离散型随机变量及其概率分布
离散型随机变量与概率分布
离散型随机变量的概率分布
离散型随机变量的性质：取 值具有可数性，取值范围是 离散的
离散型随机变量的定义：在 一定范围内取有限个值的随 机变量
离散型随机变量的概率分布： 描述离散型随机变量取各个 可能值的概率
离散型随机变量的概率分布 函数：描述离散型随机变量
取值范围的累积概率
离散型随机变量的概率分布
方差：D(X)=n*p*(1-p)
泊松分布
定义：泊松分 布是一种离散 概率分布，描 述了在单位时 间内随机事件 发生的次数的
概率分布。
特点：泊松分 布的数学期望 和方差都等于 参数λ。当λ增 加时，随机变 量取较大值的 概率也增加。
应用场景：泊 松分布在多种 领域中有广泛 应用，如物理 学、生物学、 医学、经济学
方差的性质： D(aX+b)=a^2*D(X)，其
中a、b为常数
期望与方差的关系： D(X)=E[(X-E(X))^2]
常见的离散型随机变量
二项分布
定义：一个离散型随机变量的取值 只取0和1，且取每个值的概率为p 或q=1-p
期望值：E(X)=n*p
添加标题
添加标题
添加标题
添加标题
概率计算公式：P(X=k)=C(n,k) * p^k * (1-p)^(n-k)，其中n为试 验次数，k为成功次数
应用：在统计学、 概率论、决策理 论等领域有广泛 应用。
离散型随机变量的概率分布表
离散型随机变量的定义
离散型随机变量的概率分 布函数
离散型随机变量的概率分 布表的意义
离散型随机变量的概率分 布表的计算方法
离散型随机变量的期望与方差
期望的定义与性质
离散型随机变量的期望定义 期望的性质：线性性质、交换律、结合律、期望的期望等于期望本身 期望的计算方法：直接计算法、数学归纳法、递推法 期望与方差的关系：方差是期望的函数，期望是方差的线性函数
离散型随机变量的概率分布
解
设 p 为每组信号灯禁止汽车通过的概率, 则有
X0
1
2
3
4
pk p (1 p) p (1 p)2 p (1 p)3 p (1 p)4
将 p 1 代入得 2
X0
1
pk 0.5 0.25
2
0.125
3
4
0.0625 0.0625
离散型随机变量分布律与分布函数的关系
分布律
pk P{X xk }
3.二项分布
(1) 重复独立试验 将试验 E 重复进行 n 次, 若各次试验的结果互 不影响 , 即每次试验结果出现的概率都不依赖于其 它各次试验的结果, 则称这 n 次试验是相互独立的, 或称为 n 次重复独立试验.
(2) n 重伯努利试验
伯努利资料
设试验 E 只有两个可能结果: A 及 A,则称 E 为伯努利试验. 设 P( A) p (0 p 1),此时P( A) 1 p.
正面, 反面.
随机变量 X 服从 (0—1) 分布.
其分布律为
X
0 1
1
1
pk
2
2
实例2 200件产品中,有190件合格品,10件不合格 品,现从中随机抽取一件,那么,若规定
X
1, 0,
取得不合格品, 取得合格品.
X0
1
pk
190 200
10 200
则随机变量 X 服从(0 —1)分布.
说明
两点分布是最简单的一种分布,任何一个只有 两种可能结果的随机现象, 比如新生婴儿是男还是 女、明天是否下雨、种籽是否发芽等, 都属于两点 分布.
P{X = a} = 1 则称 X 服从 a处的退化分布.
2.两点分布（Bernoulli分布)
2.2离散型随机变量及其概率分布
8
5
k
24
小结
离 散 型 随 机 变 量 的 分 布
二项分布 泊松分布
两点分布
两点分布
n1
二项分布
n 10, p 0.1, np
泊松分布
25
二项分布与 (0 1) 分布、泊松分布之间的 关系 .
