斐波那契数列学习资料
斐波那契数列及其性质
斐波那契数列及其性质斐波那契数列是一个重要的著名数列，它出现在许多自然现象以及数学等领域中，在数学上有着深远意义，它也是有关组合数学等方面研究的基础。
斐波那契数列的构成和特点是什么？下面是给出斐波那契数列及其性质的详细说明：一、斐波那契数列的定义斐波那契数列是一个紧密排列的数字系列，按照规律由第三项等于前两项之和而形成，它又被称为Fibonacci序列，也就是经典的Fibonacci数列，它也是一种递归算法，其公式为：F(n) = F(n-1)+F(n-2) (n>=3, F(1)=1, F(2)=1)它是一类递推算法，以如下数列为例：1、1、2、3、5、8、13、21、34、55…上述的数列满足：1、斐波那契数列满足以下性质：每一项均等于其前两项之和；2、斐波那契数列与自然界有密切关系，它不仅涉及到数学，还涉及到建筑、园林、设计等领域；3、斐波那契数列可以用于解决许多算法题，如计算汉诺塔问题；4、斐波那契数列也是递推式，每一项都是前两项的和，所以它的数列必定存在规律；5、斐波那契数列的解不一定唯一，由于该数列与动态规划有关，所以，不同的算法可以得到不同的解，这也使其变得更加强大。
斐波那契数列的应用主要有：1、斐波那契数列可以用来分析空间、时间、财务等问题；3、斐波那契数列也可以用来解决像最短路径、最大优先级调度等问题；4、斐波那契数列也可以用作证明一些数学定理的实用工具；5、斐波那契数列不仅在数学中，在建筑、园林、设计等方面也发挥重要作用。
总之，斐波那契数列是一类重要而经典的数列，它不仅仅被用来分析数学问题，也被广泛用于其他领域，给数学家们带来了许多新思想。
斐波那契数列研究
斐波那契数列研究一、斐波那契生平斐波那契（1175年-1250年），意大利数学家，西方第一个研究斐波那契数，并将现代书写数和乘数的位值表示法系统引入欧洲。
有感使用阿拉伯数字比罗马数字更有效，斐波那契前往地中海一带向当时著名的阿拉伯数学家学习，约于1200年回国。
1202年, 27岁的他将其所学写进计算之书。
这本书通过在记帐、重量计算、利息、汇率和其他的应用，显示了新的数字系统的实用价值。
这本书大大影响了欧洲人的思想，可是在三世纪后印制术发明之前，十进制数字并不流行。
欧洲数学在希腊文明衰落之后长期处于停滞状态，直到12世纪才有复苏的迹象。
这种复苏开始是受了翻译、传播希腊、阿拉伯著作的刺激。
对希腊与东方古典数学成就的发掘、探讨，最终导致了文艺复兴时期（15～16世纪）欧洲数学的高涨。
文艺复兴的前哨意大利，由于其特殊地理位置与贸易联系而成为东西方文化的熔炉。
意大利学者早在12～13世纪就开始翻译、介绍希腊与阿拉伯的数学文献。
欧洲，黑暗时代以后第一位有影响的数学家斐波那契，其拉丁文代表著作《算经》、《几何实践》等也是根据阿拉伯文与希腊文材料编译而成的，斐波那契，早年随父在北非从师阿拉伯人习算，后又游历地中海沿岸诸国，回意大利后即写成《算经》。
《算经》最大的功绩是系统介绍印度记数法，影响并改变了欧洲数学的面貌。
现传《算经》是1228年的修订版，其中还引进了著名的“斐波那契数列”。
《几何实践》则着重叙述希腊几何与三角术。
斐波那契其他数学著作还有《平方数书》、《花朵》等，前者专论二次丢番图方程，后者内容多为菲德里克二世宫廷数学竞赛问题，斐波那契论证其根不能用尺规作出，他还未加说明地给出了该方程的近似解。
微积分的创立与解析几何的发明一起，标志着文艺复兴后欧洲近代数学的兴起。
微积分的思想根源部分（尤其是积分学）可以追溯到古代希腊、中国和印度人的著作。
在牛顿和莱布尼茨最终制定微积分以前，又经过了近一个世纪的酝酿。
二、《算盘原理》《算盘原理》中的“算盘”并非仅仅指罗马算盘或某种计算工具。
斐波那契数列及其性质
裴波纳契数列及其性质在现实生活中，我们经常会遇到类似“数列”变化的一系列经济问题，裴波纳契数列出现在我们生活中的方方面面，一些问题不仅可以用裴波纳契数列表示，而且本质上就是裴波纳契数列，可见裴波纳契数列在很多数学分支都有很广泛的应用，因此研究裴波纳契数列非常必要。
本文通过探讨裴波纳契数列的性质，进一步掌握数列的数字排列、增减变化、波动趋势等数项之间的变化规律，继而给出一系列与裴波纳契数列相关问题的解决方案，特别是对中学数学教育中，如何让学生巧妙解题具有启发作用。
1. 裴波纳契数列的由来斐波那契，公元13世纪意大利数学家，在他的著作《算盘书》中记载着这样一个“兔子繁殖问题”：假定有一对大兔子，每一个月可生下一对小兔子，并且生下的这一对小兔子两个月后就具有繁殖能力。
假如一年内没有发生死亡，那么，从一对小兔子开始，一年后共有多少对兔子？问题的解答思路：将每个月的兔子总对数列出来即可（需考虑到每个月具有生殖能力的兔子的对数），如下：月份 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 111213小兔子数（对） 1 0 1 1 2 3 5 8 13 21345589大兔子数（对）0 1 1 2 3 5 8 13 21345589144兔子总数（对） 1 1 2 3 5 8 13 21345589144233所以一年后（即第13个月初），繁殖的兔子共有233对。
