任意角的三角函数(1)(新编教材)
高中数学新教材必修一第五章《三角函数》(1)全套课件
全套课件
1.1 任意角
体操是力与美的结合，也充满了角的概念．2002年11 月22日，在匈牙利德布勒森举行的第36届世界体操锦 标赛中，“李小鹏跳”——“踺子后手翻转体180度接 直体前空翻转体900度”，震惊四座，这里的转体180 度、 转体900度就是一个角的概念.
若弧是一个整圆，它的圆心角是周角，其弧
度数是 2 ，而在角度制里它是360 ，
角度制与弧度制的互换：
（1）把角度换成弧度
360o 2 rad,
180o rad,
1o rad 0.01745rad.
180
（2）把弧度换成角度
2 rad 360o ,
rad 180o ,
1 rad
180
终边落在坐标轴上的情形
900 + k360°
y
1800 + k360°
o
或3600＋ k360°
x
00 + k360°
2700 + k360°
复习回顾
1、初中几何研究过角的度量，1°的角是如何定义？角度 制呢？
答 : 规定把周角的 1 作为1度的角;而把用度做单位 360
来度量角的制度叫做角度制.
1、角的范围
初中角的定义： 从一个点出发引出的两条射线构成的 几何图形(0°,360°)
“旋转”形成角
终边
B
顶点
o
A
始边
角可以看成平面内一条射线绕着端点从一
个位置旋转到另一个位置所成的图形．
1、花样游泳中，运动员旋转的周数如何 用角度计算来表示？
2、汽车在前进和倒车中，车轮转动的角度 如何表示才比较合理？
2．我们可以使线段 OP 的长为多少，能简化上述计算？
高中数学三角函数121任意角的三角函数(一)PPT课件
6
6 62
3.已知角α的终边与单位圆的交点 P( 5 , 2 5 )，则
55
sinα+cosα= ( )
A . 5 B .5 C .25 D . 25
5
5
5
5
【解析】选B.因为 siny25,cosx5，
5
5
所以 sincos2555.
55 5
4.若角α终边上一点坐标为(-5,12),则cosα=
1.2 任意角的三角函数 1.2.1 任意角的三角函数(一)
整体概述
概况一
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概况二
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概况三
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【自主预习】 主题1:任意角的三角函数的定义 使锐角α的顶点与原点O重合,始边与x轴的非负半轴 重合,在终边上任取一点P,作PM⊥x轴于M,设P(x,y), |OP|=r,据此回答下列问题:
主题2:三角函数值的符号法则及诱导公式一
1.设P(x,y)为α终边上任意一点(异于原点),记r=|OP|,
则 sin y,c o s x,ta n y(x 0 ),由此可知任意角α
r
r
x
的三角函数值的符号与谁有关?
提示:角α的三角函数值的符号与点P的坐标x,y的正负
有关.
2.取角α分别为30°,390°,-330°,它们的三角函数值是 什么关系?为什么? 用文字语言描述:它们的同名三角函数值相等,因为三 个角的终边相同.
2.已知角α,则角α的三角函数值符号确定,反之若角 α的某个三角函数值符号确定,则角α的终边所在象限 确定吗? 提示:不一定,若已知角α的一个三角函数值的符号,则 角α所在的象限可能有两种情况,若已知角α的两个三 角函数值的符号,则角α所在的象限就唯一确定.
数学必修Ⅳ人教新课标A版1-2-1任意角的三角函数课件(33张)
的点(－1， 3)，则 r＝ （－1）2＋（ 3）2＝2，所以 sin α＝ 23，cos α＝－12， tan α＝－ 3；
在第四象限取直线上的点(1，－ 3)，则 r＝ 12＋（－ 3）2＝2，所以 sin α
＝－ 23，cos α＝12，tan α＝－ 3.
(3)要明确 sin α是一个整体，不是 sin 与 α 的乘积，它是“正弦函数”的一
个记号，就如 f(x)表示自变量为 x 的函数一样，离开自变量的“sin”“cos”“tan” 等是没有意义的．
数学 必修3
第一章 三角函数
学案·新知自解
教案·课堂探究
练案·学业Leabharlann 标2．对三角函数值符号的理解 三角函数值的符号是根据三角函数定义和各象限内坐标符号导出的．从原点 到角的终边上任意一点的距离 r 总是正值．根据三角函数定义知： (1)正弦值符号取决于纵坐标 y 的符号； (2)余弦值的符号取决于横坐标 x 的符号； (3)正切的符号是由 x，y 符号共同决定的，即 x，y 同号为正，异号为负.
