2020-2021学年辽宁省沈阳市郊联体高三上学期期末数学试卷 (解析版)
2025届辽宁沈阳市郊联体高三数学第一学期期末监测试题含解析
2025届辽宁沈阳市郊联体高三数学第一学期期末监测试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。
用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。
将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。
答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．陀螺是中国民间最早的娱乐工具，也称陀罗. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某个陀螺的三视图，则该陀螺的表面积为（ ）A ．(722+πB ．(1022+πC ．(1042+πD ．(1142+π 2．已知点(2,0)M ，点P 在曲线24y x =上运动，点F 为抛物线的焦点，则2||||1PM PF -的最小值为（ ） A 3B ．51) C ．5D ．43．已知集合{}23100A x x x =--<，集合{}16B x x =-≤<，则A B 等于（ ） A ．{}15x x -<<B ．{}15x x -≤<C ．{}26x x -<<D ．{}25x x -<< 4．设命题:p 函数()x x f x e e -=+在R 上递增，命题:q 在ABC ∆中，cos cos A B A B >⇔<，下列为真命题的是（ ） A ．p q ∧ B ．()p q ∨⌝ C ．()p q ⌝∧ D ．()()p q ⌝∧⌝5．设过点(),P x y 的直线分别与x 轴的正半轴和y 轴的正半轴交于,A B 两点，点Q 与点P 关于y 轴对称，O 为坐标原点，若2BP PA =，且1OQ AB ⋅=，则点P 的轨迹方程是（ ）A ．()223310,02x y x y +=>> B ．()223310,02x y x y -=>> C ．()223310,02x y x y -=>> D ．()223310,02x y x y +=>> 6．复数z 满足()11z z i -=+ (i 为虚数单位),则z 的值是( )A ．1i +B ．1i -C ．iD ．i - 7．函数()()241x f x x x e =-+⋅的大致图象是（ ） A ． B ．C ．D ．8．若复数z 满足(2)(1)z i i =+-（i 是虚数单位），则||z =（ ）A 10B 10C 5D 59．椭圆22192x y +=的焦点为12,F F ，点P 在椭圆上，若2||2PF =，则12F PF ∠的大小为（ ） A ．150︒ B ．135︒ C ．120︒ D ．90︒10．中国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前344年商鞅督造的一种标准量器——商鞅铜方升，其三视图如图所示（单位：寸），若π取3，当该量器口密闭时其表面积为42.2（平方寸），则图中x 的值为( )A ．3B ．3.4C ．3.8D ．4 11．若2n x x ⎛ ⎝的二项式展开式中二项式系数的和为32，则正整数n 的值为（ ） A ．7 B ．6 C ．5 D ．412．一只蚂蚁在边长为4的正三角形区域内随机爬行，则在离三个顶点距离都大于2的区域内的概率为( ) A ．31π B ．34 C 3π D ．14二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020-2021学年辽宁省沈阳市大东区中学高三数学理期末试题含解析
2020-2021学年辽宁省沈阳市大东区中学高三数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 若椭圆和双曲线的共同焦点为F1，F2，P是两曲线的一个交点，则的值为（）A． B．84 C．3 D．21参考答案：D依据题意作出椭圆与双曲线的图像如下：由椭圆方程，可得，，由椭圆定义可得…（1），由双曲线方程，可得，，由双曲线定义可得 (2)联立方程（1）（2），解得，，所以，故选D．2. 双曲线的左、右焦点分别为，是双曲线上一点，的中点在轴上，线段的长为，则该双曲线的离心率为（）（A）（B）（C）（D）参考答案：D3. 已知数列中，，则等于（）A．16 B．32 C．D．参考答案：答案：C4. 已知变量x，y满足约束条件，则z＝3x＋y的最大值为（）A、4B、5C、6D、7参考答案：D试题分析：因为约束条件表示一个三角形及其内部,所以目标函数过点时取最大值：考点：线性规划求最值.5. 设z=1+i（i是虚数单位），则=（）A．2﹣2i B．2+2i C．﹣3﹣i D．3+i参考答案：A【考点】复数代数形式的乘除运算．【专题】转化思想；数系的扩充和复数．【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的意义即可得出．【解答】解： ==+1﹣i=1﹣i+1﹣i=2﹣2i．故选：A．【点评】本题考查了复数的运算法则、共轭复数的意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．6. 对大于或等于2的自然数的正整数幂运算有如下分解方式：22＝1＋3 32＝1＋3＋5 42＝1＋3＋5＋723＝3＋5 33＝7＋9＋11 43＝13＋15＋17＋19根据上述分解规律，若，的分解中最小的正整数是21，则( )A． B． C． D．参考答案：B解析：∵，∴∵23＝3＋5 ，33＝7＋9＋11，43＝13＋15＋17＋19，∴，∵的分解中最小的数是21，∴，∴7. 已知t>0，若，则实数t的值等于A． 2 B．3 C．6 D．8参考答案：B8. 一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（）A．B．C．D．参考答案：D【考点】由三视图求面积、体积．【专题】计算题；作图题；空间位置关系与距离．【分析】这个几何体由半个圆锥与一个四棱锥组合而成，从而求两个体积之和即可．【解答】解：这个几何体由半个圆锥与一个四棱锥组合而成，半个圆锥的体积为××π×1×=；四棱锥的体积为×2×2×=；故这个几何体的体积V=；故选D．【点评】本题考查了学生的空间想象力与计算能力，属于基础题．9. 函数的大致图象是参考答案：A略10. 在等比数列中，，公比.若，则=( ) （A）9 （B）10 （C）11 （D）12参考答案：C略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知三被锥S﹣ABC的体积为，底面△ABC是边长为2的正三角形，且所有頂点都在直径为SC 的球面上．则此球的半径为．参考答案：2【考点】LG ：球的体积和表面积．【分析】设球心为O ，球的半径为R ，过ABC 三点的小圆的圆心为O 1，则OO1⊥平面ABC，作SD⊥平面ABC交CO1的延长线与D，用半径表示出OO1、高SD，利用V三棱锥S﹣ABC=求出R的值．【解答】解：设球心为O，球的半径为R，过ABC三点的小圆的圆心为O1，则OO1⊥平面ABC，作SD⊥平面ABC交CO1的延长线与D，如图所示；∵△ABC是正三角形，∴CD=×2=，O1C=CD=，∴OO1=，∴高SD=2OO1=2；又△ABC是边长为2的正三角形，∴S△ABC=?22=，∴V三棱锥S﹣ABC=??2=，解得R=2．故答案为：2．12. 等差数列前n项和为，已知，，则=_______.参考答案：4028略13. 已知函数f(x)=x2+x+a(a＜0)的区间（0，1）上有零点，则a的范围是 .参考答案：-2＜a＜014. 点A到直线xcosθ+ysinθ+2﹣cosθ=0（θ为参数，θ∈R）的距离恒为2，则A的坐标．参考答案：（1，0）考点：点到直线的距离公式；直线的参数方程．专题：直线与圆．分析：设出A的坐标（x，y），由点到直线的距离公式列式，然后利用恒成立求得x，y值，则答案可求．解答：解：设A（x，y），由A到直线xcosθ+ysinθ+2﹣cosθ=0（θ为参数，θ∈R）的距离恒为2，得，即|xcosθ+ysinθ+2﹣cosθ|=2，也就是|（x﹣1）cosθ+ysinθ+2|=2．要使对任意θ∈R上式都成立，则x=1，y=0．∴A的坐标为（1，0）．故答案为：（1，0）．点评：本题考查点到直线的距离公式，考查了恒成立问题，是基础题．15. 已知，照此规律，第五个等式为。