仔细观察，可以看出上面列出的兔子对数呈现出一个有趣的变化规律：即从第3个月起，每个月的兔子对数都是前两个月的兔子对数之和，把这些数字按照相同的规律推算到无穷多项，就构成了一列数列：1、1、2、3、5、8、13、21、34、55……，人们就把它称为裴波纳契数列，而将这个数列中的每一项称为“裴波纳契数”。
2. 生活中常见的裴波纳契数列数学模型:假如我们把设为裴波纳契数列，不难发现数列是由递推关系式：，，……，所给出的一个数列。
从而，我们就可以轻而易举地算出两年，三年……以后的兔子数。
《斐波那契数列》课件
特征方程
特征方程
对于斐波那契数列，其特征方程为x^2=x+1。通过解这个方程，可以得到斐波 那契数列的通项公式。
通项公式
斐波那契数列的通项公式为F(n)=((φ^n)-(-φ)^-n))/√5，其中φ=(1+√5)/2是黄 金分割比。这个公式可以用来快速计算斐波那契数列中的任意数字。
03
斐波那契数列的数学模型
在生物学中的应用
遗传学研究
在遗传学中，斐波那契数列可以用于 描述DNA的碱基排列规律，有助于深 入理解遗传信息的传递和表达。
生物生长规律
许多生物体的生长和繁殖规律可以用 斐波那契数列来描述，如植物的花序 、动物的繁殖数量等。
在计算机图形学中的应用
图像处理
在图像处理中，斐波那契数列可以用于生成复杂的图案和纹理，增加图像的艺术感和视觉效果。
斐波那契数列的递归算法
F(n) = F(n-1) + F(n-2)，其中F(0) = 0，F(1) = 1。
03
递归算法的时间复杂度
O(2^n)，因为递归过程中存在大量的重复计算。
迭代算法
迭代算法的基本思想
迭代算法的时间复杂度
从问题的初始状态出发，通过一系列 的迭代步骤，逐步逼近问题的解。
O(n)，因为迭代过程中没有重复计算 。
实际应用价值
斐波那契数列在计算机科指导 意义。
对未来研究的展望
深入探索斐波那契数列的性质
01
随着数学研究的深入，可以进一步探索斐波那契数列的性质和
规律，揭示其更深层次的数学原理。
跨学科应用研究
02
未来可以将斐波那契数列与其他学科领域相结合，如生物学、
表示方法
通常用F(n)表示第n个斐波那契数 ，例如F(0)=0，F(1)=1，F(2)=1 ，F(3)=2，以此类推。
斐波那契数列的拓展
目录页
Contents Page
1. 斐波那契数列定义 2. 斐波那契数列性质 3. 拓展斐波那契数列 4. 拓展数列的性质 5. 生成函数与公式 6. 拓展数列的应用 7. 与其他数列的关系 8. 结论与未来研究
斐波那契数列的拓展
斐波那契数列定义
斐波那契数列定义
斐波那契数列的定义
▪ 拓展斐波那契数列的性质
1.拓展斐波那契数列的一些新性质：如相邻两项的比值仍然趋近于黄金分割比例，数列中的数 字仍然频繁出现在自然界中等。 2.性质的应用：这些性质可以用于解决一些实际问题，如在优化问题、图形学等领域中的应用 。 ---
拓展斐波那契数列
▪ 拓展斐波那契数列与其他数学问题的联系
1.与其他数学问题的联系：拓展斐波那契数列与许多数学问题有着密切的联系，如与黄金分割 、杨辉三角、Catalan数等问题的联系。 2.联系的应用：这些联系可以帮助我们更好地理解拓展斐波那契数列的性质和应用，同时也可 以用于解决其他数学问题。 ---
1.斐波那契数列有很多拓展和变体，如卢卡斯数列、佩尔数列 等，它们都具有类似的性质和应用。 2.在数学研究上，斐波那契数列的拓展和变体也引发了许多深 入的研究和探索。 3.通过对斐波那契数列的拓展和变体进行研究，可以进一步揭 示数列的本质和应用价值。
斐波那契数列的拓展
斐波那契数列性质
斐波那契数列性质
生成函数与公式
生成函数与组合结构的对应关系
1.生成函数与组合结构之间存在一一对应关系。 2.通过对应关系可以深入理解生成函数的组合意义和解释。 3.探讨对应关系在组合结构分析和计数中的应用价值。 ---
生成函数的未来发展趋势和前沿方向
1.生成函数在组合数学和计算机科学等领域仍具有广泛的研究 前景和应用潜力。 2.探讨生成函数的未来发展趋势，包括新算法、新模型和新应 用等方向。 3.分析前沿方向的研究热点和挑战，提出未来的发展方向和展 望。
斐班那切数列
斐班那切数列斐波那契数列（Fibonacci sequence）是一个典型的数学问题，也是一个非常有趣的数列。
它是通过前两个数字的和得到下一个数字的一种规律，起始数字常为0和1。
斐波那契数列的定义很简单，就是从1开始，每一项都等于前两项之和，公式表示为：F(n)=F(n-1)+F(n-2)，其中F(n)表示数列的第n项。
斐波那契数列的前几项依次为：0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144，以此类推。