数学 必修3
第一章 三角函数
学案·新知自解
教案·课堂探究
练案·学业达标
1．2 任意角的三角函数 1．2.1 任意角的三角函数 第一课时 任意角的三角函数(一)
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第一章 三角函数
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第一章 三角函数
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2020-2021学年第一学期高中数学新教材必修第一册苏教版第七章第3课时 任意角的三角函数(1)
第3课时任意角的三角函数(1)一、学习目标1.掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义.2.掌握正弦、余弦、正切函数的定义域和这三种函数的值在各象限的符号.二、问题导引预习教材P166——170的内容,思考下面的问题.在前面的学习中,我们在初中角的基础上将角的概念进行了推广,得到了任意角的概念,另外,还学习了角的另一种度量方法——弧度制.在初中学习了锐角后,我们研究了锐角的三角函数,现在,学习了任意角,那么我们能研究任意角的三角函数吗?如果能,又该如何研究呢?能通过锐角的三角函数来研究任意角的三角函数吗?三、即时体验1.填表:角正弦余弦正切2.已知角α的终边过点P(-3, 4),则sinα=, cosα=, tanα=.3.角-1328°的正弦值、余弦值、正切值的符号分别是、、.四、导学过程类型1由角的终边上的点求三角函数值【例1】已知角α的终边经过点P(2, -5),求α的正弦值、余弦值、正切值.类型2三角函数值的符号的判定【例2】确定下列三角函数值的符号:(1) cos; (2) sin(-565°); (3) tan.类型3由三角函数值求角的终边上的点的坐标【例3】已知角θ的顶点为坐标原点,始边为x轴的正半轴,若P(4, y)是角θ终边上一点, 且sinθ=-,求y的值.五、课堂练习1. (多选)若sinθcosθ<0,则角θ的终边在()A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限2.若<θ<π,则点P(cosθ, sinθ)位于()A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3.已知角α的终边经过点P(5, 12),则sinα+cosα=.4. sin1 cos2 tan3值的符号是.5.已知角α的终边经过点P(5t, 12t)(t≠0),求sinα+cosα的值.六、课后作业1. 若－<θ<－π,则点在()A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限2.若角α的终边过点P(2sin30°, －2cos30°),则sinα的值等于 ()A. B. － C. － D. －3.若sinαcosα>0, cosαtanα<0,则角α的终边落在()A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限4. (多选)已知θ是第二象限角,则下列判断中正确的是()A. sin cos>0B. sin<0C. cos<0D. tan>05.已知角α的终边经过点P,则sinα=, tanα=.6. sin cos tan的值的符号是(填“正”或“负”).7. 已知角α的终边落在射线y=2x(x≥0)上,那么sinα·cosα=.8.设是第一象限角,且|cosα|=－cosα,则α可能是()A. 第一象限角B. 第二象限角C. 第三象限角D. 第四象限角9. (多选)函数y=++的可能取值为()A. －3B. －1C. 1D. 310.已知角θ的终边过点P(x, 3)(x≠0),且cosθ=x,那么tanθ=.11.若角α的终边过点P(－4m, 3m)(m≠0),求2sinα+cosα的值.12.已知角α的终边在直线y=kx上,若sinα=－,且cosα<0,试求k的值.13.已知角α的终边上一点P到x轴、y轴的距离之比为4∶3,且cosα<0,求cosα－sinα的值.。
1.2任意角的三角函数(第一课时)
1.2任意角的三角函数（第一课时）一、教材分析学生在初中已经学习了锐角三角函数，其引入与解直角三角形有关。
而本节要学习的任意角的三角函数，更多是从函数的角度引入和理解的，是后面学习三角函数的图象和性质，特别是周期性变化规律的重要基础。
本节以锐角三角函数为引子，利用单位圆上的点的坐标定义三角函数，一方面简化了三角函数的定义式，另一方面也直观反映了三角函数周而复始的变化规律，更能有效帮助学生理解三角函数的本质，这是新课程的一大亮点。
二、教学目标知识与技能目标:1、 借助单位圆理解任意角的三角函数（正弦、余弦、正切）的定义；2、 能根据任意角的三角函数的定义求出具体的角的各三角函数值；方法与过程目标:在定义的学习及概念同化的过程中培养学生类比、分析以及研究问题的能力。
情感态度与价值观: 在定义的学习过程中渗透数形结合和化归思想的思想。
三、教学重、难点教学重点: 任意角的正弦、余弦、正切的定义教学难点:用单位圆上点的坐标刻画三角函数；三角函数中的对应关系.四、教法与学法教师通过问题引导和图形动态演示启发学生，学生通过观察与思考、合作与探究进行学习。
五、教学过程：（一）创设情境1、提问：锐角α的正弦、余弦、正切怎样表示？2、引入：锐角三角函数就是以锐角为自变量，以比值为函数值的函数。
你能用直角坐标系中角的终边上点的坐标来表示锐角三角函数吗?如图,设锐角α的顶点与原点O 重合,始边与x 轴的正半轴重合，那么它的终边在第一象限.在α的终边上任取一点(,)P a b ,它与原点的距离r =线,垂足为M ,则线段OM 的长度为a ,线段MP 的长度为sin MP b OP r α==;cos OM a OP rα==; tan MP b OM aα==. 3、思考：对于确定的角α，这三个比值是否会随点P 变呢？（结合相似三角形知识，说明三个值与终边上点的位置无关）显然，我们可以将点取在使线段OP 的长1r =的特殊位置上，这样就可以得到用直角坐标系内的点的坐标表示锐角三角函数：sin MP b OP α==; cos OM a OP α==; tan MP b OM aα==. 4、思考：上述锐角α的三角函数值可以用终边上一点的坐标表示.那么,角的概念推广以后，我们应该如何对初中的三角函数的定义进行修改，以利推广到任意角呢？本节课就研究这个问题――任意角的三角函数.（二）探究新知()1,0A Oy x α(),P x y ﹒ 1.探究:结合上述锐角α的三角函数值的求法,我们应如何求解任意角的三角函数值呢?显然,我们只需在角的终边上找到一个点,使这个点到原点的距离为1,然后就可以类似锐角求得该角的三角函数值了.所以,我们在此引入单位圆的定义:在直角坐标系中,我们称以原点O 为圆心,以单位长度为半径的圆.2.思考:如何利用单位圆定义任意角的三角函数的定义?如图,设α是一个任意角,它的终边与单位圆交于点(,)P x y ,那么:(1)y 叫做α的正弦,记做sin α,即sin y α=；（2）x 叫做α的余弦,记做cos α,即cos x α=；（3）yx 叫做α的正切,记做tan α,即tan (0)y x x α=≠. 注意:既然有角，就必然有终边，终边就必然与单位圆有交点(,)P x y ，从而就必然能够最终算出三角函数值.3.提问：你能解释一下定义中的对应关系？三角函数是以角的弧度数为自变量,以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，又因为角的集合与实数集之间可以建立一一对应关系，故三角函数也可以看成实数为自变量的函数.（三） 例题讲解例1. 求53π的正弦、余弦和正切值. 小结：让学生熟悉三角函数的概念，用单位圆表示三角函数。
人教版数学《任意角的三角函数》教学(共24张PPT)教育课件
M
P α的终边
y
T
α
x
O A(1,0)
归纳 总结
1. 内容总结： ①三角函数的概念. ②三角函数的定义域及三角函数值在各象限的符号. ③诱导公式一. ④三角函数线.
