福建省三明市一中2015届高三上学期第二次月考数学(文)试题

'考试时间：2015年1月5日 7:30~9:30 共120分钟 (满分：150分) 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1、已知复数i z 211+=，12z i z ⋅=，则=2z ( ) A ．i +-2 B ．i +2 C ．i -2 D ．i 32、已知{}51<<-=x x M ，(){}04>-=x x x N ，则=⋂N M ( ) A ． ()0,1- B ．()()5,40,1⋃- C ．()4,0 D ． ()5,4 3、函数()x x x f 163-=的某个零点所在的一个区间是( )A ．()0,2-B ．()1,1-C ．()2,0D ．()3,14、在正方体D C B A ABCD ''''-中，直线D A '与BD 所成的角为( A ．︒30 B ．︒45 C ．︒60 D ．︒905、某化工厂单位要在600名员工中抽取60名员工调查职工身体健康状况，其中青年员工300名，中年员工200名，老年员工100名，下列说法错误的是( ) A ．老年人应作为重点调查对象，故老年人应该抽超过30名 B ．每个人被抽到的概率相同为101C ．应使用分层抽样抽取样本调查D ．抽出的样本能在一定程度上反应总体的健康状况 6、下列命题中，真命题是( )A ．R x ∈∃0，00≤x eB ．R x ∈∀，22x x >C ．0=+b a 的充要条件是1-=baD ．1>a ，1>b 是1>ab 的充分条件7、等比数列{}n a 的首项11=a ，前n 项的和为n S ，若33=S ，则=4S ( )A ．5-B ．6-C ．4或5-D ．5-或6-8、如图，矩形ABCD 中点E 位边CD 的中点，若在矩形ABCD 内部随机取一个点Q ，则点Q 取自ABE ∆内部的概率等于( )A ．41 B ．31 C ．21 D ．329、已知直线l 过圆()4322=-+y x 的圆心，且与直线01=++y x 垂直，则l 的方程是( ) A ．02=-+y x B ．02=+-y x C ．03=-+y x D ．03=+-y x10、在同一个坐标系中画出函数xa y =，ax y sin =的部分图像，其中0>a 且1≠a ，则下)11、已知1F 、2F 为双曲线C :221x y -=的左、右焦点，点在曲线上，︒=∠6021PF F ，则P 到x 轴的距离为()ABCD 12、已知F 为抛物线x y =2的焦点，点B A 、在该抛物线上且位于x 轴的两侧，2=⋅OB OA (其中O 为坐标原点)，则ABO ∆与AFO ∆面积之和的最小值是( )A ．2B ．3C ．8217 D ．10二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分。

把答案填在答题卡的相应位置.)13、已知24=a，a x =lg ，则=x ********.14、阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的s 值 等于********.15、下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x (吨)与相应的生产能耗y (吨标准煤)的几组对应数据﹒根据上表提供的数据，求出y 关于x 的线性回归方程0.70.35y x =+， 那么表中m 的值为********．16、桌上有十个苹果，要把这十个苹果放到九个抽屉里，无论怎样放，我们会发现至少会有一个抽屉里面至少放两个苹果. 这一现象就是我们所说的“抽屉原理”。

现已知某某市一中有2556名学生，假设没有同学在2月29号过生日，那么在一年365天中最多人过生日的那天，至少有********人同时过生日.三、解答题(本大题共6小题，共74分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.) 17、(本小题12分)在等差数列{}n a 中，6352==a a ，.. (1)求n a ； (2)设11+⋅=n n n a a b ，求数列{}n b 的前n 项和n S 的取值范围.18、(本小题12分) 2014年2月，西非开始爆发埃博拉病毒疫情，埃博拉病毒是引起人类和灵长类动物发生埃博拉出血热的烈性病毒，引发了世界恐慌。

中国国际救援组织立即采用分层抽样的方法从病毒专家、心理专家、地质专家三类专家中抽取若干人组成研究团队赴西非工作，有关数据见表1(单位：人).病毒专家为了检测当地群众发烧与是否更易受博拉病毒疫情影响，在当地随机选取了110群众进行了检测，并将有关数据整理为不完整的22⨯列联表(表2).表1：表2：(1)求y x ，；(2)写出表2中E D C B A 、、、、的值，并判断是否有99.9%的把握认为疫情地区的群众发烧与患Ebola 病毒有关；(3)若从研究团队的病毒专家和心理专家中随机选2人撰写研究报告，求其中恰好有1人为病毒专家的概率.2K 临界值表：19、((1)求函数()x f 的周期和最大值；(2)设函数()x f 在[]1,1-∈x 的区间上的图像与x 轴的交点从左到右分别为N M 、，图像的最高点为P ，求与的夹角θ的余弦值.20、(本小题12分)如图所示，一个直径2=AB 的半圆，过点A 作这个圆所在平面的垂线，在垂线上取一点S ，使AB AS =，C 为半圆上的一个动点，N M 、分别在SC SB 、上，且SB AM SC AN ⊥⊥，.