可以看出，这个数列是个无限数列，每一项都是前两项的和。
斐波那契数列最早是由13世纪的意大利数学家斐波那契（Fibonacci）研究得出的。
他在其著作《算盘书》中介绍了斐波那契数列，并且用兔子繁殖作为实例来说明这个数列的应用。
斐波那契数列有着许多有趣的性质和应用。
首先，它是一个递归数列，可以通过递归的方式来生成。
其次，斐波那契数列的增长速度非常快，后面的数字会迅速增大。
这也使得它在金融学、自然科学、计算机科学等领域有着广泛的应用。
在金融学中，斐波那契数列出现在黄金分割比例中。
黄金分割比例是一个数学上的常数，被广泛应用在艺术、建筑、美学等领域。
它可以用斐波那契数列的比值逼近得到，即相邻两项的比例会越来越接近黄金分割比例1.618。
在自然科学中，斐波那契数列也有着一些有趣的应用。
例如，它出现在植物的排列方式中。
在一些植物的叶子、花瓣、果实等排列中，可以发现它们的数量往往是斐波那契数列的某一项。
这种规律被称为植物的斐波那契序列。
在计算机科学中，斐波那契数列常常被用来展示递归算法的实现。
由于斐波那契数列的递归定义，可以使用递归算法来计算数列的某一项。
然而，递归算法在计算大量项时会遇到效率问题，结果需要大量的重复计算。
因此，可以使用动态规划等方法来优化算法，避免重复计算。
斐波那契数列还和黄金矩形、黄金螺旋等有着紧密的联系。
黄金矩形是一种长宽比例接近黄金分割比例的矩形，黄金螺旋则是由一系列黄金矩形组成的螺旋形状。
Fibonacci数列(斐波那契数列) ppt课件
因此，差分方程的解为：
n
n
fn
C1
1
2
5
C2
1 2
5
ppt课件
13
3.Fibonacci数列的通项公式
根据初始条件 f1 f2 1 ,可能确定常数 c1, c2 ,
[c1,c2]=solve('c1*(1+sqrt(5))/2+c2* (1sqrt(5))/2=1','c1*((1+sqrt(5))/2)^2+ c2*((1-sqrt(5))/2)^2=1')
，则有
lim
n
gn
5 1 0.618，
2
这是一个美丽的数学常数----黄金分割比。 有趣的是，这个数字在自然界和人们生活中到 处可见：人们的肚脐是人体总长的黄金分割点， 人的膝盖是肚脐到脚跟的黄金分割点。大多数 门窗的宽长之比也是0.618…；
ppt课件
16
4.自然界中的斐波那契数列
科学家发现，很多植物的花瓣、萼片、果实 的数目以及排列的方式上，都有一个神奇的 规律，它们都非常符合著名的斐波那契数列。
ppt课件
23
4.自然界中的斐波那契数列
黄金分割对摄影画面构图可以说有着自然联 系。例如照相机的片窗比例：135相机就是 24X36即2:3的比例，这是很典型的。120相 机4.5X6近似3:5,6X6虽然是方框，但在后 期制作用，仍多数裁剪为长方形近似黄金分 割的比例。只要我们翻开影集看一看，就会 发现，大多数的画幅形式，都是近似这个比 例。这可能是受传统的影响，也养成了人们 的审美习惯。
学专家分析后还发现，饭吃六七成饱的人几
斐波那契数列知识点
斐波那契数列知识点《聊聊斐波那契数列那些事儿》嘿，朋友们！今天咱来聊聊一个特别有意思的知识点——斐波那契数列。
这可真是个神奇的玩意儿！斐波那契数列，听着好像挺高大上的，但其实啊，就是一串数字排排队。
可别小看了这串数字，它们背后藏着好多奥秘和乐趣呢！你看啊，这斐波那契数列一开始是0 和1，然后后面每个数都等于前两个数相加。
就这么简单的规则，却能变出好多花样儿来。
想象一下，就像一个数字小精灵在那蹦跶，一会儿加这个，一会儿加那个，就变出了一长串的数字。
就感觉特别神奇，是不是？我第一次接触斐波那契数列的时候，心里那叫一个好奇啊。
就琢磨着，这玩意儿到底有啥用啊？后来发现，用处可多啦！比如说在自然界里，很多东西的生长都跟斐波那契数列有关系。
像某些花朵的花瓣数量、松果的螺旋形状，都能看到斐波那契数列的影子。
有时候我就想，这大自然是不是也在跟我们玩数字游戏啊！还有呢，在一些艺术和设计领域，斐波那契数列也特别吃香。
它能给作品带来一种特别的美感和韵律。
就好像是给作品注入了灵魂一样，让它们变得更加吸引人。
而且啊，斐波那契数列还能用来解决一些实际问题呢！比如说排列组合啥的。
是不是感觉很厉害？我觉得学习斐波那契数列就像是在探索一个神秘的宝藏。
每发现一个它的新特点或者新用途，就像找到了一颗闪闪发光的宝石。
学习斐波那契数列还让我明白了一个道理，那就是很多看似简单的东西，背后可能藏着巨大的价值。
所以啊，朋友们，别小看了这些知识点。
它们就像隐藏在知识海洋里的小惊喜，等着你去发现呢！总之呢，斐波那契数列知识点真是太有趣啦！既能让我们感受到数字的魅力，又能让我们惊叹于自然和艺术的奇妙。
大家以后要是碰到了，可得好好研究研究，说不定还会有更多意想不到的收获哦！。
斐波那契数列
+
1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 ??