2 .方法总结： 运用了定义法、公式法、数形结合法解题.
3 .体现的数学思想： 数形结合的思想.
作业
P20 A组1、2、3（1、2、3） P21 9（１、３）
y
（3） 叫做
x
的正切，记作tan，即 tan y (x 0)
x
y
注意：正弦，余弦，正切都
Px, y﹒
O
A1,0 x
是以角为自变量，以单位圆上点 的坐标或坐标的比值为函数值的 函数，我们将他们称为三角函数.
思考3 根据三角函数的定义，确定它们的 定义域（弧度制）？
y
Px, y﹒
O
三角函数
sin
学习重要还是人脉重要?现在是一 个双赢 的社会 ，你的 价值可 能更多 的决定 了你的 人脉， 我们所 要做的 可能更 多的是 专心打 造自己 ，把自 己打造 成一个 优秀的 人、有 用的人 、有价 值的人 ，当你 真正成 为一个 优秀有 价值的 人的时 候，你 会惊喜 地发现 搞笑人 脉会破 门而入 。从如 下方 面改进 ：1、专 心做可 以提升 自己的 事情； 2、学 习并拥 有更多 的技能 ；3、成 为一个 值得交 往的人 ；4学 会独善 其身， 尽量少 给周围 的人制 造麻烦 ，用你 的独立 赢得尊 重。 理财的时候需要做的一方面提高收入， 令一方 面是节 省开支 。这就 是所谓 的开源 节流。 时间管 理也是 如此， 一方面 要提高 效率， 另一方 面是要 节省时 间。主 要做法 有：1、 同时做 两件事 情（备 注：请 认真选 择哪些 事情可 以同时 做）， 比如跑 步的时 候边听 有声书 ；2、 压缩休 息时间 提升睡 眠效率 ，比如 晚睡半 小时早 起半小 时（6~7个小 时即可 ）；3、 充分利 用零碎 时间学 习，比 如做公 交车、 等车、 上厕所 等。
新教材高中数学第五章三角函数5.1.1任意角课件新人教A版必修第一册
【解析】选D.由已知得B⊆C，所以B∪C=C，故D正确.
类型二 终边相同的角的表示及应用(直观想象) 【典例】写出终边落在直线y=x上的角的集合S，并把S中适合不等式360°≤β<720°的元素β写出来.
四步
理解 题意
思路 探求
内容
条件：角的终边在直线y=x上. 结论：①求角的集合； ②求适合-360°≤β<720°的角.
2.给出下列四个命题：①-75°是第四象限角；②225°是第三象限角；③ 475°是第三象限角；④-310°是第一象限角.其中正确的命题有 ( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 3.将时钟拨快20分钟，则分针转过的度数是_______.
【解析】1.选C.①终边相同的角必相等错误，如0°与360°终边相同，但不相 等； ②锐角的范围为(0°，90°)，必是第一象限角，正确； ③小于90°的角是锐角错误，如负角； ④第二象限的角必大于第一象限的角错误，如120°是第二象限角，390°是第 一象限角； ⑤若角α的终边经过点M(0，-3)，则角α是终边在y轴负半轴上的角，故⑤错 误. 其中错误的是①③④⑤.
【变式探究】 如图所示，写出终边落在阴影部分的角的集合.
∪{α|k·360°+210°≤α<k·360°+285°，k∈Z} ={α|2k·180°+30°≤α<2k·180°+105°，k∈Z} ∪{α|(2k+1)·180°+30°≤α<(2k+1)·180°+105°，k∈Z} ={α|2k·180°+30°≤α<2k·180°+105°或 (2k+1)·180°+30°≤α<(2k+1)·180°+105°，k∈Z} ={α|n·180°+30°≤α<n·180°+105°，n∈Z}.
高中数学第一章三角函数1.2-1.2.1任意角的三角函数课件新人教A版必修4
－12，
23，所以
sin
2π 3＝
23，cos2π3 ＝－12，tan
2π 3＝
－ 3.
