寻找动点轨迹的几何图形

寻找动点轨迹的几何图形

数学的发展是问题取向的,从发现问题到分析演算之间,GSP 提供实验探索的工具,可印证想法,也可再引发问题。

§ 楔子

上面,左右两个图中,∆ABC ,∆CDE 都是正三角形,直线,AD BE 交于P 点,则

ACD BCE ∆≅∆,可以得到060APB ∠=是一个不变量。

这是国中的一个基本题。这种状况用GSP 统一这两个图形并且看看在动态中能引发甚么问题是GSP 最擅长的事。

我追踪P 点的轨迹,发现P 点的轨迹是一个圆形。于是,我继续我的探寻之路…

§1 四点共圆的条件

(1)A ,B ,C ,D 四点共圆⇔对角互补............(1) (2)A ,B ,C ,D 四点共圆⇔ABD ACD ∠=∠ (2)

四边形对角互补是它有外接圆的充要条件,这是国中的基本定

理,在这里引入穷举法来证明是一件很美妙的事,可惜被基测的考

法抛弃了。另一个四点共圆的条件(2)比较没被注意,可以当作一个习作。

§2-1 由正三角形中的不变量引出轨迹 ∆ABC ,∆CDE 都是正三角形,直线,AD BE

交于P 点,则ACD BCE ∆≅∆,可以得到

060APB ∠=是一个不变量,让E 点在直线

AC 上动,因为APB ACB ∠=∠,由(2)得知P

点的轨迹为一圆。

§2-2 由正方形中的不变量引出轨迹

相同的状况,若ABCD ,CEFG 都是正方形,直

线,BE DG 交于P,则GCD ECB ∆≅∆,可以得

到090DPE ∠=是一个不变量,让G 点在直线

BC 上动,因为BCD BPD ∠=∠=900,由(2)知

道P点的轨迹为一圆。

§3-1 变量中引出的轨迹

AG BE的交点,G点在直线BC上动,则P点的轨迹如下图

接下来,我取P点为,

(1)APB

∠在变动,而P点的轨迹看起来像一个椭圆,问题是:它是一个椭圆吗?

图(1) 图(2) 图(3)

§3-2 对称性

DG BE的交点, G点在直线BC上动,则Q点的轨迹如图(2),看起来动我取Q点为,

点Q的轨迹与动点P的轨迹对称于线段BC的中垂线。合理的想法是它们一定与某种对称性有关。

§3-3 改变选取的变量

BF GE的交点, G点在直线BC上动,则P点的轨迹如图(3),是一双曲取P为直线,

线吗?

§3-4 验证一下

建立一坐标系,使得

B(0,0),A(0,1),C(1,0),E(1,t),G(1+t,0),则

BE:y=tx;AG:-x=(1+t)(y-1)

消去t,得x2+xy+y2-x-y=0

δ=12-4=-3<0,是椭圆类,因为图形没有退化,因此肯定

图(1)中的图形就是椭圆。同理可以确定图(3)是一双

曲线。

§4-1 把两正三角形改成两相似三角形看看

作任意三角形ABC ,过C 作直线L //AB ,在BC 上取一动

点E ,过E 作一直线//AC ,交直线L 于D ,则

~DCE ABC ∆∆,连接,BD AE ,设两线交于P 点,让E 点在

直线BC 上动,则P 点的轨迹看起来似乎是一个椭圆。

§4-2 合情的猜测

合理的猜测是§4-1的图是§2-1的圆的线性变换。

§4-3 让两正三角形离开看看

在直线L 上作两正三角形ABC ,DEF 如右图,连接

,BD AF ,假设两线交于P 点,让F 在L 上动,则P 点的

轨迹看起来似乎是一个椭圆。

§4-4 验证你的猜测

作线性变换 令T=1101⎡⎤⎢⎥⎣⎦

,则1101,0011T T ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦

112y x y x t

⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪-+⎩消去参数t,得P 点的轨迹方程式

:2220x y x y +--=……

(1) y x ⎧=⎪⎪=

消去参数t 得Q 点的轨迹方程式

;22222(20x xy y x y -+-+-=……(2) 这个结果与直接用矩阵变换一样,是意料中的事。

亦即1101x x y y y +⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦

,令X=x+y,Y=y,则x=X-Y,y=Y 代入(1)中,化简得(2) 因此,我们可以确定§4-1的图形是一个椭圆。

回到§4-3

P

是112y x y x a t

⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪-++⎩的解

消去参数t,

得223(3)(63))0x a y a x y +++-+-=

2)12(3)a δ=-+=3a 2-12a -36=3(a -6)(a +2),所以§4-3的图形可以是椭圆,双曲线或拋物线。(a =-2时,图形显然是一直线。)

§5-1 把正方形与三角形摆在一起

接着我作一个正方形ABCD ,一个正三角形DEF ,作直线

,AE BF 的交点P ,让F 在直线AD 上动,则P 点的轨迹看起

来是一个椭圆,诸位看官何不验证一下!

§5-2 接下来是你的探寻之路…

◇习作◇

1.在∆ABC 的两边,AC BC 往外各作一个正三角形

ACQ ,BCE ,假设直线,AE BQ 交于P 点,让C 点在某一直

在线动,则P 点的轨迹为何?

2. 在∆ABC 的两边,AC BC 往外各作一个正方形

ABDE ,ACFG ,假设直线,BG DF 交于P ,让A 点在某一直