直线与平面平行的性质教案
直线与平面平行的性质教案
课题：§2.2.3直线与平面平行的性质教学任务分析：知识与技能通过观察探究，进行合情推理发现直线与平面平行的性质定理，并能准确地用数学语言表述该定理；能够对直线与平面平行的性质定理作出严密的逻辑论证，并能进行一些简单的应用．过程与方法通过直观感知和操作确认的方法，培养和发展学生的几何直觉、运用图形语言进行交流的能力；体会和感受通过自己的观察、操作等活动进行合情推理发现并获得数学结论的过程．情感、态度、价值观通过自主学习、主动参与、积极探究的学习过程，激发学生学习数学的自信心和积极性，培养学生良好的思维习惯，渗透化归与转化的数学思想，体会事物之间相互转化和理论联系实际的辩证唯物主义思想方法．教学重点与难点：重点通过直观感知、提出猜想进而操作确认，获得直线与平面平行的性质定理．难点综合应用线面平行的判定定理和性质定理进行线线平行与线面平行的相互转化．教学流程与环节设计：实际问题引入，激发学生探索兴趣和求知欲望．结合实际问题主动参与，通过直观感知、提出猜想进而操作确认获得定理；然后结合例题体会定理的应用．结合例题，总结线线平行与线面平行的相互转化，体会线面平行的判定定理和性质定理的综合运用．综合应用判定定理和性质定理解决简单问题，规范解题步骤与格式，培养学生良好的学习习惯．进一步巩固定理，深化基本方法．结合线线平行与线面平行的转化，思考线线平行、线面平行、面面平行的联系，提出合理猜想，主动探究并操作验证．教学情境与操作设计：组织探究例4．求证：如果一条直线和两个相交平面平行，那么这条直线和它们的交线平行．分析：1）用数学符号语言描述上述命题，写出已知和求证；2）用图形语言描述上述命题，即画出相应图形；3）综合利用线面平行的性质定理与判定定理解答本题．解：（略）．师：本例应着重注意引导学生综合利用线面平行的性质定理与判定定理解决相关问题，渗透化归与转化的数学思想方法．并锻炼学生熟练文字叙述、数学符号语言、图形语言之间的相互转化．探究与发现结合例题探究发现：直线与平面平行的性质定理和直线与平面平行的判定定理经常要综合使用，亦即是通过线线平行推出线面平行，再通过线面平行推出新的线线平行，复杂的题目还可以继续推下去．在使用中要注意一种思想和一种方法：1）转化的数学思想即线线平行与线面平行之间的相互转化，亦即空间问题与平面问题之间的相互转化，这也是解决立体几何问题的重要思想方法．转化的关系如下：2）辅助平面法即构造辅助平面，以实现线线平行与线面平行间的相互转化．师：渗透转化的数学思想方法，即空间问题平面化；强调一种方法，辅助平面法．巩固练习一、选择题．1．若直线a不平行于平面α，则下列结论成立的是( )A．α内的所有直线都与直线a异面B．α内不存在与a平行的直线C．α内的直线都与a相交D．直线a与平面α有公共点2．直线a∥平面α，P∈α，过点P平行于α的直线( )A．只有一条，不在平面α内B．有无数条，不一定在α内C．只有一条，且在平面α内D．有无数条，一定在α内3．下列判断正确的是( )A．a∥α，b α，则a∥bB．a∩α＝P，b α，则a与b不平行C．a α，则a∥αD．a∥α，b∥α,则a∥b4．直线和平面平行，那么这条直线和这个平面内的( )A．一条直线不相交通过练习，辨析线线、线面位置关系的各种情形，进一步深化对性质定理的理解与应用，培养学生良好的思维品质，规范解题方法、步骤与格式．线线平行线面平行线线平行判定定理性质定理。
《直线与平面平行的性质》教案、导学案、课后作业
《8.5.2 直线与平面平行》教案第2课时直线与平面平行的性质【教材分析】在直线与平面的位置关系中，平行是一种非常重要的关系，本节内容既是直线与直线平行关系延续和提高，也是后续研究平面与平面平行的基础，既巩固了前面所学的内容，又为后面内容的学习做了知识上和方法上的准备，在教材中起着承前启后的作用。
【教学目标与核心素养】课程目标1．理解直线和平面平行的性质定理并能运用其解决相关问题.2．通过对性质定理的理解和应用，培养学生的空间转化能力和逻辑推理能力．数学学科素养1.逻辑推理：探究归纳直线和平面平行的性质定理，线线平行与线面平行转化；2.直观想象：题中几何体的点、线、面的位置关系.【教学重点和难点】重点：直线和平面平行的性质定理.难点：直线和平面平行的性质定理的应用.【教学过程】一、情景导入问题1：观察长方体，可以发现长方体ABCD—A′B′C′D′中，线段A′B 所在的直线与长方体ABCD—A′B′C′D′的侧面C′D′DC所在平面平行，你能在侧面C′D′DC所在平面内作一条直线与A′B平行吗？问题2：由直线与平面平行可知直线与平面内的直线关系为平行或异面，那么满足什么条件，直线与平面内的直线平行呢？要求：让学生自由发言，教师不做判断。
而是引导学生进一步观察.研探.二、预习课本，引入新课阅读课本137-138页，思考并完成以下问题1、平面外的直线与平面内的直线有几种位置关系？2、满足什么条件时平面外一条直线与平面内的直线平行？3、用符号语言怎么表示直线与平面平行的性质定理？要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。
三、新知探究1、直线与平面平行的性质定理四、典例分析、举一反三题型一直线与平面平行的性质定理的理解例1 已知直线m,n及平面α,β有下列关系:①m,n⊂β,②n⊂α,③m∥α,④m∥n.现把其中一些关系看作条件,另一些看作结论,组成一个真命题是 .【答案】①②③⇒④或①②④⇒③【解析】结合线面平行的性质定理,可知①②③⇒④,结合线面平行的判定定理,可知①②④⇒③.解题技巧（性质定理理解的注意事项）(1)明确性质定理的关键条件.(2)充分考虑各种可能的情况.(3)特殊的情况注意举反例来说明.跟踪训练一1、有以下三个命题:①如果一条直线和一个平面平行,它就和这个平面内的无数条直线平行;②过直线外一点,有且只有一个平面和已知直线平行;③如果直线l ∥平面α,那么过平面α内一点和直线l 平行的直线在α内,其中正确命题的个数为( )A.0B.1C.2D.3【答案】C ．【解析】结合线面平行的性质定理,可知过直线外一点,有无数个平面和已知直线平行.题型二 直线与平面平行的性质定理的应用 例2如图所示的一块木料中，棱平行于面.（1） 要经过面内的一点P 和棱将木料锯开， 在木料表面应该怎样画线？（2）所画的线与平面是什么位置关系？【答案】（1）见解析（2）直线与平面平行直线与平面相交.【解析】（1）如图，在平面A′C′内，过点P 作直线EF ,使EF ∥B′C′，并分别交棱A′B′、C′D′于点E 、F .连接BE 、CF . 则EF 、BE 、CF 就是应画的线.(2)因为棱BC 平行于面A′C′，平面BC′与平面A′C′交于B′C′，所以BC ∥B′C′.由（1）知，EF ∥B′C′，所以EF ∥BC .而BC 在平面AC 内，EF 在平面AC 外，所以EF ∥平面AC.BC A C ''A C ''BC AC EF AC ,BE CFAC显然, BE 、CF 都与平面AC 相交. 解题技巧 (性质定理应用的注意事项)(1)欲证线线平行可转化为线面平行解决,常与判定定理结合使用. (2)性质定理中有三个条件,缺一不可,注意平行关系的寻求.常利用中位线性质.跟踪训练二1、如图,AB,CD 为异面直线,且AB ∥α,CD∥α,AC,BD 分别交α于M,N 两点,求证AM ∶MC=BN ∶ND.【答案】证明见解析【解析】连接AD 交α于点P,连接MP,NP因为CD ∥α,平面ACD∩α=MP, 所以CD ∥MP,所以=.同理可得NP ∥AB,=,所以=.五、课堂小结让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧 六、板书设计AM MCAP PDAP PDBN NDAM MCBN ND七、作业课本139页练习4题，143页习题8.5的1、3、7、10、11题.【教学反思】通过本节课性质定理的学习，使学生进一步了解线线平行和线面平行时刻相互转化的，即空间问题和平面问题可以相互转化.《8.5.2 直线与平面平行》导学案第2课时直线与平面平行的性质【学习目标】知识目标1．理解直线和平面平行的性质定理并能运用其解决相关问题.2．通过对性质定理的理解和应用，培养学生的空间转化能力和逻辑推理能力．核心素养1.逻辑推理：探究归纳直线和平面平行的性质定理，线线平行与线面平行转化；2.直观想象：题中几何体的点、线、面的位置关系.【学习重点】：直线和平面平行的性质定理.【学习难点】：直线和平面平行的性质定理的应用.【学习过程】一、预习导入阅读课本137-138页，填写。
高中数学人教版A必修第二册教案852直线与平面平行
第八章立体几何初步8.5 空间直线、平面的平行8.5.2 直线与平面平行教学设计一、教学目标1.理解直线与平面平行的判定定理；2.理解直线与平面平行的性质定理；3.能运用定理证明一些空间位置关系的简单命题.二、教学重难点1.教学重点归纳直线与平面平行的判定定理和性质定理.2.教学难点两个定理的应用.三、教学过程（一）新课导入复习：空间中直线与平面的位置关系.直线在平面内——有无数个公共点；直线与平面相交——有且只有一个公共点；直线与平面平行——没有公共点；问题1 判断直线与平面是否平行，只需判定直线与平面有没有公共点.如何判定呢？（二）探索新知问题2 如图（1），门扇的两边是平行的.当门扇绕着一边转动时，另一边与墙面有公共点吗？此时门扇转动的一边与墙面平行吗？如图（2），将一块矩形硬纸板ABCD平放在桌面上，把这块纸板绕边DC转动.在转动的过程中（AB 离开桌面），DC的对边AB与桌面有公共点吗？边AB与桌面平行吗？无论门扇转动到什么位置，因为转动的一边与固定的一边总是平行的，所以它与墙面是平行的；硬纸板的边AB与DC平行，只要边DC紧贴着桌面，边AB转动时就不可能与桌面有公共点，所以它与桌面平行.直线与平面平行的判定定理：如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行.符号表示：且.例2 求证：空间四边形相邻两边中点的连线平行于经过另外两边的平面.将问题转化为：已知：如图，空间四边形ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点.求证：平面BCD.证明：连接BD.∵AE=EB，AF=FD，∴.又平面BCD，平面BCD，∴平面BCD.问题3 在直线a平行于平面的条件下，直线a与平面内的直线有怎样的位置关系？如图，由定义，如果直线a∥平面.那么a与无公共点，即a与内的任何直线都无公共点.这样，平面内的直线与平面外的直线a只能是异面或者平行的关系.那么，在什么条件下，平面内的直线与直线a平行呢？假设a与内的直线b平行，那么由基本事实的推论3（经过两条平行直线，有且只有一个平面），过直线a，b有唯一的平面.这样，我们可以把直线b看成是过直线a的平面与平面的交线.于是可得如下结论：过直线a的平面与平面相交于b，则.下面，我们来证明这一结论.如图，已知，，.求证：.证明：∵，∴.又，∴a与b无公共点.又，，∴.由此得到了直线与平面平行的性质定理.定理：一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行.例3 如图（1）所示的一块木料中，棱BC平行于面.（1）要经过面内的一点P和棱BC将木料锯开，在木料表面应该怎样画线？（2）所画的线与平面AC是什么位置关系？解：（1）如图（2），在平面内，过点P作直线EF，使，并分别交棱于点E，F.连接BE，CF，则EF，BE，CF就是应画的线.（2）因为棱BC平行于平面，平面与平面相交于，所以.由（1）知，，所以.而BC在平面AC内，EF在平面AC外，所以平面AC.显然，BE，CF都与平面AC相交.（三）课堂练习1.如图，在四棱锥P-ABCD中，M，N分别为AC，PC上的点，且MN∥平面P AD，则()A．MN∥PDB．MN∥P AC．MN∥ADD．以上均有可能答案：B解析：因为MN∥平面P AD，MN⊂平面P AC，平面P AD∩平面P AC＝P A，所以MN∥P A.2.如图，在长方体ABCD-A'B'C'D'中，（1）与直线CD平行的平面是__________；（2）与直线CC'平行的平面是__________；（3）与直线CB平行的平面是__________.答案：（1）平面A'B'C'D'，平面A'ABB'；（2）平面A'ABB'，平面A'ADD'；（3）平面A'ADD'，平面A'B'C'D'.3.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，S，E，G分别是B1D1，BC，SC的中点.求证：直线EG∥平面BDD1B1.证明：如图，连接SB.∵E，G分别是BC，SC的中点，∴EG∥SB.又SB⊂平面BDD1B1，EG⊄平面BDD1B1，∴直线EG∥平面BDD1B1.（四）小结作业小结：1.直线与平面平行的判定定理；2.直线与平面平行的性质定理.作业：四、板书设计8.5.2 直线与平面平行1.直线与平面平行的判定定理；符号表示；2.直线与平面平行的性质定理.。
直线与平面平行的判定教案
直线与平面平行的判定教案直线与平面平行的判定教案范文直线与平面平行的判定教案1一、教学目标1.借助对图片、实例的观察，抽象概括出直线与平面垂直的定义，并能正确理解直线与平面垂直的定义。
2.通过直观感知，操作确认，归纳直线与平面垂直判定的定理，并能运用判定定理证明一些空间位置关系的简单命题，进一步培养学生的空间观念。
3.让学生亲身经历数学研究的过程，体验探索的乐趣，增强学习数学的兴趣。
二、教学重点、难点1.教学重点：操作确认并概括出直线与平面垂直的定义和判定定理。
2.教学难点：操作确认并概括出直线与平面垂直的判定定理及初步运用。