辽宁省沈阳市郊联体2021届高三上学期期末考试数学答案
2020－2021学年度上学期沈阳市郊联体期末考试高三试题答案数 学一、选择题： AABD CDCC 二、多选题：ABD CD BC AC 二、填空题：13. 3 14. 16 15. 15216. ①②③三、解答题： 17．（本小题满分10分） 【解析】（Ⅰ）∵向量m⃗⃗⃗ =(√3sin x 2,1)，n ⃗ =(cos x 2,cos 2x2)， 由此可得函数f (x )=m ⃗⃗ ∙n ⃗ −12=√32sinx +12cosx =sin(x +π6)，…………………………3分又∵(,)36x ππ∈-，得(,)663x πππ+∈-1sin()(62x π∴+∈-，即()f x的取值范围是1(2-； …………………………5分（Ⅱ）∵函数f (x )=sin(x +π6)，f ∴（B ）sin()16B π=+=，又∵B +π6∈(π6,7π6)，62B ππ∴+=，可得3B π=． …………………………6分∵5,a b ==，∴根据正弦定理sin sin a bA B =，可得5sin sin 1sin 2a B A b π⨯===， 由a b <得A B <，所以6A π=， …………………………8分因此()2C A B ππ=-+=，可得∆ABC 是以C 为直角顶点的直角三角形，∴∆ABC的面积11522S ab ==⨯⨯ …………………………10分18．（本小题满分12分） 【解析】（Ⅰ）当1n =时，1112S a +=，解得11a =． …………………………2分 因为21n n S a =-，①所以当2n ≥时，1121n n S a --=-，②①-②得，1122n n n n S S a a ---=-，所以12n n a a -=． …………………………4分 故数列{}n a 是首项为1，公比为2的等比数列，其通项公式为a n =2n−1 …………………………6分 （Ⅱ）由题知，(1)2nn b n =+⋅， …………………………7分 所以123223242(1)2nn T n =⨯+⨯+⨯+⋯++，③23412223242(1)2n n T n +=⨯+⨯+⨯+⋯++，④③-④得，()123122222(1)2nn n T n +-=++++⋯+-+()112122(1)2212n n n n n ++⨯-=+-+=-⋅-． …………………………10分所以12n n T n +=⋅． …………………………12分19．（本小题满分12分） 【解析】（Ⅰ）在图①中，连接BD ，如图所示：因为四边形ABCD 为菱形，60A ∠=︒，所以ABD △是等边三角形. 因为E 为AD 的中点，所以BE AE ⊥，BE DE ⊥. 又2AD AB ==，所以1AE DE ==.在图②中，AD =222AE ED AD +=，即AE ED ⊥. …………………………3分因为//BC DE ，所以BC BE ⊥，BC AE ⊥.又BE ∩AE =E ，AE ，BE ⊂平面ABE .所以BC ⊥平面ABE . …………………………5分 又BC ⊂平面ABC ，所以平面ABE ⊥平面ABC . …………………………6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，AE DE ⊥，AE BE ⊥. 因为BE DE E ⋂=，BE ，DE ⊂平面BCDE . 所以AE ⊥平面BCDE .以E 为坐标原点，EB ，ED ，EA 的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴， 建立如图所示的空间直角坐标系：则()0,0,0E ，()0,0,1A，)B，)C ，()0,1,0D .因为P 为AC的中点，所以122P ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭.所以PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√32,−1,−12)，PD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√32,0,−12).设平面PBD 的一个法向量为m⃗⃗ =(x,y,z)， 由{PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∙m ⃗⃗ =0PD ⃗⃗⃗⃗⃗ ∙m ⃗⃗ =0得102102x y z z --=⎨⎪-=⎪⎩.令z =1x =-，y =m⃗⃗ =(−1,−√3,√3). …………………………8分 设平面BDA 的一个法向量为n ⃗ =(x 1,y 1,z 1). 因为BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√3,0,1)，AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,−1)由{BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ∙n ⃗ =0AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ∙n ⃗ =0得111100z y z ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩ 令11x =，得n ⃗ =(1,√3,√3) …………………………10分则cos <m ⃗⃗ ,n ⃗ >=m ⃗⃗⃗ ∙n ⃗ |m⃗⃗⃗ |×|n ⃗ |=√7×√7=−17， …………………………11分又二面角P BD A --为锐角，所以二面角P BD A --的余弦值为17. ……………………12分 20．（本小题满分12分）【解析】（Ⅰ）由题意知100(0.00150.00250.00150.001)1a ⨯++++=，解得0.0035a =，……2分 样本平均数为5000.156000.357000.258000.159000.10670x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=元.……………………………4分（Ⅱ）由题意，从[550，650)中抽取7人，从[750，850)中抽取3人， 随机变量X 的所有可能取值有0，1，2，3.337310()(0k kC C P X k k C -===，1，2，3） ……………………………6分 所以随机变量X 的分布列为：随机变量X 的数学期望9()2312012012010E X =+⨯+⨯= ……………………8分 （Ⅲ）由题可知，样本中男生40人，女生60人，属于“高消费群”的25人，其中女生10人；得出以下22⨯列联表：……………………………10分222()100(10251550)505.024()()()()257540609n ad bc K a b c d a c b d -⨯-⨯===≈++++⨯⨯⨯，所以有97.5%的把握认为该校学生属于“高消费群”与性别有关. ……………………………12分21．（本小题满分12分） 【解析】（Ⅰ）由题意可知，24a =，∴2a =，又c a =222b ac =-，∴1b =，∴椭圆C 的方程为2214x y +=. ……………………4分（Ⅱ）∵OP OA OB →→→=+，∴四边形OAPB 为平行四边形， 假设存在l 使得||||OP AB →→=，则四边形OAPB 为矩形，∴0OA OB →→⋅=， ………………………………………6分若l 的斜率不存在，直线l 的方程为1x =，由221,14x x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩得A ⎛ ⎝⎭，1,B ⎛ ⎝⎭， ∴104OA OB →→⋅=>，不合题意，故l 的斜率存在. 