常微分方程简明教程(曹之江,阿拉坦仓编著)思维导图
常微分方程简明教程
线性微分方程：系统阐述线性微分方程的理论和解法，包括常系数线性方程和 变系数线性方程等。
定性分析：介绍常微分方程的定性分析方法，如相图、稳定性理论等。
应用：通过一些实际问题，展示常微分方程在各个领域中的应用，如物理、工 程、生物等。
习题：提供大量的习题供读者练习，以巩固所学知识。
本书的内容安排既全面又深入，既注重理论又强调应用。通过从基础知识到高 阶方程、从线性到非线性的逐步深入，使读者能够逐步掌握常微分方程的核心 内容和解题方法。同时，本书还注重理论与实践相结合，通过丰富的应用案例， 让读者更好地理解常微分方程在实际问题中的应用。
本书的目录结构清晰明了，主要分为以下几个部分： 引言：简要介绍常微分方程的研究对象、背景和意义，激发读者的学习兴趣。
基础知识：回顾微积分和线性代数等必要的预备知识，为后续的学习打下坚实 的基础。
一阶微分方程：详细介绍一阶微分方程的各种解法，如分离变量法、常数变易 法、积分因子法等。
高阶微分方程：探讨高阶微分方程的解法，包括消元法、降阶法等，并介绍一 些特殊类型的高阶方程。
常微分方程简明教程
读书笔记
01 思维导图
03 精彩摘录 05 目录分析
目录
02 内容摘要 04 阅读感受 06 作者简介
思维导图
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内容摘要
内容摘要
《常微分方程简明教程》是一本关于常微分方程理论的入门教材，它旨在为学生提供清晰、简洁、 易于理解的理论知识，并引导学生掌握求解常微分方程的基本技能。本书内容涵盖了常微分方程 的基本概念、一阶方程、高阶方程、线性方程、非线性方程以及数值解法等多个方面。 本书介绍了常微分方程的基本概念，包括微分方程的定义、阶数、解的概念等。在此基础上，进 一步介绍了一阶方程的求解方法，包括分离变量法、变量代换法、积分因子法等。同时，还详细 讲解了高阶方程的求解方法，如幂级数解法、常数变易法等。 接着，本书重点介绍了线性方程的求解方法，包括一阶线性方程、高阶线性方程以及线性方程组 等。在这一部分，详细介绍了线性方程的性质、通解与特解的概念、线性方程组的解法等。本书 还介绍了非线性方程的求解方法，包括一些常用的近似解法，如泰勒级数解法、摄动法等。
常微分方程主要内容复习.ppt
1.先求
dy dx
P(x)y
0
(2)
的通解：
分离变量后得
dy P(x)dx y
任意常数写成ln C的形式，得
ln y P(x)dx ln C，
化简后，方程(2)的通解为
y Ce ， P(x)dx (3)
其中C为任意常数.
2.利用“常数变易法”求线性非齐次方程(1)的通解：
设 y C(x)e P(x)dx，
不包含任意常数的解为微分方程特解.
可分离变量的微分方程
1．定义 形如
dy f x g y (1)
dx
的方程称为可分离变量的方程.
特点 -- 等式右端可以分解成两个函数之积，
其中一个只是x的函数，另一个只是y的函数
2．解法:
分离变量得
1
g y
dy
f
x dx
g y 0
两端积分得通解:
g
是特征方程的单根或是特征方程的重根依次取0、 1或2。
❖ 当 f (x) Pm (x)ex cosx
或 f (x) Pm (x)ex sin x
时，
❖ 由欧拉公式知道，
❖ 分别是
Pm (x)ex cosx
和 Pm (x)ex的sin实x部
和虚部。Pm (x)e(i)x Pm (x)ex (cosx i sinx)
1
y
dy
f
x dx
齐次方程
如果一阶微分方程
dy dx
f
(x,
y)
可以化成
dy dx
y x
的形式，则称此方程为齐次微分方程．
这类方程的求解分三步进行：
（1）将原方程化为方程
dy dx
常微分方程总结 PPT
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3. 解微分方程应用题的方法和步骤
(1) 找出事物的共性及可贯穿于全过程的规律列方程. 常用的方法: 1) 根据几何关系列方程 ( 如: P263,5(2) ) 2) 根据物理规律列方程 ( 如: 例4 , 例 5 )
线性无关概念.