如图所示，设角α的终边与单位圆交于点 P(x，y)．
分别过点 P、P0 作 x 轴的垂线 MP、M0P0，则|M0P0| ＝4，|MP|＝－y，
|OM0|＝3，|OM|＝－x，
图①
图②
(2)作直线 x＝－12，交单位圆于 C，D 两点，连接 OC
答案：A
类型 1 三角函数定义的应用(互动探究) [典例 1] (1)求2π3 的正弦、余弦和正切值； (2)已知角α的终边落在射线 y＝2x(x≥0)上，求 sin α，cos α的值．
解：
(1) 在 直 角
坐
标
系
中
， 作 ∠AOB ＝
2π 3 (如图所
示 ) ． 易 知 ∠AOB 的 终 边 与 单 位 圆 的 交 点 坐 标 为
第一章 三角函数
[知在平面直角坐标系中，设α是一个任意角， 它的终边与单位圆交于点 P(x，y)，那么： ①y 叫做α的正弦，记作 sin α， 即 sin α＝y； ②x 叫做α的余弦，记作 cos α，即 cos α＝x；
(3)三角函数值在各象限的符号． 口诀：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”．
3．三角函数线 已知角α的终边位置(图中圆为单位图)，角α的三条 三角函数线如图所示：
则 sin α＝MP，cos α＝OM，tan α＝AT.
5．若α是第四象限角，则 sin α和 tan α的大小的 关系是( )
A．sin α>tan α B．sin α<tan α C．sin α≥tan α D．不确定 解析：画出三角函数线即可判断出来，如图所示，sin α ＝－|MP|，tan α＝－|AT|，而|MP|<|AT|，故 sin α>tan α.
任意角的三角函数PPT课件
这几条与单位圆有关的有向线段 叫做角 的正弦线、余弦线、正切线．
当角 的终边在 轴上时，余弦线变成一个点，正切线不存在．
三角函数的一种几何表示
尊若片天率怔威芋耸眉夸猜柜黍行器摧躇除肮石介桓傻咋但甚展泻殊埋谤任意角的三角函数PPT课件任意角的三角函数PPT课件
于是, θ为第三象限角
蔑少低猛交螟质沃檄响体统氦假苹怪汝美皱躬屠秦踌酿摊占苇黎瓷僵扼豫任意角的三角函数PPT课件任意角的三角函数PPT课件
例5 求下列三角函数值
(1) cos(9π/4)
(2)tan(－11π/6)
解:
cos(9π/4)= cos(π/4+2π)= cosπ/4=
tan(－11π/6)= tan(π/6－2π)= tanπ/6=
sin(α+k*360)=sinα
cos(α+k*360)=cosα
tan(α+k*360)=tanα
k∈z
公式一
终边相同角的同一三角函数值相等
公式作用:
把求任意角的三角函数转化为求0°~360°角的三角函数
(3) tan(－672 °)
(4)tan(11π/3)
因为tan(－672 °)=tan(48－2*360 °)=tan48 °
解:
“ ” 证明必要性
显然成立 ;
“ ” 证明充分性
因为①式 sinθ<0成立,
所以θ角的终边可能位于第三或第四象限,也可能位于y轴负半轴上;
因为②式 tanθ>0 成立,
所以θ角的终边可能位于第一或第三象限;
因为①式 ②式 都成立, 所以θ角的终边只能位于第三象限;
2021_2022学年新教材高中数学第五章三角函数5.1.1任意角课件新人教A版必修第一册 (1)
2.轴线角的表示
【定向训练】 已知角的顶点与坐标原点重合,始边与x轴的非负半轴重合,作出下列各角,并 指出它们是哪个象限的角. (1)420°;(2)-75°;(3)855°;(4)-510°.
课堂素养达标
1.小明出国旅游,当地时间比中国时间晚一个小时,
他需要将表的时针旋转,则转过的角是 ( )
(2)因为α是第二象限角,
所以90°+k·360°<α<180°+k·360°,
所以180°+2k·360°<2α<360°+2k·360°,k∈Z,
所以2α是第三或第四象限角,或是终边落在y轴的非正半轴上的角.
同理45°+ k·360°< < 90°+ ·k 360°.
2
2
2
当k为偶数时不妨令k=2n,n∈Z,则45°+n·360°< <90°+n·360°,此时
A.60° C.-60°
B.30° D.-30°
【解析】选B.由题意小明需要把 表调慢一个小时,所以时针逆时
针旋转30°.
2.四个角-398°,38°,142°,1 042°中,终边相同的角是
()
A.-398°,38°
B.-398°,142°
C.-398°,1 042°
D.142°,1 042°
【解析】选C.-398°=-1×360°-38°,1 042°=3×360°-38°,所以-398°与1 042°终
探究点三 象限角的判定
【典例3】(1)若α是第四象限角,则180°-α是 ( )
A.第一象限角
B.第二象限角
C.第三象限角
D.第四象限角
2024-2025学年高一数学必修第一册(湘教版)配套课件第5章-5.2.1任意角三角函数的定义
以上三种函数都称为α的三角函数
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教材引入&任意角的三角函数定义
【总结】三角函数可以看成是以实数α(α为弧度)为自变量，以
角
单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数.
（1）正弦函数：
（2）余弦函数：
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6.设0<α< 2 ，证明：sin α<α<tan α.
证明 如图所示，角α的终边交单位圆于点P，过点P作PM⊥x轴于点M，过x轴的正半轴与单位圆的交点A作单
位圆的切线AT，交角α的终边于 点T，连接AP，
则有MP＝sin α，AT＝tan α，且S△OAP<S扇形OAP<S△OAT .
值 ， ， 与α的终边上的点P的位置无关.我们规定：
（1）比值叫作α的正弦（sine），记作sin α，即sin α＝ ；
（2）比值叫作α的余弦（cosine），记作cos α，即cos α＝ ；
（3）比值（x≠0）叫作α的正切（tangent），记作tan α，即tan α＝ .
Θ为第三象限角.
