斐波那契数列学习资料
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而上面出现了方程组 p+q=1,pq=-1，可以得到 p(1-p)=-1,p2-p-1=0，这样就得到了一个 标准的一元二次方程，配方得 p2-p+0.25=1.25,(p-0.5)2=1.25,p=±√1.25+0.5。随意取出一组解 即可：
这就是著名的斐波那契数列通项公式。有了它，斐波那契数列的一些性质
也不难得出了。比如斐波那契数列相邻两项的比值趋向于黄金分割比，即：
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根据斐波那契数列通项公式，可以得到
因为 n 是趋向于正无限的，因此我们可以知道：
那么我们就可以把分子和分母的第二项同时省略掉，即
这就是斐波那契数列的魅力之一——它和黄金分割比有密切的关系。下面 将给出斐波那契数列的几个性质及其证明。
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图为斐波那契弧线。
关于递推式的拓展研究
一、
错位排列问题 有 n 个数，求有多少种排列使这 n 个数都不在原来的位置上。 比如 n=2 时，有一种排列。 设 f(n)表示 n 个数的错位排列数量，分两种情况讨论： 1. 第 n 个数在第 p(p≠n)个数的位置上，第 p 个数在第 n 个数的位置上，则此时共有 f(n-2)种选择。由于 p 有(n-1)种值，则总共有(n-1)f(n-2)种排列方法； 2. 否则，共有(n-1)f(n-1)种排列方法。
斐波那契数列
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斐波那契数列
一、 简介 斐波那契数列（Fibonacci），又称黄金分割数列，由数学家斐波那契最早以“兔子繁殖
问题”引入，推动了数学的发展。故斐波那契数列又称“兔子数列”。 斐波那契数列指这样的数列：1,1,2,3,5,8,13,……，前两个数的和等于后面一个数字。这
样我们可以得到一个递推式，记斐波那契数列的第 i 项为 Fi，则 Fi=Fi-1+Fi-2. 兔子繁殖问题指设有一对新生的兔子，从第三个月开始他们每个月都生一对兔子，新生
6)Fn+m=Fm-1Fn+FmFn+1(n>m>1) 证明：利用通项公式，设 α= ,β=1-α=
注意到 1/α+α=sqrt(5)=1/β+β,1/α+β=0=1/β+α,上式就变成了
这就是上述公式的证明. 三、 斐波那契数列与自然
斐波那契数列中的斐波那契数会经常出现在我们的眼前——比如松果、凤 梨、树叶的排列、某些花朵的花瓣数（典型的有向日葵花瓣），蜂巢，蜻蜓翅 膀，超越数 e（可以推出更多），黄金矩形、黄金分割、等角螺线，十二平均律 等。
1)F1+F2+F3+...+Fn=Fn+2-1 证明：原式=(F3-F2)+(F4-F3)+...+(Fn+2-Fn+1)=Fn+2-1. 2)F1+F3+F5+...+F2n+1=F2n+2 证明：原式=F2+(F4-F2)+(F6-F4)+...+(F2n+2-F2n)=F2n+2 3)F12+F22+...+Fn2=FnFn+1 证明：利用数学归纳法，显然 n=1 时满足，下面证明若 n=k 时满足，n=k+1 时也满足. 已 知 F12+F22+...+Fn2=FnFn+1,F12+F22+...+Fn+12=FnFn+1+Fn+12=(Fn+1+Fn)Fn+1=Fn+1Fn+2 ， 因此 n+1 后仍然满足.上述公式成立. 4)F1F2+F2F3+...+FnFn+1=(Fn+22-FnFn+1-1)/2 证明：数学归纳法，n=1 时满足.已知 F1F2+F2F3+...+FnFn+1 满足，那么 F1F2+F2F3+...+FnFn+1+Fn+1Fn+2=(Fn+22-FnFn+1-1)/2+Fn+1Fn+2
令常数 p,q 满足 Fn-pFn-1=q(Fn-1-pFn-2)。则可得： Fn-pFn-1=q(Fn-1-pFn-2) =q2(Fn-2-pFn-3) =…=qn-2(F2-pF1) 又∵Fn-pFn-1=q(Fn-1-pFn-2) ∴Fn-pFn-1=qFn-1-pqFn-2 Fn-1+Fn-2-pFn-1-qFn-1+pqFn-2=0 (1-p-q)Fn-1+(1+pq)Fn-2=0 ∴p+q=1,pq=-1 是其中的一种方程组 ∴Fn-pFn-1= qn-2(F2-pF1)=qn-2(1-p)=qn-1 Fn=qn-1+pFn-1=qn-1+p(qn-2+p(qn-3+…))=qn-1+pqn-2+p2qn-3+…+pn-1 不难看出，上式是一个以 p/q 为公比的等比数列。将它用求和公式求和可以得到：
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=(Fn+22-FnFn+1+2Fn+1Fn+2-1)/2=[(Fn+22+2Fn+1Fn+2+Fn+12)- FnFn+1-Fn+12-1]/2 =(Fn+32-Fn+1Fn+2-1)/2，因此上式成立. 5)Fn2=Fn-1Fn+1+(-1)n+1 证明：数学归纳法，n=2 时满足.已知前面的 n 都满足，那么 Fn2=Fn-12+Fn-22+2Fn-2Fn-1=Fn-12+Fn-3Fn-1+(-1)n-1+2Fn-2Fn-1=Fn-1Fn+Fn-12+(-1)n-1 =Fn-1Fn+1+(-1)n+1，因此上式成立.