(1)证明：BC AN ⊥； (2)证明：⊥SB 面ANM ；(3)求三棱锥AMN S -体积的最大值.21、(本小题14分)椭圆E 的两焦点坐标分别为()0,31-F 和()302，F ，且E 过点⎪⎪⎭⎫⎝⎛-231，. (1)求椭圆方程； (2)过点⎪⎭⎫⎝⎛-0,56作不与y 轴垂直的直线l 交该椭圆于N M 、两点，A 为椭圆的左顶点.试猜想MAN ∠的大小是否为定值，定值为多少?如果是定值，请证明；如果不是，请说明理由.一、选择题二、填空题13、10 14、3- 15、3 16、8 三、解答题17、解：(1)依题意可知111==d a ，……………………………………….4分 故1+=n a n ……………………………………………………………………6分 (2)()()211++=n n b n ………………………………………………………….7分2111+-+=n n …………………………………………………………..9分 21212111....41313121+-=+-+++-+-=n n n S n ………………………10分 显然n 增大，趋向无穷大，21+n 变小，并且趋向0 故当1=n 时取最小值61， 2161<≤n S ………………………..……………..12分(酌情扣分) 18、解：(1)依题意可知，7262448==y x ，故24==y x ，，…………………………2分 (2)11050601010=====E D C B A ，，，，……...4分(错1个得1分，全对给2分) 假设0H ：疫情地区的群众发烧与患Ebola 病毒无关()≈⨯⨯⨯⨯-⨯=506050601010405011022K 44.1828.10>……….6分(计算约分时允许有5±的误差) ()001.0828.102<>K P故有%9.99的把握认为疫情地区的群众发烧与患Ebola 病毒有关……………………7分 (3)给病毒专家编号为1，2，3，4，心理专家为b a ，，则随机选2人撰写研究报告，包含的基本事件有(1,2)，(1.3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)，(1,a )，(1,b )，(2,a )，(2,b )，(3,a )，(3,b )，(4,a )，(4,b )，(a ,b )共15种……………………………………………………….……..…10分 记事件A 为：随机选2人撰写研究报告，求其中恰好有1人为病毒专家，则事件A 包含的基本事件为(1,a )，(1,b )，(2,a )，(2,b )，(3,a )，(3,b )，(4,a )，(4,b )共8种. 故()158=A P ………………………………………………………………………..………12分 19、解：依题意可知()⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=6sin cos 21sin 23ππππx x x x f ……………………..2分 (1) 22==ππT ，故()x f 的最小正周期为2……………………………………………4分令226ππππ+=+k x ，则312+=k x ，Z k ∈…………………………………………5分 ()1312max =⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⇒k f x f ………………………………………………………………6分(2) 令πππk x =+6，则61-=k x ，Z k ∈………………………………………..…….7分 故在[]1,1-∈x 的区间上的图像与x 轴的交点从左到右分别⎪⎭⎫ ⎝⎛-061，M ，⎪⎭⎫ ⎝⎛065，N …..8分由(1)可知，区间[]1,1-上最高点为⎪⎭⎫⎝⎛131，P ………………………………………………...9分⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⇒121，，⎪⎭⎫⎝⎛-=121，…………………………………………..………10分故()()534543121121141cos 2222==-+⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-θ…………...…..12分 令πππππk x k 224222+≤+≤+-，得ππππk x k +≤≤+-883，Z k ∈故()x f 的单调递增区间为⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-ππππk k 883，，Z k ∈……………………12分(2)SB AN SCB SB SCB AN SCB SC BC CSC BC SC AN BCAN ⊥⇒⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫⊂⊥⇒⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⊂=⋂⊥⊥面面面、 AMN SB AMN AM AN A AM AN AM SB SBAN 面面、⊥⇒⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⊂=⋂⊥⊥…………………………..9分(该步骤方法雷同)(3) SM S V ANM AMN S ⋅⋅=∆-31.