设l 的方程是(1)y k x =-，()11,A x y ，()22,B x y ，由22(1),1.4y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得()2222148440k x k x k +-+-=. ∴2122814k x x k +=+，21224414k x x k -=+，① ………………………………………8分 ∴()()()222121212122311114k y k x x k x y x x x k -=--=-++=⎡⎤⎣⎦+.②由0OA OB →→⋅=，得12120x x y y +=，把①，②代入得2k =±. ………………………………………10分 ∴存在直线:22l y x =-+或22y x =-使得||||OP AB →→=.……………………………………12分 22．（本小题满分12分） 【解析】（Ⅰ）由()ln f x x a x =-，得ln y x a x b =-+，∴()1a y f x x''==-. 由已知可得：(1)1(1)2f f b =-⎧⎨+='⎩，即1112a b -=-⎧⎨+=⎩，∴2a =，1b =. …………………2分（Ⅱ）11()()ln a a g x f x x a x x x++=+=-+，∴[]22(1)(1)1()1(0)x x a a a g x x x x x +-++'=--=>. ……………3分 当10a +≤，即1a ≤-时，()0g x '>，()g x 在()0,∞+上为增函数，无极值点. ……………4分 当10a +>，即1a >-时，则有：当01x a <<+时，()0g x '<，当1x a >+时，()0g x '>， ∴()g x 在()0,1a +为减函数，在()1,a ++∞上为增函数， ∴1x a =+是()g x 极小值点，无极大值点； 综上可知：当1a ≤-时，函数()g x 无极值点，当1a >-时，函数()g x 的极小值点是1a +，无极大值点. …………………………5分 （Ⅲ）1()()ln ln ln (0)x x xh x f x ae a ae x a a a a=+-+=-+>， 由题意知：当x a >时，ln ln 0x ae x a -+≥恒成立， 又不等式ln ln 0x ae x a -+≥等价于：lnxx ae a ≥，即1ln xx e a a≥， 即ln xx x xe a a ≥①，①式等价于ln ln xxa x xe e a≥， ………………………7分由0x a >>知，1xa>，ln 0x a >.令()(0)x x xe x ϕ=>，则原不等式即为：()lnx x a ϕϕ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭， 又()(0)xx xe x ϕ=>在(0,)+∞上为增函数，所以，原不等式等价于：ln xx a≥②， 又②式等价于xxe a ≥，即：(0)x x a x a e≥>>. ……………………………………………9分 设()(0)x x F x x e =>，1()xxF x e-'=，∴()F x 在()0,1上为增函数，在()1,+∞上为减函数， 又0x a >>，∴当01a <<时，()F x 在(),1a 上为增函数，在()1,+∞上为减函数， ∴1()(1)F x F e≤=.要使原不等式恒成立，须使11a e ≤<， …………………………10分当1a ≥时，则()F x 在(),a +∞上为减函数，1()(1)F x F e<=， 要使原不等式恒成立，须使1a e ≥，∴1a ≥时，原不等式恒成立 …………………………11分 综上可知：a 的取值范围是1,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，a 的最小值为1e. …………………………12分 答案说明：以上解答题答案不唯一，正解同样得分。
2020-2021学年辽宁省沈阳市郊联体高一(上)期末数学试卷
2020-2021学年辽宁省沈阳市郊联体高一（上）期末数学试卷一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，计40分）1．（5分）已知向量(1,2)a =，(6,)b =-，若//a b ，则(= )A ．12-B ．12C ．3D ．3-2．（5分）中学生在家务劳动中能更密切地与家人接触交流，也可缓解压力、休息大脑．经调查，某校学生有70%的学生认为自己参与家务劳动能使家庭关系更融洽，30%的学生认为自己是否参与家务劳动对家庭关系无影响．现为了调查学生参加家务劳动时长情况，决定在两类同学中利用分层抽样的方法抽取100名同学参与调查，那么需要抽取认为自己参与家务劳动能使家庭关系更融洽的同学的个数是( )A ．30B ．70C ．80D ．1003．（5分）从装有大小和形状完全相同的8个红球和2个白球的口袋内任取两个球，下列各对事件中，互斥而不对立的是( )A ．“至少一个白球”和“都是红球”B ．“至少一个白球”和“至少一个红球”C ．“恰有一个白球”和“恰有一个红球”D ．“恰有一个白球”和“都是红球”4．（5分）若0a >且1a ≠，则在同一直角坐标系中，函数()(0)a f x x x =，()log a g x x =的图象可能是( )A ．B ．C ．D ．5．（5分）函数2()(1)f x ln x x=+-的零点所在的大致区间是( ) A ．(0,1) B ．(1,2) C ．(2,3) D ．(3,4)6．（5分）已知0.13a =，3(0.9)b =，2log 0.2c =，则( )A ．a b c <<B ．b c a <<C ．c b a <<D ．c a b <<7．（5分）某校有900名高三学生参加了本次考试，为了了解该校学生解答该选做题的得分情况，计划从900名考生的选做题成绩中随机抽取一个容量为8的样本，为此将900名考生选做题的成绩按照随机顺序依次编号为001，002，003，⋯，899，900．若采用随机数表法抽样，并按照以下随机数表进行读取，从第一行的第5个数开始，从左向右依次读取数据，每次读取三位随机数，一行读数用完之后接下一行左端．则样本编号的75%分位数为( )05 26 93 70 60 22 35 85 15 13 92 03 51 59 77 59 56 78 06 83 52 91 05 70 74 07 97 10 88 23 09 98 42 99 64 61 71 62 99 15 06 51 29 16 93 58 05 77 09 51 51 26 87 85 85 54 87 66 47 54 73 32 08 11 12 44 95 92 63 16 29 56 24 29 48A ．680B ．585C ．467D ．1598．（5分）区块链，是比特币的一个重要概念，它本质上是一个去中心化的数据库，同时作为比特币的底层技术，是一串使用密码学方法相关联产生的数据块，每一个数据块中包含了一批次比特币网络交易的信息，用于验证其信息的有效性（防伪）和生成下一个区块．在区块链技术中，若密码的长度设定为256比特，则密码一共有2562种可能，因此，为了破解密码，最坏情况需要进行2562次哈希运算．现在有一台机器，每秒能进行112.510⨯次哈希运算，假设机器一直正常运转，那么在最坏情况下，这台机器破译密码所需时间大约为( ) （参考数据：20.3010lg ≈，30.477)lg ≈A ．734.510⨯秒B ．654.510⨯秒C ．74.510⨯秒D ．28秒二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，计20分）9．（5分）在疫情防护知识竞赛中，对某校的2000名生的参赛成绩进行统计，可得到如图所示的频率分布直方图，其中分组的区间为[40，50)，[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]，60分以下视为不及格，若同一组中数据用该组区间中间值作代表值，则下列说法中正确的是( )A ．