三、课前准备1.教师准备：教学课件2.学生自备：三角形纸片、铁丝(代表直线)、纸板(代表平面)、三角板四、教学过程设计1.直线与平面垂直定义的建构(1)创设情境①请同学们观察图片，说出旗杆与地面、高楼的侧棱与地面的位置有什么关系?②请把自己的数学书打开直立在桌面上，观察书脊与桌面的位置有什么关系?③请将①中旗杆与地面的位置关系画出相应的几何图形。
(2)观察归纳①思考：一条直线与平面垂直时，这条直线与平面内的直线有什么样的位置关系?②多媒体演示：旗杆与它在地面上影子的位置变化。
③归纳出直线与平面垂直的定义及相关概念。
定义：如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直，记作：l⊥α.直线l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面.直线与平面垂直时，它们唯一的公共点P叫做垂足。
用符号语言表示为：(3)辨析(完成下列练习)：①如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，那么这条直线就与这个平面垂直。
②若a⊥α,bα，则a⊥b。
在创设情境中，学生练习本上画图，教师针对学生出现的问题，如不直观、不标字母等加以强调，并指出这就叫直线与平面垂直，引出课题。
在多媒体演示时，先展示动画1使学生感受到旗杆AB所在直线与过点B的直线都垂直。
再展示动画2使学生明确旗杆AB所在直线与地面内任意一条不过点B 的直线B1C1也垂直，进而引导学生归纳出直线与平面垂直的定义。
8.5.2直线与平面平行 教案-高一下学期数学人教A版必修第二册
8.5.2直线与平面平行教案一、内容和内容解析1. 内容直线与平面平行的判定与性质．2. 内容解析本节课是在学习了直线与平面平行的定义的基础上，探究直线与平面平行的判定定理和性质定理．直线与平面的平行关系是一种非常重要的空间位置关系．在直线与直线平行、直线与平面平行、平面与平面平行这三种平行关系的相互转化中，直线与平面的平行是很关键的一环．它既是进一步学习平面与平面平行的基础，其中也着直线与直线平行．正如前面所述，空间中，基本图形位置关系的研究，主要是以某两种图形的位置关系为前提（定义），研究相应的充分条件（判定）和必要条件（性质）．无论是判定还是性质，都是“空间基本图形确定的相互关系”．直线与平面平行的判定定理，反映了直线与平面在具备了什么条件下互相平行的问题，是充分条件．事实上，假设平面α外的一条直线a与α有交点，则平面α内的任意一条直线b与直线a要么相交，要么异面，即不存在与a平行的直线．直线与平面平行的性质定理，反映了在直线与平面平行的条件下，该直线与平面内特定的一些直线之间的位置关系，是必要条件．直线与平面平行的判定定理和性质定理的发现以及性质定理的证明过程，体现了直观感知、确认操作、思辨论证的立体几何研究的基本方法，有利于学生直观想象、数学抽象、逻辑推理的素养的培养．直线与平面平行的判定和性质的研究，是直线与平面平行、直线与直线平行两种位置关系的相互转化，体现了立体几何研究中空间问题平面化的研究思路．基于以上分析，确定本节课的教学重点：直线与平面平行的判定定理和性质定理的探究．二、目标和目标解析1．目标（1）探究并理解直线与平面平行的判定定理．（2）探究并证明直线与平面平行的性质定理．（3）结合直线与平面判定定理和性质定理的探究，体会立体几何中研究位置关系的判定和性质的方法．2．目标解析达成目标（1）的标志是：学生能在直线与平面平行定义的基础上，将直线与平面平行的判定转化为直线与直线平行的判定．达成目标（2）的标志是：学生能够将直线与平面的平行转化为该直线与平面内的直线之间的位置关系；并通过直线与平面平行的定义、直线与直线的位置关系的定义以及基本事实3的推论3，发现直线与平面平行的性质定理，并能对性质定理进行证明．达成目标（3）的标志是：结合直线与平面平行的判定定理和性质定理的探究，体会什么是判定，什么是性质；了解发现图形位置关系的判定和性质的目标；能实现直线与直线、直线与平面的转化，体会其中空间问题与平面问题的转化．三、教学问题诊断分析在研究直线与平面平行的判定定理时，学生没有将直线与平面平行问题转化为直线与直线平行的问题解决经验．从直线与平面平行的定义转化到直线与平面内的一条直线平行是探究判定定理的关键，这里需要一定的生活实例和实验操作，学生直观感知，不难理解；但其中蕴含的转化思想值得学生认真体会．平面可以看成是由直线组成的．由直线a与平面α平行，可知直线a与平面α内的任何直线b都没有公共点，因此它们是异面直线或平行直线．由于a与b 没有公共点，如果再在四、教学过程设计（一）探究直线与平面平行的判定定理引言在直线和平面的位置关系中，直线和平面平行是一种很重要的位置关系，不仅在现实生活中有广泛应用（比如木料划线），也是我们后面学习平面与平面平行的基础．如何判定直线和平面平行（即直线与平面平行的充分条件）？已知直线和平面平行的条件下，又蕴藏怎样的性质（即直线与平面平行的必要条件）？下面我们重点来探究这两个问题．问题1：根据定义，直线与平面平行是指直线与平面没有公共点．请同学思考，直接用定义去判断直线和平面平行与否是否方便？为什么？师生活动：学生思考后回答，师生对话，由于直线的无限延伸和平面的无限延展，很难直接判断直线与平面是否有公共点，因此很难直接利用定义判断．设计意图：直接用定义不易判定直线与平面是否平行，说明学习本课内容的必要性，激发学生的学习兴趣．由于平面可以看作是直线“编织”而成的“直线网”，因而直线与平面没有公共点即是等价于直线和平面内的任意一条直线没有公共点，但我们也不可能逐一检验平面内的每条直线．问题2：为便于判定，我们能否通过检验平面内较少条数的直线与平面外直线的位置关系来达到目的？如果可以，可以减少到几条？你能用生活中的实例来佐证你的结论吗？师生活动：教师设计如下“观察—探究”的活动，供学生在动手操作的基础上进行合情猜想：如图1（1），门扇的两边是平行的，当门扇绕着一边转动时，另一边与墙面有公共点吗？此时门扇转动的一边与墙面平行吗？如图1（2），将一块矩形硬纸板ABCD平放在桌面上，把这块纸板绕边DC转动．在转动过程中（AB离开桌面），DC的对边AB与桌面有公共点吗？边AB与桌面平行吗？在上述“观察—探究”的基础上，请学生尝试用自己的话说一说他们感受到的直线与平面平行的判定方法以及如何用字母符号和图形表示，之后再让学生看教科书里给出的直线与平面平行的判定定理，及其符号和图形表示．判定定理平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行．设计意图：将利用定义判断，转化为“直线与平面内的一条直线平行”来进行判断．这一过程，体现了由复杂向简单、由空间向平面的转化．通过设置“观察—探究”活动，学生在直观感知的基础上进行大胆猜想，培养学生的数学抽象、直观想象等数学素养．追问1：为什么平面α外的直线a与α内的一条直线b平行，就可以说直线a和平面α平行了？你能对此做一个简要的解释吗？师生活动：学生思考交流，教师可以给予一定提示（反证法）．设计意图：增强说理，说明上述的猜想不是“瞎猜”．同时，反证法中会用到异面直线的判定，这也是对前面学习异面直线知识（教科书P130-例2）的一个回顾．追问2：这一定理告诉我们，通过直线间的平行，可以得出直线与平面平行，请说说这里面蕴含着怎样的数学思想方法？师生活动：学生回答，教师总结，指出转化的数学思想．设计意图：加深学生对定理的认识，明白将空间问题（直线与平面的平行）转化为平面问题（直线间的平行）是一种处理空间几何问题的常用方法．问题3：你能说说一定理在现实生活中的应用吗？师生活动：结合教科书中按照矩形镜子的例子，请同学们再多补充一些生活实例，体会其中的数学道理．设计意图：使学生了解判定定理在实际生活中的应用，培养学生的应用意识，进一步加强对判定定理的理解．（二）应用判定定理，熟练掌握例1 求证：空间四边形相邻两边中点的连线平行于经过另外两边的平面．追问：（1）从要解决的问题来看，本题是要证明直线与平面平行，你能想到用什么方法？（学生活动预设：直线与平面平行的判定定理．）（2）EF与平面BCD中哪条直线平行？为什么？师生活动：在师生共同分析问题后，学生动笔完成证明过程，教师巡视，检查书写是否规范．设计意图：熟悉判定定理的应用，明确要证明直线与平面的平行，只需在平面内找出一条直线与该直线平行即可．同时规范书写格式．（三）探究并证明直线与平面平行的性质定理问题4：根据前述判定定理，我们已经研究了直线与平面平行的充分条件．下面我们将研究已知直线与平面平行，可以得到什么结论．若直线与平面平行，则与平面内的任意一条直线是什么位置关系？师生活动：学生根据定义加以回答：或是异面直线，或是平行直线．设计意图：先对直线与平面平行条件下，该直线与平面内的直线具有怎样的位置关系做整体了解，然后再聚焦性质定理．追问1：若a∥α，平面α内的直线何时与直线a平行呢？你能够证明你的结论吗？师生活动：师生共同探究，假设平面α内的直线b与直线a平行，则a,b确定一个平面，记为β．我们可以将直线b看作是过直线a的平面β与平面α的交线．至此，老师可鼓励学生大胆提出猜想——若平面β经过直线a且与平面α相交，则直线a与平面α和β的交线b平行．在提出问题后，师生共同完成证明，并正式给出直线与平面平行的性质定理的文字、图形以及符号语言的描述．性质定理一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行．设计意图：不同于通过观察、操作获得直线与平面平行的判定定理的过程，直线与平面平行的性质定理的研究更侧重于呈现提出问题，分析问题，最后解决问题的思辨过程．通过追问1的分析与解答，培养学生发现和提出问题的能力．追问2：直线和平面平行的性质定理给出了又一种判定两条直线平行的方法．请问使用该定理来判断直线与直线平行时共需要几个条件？师生活动：学生认真分析并回答问题．定理中的三个条件：（1）直线a和平面α平行；（2）平面α和平面β相交于直线b；（3）直线a在平面β内．教师然后给出一些命题让学生判断正误（比如“一条直线平行于一个平面，则它平行于这个平面内的所有直线．”），让学生明白定理中的三个条件缺一不可．设计意图：一方面提醒学生直线和平面平行的性质定理可作为直线与直线平行的判定方法，另一方面加深学生对定理结构的认识．（四）定理应用，巩固深化追问1：第（1）问是一个实际应用问题，你能用确切的数学语言对其进行刻画吗？师生活动：翻译成数学语言即是经过棱BC和BC外一点P作一个截面，确定该截面与木料表面的交线．追问2：该问题的数学本质是确定两个平面的交线．为了解决该问题我们可能用到哪些所学的知识？师生活动：直线与平面平行的性质定理，基本事实4和基本事实3及其推论．师生活动：学生思考，教师展示动画素材，为学生直观演示画线以及切割过程．设计意图：熟悉直线和平面平行的判定定理和性质定理的应用，让学生熟练掌握直线和直线平行、直线与平面平行的相互转化，同时规范解答格式．（五）巩固练习1．判断下列命题是否是真命题：（1）如果一条直线与平面内无数条直线没有公共点，则该直线与平面平行．（）。
8.5.2直线与平面平行 第2课时 直线与平面平行的性质 教案高中数学(人教A版2019)必修第二册
8.5.2直线与平面平行第二课时 直线与平面平行的性质一、教学目标 1. 掌握空间平面与平面平行的判定定理，并能应用这个定理解决问题2. 平面与平面平行的判定定理的应用3. 进一步培养学生观察、发现问题的能力和空间想象能力二、教学重点 空间平面与平面平行的判定定理教学难点 应用平面与平面平行的判定定理解决问题三、教学过程1、复习回顾情境引入问题1：直线与平面平行的判定定理答：如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行问题2：如果一条直线和一个平面平行，那么这条直线和这个平面内的直线有怎样的位置关系？答：问题3：什么条件下，平面α内的直线与直线a 平行呢？引出下面问题：已知：//, , a a b αβαβ⊂=，求证：//a b 证明：∵b αβ=∴b α⊂又//a α∴a 与b 无公共点又 , a b ββ⊂⊂∴//a b2、探索新知1）直线与平面平行的性质定理如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行符号表述：a ∥α，a ⊂β，α∩β＝b ⇒a ∥b简记：线线平行 线面平行注意：①定理中三个条件缺一不可②简记：线面平行，则线线平行③定理的作用：判断直线与直线平行的重要依据④定理的关键：寻找平面与平面的交线【例1】如右图的一块木料中，棱BC 平行面A'C'(1)要经过面A'C'内的一点P 和棱BC 将木料锯开,在木料表面应该怎样画线?(2)所画的线与平面AC 是什么位置关系?解：(1)如右图，在平面A'C 内，过点P 作直线EF ，使EF//B'C'，并分别交棱A'B'、D'C' 于点E 、F.连接BE 、CF,则EF 、BE 、 CF 就是应画的线(2) ∵BC ∥平面A'C'，平面BC'平面A'C'=B'C'∴BC//B'C'由(1)知EF//B'C'∴EF//BC ，而BC ⊂平面AC ，EF ⊄平面AC∴EF//平面AC显然，BE 、CF 都与平面AC 相交【例2】如图所示，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是平行四边形，AC 与BD 交于点O ，M 是PC 的中点，在DM 上取一点G ，过G 和AP 作平面交平面BDM 于GH ，求证：AP ∥GH .证明：连接MO∵四边形ABCD 是平行四边形∴O 是AC 的中点又∵M 是PC 的中点∴AP ∥OM又∵AP ⊄平面BDMOM ⊂平面BDM∴AP ∥平面BDM又∵AP ⊂平面APGH ，平面APGH ∩平面BDM ＝GH∴AP ∥GH【例3】如图，在三棱柱111ABC A B C -中，点,E F 分别是棱11,CC BB 上的点，点M 是线段AC 上的动点，22EC FB ==.若//MB 平面,AEF MB ⊂，试判断点M 的位置解：M 是AC 的中点因为//MB 平面,AEF MB ⊂平面FBMN平面FBMN ⋂平面AEF FN =所以//MB FN所以四边形BFNM 是平行四边形所以1MN BF ==而//,22EC FB EC FB == 所以1//,12MN EC MN EC == 故MN 是ACE 的中位线所以M 是AC 的中点时，//MB 平面AEF方法规律：线面平行的性质和判定经常交替使用，也就是通过线线平行得到线面平行，再通过线面平行得线线平行．利用线面平行的性质定理解题的具体步骤：(1)确定(或寻找)一条直线平行于一个平面(2)确定(或寻找)过这条直线且与这个平行平面相交的平面(3)确定交线(4)由性质定理得出线线平行的结论四、课堂练习P 138 练习1、如图，在五面体EF ABCD 中，已知四边形ABCD 为梯形，AD ∥BC ，求证：AD ∥EF证明 ∵AD ∥BC ，AD ⊄平面BCEF ，BC ⊂平面BCEF∴AD ∥平面BCEF∵AD ⊂平面ADEF ，平面ADEF ∩平面BCEF ＝EF∴AD ∥EF2、如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是棱BC ，C 1D 1的中点.求证：EF ∥平面BDD 1B 1证明：取D 1B 1的中点O ，连接OF ，OB (图略)∵F 为C 1D 1的中点∴OF ∥B 1C 1且OF ＝12B 1C 1 又BE ∥B 1C 1，BE ＝12B 1C 1 ∴OF ∥BE 且OF ＝BE∴四边形OFEB是平行四边形，∴EF∥BO∵EF⊄平面BDD1B1，BO⊂平面BDD1B1∴EF∥平面BDD1B1五、课堂小结1、直线与平面平行的性质定理2、证明线与线、线与面的平行关系的一般规律是：“见了已知想性质，见了求证想判定”，也就是说“发现已知，转化结论，沟通已知与未知的关系”．这是分析和解决问题的一般思维方法，而作辅助线和辅助面往往是沟通已知和未知的有效手段六、课后作业习题8.5 7、8七、课后反思。
