）∵32)4.1(-=324.1>0,31)31(-<0,又y=32x 在（0,+∞）上单调递增,∴31)31(-<32)4.1(-<325.2.(2)∵525.4>1,0<328.3-<1,53)9.1(-<0,∴53)9.1(-<328.3-<525.4. (3)4316.0-=234.0-,8325.6=435.2=23)4.0(-,∵y=23-x 在（0，+∞）上单调递减.又4.0>0.5>0.4∴8325.6<235.0-<4316.0-.变式提升2函数f(x)=(a-b)3ax +b-3是幂函数，比较f(a)与f(b)的大小.解析：∵函数f(x)是幂函数，∴⎩⎨⎧=-=-,1,03b a b 解得⎩⎨⎧==,3,4b a ∴f(x)=34x .∵函数f(x)=34x 在第一象限内是增函数，且a>b>0,∴f(a)>f(b).类题演练3如果幂函数y=(m 2-3m+3)22--m m x 的图象不过原点,则m 的取值范围为( )A.-1≤m≤2B.m=1或m=2C.m=2D.m=1解析：⎪⎩⎪⎨⎧<--=+-,02,13322m m m m 解得m=1. 答案：D变式提升3已知幂函数y=322--m m x (m∈Z)在区间（0，+∞）上是减函数.求y 的解析式并讨论单调性和奇偶性.解析：由幂函数的性质知：m 2-2m-3<0，即-1<m<3,又m∈Z∴m=0,1,2.当m=0时，y=x -3，定义域为（-∞,0）∪(0,+∞).此时函数在（0，+∞）和(-∞，0）上都是单调递减函数，又（-x ）-3=-x -3，∴函数y=x -3是奇函数.当m=1时，y=x -4,定义域为（-∞,0)∪(0,+∞).此时函数在（-∞,0）上单调递增，在（0，+∞）上单调递减，又（-x ）-4=x -4.故为偶函数.当m=2时，y=x -3同m=0时的结论.类题演练4若幂函数图象上有一点为(9,3),求f(64).解析：设y=x α，则3=9α，∴α=21, ∴y=21x ,∴f(64)=8.答案：8变式提升4m 为何值,y=(m 2+2m)12-+m m x 为反比例函数. 解析：⎪⎩⎪⎨⎧-=-+≠+,11,0222m m m m 解得m=-1或m=0(舍去).答案：-1。
2019_2020学年高中数学第二章基本初等函数(Ⅰ)2.3幂函数教案新人教A版必修1
2．3 幂函数[目标] 1.记住幂函数的定义，熟悉α＝1,2,3，12，－1时幂函数的图象及性质；2.记住幂函数的性质，并会用性质解决有关问题．[重点] 幂函数的定义、图象和性质． [难点] 利用幂函数的性质解决有关问题.知识点一 幂函数的概念[填一填]一般地，函数y ＝x α叫做幂函数，其中x 是自变量，α是常数．[答一答]1．下列函数：①y ＝2x 3；②y ＝x 2＋1；③y ＝(x ＋1)3是幂函数吗？ 提示：它们都不满足幂函数的定义，所以都不是幂函数． 2．幂函数y ＝x α与指数函数y ＝a x(a >0，且a ≠1)有何区别？提示：幂函数y ＝x α的底数是自变量，指数是常数，而指数函数正好相反，指数函数y ＝a x中，底数是常数，指数是自变量． 知识点二 幂函数的图象[填一填]五种常见幂函数的图象幂函数y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝x －1，y ＝x12 的图象如下图．[答一答]3．幂函数y＝xα的图象在第一象限内有何特征？提示：(1)α>1，图象过点(0,0)，(1,1)，下凸递增，如y＝x2.(2)0<α<1，图象过点(0,0)，(1,1)，上凸递增，如y＝x 12 .(3)α<0，图象过点(1,1)，以两坐标轴为渐近线，如y＝x－1.4．为什么幂函数在第四象限内不存在图象？提示：当x>0时，y＝xα>0，不可能出现y<0的情形，所以幂函数在第四象限不存在图象．知识点三幂函数的性质[填一填]五类幂函数的性质[答一答]5．对于幂函数y＝xα(α是常数，x是自变量)其在第一象限内的单调性是怎样的？提示：α>0时，y ＝x α在(0，＋∞)上是增函数； α<0时，y ＝x α在(0，＋∞)上是减函数．