再证明必要性，因为θ是第三象限角，根据定义有sinθ＜0， cosθ＞0，
所以必要性成立，即充要性成立.
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即时巩固
【1】求证：角θ为第三象限角的充要条件为
【证明】首先证明充分性，即如果①②都成立，那么θ为第三象限角.
因为sinθ＜0成立，所以θ角的终边位于第三或者第四象限，也可能和
湖南省长沙市一中高中数学 《1.2.1任意角的三角函数(一)》教案 新人教A版必修4
4-1.2.1任意角的三角函数〔1〕教学目的：知识目标：1.掌握任意角的三角函数的定义；2.角α终边上一点，会求角α的各三角函数值；3.记住三角函数的定义域、值域，诱导公式〔一〕。
能力目标：〔1〕理解并掌握任意角的三角函数的定义；〔2〕树立映射观点，正确理解三角函数是以实数为自变量的函数；〔3〕通过对定义域，三角函数值的符号，诱导公式一的推导，提高学生分析、探究、解决问题的能力。
德育目标： 〔1〕使学生认识到事物之间是有联系的，三角函数就是角度〔自变量〕与比值〔函数值〕的一种联系方式；〔2〕学习转化的思想，培养学生严谨治学、一丝不苟的科学精神；教学重点：任意角的正弦、余弦、正切的定义〔包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号〕，以及这三种函数的第一组诱导公式。
公式一是本小节的另一个重点。
教学难点：利用与单位圆有关的有向线段，将任意角α的正弦、余弦、正切函数值分别用他们的集合形式表示出来.教学过程：一、复习引入：初中锐角的三角函数是如何定义的？在Rt △ABC 中，设A 对边为a ，B 对边为b ，C 对边为c ，锐角A 的正弦、余弦、正切依次为,,a b a sinA cosA tanA c c b=== ． 角推广后，这样的三角函数的定义不再适用，我们必须对三角函数重新定义。
二、讲解新课：1．三角函数定义在直角坐标系中，设α是一个任意角，α终边上任意一点P 〔除了原点〕的坐标为(,)x y ，它与原点的距离为(0)r r ==>，那么〔1〕比值y r叫做α的正弦，记作sin α，即sin y r α=； 〔2〕比值x r 叫做α的余弦，记作cos α，即cos x rα=； 〔3〕比值y x叫做α的正切，记作tan α，即tan y x α=； 〔4〕比值x y 叫做α的余切，记作cot α，即cot x y α=； 说明：①α的始边与x 轴的非负半轴重合，α的终边没有说明α一定是正角或负角，以及α的大小，只说明与α的终边相同的角所在的位置；②根据相似三角形的知识，对于确定的角α，四个比值不以点(,)P x y 在α的终边上的位置的改变而改变大小； ③当()2k k Z παπ=+∈时，α的终边在y 轴上，终边上任意一点的横坐标x 都等于0， 所以tan y x α=无意义；同理当()k k Z απ=∈时，yx =αcot 无意义；④除以上两种情况外，对于确定的值α，比值y r 、x r 、y x 、x y分别是一个确定的实数， 正弦、余弦、正切、余切是以角为自变量，比值为函数值的函数，以上四种函数统称为三角函数。
高中数学(新课标人教A版)必修4 第一章三角函数精品课件 1.2任意角的三角函数(3课时)
tan 3
例5.求下列三角函数值
sin1480 10
'
9 s 4
11 tan( ) 6
小结:
1.任意角的三角函数是由角的终边与单 位圆交点的坐标来定义的. 2.三角函数值的符号是利用三角函数的 定义来推导的.要正确记忆三个三角函数 在各个象限内的符号； 3.诱导公式一的作用可以把大角的三角 函数化为小角的三角函数.
应用 1．利用同角三角函数的基 本关系求某个角的三角函数 值 例1．已知sinα＝－3/5，且 α在第三象限，求cosα和 tanα的值.
例2．已知 cos m (m 0, m 1), 求的其他三角函数值
4 sin 2 cos 例3.已知 tanα=3,求值（1） 5 cos 3 sin
y
a的终边 P(x,y)
1
P(x,y)
a
O
M
A(1,.0)
x
（1）y叫做 的正弦，记作sin ，即 sin y （2）x叫做 的余弦，记作cos，即 cos x y y （3） 叫做 的正切，记作tan ，即 tan x x
阅读课本P12：三角函数的定义
例题:
5 1 求 的正弦、余弦和正切值. 3
作业：
课本P20习题1.2A组
1,2，6，7，9
1.2.1任意角的三角函数(2)
复习回顾
1、三角函数的定义； 2、三角函数在各象限角的符号； 3、三角函数在轴上角的值； 4、诱导公式（一）：终边相同的角的 同一三角函数的值相等； 5、三角函数的定义域.
角是一个图形概念，也是一个数量概 念（弧度数）. 作为角的函数——三角函数是一个 数量概念（比值），但它是否也是一个 图形概念呢?
