二维随机变量及其联合分布
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§3.1 二维随机变量及其联合分布
一、二维随机变量的概念
在射击时，弹着点是目标上的一个位 置，它与横坐标和纵坐标有关，弹着点受 两个变量的影响. 在工程结构设计中，出于 可靠性的考虑，需要考察构件的抗拉力与 荷载效应，可靠性也受着两个变量的影 响．
与一维随机变量类似，一般地我们可 定义二维随机变量如下：
0
其它
（3－13）
则称 (X , Y ) 服从区域 D 上的均匀分布，记为(X, Y) ~ U(D)
．若的概率密度函数为
f
(x,
y)
1
2 1 2
1 2
exp
1 ((x 1 )2
2(1 2 )
2 1
2
(x 1 )( y 1 2
2 )
为 (X , Y) 的联合分布律（列）或联合概率分布
(Joint Probability Distribution)，简称分布
律．
X y1 y2 y j
分布律一般用表格形式表示: （3—6）
x1 p11 x2 p21
p12 p1 j p22 p2 j
xi pi1
(3-12)
是(X , Y ) 的一个联合概率密度函数．
由性质（3）知：在几何上 z f x, y ，表示
空间的一个曲面P{，(X , Y) D} 的值等于以D
为底、以曲面z f x, y 为顶的曲顶柱体的体
积D．
S
设 是平面上的某个区域，其面积为 ，若
(X,Y) 的f 概(x, y率) 密S1 度(函x, y数) D
点(X , Y)落在点 (x, y) 左下方的整个无穷区域内
的概率，如图3.1所示．
y
（x, y）
x
o
图3.1
联合分布函数具有下列性质
由定义3.2和图3.2易知， 对任意的 x1, x2 , y1, y2
（ x1 x2 , y1 y2 ），有
1. P{x1 X x2, y1 Y y2} F(x2, y2) F(x2, y1) F(x1, y2) F(x1,（y1) 3－2）
（Joint Distribution）．与一维情形类似，为 了研究二维随机变量的联合分布，我们引 入二维随机变量的分布函数的概念．
定义3.2 设 X (), Y() 是定义在样本空间 上 的二维随机变量，对于任意的实数 x, y ， 称函数
F(x, y) P{ : X x, Y y} （3—1）
与一维情形类似，我们有如下定义：
1. 定义3.5 设二维随机变量(X , Y ) 的分布函 数 F(x, y)为，若存在非负可积函数，f (x, y)
使得对于任意实数 x 和 y ，有
yx
F(x, y)
f (x, y)dxdy
（3—9）
则称 (X , Y)为二维连续型随机变量，f (x, y) 称
定义3.1 设是一个随机试验，X X () 和 Y Y()
是定义在其样本空间 上的随机变量ຫໍສະໝຸດ Baidu
，由它们构成的向量X (), Y() 称为定义在样
本空间 上的二维随机变量或二维随机向
量，简记为 X , Y ．X () 、Y ()依次称为二 维随机变量 X , Y 的第1个分量（或坐标）、
F(, ) 0 , F(, ) （1 3—4） 这可借助于几何直观进行说明． 4. F(x, y) 关于 x 和 y 均右连续，即 F(x, y) F(x 0, y) , F(x, y) F(x, y 0)
三、 二维离散型随机变量及其联合分布律
与一维随机变量的情形类似，我们这 里讨论的也是离散型和连续型这两种类型 的二维随机变量． 定义3.3 若二维随机变量 (X , Y )的所有可能取 值只有有限或可列无限个，则称 (X, Y) 为二 维离散型随机变量．
在研究随机向量的概率特征时，除每 个随机变量的概率特征外，还要研究它们 的联合概率特征：后者可以完全决定前者， 但是前者一般不能完全决定后者．因此， 只研究单个随机变量的分布是不够的，还 必须研究随机向量作为一个整体的联合分 布．
对于二维随机变量，X , Y 作为整体的
分布称为二维随机变量 X , Y 的联合分布
从而, F(x2 , y2 ) F(x2 , y1) F(x1, y2 ) F(x1, y1)≥0
（3—3）
（x1，y2）
（x2，y2）
o
（x1，y1）
图3.2
（x2，y1）
2. 是和的单调非降函数；（证略） 3. 对于平面上的任意点 (x, y) ，
0 F(x, y) 1 ； 且对任意固定的 y ，F(, y) 0 ， 对任意固定的 x ，F(x, ) 0 ，
第二个分量（或坐标）．
一般地，设是一个随机试验，X1, X2,, Xn 是定义在其样本空间 上 n维随机变量或n
维随机向量，简记为 X1, X 2, , X n ，X i X i () 称为第 i个分量（或坐标），i 1, 2, ,n .