《直线与平面平行的判定》教案-人教A版高中数学必修二
《直线与平面平行的判定》教案一、教学内容分析本节选自教材《基础模块》下第九章，本节内容在立体几何学习中起着承上启下的作用，具有重要的意义与地位。
本节课是在前面已学空间点、线、面位置关系的基础作为学习的出发点，结合有关的实物模型，通过直观感知、操作确认(合情推理，不要求证明)归纳出直线与平面平行的判定定理。
本节课的学习对培养学生空间感与逻辑推理能力起到重要作用，特别是对线线平行、面面平行的判定的学习作用重大。
二、学生学习情况分析任教的学生在年级段属中上程度，学生学习兴趣较高，学生已经学习完空间直线与直线的位置关系以及直线与直线平行，并掌握直线与直线平行的判断方法．在日常生活中积累了许多线面平行的素材，和直观判断的方法，但对这些方法是否正确合理缺乏深入理性的分析．在空间想象和逻辑论证等方面的能力有待于再进一步学习中提高．学习立体几何所具备的语言表达及空间感与空间想象能力相对不足，学习方面有一定困难。
三、设计思想本节课的设计遵循从具体到抽象的原则，适当运用多媒体辅助教学手段，借助实物模型，通过直观感知，操作确认，合情推理，归纳出直线与平面平行的判定定理，将合情推理与演绎推理有机结合，让学生在观察分析、自主探索、合作交流的过程中，揭示直线与平面平行的判定、理解数学的概念，领会数学的思想方法，养成积极主动、勇于探索、自主学习的学习方式，发展学生的空间观念和空间想象力，提高学生的数学逻辑思维能力。
四、教学目标通过直观感知——观察——操作确认的认识方法理解并掌握直线与平面平行的判定定理，掌握直线与平面平行的画法并能准确使用数学符号语言、文字语言表述判定定理。
培养学生观察、探究、发现的能力和空间想象能力、逻辑思维能力。
让学生在观察、探究、发现中学习，在自主合作、交流中学习，体验学习的乐趣，增强自信心，树立积极的学习态度，提高学习的自我效能感。
五、教学重点与难点教学重点：直线与平面平行的判定定理．教学难点：直线与平面平行的判定定理验证和应用六、教学过程设计（一）知识准备、新课引入提问1：根据公共点的情况，空间中直线a和平面α有哪几种位置关系？并完成下表：我们把直线与平面相交或平行的位置关系统称为直线在平面外，用符号表示为a⊄α提问2：根据直线与平面平行的定义(没有公共点)来判定直线与平面平行你认为方便吗？谈谈你的看法，并指出是否有别的判定途径。
高中数学《直线与平面平行的判定》教案
高中数学《直线与平面平行的判定》教案一、教学目标1.了解平面和直线的性质。
2.学会判断平面和直线是否平行。
3.掌握平面和直线平行的性质和应用。
4.了解平面和直线的几何应用。
二、教学重点1.直线和平面平行的概念、性质。
2.平行线的判定、条件。
3.平面和直线平行的判定、条件。
三、教学难点平行线判定的学习。
四、教学方法理论讲授、图像分析、练习、探究。
五、教学过程1.导入请学生回顾“平面”和“直线”的定义和性质。
2.提出问题请学生思考如何确定平面和直线是否平行。
3.学习平行线的判定（1）定义：“如果两条直线在同一平面内且不相交，则这两条直线互相平行。
”（2）判定方法：①同向性判定法：向同一方向延申出两条射线，如果两条射线在另一条直线上的同一侧，则两线平行；反之，不平行。
②夹角大小判定法：如果两条线段及其相邻角之和为180度，则两线段是平行的。
③斜率判定法：如果两条直线的斜率相等，则两直线平行。
4.学习平面和直线平行的判定（1）定义：“如果一条直线和一个平面没有交点，那么这条直线在这个平面上的任意一条互不重合的直线上的任意一点和这条直线的任意一点的连线就在这个平面上，这时这条直线与这个平面是平行的。
”（2）判定方法：①两直线平行，其中一条直线在所在平面内，则另一条直线与该平面平行。
②直线与平面垂线所在的平面与给定平面互相平行。
③如果一平面与一直线在空间中相交，并且在交点处的夹角是直角，则该平面与该直线平行。
5.练习请学生完成平面和直线平行的练习题。
6.课堂巩固请学生回答以下问题：（1）平行的两条直线斜率是否相同？（2）如何确定两平面是否平行？（3）如果一条直线在平面内，直线上有一点在平面外，这条直线与平面是否平行？（4）如果一个平面和一条直线互相平行，它们有什么共同点？7.作业请学生完成课堂练习题，并预习下节课内容。
六、板书设计高中数学《直线与平面平行的判定》1.平行线的判定①同向性判定法②夹角大小判定法③斜率判定法2.平面和直线平行的判定①两直线平行，在所在平面内，另一条直线与该平面平行。
直线与平面平行的性质教案
直线与平面平行的性质教案一、教学目标：1. 让学生理解直线与平面平行的概念，掌握直线与平面平行的判定方法。
2. 培养学生运用直线与平面平行的性质解决几何问题的能力。
3. 提高学生的空间想象能力和逻辑思维能力。
二、教学内容：1. 直线与平面平行的定义。
2. 直线与平面平行的判定定理。
3. 直线与平面平行的性质定理。
4. 直线与平面平行在实际问题中的应用。
三、教学重点与难点：1. 教学重点：直线与平面平行的判定方法，直线与平面平行的性质定理。
2. 教学难点：直线与平面平行的性质定理在实际问题中的应用。
四、教学方法：1. 采用讲解法、演示法、讨论法、练习法等相结合的教学方法。
2. 通过实物模型、几何画板等工具，直观展示直线与平面平行的性质。
3. 组织学生进行小组讨论，培养学生的合作意识。
五、教学过程：1. 导入新课：通过展示生活中的实例，引出直线与平面平行的概念。
2. 讲解直线与平面平行的判定方法，引导学生理解并掌握判定定理。
3. 讲解直线与平面平行的性质定理，并通过实物模型、几何画板等进行展示。
4. 组织学生进行小组讨论，探索直线与平面平行的性质在实际问题中的应用。
5. 布置课堂练习，巩固所学知识。
6. 总结本节课的主要内容，强调直线与平面平行的性质在几何问题解决中的重要性。
7. 布置课后作业，鼓励学生深入研究直线与平面平行的性质。
六、教学评价：1. 通过课堂提问、作业批改等方式，评价学生对直线与平面平行概念的理解和判定方法的掌握。
2. 注重评价学生在实际问题中运用直线与平面平行性质的能力，以及空间想象能力和逻辑思维能力的提升。
3. 结合小组讨论情况，评价学生的合作意识和交流沟通能力。
七、教学反馈：1. 收集学生作业，分析掌握情况，针对普遍问题进行有针对性的辅导。
2. 听取学生对课堂教学的反馈意见，了解教学方法的适用性，及时调整教学策略。
3. 关注学生在小组讨论中的表现，鼓励表达自己的想法，提高自信心。
直线与平面平行的性质教案
直线与平面平行的性质教案一、教学目标1. 知识与技能：（1）理解直线与平面平行的概念；（2）掌握直线与平面平行的性质定理；（3）能够运用直线与平面平行的性质解决几何问题。
2. 过程与方法：（1）通过直观教具，引导学生观察和思考直线与平面平行的性质；（2）利用逻辑推理，证明直线与平面平行的性质定理；（3）运用直线与平面平行的性质，解决实际问题。
3. 情感态度与价值观：（1）培养学生的空间想象能力；（2）培养学生勇于探索、坚持真理的精神。
二、教学重点与难点1. 教学重点：直线与平面平行的性质定理及其证明。
2. 教学难点：直线与平面平行的性质定理的证明及应用。
三、教学准备1. 教具准备：直尺、三角板、多媒体教学设备。
2. 学具准备：学生尺子、三角板、练习本。
四、教学过程1. 导入新课：通过复习直线、平面和平行线的概念，引导学生思考直线与平面平行的性质。
2. 探究新知：（1）教师展示直线与平面平行的实例，引导学生观察和描述直线与平面平行的特点；（3）教师引导学生运用逻辑推理，证明直线与平面平行的性质定理。
3. 巩固新知：（1）教师布置练习题，让学生运用直线与平面平行的性质解决问题；（2）学生互相讨论，教师点评答案。
4. 拓展与应用：（1）教师提出实际问题，引导学生运用直线与平面平行的性质解决；（2）学生独立思考，教师辅导解答。
五、课后作业1. 复习直线与平面平行的性质定理；2. 完成课后练习题，巩固所学知识；3. 思考实际问题，运用直线与平面平行的性质解决问题。
教学反思：本节课通过观察、讨论、证明和应用等环节，使学生掌握了直线与平面平行的性质。
在教学过程中，注意调动学生的积极性，培养学生的空间想象能力和逻辑推理能力。
但在拓展与应用环节，部分学生对新问题的理解仍有困难，需要在今后的教学中加强引导和辅导。
六、教学评价1. 课堂表现评价：观察学生在课堂上的参与程度、提问回答、练习完成情况，评价学生的学习态度和效果。
直线与平面平行的判定公开课教案
直线与平面平行的判定【教学目标】1．理解并掌握直线与平面平行的判定定理；2．进一步培养学生观察、发现的能力和空间想象能力；【重点难点】重点：直线与平面平行的判定定理及应用。
难点：直线与平面平行的判定定理及应用。
【教学设想】【教学过程】备注一、复习回顾，引入课题1、复习：（提问）直线与平面的位置关系有哪些？分别用符号语言和图形语言来表示？（用课件展示图形，请学生根据图形用符号语言进行描述）(请学生演板)2、引入：在直线与平面的位置关系中，平行是一种非常重要的关系，它是空间线面位置关系的一种基本形态。
不仅应用较多，也是学习面面平行的基础，那么怎样判定直线与平面平行呢？(首先我们想到的是定义法，利用定义证明——即证明直线与平面没有公共点，但是直线是无限延伸的，平面是无限延展，如何保证直线与平面没有公共点呢？直接利用定义证明不方便，今天我们在定义的基础上来探讨判定直线与平面平行的方法，引出课题)二、观察实例，归纳结论设计三个活动活动1.观察1：生活中，我们注意到门扇的两边是平行的. 当门扇绕着一边转动时，观察门扇转动的一边l 与门框所在平面的位置关系如何？结论：平行活动2. 观察2：若将一本书平放在桌面上，封面的两边是平行的，翻动书的封面，观察封面边缘所在直线AB与桌面所在的平面具有怎样的位置关系？结论：平行活动3. 观察3：下面我们一起来做个游戏，拿两支笔（看成两条直线）使它们平行，一支不动，另一支沿一条直线平移得一平面，观察直线（不动的笔）与平面的位置关系。
结论：平行或直线在平面内（注意这种情况易忽略）（在三个实例的基础上，引导学生归纳结论）结论：如图，设直线b在平面α内，直线a在平面α外，在什么条件下直线a与平面α平行？结论：当a∥b，直线a与平面α平行（如果这个结论成立，我们就可以用线与线的平行关系来证明线与面的平行关系，下面我们一起来探索结论的证明方法。
三、推理论证，得到定理（为了减少证明的难度，证明过程分解成以下环节）思考1：如果平面α外的直线a与平面α内的一条直线b平行(1)直线a与直线b共面吗？若共面，则它们确定的平面与平面α位置关系(2) 直线a与平面α的位置关系有哪些？直线a与平面α能相交吗？5` 10`结论：（1）由于a∥b，故直线a与直线b确定一个平面β，且α∩β=b（2）由于a⊄α，故直线a与平面α相交或平行，所以不相交就平行（直接证明平行不方便，转换思路，我们只要能够否定直线与平面相交，不就肯定了直线与平面平行了吗？），（下一个问题：如何否定呢？我们常用反证法，假设直线与平面相交，推出矛盾，从而否定假设，肯定结论，这种方法叫做反证法）思考2：如果直线a与平面α相交，交点的位置能确定吗？由此你能得到什么结论？结论：如果直线a与平面α相交，交点就一定在直线b上，这与已知a∥b矛盾这是因为α∩β=b，（告诉学生，这种推理的方法叫做反证法）思考3：通过上述分析，我们可以得到判定直线与平面平行的一个定理，你能用文字语言表述出该定理的内容吗？（请学生根据探究的过程，自己归纳总结,教师适当的修正）定理: 若平面外一条直线与平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行.思考4：上述定理通常称为直线与平面平行的判定定理，该定理用符号语言可怎样表述？（大屏幕上给出图形，请学生结合图形用符号语言描述）思考5：直线与平面平行的判定定理的证明？证明：假设直线a与平面α有公共点P则点P∈b或点P∈b若点P∈b，则a∩b＝P，这与a∥b矛盾.若点P∈b，又b⊂α，a∩α＝P由于与平面相交的直线和这个平面内不过交点的直线是异面直线∴a、b异面，这与a∥b也矛盾综上所述，假设错误，故a∥α.（注：这种证明数学问题的方法叫做反证法，要求学生看懂即可，不要求学生自己证明）思考6：直线与平面平行的判定定理可简述“线线平行，则线面平行”，在实际应用中它有何理论作用？结论：把直线与平面的平行关系转化为直线与直线的平行关系，（师：这体现了我们解决立体几何问题的基本思想——空间问题平面化）定理的注解：注1：判定定理是证明直线与平面平行的重要方法；注2：能够运用定理的条件是要满足：面外、面内和平行注3：运用定理的关键是找平行线；找平行线又经常会用到三角形中位线定理或平行四边形的性质定理等证明线线平行的定理.四、应用定理，解决问题（典型例题）例1.在空间四边形ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，求证：EF//平面BCD.处理方法：由教师分析思路，学生在笔记本上整理过程，并用语言叙述（注意提醒学生应用定理的注意事项）15` 20` 25` 30`。