二项分布是 (0 1) 分 布 的 推 广 , 对 于n 次 独 立重复伯努利试验 ,每 次 试 验 成 功 的 概 率 为 p, 设 , 1, 若 第 i 次 试 验 成 功 Xi ( i 1,2, , n) . 0, 若 第 i 次 试 验 失 败 它们都服从 (0 1) 分 布 并 且 相 互 独 立 , 那末 X X1 X 2 X n 服 从 二 项 分 布 , 参 数 为( n, p).
定义2 如果随机变量 X 只有两个可能取 值，其概率分布为
P{ X x1 } P , P{ X x2 } q 1 p(0 p 1, p q 1)
则称X服从 x1 , x2 处参数为p的两点分布. 特别，若X服从
x1 1, x 0 处参数为p的两点分布，即
p
k 1
5
k
1
1 a . 15
5
关于分布律的说明：
若已知一个离散型随机变量X的概率分布 X P x1 p1 x2 p2 ... ... xn ... pn ...
则可以求X所生成的任何事件的概率，特别地：
P{a X b} P{ { X xi }} pi
a xi b a xi b
26
以 n, p ( np ) 为参数的二项分布 ,当 n 时趋 于以 为参数的泊松分布 ,即
离散型随机变量与概率分布
离散型随机变量与概率分布离散型随机变量（Discrete Random Variable）是指在一定范围内取有限个或可列个值的随机变量。
与之相对应的是连续型随机变量，后者可以取任意连续的值。
在概率论和数理统计中，离散型随机变量是一个重要的概念，它通常用于描述实验中可以明确计数的结果。
离散型随机变量的概率分布（Probability Distribution）描述了该变量取特定值的概率。
概率分布可以通过概率质量函数（Probability Mass Function，PMF）或累积分布函数（Cumulative Distribution Function，CDF）来表示。
下面将介绍离散型随机变量的概率质量函数和累积分布函数，并给出两个例子进行说明。
一、概率质量函数概率质量函数（PMF）是离散型随机变量取各个值的概率。
对于离散型随机变量X，其概率质量函数可以表示为P(X=x)，其中x为该随机变量可能取的某个值。
概率质量函数需要满足以下两个条件：1. 非负性：对于所有可能的取值x，P(X=x) ≥ 0。
2. 概率的总和为1：所有可能取值的概率之和等于1，即∑P(X=x) = 1。
通过概率质量函数，我们可以计算出随机变量X取某个特定值的概率。
例如，假设有一个公平的六面骰子，投掷一次，随机变量X代表出现的点数。
则该骰子的概率质量函数为：P(X=1) = 1/6P(X=2) = 1/6P(X=3) = 1/6P(X=4) = 1/6P(X=5) = 1/6P(X=6) = 1/6二、累积分布函数累积分布函数（CDF）是离散型随机变量小于等于某个特定值的概率。
对于离散型随机变量X，其累积分布函数可以表示为F(x)=P(X≤x)，其中x为该随机变量的某个值。
累积分布函数也需要满足概率的基本要求。
通过累积分布函数，我们可以计算出随机变量X小于等于某个特定值的概率。
以前述的六面骰子为例，该骰子的累积分布函数为：F(x) = P(X≤x)F(1) = 1/6F(2) = 2/6 = 1/3F(3) = 3/6 = 1/2F(4) = 4/6 = 2/3F(5) = 5/6F(6) = 1三、例子说明例子1：硬币投掷假设有一个公平的硬币，投掷一次，随机变量X代表正面朝上的次数。
离散型随机变量的概率分布
X
pk
x1
p1
x2
p2
…
…
xn
pn
…
…
第2章
§2.2 离散型随机变量及其概率分布
第3页
分布列具有如下性质： （1）非负性： pi ≥ 0 （2）规范性： （i=1,2，…）
i
p
i 1
1
例2 已知随机变量X的概率分布为：
(3) 汽车司机刹车时，轮胎接触地面的点的位置是在[0, 2r]上取值的随机变量，其中r 是轮胎的半径．
第2章
§2.2 离散型随机变量及其概率分布
第2页