类型一 幂函数的概念[例1] (1)下列函数：①y ＝x 3；②y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ；③y ＝4x 2；④y ＝x 5＋1；⑤y ＝(x －1)2；⑥y ＝x ；⑦y ＝a x (a >1)．其中幂函数的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4(2)已知f (x )＝(m 2－3m ＋3)x m －13为幂函数，则m 等于( )A ．1B ．2C ．1或2D ．－2[答案] (1)B (2)C[解析] (1)②⑦为指数函数，③中系数不是1，④中解析式为多项式，⑤中底数不是自变量本身，所以只有①⑥是幂函数，故选B.(2)由幂函数的定义可知m 2－3m ＋3＝1， 即m 2－3m ＋2＝0.解得m ＝1或m ＝2.故选C.幂函数解析式的结构特征：(1)解析式是单项式；(2)幂指数为常数，底数为自变量，系数为1.[变式训练1] (1)已知幂函数f (x )＝k ·x α的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，22，则k ＋α＝( C )A.12 B ．1 C.32D ．2 (2)已知函数y ＝(m 2＋2m －2)xm ＋2＋2n －3是幂函数，则m ＝－3或1，n ＝32.解析：(1)由幂函数定义知k ＝1，把⎝ ⎛⎭⎪⎫12，22代入y ＝x α得α＝12，∴k ＋α＝32.选C.(2)因为函数y ＝(m 2＋2m －2)xm ＋2＋2n －3是幂函数，由幂函数的定义得⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋2m －2＝1，2n －3＝0，解得m ＝－3或1，n ＝32.类型二 幂函数的图象[例2] 下图是幂函数y ＝x m、y ＝x n与y ＝x －1在第一象限内的图象，则( )A ．－1<n <0<m <1B ．n <－1,0<m <1C ．－1<n <0，m >1D ．n <－1，m >1 [答案] B[解析] 由y ＝x m 的图象是横卧抛物线形，知0<m <1；由y ＝x n的图象是双曲线，知n <0.作直线x ＝x 0(0<x 0<1)，与y ＝x n 、y ＝x －1的图象分别交于点A 、B ，由“点低指数大”知n <－1.故选B.在区间(0,1)上，幂函数的指数越大，图象越靠近x 轴；在区间(1，＋∞)上，幂函数的指数越大，图象越远离x 轴．[变式训练2] 幂函数y ＝x －1及直线y ＝x ，y ＝1，x ＝1将平面直角坐标系的第一象限分成八个区域，分别标记为①，②，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧(如图所示)，那么幂函数y＝x 12的图象经过的区域对应的序号有( D )A．④⑦ B．④⑧C．③⑧ D．①⑤解析：∵x－x＝x(x－1)，当0<x<1时，x－x<0，即x<x<1，∴幂函数y＝x 12的图象经过区域①；当x>1时，x－x>0，即x>x>1，∴幂函数y＝x 12的图象经过区域⑤.类型三幂函数的性质应用[例3] 比较下列各组中三个数的大小．[分析] 本题考查幂函数及指数函数的单调性．比较幂值大小的方法[变式训练3] 比较下列各组中两个值的大小：1．下列所给出的函数中，是幂函数的是( B ) A ．y ＝－x 3B ．y ＝x －3C ．y ＝2x 3D ．y ＝x 3－12．如果幂函数f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫4，12，那么f ⎝ ⎛⎭⎪⎫116的值为( D ) A.12B ．2C ．1D ．4 解析：设f (x )＝x α.∵f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫4，12，∴12＝4α，解得α＝－12.∴f (x )＝x －12 ，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫116＝⎝ ⎛⎭⎪⎫116－12＝4. 3．函数y ＝x 13的图象是( B)解析：∵函数y ＝x13是幂函数，幂函数在第一象限内恒过点(1,1)，排除A ，D.