高中数学必修2《直线、平面平行的判定及其性质》教案
高中数学必修2《直线、平面平行的判定及其性质》教案一、知识与技能：1、理解并掌握直线与平面平行的性质定理;2、引导学生探究线面平行的问题可以转化为线线平行的问题，从而能够通过化归解决有关问题，进一步体会数学转化的思想。
二、过程与方法：通过直观观察、猜想研究线面平行的性质定理，培养学生的自主学习能力，发展学生的合情推理能力及逻辑论证能力。
三、情感、态度与价值观：培养学生主动探究知识、合作交流的意识，在体验数学转化过程中激发学生的学习兴趣，从而培养学生勤于动脑和动手的良好品质。
2重点难点教学重点:线与面平行的性质定理及其应用。
教学难点:线与面的性质定理的应用。
3教学过程3.1 第一学时教学活动活动1【导入】问题引入一、问题引入木工小刘在处理如图所示的一块木料，已知木料的棱BC∥平面A C .现在小刘要经过平面A C 内一点P和棱BC将木料锯开，却不知如何画线，你能帮助他解决这个问题吗?预设：(1)过P作一条直线平行于B C(2)过P作一条直线平行与BC。
(问题引入的目的在于激起学生对于这堂课的兴趣，带着问题学习目的性更强，效果也会更好。
)活动2【讲授】新课讲授二、知识回顾判定一条直线与一个平面平行的方法：1、定义法：直线与平面没有公共点。
2、判定定理法：平面外一条直线与平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。
(线线平行线面平行)三、知识探究(一)思考一：如果直线a与平面平行，那么直线a与平面内的直线有哪些位置关系?答：平行或异面。
思考2：若直线a与平面平行，那么在平面内与直线a平行的直线有多少条?这些直线的位置关系如何?答：无数条;平行。
思考3：如果直线a与平面平行，经过直线a的平面与平面相交于直线b，那么直线a、b的位置关系如何?为什么?答：平行;因为a∥，所以a与没有公共点，则a与b没有公共点，又a与b在同一平面内，所以a与b平行。
思考4：综上分析，在直线a与平面平行的条件下我们可以得到什么结论?答：如果一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行.(四个思考题的目的在于引导学生探究直线与平面平行的性质定理。
《直线与平面平行》教案
《直线与平面平行》教案知识目标：1. 掌握什么是平面与平面平行。
2. 掌握什么是直线与平面平行。
3. 理解直线与平面平行的充分必要条件。
能力目标：1. 能够用图形、文字等方式阐述平面与平面平行的概念。
2. 能够通过观察、实验等方式发现直线与平面平行的特点。
3. 能够利用直线与平面平行的性质解决问题。
情感目标：1. 培养学生观察和思维的创新能力。
2. 培养学生发现问题、解决问题的能力。
3. 培养学生学习数学的兴趣和态度。
教学重点：1. 直线与平面平行的概念。
2. 直线与平面平行的性质。
教具准备：1. 教材2. 黑板、彩色粉笔3. 直线、平面的模型4. 绘图工具教学过程：一、导入（5分钟）1. 谈论题：在建筑或城市规划中，我们经常要涉及平行的概念，那么平行是什么呢？2. 学生说出什么是平行，并用黑板上的直线示意图解释一下。
二、展示（10分钟）1. 展示一个平面模型，用黑板绘制一条线段，并让学生探究直线在平面中的位置。
2. 展示两个平面模型，让学生发现直线在两个平面中的位置，引导他们认识到平面与平面平行的概念。
3. 采用示意图解释平面与平面平行的概念，包括定义、性质等。
四、巩固（15分钟）1. 学生根据所学内容，完成相关练习题，并与同桌进行自我评估。
2. 引导学生解决生活中与直线与平面平行相关的实际问题。
3. 教师在黑板上演示实例，让学生跟随教师，掌握解题方法。
五、布置作业（5分钟）1. 出示相关作业，并让学生在下课前完成。
2. 强调作业的重要性，希望能够按时上交。
教学总结：1. 总结平面与平面平行、直线与平面平行的概念；2. 强调直线与平面平行的判断方法；3. 激发学生对于直线与平面平行的兴趣，提高学生的学习热情和积极性。
第三节 直线、平面平行的判定与性质 教案
第三节直线、平面平行的判定与性质核心素养立意下的命题导向1.结合立体几何的定义、公理，会推导直线和平面平行、平面和平面平行的判定定理和性质定理，凸显逻辑推理的核心素养．2．常与求几何体的体积计算相结合，会应用直线和平面平行、平面和平面平行的判定定理、性质定理证明空间的线、面平行关系，凸显直观想象、逻辑推理的核心素养．[理清主干知识]1．直线与平面平行(1)直线与平面平行的定义直线l与平面α没有公共点，则称直线l与平面α平行．(2)判定定理与性质定理文字语言图形表示符号表示判定定理平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线平行于此平面a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α性质定理一条直线和一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行a∥α，a⊂β，α∩β＝b⇒a∥b2.平面与平面平行(1)平面与平面平行的定义没有公共点的两个平面叫做平行平面．(2)判定定理与性质定理文字语言图形表示符号表示判定定理一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行a⊂α，b⊂α，a∩b＝P，a∥β，b∥β⇒α∥β性质定理两个平面平行，则其中一个平面内的直线平行于另一个平面α∥β，a⊂α⇒a∥β如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b3.谨记两个结论(1)垂直于同一条直线的两个平面平行，即若a⊥α，a⊥β，则α∥β.(2)平行于同一平面的两个平面平行，即若α∥β，β∥γ，则α∥γ.[澄清盲点误点]一、关键点练明1．(直线与平面平行的定义)如果直线a∥平面α，那么直线a与平面α内的()A．一条直线不相交B．两条直线不相交C．无数条直线不相交D．任意一条直线都不相交解析：选D因为a∥平面α，直线a与平面α无公共点，因此a和平面α内的任意一条直线都不相交，故选D.2．(面面平行的判定定理)设α，β是两个不同的平面，m是一条直线且m⊂α，“m∥β”是“α∥β”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选B当m∥β时，过m的平面α与β可能平行也可能相交，因而m∥βα∥β；当α∥β时，α内任一直线与β平行，因为m⊂α，所以m∥β.综上知，“m∥β”是“α∥β”的必要不充分条件．3．(平行关系的判定)已知m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题中正确的是()A．m∥α，n∥α，则m∥n B．m∥n，m∥α，则n∥αC．m⊥α，m⊥β，则α∥βD．α⊥γ，β⊥γ，则α∥β解析：选C A中，m与n平行、相交或异面，A不正确；B中，n∥α或n⊂α，B不正确；根据线面垂直的性质，C正确；D中，α∥β或α与β相交，D不正确．4．(面面平行的性质定理)设α，β，γ是三个不同的平面，a，b是两条不同的直线，有下列三个条件：①a∥γ，b⊂β；②a∥γ，b∥β；③b∥β，a⊂γ.如果命题“α∩β＝a，b⊂γ，且________，则a∥b”为真命题，则可以在横线处填入的条件是________(填序号)．解析：由面面平行的性质定理可知，①正确；当b∥β，a⊂γ时，a和b在同一平面内，且没有公共点，所以平行，③正确．故应填入的条件为①或③.答案：①或③二、易错点练清1．(忽视面面平行的条件)下列条件中，能判断两个平面平行的是()A．一个平面内的一条直线平行于另一个平面B．一个平面内的两条直线平行于另一个平面C．一个平面内有无数条直线平行于另一个平面D．一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面解析：选D由两个平面平行的判定定理可知，如果一个平面内的两条相交直线与另外一个平面平行，那么这两个平面平行．故可知D符合．2．(对空间平行关系相互转化的条件理解不到位)设m，l表示两条不同的直线，α表示平面，若m⊂α，则“l∥α”是“l∥m”的________条件．解析：由m⊂α，l∥α不能推出l∥m；由m⊂α，l∥m也不能推出l∥α，所以是既不充分也不必要条件．答案：既不充分也不必要3．(忽视线面平行的条件)(1)若直线a与平面α内无数条直线平行，则a与α的位置关系是______________．(2)已知直线a，b和平面α，β，若a⊂α，b⊂α，a∥β，b∥β，则α，β的位置关系是______________．(3)若α∥β，直线a∥α，则a与β的位置关系是___________________________________．解析：(1)由直线与平面平行的判定定理知，a可能平行于α，也可能在α内．(2)当a，b相交时，α∥β；当a，b平行时，α，β平行或相交．(3)当a在β外时，a∥β；当a在β内时，a∥α也成立．答案：(1)a∥α或a⊂α(2)平行或相交(3)a∥β或a⊂β考点一直线与平面平行的判定与性质考法(一)线面平行的判定[例1]如图所示，在空间几何体ABCDFE中，四边形ADFE是梯形，且EF∥AD，P，Q分别为棱BE，DF的中点．求证：PQ∥平面ABCD.[证明]法一：如图，取AE的中点G，连接PG，QG.在△ABE中，PB＝PE，AG＝GE，所以PG∥BA，又PG⊄平面ABCD，BA⊂平面ABCD，所以PG∥平面ABCD.在梯形ADFE中，DQ＝QF，AG＝GE，所以GQ∥AD，又GQ⊄平面ABCD，AD⊂平面ABCD，所以GQ∥平面ABCD.因为PG∩GQ＝G，PG⊂平面PQG，GQ⊂平面PQG，所以平面PQG∥平面ABCD.又PQ⊂平面PQG，所以PQ∥平面ABCD.法二：如图，连接EQ并延长，与AD的延长线交于点H，连接BH.因为EF∥DH，所以∠EFQ＝∠HDQ，又FQ＝QD，∠EQF＝∠DQH，所以△EFQ≌△HDQ，所以EQ＝QH.在△BEH中，BP＝PE，EQ＝QH，所以PQ∥BH.又PQ⊄平面ABCD，BH⊂平面ABCD，所以PQ∥平面ABCD.考法(二)线面平行的性质定理的应用[例2]如图所示，四边形ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH.求证：AP∥GH.[证明]如图所示，连接AC交BD于点O，连接MO，∵四边形ABCD是平行四边形，∴O是AC的中点，又M是PC的中点，∴AP∥MO.又MO⊂平面BMD，AP⊄平面BMD，∴AP∥平面BMD.∵平面PAHG∩平面BMD＝GH，且AP⊂平面PAHG，∴AP∥GH.[方法技巧]线面平行问题的解题关键(1)证明直线与平面平行的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，解题的思路是利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质，或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行．(2)应用线面平行性质定理的关键是确定交线的位置，有时需要经过已知直线作辅助平面来确定交线．[针对训练]如图，几何体E-ABCD是四棱锥，△ABD为正三角形，CB＝CD，EC⊥BD.(1)求证：BE＝DE；(2)若∠BCD＝120°，M为线段AE的中点，求证：DM∥平面BEC.证明：(1)如图，取BD的中点O，连接CO，EO.由于CB＝CD，所以CO⊥BD.又EC⊥BD，EC∩CO＝C，CO⊂平面EOC，EC⊂平面EOC，所以BD⊥平面EOC，因此BD⊥EO，又O为BD的中点，所以BE＝DE.(2)如图，取AB的中点N，连接DN，MN.因为M是AE的中点，N是AB的中点，所以MN∥BE.又MN⊄平面BEC，BE⊂平面BEC，所以MN∥平面BEC.因为△ABD为正三角形，所以∠BDN＝30°，又CB＝CD，∠BCD＝120°，因此∠CBD＝30°，所以DN∥BC.又DN⊄平面BEC，BC⊂平面BEC，所以DN∥平面BEC.又MN∩DN＝N，MN⊂平面DMN，DN⊂平面DMN，故平面DMN∥平面BEC，又DM⊂平面DMN，所以DM∥平面BEC.考点二平面与平面平行的判定与性质[典例]如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点，求证：(1)B，C，H，G四点共面；(2)平面EFA1∥平面BCHG.[证明](1)∵在△A1B1C1中，G，H分别是A1B1，A1C1的中点，∴GH∥B1C1.又∵B1C1∥BC，∴GH∥BC，∴GH与BC确定一个平面α，∴G，H，B，C∈α，∴B，C，H，G四点共面．