由2==AB SA ，得到2==SM AM ，而NM AN ⊥， AMN ∆为斜边长为2的直角三角形，………………………………10分面积最大在1==MN AN 时取得………………………………………11分 所以，62211213131=⨯⎪⎭⎫⎝⎛⨯⨯⨯=⋅⋅=∆-SB AMN AMN S h S V …………..12分 21、解：(1)依题意椭圆的焦点在x 轴上，设椭圆方程为()012222>>=+b a by a x …….1分3=c ，322+=∴b a ………………………………………………………………….2分又 椭圆过点⎪⎪⎭⎫⎝⎛-231，，1433122=++∴bb化简得()()019422=-+b b 故12=b 或492-=b (舍)…………………………………………………………………….4分 椭圆方程为1422=+y x ……………………………………………………………………..5分(2)猜想：MAN ∠为定值︒90………………………………………………………………..6分 方法一：由(1)可知()0,2-A由于直线l 不与y 轴垂直，则设56-=ty x l ：……………………………………………..7分 ()025*******4562222=--+⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=ty y t y x ty x ……………………………………………8分 ()42564221+-=⇒t y y ，()4512221+=+t ty y ………………………………………….9分 ()()425144100253656565622212122121++-=++-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=t t y y t y y t ty ty x x ………..10分 ()()454851222121+-=-+=+t y y t x x …………………………………………………11分 由()112y x ，+， ()222y x ，+，得()()()()42564445482425144100422222212121+-++⨯-++-=++++=⋅t t t t y y x x x x()()0425644100480144100222=+-++-+-=t t t …………………………….13分故⊥，即︒=∠90MAN ……………………………………………………14分 方法二：①若直线l x ⊥轴，则设56-=x l ：………………………………………………….6分 54145622±=⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=y y x x 即⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛--54565456，，，N M⎪⎭⎫ ⎝⎛-5454，AM ， ⎪⎭⎫ ⎝⎛5454，AN …………………………………………………………7分⇒054545454=⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⨯=⋅ 故⊥，即︒=∠90MAN ………………………………………………………8分 ②若直线l 不垂直于x 轴，则设⎪⎭⎫ ⎝⎛+=56x k y l ： 剩余部分酌情给分.22、解：依题意可知()x f 的定义域为()∞+，0，………………………………..1分 且()xm x x f 22+-='………………………………….…………………………..3分 (1)当5=m 时，()()()xx x x x x x f 2122522--=+-=' 令()0<x f ，则221<<x 故()x f 的单调递减区间为⎪⎭⎫ ⎝⎛2,21……………………..……………………………5分 (2) 由()244222-=-=-≥-+='m m m xx x f ，得6=m ………………..7分 当xx 22=，即1=x 时，可知曲线()x f y =的切线斜率取最小值，切点()11-，切线l 的方程为12+-=x y …………………….…………………………………….9分(3)令()0222=+-='xmx x x f ，得方程的根21x x ，，则显然满足0222=+-mx x故221mx x =+，121=⋅x x 且02242>⨯⨯-=∆m ，得162≥m …………….12分 ()()2222112121ln 4ln 24x mx x x mx x x f x f ++-+++-=+⇒()()()468224ln 282ln 2822221212122121212221m m m x x x x m x x x x x x x x m x x -=+--=⋅+++-⋅-+=⋅+++-+=由162≥m 可知，2462<-m 显然成立，证毕………………………………………..14分。