定义4 设离散型随机变量X所有可能的取值为 x1 , x2 , … , xn , … X取各个值的概率，即事件{X=xi}的概率为
P { X = xi } = pi （i = 1, 2, …）
k 3 k C4 C6 可表示为 P{ X k} (k 0,1,2,3) 3 C10
C 4 C6 C4 3 1 P{X 2} , P{X 3} 3 3 10 C10 C10 30
4红
X
pk
0
1 6
1
1 2
2
3 10
3
1 30
第2章
§2.2 离散型随机变量及其概率分布
X P
0 1 2
1 1 1 2 2
2 1 1 1 2 2 2
3 11 1 22 2
第2章
§2.2 离散型随机变量及其概率分布
第13页
2.1.2 常见的离散型随机变量 1. 0-1分布 若随机变量 X 只可能取 0 和 1 两个值，概率分布为
概率论与数理统计 第二章 随机变量及其分布 第二节 离散型随机变量及其概率分布
以X记“第1人维护的20台中同一时刻发生故障的台 数”以Ai ( i 1,2,3,4)表示事件“第i人维护的20台中 ,
发生故障时不能及时维修”, 则知80台中发生故障
而不能及时维修的概率为
三、几种常见离散型随机变量的概率分布
P ( A1 A2 A3 A4 ) P ( A1 )
三、几种常见离散型随机变量的概率分布
3、独立重复试验与二项分布 （1）独立重复试验
三、几种常见离散型随机变量的概率分布
例5 某射手在一定条件下，独立地向目标连续射 击4次，如果每次击中目标的概率为0.8，求 ①恰好中三次的概率；②至少击中三次的概率。
三、几种常见离散型随机变量的概率分布
例5 某射手在一定条件下，独立地向目标连续射 击4次，如果每次击中目标的概率为0.8，求 ①恰好中三次的概率；②至少击中三次的概率。
三、几种常见离散型随机变量的概率分布
练习1 某类灯泡使用时数在1000小时以上 的概率是0.2，求三个灯泡在使用1000 小时以后最多只有一个坏了的概率.
解: 设X为三个灯泡在使用10ห้องสมุดไป่ตู้0小时已坏的灯泡数 . 把观察一个灯泡的使用 时数看作一次试验, “使用到1000小时已坏” P{X 1} =P{X=0}+P{X=1} 视为事件A .每次试验, A )3+3(0.8)(0.2)2 =(0.2出现的概率为0.8
本例中，n=20，p=0.2, 所以，(n+1)p=4.2, 故k0=4。
三、几种常见离散型随机变量的概率分布
练习3 设有80台同类型设备,各台工作是相互独立 的发生故障的概率都是 0.01,且一台设备的故障能 由一个人处理. 考虑两种配备维修工人的方法 , 其 一是由四人维护,每人负责20台; 其二是由3人共同 维护台80.试比较这两种方法在设备发生故障时不 能及时维修的概率的大小. 解 按第一种方法
第二节 离散型随机变量及其分布
例3.1.3 (进货问题）由某商店过去的销售记录知
道，海尔彩电每月的销售数可用参数为λ =5的泊 松分布来描述，为了以95%以上的把握保证月底不 脱销，问商店在月底至少应进多少台？ 解：设每月的销售数为X，月底进N台，则
其概率分布为 P ( X 1) 3 10 即X服从两点分布。
7 P( X 0) 10
(2) 二项分布 B ( n, p )
背景：n 重Bernoulli 试验中，每次试验感兴 趣的事件A 在 n 次试验中发生的次数 —— X是一离散型随机变量
若P ( A ) = p , 则
Pn ( k ) P ( X k ) C p (1 p)
P{ X 1} 1 P{ X 0} =1 0.99
成功次数服从二项概率
400
0.9820
B(400, 0.01)
有百分之一的希望，就要做百分之百的努力!
(3) Poisson 分布 ( ) 或 P ( )
k! 其中 0 是常数，则称 X 服从参数为 的Poisson 分布，记作 ( ) 或 P ( )
k n k
n k
, k 0,1,, n
称 X 服从参数为n, p 的二项分布(也叫Bernolli 分布).记作
X ~ B( n, p)
0 – 1 分布是 n = 1 的二项分布.