(2)∵E，F分别是AB，AC的中点，∴EF∥BC，∵EF⊄平面BCHG，BC⊂平面BCHG，∴EF∥平面BCHG.易证A1G綊EB，∴四边形A1EBG是平行四边形，∴A1E∥GB.∵A1E⊄平面BCHG，GB⊂平面BCHG.∴A1E∥平面BCHG.∵A1E∩EF＝E，且A1E⊂平面EFA1，EF⊂平面EFA1，∴平面EFA1∥平面BCHG.[方法技巧]1．判定面面平行的主要方法(1)利用面面平行的判定定理．(2)线面垂直的性质(垂直于同一直线的两平面平行)．2．面面平行条件的应用(1)两平面平行，分析构造与之相交的第三个平面，交线平行．(2)两平面平行，其中一个平面内的任意一条直线与另一个平面平行．[提醒]利用面面平行的判定定理证明两平面平行，需要说明在一个平面内的两条直线是相交直线．[针对训练]1.如图是长方体被一平面截得的几何体，四边形EFGH为截面，则四边形EFGH的形状为________．解析：∵平面ABFE∥平面DCGH，平面EFGH∩平面ABFE＝EF，平面EFGH∩平面DCGH＝HG，∴EF∥HG.同理，EH∥FG，∴四边形EFGH 是平行四边形． 答案：平行四边形2.如图，在四棱锥P -ABCD 中，平面PAD ⊥平面ABCD ，PA ＝PD ，AB ＝AD ，PA ⊥PD ，AD ⊥CD ，∠BAD ＝60°，M ，N 分别为AD ，PA 的中点．(1)证明：平面BMN ∥平面PCD ； (2)若AD ＝6，求三棱锥P -BMN 的体积． 解：(1)证明：如图，连接BD . ∵AB ＝AD ，∠BAD ＝60°， ∴△ABD 为正三角形． ∵M 为AD 的中点，∴BM ⊥AD .∵AD ⊥CD ，CD ⊂平面ABCD ，BM ⊂平面ABCD ， ∴BM ∥CD .又BM ⊄平面PCD ，CD ⊂平面PCD ， ∴BM ∥平面PCD .∵M ，N 分别为AD ，PA 的中点，∴MN ∥PD . 又MN ⊄平面PCD ，PD ⊂平面PCD ， ∴MN ∥平面PCD .又BM ⊂平面BMN ，MN ⊂平面BMN ，BM ∩MN ＝M ， ∴平面BMN ∥平面PCD . (2)在(1)中已证BM ⊥AD . ∵平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ∩平面ABCD ＝AD ，BM ⊂平面ABCD ， ∴BM ⊥平面PAD .又AD ＝6，∠BAD ＝60°，∴BM ＝3 3. ∵M ，N 分别为AD ，PA 的中点，PA ＝PD ＝22AD ＝32， ∴S △PMN ＝14S △PAD ＝14×12×(32)2＝94.∴V P -BMN ＝V B -PMN ＝13S △PMN ·BM ＝13×94×33＝934.考点三 平行关系的综合[典例] 如图所示，平面α∥平面β，点A ∈α，点C ∈α，点B ∈β，点D ∈β，点E ，F 分别在线段AB ，CD 上，且AE ∶EB ＝CF ∶FD . (1)求证：EF ∥平面β；(2)若E ，F 分别是AB ，CD 的中点，AC ＝4，BD ＝6，且AC ，BD 所成的角为60°，求EF 的长．[解] (1)证明：①当AB ，CD 在同一平面内时，由平面α∥平面β，平面α∩平面ABDC ＝AC ，平面β∩平面ABDC ＝BD 知，AC ∥BD . ∵AE ∶EB ＝CF ∶FD ，∴EF ∥BD . 又EF ⊄β，BD ⊂β，∴EF ∥平面β.②当AB 与CD 异面时，如图所示，设平面ACD ∩平面β＝HD ， 且HD ＝AC ， ∵平面α∥平面β， 平面α∩平面ACDH ＝AC ， ∴AC ∥HD ，∴四边形ACDH 是平行四边形．在AH 上取一点G ，使AG ∶GH ＝CF ∶FD ， 连接EG ，FG ，BH .∵AE ∶EB ＝CF ∶FD ＝AG ∶GH ， ∴GF ∥HD ，EG ∥BH .又EG ∩GF ＝G ，BH ∩HD ＝H ， ∴平面EFG ∥平面β.又EF ⊂平面EFG ，∴EF ∥平面β. 综合①②可知，EF ∥平面β.(2)如图所示，连接AD ，取AD 的中点M ，连接ME ，MF . ∵E ，F 分别是AB ，CD 的中点， ∴ME ∥BD ，MF ∥AC ， 且ME ＝12BD ＝3，MF ＝12AC ＝2.∴∠EMF 为AC 与BD 所成的角或其补角， ∴∠EMF ＝60°或120°. ∴在△EFM 中，由余弦定理得EF ＝ME 2＋MF 2－2ME ·MF ·cos ∠EMF ＝32＋22±2×3×2×12＝13±6，即EF ＝7或EF ＝19. [方法技巧]利用线面平行或面面平行的性质，可以实现与线线平行的转化，尤其在截面图的画法中，常用来确定交线的位置．对于线段长或线段比例问题，常用平行线对应线段成比例或相似三角形来解决．[针对训练] 如图，在四棱锥P -ABCD 中，PD ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是矩形，E ，F ，G 分别是棱BC ，AD ，PA 的中点． (1)求证：PE ∥平面BFG ；(2)若PD ＝AD ＝1，AB ＝2，求点C 到平面BFG 的距离． 解：(1)证明：如图，连接DE .∵在矩形ABCD 中，E ，F 分别是棱BC ，AD 的中点， ∴DF ＝BE ，DF ∥BE ，∴四边形BEDF 是平行四边形，∴DE ∥BF . ∵G 是PA 的中点，∴FG ∥PD .∵PD ⊄平面BFG ，DE ⊄平面BFG ，FG ⊂平面BFG ， BF ⊂平面BFG ，∴PD ∥平面BFG ，DE ∥平面BFG . 又PD ∩DE ＝D ，∴平面PDE ∥平面BFG . ∵PE ⊂平面PDE ，∴PE ∥平面BFG .(2)法一：∵PD ⊥平面ABCD ，FG ∥PD ，∴FG ⊥平面ABCD . 过点C 在平面ABCD 内，作CM ⊥BF ，垂足为M ，则FG ⊥CM . ∵FG ∩BF ＝F ，∴CM ⊥平面BFG ， ∴线段CM 的长是点C 到平面BFG 的距离．在矩形ABCD 中，∵F 是AD 的中点，AD ＝1，AB ＝2，△BCM ∽△FBA ， ∴CM BA ＝BC FB. ∵FB ＝AB 2＋AF 2＝172，BC ＝AD ＝1， ∴CM ＝41717，即点C 到平面BFG 的距离为41717.法二：设点C 到平面BFG 的距离为d . 在矩形ABCD 中，AF ＝12AD ＝12，AB ＝2，∴BF ＝14＋4＝172. ∵PD ⊥平面ABCD ，BF ⊂平面ABCD ，∴PD ⊥BF .∵FG ∥PD ，∴FG ⊥BF ，又FG ＝12PD ＝12，∴△BFG 的面积为12BF ·FG ＝178.∵△BCF 的面积为12BC ·AB ＝1，V C -BFG ＝V G -BCF ， ∴13×178d ＝13×1×12，解得d ＝41717， 即点C 到平面BFG 的距离为41717.创新考查方式——领悟高考新动向1.如图，已知底面边长为3且高为1的正三棱柱ABC -A 1B 1C 1，过顶点A 作平面α与侧面BCC 1B 1交于EF ，且EF ∥BC ，若∠FAB ＝x ⎝⎛⎭⎫0<x ≤π6，四边形BCEF 的面积为y ，则函数y ＝f (x )的图象大致是( )解析：选C 由题意得，在Rt △ABF 中，BF ＝AB tan x ，所以y ＝f (x )＝BC ·BF ＝BC ·AB tan x ＝3tan x ⎝⎛⎭⎫0<x ≤π6.由正切函数的图象及性质，可得C 正确．2．(多选)如图，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1，E ，F 是线段B 1D 1上的两个动点，且EF ＝22，以下结论正确的为( ) A ．AC ⊥BFB ．三棱锥A -BEF 的体积为定值C ．EF ∥平面ABCDD ．异面直线AE ，BF 所成的角为定值解析：选ABC 对于A ，∵ABCD -A 1B 1C 1D 1为正方体，易得AC ⊥平面BDD 1B 1， ∵BF ⊂平面BDD 1B 1，∴AC ⊥BF ，故A 正确；对于B ，∵E ，F ，B 在平面BDD 1B 1上，∴A 到平面BEF 的距离为定值，∵EF ＝22，又B 到直线EF 的距离为1，∴△BEF 的面积为定值，∴三棱锥A -BEF 的体积为定值，故B 正确； 对于C ，∵EF ∥BD ，BD ⊂平面ABCD ，EF⊄平面ABCD，∴EF∥平面ABCD，故C正确；对于D，设上底面中心为O，当F与B1重合时，E与O重合，易知两异面直线所成的角是∠A1AO；当E与D1重合时，F与O重合，连接BC1，易知两异面直线所成的角是∠OBC1，可知，这两个角不相等，故异面直线AE，BF所成的角不为定值，故D错误．3.如图所示，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G，H分别是棱CC1，C1D1，D1D，DC的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M只需满足条件______________时，就有MN∥平面B1BDD1.(注：请填上你认为正确的一个条件即可，不必考虑全部可能情况)解析：如图，连接HN，FH，FN，则FH∥D1D，HN∥BD，∵FH∩HN＝H，D1D∩BD＝D，∴平面FNH∥平面B1BDD1，若M∈FH，则MN⊂平面FNH，∴MN∥平面B1BDD1.答案：点M在线段FH上(或点M与点H重合)4．(2021·福建漳州适应性测试)已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为3，点N是棱A1B1的中点，点T是棱CC1上靠近点C的三等分点，动点Q在正方形D1DAA1(包含边界)内运动，且QB∥平面D1NT，则动点Q所形成的轨迹的长为________．解析：由于QB∥平面D1NT，所以点Q在过B且与平面D1NT平行的平面上，如图，取DC的中点E1，取线段AA1上一点G，使A1G＝1，易证平面BGE1∥平面D1NT.延长BE1，AD，交于点E，连接EG，交DD1于点I，显然，平面BGE∩正方形D1DAA1＝GI，所以点Q的轨迹是线段GI，易求得GI＝10.答案：105．在三棱锥P-ABC中，PB＝6，AC＝3，G为△PAC的重心，过点G作三棱锥的一个截面，使截面平行于PB和AC，则截面的周长为________．解析：如图，过点G作EF∥AC，分别交PA，PC于点E，F，过E，F分别作EN∥PB，FM∥PB，分别交AB，BC于点N，M，连接MN，则四边形EFMN是平行四边形(面EFMN为所求截面)，且EF＝MN＝23AC＝2，FM＝EN＝13PB＝2，所以截面的周长为2×4＝8.答案：8[课时跟踪检测]1．(多选)已知直线a，b，l，平面α，β，则下列命题中错误的选项为() A．若α⊥β，l⊥α，则l∥βB．若a⊥l，b⊥l，则a∥b C．若α⊥β，l⊂α，则l⊥βD．若l⊥α，l⊥β，则α∥β解析：选ABC对于A，由α⊥β，l⊥α，可知l⊂β或l∥β，故A错误；对于B，当a⊥l，b⊥l时，直线a与b可能平行，也可能相交，还可能异面，故B错误；对于C，当α⊥β，l⊂α时，l可能与平面β平行，也可能斜交，故C错误；对于D，垂直于同一条直线的两个平面互相平行，故D正确．2．(多选)已知α，β，γ是三个不重合的平面，l是直线．给出下列命题，其中正确的命题是()A．若l上两点到α的距离相等，则l∥αB．若l⊥α，l∥β，则α⊥βC．若α∥β，l⊄β，且l∥α，则l∥βD．若m⊥α，n⊥β，且α⊥β，则m∥n解析：选BC对于A，若直线l在平面α内，l上有两点到α的距离为0，相等，此时l不与α平行，所以A错误；对于B，因为l∥β，所以存在直线m⊂β使得l∥m，因为l⊥α，所以m⊥α，又m⊂β，所以β⊥α，所以B正确；对于C，l∥α，故存在m⊂α使得l∥m，因为α∥β，所以m∥β，因为l∥m，l⊄β，所以l∥β，C正确；对于D，因为m⊥α，n⊥β，α⊥β，所以m⊥n，所以D错误，故选B、C.3．(2021·潍坊期中)m，n是平面α外的两条直线，在m∥α的前提下，m∥n是n∥α的() A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A由已知条件m∥α，结合线面平行的性质定理可得，过直线m作一平面β交α于直线l，则m∥l，从而存在l⊂α有m∥l，再由m∥n可得n∥l，从而有n∥α.反之，不一定成立，m，n可能相交、平行或异面．所以m∥n是n∥α的充分不必要条件，故选A. 4．若平面β截三棱锥所得的截面为平行四边形，则该三棱锥的所有棱中与平面β平行的棱有()A．0条B．1条C．2条D．1条或2条解析：选C如图所示，四边形EFGH为平行四边形，则EF∥GH.∵EF⊄平面BCD，GH⊂平面BCD，∴EF∥平面BCD，又∵EF⊂平面ACD，平面ACD∩平面BCD＝CD，∴EF∥CD.又EF⊂平面EFGH，CD⊄平面EFGH，∴CD∥平面EFGH.同理，AB∥平面EFGH.故有2条棱与平面EFGH平行．因此选C. 5．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不重合的平面，有以下四个命题：①若m∥α，n∥β且α∥β，则m∥n；②若m⊥α，n⊥β且α⊥β，则m⊥n；③若m⊥α，n∥β且α∥β，则m⊥n；④若m∥α，n⊥β且α⊥β，则m∥n.其中真命题的序号是()A．②③B．③④C．①④D．①②解析：选A对于命题①，直线m，n可以相交、平行或异面，故是错误的；易知②③正确；对于命题④，直线m，n可以相交、平行或异面，故是错误的．故选A.6．已知平面α⊥平面β，α∩β＝l，点A∈α，A∉l，直线AB∥l，直线AC⊥l，直线m∥α，m∥β，则下列四种位置关系中，不一定成立的是()A．AB∥m B．AC⊥mC．AB∥βD．AC⊥β解析：选D m∥α，m∥β，则有m∥l，又AB∥l，所以AB∥m，所以A成立；由于m∥l，l⊥AC，所以m⊥AC，所以B成立；AB∥l，且A∈α，A∉l，α∩β＝l，所以AB∥β，所以C成立；C点可以在平面β内，AC与直线l异面垂直，如图所示，此时AC⊥β不成立，所以D不一定成立．