2021年新高考数学一轮复习：导数与函数的零点

2021年新高考数学一轮复习：导数与函数的零点1．(2021·联考)已知函数f(x)的定义域为[－1，4]，部分对应值如下表：

f(x)的导函数a＜2时，函数y＝f(x)－a的零点的个数为()

A．1 B．2 C．3 D．4

解析：根据导函数图象，知2是函数的极小值点，函数y＝f(x)的大致图象如图所示．

由于f(0)＝f(3)＝2，1＜a＜2，所以y＝f(x)－a的零点个数为4.

答案：D

2．(2021·模拟)已知f(x)＝e x－ax2.命题p：∀a≥1，y＝f(x)有三个零点，命题q：∃a∈R，f(x)≤0恒成立．

则下列命题为真命题的是()

A．p∧q B．(¬p)∧(¬q)

C．(¬p)∧q D．p∧(¬q)

解析：对于命题p：当a＝1时，f(x)＝e x－x2，在同一坐标系中作出y＝e x，y＝x2的图象(图略)，由图可知y＝e x与y＝x2的图象有1

个交点，所以f(x)＝e x－x2有1个零点，故命题p为假命题，因为f(0)＝1，所以命题q显然为假命题．故(¬p)∧(¬q)为真．

答案：B

3．若函数f(x)＝ax－a

e x＋1(a＜0)没有零点，则实数a的取值范围

为________．

解析：f′(x)＝a e x－（ax－a）e x

e2x＝

－a（x－2）

e x(a＜0)．

当x＜2时，f′(x)＜0；当x＞2时，f′(x)＞0.

所以当x＝2时，f(x)有极小值f(2)＝a

e2＋1.

若使函数f(x)没有零点，当且仅当f(2)＝a

e2＋1＞0，

解得a＞－e2，因此－e2＜a＜0.

答案：(－e2，0)

4．(2021·模拟)函数f(x)＝ln x＋a的导数为f′(x)，若方程f′(x)＝f(x)的根x0小于1，则实数a的取值范围为________．

解析：由函数f(x)＝ln x＋a可得f′(x)＝1 x，

又x0使f′(x)＝f(x)成立，所以1

x0＝ln x0＋a，且0

所以a＝1

x0－ln x0，x0∈(0，1)．

又y＝1

x0－ln x0在(0，1)上是减函数，所以a>1.答案：(1，＋∞)

5．(2019·惠州调研)已知函数f(x)＝a

6x

3－

a

4x

2－ax－2的图象过点