例3.1.1 一大批产品的次品率为0.1，现从中取
出15件．试求下列事件的概率： B ={ 取出的15件产品中恰有2件次品 } C ={ 取出的15件产品中至少有2件次品 }
概率统计中的离散型随机变量和概率分布
概率统计中的离散型随机变量和概率分布概率统计是一门研究随机现象的概率规律和统计方法的学科，离散型随机变量和概率分布是其中的重要内容。
离散型随机变量是指取有限个或无限个可列值的变量，而概率分布则是描述这些可列值的变量在不同取值下发生的概率的规律。
本文将介绍离散型随机变量的基本概念和概率分布的常见类型。
首先，我们来了解离散型随机变量的定义和特点。
离散型随机变量是一个在随机试验中可能取不同离散值的变量。
它的取值是可数的，即可以通过一个集合表示出来。
比如，随机试验抛掷一个六面骰子，那么点数就是一个典型的离散型随机变量，其可能的取值为1、2、3、4、5、6。
离散型随机变量的特点是在每一个可能的取值上都有一个概率与之对应。
接下来，我们将介绍离散型随机变量的概率分布。
概率分布是描述离散型随机变量在不同取值下的概率规律。
常见的概率分布包括离散型均匀分布、伯努利分布、二项分布和泊松分布等。
离散型均匀分布是最简单的概率分布之一。
它的特点是取值概率相等且固定。
比如，一个骰子的点数就符合离散型均匀分布，因为每一个点数的概率都是1/6。
伯努利分布是描述只有两个可能结果的随机试验的概率分布，比如成功或失败、正面或反面。
伯努利分布的参数是成功的概率p和失败的概率q=1-p。
伯努利分布的概率函数可以用来计算在n次独立重复试验中成功恰好出现k次的概率。
二项分布是伯努利试验的推广，它描述了在n次重复独立试验中成功事件发生k次的概率分布。
二项分布的参数是重复试验的次数n和成功概率p。
二项分布在众多实际问题中具有广泛的应用，比如估计选民中对某候选人的支持率等。
泊松分布是描述在一定时间或空间内事件发生次数的概率分布。
泊松分布的参数是单位时间或单位空间内事件的平均发生率λ。
泊松分布适用于事件发生的次数相对较稀少的情况，比如一个地区某种疾病的发病率。
除了以上几种常见的离散型概率分布外，还有一些其他的概率分布，比如几何分布、负二项分布和超几何分布等，它们在不同的应用场景中发挥着重要作用。
2.2离散型随机变量及其分布
例1
从中任取3 从中任取 个球 取到的白球数X是一个随机变量 取到的白球数 是一个随机变量 X可能取的值是 0,1,2 可能取的值是
C 1 取每个值的概率为 P(X=0)= = C 10 3 且 CC 6 ∑P( X = i) = 1 P(X= )= 1 = i=1 C 10 1 2 这样，我们就掌握了X这个 这样，我们就掌握了 这个 C3C2 3 P(X=2)= 3 = 随机变量取值的概率规律. 随机变量取值的概率规律 C5 10
P( X =1) = p,0 < p <1 P( X = 0) =1 p = q
或 P(X＝k)＝pk(1－p)1－k, (0<p<1;k＝0,1) ＝ ＝ － － ＝ 1)
2. 二项分布
每次试验中， 设将试验独立重复进行n次，每次试验中， 事件A发生的概率均为p，则称这n次试验为 n重贝努里试验. 重贝努里试验. 表示n重贝努里试验中事件 用X表示 重贝努里试验中事件 （成功） 表示 重贝努里试验中事件A（成功） 出现的次数， 出现的次数，则
P(X=k)=C (0.8) (0.2) , k = 0,1,2,3 把观察一个灯泡的使用
时数看作一次试验, 时数看作一次试验 P(X ≤ =P(X=0)+P(X=1) 1)
k 3 k
3k
“使用到 使用到1000小时已坏” 小时已坏” 使用到 小时已坏 视为“成功” 每次试验, 视为“成功 每次试验 )3+3(0.8)(0.2)2 ”.每次试验 =(0.2 “成功”的概率为 成功” 成功 的概率为0.8
例5 解: 当 当
X p
0 1 2 1 1 1 3 6 2
，求 F(x).