7.如图所示，三棱柱ABC-A1B1C1的侧面BCC1B1是菱形，设D是A1C1上的点且A1B∥平面B1CD，则A1D∶DC1的值为________．解析：如图，设BC1∩B1C＝O，连接OD.∵A1B∥平面B1CD且平面A1BC1∩平面B1CD＝OD，∴A1B∥OD，∵四边形BCC1B1是菱形，∴O为BC1的中点，∴D为A1C1的中点，则A1D∶DC1＝1.答案：18．(2021·苏州调研)设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出下列四个命题：①若m⊂α，n∥α，则m∥n；②若α∥β，β∥γ，m⊥α，则m⊥γ；③若α∩β＝n，m∥n，m∥α，则m∥β；④若m∥α，n∥β，m∥n，则α∥β.其中是真命题的是________(填序号)．解析：①m∥n或m，n异面，故①错误；易知②正确；③m∥β或m⊂β，故③错误；④α∥β或α与β相交，故④错误．答案：②9．下列四个正方体图形中，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N ，P 分别为其所在棱的中点，能得出AB ∥平面MNP 的图形的序号是________．解析：①中，易知NP ∥AA ′，MN ∥A ′B ，∴平面MNP ∥平面AA ′B ，可得出AB ∥平面MNP (如图)． ④中，NP ∥AB ，能得出AB ∥平面MNP . 在②③中不能判定AB ∥平面MNP . 答案：①④10.(2021·武汉模拟)如图，已知四棱锥P -ABCD 的底面ABCD 是平行四边形，侧面PAB ⊥平面ABCD ，E 是棱PA 的中点． (1)求证：PC ∥平面BDE ；(2)平面BDE 分此棱锥为两部分，求这两部分的体积比．解：(1)证明：在平行四边形ABCD 中，连接AC ，设AC ，BD 的交点为O (图略)，则O 是AC 的中点．又E 是PA 的中点，连接EO ，则EO 是△PAC 的中位线，所以PC ∥EO ，又EO ⊂平面EBD ，PC ⊄平面EBD ，所以PC ∥平面EBD .(2)设三棱锥E -ABD 的体积为V 1，高为h ，四棱锥P -ABCD 的体积为V ， 则三棱锥E -ABD 的体积V 1＝13×S △ABD ×h ，因为E 是PA 的中点，所以四棱锥P -ABCD 的高为2h ，所以四棱锥P -ABCD 的体积V ＝13×S四边形ABCD×2h ＝4×13S △ABD ×h ＝4V 1，所以(V －V 1)∶V 1＝3∶1，所以平面BDE 分此棱锥得到的两部分的体积比为3∶1或1∶3. 11.如图，ABCD 与ADEF 均为平行四边形，M ，N ，G 分别是AB ，AD ，EF 的中点．求证： (1)BE ∥平面DMF ； (2)平面BDE ∥平面MNG . 证明：(1)如图，连接AE ， 则AE 必过DF 与GN 的交点O ，连接MO ，则MO 为△ABE 的中位线，所以BE ∥MO . 又BE ⊄平面DMF ， MO ⊂平面DMF ， 所以BE ∥平面DMF .(2)因为N ，G 分别为平行四边形ADEF 的边AD ，EF 的中点，所以DE ∥GN ， 又DE ⊄平面MNG ，GN ⊂平面MNG ， 所以DE ∥平面MNG .又M 为AB 的中点， 所以MN 为△ABD 的中位线，所以BD ∥MN ， 又MN ⊂平面MNG ，BD ⊄平面MNG ， 所以BD ∥平面MNG ，又DE ⊂平面BDE ，BD ⊂平面BDE ，DE ∩BD ＝D ， 所以平面BDE ∥平面MNG .12．如图，在四边形ABCD 中，AB ⊥AD ，AD ∥BC ，AD ＝6，BC ＝4，E ，F 分别在BC ，AD 上，EF ∥AB .现将四边形ABCD 沿EF 折起，使平面ABEF ⊥平面EFDC .若BE ＝1，在折叠后的线段AD 上是否存在一点P ，且AP ＝λPD ，使得CP ∥平面ABEF ？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．解：AD 上存在一点P ，使得CP ∥平面ABEF ，此时λ＝32.理由如下：当λ＝32时，AP ＝32PD ，可知AP AD ＝35，如图，过点P 作MP ∥FD 交AF 于点M ，连接EM ，PC ， 则有MP FD ＝AP AD ＝35，又BE ＝1，可得FD ＝5， 故MP ＝3，又EC ＝3，MP ∥FD ∥EC ，故有MP 綊EC ， 故四边形MPCE 为平行四边形，所以CP ∥ME ， 又ME ⊂平面ABEF ，CP ⊄平面ABEF ， 故有CP ∥平面ABEF .。
直线与平面平行的性质定理(公开课教案设计)
2.2.3 直线与平面平行的性质时间： 地点：高二（ ）班 授课人：一、教学目标 1.知识与技能通过教师的适当引导和学生的自主学习，使学生由直观感知获得猜想，经过逻辑论证，推导出直线与平面平行的性质定理，并掌握这一定理． 2.过程与方法(1)通过直观感知和操作确认的方法，发展几何直觉、运用图形语言进行交流的能力； (2)体会和感受通过自己的观察、操作等活动进行合情推理发现并获得数学结论的过程； (3)通过直线与平面平行的性质定理的实际应用，让学生体会定理的现实意义与重要性． 3.情感、态度与价值观通过主动参与、积极探究的学习过程，提高学生学习数学的自信心和积极性，培养合作意识和交流能力，领悟化归与转化的数学思想，提高学生分析、解决问题的能力． 二、教学重点与难点教学重点：直线与平面平行的性质定理．教学难点：综合应用线面平行的判定定理和性质定理． 三、授课类型：新授课 四、教学方法：师生合作探究 五、教具准备：三角板、小黑板 六、课时安排：1课时 七、教学过程教学内容师生互动 【回顾旧知】1.直线与平面的位置关系；线在面内；线面平行、线面相交（统称为“线在面外”） 2.直线与平面平行判定定理的内容.通过复习直线与平面平行的判定定理，温故而知新，为后面线线平行与线面平行的相互转化做铺垫．ααα////a b a b a ⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊂⊄【新课引入】思考：1.如果一条直线a 与平面α平行，那么这条直线与这个平面内的直线有哪些位置关系？2.在平面α内，哪些直线与直线a 平行？3.在什么条件下，平面α内的直线与直线a 平行呢？ 通过演示实验，让学生观察、发现规律，并对发现的结论进行归纳.引导学生结合直观感知，层层递进，逐步探索，体会数学结论的发现过程．学生根据问题进行直观感知，进而提出合理猜想．并逐步探索，认真思考，画出相应图形，进行观察、感知、猜想．发现：过直线a 的某一平面，若与平面α相交，则直线a 就平行于这条交线. 已知：//a α，a β⊂，b αβ=．求证：//a b ．证明：因为 b αβ=，所以 b α⊂．又因为 //a α， 所以 a 与b 无公共点． 又因为ββ⊂⊂b a ,， 所以 b a //．引导学生得出猜想，形成经验性结论，体会与感受数学结论的发现与形成过程：直观感知→操作确认→逻辑证明→形成经验．要求学生用语言描述发现的结论，并给出证明．【直线与平面平行的性质定理】一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行．b a b a a ////⇒⎪⎭⎪⎬⎫=⊂βαβα要求学生总结归纳，并能用文字语言、符号语言图形语言描述直线与平面平行的性质定理，为学生正确使用定理打下基础．【定理探微】1.定理可以作为直线与直线平行的判定方法；2.定理中三个条件缺一不可．．．．； 3.提供了过已知平面内一点作与该平面的平行线相平行的直线的方法，即：辅助平面法．明确定理的条件和结论及定理的用途．【例题讲解】例1（教材P59例3） 如图所示的一块木料中，棱BC 平行于面''A C ． （1）要经过面''A C 内的一点P 和棱BC 将木料锯开，应怎样画线？（2）所画的线与平面AC 是什么位置关系？ ★思路点拔1．怎样确定截面？过点P 所画的线应怎样画？ 2．“线面平行” 与“线线平行”之间有怎样的联系？ ★解答过程 解：（1）在平面''A C 内，过点P 作直线EF ，使//''EF B C ，并分别交棱''A B ，''C D 于点E ，F ．连接BE ，CF ，则EF ，BE ，CF 就是应画的线． （2）因为棱BC 平行于平面''A C ，平面'BC 与平面''A C 交于''B C ，所以//''BC B C ，由（1）知，//''EF B C ，所以，//EF BC ，因此引导学生分析画截面的关键是确定截面与上底面的交线，怎样过P 点作BC 的平行线是作图的难点．学生经过认真思考，运用所学知识找到作图方法，体会到解决问题后成功的喜悦，认识到数学来源于实践又反过来为实践服务，加强用数学的意识．////EF BCEF AC EF AC BC AC ⎫⎪⊄⇒⎬⎪⊂⎭平面平面平面BE ，CF 显然都与平面AC 相交．思想方法：例2（教材P59例4）已知平面外的两条平行直线中的一条平行于这个平面，求证：另一条也平行于这个平面． ★思路点拔1．文字性命题的解题步骤是什么? 2．“线面平行”与“线线平行”之间有怎样的联系？ ★解答过程已知：如图所示,已知直线a 、b ，平面α， 且//a b ，//a α，a α⊄，b α⊄． 求证：//b α． 证明：过a 作平面β，使c αβ=．因为//a α，a β⊂，c αβ=，所以//a c ．又因为//a b ，所以//b c ．因为c α⊂，b α⊄，所以//b α．引导学生分析问题的条件与结论，并结合图形写出己知和求证．通过分析寻找解题途径．本题的解题关键是实现线线平行与线面平行的转化．通过教师的板书，规范解题步骤与格式． 【课堂练习】1.如图，α∩β=CD ，α∩γ=EF ，β∩γ=AB ，AB ∥α 求证：CD ∥EF ．学生独立完成练习l ，检查学习效果，使学生掌握证明线面平行问题的方法、步骤与格式，提高综合运用所学知识的能力．。
直线、平面平行的判定及性质教案
直线、平面平行的判定及性质适用学科 数学 适用年级高二适用区域 新课标 课时时长（分钟）60 知识点线面平行的判定 面面平行的判定 线面平行的性质 面面平行的性质 平行关系的综合应用教学目标1．以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行的有关性质与判定定理．2．能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的平行关系的简单命题．教学重点 线与面、面与面平行关系的判定与性质定理 教学难点线与面、面与面平行关系的判定与性质定理教学过程一、复习预习 教师引导学生复习上节内容，并引入本节课程内容二、知识讲解考点/易错点1 直线与平面平行的判定定理文字语言 图形语言符号语言符号语言判定定理平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则直线与此平面平行þïýïüa ⊄αb ⊂αb ∥a ⇒a ∥α考点/易错点2 直线与平面平行的性质定理文字语言 图形语言符号语言符号语言性质定理 一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行þïýïüa ∥αa ⊂βα∩β＝b ⇒a ∥b考点/易错点3 平面与平面平行的判定定理文字语言图形语言符号语言符号语言判定定理一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行þïýïüa ⊂αb ⊂αa ∩b ＝P a ∥βb ∥β⇒α∥β考点/易错点4 平面与平面平行的性质定理文字语言 图形语言符号语言符号语言性质定理如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行þïýïüα∥βα∩γ＝a β∩γ＝b ⇒a ∥b三、例题精析【例题1】【题干】(1)已知直线l ∥平面α，P ∈α，那么过点P 且平行于直线l 的直线( ) A ．只有一条，不在平面α内 B ．有无数条，不一定在平面α内 C ．只有一条，且在平面α内 D ．有无数条，一定在平面α内(2)已知m ，n ，l1，l 2表示直线，α，β表示平面．若m ⊂α，n ⊂α，l 1⊂β，l2⊂β，l 1∩l 2＝M ，则α∥β的一个充分条件是( ) A ．m ∥β且l 1∥αB ．m ∥β且n ∥βC ．m ∥β且n ∥l 2D ．m ∥l 1且n ∥l 2【答案】 (1) C (2)D 【解析】(1) 由直线l 与点P 可确定一个平面β，且平面α，β有公共点，有公共点，因此因此它们有一条公共直线，设该公共直线为m ，因为l ∥α，所以l ∥m ，故过点P 且平行于直线l 的直线只有一条，且在平面α内(2) 由定理“如果一个平面内有两条相交直线分别与另一个平面平行，那么【解析】(1)因为MB∥NC，MB⊄平面DNC，NC⊂平面DNC，所以MB∥平面DNC. 又因为四边形AMND为矩形，所以MA∥DN. 又MA⊄平面DNC，DN⊂平面DNC. 所以MA∥平面DNC. 又MA∩MB＝M，且MA，MB⊂平面AMB，所以平面AMB∥平面DNC. (2)因为四边形AMND是矩形，所以AM⊥MN. 因为平面AMND⊥平面MBCN，且平面AMND∩平面MBCN＝MN，所以AM⊥平面MBCN. 因为BC⊂平面MBCN，所以AM⊥BC. 因为MC⊥BC，MC∩AM＝M，所以BC⊥平面AMC. 因为AC⊂平面AMC，所以BC⊥AC.四、课堂运用【基础】1．已知直线m⊥平面α，直线n⊂平面β，则下列命题正确的是() A．若n∥α，则α∥β B．若α⊥β，则m∥nC．若m⊥n，则α∥βD．若α∥β，则m⊥n 解析：选D由m⊥α，α∥β，n⊂β⇒m⊥n. 2.