十秒钟加数
• 请用十秒，计出左边 一条加数的答案。
时间到！
• 答案是 231。
+
34 55 89 144 233 377 610 987 1597 2584 ????
十秒钟加数
• 再來一次！
时间到！
• 答案是 6710。
「十秒钟加数」的秘密
七 六
五
四 三
二
一
13 8 5 3 2 1 1
种子的排列
8
13
向日葵花盘上的螺旋线条，顺时针数 ２１条；反向再数就变成了３４条．是不 是很有意思呀！
兰 花
1 3
2
1 5
4
2
3
苹 果 花
格桑花
1 2 8 3 7 4 6 5
34
3
5
8
13
21
34
影视作品中的斐波那契数列
• 《达芬奇密码》 • 《魔法玩具城》 • 《Fringe》 • 同学们有兴趣去看看吧。
斐波那契数列
肖亚 定州市实验中学
斐波那契数列
• 斐波那契（Leonardo Pisano Fibonacci ; 1170 1250 ） • 意大利商人兼数学家 • 他在著作《算盘书》 中，首先引入阿拉伯 数字，將「十进制记 数法」介绍给欧洲人 认识，对欧洲的数学 发展有深远的影响。
斐波那契数列问题的提出
F2n1
1 F1 F2 F3 ... Fn Fn2
最大公约数
思考：一步一级台阶或一步两级台阶，走到五
层一共有多少种走法？(列举各种可能联想与斐波 那契数列的关系
斐波那契数列
斐波那契数列斐波那契数列00求助编辑百科名片斐波纳契数列在现代物理、准晶体结构、化学等领域都有直接的应用，为此，美国数学会从1960年代起出版了《斐波纳契数列》季刊，专门刊载这方面的研究成果。
目录斐波那契数列的定义奇妙的属性在杨辉三角中隐藏着斐波那契数列斐波那契数列的整除性与素数生成性斐波那契数列的个位数：一个60步的循环斐波那契数与植物花瓣斐波那契―卢卡斯数列与广义斐波那契数列斐波那契―卢卡斯数列斐波那契―卢卡斯数列之间的广泛联系黄金特征与孪生斐波那契―卢卡斯数列广义斐波那契数列斐波那契数列与黄金比相关的数学问题1.排列组合2.数列中相邻两项的前项比后项的极限斐波那契数列别名斐波那契数列公式的推导编程中的斐波那契数列PB语言程序C语言程序C#语言程序Java语言程序JavaScript语言程序Pascal语言程序PL/SQL程序Python程序数列与矩阵斐波那契数列的前若干项斐波那契弧线斐波那契数列的应用影视作品中的斐波那契数列斐波那契螺旋斐波那契数列的定义斐波那契数列的发明者，是意大利数学家列昂纳多?斐波那契（Leonardo Fibonacci，生于公元1170年，卒于1240年，籍贯大概是比萨）。
他被人称作“比萨的列昂纳多”。
1202年，他撰写了《珠算原理》(Liber Abacci)一书。
他是第一个研究了印度和阿拉伯数学理论的欧洲人。
他的父亲被比萨的一家商业团体聘任为外交领事,dfsdf，派驻地点相当于今日的阿尔及利亚地区，列昂纳多因此得以在一个阿拉伯老师的指导下研究数学。
他还曾在埃及、叙利亚、希腊、西西里和普罗旺斯研究数学。
斐波那契数列通项公式斐波那契数列指的是这样一个数列：1、1、2、3、5、8、13、21、……这个数列从第三项开始，每一项都等于前两项之和。
它的通项公式为:(见图)（又叫“比内公式”，是用无理数表示有理数的一个范例。
）有趣的是：这样一个完全是自然数的数列，通项公式居然是用无理数来表达的。
斐波那契数列
斐波那契数列的探究如果一对兔子每月能生1对小兔子（一雄一雌），而每1对小兔子在它出生后的第三个月里，又能生1对小兔子．假定在不发生死亡的情况下，由1对出生的小兔子开始，50个月后会有多少对兔子？每月底兔子对数是：1， 1， 2， 3， 5， 8， 13， 21， 34， 55， 89， 144， 233， ……， 50个月后是12586269025 对．这就是著名的斐波那契数列．斐波那契数列：1， 1， 2， 3， 5， 8， 13， 21， 34， 55， 89， 144， 233， ……●观察斐波那契数列项数之间有什么关系？从第三项开始每一项等于其前两项的和，即若用F n 表示第n 项，则有F n =F n -1+F n-2（n ≥3）．通过递推关系式121(1,2)(3)n n n n F F F n --=⎧=⎨+≥⎩，可算出任意项，不过，当n 很大时，推算是很费事的．必须找到更为科学的计算方法．能否找到通项公式，并给予证明？ 1730年法国数学家棣莫弗给出其通项表达式n a =n )251(+-n )251(-]，19世纪初另一位法国数学家比内首先证明这一表达式，现在称之为——比内公式．1．下面研究一下该通项公式的来历已知：数列{a n }满足a 1=a 2=1, a 3=2，且a n+2 = a n+1+ a n (n≥3),求a n 证明：（利用等比数列性质求解）构造常数A 、B ，使之211()n n n n a Aa B a Aa +++-=-整理得：21()n n n a A B a ABa ++=+-与21n n n a a a ++=+比较得⎩⎨⎧=-=+11AB B A 解之得：A=251±、 B=251μ 不妨取A=251+、 B=251-得：211111()222n n n n a a a a +++++-=-∴1n n a +⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭是以21a -=251-为公比的等比数列。