成绩在[70，80)的考生人数最多B ．不及格的考生人数为500C ．考生竞赛成绩的众数为75分D ．考生竞赛成绩的中位数约为75分10．（5分）下列有关向量命题，不正确的是( )A ．若{a ，}b 是平面向量的一组基底，则{2a b -，2}a b -+也是平面向量的一组基底B ．a ，b ，c 均为非零向量，若//a b ，//b c ，则//a cC ．若//a b ，则存在唯一的实数λ，使得a b λ=D ．若||1a =，||6b =，则||a b +的取值范围[5，7]11．（5分）已知函数||2()4x f x x a =++，下列命题正确的有( )A ．对于任意实数a ，()f x 为偶函数B ．对于任意实数a ，()0f x >C ．存在实数a ，()f x 在(,1)-∞-上单调递减D ．存在实数a ，使得关于x 的不等式()5f x 的解集为(-∞，1][1-⋃，)+∞12．（5分）直角三角形ABC 中，P 是斜边BC 上一点，且满足2BP PC =，点M ，N 在过点P 的直线上，若AM mAB =，AN nAC =，(0,0)m n >>，则下列结论正确的是( )A ．12m n +为常数B ．2m n +的最小值为3C ．m n +的最小值为169D ．m ，n 的值可以为：12m =，2n = 三、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）13．（5分）某中学高三年级从甲、乙两个班级各选出8名学生参加数学竞赛，他们取得的成绩（满分100分）的茎叶图如图所示，其中甲班学生成绩的平均分是86，乙班学生成绩的中位数是83，则x y +的值为 ．14．（5分）已知()y f x =是定义在(-∞，0)(0⋃，)+∞上的奇函数，当0x >时，2()2f x x x =-，若()0x f x ⋅，则x 的取值范围是15．（5分）求值：221134812()(21)27100log lg lg --++= ．16．（5分）已知函数20.521,0()|log |,0x x x f x x x ⎧--+⎪=⎨>⎪⎩，若方程()f x a =有四个不同的解1x ，2x ，3x ，4x ，且1234x x x x <<<，则a 的最小值是 ，41223416()x x x x x ⋅++⋅的最大值是 ． 四.解答题：本大题共6个小题共70分。
2020-2021学年辽宁省沈阳市第八十一高级中学高三数学理上学期期末试题含解析
2020-2021学年辽宁省沈阳市第八十一高级中学高三数学理上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知α，β是两个不同的平面，l，m，n是不同的直线，下列命题不正确的是（）A．若l⊥m，l⊥n，m?α，n?α，则l⊥αB．若l∥m，l?α，m?α，则l∥αC．若α⊥β，α∩β=l，m?α，m⊥l，则m⊥βD．若α⊥β，m⊥α，n⊥β，，则m⊥n参考答案：A【考点】空间中直线与直线之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】根据线面垂直的判定定理如果一条直线和一个平面内的两条相交直线垂直，那么这条直线垂直于这个平面，进行判定即可．【解答】解：若l⊥m，l⊥n，m?α，n?α，不能推出l⊥α，缺少条件m与n相交，故不正确．故选A2. 若定义在R上的偶函数满足且时,则方程的零点个数是( ) ks5uA. 2个B. 3个C. 4个 D. 多于4个参考答案：C3. 已知函数f（x）=sin2x（x∈R），为了得到函数g（x）=sin（2x+）的图象，只要将y=f（x）的图象( )A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度参考答案：A考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的图像与性质．分析：化简两个函数式之间的关系，根据三角函数的平移关系即可得到结论．解答：解：∵g（x）=sin（2x+）=sin，∴y=f（x）的图象向左平移个单位长度，即可得到函数g（x）=sin（2x+）的图象，故选：A点评：本题主要考查诱导公式的应用，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律．4.log2sin+ log2cos的值为A. - 4B. 4C. 2D. -2参考答案：答案：D5. 设等差数列{a n}满足3a10=5a17，且a1＞0，S n为其前n项和，则数列{S n}的最大项是（）A．S24 B．S23 C．S26 D．S27D【考点】等差数列的前n项和．【分析】由题意易得数列的公差，可得等差数列{a n}前27项为正数，从第28项起为负数，可得答案．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，由3a10=5a17可得3（a1+9d）=5（a1+16d），解得d=﹣a1＜0，∴a n=a1+（n﹣1）d=a1，令a n=a1≤0可得≤0，解得n≥，∴递减的等差数列{a n}前27项为正数，从第28项起为负数，∴数列{S n}的最大项为S27，故选：D．6. 函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0）的图象如图所示，为了得到函数的图象，只需将y=f（x）的图象( )A．向左平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向心平移个单位C【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【专题】计算题；三角函数的图像与性质．【分析】函数f（x）=sin（ωx+?）（ω＞0）的图象可知其周期T，从而可求得ω，继而可求得φ，利用三角函数的图象变换及可求得答案．【解答】解：依题意，f（x）=sin（ωx+?）（ω＞0）的周期T=2×（﹣）=π=，∴ω=2，又2×+φ=π，∴φ=．∴f（x）=sin（2x+）=cos[﹣（2x+）]=cos（﹣2x）=cos（2x﹣）；∴f（x+）=cos[2（x+）﹣]=cos（2x+）；∴为了得到函数y=cos（2x+）的图象，只需将y=f（x）的图象向左平移个单位．故选C．【点评】本题考查由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，求得ω与φ是关键，考查推理分析与运算能力，属于中档题．7. 已知关于的方程有一解，则的取值范围为（）（A）（B）（C）（D）参考答案：A略8. 已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，下列命题不正确的是（）A. 若//则B. 若则C. 若则D. 则参考答案：A略9. 执行如图所示的程序框图，若输出i的值是9，则判断框中的横线上可以填入的最大整数是（）A．4 B．8 C．12 D．16参考答案：D【考点】EF：程序框图．【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的S，i的值，当S=16，i=9时，不满足条件，退出循环，输出i的值为9，则判断框中的横线上可以填入的最大整数为：16【解答】解：模拟执行程序框图，可得i=1S=0满足条件，S=1，i=3满足条件，S=4，i=5满足条件，S=9，i=7满足条件，S=16，i=9由题意，此时，不满足条件，退出循环，输出i的值为9，则判断框中的横线上可以填入的最大整数为：16，故选：D．10. 若集合A={x|x≥0}，且A∪B=B，则集合B可能是( )A．{1，2} B．{x|x≤1}C．{﹣1，0，1} D．R参考答案：D【考点】并集及其运算．【专题】计算题．【分析】根据题意，由交集的性质可得若A∪B=B，则A是B的子集，分析选项即可得答案．【解答】解：根据题意，若A∪B=B，则A是B的子集，分析选项可得：对于A、集合A不是集合B的子集，对于B、集合A不是集合B的子集，对于C、集合A不是集合B的子集，对于D、若B=R，有A?B，则A∪B=B成立，故选D．