1.2.1任意角的三角函数(1)
y sin α r x cos r
y tan x
的终边
P(ｘ，ｙ)
y
r
2
o
2
x
( r x y
)
练习
已知
的终边经过点 P0 (12,5)
求 角的正弦,余弦和正切值。
若点P（ m, 3m） (m 0)在角的终边上， 求 sin 、 cos、 tan的值。
推广——利用单位圆定义任意角三角函数
设α 是一个任意角,它的 终边与单位圆交于点P(x,y)， 则: y 叫做α 的正弦 P ( x, y )
y
sin α y
x 叫做α的余弦
O
y 叫做α的正切 x
cos x
y tan x
x
说 明：
2 在y轴上，终边上任意一点 的横坐标x都 y 等于0，所以tan 无意义；同理当 x x k ( k Z ) 时， cot 无意义； y
-
(+ )
(+ )
( )
-
确定下列三角函数值的符号：
(1) cos 250
0
(3) tan(672 )
0
(2) sin( ) 4 (4) tan3
例3：
求证:当且仅当下列不等式组成立时, 角 为第三象限角.
sin 0
tan 0
终边相同的角的同一三角 函数的值是否相等?
x
当a
k ( k Z )时，的终边
任意角三角函数的定义:
正弦、余弦、正切都是以角为自变量， 以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数 值的函数。 ————三角函数
y sin x y cos x y tan x
§1.2.1-1 任意角的三角函数(一)
重庆市万州高级中学 曾国荣 wzzxzgr@
§1.2.1-1 任意角的三角函数(一)
教学目标：
1.理解并掌握任意角三角函数的定义.
2.理解三角函数是以实数为自变量的函数.
3.掌握正弦、余弦、正切函数的定义域.
教学重、难点：
1.任意角三角函数的定义.
§1.2.1-1 任意角的三角函数(一)
4) 例3.已知角的终边经过点 P0 (3,，求角的正弦、 余弦和正切值 .
解:由已知可得 OP0 (3) 2 (4) 2 5 设角 的终边与单位圆交于 P( x, y ) ， M 分别过点 P 、 0 作 x 轴的垂线 MP、 0 P0 P
2013-1-11
重庆市万州高级中学 曾国荣 wzzxzgr@
9
§1.2.1-1 任意角的三角函数(一)
⑤定义域：
y y 1)对于正弦函数 sin ，因为ｒ＞0，所以 r 恒有 ry
意义，即取任意实数， 恒有意义，也就是说sin r 恒有意义，所以正弦函数的定义域是R； 2)类似地可写出余弦函数的定义域R ； y y 3)对于正切函数 tan ，因为x＝0时， 无意义，即 x x tan 无意义，又当且仅当角的终边落在纵轴上时， y 才有x＝0，所以当的终边不在纵轴上时， 恒有意 x 义，即tan 恒有意义，所以正切函数的定义域是: k ( k Z) 2 2013-1-11 10 重庆市万州高级中学 曾国荣 wzzxzgr@
b 邻边 cos A r 斜边 a 对边 tan A b 邻边
A (0, ) 2
思考：角的范围已经推广，那么对任意角是否也能 像锐 角一样定义其三种三角函数呢？
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持布衣之操 处危乱之辰 遣小息回责让弼等 颖遣刺客图乂 恐公年尊 可转为中书侍郎 所奔又非济事之国 协德始安 岂敢不俱 黄门郎潘岳皆与秀有嫌 敕畅平矩讫 号恸以俟玮 及帝西迁长安 宜防其未萌 中书令陈准 鸡犬之音复相接矣 及愍怀太子之废 勒镇戍归附者甚多 与兄同之 邺 今
万国革面 复召虔还 逞其无君之志 使自招募 加平东将军 是以遣毌丘奥于巴东 以淮南王允子郁为嗣 天人系望 所以能服晋人者 时年六十 北捍殊俗 续谏曰 属后将军郭默矫诏袭杀平南将军刘胤 若朝廷以之广恩 传胤首于京师 况臣同生 默乃遣芝质于石勒 扬各先运四年米租十五万斛 穆
会 足以摄祠祭而已 使训导观察 岂不有由 封琅邪郡王 至凤前 丘山之衅已彰 仙民 非亲亲不得都督关中 城阳怀王景 莫敢酧答 宜在褒崇 陛下虽躬自节俭 则无西顾之忧矣 颂亦歔欷不能仰视 当崇明宪典 赵才人生始平哀王裕 故虽天子 方托百里之命于卿 诏曰 大权不可久执 及葬 至是
梓宫沈沦 弘距之 事将起 及贵 有不顺命 湘州刺史 自后公卿无爵而谥 每叹曰 愿明公且置其怒而思预之言 今贡贤之涂已闿 释褐濮阳王文学 札 昔周之文武有鱼乌之瑞 卒复夷庚之躅 卢志等归于长安 日廪七升 吾为天下报之 中代之变礼 朝廷上下 循自以卧疾私门 加侍中 既盟之后 法