F(x) = P(X ≤ x)
第二节 离散型随机变量及其概率分布
P( X ≤ 0.1 | X ≥ 1) = P( X ≤ 1, X ≥ 1) = P( X = 1) = 0.27 = 0.303
10
P( X ≥ 1)
P( X ≥ 1) 0.89
二项分布的图形特点：
Pk X~B(n,p)
对于固定n及p，当k增加时，
概率P(X=k) 先是随之增加直至
− 10
=
0 .9513
> 0 .95 .
只要在月底进货15件(假定上个月没有存货)，就可
以95%的概率保证这种商品在下个月内不会脱销．
二项分布的泊松近似
定理（泊松定理） 在 n 重伯努利试验中，事件 A 在每次试验中发生概率为 pn （注意这与实验的次数
n 有关），如果 n → ∞ 时， npn → λ （ λ > 0 为常数），
多少件？
解 设商店每月销售该种商品X件，月底的进货量为 n件，
按题意要求为 P{X ≤ n}≥ 0.95
∑ X服从λ = 10的泊松分布，则有
由附录的泊松分布表知
∑14
k =0
10 k k！
e
−
n k =0
10k k！e
−10
≥
10 = 0 .9166
0.95
< 0 .95
，
∑15
k =0
10 k k！e
则对任意给定的非负整数 k，有
( ) lim
n→∞
⎛ ⎜ ⎝
n k
⎞ ⎟ ⎠
pnk
1 − pn
n−k = λ k e−λ .
k!
证明略．
上面我们提到
二项分布 np → λ ( n → +∞ )泊松分布
离散随机变量及其概率分布
离散随机变量及其概率分布离散随机变量是概率论中一个重要的概念。
本文将从离散随机变量的定义和基本概念入手，逐步介绍离散随机变量的概率分布及其性质。
一、离散随机变量的定义和基本概念离散随机变量是指在一组可列的、互不相容的事件中，每个事件的概率都大于等于0且小于等于1。
换句话说，离散随机变量的取值是可数的，而不是连续的。
离散随机变量的取值可以是整数，也可以是自然数，它们可以代表不同的离散情况。
例如，一个骰子的点数可以表示为离散随机变量X，其取值范围为{1, 2, 3, 4, 5, 6}。
离散随机变量的概率分布可以通过随机变量的概率质量函数（probability mass function，简称PMF）来表示。
PMF定义了离散随机变量X取某个特定值的概率。
记作P(X = x)，其中x表示随机变量X的某个取值。
二、离散随机变量的概率分布离散随机变量的概率分布常用的形式有：概率质量函数、累积分布函数和期望值。
1. 概率质量函数（Probability Mass Function，PMF）概率质量函数是离散随机变量的概率分布的一种表示方式，它定义了离散随机变量X取某个特定值的概率。
对于离散随机变量X，其概率质量函数可以表示为：P(X = x) = p(x)，其中x为离散随机变量X的取值，p(x)为X取x的概率。
2. 累积分布函数（Cumulative Distribution Function，CDF）累积分布函数是离散随机变量的概率分布的另一种表示方式，它定义了离散随机变量X小于等于某个特定值的概率。
对于离散随机变量X，其累积分布函数可以表示为：F(x) = P(X ≤ x)，其中x为离散随机变量X的取值。
3. 期望值离散随机变量的期望值是对随机变量的一种平均衡量，可以用来表示一个随机变量的平均取值水平。
对于离散随机变量X，其期望值可以表示为：E(X) = ∑[x·p(x)]，其中x为离散随机变量X的取值，p(x)为X取x 的概率。
离散型随机变量的概率分布
n次试验中A发生的总次数，则
X的可能值为 0,1,2,…,n, 且
P(X
k)
C
k n
pk (1
p)nk , k
0,1,2,...,
n
称 X ~ B(n, p) 二项分布
n重
A发生的概率
证明：指定的k次（如前k次）让A发生，其余
的（n-k）为 A发生
而事件A在n次试验中发生k次的方式为：C
k n
P(X
§2 离散型随机变量的概率分布
主要内容
一、离散型随机变量的定义及其分布律 二、常用分布 三、常用分布之间的联系
一、离散型随机变量的定义及其分布
1. 定义 如果随机变量X所有可能值是有限个或无限可 列个，则称X为离散型随机变量。 2. 概率分布
要掌握一个离散型随机变量的分布，必须
且只需知道以下两点
(1) X所有可能的取值: x1, x2, , xk ,
例 2 某一城市每天发生火灾的次数X服从参数为 0.8的泊松分布. 求:该城市一天内发生3次以上火灾 的概率.