《斐波那契数列》课件
03
斐波那契数列的应用
在自然界的运用
生长与繁殖
许多动植物的生长和繁殖遵循斐 波那契数列的规律。例如，菠萝 表面的小眼通常以斐波那契数列
的顺序排列。
植物生长
许多植物的花瓣、叶子和分支遵 循斐波那契数列的规律，如向日 葵花盘上的花瓣数量、松果的鳞
片排列等。
动物行为
一些动物的行为模式，如蜘蛛网 的构造、蜜蜂的蜂巢等，也与斐
02
在建筑设计中的应用
斐波那契数列的美学价值使得它在建 筑设计中也有所应用。通过运用斐波 那契数列的规律和比例，可以在建筑 设计中创造出和谐、优美的作品。
03
在音乐和艺术领域的 应用
斐波那契数列在音乐和艺术领域也有 所应用。例如，在作曲中可以利用斐 波那契数列来安排和声和旋律，在绘 画中可以利用斐波那契数列来构图和 布局。
在计算机科学中的应用
数据结构和算法设计
斐波那契数列在计算机科学中被广泛应用于数据结构和算 法设计。例如，斐波那契堆是一种优化的数据结构，用于 实现高效的内存管理和动态调整。
加密和安全
斐波那契数列在加密算法和网络安全领域也有所应用。例 如，利用斐波那契数列的特性可以设计出更安全的加密算 法。
计算机图形学
寻找新的应用领域
除了在生物学、经济学等领域的应用，未来可以 寻找斐波那契数列在其他领域的新应用，如物理 学、计算机科学等。
优化算法和计算方法
随着计算能力的提高，可以进一步优化斐波那契 数列的计算方法和算法，提高计算效率和精度。
如何将斐波那契数列应用到实际生活中
01
在金融领域的应用
斐波那契数列在金融领域有广泛的应 用，如股票价格预测、风险评估等。 通过分析历史数据，可以利用斐波那 契数列预测未来的市场走势。
高中数学攻克斐波那契数列秘籍
【高中数学解题秘籍系列】————一篇文章攻克斐波那契数列斐波那契，公元 13 世纪意大利数学家，他在自己的著作《算盘书》中记载着这样一个“兔子繁殖”问题：假定有一对大兔子，每一个月可生下一对小兔子，并且生下的这一对小兔子两个月后就具有繁殖能力。
假如一年内没有发生死亡，那么，从一对小兔子开始，一年后共有多少对兔子？ 斐波那契在研究时，发现有这样一个数列的数学模型：1,1,2,3,5,8,13,21,34,......,其中从 第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和，亦即数列n a 满足：121,1a a ==且()213n n n a a a n --+=≥.这个数列就是著名的“斐波那契数列”，而这个数列中的每一项称为“斐波那契数”.事实上，斐波那契数列{}n a 的通项公式为11515225n nn a ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+-⎢⎥=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，其神奇之处在于通项公式中含有无理数，但每一项又都不是无理数.斐波那契数列的意义不仅在于求解通项公式，许多问题甚至题目中丝毫不出现递推关系，但题目求解却蕴含斐波那契数列的思想，这些问题甚至包含了看似普通的代数甚至组合的问题，本文就以斐波那契数列为背景的试题做一展示，欢迎大家交流一、以斐波那契数列的概念为背景的命题例1. 如图是一个树形图的生长过程，依据图中所示的生长规律，第 15 行的实心圆点的个 数等于________.【解析】从第二行开始，各行的实心圆点的个数依次 为1,1, 2, 3, 5,8,, 显然符合斐波那契数列的定义，第 15 行的实心圆点个数为第 14 个斐波那契数377, 其中从第三个数起样的一列数所组成的数列称为22015a ++是斐波那契数项.【解析】斐波那契数列总有a ⋯,(20152016a a =22015a +=220152015a ++22015a ++ 是斐波那契数列中的第2na a +=他在自己的著作 , 其中从第三个数起, 每一个数都等于它前面两个数的和. 那么 12015a a + 4252015,,,a a a -==20152016a a +=.2015a + 是斐波那契数列中的第 2016 斐波那契数列的奇数项之和: 21n a -+=例5. 