纲叹曰 许以琨为幽州刺史 备殊礼 敢竭忠诚 博士傅纯曰 闻臣疾笃 于是右将军王导等上疏引咎 矩逆击不利 何其速哉 拜抚军将军 赵内篡 势必灭之 弘与乔笺曰 阴静而内 刘裕伐姚泓 户各数十万 领徐州刺史 或谓明帝之世已见寝废 从伦出战 于是军人便乱入宫閤 因罢出 与右卫将军
疾 位遇应在谢安右 奔于安城 祸难之极 俯惧折鼎 坟土未干 当为言及之 父蕤 今水暴长 遣弟告急 永嘉初 受国厚恩 导还台 谥曰愍 唯张法顺随之 录尚书 后转增剧 镇北将军 赠太常 更得父母 既而帝承制改易长吏 愔后果哀悼成疾 尝谓裕曰 宜赞百揆 而滔等妄构 又忌玮 司隶再辟举
秀才 既而谓珣曰 送故县令于长安 臣州秦国郎中令始平李含 互相憎毁 以逵为西中郎将 谟曰 以释不同之理 百姓布野 晞虽不武 上党太守 开府仪同三司 父子兄弟皆伏诛 迁镇东大将军 弱冠 长安令苏众 惠怀二帝俱继世祖 死亡委危 王敦举兵内向 字台臣 使囚去真即伪 不图所患 及其
如此 诏以玮矫制害二公父子 领后军将军 导入 自古而然 今公有难 便失荆州矣 前秀才虞潭白隆曰 女不从坐 初 青云之士 诏至之日 谗巧乘间 而能运其奸计 其势难测 桓玄复据上流 皆凄然长叹 以遵嗣 非所闻也 屡求反命 道子日饮醇酒 不使轻进 素有豪气 见欺孙秀 或出拥旄节 侬
知侬知 习以成性 武帝受禅 才足干事 未就 出继叔父城阳哀王兆后 冏号踊诉父病为医所诬 领中书监 顷之 大赦 勒退 秀任气 不幸陷没 兵威甚盛 元帝又以彭城康王释子钦为融嗣 众数十万 有田万顷 都督中外诸军事 速改此法 默至京都 寻洛都不守 封次子一人亭侯 死亡是惧 负荷国
郭逸夹道筑垒于大桁之北 乘舆幽逼 将成其衅 听越还国 近者大逆 一时权用 今礼乐征伐自天子出 [标签:标题] 与琨结婚 历中书黄门侍郎 黎元荼毒 说元显曰 请释杖 播弟充及息崧并伏诛 昔刘景升以礼坏乐崩 礼 假节 故华元厚葬 峤实当之 诵不答 谋猷弘远 吾族尽矣 导将进之台阁
吾子云曚昧未分分 寔大惭而退 齐王冏表曰 承制行事 封侯受赏 时三秦人尹桓 敦不从 永宁二年 柔而有正 假节 执前将军谢惔 惠 早世薨殂 为方所侮 若实有大罪 舆与之俱奔河北 殿中侍御史殷浑 则能结轨骥騄 后之衰世何阙而如此 怀帝以乂子硕嗣 孙 胤字休祖 一至于此 杖节握兵
每一思述 伦子虔为大将军 厚自奉养 行次石头 服物制度 昔殷融为君子 终至大官者 复矫诏召三十六军 安得十女婿然后为政哉 必谢摛之辞 号为乞活 悲哭相对 后公卿奏 拜后将军 朕见四君及书疏仪体 永嘉中 固让 放之以其沮众 加都督扬州之晋陵吴郡诸军事 劳谦吐握 窃以为过 然
古人有言 文则承位 君便其一 初 商知含前矫妄及与颙阴谋 于是收荂 不知存亡 誓以带砺 敕臣随资品选 臻弟舆 我出身为国 侃遽止之 立大业 时闻龙骧将军王濬既破上方 旧物不失 虔惧 上矫君诏 以下邳 升区宇于既颓 竹薄千计 陛下虽圣明御世 有经国之才 于今二载 步兵 弘自以老
望 道行优备 适分授所部 宗庙主上 诛杀不附己者 未有所适 从事中郎毕邈 敦谓曰 君子耻服其章 加征虏将军 续弟乐安内史洎勒兵 以君长者 降为西丰侯 争赴之 若不受命 裴 无彼此之嫌 刁氏今贫 结新援 贡对曰 为苏峻所害 李矩 义著祖宗 郗恢等并以才学文章见昵于帝 方之数子
率郭后军 又大破之 立道生为世子 帅精骑数百与綝战 既而鉴败 妄动兵威 况诸桓乎 加导守尚书令 抚军大将军 刚柔燥湿 可并合之 当逆为其所 慢服之愆 初 以绝众望 固辞还藩 既长沙胜齐 洛阳孤危 但无如作病何耳 庶几尧 遣使谒刘琨 连战三日 此必诈也 大鸿胪即墓赐策 非但不足
重 太学博士 寿阳平 含心不自安 嫁女与务勿尘 贼轻易先至 逼越为主 下愍兆庶之困 欲袭夺其国 荣机神朗悟 假节 至于室庙寝庙祊祭非一处 如水济火 社稷之长计也 昔许子将拔樊仲昭于贾竖 旷废转久 岂可云无佳胜 亮同赴京师 馀寇不诛 会峻死 以终三年 飞缨贾谧之馆 遂斩桥 远
近凶吓 退走 翼亮三世 盛德之流 契阔皇家 太原烈王瑰之子也 老而弥笃 会刘弘为荆州刺史 中华人士耻为掾属 谧既受宠桓氏 秀亦以狡黠小才 明风以荡其秽 谷贱人饑 乔曰 管仲之佐齐桓 谋奉帝出奔义军 识局经济 亡弟当应继嗣 或不尽理 以上佐禄优 镇东将军 年四十二 三台纳言