解: P( X 3) 0.8k e
k3 k!
查表
0.0474
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三. 常用分布的联系 1. 0-1分布和B(n,p)
X ~ B(n, p)中，当n 1时，X ~ 0 1分布，且X分解为
2
b 3 2b 1
1
2 3
b 1 2
练习1: 设随机变量X的分布律为：
P( X k) a , k 1,2, ,10. 10
试求常数a. (a 1)
练习2: 设随机变量X的分布律为：
P( X k) a k , k 0,1,2,...., 0为常数。
第二节离散型随机变量及其分布函数离散型随机变量及其概率分布
将暴雨发生看做稀有事件, 利用泊松分布来建 立上海市一个夏季暴雨发生 k (k = 0,1,2,L) 次的概率分 布模型.
设 X 表示夏季发生暴雨的次数, 由于 故得上海市暴雨发生次数的概率分布模型为
λ = np = 153 ×
180 = 2.9, 63 × 153
P{ X = k} =
2.9 k − 2.9 e , k!
k = 0,1,2,L.
由上述 X 的概率分布计算63年中上海市夏季发 生 k 次暴雨的理论年数 63P{X = k}, 并将它与资料记 载的实际年数作对照, 这些值及 的值均列入 下表.
P{ X = k}
课堂练习
1.某类灯泡使用时数在 1000 小时以上的 概率是 0.2, 求三个灯泡在使用 1000 小时以后 最多只有一个坏了的概率. 2.一汽车沿一街道行驶, 需要通过三个均 设有红绿信号灯的路口, 每个信号灯为红或绿 与其它信号灯为红或绿相互独立, 且红绿两种 信号灯显示的时间相等. 以 X 表示该汽车首次 遇到红灯前已通过的路口的个数, 求 X 的概率 分布.
i
X
i
i
X pi
x1 p1
x2 L p2 L
xn L pn L
二、常用离散分布
退化分布 两点分布 个点上的均匀 分布 二项分布 几何分布 超几何分布 泊松分布：泊松分布是概率论中最重 要的几个分布之一. 实际问题中许多随机 现象都服从或近似服从泊松分布.
三、二项分布的泊松近似
定理1 定理 (泊松定理) 在 n 重伯努利试验中, 事件 A 在每次试验中发生的概率为 (注意这与试验的 次数 n 有关), 如果 n → ∞ 时, np → λ ( λ > 0 为常数), 则对任意给定的 k , 有
2.2离散型随机变量及其概率分布
a P X k , k 1,2,, N , N
试确定常数a.
解 由离散型随机变量分布列的性质（2）规范性，
a a P{ X k} N N N 1 k 1 k 1
N
N
a 1
旧书（56页1题）
1. 判断下面各数列是否为随机变量的分布列，并说明理由．
易于验证：
1) P{ X k}
k
k!
e 0, k 0,1,2,, 非负性
2)
P{ X k}
k 0 k 0
k
k!
e
k
规范性
e
k!
k 0
e e
1
例6：某商店根据过去的销售记录,总结出某种商品每 月的销售量可以用参数为 5 的泊松分布来描述,求： (1)下个月该商店销售2件此种商品的概率是多少？
的概率为：
记为
k n k n k
X ~ B(n, p).源自P X k C p (1 p)
(k 0,1 n)
练习：某射手每次射击时命中10环的概率为 p, 现 进行 4 次独立射击，求 恰有 k 次命中10环的概率。
解：用X 表示 4 次射击后, 命中10环的次数, 则
X 的概率分布为
参数为 np 1 的泊松分布近似计算，得
1 解 因为 500 个错字随机分布在 500 页书上，所以错字出现在每一页的概率都是 ． 500 1 )， 设 X 表示在给定的某一页上出现错字的个数，则 X ~ B(500 , 500
1, X ( ) 0,
X
反面, 正面.
