辅助圆解题精讲

第二十五讲 辅助圆

在处理平面几何中的许多问题时，常需要借助于圆的性质，问题才得以解决．

而我们需要的圆并不存在(有时题设中没有涉及圆；有时虽然题设涉及圆，但是此圆并不是我们需要用的圆)，这就需要我们利用已知条件，借助图形把需要的实际存在的圆找出来，添补辅助圆的常见方法 1．利用圆的定义添补辅助圆； 2．作三角形的外接圆；

3．运用四点共圆的判定方法：(1)若一个四边形的一组对角互补，则它的四个顶点共圆． (2)同底同侧张等角的三角形，各顶点共圆．

(3)若四边形ABCD 的对角线相交于P ，且PA ·PC=PB ·PD ，则它的四个顶点共圆．

(4)若四边形ABCD 的一组对边AB 、DC 的延长线相交于P ，且PA ·PB ＝PC ·PD ，则它的四个顶点共

圆． 【例题求解】

一·利用圆的定义添加辅助圆

【例1】 如图，若PA=PB ，∠APB=2∠ACB ，AC 与PB 交于点P ，且PB=4，PD=3，则AD ·DC 等于( )

A ．6

B ．7

C ．12

D ．16

思路点拨 作出以P 点为圆心、PA 长为半径的圆，为相交弦定理的应用创设了条件． 注：到一个定点等距离的几个点在同一个圆上，这是利用圆的定义添辅助圆的最基本方法． 变式练习：如图，已知OA=OB=OC ，且∠AOB=k ∠BOC ，则∠ACB 是∠BAC 的( ) A ．

k 21倍 B ．是k 倍 C ．k 2 D ．k

1 二·作三角形的外接圆

【例2】 如图，在△ABC 中，AB=AC ，任意延长CA 到P ，再延长AB 到Q ，使AP=BQ ，求证：△ABC 的外心O 与A ，P ，Q 四点共圆．

思路点拨 先作出△ABC 的外心O ，连PO 、OQ ，将问题转化为证明角相等． 变式练习：

5．如图，在等腰梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB=998，CD=1001，AD=1999，点P 在线段AD 上，满足条件的∠BPC=90°的点P 的个数为( )

A ．0

B ．1

C ．2 1

D ．不小于3的整数

(全国初中数学联赛题) 三·四点共圆

1·若有一个四边形对角互补，则四边形的四个顶点四点共圆。

【例3】如图；已知H 是△ABC 三条高的交点，连结DF ，DE ，EF ，求证：H 是△DEF 的内心． 变式练习：如图，直线AB 和AC 与⊙O 分别相切于B 、C ，P 为圆上一点，P 到AB 、AC 的距离分别为4cm 、6cm ，那么P 到BC 的距离为 ．

(全国初中数学联赛题)

思路点拨 连DF ，EF ，寻找PD 、PE 、PF 之间的关系，证明△PDF ∽△PFE ，而发现P 、D 、B 、F 与P 、E 、C 、F 分别共圆，突破角是解题的关键． 注：圆具有丰富的性质：(1)圆的对称性； (2)等圆或同圆中不同名称量的转化； (3)与圆相关的角；(4)圆中比例线段．

适当发现并添出辅助圆，就为圆的丰富性质的运用创造了条件，由于图形的复杂性，有时在图中并不需画出圆，可谓“图中无圆，心中有圆”．

2·同底同侧有相等顶角的三角形，则各顶点四点共圆（若能证明其两顶角为直角，即可肯定这四个点共圆，且斜边上两点连线为该圆直径。）

【例4】如图，在△ABC 中，高BE 、CF 相交于H ，且∠BHC=135°，G 为△ABC 内的一点，且GB=GC ，∠BGC ＝3∠A ，连结HG ，求证：HG 平分∠BHF ．

思路点拨 经计算可得∠A=45°，△ABE ，△BFH 皆为等腰直角三角形，只需证∠GHB=∠GHF=°． 由∠BGC=3∠A=135°=∠GHC ，得B 、G 、H 、C 四点共圆，运用圆中角转化灵活的特点证明． 注：许多直线形问题借助辅助圆，常能降低问题的难度，使问题获得简解、巧解或新解．

变式练习：已知等腰三角形ABC ，AB=AC ，AD 垂直BC 于D ，DE 垂直AC 于E ，F 是DE 中点，求证：AF 垂直于BE 。

3把被证共圆的四点两两连成相交的两条线段，若能证明它们各自被交点分成的两线段之积相等，即可肯定这四点共圆；

【例5】如图，P 是⊙O 外一点，PA 和PB 是⊙O 的切线，A ，B 为切点，P O 与AB 交于点M ，过M 任作⊙O 的弦CD ．求证：∠CPO=∠DPO ．

4把被证共圆的四点两两连结并延长相交的两线段，若能证明自交点至一线段两个端点所成的两线段之积等于自交点至另一线段两端点所成的两线段之积，即可肯定这四点也共圆． 【例6】如图，P 是⊙O 外一点，PA 切⊙O 于A ，PBC 是⊙O 的割线，AD ⊥PO 于D ．求证：CD

PC

PD PB =

． 思路点拨 因所证比例线段不是对应边，故不能通过判定△PBD 与△PCD 相似证

明．PA 2=PD ·PO=PB ·PC ，B 、C 、O 、D 共圆，这样连OB

，就得多对相似三角形，以此达到证明的目的．

注：四点共圆既是一类问题，又是平面几何中一个重要的证明方法，它和证明三角形全等和相似三角形有着同等重要的地位，这是因为，某四点共圆，不但与这四点相联系的条件集中或转移，而且可直接运．用圆的性质为解题服务． 5五点共圆（7456）

【例7】如图，已知在凸四边形ABCDE 中，∠BAE=3α，BC=CD=DE ，且∠BCD=∠CDE=α2180-ο．求证：∠BAC=∠CAD=∠DAK ，

(全国初中数学联赛题) 课外训练 A 组

1．如图，正方形ABCD 的中心为O ，面积为1989cm 2，P 为正方形内一点，且∠OPB=45°，PA ：PB=5：14，则PB 的长为 ．

2．如图，在△ABC 中，AB=AC=2，BC 边上有100个不同的点P l 、P 2，…P 100，记C

P BP AP m i i i i ⋅+=2

（i=1，2，…100），则10021m m m +++Λ= ．

3．设△ABC 三边上的高分别为AD 、BE 、CF ，且其垂心H 不与任一顶点重合，则由点A 、B 、C 、D 、E 、F 、H 中某四点可以确定的圆共有( ) A ．3个 B ．4个 C ．5个 D ．6个

(2000年太原市竞赛题) 6．如图，AD 、BE 是锐角三角形的两条高，S △ABC = 18，S △DEC =2，则COSC 等于( ) A ．3 B ．31 C ． 3

2

D ．43

8．如图，已知△ABC 中，AH 是高，AT 是角平分线，且TD ⊥AB ，TE ⊥AC ． 求证：(1)∠AHD=∠AHE ；(2)

CE

CH

BD BH =

(陕西省竞赛题) 1在凸四边形ABCD 的BC 边上取两点E,F ，E 比F 离B 更近，如果∠BAE=CDF ∠EAF=∠FDE 证明：∠FAC=∠EDB