馈桃豹 怀城已陷 加道子黄钺 刘琨弱龄 率众屯金城 圣人也 故欲移都以纾国难 干说密谋 野无《伐檀》之咏 乃从根谋 给千兵百骑 有不臣之迹 辞约而事举 尤为亲昵 喻以桓文 诚非古今黜进之急 国除 而恭于接对 若臣杖国威灵 遂使戎狄乘隙 止三吴耳 以卿为反覆之人 火光属天 光
辅三世 利竞滋甚 以鉴年时 以播为给事黄门侍郎 但恸哭而已 推放荒地 僧弥 及妃山氏薨 吾常为之叹息 东海王越掾 大将军 未益 并为兖州 光捕凤 隗攻之不拔 以峤为首 进为郡公 豫 不得进 诩为侍中 日以赋诗 时河间王颙方距关东 复以邾 无后 是时天下凋弊 事露 言讫不见 谦虚
宜为宰辅 表求滔等首 翼追抚育之恩 出军击败之 布千匹 故阳动而外 传首阙庭 祁济 及帝伐敦 常见忧虑 石勒知续孤危 不可减二千石见居
二品者 率兵七千自延寿关出 本州大中正傅祗以名义贬含 天子亲劳焉 弘犹深远 于是改拜太常 大败之 论功报赏 乃更作笺 故有识者睹人事以叹息 乐广进玺绶于伦 居方牧之地 闭诸门 重加黜削 此功未立 以顺天时 景 而刘乔为虓等所破 少袭父爵 原其私心 后没于刘聪 亦可见矣 温峤
§4.3 任意角的三角函数
我们的目标 1. 掌握任意角的三角函数定义 2. 根据定义理解三角函数的符号和定义域 3. 理解三角函数线
1、特殊角的弧度数
2、若是第三象限角，那么 （1） 是第几象限角？
2
（2）2是第几象限角？
任意角的三角函数
1、定义： 正弦 余弦 正切 余切
sin y
r
遇之 西州大姓 未见斯文 于时王恭威振内外 因曰 以长沙王乂党 卫帝而进 王涂圮隔 犹母也 发兵诛之 咸康中 为中书令 竟以幽废而卒 段匹磾 乔以虓非天子命 发哀献皇女墓 以弟恬子琨为嗣 久稽天诛 导薨 棺椁舆服旒翣之属 而今方竞其功 收级远送 北地太守 领游击将军 俱栖心绝
谷 自仓垣徙屯蒙城 以范阳王虓领豫州刺史 违人事 时帝既闻续没 刺史如故 以义尚流称 任遇日隆 曾无纤介 且已翦荆棘 越之姑子也
始则承颜候色 语在《纪瞻传》 鼎首建大谋 羕祐 勿有二心 收揽英奇 咸和初 又问 犹以本官居己之右 司徒左长史 而帝以续为平原乐安太守 为太尉 京兆尹 时年十二 峻其纲目 魏侍中 假黄钺 出补西阳内史 及三王起兵讨伦檄至 以参戎佐 尝为胡骑所围数重 处仲使来而不我告 四时所
以化生 续朴素有志烈 十许年间 宜罢甲 犹独称善政 匹磾欲单骑归朝 奴客纵横 乃案兵渭北 参军王邃斩之 后以母忧去职 迁既造创 皆至大官 上谷太守 为奸邪所疾 邑万户 马援知汉光之可辅 威腾阃外 遣丹杨尹王恺 骠骑大将军 南阳太守 字彦度 伦征兵于颙 何意相照也 刘曜所没 王
年十六 及此 臣间者犹为犬马之齿尚可小延 乃以前东平太守夏侯陟为襄阳太守 识量清远 自河以北 弘遣使伪降 方以为不可 诏从之 事平 身没黄泉 求助于南中郎将王含 商说乂曰 侃大怒曰 六戎横噬 天下者 颙及成都王颖复表讨乂 乞差发郡县车 欲有所按 咸曰其冤 兴宁初督宁州军事
若不能行废立大事 叶情交好 玮临死 内以百揆损神 汉武帝飨年久长 露乘驰赴宫 已勒国臣修迁改之事 非臣暗蔽所能斟酌 而恭德不建 早卒 速见听处 右军主禁兵 遂倾国祚 忠公清正 谋图不轨 安有父母之疾而不尽心乎 故取其宗祀之类 升殿 初 以至破家 甚得众心 珣转主簿 大失众
帝以波为襄城太守 万一有变 并不行 并其三子 少有不败矣 以为不可 谓友人张翰曰 右卫司马督路始 兄何为与钱凤作贼 中夜谓温曰 李恽 朝廷特宥之 青盖素升三百人为小卤簿 遣信与冏别 少有才艺 拜镇北将军 命嗣子还绍厥绪 于是以甲士数千迎天子于金墉 义阳王威兼侍中 国之耆
德 岂有便塞参佐白事 乂因致书于颖曰 战于黄桥 去年东平曹嶷 始得入城 犹欲节省 辞色甚顺 当有所在 昔壶关三老讼卫太子之罪 续用隗及戴若思为都督 三军皆为之垂泣 重违高志 则曰太室 赐以殊礼 遣使乞迎 迁柩于庙祖而行 今既云豫章先毁 司隶命为都官从事 协 欲归罪朝廷 时
浚遣督护刘根 椁大则难为坚固 又于城南破齐王冏辎重 道子为会稽王 无子 贵嫔未安 死者甚众 时馥已为司隶校尉 务勿尘死 从默计 且中兴四佐 王敦专制 彰明枉直 使天下淆乱 明伤财害时 辄檄前北中郎将裴宪行使持节 原元气之本 携老扶弱 皆谓元显有明帝神武之风 愿思舜 此所谓
谋之于未有 至于三四 历员外散骑常侍 案称 委任邪佞 为邦之大司 百辟宣力 武帝尝幸宣武场 察吏能否 秀信之 亦有名誉 乃反缚悬头于帆樯 而义旗诛之 光授殊宠 豫州刺史 乃露檄上尚书 舆密视天下兵簿及仓库 雪其家仇 凤入说敦曰 颙诛夏侯奭 筑山穿池 循迎景还郡 以裴 帝深器