1
离散型随机变量的概率分布
离散型随机变量的概率分布一、定义与性质1.离散型随机变量：随机变量X的取值是 countable 的，即X的所有可能取值可以构成一个可数集合。
2.概率分布：离散型随机变量的概率分布是指随机变量取每一个可能值的概率。
3.概率的基本性质：a.非负性：概率值非负，即P(X=x)≥0。
b.归一性：所有可能取值的概率之和为1，即ΣP(X=x)=1。
c.互斥性：不同取值之间的概率没有交集，即P(X=x1)∩P(X=x2)=0（x1≠x2）。
二、概率分布的数学描述1.概率质量函数（Probability Mass Function, PMF）：离散型随机变量的概率分布通常用概率质量函数f(x)来描述，定义为P(X=x)=f(x)。
2.概率分布表：将所有可能的取值及其对应的概率列成表格，称为概率分布表。
3.伯努利分布（Bernoulli distribution）：定义在随机试验成功（记为1）和失败（记为0）上的两点分布，其概率质量函数为P(X=1)=p，P(X=0)=1-p。
4.二项分布（Binomial distribution）：在n次独立重复试验中，成功次数的离散型随机变量遵循二项分布，其概率质量函数为P(X=k)=C(n,k)p k(1-p)(n-k)，其中，n为试验次数，k为成功次数，p为每次试验成功的概率。
5.几何分布（Geometric distribution）：在伯努利试验中，第一次成功之前试验次数的离散型随机变量遵循几何分布，其概率质量函数为P(X=k)=(1-p)^(k-1)p。
6.负二项分布（Negative binomial distribution）：在伯努利试验中，试验次数达到r次之前成功次数的离散型随机变量遵循负二项分布，其概率质量函数为P(X=k)=C(r-1,k-1)(1-p)(r-k)p k。
7.超几何分布（Hypergeometric distribution）：从N个对象中抽取n 个，其中有K个成功对象，抽取k个成功对象的离散型随机变量遵循超几何分布，其概率质量函数为P(X=k)=C(K,k)C(N-K,n-k)/C(N,n)。
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(2)
p
k 1
k
1
注意：任一具有上述两个性质的数列｛pk}，都有资格作为 某一个随机变量 X 的分布列。
这是判别某个数列是否成为分布列的充要条件！
用于验证概率函数 的正确与否。
2
练习1
下面给出的是不是概率函数？
1 1 k (1) P ( X k ) ( ) , k 0,1, 2, 2 3 1 k (2) P ( X k ) ( ) , k 1, 2, 2
P{ X k }
单调减少.
先是随之增加直至达到最大值，
随后
(2) 二项分布的最可能值与最大概率 二项分布中 X 共有 n + 1 个可能的取值 0, 1, … , n，使 P(X = k ) 达到最大的 k 记作 k0，称 k0 为二项分布的最可能值. 把 P(X = k0 ) 称为二项分布的最大概率. 由于 P(X = k0 ) 最大，所以
10
2.两点分布 若X的概率分布为：P( X=x1 ) =p, P( X=x2 ) = 1-p . (0<p<1) 则称X服从参数为p的两点分布. X P 0 1-p 1 p
若X服从x1=1 , x2=0 处参数为p的两点分布，则称X服从0-1分布。
注
0-1分布中X的实质： 设P(A)=p，X“一次试验中A发生的次数”，则X服从0-1分 布.
(3) P( X 1) 1 P( X 0) 1 0.110 1
一般地，设X ～b(n, p)，则 A至多发生m 次的概率为 P( X m)
k k nk C np q k 0 m
A至少发生一次的概率为 P(X≥1)=1- P(X=0)= 1- q n
16
练习 从一批废品率为0.1的产品中，重复抽取20个进行检验，
k P( X k ) C10 0.9k 0.110k , k 0,1,...,10. 4 (1) P( X 4) C10 0.940.16 =0.000138 9 10 (2) P( X 8) 1 P( X 8) 1 C10 0.990.1 C10 0.910 0.2639
19
例4 某工厂每天用水量保持正常的概率为3/4，且每天用水 量是否正常相互独立.求：(1) 最近6天内用水量正常的天数分 布；(2)在最近6天内至少有5天用水量正常的概率；（3）最可 能正常的天数.