同学们都有这样的解题经验：在某些数列的求和中, 可把其中一项分裂成两项之差,使得某些项可以相互抵消，从而实现化简求和. “斐波那契数列”是数学史上一个著名的数列，这个数列中的每一项称为“斐波那契数”.在斐波那契数列中121,1,a a ==21(3)n n n a a a n --+=≥. 若2016a a =, 那么数列{}n a 的前2014项的和为________.【解析】由 11231342453201420152013,,,,,a a a a a a a a a a a a a a ==-=-=-=-可得:123201420142015220161 1.a a a a a a a a a ++++=+-=-=-故数列 {}n a 的前 2014 项的和为 1a -. 【性质3】斐波那契数列的前 n 项之和 12321n n n S a a a a a +=++++=-, 即211.ni n i a a +==-∑【性质4】连续二顶斐波那契数后两项乘积与前两项乘积的差, 是中间项的平方, 即211(2)n n n n n a a a a a n +--=≥.【归纳】斐波那契数列的简单性质的证明总是运用其特征式12n n n a a a +++=的变形21n n n a a a ++=-或12n n n a a a ++=-进行裂项, 从而达到相消求和的目的.例6.(2021·T8联考)数列{}:1,1,2,3,5,8,13,21,34,n a ，称为斐波那契数列(Fibonacci sequence )，该数列是由十三世纪意大利数学家莱昂纳多斐波那契(Leonardo Fibonacci)以兔子繁殖为例子而引入，故又称为"兔子数列" 在数学上，斐波那契数列可表述为121,a a == 12(3n n n a a a n --=+≥,*n ∈N )，设该数列的前n 项和为n S ，记 2023a m = ，则2021S =__________. (用m 表示) 【答案】1m - 【解析】法一：由12n n n a a a --=+, 得21n n n a a a ++=+, 即()*21n n n a a a n ++=-∈N .()()()()202132435420232022a a a a a a a a a +=-+-+-++-=2021202020202019a a a a +++ 3n a +=,,()f n =33(1)n n n a a ++-=47,2x -≤≤。
斐波那契数列资料
斐波那契数列资料斐波那契数列斐波那契数列⼀、简介斐波那契数列（Fibonacci），⼜称黄⾦分割数列，由数学家斐波那契最早以“兔⼦繁殖问题”引⼊，推动了数学的发展。
故斐波那契数列⼜称“兔⼦数列”。
斐波那契数列指这样的数列：1,1,2,3,5,8,13,……，前两个数的和等于后⾯⼀个数字。
这样我们可以得到⼀个递推式，记斐波那契数列的第i项为F i，则F i=F i-1+F i-2.兔⼦繁殖问题指设有⼀对新⽣的兔⼦，从第三个⽉开始他们每个⽉都⽣⼀对兔⼦，新⽣的兔⼦从第三个⽉开始⼜每个⽉⽣⼀对兔⼦。
按此规律，并假定兔⼦没有死亡，10个⽉后共有多少个兔⼦？这道题⽬通过找规律发现答案就是斐波那契数列，第n个⽉兔⼦的数量是斐波那契数列的第n项。
⼆、性质如果要了解斐波那契数列的性质，必然要先知道它的通项公式才能更简单的推导出⼀些定理。
那么下⾯我们就通过初等代数的待定系数法计算出通项公式。
令常数p,q满⾜F n-pF n-1=q(F n-1-pF n-2)。
则可得：F n-pF n-1=q(F n-1-pF n-2)=q2(F n-2-pF n-3)=…=q n-2(F2-pF1)⼜∵F n-pF n-1=q(F n-1-pF n-2)∴F n-pF n-1=qF n-1-pqF n-2F n-1+F n-2-pF n-1-qF n-1+pqF n-2=0(1-p-q)F n-1+(1+pq)F n-2=0∴p+q=1,pq=-1是其中的⼀种⽅程组∴F n-pF n-1= q n-2(F2-pF1)=q n-2(1-p)=q n-1F n=q n-1+pF n-1=q n-1+p(q n-2+p(q n-3+…))=q n-1+pq n-2+p2q n-3+…+p n-1不难看出，上式是⼀个以p/q为公⽐的等⽐数列。
将它⽤求和公式求和可以得到：⽽上⾯出现了⽅程组p+q=1,pq=-1，可以得到p(1-p)=-1,p2-p-1=0，这样就得到了⼀个标准的⼀元⼆次⽅程，配⽅得p2-p+0.25=1.25,(p-0.5)2=1.25,p=±√1.25+0.5。
斐波那契数列知识总结
斐波那契数列是一系列数字，其中每个数字都是前两个数字的总和，通常以0 和1 开头。
它以意大利数学家比萨的莱昂纳多的名字命名，他也被称为斐波那契。
斐波那契数列出现在许多自然现象中，例如树的分枝和叶子在茎上的排列。