当x >1,0<α<1时，y ＝x α在直线y ＝x 下方，排除C ，选B.4．幂函数y ＝x －1在[－4，－2]上的最小值为－12.解析：∵y ＝x －1在(－∞，0)上单调递减，∴y ＝x －1在[－4，－2]上递减，∴y ＝x －1在[－4，－2]上的最小值是－12.5．比较下列各题中两个幂的值的大小：解：(1)∵y ＝x 12 为[0，＋∞)上的增函数，又1.1>0.9，∴1.1 12 >0.9 12.——本课须掌握的三大问题1．幂函数y ＝x α的底数是自变量，指数是常数，而指数函数正好相反，底数是常数，指数是自变量．2．幂函数在第一象限内指数变化规律在第一象限内直线x ＝1的右侧，图象从上到下，相应的指数由大变小；在直线x ＝1的左侧，图象从下到上，相应的指数由大变小．3．简单幂函数的性质(1)所有幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且当自变量为1时，函数值为1，即f (1)＝1.(2)如果α>0，幂函数在[0，＋∞)上有意义，且是增函数． (3)如果α<0，幂函数在x ＝0处无意义，在(0，＋∞)上是减函数．学习至此，请完成课时作业22学科素养培优精品微课堂与幂函数有关的简单不等式问题开讲啦与幂函数有关的不等式是形如[f (x )]α>[g (x )]α的不等式，通常利用幂函数y ＝x α的定义域和单调性将其转化为关于x 的不等式组来求解．[典例] 已知幂函数y ＝xp －3(p ∈N *)的图象关于y 轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，求满足(a ＋1) p 3 <(3－2a ) p3的实数a 的取值范围．[分析] 先根据y ＝x p －3的单调性和奇偶性及p ∈N *确定p 的值，再利用函数y ＝x p3 的单调性列不等式求解．[解] 因为函数y ＝x p －3在(0，＋∞)上是减函数，所以p －3<0, 即p <3，又因为p ∈N *，所以p ＝1或p ＝2.因为函数y ＝xp －3的图象关于y 轴对称，所以p －3是偶数，所以p ＝1，即y ＝x －2，(a＋1) 13 <(3－2a ) 13 .因为函数y ＝x 13 在(－∞，＋∞)上是增函数，所以a ＋1<3－2a ，即a <23，所以a 的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫－∞，23. [对应训练] 已知f (x )＝x 1－n 2＋2n ＋3(n ＝2k ，k ∈Z )在[0，＋∞)上单调递增，解不等式f (x 2－x )>f (x ＋3)．解：由条件知1－n 2＋2n ＋3>0，∴－n2＋2n＋3>0，解得－1<n<3. 又n＝2k，k∈Z，∴n＝0或n＝2.当n＝0或n＝2时，f(x)＝x 13 .∵f(x)＝x 13在R上单调递增，∴f(x2－x)>f(x＋3)等价于x2－x>x＋3.解得x<－1或x>3.∴原不等式的解集为(－∞，－1)∪(3，＋∞)．。
山西省平遥县高中数学 第二章 基本初等函数(Ⅰ)2.3 幂函数教案 新人教A版必修1
幂函数【教学目标】1．通过生活实例引出幂函数的概念，会画幂函数的图象，了解幂函数图象的变化情况和性质；2．了解几个常见的幂函数的性质，了解幂函数和指数函数的本质区别；3．应用幂函数的图象和性质解决有关简单问题，培养学生观察分析归纳能力．【重点难点】重点：从五个具体的幂函数中认识幂函数的概念和性质．难点：画幂函数的图象并由图象概括其性质是教学中可能遇到的困难．【教学过程】一、情景设置1．①如果正方体的边长为a，则正方体的体积V随a变化的函数关系是_______．②如果正方形的面积为S，则正方形的边长a随S变化的函数关系是_______．a=S 12③如果某人ts内骑车行进了1km，那么他骑车的速度v随t变化的函数关系是_______．以上是我们生活中经常遇到的几个数学模型，①你能发现以上几个函数解析式有什么共同点吗？②它们是否都为指数函数？2．你能画出函数y=x，y=x2，y=x 12，y=x-1，y=x3的图象吗？3．通过对以上五个函数图象的观察，哪个象限一定有幂函数的图象？哪个象限一定没有？哪个象限可能有？这时可通过什么途径来判断？4．