23
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定义: 设 y1 ( x), y2 ( x),, yn ( x) 是定义在区间 I 上的
n 个函数, 若存在不全为 0 的常数 使得
则称这 n个函数在 I 上线性相关, 否则称为线性无关. 例如， 在( , )上都有
故它们在任何区间 I 上都线性相关;
微分方程的基本概念
含未知函数及其导数的方程叫做微分方程 . 常微分方程 (本章内容)
分类
偏微分方程
方程中所含未知函数导数的最高阶数叫做微分方程
的阶. 一般地 , n 阶常微分方程的形式是
F ( x, y, y,, y ( n ) ) 0
或
y ( n ) f ( x, y, y,, y ( n 1) ) ( n 阶显式微分方程)
y p( x) y q( x) y f ( x) ,
y
( n) ( n 1)
为二阶线性微分方程.
n 阶线性微分方程的一般形式为
a1 ( x) y an 1 ( x) y an ( x) y f ( x) f ( x) 0 时, 称为非齐次方程 ;
f ( x) 0 时, 称为齐次方程.
若 Q(x) 0, 称为非齐次方程 . dy P( x) y 0 1. 解齐次方程 dx
常微分方程主要内容复习.ppt
y'' py' qy 0
的两个根r1,r2 两个不相等的实根
r1 r2 两个相等的实根 r1 r2
一对共轭复根
的通解
y C1er1x C2er2 x
y (C1 C2 x)er1x
y ex (C1 cos x
r1,2 i ( 0)
C2 sin x)
二阶常系数非齐次线形微分方程
1.先求
dy dx
P(x)y
0
(2)
的通解：
分离变量后得
dy P(x)dx y
任意常数写成ln C的形式，得
ln y P(x)dx ln C，
化简后，方程(2)的通解为
y Ce ， P(x)dx (3)
其中C为任意常数.
2.利用“常数变易法”求线性非齐次方程(1)的通解：
设 y C(x)e P(x)dx，
y C1y1(x) C2 y2(x) (C1,C2为任意常数)
就是方程(3)的通解.
求二阶常系数齐次线性微分方程(3)的通解步骤： 1.写出特征方程，并求出特征方程的两个根； 2 .根据两个特征根的不同情况，按照公式(6)、(7)或(8)写出 微分方程的通解.可使用下表:
特征方程:
微分方程:
r2 pr q 0
二阶常系数线性微分方程 一、二阶常系数线性微分方程 二、 常系数线性齐次微分方程解的结构 三、 二阶常系数线性齐次微分方程的解法
形如 y'' P(x)y' Q(x)y f (x)
(1)
的方程，称为二阶线性微分方程.当 f (x) 0 时，
方程(1)成为 y'' P(x)y' Q(x)y 0
(4)
第7常微分方程1-PPT精品文档
称它为微分方程的积分曲线．也被称为微分方程 初值问题的几何意义．
通解是一组平行的曲线簇．
d x 例1 验 证 x C1 cos kt C2 sin kt 是 2 k 2 x 0 的 dt
2
解，其中 C1 , C2 为任意常数．并求满足初始条件
dx 0 的特解． x t 0 A ， dt t 0 dx 解: k1 C sin k tk 2 C cos kt dt 2 dx 2 2 2 k C cos kt k C sin kt k C cos kt C sin kt 1 2 1 2 2 dt d2x d 2x 2 将 2 , x 代入方程 2 k x 0 得： dt dt 2 2 k C c o s k t C s i n k t 0 k C cos kt C sin kt 1 2 1 2
t 0
M0
又由 M
t 0
M 0 得： C M 0
所以所求变化规律为： M M 0 e t ．
2、齐次方程
若一阶微分方程 y f x, y 中的函数 f x, y y y y 可化为 的函数 ，即： f x, y ，称 x x x 该方程为齐次方程．
故 ln y x2 C1
y e
x2C 1
C1 x2
x2
e e
Ce
即方程的通解为 y Ce
x2
例3 求微分方程 x xy 2 dx x 2 y y dy 0 满足
1 的特解． x y 解：原方程变形为： 2 d x d y 2 x 1 1y 1 x2 1 1 2 1 2 ln x 1 ln y 1 C C 1 ln 2 1 2 2 2 y 1 2 即： x 1 C y2 1 1 y |x 1 C 0 2 x2 1 1 故所求特解为： 2 y 1 2
常微分方程知识点
第一章 绪论什么是线性微分方程：形如)()()()(y 1)1(1)(x f y x a y x a y x a n n n n =+'+++--Λ的微分方程，即y 及y 的各阶导数都是一次有理整式，即不含y 及y 的各阶导数的乘积的微分方程叫：线性微分方程。