如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为棱AB，CC1的中点，的中点， 在平面ADD1A1内且与平面D1EF平行的直线() A．不存在．不存在 B．有1条C．有2条D．有无数条．有无数条解析：选D由题设知平面ADD1A1与平面D1EF有公共点D1，由平面的基本性质中的公理知必有过该点的公共直线l，在平面ADD1A1内与l平行的线有无数条，且它们都不在平面D1EF内，由线面平行的判定定理知它们都与平面D1EF 平行．平行．3.如图所示，在空间四边形ABCD中，E，F分别为边AB，AD上的点，且AE∶EB＝AF∶FD＝1∶4，又H、G分别为BC，CD的中点，则() A．BD∥平面EFGH，且四边形EFGH是矩形是矩形B．EF∥平面BCD，且四边形EFGH是梯形是梯形C．HG∥平面ABD，且四边形EFGH是菱形是菱形D．EH∥平面ADC，且四边形EFGH是平行四边形是平行四边形解析：选B由AE∶EB＝AF∶FD＝1∶4知EF綊15BD，∴EF∥面BCD.又H，G分别为BC，CD的中点，的中点，∴HG綊12BD，∴EF∥HG且EF≠HG. ∴四边形EFGH是梯形．是梯形．4．设a，b为空间的两条直线，α，β为空间的两个平面，给出下列命题：为空间的两个平面，给出下列命题：①若a∥α，a∥β，则α∥β；②若a⊥α，a⊥β，则α∥β；③若a∥α，b∥α，则a∥b；④若a⊥α，b⊥α，则a∥b. 上述命题中，所有真命题的序号是________．解析：①错误．因为α与β可能相交；③错误．因为直线a与b还可能异面、相交．答案：②④②④5．下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，能得出直线AB∥平面MNP的图形的序号是________．(写出所有符合要求的图形序号) 解析：对于①，注意到该正方体的经过直线AB的侧面与平面MNP平行，注意到直线AB和过点A的一个与平面对于②，注意到直线因此直线AB平行于平面MNP；对于②，MNP平行的平面相交，因此直线AB与平面MNP相交；对于③，注意到直线AB 与MP平行，且直线AB位于平面MNP外，因此直线AB与平面MNP平行；对于④，易知此时AB与平面MNP相交．综上所述，能得出直线AB平行于平面MNP的图形的序号是①③. 答案：①③①③【巩固】1．若平面α∥平面β，直线a∥平面α，点B∈β，则在平面β内与过B点的所有直线中() A．不一定存在与a平行的直线平行的直线B．只有两条与a平行的直线平行的直线C．存在无数条与a平行的直线平行的直线D．存在唯一与a平行的直线平行的直线解析：选A当直线a在平面β内且经过B点时，可使a∥平面α，但这时在平面β内过B点的所有直线中，不存在与a平行的直线，而在其他情况下，都可以存在与a平行的直线．平行的直线．2．如图，FD垂直于矩形ABCD所在平面，CE∥DF，∠DEF＝90°90°. . (1)求证：BE∥平面ADF；(2)若矩形ABCD的一边AB＝3，EF＝23，则另一边BC的长为何值时，三棱锥F－BDE的体积为3？解：(1)证明：过点E作CD的平行线交DF于点M，连接AM. 因为CE∥DF，所以四边形CEMD是平行四边形．可得EM＝CD且EM∥CD，于是四边形BEMA也是平行四边形，所以有BE∥AM. 而AM⊂平面ADF，BE⊄平面ADF，所以BE∥平面ADF. (2)由EF＝23，EM＝AB＝3，得FM＝3且∠MFE＝30°30°. . 由∠DEF＝90°可得FD＝4，从而得DE＝2. 因为BC⊥CD，BC⊥FD，所以BC⊥平面CDFE. 所以，V F－BDE＝V B－DEF＝13S△DEF×BC. 因为S△DEF ＝12DE×EF＝23，V F－BDE＝3，所以BC＝3 2. 综上当BC＝32时，三棱锥F－BDE的体积为 3. 【拔高】1．已知m，n，l为三条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列命题中正确的是() A．α∥β，m⊂α，n⊂β⇒m∥n B．l⊥β，α⊥β⇒l∥αC．m⊥α，m⊥n⇒n∥αD．α∥β，l⊥α⇒l⊥β解析：选D对于选项A，m，n平行或异面；对于选项B，可能出现l⊂α这种情形；对于选项C，可能出现n⊂α这种情形．这种情形．2.如图，三棱柱ABC－A1B1C1，底面为正三角形，侧棱A1A⊥底面ABC，点E，F分别是棱CC1，BB1上的点，点M是线段AC上的动点，EC＝2FB. 当点M在何位置时，BM∥平面AEF?解：法一：如图，取AE的中点O，连接OF，过点O作OM⊥AC于点M. ∵侧棱A1A⊥底面ABC，∴侧面A 1ACC 1⊥底面ABC ， ∴OM ⊥底面ABC . 又∵EC ＝2FB ，∴OM 綊FB 綊12EC . ∴四边形OMBF 为矩形． ∴BM ∥OF . 又∵OF ⊂面AEF ，BM ⊄面AEF . 故BM ∥平面AEF ，此时点M 为AC 的中点．法二：如图，取EC 的中点P ，AC 的中点Q ，连接PQ ，PB ，BQ ，∴PQ ∥AE .∵EC ＝2FB ， ∴PE 綊BF ，PB ∥EF ，∴PQ ∥平面AEF ，PB ∥平面AEF . 又PQ ∩PB ＝P ， ∴平面PBQ ∥平面AEF ，又∵BQ ⊂面PQB ，∴BQ ∥平面AEF . 故点Q 即为所求的点M ，此时点M 为AC 的中点．课程小结1.1.平行问题的转化关系：平行问题的转化关系：平行问题的转化关系： 线∥线判定判定性质线∥面――→判定性质面∥面性质性质 2．在解决线面、面面平行的判定时，一般遵循从“低维”到“高维”的转化，化，即从“线线平行”到“线面平行”，即从“线线平行”到“线面平行”，即从“线线平行”到“线面平行”，再到“面面平行”；再到“面面平行”；再到“面面平行”；而在性质定理的应而在性质定理的应用中，其顺序恰好相反，但也要注意，转化的方向总是由题目的具体条件而定，决不可过于“模式化”．决不可过于“模式化”．3．辅助线．辅助线((面)是求证平行问题的关键，注意平面几何中位线，平行四边形及相似中有关平行性质的应用．及相似中有关平行性质的应用．课后作业【基础】1．平面α∥平面β的一个充分条件是( ) A ．存在一条直线a ，a ∥α，a ∥β B ．存在一条直线a ，a ⊂α，a ∥βC ．存在两条平行直线a ，b ，a ⊂α，b ⊂β，a ∥β，b ∥αD ．存在两条异面直线a ，b ，a ⊂α，b ⊂β，a ∥β，b ∥α解析：选D 若α∩β＝l ，a ∥l ，a ⊄α，a ⊄β，a ∥α，a ∥β，故排除A.若α∩β＝l ，a ⊂α，a ∥l ，则a ∥β，故排除B.若α∩β＝l ，a ⊂α，a ∥l ，b ⊂β，b ∥l ，则α∥β，b ∥α，故排除C. 2．(2012·浙江模拟)已知α，β，γ是三个不重合的平面，a ，b 是两条不重合的直线，有下列三个条件：①a ∥γ，b ⊂β；②a ∥γ，b ∥β；③b ∥β，a ⊂γ.如果命题“α∩β＝a ，b ⊂γ，且________，则a ∥b ”为真命题，则可以在横线处填入的条件是( ) A ．①或②．①或②B ．②或③．②或③C ．①或③．①或③D ．只有②．只有②解析：选C 由定理“一条直线与一个平面平行，由定理“一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行”可得，横线处可填入条件①或③，结合各选项知，选C. 3．在空间内，设l ，m ，n 是三条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题中为假命题的是( ) A ．α⊥γ，β⊥γ，α∩β＝l ，则l ⊥γB ．l ∥α，l ∥β，α∩β＝m ，则l ∥mC ．α∩β＝l ，β∩γ＝m ，γ∩α＝n ，l ∥m ，则l ∥nD ．α⊥γ，β⊥γ，则α⊥β或α∥β解析：选D 对于A ，∵如果两个相交平面均垂直于第三个平面，那么它们的交线垂直于第三个平面，∴该命题是真命题；对于B ，∵如果一条直线平行于两个相交平面，那么该直线平行于它们的交线，∴该命题是真命题；对于C ，∵如果三个平面两两相交，如果三个平面两两相交，有三条交线，有三条交线，有三条交线，那么这三条交线交于一点或相互平行，那么这三条交线交于一点或相互平行，那么这三条交线交于一点或相互平行，∴∴该命题是真命题；该命题是真命题；对于对于D ，当两个平面同时垂直于第三个平面时，这两个平面可能不垂直也不平行，∴D 不正确．不正确．4．已知平面α∥β，P ∉α且P ∉β，过点P 的直线m 与α，β分别交于A .C ，过点P 的直线n 与α，β分别交于B ，D ，且P A ＝6，AC ＝9，PD ＝8则BD 的长为________．解析：如图1，∵AC ∩BD ＝P ，∴经过直线AC 与BD 可确定平面PCD . ∵α∥β，α∩平面PCD ＝AB ，β∩平面PCD ＝CD ， ∴AB ∥CD . ∴P A AC ＝PB BD ，即69＝8－BD BD . ∴BD ＝245. 如图2，同理可证AB ∥CD . ∴P A PC ＝PBPD ，即63＝BD －88. ∴BD ＝24. 综上所述，BD ＝245或24. 答案：245或24 【巩固】1．如图所示，在四面体ABCD 中，M ，N 分别是△ACD ，△BCD 的重心，则四面体的四个面中与MN 平行的是________________．解析：连接AM 并延长，交CD 于E ，连接BN ，并延长交CD 于F ，由重心性质可知，E ，F 重合为一点，重合为一点，且该点为且该点为CD 的中点E ，由EMMA ＝EN NB ＝12，得MN ∥AB .因此，MN ∥平面ABC 且MN ∥平面ABD . 答案：平面ABC ，平面ABD2.如图，在直四棱柱ABCD －A1B 1C 1D 1中，底面ABCD 为等腰梯形，AB ∥CD ，且AB ＝2CD ，在棱AB 上是否存在一点F ，使平面C 1CF ∥平面ADD 1A 1？若存在，求点F 的位置；若不存在，请说明理由．置；若不存在，请说明理由．解：存在这样的点F ，使平面C 1CF ∥平面ADD 1A 1，此时点F 为AB 的中点，证明如下：∵AB ∥CD ，AB ＝2CD ，∴AF 綊CD ，∴四边形AFCD 是平行四边形， ∴AD ∥CF . 又AD ⊂平面ADD 1A 1，CF ⊄平面ADD 1A 1. ∴CF ∥平面ADD 1A 1. 又CC 1∥DD 1，CC 1⊄平面ADD 1A 1， DD 1⊂平面ADD 1A 1， ∴CC 1∥平面ADD 1A 1，又CC 1，CF ⊂平面C 1CF ，CC 1∩CF ＝C ， ∴平面C 1CF ∥平面ADD 1A 1. 3．如图，点C 是以AB 为直径的圆上一点，直角梯形BCDE 所在平面与圆O 所在平面垂直，且DE ∥BC ，DC ⊥BC ，DE ＝12BC ＝2，AC ＝CD ＝3. (1)证明：EO ∥平面ACD ； (2)证明：平面ACD ⊥平面BCDE ； (3)求三棱锥E －ABD 的体积．的体积．解：(1)证明：如图，取BC 的中点M ，连接OM ，ME . 在△ABC 中，O 为AB 的中点，M 为BC 的中点， ∴OM ∥AC . 在直角梯形BCDE 中，DE ∥BC ，且DE ＝12BC ＝CM ， ∴四边形MCDE 为平行四边形．∴EM ∥DC . ∴平面EMO ∥平面ACD ， 又∵EO ⊂平面EMO ， ∴EO ∥平面ACD . (2)证明：∵C 在以AB 为直径的圆上，∴AC ⊥BC . 又∵平面BCDE ⊥平面ABC ，平面BCDE ∩平面ABC ＝BC . ∴AC ⊥平面BCDE . 又∵AC⊂平面ACD，∴平面ACD⊥平面BCDE. (3)由(2)知AC⊥平面BCDE. 又∵S△BDE ＝12×DE×CD＝12×2×3＝3，∴V E－ABD＝V A－BDE＝13×S△BDE×AC＝13×3×3＝3.【拔高】1．一个多面体的直观图和三视图如图所示，其中M，N分别是AB，AC的中点，G是DF上的一动点．上的一动点．(1)求该多面体的体积与表面积；求该多面体的体积与表面积；(2)求证：GN⊥AC；(3)当FG＝GD时，在棱AD上确定一点P，使得GP∥平面FMC，并给出证明．明．解：(1)由题中图可知该多面体为直三棱柱，在△ADF中，AD⊥DF，DF＝AD＝DC＝a，所以该多面体的体积为12a 3. 表面积为12a2×2＋2a2＋a2＋a2＝(3＋2)a2. (2)连接DB，FN，由四边形ABCD为正方形，且N为AC的中点知B，N，D三点共线，且AC⊥DN. 又∵FD⊥AD，FD⊥CD，AD∩CD＝D，∴FD⊥平面ABCD. ∵AC⊂平面ABCD，∴FD⊥AC. 又DN∩FD＝D，∴AC⊥平面FDN. 又GN⊂平面FDN，∴GN⊥AC. (3)点P与点A重合时，GP∥平面FMC. 取FC的中点H，连接GH，GA，MH. ∵G是DF的中点，∴GH綊12CD. 又M是AB的中点，∴AM綊12CD. ∴GH∥AM且GH＝AM. ∴四边形GHMA是平行四边形．∴GA∥MH. ∵MH⊂平面FMC，GA⊄平面FMC，∴GA∥平面FMC，即当点P与点A重合时，GP∥平面FMC. 2．如图1所示，在Rt△ABC中，AC＝6，BC＝3，∠ABC＝90°，CD为∠ACB的角平分线，点E在线段AC上，CE＝4.如图2所示，将△BCD沿CD折起，使得平面BCD⊥平面ACD，连接AB，设点F是AB的中点．的中点．(1)求证：DE⊥平面BCD；(2)若EF∥平面BDG，其中G为直线AC与平面BDG的交点，求三棱锥B －DEG的体积．的体积．解：(1)证明：∵AC＝6，BC＝3，∠ABC＝90°，∴∠ACB＝60°60°. . ∵CD为∠ACB的角平分线，∴∠BCD＝∠ACD＝30°30°. . 3. .. 3211×131 313×3×3232. 。
高考数学复习知识点讲解教案第42讲 直线、平面平行的判定与性质
证明：连接,与交于点，连接 ，因为四边形为正方形，所以为 的中点，又，为 的两个三等分点，所以为的中点，所以 ，因为 平面， 平面 ，
所以平面 .