【点评】本题考查有集合的运算结果的特殊性得到集合的关系：A∩B=A?A?B；A∪B=A?B?A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 己知x，y满足约束条件的最小值是.参考答案：12. 调查某养殖场某段时间内幼崽出生的时间与性别的关系，得到下面的数据表：从中可以得出幼崽出生的时间与性别有关系的把握有_________参考公式：，其中参考答案：99%13. 在一次珠宝展览会上，某商家展出一套珠宝首饰，第一件首饰是1颗珠宝，第二件首饰是由6颗珠宝构成如图1所示的正六边形，第三件首饰是由15颗珠宝构成如图2所示的正六边形，第四件首饰是由28颗珠宝构成如图3所示的正六边形，第五件首饰是由45颗珠宝构成如图4所示的正六边形，以后每件首饰都在前一件上，按照这种规律增加一定数量的珠宝，使它构成更大的正六边形，依此推断第6件首饰上应有颗珠宝；则前n件首饰所用珠宝总数为颗．（结果用n表示）参考答案：66，．【考点】8B：数列的应用．【分析】由题意可知a1，a2，a3，a4，a5的值，则a2﹣a1=5，a3﹣a2=9，a4﹣a3=13，a5﹣a4=17，猜想a6﹣a5=21，从而得a6的值和a n﹣a n﹣1=4n﹣3；所以（a2﹣a1）+（a3﹣a2）+（a4﹣a3）+（a5﹣a4）+（a6﹣a5）+…+（a n﹣a n﹣1）=a n﹣a1求得通项公式a n，从而求得前n项和s n．【解答】解：由题意，知a1=1，a2=6，a3=15，a4=28，a5=45，a6=66，…；∴a2﹣a1=5，a3﹣a2=9，a4﹣a3=13，a5﹣a4=17，a6﹣a5=21，…，a n﹣a n﹣1=4n﹣3；∴（a2﹣a1）+（a3﹣a2）+（a4﹣a3）+（a5﹣a4）+（a6﹣a5）+…+（a n﹣a n﹣1）=a n﹣a1=5+9+13+17+21+…+（4n﹣3）==2n2﹣n﹣1；∴a n=2n2﹣n，其前n项和为s n=2（12+22+32+…+n2）﹣（1+2+3+…+n）=2×﹣=．故答案为：66，．【点评】本题考查了数列的递推关系以及求和公式的综合应用，解题时要探究数列的递推关系，得出通项公式，并能正确求和．14. 已知则的最小值是参考答案：略15. 设集合，,,则．参考答案：{2,3,4}16. 在公差为正数的等差数列中，是其前项和，则使取最小值的是。
辽宁省七校2020届高三上学期期末联考数学(理)试题Word版含解析
辽宁省七校2020届高三上学期期末联考数学（理）试题第Ⅰ卷客观题一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，若有三个元素，则（）A. B. C. D.2.若复数，且，则实数的值等于（）A. 1B. -1C.D.3.已知条件甲：，条件乙：且，则甲是乙的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4.已知数列满足且，则（）A. B. 3 C. -3 D.5.已知非零向量，满足，，则与的夹角为（）A. B. C. D.6.函数的图象可能是下列哪一个？（）A. B. C. D.7.在直角坐标平面上，点的坐标满足方程，点的坐标满足方程则的取值范围是（）A. B. C. D.8.执行如图所示的程序，若所得结果为21，则判断框中应填入（）A. B. C. D.9.已知函数，那么下列命题中假命题是（）A. 既不是奇函数也不是偶函数B. 在上恰有一个零点C. 是周期函数D. 在上是增函数10.如图，矩形中，为边的中点，将直线翻转成平面)，若分别为线段的中点，则在翻转过程中，下列说法错误的是（）A. 与平面垂直的直线必与直线MB垂直B. 异面直线与所成角是定值C. 一定存在某个位置，使D. 三棱锥外接球半径与棱的长之比为定值11.已知点是抛物线的对称轴与准线的交点，点为抛物线的焦点，点在抛物线上且满足，若取得最大值时，点恰好在以为焦点的椭圆上，则椭圆的离心率为（）A. B. C. D.12.若函数满足，且，则的解集是( )A. B. C. D.第Ⅱ卷（非客观题）二、填空题：共4小题，每题5分，共20分，将答案填在答题纸上.13.设，则函数是增函数的概率为__________．14.已知正实数满足，则的最小值是__________．15.某考古队发现一处石器时代的史前遗迹，其中有一样工具，其模型的三视图如图所示，则所根据此三视图计算出的几何体的体积为__________．16.定义：对于实数和两定点，在某图形上恰有个不同的点，使得，称该图形满足“度契合”.若边长为4的正方形中，，且该正方形满足“4度契合”，则实数的取值范围是__________．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.在中，角，，的对边分别为，，，已知，，．（1）求；（2）求的值．18.如图，在平行四边形中，，，，四边形为矩形，平面平面，，点在线段上运动，且．（1）当时，求异面直线与所成角的大小；（2）设平面与平面所成二面角的大小为（），求的取值范围．19.进入二十一世纪以来，科技发展日新月异，工业生产更加依赖科技的发展，沈阳某企业积极进行升级，对现有设备进行改造，为了分析设备改造前后的效果，现从设备改造前后生产的大量产品中各抽取了200件产品作为样本，检测一项质量指标值，若该项质量指标值落在内的产品视为合格品，否则为不合格品.如图1是设备改造前的样本的频率分布直方图，表1是设备改造后的样本的频数分布表.图1：表1：设备改造后样本的频数分布表（1）完成下面的2×2列联表，并判断是否有99%的把握认为该企业生产的这种产品的质量指标值与设备改造有关；（2）根据图1和表1提供的数据，试从产品合格率的角度对改造前后设备的优劣进行比较；附：20.已知抛物线的方程，焦点为，已知点在上，且点到点的距离比它到轴的距离大1. （1）试求出抛物线的方程；（2）若抛物线上存在两动点（在对称轴两侧），满足（为坐标原点），过点作直线交于两点，若，线段上是否存在定点，使得恒成立？若存在，请求出的坐标，若不存在，请说明理由.21.已知函数（其中）（1）求的单调减区间；（2）当时，恒成立，求的取值范围；（3）设只有两个零点（），求的值.选做题（4-4）.22.已知曲线的参数方程为（为参数），以平面直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．（1）求曲线的直角坐标方程及曲线上的动点到坐标原点的距离的最大值；（2）若曲线与曲线相交于，两点，且与轴相交于点，求的值．23..（1）当时，求出的最大值；（2）若的最大值为2，试求出此时的正实数的值.辽宁省七校2020届高三上学期期末联考数学（理）试题参考答案第Ⅰ卷客观题一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，若有三个元素，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据集合元素之间的关系，我们根据已知，M，N均为二元集，M∪N有三个元素，则M∩N有一个元素，利用排除法排除不满足条件的答案后，分类讨论即可得到结论．【详解】∵集合M={1，a2}，N={a，﹣1}，若M∪N有三个元素则M∩N有一个元素，故排除A，B若M∩N={0}则a=a2=0，满足条件若M∩N={1}则a=1，此时a2=1，由集合元素的互异性，故不满足条件故排除D故选：C．【点睛】本题考查的知识点是集合关系中的参数取值问题，利用集合元素的性质，特别是元素是互异性是解答本题的关键．2.若复数，且，则实数的值等于（）A. 1B. -1C.D.【答案】A【解析】【分析】由可判定为实数，利用复数代数形式的乘除运算化简复数，再由实部为0，且虚部不为0列式求解即可.【详解】，所以，因为，所以为实数，可得，时,符合题意，故选A.【点睛】复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数、复数的模这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.3.