第二章 一阶微分方程的初等解法§ 2.1 变量分离方程1、形式：)()(y x f dxdy ϕ= 做题步骤：① 0)(≠y ϕ 可将方程改写为：dx x f y dy )()(=ϕ，这样对两边积分：⎰⎰+=c dx x f y dy )()(ϕ，得出方程的通解，但c 要保证积分式有意义 ② 0)(=y ϕ时，求出0y y = 也是方程的解2、y x P dxdy )(=得dx x P ce y ⎰=)( (2.4) 而0=y 也是方程的解，而若(2.4)允许c=0，则y=0也在(2.4)中，故(2.4)是原方程的通解，其中c=0。
3、齐次方程：)(xy g dx dy = (2.5) 做变量变换x y u =，即ux y =，则u dx du x dx dy +=，整理后为：x u u g dx du -=)(，即为变量分离方程。
同时要注意：将一个方程转化为齐次方程求解时，两个方程是否同解（c 的范围是否相同）4、222111c y b x a c y b x a dx dy ++++= (2.13) 做题步骤：①k c c b b a a ===212121（常数），通解：c kx y += (c 为任意常数) ② 212121c c k b b a a ≠==，令y b x a u 22+=，有212222c u c ku b a dx dy b a dx du ++++=+=，为变量分离方程 ③ 2121b b a a ≠，如果没有常数21c c 、，则很容易变成齐次方程做，（体会：）让分子分母都为零，则为两条曲线⎩⎨⎧=++=++00222111c y b x a c y b x a (2.14)，两条曲线相交的交点为),(βα，而没有那两个常数时方程为都过原点的形式，因此过原点的这两直线可视为原坐标系平移后原直线在新坐标系下的坐标，令⎩⎨⎧-=-=βαy Y x X ，(2.14) 变为⎩⎨⎧=+=+002211Y b X a Y b X a ，从而 (2.13) 变为)(2211X Y g Y b X a Y b X a dX dY =++=，§ 2.2 线性微分方程与常数变易法1、)()(x Q y x P dxdy += (2.28) 做题步骤：① 考虑y x P dxdy )(=，求出它的通解为：⎰=dx x P ce y )(；② 常数变易变为：⎰=dx x P e x c y )()((2.29) ③ 求微分得：⎰+⎰=dx x P dx x P e x P x c e dxx dc dx dy )()()()()( (2.30) ，④ 将(2.29)和(2.30)代入(2.28)，得到： ⎰=-dx x P e x Q dx x dc )()()(，⑤ 积分后得到⎰'+⎰=-c dx e x Q x c dx x P )()()(，于是得到方程(2.28)的通解为： ))(()()(⎰'+⎰⎰=-c dx e x Q e y dx x P dx x P2、伯努利微分方程n y x Q y x P dxdy )()(+= 做题步骤：① 两边同除以n y ，得到)()(1x Q x P y dx dy yn n +=--，② 设n y z -=1，得dx dy y n dx dz n --=)1( ③ 于是原方程变为：)()1()()1(x Q n z x P n dxdz -+-=，即为线性微分方程 § 2.3 恰当微分方程与积分因子1、恰当方程形式：0),(),(=+dy y x N dx y x M （M 、N 在已知区域上连续且具有一阶连续偏导数）推理过程：① 若已知此微分方程是恰当方程能推出什么？先设原函数为),(y x u yx u y N x y u y M ∂∂∂=∂∂∂∂∂=∂∂22、 由条件得：yx u x y u ∂∂∂=∂∂∂22即x N y M ∂∂=∂∂ ② 那么反过来若由它俩相等能否推出方程是恰当方程？ 从x u M ∂∂=出发，两边同时求积分：⎰⎰∂∂==x u Mdx u +c ，但c 若是常数那么？则应为：⎰⎰+=∂∂=)(y Mdx dx x u u ϕ ③ 对u 关于y 求偏导：),()(y x N y Mdx y y u ='+∂∂=∂∂⎰ϕ，如何证明等式左边等于右边（方程有意义），即右边也与x 无关即只与y 有关？ 对右边关于x 求偏导0=∂∂-∂∂=∂∂∂∂-∂∂⎰y M x N dx y M x x N （因为证充分，则y M x N ∂∂=∂∂为已知）④ 两端积分：dy Mdx y N y ⎰⎰∂∂-=)()(ϕ，于是⎰⎰⎰∂∂-+=)(dy y M N Mdx u 做题步骤：① 先设u(x,y)，② 证明xN y M ∂∂=∂∂，③ 从M 出发对方程两端同时求积分得)(),(),(y dx y x M y x u ϕ+=⎰，④ 对u 求偏导：),()(y x N y Mdx y y u ='+∂∂=∂∂⎰ϕ，⑤ 两边积分得dy dx y M N y ⎰⎰∂∂-=)()(ϕ，⑥ 得⎰⎰⎰∂∂-+=dy dx y M N Mdx u )(。
常微分方程PPT
− kv（ 负号 表示 阻力与运动方向相反 k 为常数） 另外， ， 为常数） 另外， ．