变式题 如图，四棱锥中，底面 为正方形，, 平面，,为 的两个三等分点．
（2） 求三棱锥 的体积．
解 ，过点作，交于点 ，因为为的三等分点， 平面，所以 平面 ，且 ，所以 .
角度2 直线与平面平行的性质
例3 在正方体中，为 的中点，过，，的平面截此正方体，得到如图所示的多面体， 为棱上的一点.若点在棱上，当 时，平面，试确定动点在棱 上的位置，并说明理由.
解：设平面与平面的交线为，因为平面 ，平面 平面， 平面，所以 .因为平面平面，平面 平面 ，平面 平面 ，所以，所以 .
[解析] 连接，与交于点，连接，交于 ，连接，由于平面， 平面，平面 平面，所以，由于是 的中点，所以，过作，交于，则 ，因为，所以，所以 .
变式题2 如图所示，已知四边形 是正方形，四边形是矩形， 平面，是 的中点.
（1） 求证：平面 ；
证明：记与的交点为，连接 .
因为，分别是，的中点，四边形 是矩形，所以四边形是平行四边形，所以 .因为 平面， 平面 ，所以平面 .
1.直线与平面平行的判定与性质
类别
语言表述
图形表示
符号表示
判定
一条直线与一个平面________________，则称这条直线与这个平面平行
如果平面外______________________________________平行，那么该直线与此平面平行
， ，且
没有公共点
又 平面, 平面，所以平面 .因为平面，，, 平面 ，所以平面平面，又平面 平面，平面 平面，所以，所以在中，，所以 ，所以点为线段上靠近点 的三等分点.
线面平行的性质定理教案
《直线与平面平行的性质定理》教案整体设计教学分析上节课已经学习了直线与平面平行的判定定理，这节课让学生体会线面平行的性质定理，并熟悉掌握性质定理证明过程。
灵活运用线面平行的判定定理和线面平性的性质定理之间的转换。
教学目标1、探究直线与平面平行的性质定理。
2、体会直线与平面平行的性质定理的应用。
3、通过线线平行与线面平行转化，培养学生的学习兴趣。
教学难点教学重点：直线与平面平行的性质定理的证明与应用。
教学难点：线面平行性质定理的应用——如何在已知平面中找出已知直线的平行线。
课时安排1课时。
教学过程复习回忆老师和同学一起回忆直线与平面平行的判定定理：（1）文字语言平面外一条直线和此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。
（2）符号语言（3）图形语言导入新课1.由线线平行推出线面平行，导入线面平行能推出线线的什么关系；2.已知线面平行，如何在该平面中找出与已知直线的平行线；推进新课（一）提出问题1.线面平行的特点：让学生通过做练习题讨论出线面平行的没有交点之一特点，为证明线面平行的性质定理做好第一步的铺垫。
2.如何说明空间中的两条直线平行：让学生回答目前学的证明两直线平行的方法（1）递推法：由a//b,b//c得出a//c；（2）定义法：在空间中如果两直线没有交点且在同一平面内，则两直线平行。
强调是在同一平面内，否则可能是异面直线（老师用教室里的直线这个例子来说明）。
（二）线面平行的性质定理的证明（三）得出线面平行的性质定理：（1）文字语言一条直线和一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。
（2）符号语言（3）图形语言课程小结学生和老师一起总结线面平行的判定定理和线面平行的性质定理。
课后作业P61 例3、例4。
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课题：§2.2.3直线与平面平行的性质教学任务分析：知识与技能通过观察探究，进行合情推理发现直线与平面平行的性质定理，并能准确地用数学语言表述该定理；能够对直线与平面平行的性质定理作出严密的逻辑论证，并能进行一些简单的应用．过程与方法通过直观感知和操作确认的方法，培养和发展学生的几何直觉、运用图形语言进行交流的能力；体会和感受通过自己的观察、操作等活动进行合情推理发现并获得数学结论的过程．情感、态度、价值观通过自主学习、主动参与、积极探究的学习过程，激发学生学习数学的自信心和积极性，培养学生良好的思维习惯，渗透化归与转化的数学思想，体会事物之间相互转化和理论联系实际的辩证唯物主义思想方法．教学重点与难点：重点通过直观感知、提出猜想进而操作确认，获得直线与平面平行的性质定理．难点综合应用线面平行的判定定理和性质定理进行线线平行与线面平行的相互转化．教学流程与环节设计：创设情境组织探究探索研究巩固练习作业回馈课外活动实际问题引入，激发学生探索兴趣和求知欲望．结合实际问题主动参与，通过直观感知、提出猜想进而操作确认获得定理；然后结合例题体会定理的应用．结合例题，总结线线平行与线面平行的相互转化，体会线面平行的判定定理和性质定理的综合运用．综合应用判定定理和性质定理解决简单问题，规范解题步骤与格式，培养学生良好的学习习惯．进一步巩固定理，深化基本方法．结合线线平行与线面平行的转化，思考线线平行、线面平行、面面平行的联系，提出合理猜想，主动探究并操作验证．教学情境与操作设计：环节教学内容设计师生双边互动创设情境1．复习线面位置关系与线面平行的判定．（1）直线与平面的位置关系的各种情况；（2）直线与平面平行的判定定理．2．思考：（1）如果一条直线与平面平行，那么这条直线是否与这个平面内的所有直线都平行？（2）教室内日光灯管所在的直线与地面平行，如何在地面上作一条直线与灯管所在直线平行？3．木工小罗在处理如图所示的一块木料时，发现该木料表面ABCD内有一条裂纹DP，已知BC∥平面AC．他打算经过点P和BC将木料锯开，却不知如何画线，你能帮助他解决这个问题吗？师：复习引入，温故知新，为学习新知做铺垫．引导学生通过思考和实际问题，进行观察、感知、实践操作，提高学生学习兴趣，激发学生的求知欲望和探索精神．生：根据问题进行直观感知，进而提出合理猜想．组织探究探索：1）两条直线平行的条件是什么？2）平行于平面的一条直线与该平面内的直线的位置关系有几种可能？3）平行于平面的一条直线与该平面内一条直线平行，需附加什么条件？4）平面内的这条直线具有什么特殊地位？发现：1）两直线平行的条件是：⎩⎨⎧无公共点在同一平面内；2）平行于平面的一条直线与该平面内的直线无公共点，位置关系有两种：平行或异面；3）平行于平面的一条直线与该平面内一条直线平行，需附加条件：它们在同一平面（β）内；4）平面内的这条直线是这个平面与过已知直线的平面（β）的交线．5）提出猜想：1）由以上的探索与发现你能得出怎样的结论？2）你能否用数学符号语言描述你所发现的结论？3）可否画出符合你的结论的图形？4）你能否对你发现的结论给出严格的逻辑证明？师：引导学生结合上面的直观感知，层层递进，逐步探索，体会数学结论的发现过程．生：逐步探索，认真思考，画出相应图形，进行观察，感知、猜想．师：引导学生猜想、发现，并画出图形进行操作确认．生：根据探索问题，提出大胆猜想．师：引导学生提出合理猜想，并分别用文字叙述、数学符号语言和图形语言加以描述．生：利用不同语言描述发现的结论，并给出严格逻辑证明．C′A BPA′BD′C·P组织探究形成经验：直线与平面平行的性质定理：1）文字叙述一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行．2）符号语言描述babaa////⇒⎪⎭⎪⎬⎫=⊂βαβα3）图形语言描述如右图．定理探微：1）定理可以作为直线与直线平行的判定方法；2）定理中三个条件缺一不可；3）提供了过已知平面内一点作与该平面的平行线相平行的直线的方法，即：辅助平面法．定理应用举例：例1．引入问题解决：探索：1）怎样确定截面（由哪些条件确定）？2）过P点所画的线有什么特殊意义，具有什么性质，具体应怎样画？解：（略）例2．（教材P61例4）探索：1）已知是何种位置关系，结论又是何种位置关系？2）证明线面平行的方法与关键是什么？解：（略）．备选例题：例3．求证结合线面平行的性质定理利用反证法证明面面平行的判定定理．师：引导学生将猜想发现规范化，形成经验性结论，体会与感受数学结论的发现与形成过程：直观感知→操作确认→逻辑证明→形成经验．生：明确定理内容，能够准确熟练地用不同语言描述定理．师：引导学生深入分析定理的条件及其用途，进一步深刻理解定理．师：引导学生分析画截面的关键是确定截面与上底面的交线．生：根据探索问题，画出截面与上底面的交线，进而作出截面．师：引导学生体会其中的方法，并总结过空间一点作已知直线的平行线的方法．师：引导学生分析条件与结论，认识到解题关键是实现线线与线面平行间的转化．生：利用线面平行的性质定理和判定定理，实现线线平行与线面平行间的转化，解答本例．师：向学生渗透转化的思想，强调一种方法：辅助平面法．规范解题步骤与格式．C′A BDA′BD′C·bαβ a组织探究例4．求证：如果一条直线和两个相交平面平行，那么这条直线和它们的交线平行．分析：1）用数学符号语言描述上述命题，写出已知和求证；2）用图形语言描述上述命题，即画出相应图形；3）综合利用线面平行的性质定理与判定定理解答本题．解：（略）．师：本例应着重注意引导学生综合利用线面平行的性质定理与判定定理解决相关问题，渗透化归与转化的数学思想方法．并锻炼学生熟练文字叙述、数学符号语言、图形语言之间的相互转化．探究与发现结合例题探究发现：直线与平面平行的性质定理和直线与平面平行的判定定理经常要综合使用，亦即是通过线线平行推出线面平行，再通过线面平行推出新的线线平行，复杂的题目还可以继续推下去．在使用中要注意一种思想和一种方法：1）转化的数学思想即线线平行与线面平行之间的相互转化，亦即空间问题与平面问题之间的相互转化，这也是解决立体几何问题的重要思想方法．转化的关系如下：2）辅助平面法即构造辅助平面，以实现线线平行与线面平行间的相互转化．师：渗透转化的数学思想方法，即空间问题平面化；强调一种方法，辅助平面法．线线平行线面平行线线平行判定定理性质定理巩固练习一、选择题．1．若直线a不平行于平面α，则下列结论成立的是( )A．α内的所有直线都与直线a异面B．α内不存在与a平行的直线C．α内的直线都与a相交D．直线a与平面α有公共点2．直线a∥平面α，P∈α，过点P平行于α的直线( )A．只有一条，不在平面α内B．有无数条，不一定在α内C．只有一条，且在平面α内D．有无数条，一定在α内3．下列判断正确的是( )A．a∥α，b α，则a∥bB．a∩α＝P，b α，则a与b不平行C．a α，则a∥αD．a∥α，b∥α,则a∥b4．直线和平面平行，那么这条直线和这个平面内的( )A．一条直线不相交B．两条相交直线不相交C．无数条直线不相交D．任意一条直线都不相交二、填空题．1．过平面外一点作一平面的平行线有条．2．若直线a，b都平行于平面α，那么a与b的位置关系是．3．若直线a∥b，a∥平面α，则直线b与平面α的位置关系是．三、解答题．三个平面两两相交有三条交线，如果其中两条交线平行，则第三条交线也和它们分别平行．通过练习，辨析线线、线面位置关系的各种情形，进一步深化对性质定理的理解与应用，培养学生良好的思维品质，规范解题方法、步骤与格式．作业与回馈教材P651．习题2．2（A组）第5、6题；2．由上述两题你能发现线面平行还具有什么性质？3．如图，已知异面直线AB、CD都与平面α平行，CA、CB、DB、DA分别交α于点E、F、G、H．求证：四边形EFGH是平行四边形．H GFEBADCααβγa bc课外活动前面学习了平面与平面平行的定义及其判定方法，类比本节课的学习，通过直观感知、获得猜想、操作确认的方法自主探究平面与平面平行具有何种性质；结合线线平行与线面平行的转化，思考线线平行、线面平行、面面平行的联系，提出合理猜想，主动探究并操作验证．培养学生良好的思维品质及自主学习，主动探究的意识．。