已知条件甲：，条件乙：且，则甲是乙的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】不能推出，而若且可得到，由充分条件与必要条件的定义可得结果.【详解】不能推出，若且，即且，可得且，则，即且能推出，所以可得甲是乙的必要不充分条件，故选B.【点睛】本题主要考查不等式的性质以及充分条件与必要条件，属于中档题.判断充分条件与必要条件应注意：首先弄清条件和结论分别是什么，然后直接依据定义、定理、性质尝试.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想化抽象为直观外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题；对于范围问题也可以转化为包含关系来处理.4.已知数列满足且，则（）A. B. 3 C. -3 D.【答案】C【解析】【分析】利用已知条件判断数列是等差数列，求出公差，利用等差数列的性质化简求解即可.【详解】数列满足可得可得，所以数列是等差数列，公差为，，，故选C.【点睛】本题主要考查数列的递推关系式，等差数列的判断以及等差数列的通项公式的应用，意在考查综合应用所学知识解答问题的能力，属于中档题..5.已知非零向量，满足，，则与的夹角为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由题设及向量的几何运算可知以为邻边的平行四边形是矩形，即，如图，由于，，所以可运用解直角三角形求得，所以，即向量与的夹角为，应选答案C。
2020-2021学年辽宁省沈阳市第一二〇中学高三数学理期末试卷含解析
2020-2021学年辽宁省沈阳市第一二〇中学高三数学理期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 双曲线（）的焦点坐标为…………………………（）（A）. （B）.（C）. （D）.参考答案：B2. 已知椭圆：和双曲线：有相同的焦点、，是它们的共同焦距，且它们的离心率互为倒数，是它们在第一象限的交点，当时，下列结论中正确的是（）．．．．参考答案：A设椭圆的离心率为，则.双曲线的离心率为，.，则由余弦定理得，当点看做是椭圆上的点时,有，当点看做是双曲线上的点时,有，两式联立消去得，又因为，代入得，整理得，即，选A.3.设命题p：x<－1或x>1；命题q：x<－2或x>1，则?p是?q的 ( )A、充分不必要条件B、必要不充分条件C、充要条件D、既不充分也不必要条件参考答案：答案：A4. 已知命题：；命题：，则下列命题中为真命题的是（）A． B． C． D．参考答案：B5. 设f（x）是定义在R上的偶函数，且f（2+x）=f（2﹣x），当x∈时，f（x）=（）x﹣1，若关于x的方程f（x）﹣log a（x+2）=0（a＞0且a≠1）在区间（﹣2，6）内恰有4个不等的实数根，则实数a的取值范围是( )A．（，1）B．（1，4）C．（1，8）D．（8，+∞）参考答案：D【考点】根的存在性及根的个数判断；抽象函数及其应用．【专题】转化思想；数形结合法；函数的性质及应用．【分析】由题意，讨论0＜a＜1时，当0＜a＜1时，﹣2＜x＜0时，y=f（x）和y=log a（x+2）只有一个交点；故a＞1．关于x的方程f（x）﹣log a（x+2）=0（a＞1），在区间（﹣2，6）内恰有四个不同实根可化为函数f（x）与函数y=log a（x+2）有四个不同的交点，作出函数f（x）与函数y=log a （x+2）的图象，由图象解出答案．【解答】解：由f（x）是定义在R上的偶函数，且f（2+x）=f（2﹣x），即为f（x+4）=f（﹣x）=f（x），则f（x）为周期为4的函数．当x∈时，f（x）=（）x﹣1，可得x∈时，f（x）=f（﹣x）=（）﹣x﹣1，又∵f（x）=log a（x+2）（a＞0且a≠1），当0＜a＜1时，﹣2＜x＜0时，y=f（x）和y=log a（x+2）只有一个交点；在0＜x＜6时，f（x）＞0，log a（x+2）＜0，则没有交点，故a＞1，作出它们在区间（﹣2，6）内图象如右图：当x=6时，f（6）=f（2）=1，log a（6+2）=1，解得a=8，由于﹣2＜x＜6，即有a＞8，y=f（x）和y=log a（x+2）有四个交点．故选：D．【点评】本题考查了方程的根与函数的零点之间的关系，同时考查了数形结合的数学思想应用，属于中档题．6.若复数在复平面内对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限参考答案：答案:D7. 若复数z满足方程，则( )A. B. C. D.参考答案：D略8. 若，，（其中e为自然对数的底数），则a、b、c的大小关系正确的是A． b>a>c B．c>b>a C．b>c>a D．a>b>c参考答案：A9. 等差数列的前n项和为，已知，,则（）（A）38 （B）20 （C）10 （D）9参考答案：B10. 设m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，下面命题正确的是（）A．若m⊥n，m⊥，n∥，则∥B．若m∥，则n∥，∥，则m∥nC．若m⊥，则n∥，∥，则m⊥nD．若m∥n，则m∥，n∥，则∥参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. (几何证明选讲选做题)如图4，已知AB和AC是圆的两条弦，过点B作圆的切线与AC的延长线相交于点D.过点C作BD的平行线与圆相交于点E，与AB相交于点F，AF＝3，FB＝1，EF＝，则线段CD的长为____________．图4参考答案：2略12. 已知双曲线的右焦点为，则该双曲线的渐近线方程为________.参考答案：由条件得，，从而双曲线方程为，故渐近线方程为。
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2020-2021学年辽宁省沈阳市郊联体高三（上）期末数学试卷一、选择题（共8小题）.1．若集合A＝{x|﹣1≤x≤2}，B＝{x|log3x≤1}，则A∩B＝（）A．{x|﹣1≤x≤2}B．{x|0＜x≤2}C．{x|1≤x≤2}D．{x|x≤﹣1或x＞2}2．已知复数z满足z（1+2i）＝|4﹣3i|（其中i为虚数单位），则复数z的虚部为（）A．﹣2B．﹣2i C．1D．i3．已知双曲线＝1（a＞0，b＞0）的一条渐近线的斜率为，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．2D．4．已知一个圆柱上，下底面的圆周都在同一个球面上，球的直径为10，圆柱底面直径为6，则圆柱的侧面积为（）A．12πB．24πC．36πD．48π5．已知某药店只有A，B，C三种不同品牌的N95口罩，甲、乙两人到这个药店各购买一种品牌的N95口罩，若甲、乙买A品牌口罩的概率分别是0.2，0.3，买B品牌口罩的概率分别为0.5，0.4，则甲、乙两人买相同品牌的N95口罩的概率为（）A．0.7B．0.65C．0.35D．0.266．（2x2﹣n）（x﹣）3的展开式的各项系数之和为3，则该展开式中含x3项的系数为（）A．2B．8C．﹣5D．﹣177．已知椭圆（a＞b＞0），过M的右焦点F（3，0）作直线交椭圆于A，B 两点，若AB中点坐标为（2，1），则椭圆M的方程为（）A．B．C．D．8．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题一“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为x2+y2≤3，若将军从点A（3，1）处出发，河岸线所在直线方程为x+y ＝5，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为（）A．﹣B．C．2D．2二、多选题（共4小题）.9．已知m，n是不重合的直线，α，β，γ是不重合的平面，则下列命题为假命题的是（）A．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥βB．若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥βC．若α∥β，γ∥β，则γ∥αD．