受重力P = mg作用 故由牛顿 作用， 伞在下降过程中还 ， 第二定律 dv v 初始条件： 于是， 初始条件： |t=0 = 0于是， 得m = mg − kv且有 所给问题归 dt 结为求解初值问题 dv m = mg − kv, dt v |t=0 = 0,
(2)
两边积分得 ln y = ln x + lnC
所以,齐次方程（ 所以,齐次方程（2） 的通解为
,即 ,即
y = Cx
ln y = lnCx
(3)
C 将通解中的任意常数C 换成待定函数 (x) ,即令 y = C(x)x 为方程（1）的通解,将其代入方程(1)得 为方程（ 的通解,将其代入方程(1) (1)得 xC '(x) = ln x.于是
所以
1 ′(x) = ln x, C x ln x 1 C(x) = ∫ dx = ∫ ln xdln x = (ln x)2 + C, x 2
求 (3), 原 程 通 为 将所 的C(x)的 入 (3),得 方 的 解 代 式
x y = (ln x)2 + Cx. 2
二、可降阶的高阶微分方程
1. y(n) = f (x)型的微分方程
所以， 是所给微分方程的解． 所以，函数y = C1ex +C2e2x 是所给微分方程的解．又因 ， 个 中 两 独 的 意 数， 为 这 解 有 个 立 任 常 ， 方 的 数 数 与 程 阶 相 所以它是所给微分方程的通解． 同，所以它是所给微分方程的通解 ．
始 件 由初 条 y(0) = 0， 们 C1 +C2 = 0 ， 初始 件 我 得 由 条
常微分方程PPT - 第四章第二节
事实上,假设这些函数线性相关,
则存在不全为零的常常 C (j r )使得
[C
r 1
m
(r ) 0
C t C
(r ) 1
( r ) k r 1 k r 1
t
]e
r t
P (t )e
r 1 r
m
r t
0
(4.27)
不失一般性, 假设多项式Pm (t )至少有一个系数不等于 零, 即Pm (t ) 0, 将恒等式(4.27)除以e1t , 然后对t微分k1次得
n n 1
4.1.1 复值函数与复值解
1 复值函数
如果 (t )与 (t )是区间a t b上定义的实函数 , 我们称z (t ) (t ) i (t )为区间a t b上的复值函数 .
若 (t )与 (t )在区间a t b上连续, 则称z (t )在 a t b上连续.
我们知道,一阶常系数齐线性方程
(4.19)
其中a1 , a2 ,, an为常数, 称(4.19)为n阶常系数齐线性方程.
dx at 0 dt
有解
x ce ,
at
受此启发,对(4.19)偿试求指数函数形式的解
xe ,
把它代入方程(4.19)得
t
(4.20)
这里是待定常数 , 可以是实数也可以是复 数,
于是方程(4.19)化为
1t
dny d n1 y L1[ y] n b1 n1 bn y 0, (4.23) dt dt 其中b1 , b2 ,, bn仍为常数, 方程(4.23)相应特征方程为
G( ) b1
常微分方程(常数变异法)
即
y Ce P(x)d x e P(x)d x Q(x) e P(x)d xdx
齐次方程通解
非齐次方程特解
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上述求解方法称为常数变易法,用常数变易法求 一阶非齐次线性方程的通解的步骤为：
（1）先求出非齐次线性方程所对应的齐次方程的通解
（2）根据所求出的齐次方程的通解设出非齐次线性
方程的解(将所求出的齐次方程的通解中的任意常数C 改为待定函数 C(x即) 可).
（3）将所设解代入非齐次线性方程,解出 C(x) 并写出非齐次线性方程的通解.
y Ce P(x)d x e P(x)d x Q(x) e P(x)d xdx
齐次方程通解
非齐次方程特解
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的最高阶数定义为该微分方程的阶数．
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线性微分方程:当微分方程中所含的未知函数及其各阶 导数全是一次幂时，微分方程就称为线性微分方程.
在线性微分方程中，若未知函数及其各阶导数的系数 全是常数，则称这样的微分方程为常系数线性微分方程
微分方程的解：如果将函数 y y(x) 代入微分方程后 能使方程成为恒等式，这个函数就称为该微分方程的解
②
o
x
由 ① 得 y 2x dx x2 C (C为任意常数)
由 ② 得 C = 1, 因此所求曲线方程为 y x2 1.
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一、一阶线性微分方程
一阶线性微分方程标准形式: dy P(x) y Q(x) dx
若 Q(x) 0, 称为齐次方程 ;
已知函数
若 Q(x) 0, 称为非齐次方程 .
所求通解: ln (1 ex y ) y C ( C 为任意常数 )