的兔子从第三个月开始又每个月生一对兔子。按此规律，并假定兔子没有死亡，10 个月后 共有多少个兔子？
这道题目通过找规律发现答案就是斐波那契数列，第 n 个月兔子的数量是斐波那契数列 的第 n 项。 二、 性质
如果要了解斐波那契数列的性质，必然要先知道它的通项公式才能更简单的推导出一些 定理。那么下面我们就通过初等代数的待定系数法计算出通项公式。
斐波那契数还可以在植物的叶、枝、茎等排列中发现。例如，在树木的枝 干上选一片叶子，记其为数 0，然后依序点数叶子（假定没有折损），直到到达 与那些叶子正对的位置，则其间的叶子数多半是斐波那契数。叶子从一个位置 到达下一个正对的位置称为一个循回。叶子在一个循回中旋转的圈数也是斐波 那契数。在一wk.baidu.com循回中叶子数与叶子旋转圈数的比称为叶序（源自希腊词，意 即叶子的排列）比。多数的叶序比呈现为斐波那契数的比。
这就是著名的斐波那契数列通项公式。有了它，斐波那契数列的一些性质
也不难得出了。比如斐波那契数列相邻两项的比值趋向于黄金分割比，即：
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根据斐波那契数列通项公式，可以得到
因为 n 是趋向于正无限的，因此我们可以知道：
那么我们就可以把分子和分母的第二项同时省略掉，即
这就是斐波那契数列的魅力之一——它和黄金分割比有密切的关系。下面 将给出斐波那契数列的几个性质及其证明。
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图为斐波那契弧线。
关于递推式的拓展研究
一、
错位排列问题 有 n 个数，求有多少种排列使这 n 个数都不在原来的位置上。 比如 n=2 时，有一种排列。 设 f(n)表示 n 个数的错位排列数量，分两种情况讨论： 1. 第 n 个数在第 p(p≠n)个数的位置上，第 p 个数在第 n 个数的位置上，则此时共有 f(n-2)种选择。由于 p 有(n-1)种值，则总共有(n-1)f(n-2)种排列方法； 2. 否则，共有(n-1)f(n-1)种排列方法。
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一、 简介 斐波那契数列（Fibonacci），又称黄金分割数列，由数学家斐波那契最早以“兔子繁殖
问题”引入，推动了数学的发展。故斐波那契数列又称“兔子数列”。 斐波那契数列指这样的数列：1,1,2,3,5,8,13,……，前两个数的和等于后面一个数字。这
样我们可以得到一个递推式，记斐波那契数列的第 i 项为 Fi，则 Fi=Fi-1+Fi-2. 兔子繁殖问题指设有一对新生的兔子，从第三个月开始他们每个月都生一对兔子，新生
6)Fn+m=Fm-1Fn+FmFn+1(n>m>1) 证明：利用通项公式，设 α= ,β=1-α=
注意到 1/α+α=sqrt(5)=1/β+β,1/α+β=0=1/β+α,上式就变成了
这就是上述公式的证明. 三、 斐波那契数列与自然
斐波那契数列中的斐波那契数会经常出现在我们的眼前——比如松果、凤 梨、树叶的排列、某些花朵的花瓣数（典型的有向日葵花瓣），蜂巢，蜻蜓翅 膀，超越数 e（可以推出更多），黄金矩形、黄金分割、等角螺线，十二平均律 等。
