高考数学(文)总复习(含答案)第八章 第五节 椭 圆

课时规范练 A 组 基础对点练

1．(2020·东北三校联考(一))若椭圆mx 2＋ny 2＝1的离心率为12，则m

n ＝( ) A.3

4 B.43 C.32或233

D.34或43

解析：若焦点在x 轴上，则方程化为x 21m ＋y 21n ＝1，依题意得1m －1n 1m ＝14，所以m

n ＝

34；若焦点在y 轴上，则方程化为y 21n ＋x 21m

＝1，同理可得m n ＝43.所以所求值为3

4或

43. 答案：D

2．(2020·河北省五校联考)以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形的面积的最大值为1，则椭圆长轴长的最小值为( ) A ．1 B. 2 C ．2

D ．2 2

解析：设a ，b ，c 分别为椭圆的长半轴长、短半轴长、半焦距，依题意知，

12×2cb ＝1⇒bc ＝1,2a ＝2b 2＋c 2≥22bc ＝22，当且仅当b ＝c ＝1时，等号成立．故选D. 答案：D

3．(2020·武汉调研)已知A ，B 分别为椭圆x 29＋y 2b 2＝1(0＜b ＜3)的左、右顶点，P ，Q 是椭圆上关于x 轴对称的不同两点，设直线AP ，BQ 的斜率分别为m ，n ，若点A 到直线y ＝1－mnx 的距离为1，则该椭圆的离心率为( ) A.12 B.24

C.13

D.22

解析：根据椭圆的标准方程x 29＋y 2

b 2＝1(0＜b ＜3)知椭圆的中心在原点，焦点在

x 轴上，A (－3,0)，B (3,0)，设P (x 0，y 0)，Q (x 0，－y 0)，则x 209＋y 20

b 2＝1，k AP ＝m ＝y 0x 0＋3，k BQ ＝n ＝－y 0x 0－3，∴mn ＝－y 20

x 20－9＝b 29，∴1－mn ＝9－b 23，∴直线y ＝1－mnx ＝9－b 2

3x ，即9－b 2x －3y ＝0.又点A 到直线y ＝1－mnx 的距离为1，∴|－39－b 2|9－b 2＋9＝39－b 218－b 2＝1，解得b 2＝638，∴c 2＝a 2－b 2

＝98，∴e

＝

c 2

a 2＝

18＝

24，故选B.

答案：B

4．椭圆C ：x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a ＞b ＞0)的左顶点为A ，右焦点为F ，过点F 且垂直于x

轴的直线交C 于P ，Q 两点，若cos ∠P AQ ＝3

5，则椭圆C 的离心率e 为( ) A.12 B.22

C.33

D.23

解析：根据题意可取P (c ，b 2a )，Q (c ，－b 2a )，所以tan ∠P AF ＝b 2a a ＋c ＝b 2

a 2＋ac ＝

a 2－c 2a 2

＋ac

＝a －c

a ＝1－e ，cos ∠P AQ ＝cos 2∠P AF ＝cos 2∠P AF －sin 2∠P AF ＝cos 2∠P AF －sin 2∠P AF cos 2∠P AF ＋sin 2∠P AF ＝1－tan 2∠P AF 1＋tan 2∠P AF ＝1－(1－e )21＋(1－e )

2＝35，故5－5(1－e )2

＝3＋3(1－e )2⇒8(1－e )2＝2⇒(1－e )2＝1

4.又椭圆的离心率e 的取值范围为(0,1)，所以1－e ＝12，e ＝1

2，故选A. 答案：A

5．如图所示，椭圆x 2a 2＋y 2

4＝1(a ＞0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，过F 1的直线交椭圆于M ，N 两点，交y 轴于点H .若F 1，H 是线段MN 的三等分点，则△F 2MN 的周长为( )

A ．20

B ．10

C ．2 5

D ．4 5

解析：由F 1，H 是线段MN 的三等分点，得H 是F 1N 的中点，又F 1(－c,0)，∴点N 的横坐标为c ，联立方程得⎩⎪⎨⎪⎧

x ＝c ，x 2a 2＋y 24

＝1，得N (c ，4a )，∴H (0，2

a )，

M (－2c ，－2a )．把点M 的坐标代入椭圆方程得4c 2

a 2＋(－2a )2

4＝1，化简得c 2＝a 2

－14，

又c 2＝a 2

－4，∴a 2－14＝a 2

－4，解得a 2＝5，∴a ＝ 5.由椭圆的定义知|NF 2|

＋|NF 1|＝|MF 2|＋|MF 1|＝2a ，∴△F 2MN 的周长为|NF 2|＋|MF 2|＋|MN |＝|NF 2|＋|MF 2|＋|NF 1|＋|MF 1|＝4a ＝45，故选D. 答案：D

6．(2020·金华模拟)如果方程x 2＋ky 2＝2表示焦点在x 轴上，且焦距为3的椭圆，则椭圆的短轴长为________．

解析：方程x 2

＋ky 2

＝2可化为x 22＋y 22k

＝1，则(32)2＋2k ＝2⇒2k ＝5

4，∴短轴长为

2×5

2＝ 5.

答案： 5

7．(2020·陕西检测)已知P 为椭圆x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a ＞b ＞0)上一点，F 1，F 2是其左、右

焦点，∠F 1PF 2取最大值时cos ∠F 1PF 2＝1

3，则椭圆的离心率为________．

解析：易知∠F 1PF 2取最大值时，点P 为椭圆x 2a 2＋y 2

b 2＝1与y 轴的交点，由余

弦定理及椭圆的定义得2a 2－2a 2

3＝4c 2，即a ＝3c ，所以椭圆的离心率e ＝

c a ＝