若α⊥β，m⊥β，则m∥α10．下列说法中，正确的命题是（）A．已知随机变量X服从正态分布N（2，σ2），P（X＜4）＝0.8，则P（2＜X＜4）＝0.2B．线性相关系数r越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱C．已知两个变量具有线性相关关系，其回归直线方程为y＝，若＝2，＝1，＝3，则＝1D．若样本数据2x1+1，2x2+1，…，2x16+1的方差为8，则数据x1，x2，…，x16的方差为211．下列命题中是真命题的是（）A．“ω＝1”是“f（x）＝sin（2ωx﹣）的最小正周期为π”的必要不充分条件B．在△ABC中，点D是线段BC上任意一点（不包含端点），若＝m+n，则的最小值是9C．已知数列{a n}的各项均为正数，a1＝2，a n+1﹣a n＝，则数列{}的前24项和为2D．函数f（x）是定义在R上的偶函数且在[0，+∞）上为减函数，f（﹣2）＝1，则不等式f（x﹣1）＜1的解集为{x|﹣1＜x＜3}12．已知l1，l2是双曲线T：＝1（a＞0，b＞0）的两条渐近线，直线l经过T的右焦点F，且l∥l1，I交T于点M，交l2于点Q交y轴于点N，则下列说法正确的是（）A．△FOQ与△OQN的面积相等B．若T的焦距为4，则点M到两条渐近线的距离之积的最大值为C．若＝，则T的渐近线方程为y＝±xD．若∈[，]，则T的离心率e∈[2，3]三、填空题：本大题共4道小题，每小题5分，共20分.13．一批产品的次品率为0.03，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，X表示抽到的次品件数，则E（X）＝．14．电影《夺冠》讲述中国女排姑娘们顽强奋斗、为国争光的励志故事，打造一部见证新中国体育改革40年的力作，该影片于2020年09月25日正式上映在《夺冠》上映当天，一对夫妇带着他们的两个小孩一起去观看该影片，订购的4张电影票恰好在同一排且连在一起为安全起见，影院要求每个小孩子要有家长相邻陪坐，则不同的坐法种数是．15．在平面直角坐标系xOy中，抛物线：y2＝6x的焦点为F，准线为l，P为抛物线C上一点，PA⊥l，A为垂足，若直线AF的斜率k＝﹣2，则线段PF的长为．16．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E、F，且EF＝，则下列结论中正确的序号是．①AC⊥BE②EF∥平面ABCD③三棱锥A﹣BEF的体积为定值④△AEF的面积与△BEF的面积相等．四、解答题：本大题共6个小题，共70分。
17．（10分）已知向量，函数．（Ⅰ）若，求f（x）的取值范围；（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若f（B）＝1，，求△ABC的面积．18．（12分）设数列{a n}的前n项和为S n，且．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设，求数列{b n}的前n项和T n．19．（12分）已知如图①，在菱形ABCD中，∠A＝60°且AB＝2，E为AD的中点，将△ABE沿BE折起使，得到如图②所示的四棱锥A﹣BCDE．（1）求证：平面ABE⊥平面ABC；（2）若P为AC的中点，求二面角P﹣BD﹣A的余弦值．20．（12分）某学校共有1000名学生，其中男生400人，为了解该校学生在学校的月消费情况，采取分层抽样随机抽取了100名学生进行调查，月消费金额分布在450～950之间．根据调查的结果绘制的学生在校月消费金额的频率分布直方图如图所示：将月消费金额不低于750元的学生称为“高消费群”．（Ⅰ）求a的值，并估计该校学生月消费金额的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（Ⅱ）现采用分层抽样的方式从月消费金额落在[550，650），[750，850）内的两组学生中抽取10人，再从这10人中随机抽取3人，记被抽取的3名学生中属于“高消费群”的学生人数为随机变量X，求X的分布列及数学期望；（Ⅲ）若样本中属于“高消费群”的女生有10人，完成下列2×2列联表，并判断是否有97.5%的把握认为该校学生属于“高消费群”与“性别”有关？属于“高消费群”不属于“高消费群”合计男女合计（参考公式：，其中n＝a+b+c+d）P（K2≥k）0.150.100.050.0250.0100.0050.001 k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.82821．（12分）平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的离心率为，左、右焦点分别是F1，F2．以F1为圆心、以3为半径的圆与以F2为圆心、以1为半径的圆相交，且交点在椭圆C上．（1）求椭圆C的方程；（2）过点（1，0）作直线l与椭圆C交于A，B两点，O是坐标原点，设，问：是否存在这样的直线l，使得？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．22．（12分）已知函数f（x）＝x﹣alnx．（Ⅰ）若曲线y＝f（x）+b（a，b∈R）在x＝1处的切线方程为x+y﹣3＝0，求a，b的值；（Ⅱ）求函数的极值点；（Ⅲ）设，若当x＞a时，不等式h（x）≥0恒成立，求a的最小值．参考答案一、单选题：本大题共8道小题，每小题5分，共40分.1．若集合A＝{x|﹣1≤x≤2}，B＝{x|log3x≤1}，则A∩B＝（）A．{x|﹣1≤x≤2}B．{x|0＜x≤2}C．{x|1≤x≤2}D．{x|x≤﹣1或x＞2}解：B＝{x|0＜x≤3}；∴A∩B＝{x|0＜x≤2}．故选：B．2．已知复数z满足z（1+2i）＝|4﹣3i|（其中i为虚数单位），则复数z的虚部为（）A．﹣2B．﹣2i C．1D．i解：由z（1+2i）＝|4﹣3i|＝，得z＝，∴复数z的虚部为﹣2．故选：A．3．已知双曲线＝1（a＞0，b＞0）的一条渐近线的斜率为，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．2D．解：双曲线的渐近线方程为y＝±x，∵一条渐近线的斜率为，∴＝，即b＝a，则c＝＝＝a．即e＝＝．故选：D．4．已知一个圆柱上，下底面的圆周都在同一个球面上，球的直径为10，圆柱底面直径为6，则圆柱的侧面积为（）A．12πB．24πC．36πD．48π解：设圆柱的高为h，圆的半径为R，圆柱底面半径为r，根据题意，R＝＝5，r＝＝3，根据勾股定理，可得h＝＝4，∴h＝8．∴S侧＝2πrh＝2π•3•8＝48π．故选：D．5．已知某药店只有A，B，C三种不同品牌的N95口罩，甲、乙两人到这个药店各购买一种品牌的N95口罩，若甲、乙买A品牌口罩的概率分别是0.2，0.3，买B品牌口罩的概率分别为0.5，0.4，则甲、乙两人买相同品牌的N95口罩的概率为（）A．0.7B．0.65C．0.35D．0.26解：甲、乙两人到这个药店各购买一种品牌的N95口罩，甲、乙买A品牌口罩的概率分别是0.2，0.3，买B品牌口罩的概率分别为0.5，0.4，则甲、乙两人买相同品牌的N95口罩的概率为：P＝0.2×0.3+0.5×0.4+（1﹣0.2﹣0.5）（1﹣0.3﹣0.4）＝0.35．故选：C．6．（2x2﹣n）（x﹣）3的展开式的各项系数之和为3，则该展开式中含x3项的系数为（）A．2B．8C．﹣5D．﹣17解：∵（2x2﹣n）（x﹣）3的展开式的各项系数之和为（2﹣n）×（﹣1）＝3，∴n＝5．则（x﹣）3的展开式的通项公式为T r+1＝•（﹣2）r•x3﹣2r，令3﹣2r＝1，求得r＝1；令3﹣2r＝3，求得r＝0，故（2x2﹣n）（x﹣）3的展开式中含x3项的系数，2×（﹣2）﹣5＝﹣17，故选：D．7．已知椭圆（a＞b＞0），过M的右焦点F（3，0）作直线交椭圆于A，B两点，若AB中点坐标为（2，1），则椭圆M的方程为（）A．B．C．D．解：直线AB的斜率k＝＝﹣1，设A（x1，y1），B（x2，y2），代入椭圆方程可得：+＝1，+＝1，相减化为：﹣＝0，又c＝3，a2＝b2+c2．联立解得：a2＝18，b2＝9．