在数学术语中，斐波那契数列可以定义为递归关系，其中数列中的每个数都是前两个数的和，初始条件为F0 = 0 和F1 = 1。
数学上该数列定义为递归关系：
Fn = Fn-1 + Fn-2
其中n 是序列中的位置，F 是该位置的斐波那契数。
斐波那契数列有许多有趣的特性，包括：
•随着数字变大，连续斐波那契数的比率接近黄金比例（大约1.6180339887）
•斐波那契数与斐波那契螺旋有关，可以在许多自然物体的形状中找到它。
•斐波那契数列已被用于模拟人口增长和金融市场。
斐波那契数列还与斐波那契螺线有关，斐波那契螺线出现在许多自然现象中，例如贝壳、松果、菠萝的形状。
总的来说，斐波那契数列有很多实际应用，包括计算机科学、生物学和金融学。
有许多方法可以计算斐波那契数列，例如使用递归函数、封闭式公式或矩阵求幂。
计算斐波那契数列中大数的最有效方法是使用矩阵求幂，这需要O(log n) 时间。
总的来说，斐波那契数列是一个迷人而美丽的数学概念，出现在许多自然现象中。
它具有许多有趣的特性和广泛的实际应用。
斐波那契数列
斐波那契数列意大利数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现这样一个数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，----，其中从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和，把这样的数组成的数列称为斐波那契数列。
)3(,1,11221≥=+==--n a a a a a n n n ，其中每一项都是前面两项之和。
1、斐波那契数列的奇数项之和：n n a a a a a 212531=+++-证：46524321,,a a a a a a a a -=-==， ，22212---=n n n a a a ，累加即证。
2、斐波那契数列的偶数项之和：1122642-=++++n n a a a a a证：576354132,a a a a a a a a a -=-=-=，， ，12122-+-=n n n a a a ，累加即证。
3、斐波那契数列的前n 项之和：12321-=++++n n a a a a a证：，24313211,,a a a a a a a a -=-==， ，11-+-=n n n a a a ，累加得1221321-=-+=+++++n n n n a a a a a a a a 。
4、201522015232221a a a a ++++ 是斐波那契数列的第几项？ 分析：1232132221221)(,a a a a a a a a a a a -=-==，234324323)(a a a a a a a a -=-=， ， 201420152016201520142016201522015)(a a a a a a a a -=-=，累加得20162015220152221a a a a a =+++ ，所以201522015232221a a a a ++++ 2016a =。
5.斐波那契数列蕴含的数学模型例：某小学生玩上楼梯的游戏，有10级台阶的楼梯，一步可以迈一级或两级台阶，这个小学生有多少种不同的爬楼方法？分析：设小学生爬n 个台阶有n a 种方法，考虑最后一步：若最后一步只迈一个台阶，则前n-1个台阶有1-n a 种方法；若最后一步迈两级台阶，则前n-2个台阶有2-n a 种方法；有加法原理得)3(21≥+=--n a a a n n n ，易知2,121==a a ，则,3213=+=a a a ,5324=+=a a a ,8435=+=a a a ，899810=+=a a a ，故这个小学生有89种不同的爬楼方法。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
令常数 p,q 满足 Fn-pFn-1=q(Fn-1-pFn-2)。则可得： Fn-pFn-1=q(Fn-1-pFn-2) =q2(Fn-2-pFn-3) =…=qn-2(F2-pF1) 又∵Fn-pFn-1=q(Fn-1-pFn-2) ∴Fn-pFn-1=qFn-1-pqFn-2 Fn-1+Fn-2-pFn-1-qFn-1+pqFn-2=0 (1-p-q)Fn-1+(1+pq)Fn-2=0 ∴p+q=1,pq=-1 是其中的一种方程组 ∴Fn-pFn-1= qn-2(F2-pF1)=qn-2(1-p)=qn-1 Fn=qn-1+pFn-1=qn-1+p(qn-2+p(qn-3+…))=qn-1+pqn-2+p2qn-3+…+pn-1 不难看出，上式是一个以 p/q 为公比的等比数列。将它用求和公式求和可以得到：
也不难得出了。比如斐波那契数列相邻两项的比值趋向于黄金分割比，即：
仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢2
精品资料
根据斐波那契数列通项公式，可以得到
因为 n 是趋向于正无限的，因此我们可以知道：
那么我们就可以把分子和分母的第二项同时省略掉，即
这就是斐波那契数列的魅力之一——它和黄金分割比有密切的关系。下面 将给出斐波那契数列的几个性质及其证明。
而上面出现了方程组 p+q=1,pq=-1，可以得到 p(1-p)=-1,p2-p-1=0，这样就得到了一个 标准的一元二次方程，配方得 p2-p+0.25=1.25,(p-0.5)2=1.25,p=±√1.25+0.5。随意取出一组解 即可：
这就是著名的斐波那契数列通项公式。有了它，斐波那契数列的一些性质
6)Fn+m=Fm-1Fn+FmFn+1(n>m>1) 证明：利用通项公式，设 α= ,β=1-α=
注意到 1/α+α=sqrt(5)=1/β+β,1/α+β=0=1/β+α,上式就变成了
这就是上述公式的证明. 三、 斐波那契数列与自然
斐波那契数列中的斐波那契数会经常出现在我们的眼前——比如松果、凤 梨、树叶的排列、某些花朵的花瓣数（典型的有向日葵花瓣），蜂巢，蜻蜓翅 膀，超越数 e（可以推出更多），黄金矩形、黄金分割、等角螺线，十二平均律 等。
的兔子从第三个月开始又每个月生一对兔子。按此规律，并假定兔子没有死亡，10 个月后 共有多少个兔子？
这道题目通过找规律发现答案就是斐波那契数列，第 n 个月兔子的数量是斐波那契数列 的第 n 项。 二、 性质
如果要了解斐波那契数列的性质，必然要先知道它的通项公式才能更简单的推导出一些 定理。那么下面我们就通过初等代数的待定系数法计算出通项公式。
仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢4
精品资料
图为斐波那契弧线。
关于递推式的拓展研究
一、
错位排列问题 有 n 个数，求有多少种排列使这 n 个数都不在原来的位置上。 比如 n=2 时，有一种排列。 设 f(n)表示 n 个数的错位排列数量，分两种情况讨论： 1. 第 n 个数在第 p(p≠n)个数的位置上，第 p 个数在第 n 个数的位置上，则此时共有 f(n-2)种选择。由于 p 有(n-1)种值，则总共有(n-1)f(n-2)种排列方法； 2. 否则，共有(n-1)f(n-1)种排列方法。
斐波那契数列
精品资料
斐波那契数列
一、 简介 斐波那契数列（Fibonacci），又称黄金分割数列，由数学家斐波那契最早以“兔子繁殖
问题”引入，推动了数学的发展。故斐波那契数列又称“兔子数列”。 斐波那契数列指这样的数列：1,1,2,3,5,8,13,……，前两个数的和等于后面一个数字。这
样我们可以得到一个递推式，记斐波那契数列的第 i 项为 Fi，则 Fi=Fi-1+Fi-2. 兔子繁殖问题指设有一对新生的兔子，从第三个月开始他们每个月都生一对兔子，新生
1)F1+F2+F3+...+Fn=Fn+2-1 证明：原式=(F3-F2)+(F4-F3)+...+(Fn+2-Fn+1)=Fn+2-1. 2)F1+F3+F5+...+F2n+1=F2n+2 证明：原式=F2+(F4-F2)+(F6-F4)+...+(F2n+2-F2n)=F2n+2 3)F12+F22+...+Fn2=FnFn+1 证明：利用数学归纳法，显然 n=1 时满足，下面证明若 n=k 时满足，n=k+1 时也满足. 已 知 F12+F22+...+Fn2=FnFn+1,F12+F22+...+Fn+12=FnFn+1+Fn+12=(Fn+1+Fn)Fn+1=Fn+1Fn+2 ， 因此 n+1 后仍然满足.上述公式成立. 4)F1F2+F2F3+...+FnFn+1=(Fn+22-FnFn+1-1)/2 证明：数学归纳法，n=1 时满足.已知 F1F2+F2F3+...+FnFn+1 满足，那么 F1F2+F2F3+...+FnFn+1+Fn+1Fn+2=(Fn+22-FnFn+1-1)/2+Fn+1Fn+2
仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢3
精品资料
=(Fn+22-FnFn+1+2Fn+1Fn+2-1)/2=[(Fn+22+2Fn+1Fn+2+Fn+12)- FnFn+1-Fn+12-1]/2 =(Fn+32-Fn+1Fn+2-1)/2，因此上式成立. 5)Fn2=Fn-1Fn+1+(-1)n+1 证明：数学归纳法，n=2 时满足.已知前面的 n 都满足，那么 Fn2=Fn-12+Fn-22+2Fn-2Fn-1=Fn-12+Fn-3Fn-1+(-1)n-1+2Fn-2Fn-1=Fn-1Fn+Fn-12+(-1)n-1 =Fn-1Fn+1+(-1)n+1，因此上式成立.