1)F1+F2+F3+...+Fn=Fn+2-1 证明：原式=(F3-F2)+(F4-F3)+...+(Fn+2-Fn+1)=Fn+2-1. 2)F1+F3+F5+...+F2n+1=F2n+2 证明：原式=F2+(F4-F2)+(F6-F4)+...+(F2n+2-F2n)=F2n+2 3)F12+F22+...+Fn2=FnFn+1 证明：利用数学归纳法，显然 n=1 时满足，下面证明若 n=k 时满足，n=k+1 时也满足. 已 知 F12+F22+...+Fn2=FnFn+1,F12+F22+...+Fn+12=FnFn+1+Fn+12=(Fn+1+Fn)Fn+1=Fn+1Fn+2 ， 因此 n+1 后仍然满足.上述公式成立. 4)F1F2+F2F3+...+FnFn+1=(Fn+22-FnFn+1-1)/2 证明：数学归纳法，n=1 时满足.已知 F1F2+F2F3+...+FnFn+1 满足，那么 F1F2+F2F3+...+FnFn+1+Fn+1Fn+2=(Fn+22-FnFn+1-1)/2+Fn+1Fn+2
令常数 p,q 满足 Fn-pFn-1=q(Fn-1-pFn-2)。则可得： Fn-pFn-1=q(Fn-1-pFn-2) =q2(Fn-2-pFn-3) =…=qn-2(F2-pF1) 又∵Fn-pFn-1=q(Fn-1-pFn-2) ∴Fn-pFn-1=qFn-1-pqFn-2 Fn-1+Fn-2-pFn-1-qFn-1+pqFn-2=0 (1-p-q)Fn-1+(1+pq)Fn-2=0 ∴p+q=1,pq=-1 是其中的一种方程组 ∴Fn-pFn-1= qn-2(F2-pF1)=qn-2(1-p)=qn-1 Fn=qn-1+pFn-1=qn-1+p(qn-2+p(qn-3+…))=qn-1+pqn-2+p2qn-3+…+pn-1 不难看出，上式是一个以 p/q 为公比的等比数列。将它用求和公式求和可以得到：
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=(Fn+22-FnFn+1+2Fn+1Fn+2-1)/2=[(Fn+22+2Fn+1Fn+2+Fn+12)- FnFn+1-Fn+12-1]/2 =(Fn+32-Fn+1Fn+2-1)/2，因此上式成立. 5)Fn2=Fn-1Fn+1+(-1)n+1 证明：数学归纳法，n=2 时满足.已知前面的 n 都满足，那么 Fn2=Fn-12+Fn-22+2Fn-2Fn-1=Fn-12+Fn-3Fn-1+(-1)n-1+2Fn-2Fn-1=Fn-1Fn+Fn-12+(-1)n-1 =Fn-1Fn+1+(-1)n+1，因此上式成立.
的兔子从第三个月开始又每个月生一对兔子。按此规律，并假定兔子没有死亡，10 个月后 共有多少个兔子？
这道题目通过找规律发现答案就是斐波那契数列，第 n 个月兔子的数量是斐波那契数列 的第 n 项。 二、 性质
如果要了解斐波那契数列的性质，必然要先知道它的通项公式才能更简单的推导出一些 定理。那么下面我们就通过初等代数的待定系数法计算出通项公式。
斐波那契数还可以在植物的叶、枝、茎等排列中发现。例如，在树木的枝 干上选一片叶子，记其为数 0，然后依序点数叶子（假定没有折损），直到到达 与那些叶子正对的位置，则其间的叶子数多半是斐波那契数。叶子从一个位置 到达下一个正对的位置称为一个循回。叶子在一个循回中旋转的圈数也是斐波 那契数。在一wk.baidu.com循回中叶子数与叶子旋转圈数的比称为叶序（源自希腊词，意 即叶子的排列）比。多数的叶序比呈现为斐波那契数的比。