可得：椭圆M的方程为：＝1．故选：D．8．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题一“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为x2+y2≤3，若将军从点A（3，1）处出发，河岸线所在直线方程为x+y ＝5，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为（）A．﹣B．C．2D．2解：设点A关于直线x+y＝5的对称点A'（a，b），设军营所在区域为的圆心为O根据题意，|A'O|﹣为最短距离，先求出A'的坐标，AA'的中点为（），直线AA'的斜率为1，由，解得a＝4，b＝2，∴|A'O|＝，∴“将军饮马”的最短总路程为．故选：C．二、多选题：本大题共4道小题，每小题5分，共20分9．已知m，n是不重合的直线，α，β，γ是不重合的平面，则下列命题为假命题的是（）A．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥βB．若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥βC．若α∥β，γ∥β，则γ∥αD．若α⊥β，m⊥β，则m∥α解：对于A，若α⊥γ，β⊥γ，则α、β平行或相交，故A错误；对于B，若m⊂α，n⊂α，且m，n相交，m∥β，n∥β，则α∥β，故B错误；对于C，若α∥β，γ∥β，则γ∥α，故C正确；对于D，若α⊥β，m⊥β，则m∥α或m⊂α，故D错误．故选：ABD．10．下列说法中，正确的命题是（）A．已知随机变量X服从正态分布N（2，σ2），P（X＜4）＝0.8，则P（2＜X＜4）＝0.2B．线性相关系数r越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱C．已知两个变量具有线性相关关系，其回归直线方程为y＝，若＝2，＝1，＝3，则＝1D．若样本数据2x1+1，2x2+1，…，2x16+1的方差为8，则数据x1，x2，…，x16的方差为2解：对于A选项，随机变量X服从正态分布N（2，σ2），P（X＜4）＝0.8，则P（2＜X＜4）＝P（X＜4）﹣P（X＜2）＝0.8﹣0.5＝0.3，故A错误；对于B选项，因为线性相关系数|r|越大，两个变量的线性相关性越强，故B错误；对于C选项，因为回归方程过样本中心，所以有3＝+2×1，解得，故C 正确；对于D选项，由方差的性质D（aX+b）＝a2D（X），可得，若样本数据2x1+1，2x2+1，…，2x16+1的方差为8，则数据x1，x2，…，x16的方差为，故D正确．故选：CD．11．下列命题中是真命题的是（）A．“ω＝1”是“f（x）＝sin（2ωx﹣）的最小正周期为π”的必要不充分条件B．在△ABC中，点D是线段BC上任意一点（不包含端点），若＝m+n，则的最小值是9C．已知数列{a n}的各项均为正数，a1＝2，a n+1﹣a n＝，则数列{}的前24项和为2D．函数f（x）是定义在R上的偶函数且在[0，+∞）上为减函数，f（﹣2）＝1，则不等式f（x﹣1）＜1的解集为{x|﹣1＜x＜3}解：因为f（x）＝sin（2ωx﹣）的最小正周期为π，所以，解得ω＝±1，所以“ω＝1”是“f（x）＝sin（2ωx﹣）的最小正周期为π”的充分不必要条件，故选项A是假命题；因为在△ABC中，点D是线段BC上任意一点（不包含端点），且＝m+n，所以m+n＝1，则＝，当且仅当时等号成立，所以的最小值是9，故选项B是真命题；因为a n+1﹣a n＝，所以（a n+1﹣a n）•（a n+1+a n）＝4，即，又，所以数列是首项为4，公差为4的等差数列，则，所以，所以，所以的前24项和为，故选项C 是真命题；因为f（x）是R上的偶函数且在[0，+∞）上为减函数，又f（﹣2）＝1，所以f（2）＝f （﹣2）＝1，不等式f（x﹣1）＜1可变形为f（|x﹣1|）＜f（2），所以|x﹣1|＞2，解得x＜﹣1或x＞3，所以不等式f（x﹣1）＜1的解集为{x|x＜﹣1或x ＞3}，故选项D是假命题；故选：BC．12．已知l1，l2是双曲线T：＝1（a＞0，b＞0）的两条渐近线，直线l经过T的右焦点F，且l∥l1，I交T于点M，交l2于点Q交y轴于点N，则下列说法正确的是（）A．△FOQ与△OQN的面积相等B．若T的焦距为4，则点M到两条渐近线的距离之积的最大值为C．若＝，则T的渐近线方程为y＝±xD．若∈[，]，则T的离心率e∈[2，3]解：对于A，由题可知，F（c，0）不妨记l1：y＝x，由l∥l1可得l的方程为y＝（x﹣c），与l2的方程联立可解得x Q＝，y Q＝﹣，即点Q（，﹣），对于y＝（x﹣c），令x＝0，可得y＝﹣，即点N（0，﹣），所以S△FOQ＝×c×＝，S△OQN＝××＝，所以S△FOQ＝S△OQN，故A正确；对于B，设点M的坐标为（x0，y0），则﹣＝1，即b2x02﹣a2y02＝a2b2，所以M到两条渐近线的距离之积为•＝＝，因为T的焦距为4，所以c＝2，所以＝，因为4＝a2+b2≥2ab，所以ab≤2，a2b2≤4，所以＝≤1，所以点M到两条渐近线的距离之积的最大值为1，故B错误；对于C，由＝，得M为QF的中点，则x0＝＝，y0＝﹣＝﹣，即点M（，），代入曲线T的方程得﹣＝1，即＝2，又c2＝a2+b2，所以a2＝b2，所以a＝b，所以双曲线T的渐近线方程为y＝±x，故C正确；由y＝（x﹣c）与＝1，得x M＝，所以＝＝＝1﹣∈[，]，得e2∈[2，3]，所以e∈[，]，故D错误．故选：AC．三、填空题：本大题共4道小题，每小题5分，共20分.13．一批产品的次品率为0.03，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，X表示抽到的次品件数，则E（X）＝3．解：∵一批产品的二等品率为0.03，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，X表示抽到的二等品件数，∴X～B（100，0.03），∴E（X）＝100×0.03＝3．故答案为：3．14．电影《夺冠》讲述中国女排姑娘们顽强奋斗、为国争光的励志故事，打造一部见证新中国体育改革40年的力作，该影片于2020年09月25日正式上映在《夺冠》上映当天，一对夫妇带着他们的两个小孩一起去观看该影片，订购的4张电影票恰好在同一排且连在一起为安全起见，影院要求每个小孩子要有家长相邻陪坐，则不同的坐法种数是16．解：根据题意，将两名家长、孩子全排列，有A44＝24种排法，其中两个孩子相邻且在两端的情况有A22A22A22＝8种，则每个小孩子要有家长相邻陪坐的排法有24﹣8＝16种，故答案为：16．15．在平面直角坐标系xOy中，抛物线：y2＝6x的焦点为F，准线为l，P为抛物线C上一点，PA⊥l，A为垂足，若直线AF的斜率k＝﹣2，则线段PF的长为．解：由已知抛物线的方程可得焦点F（，0），准线l的方程为x＝﹣，因为直线AF的斜率为﹣2，所以直线AF的方程为：y＝﹣2（x﹣），当x＝﹣时，y＝6，即A（﹣，6），因为PA⊥l，所以点P的纵坐标为6，代入到抛物线方程可得：x＝6，所以P（6，6），所以|PF|＝|PA|＝6﹣（﹣）＝，故答案为：．16．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E、F，且EF＝，则下列结论中正确的序号是①②③．①AC⊥BE②EF∥平面ABCD③三棱锥A﹣BEF的体积为定值④△AEF的面积与△BEF的面积相等．解：对于①，由题意及图形知，AC⊥面DD1B1B，故可得出AC⊥BE，故①正确；对于②，由正方体ABCD﹣A1B1C1D1的两个底面平行，EF在其一面上，故EF与平面ABCD 无公共点，故有EF∥平面ABCD，故②正确；对于③，由几何体的性质及图形知，三角形BEF的面积是定值，A点到面DD1B1B，故可得三棱锥A﹣BEF的体积为定值，故③正确；对于④，由图形可以看出，B到线段EF的距离与A到EF的距离不相等，故△AEF的面积与△BEF的面积相等不正确，故④错误．∴正确命题的序号是①②③．故答案为：①②③．四、解答题：本大题共6个小题，共70分。