二、二维随机变量的联合分布
pi2 p i j
显然，二维离散型随机变量的分布列 满足：
1. pi j 0 （非负性）
2. pi j 1 （规范性） （3—7） i, j
其联合分布函数为
F(x, y) P{X x, Y y} pi j（3—8） yj y xix
四、二维连续型随机变量及联合概率密 度函数
为二维随机变量 X (), Y () 的联合分布函
数（Joint Distribution Function），简称
(X , Y ) 的分布函数．
以后, 将（3—1）中的表达式简记为．
F(x, y) P{X x, Y y}显然，分布函数 F(x, y) 在 平面上任意点 (x, y) 处的函数值就是随机
显然，若(X , Y ) 是二维离散型随机变量， 则其分X 量 和 Y 都是一维离散型随机变量. 通常, 我们用联合概率分布律（列）
定义3.4 设 (X , Y) 是二维离散型随机变量，它 所有可能的取值为(xi , y j ) , i, j 1, 2, ， 则称
P{X xi , Y y j} pi j , i, j 1, 2, （3—5）
为 (X, Y) 的联合概率密度函数（Joint Probability Density Function），
简称的概率密度．
类似地，的联合概率密度函数具有性质（证 略）：
（1） （非负性） f (x, y) 0
；
（2） （规范性） f (x, y)dxdy 1 ；（3—10） （3） 对于平面上任意可积的区域 D, 有
(y 2)2 22
)
其中 均为常数， 1, 2 , 1, 2 ,
1 0, 2 0, 1, (x, y) R2
，则称
(X , Y)
服从参数为（ 1 ,
2,
2 1
,
2 2
,
）的二
维正态分布，记为
(
X
,
Y
)
~
N
(1
,
2
,
2 1
,
2 2
,
)
．
P{( X , Y ) D} f x, ydxdy x,y D
；（3—11）
（4） 若除可数点外 F(x, y) 的二阶混合偏导
数处处连续,则
x, y
f (x, y) 2F (x, y) xy
在 2F (x, y) 的连续点处 xy
f x，y 0
其他
一、二维随机变量的概念
在射击时，弹着点是目标上的一个位 置，它与横坐标和纵坐标有关，弹着点受 两个变量的影响. 在工程结构设计中，出于 可靠性的考虑，需要考察构件的抗拉力与 荷载效应，可靠性也受着两个变量的影 响．
与一维随机变量类似，一般地我们可 定义二维随机变量如下：
0
其它
（3－13）
则称 (X , Y ) 服从区域 D 上的均匀分布，记为(X, Y) ~ U(D)
．若的概率密度函数为
f
(x,
y)
1
2 1 2
1 2
exp
1 ((x 1 )2
2(1 2 )
2 1
2
(x 1 )( y 1 2
2 )
为 (X , Y) 的联合分布律（列）或联合概率分布
(Joint Probability Distribution)，简称分布
律．
X y1 y2 y j
分布律一般用表格形式表示: （3—6）
x1 p11 x2 p21
p12 p1 j p22 p2 j
xi pi1
(3-12)
是(X , Y ) 的一个联合概率密度函数．
由性质（3）知：在几何上 z f x, y ，表示
空间的一个曲面P{，(X , Y) D} 的值等于以D
为底、以曲面z f x, y 为顶的曲顶柱体的体
积D．
S
设 是平面上的某个区域，其面积为 ，若
(X,Y) 的f 概(x, y率) 密S1 度(函x, y数) D
点(X , Y)落在点 (x, y) 左下方的整个无穷区域内
的概率，如图3.1所示．
y
（x, y）
x
o
图3.1
联合分布函数具有下列性质
由定义3.2和图3.2易知， 对任意的 x1, x2 , y1, y2
（ x1 x2 , y1 y2 ），有
1. P{x1 X x2, y1 Y y2} F(x2, y2) F(x2, y1) F(x1, y2) F(x1,（y1) 3－2）
（Joint Distribution）．与一维情形类似，为 了研究二维随机变量的联合分布，我们引 入二维随机变量的分布函数的概念．
定义3.2 设 X (), Y() 是定义在样本空间 上 的二维随机变量，对于任意的实数 x, y ， 称函数
F(x, y) P{ : X x, Y y} （3—1）
与一维情形类似，我们有如下定义：