通过对以上五个函数图象的观察，你能得出它们的性质吗？(2) y=x，y=x3，y=x-1是奇函数，y=x2是偶函数，y=x 12是非奇非偶函数；(3)在区间(0,+∞)上，y=x，y=x2，，y=x3，y=x 12都是增函数，y=x-1是减函数；(4)在第一象限内，y=x-1向上与y轴无限接近，向右与x轴无限接近；(5)在第一象限内，y=x2，，y=x3向下凸，y=x 12向上凸．2 二、教学精讲例1．判断下列函数哪些是幂函数？①y=0.2x ；②y=2x 2；③y=x 2+x ；④y=-x 3；⑤y=x -3例2．已知y=(m 2)x 1m 2-1+2n -3是幂函数，求m ，n 的值． 得⎩⎪⎨⎪⎧m2+2m -2=1m 2-1≠02n -3=0解得⎩⎪⎨⎪⎧m=-3n=32为例3．求下列幂函数的定义域，指出其奇偶性、单调性，并画它们的大致图象．①y=x 13；②y=x -2；③y=21-x例4．比较下列各组数的大小： ①253-和251.3-；②4.125，328.3-，(-1.9)35 ：①253- >251.3-；②(-1.9)35<328.3-<4.125三、探索研究四、课堂练习1． 若幂函数y=f(x)的图象过点(9,13)，则f(25)的值是______．152． 作出函数y=32-x 的图象，根据图象讨论这个函数有哪些性质．3． 比较大小 ①211.1-, 219.0- ②4316.0-,235.0-,6.2538 ①211.1-<219.0- ②6.2538<235.0-<4316.0-【教学后记】。
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高中数学第二章基本初等函数（I ）2.3幂函数幂函数及其性质学案（无答案）新人
教版必修1
自学目标
1.了解幂函数的概念
2.会画出几个常见的幂函数的图象
3.了解几个常见的幂函数的性质,并能简单应用 自主学习
阅读课本77页—78页完成下列任务 探究任务一：幂函数的概念 1. 什么叫幂函数？
2.试试：判断下列函数哪些是幂函数.
① 1
y x
=；②22y x =；③3y x x =-；④1y =.
探究任务二：幂函数的图象与性质
1.在同一坐标系作出下列函数的图象：
（1）y x =；（2）12
y x =；（3）2y x = （4）1y x -=；（5）3
y x =．
2.观察图象，总结填写下表：
x y =
2x y =
3x y =
2
1x y =
1-=x y
图象
定义域 值域 奇偶性 单调性
公共点
归纳：
幂函数的的性质及图象变化规律：
（1）所有的幂函数在(0,)+∞都有定义，并且图象都过点＿＿＿＿
（2）0α>时，幂函数的图象通过原点，并且在区间[0,)+∞上单调性是＿＿＿
特别地，当1α>时，幂函数的图象下凸；当01α<<时，幂函数的图象上凸； （3）0α<时，幂函数的图象在区间(0,)+∞上单调性是＿＿＿＿．
自学检测
1、下列所给出的函数中，是幂函数的是 （ ）
A ．3
x y -=
B ．3
-=x
y
C ．3
2x y =
D ．13
-=x y
2. 79页习题1， 82页10，
3. 若幂函数()f x x α=在(0,)+∞上是增函数，则（ ）.
A ．α>0
B ．α<0
C ．α=0
D ．不能确定 4. 比大小：（1）112
2
1.3_____1.5； （2）225.1______5.09--.
变式 若112
2
1.1,0.9a b -
==，那么下列不等式成立的是（ ）. A ． a <l<b B ．1<a <b C ．b <l<a D ．1<b <a 5. 函数43
y x =的图象是（ ）.
A. B. C. D.
6.如图所示，幂函数α
x y =在第一象限的图象，比较1,,,,,04321αααα的大小（ ）
A ．102431<<<<<αααα
B ．104321<<<<<αααα
C ．1
34210αααα<<<<<
D ．142310αααα<<<<<
x -2 -1 0 1 2 2
y x = x -2 -1 0 1
2 3y x =
x 0 1 y x = x
1 4 1
2
y x =
x
-2 -1 -
1 2 1
y x -=
1α
3α
4α
2α。