1. 定义3.5 设二维随机变量(X , Y ) 的分布函 数 F(x, y)为，若存在非负可积函数，f (x, y)
使得对于任意实数 x 和 y ，有
yx
F(x, y)
f (x, y)dxdy
（3—9）
则称 (X , Y)为二维连续型随机变量，f (x, y) 称
定义3.1 设是一个随机试验，X X () 和 Y Y()
是定义在其样本空间 上的随机变量ຫໍສະໝຸດ Baidu
，由它们构成的向量X (), Y() 称为定义在样
本空间 上的二维随机变量或二维随机向
量，简记为 X , Y ．X () 、Y ()依次称为二 维随机变量 X , Y 的第1个分量（或坐标）、
F(, ) 0 , F(, ) （1 3—4） 这可借助于几何直观进行说明． 4. F(x, y) 关于 x 和 y 均右连续，即 F(x, y) F(x 0, y) , F(x, y) F(x, y 0)
三、 二维离散型随机变量及其联合分布律
与一维随机变量的情形类似，我们这 里讨论的也是离散型和连续型这两种类型 的二维随机变量． 定义3.3 若二维随机变量 (X , Y )的所有可能取 值只有有限或可列无限个，则称 (X, Y) 为二 维离散型随机变量．
在研究随机向量的概率特征时，除每 个随机变量的概率特征外，还要研究它们 的联合概率特征：后者可以完全决定前者， 但是前者一般不能完全决定后者．因此， 只研究单个随机变量的分布是不够的，还 必须研究随机向量作为一个整体的联合分 布．
对于二维随机变量，X , Y 作为整体的
分布称为二维随机变量 X , Y 的联合分布
从而, F(x2 , y2 ) F(x2 , y1) F(x1, y2 ) F(x1, y1)≥0
（3—3）
（x1，y2）
（x2，y2）
o
（x1，y1）
图3.2
（x2，y1）
2. 是和的单调非降函数；（证略） 3. 对于平面上的任意点 (x, y) ，
0 F(x, y) 1 ； 且对任意固定的 y ，F(, y) 0 ， 对任意固定的 x ，F(x, ) 0 ，
第二个分量（或坐标）．
一般地，设是一个随机试验，X1, X2,, Xn 是定义在其样本空间 上 n维随机变量或n
维随机向量，简记为 X1, X 2, , X n ，X i X i () 称为第 i个分量（或坐标），i 1, 2, ,n .
二、二维随机变量的联合分布
pi2 p i j
显然，二维离散型随机变量的分布列 满足：
1. pi j 0 （非负性）
2. pi j 1 （规范性） （3—7） i, j
其联合分布函数为
F(x, y) P{X x, Y y} pi j（3—8） yj y xix
四、二维连续型随机变量及联合概率密 度函数
为二维随机变量 X (), Y () 的联合分布函
数（Joint Distribution Function），简称
(X , Y ) 的分布函数．
以后, 将（3—1）中的表达式简记为．
F(x, y) P{X x, Y y}显然，分布函数 F(x, y) 在 平面上任意点 (x, y) 处的函数值就是随机
显然，若(X , Y ) 是二维离散型随机变量， 则其分X 量 和 Y 都是一维离散型随机变量. 通常, 我们用联合概率分布律（列）
定义3.4 设 (X , Y) 是二维离散型随机变量，它 所有可能的取值为(xi , y j ) , i, j 1, 2, ， 则称
P{X xi , Y y j} pi j , i, j 1, 2, （3—5）
为 (X, Y) 的联合概率密度函数（Joint Probability Density Function），
简称的概率密度．
类似地，的联合概率密度函数具有性质（证 略）：
（1） （非负性） f (x, y) 0
；
（2） （规范性） f (x, y)dxdy 1 ；（3—10） （3） 对于平面上任意可积的区域 D, 有
(y 2)2 22
)
其中 均为常数， 1, 2 , 1, 2 ,
1 0, 2 0, 1, (x, y) R2
，则称
(X , Y)
服从参数为（ 1 ,
2,
2 1
,
2 2
,
）的二
维正态分布，记为
(
X
,
Y
)
~
N
(1
,
2
,
2 1
,
2 2
,
)
．
P{( X , Y ) D} f x, ydxdy x,y D
；（3—11）
（4） 若除可数点外 F(x, y) 的二阶混合偏导
数处处连续,则
x, y
f (x, y) 2F (x, y) xy
在 2F (x, y) 的连续点处 xy
f x，y 0
其他