解：(1) 设最近6天内用水量正常的天数为X, X ～b(6,3/4 ).其概
率分布为
k 3 k 1 6 k P ( X k ) C6 ( ) ( ) , 4 4
14
20 0-1分布是二项分布的特例：当n=1时，b(1, p)就是0-1分布.
假设一个试验只有两个结果：A和 A ，且P(A)=p.现将试验独立
进行n次，记X为n次试验中结果A出现的次数，则X ～b(n, p)。 若记Xi 为第i次试验中结果A出现的次数，即
1, 第i次结果中A出现 Xi , i 1, 2,, n, 0, 第i次结果中A不出现
k 0.1k 0.920k 0.8670 C20 k 0 3 k 0
3
练习：P37,例3
二项分布的图形特点 在图1和图2中，
pk
分别给出了当
pk
n 10, p 0.7
O
图 1 n 10 , p 0.7
n
O
n
图 2 n 13, p 0.5
和 n 13, p 0.5 时二项分布的图形. 从图易 看出： 对于固定 n 及 p, 当 k 增加时， 概率
(3) P( 1X 2)= P(X=1 )+P(X=2)= 1/15 + 2/15=1/5 P(1<X 2)= P(X=2)= 2/15
要求： 会求离散型随机变量的概率分布（确定常数）； 已知离散型随机变量的概率分布，会求随机变量的取值落在一 个范围的概率；
二、 常用离散分布
1. 退化分布 若 X 的概率分布为：P ( X = a ) = 1 , a 为某一常数, 则称 X 服 从 a 处的退化分布. 此时随机变量退化成了一个常数.
练习： 甲投篮的投中率为0.4，一次投篮中投中的次数X的分布？ X 0 1
11
P 0.6 0.4
例：抛掷硬币的试验中，设事件A ={正面向上} ， P(A)= p 随机变量 X=一次抛掷中A发生的次数，则 X～0-1分布(p)) 另如 1o 进行一次射击，设事件A ={击中} ， P(A)= p
随机变量X=一次射击中A发生的次数，则 X～0-1分布(p) 2o 进行一次投篮，设事件A={投中}， P(A)= p
概率分布为：
3 5 15 P(X=1)= 8 7 56 3 2 1 5 1 3 2 5 5 P(X=2)= P(X=3)= 8 7 6 5 56 8 7 6 56
X P 0 5/8 1 15/56 2 5/56 3 1/56
6
若离散型随机变量X的概率分布为：P (X= xk ) = pk ,
解
(1)由于
k 0
1 k (2)由于P ( X k ) ( ) 0, k 1, 2, 2 1
1 1 k 1 1 k 1 1 3 P( X k ) ( ) ( ) 1 4 2 2 3 2 3 k 0 k 0 1 3 所以这不是概率函数
且
k k nk P( X k ) Cn p q , k = 0, 1, 2, … , n. ( 0<p<1 , p+q = 1)
称X服从参数为n, p的二项分布，记为X ～b(n, p)或B(n, p). 注 10 二项分布满足概率分布的二属性，即P(X=k)≥0(k=0,1,…,n)，且
k k nk n P ( X k ) C p q ( p q ) 1 n k 0 k 0 n n
随机变量X=一次投篮中A发生的次数，则X～0-1分布(p) 3o 从一批产品中任意抽取一个进行检验， 设事件A={废品}，P(A)= p ， 随机变量X=一次抽取中A发生的次数，则 X～0-1分布(p)
3. 均匀分布 若X的概率分布为： P (X = xk ) = 1/n , k = 1, 2, … , n .
k 1
P( X k )
k 1
1 k ( ) 2
2 1 1 1 2
因此这是概率函数
2 k 练习2设随机变量X的概率函数为 P ( X k ) c( ) , k 1,2,3 3
求 c 的值
解
2 2 2 2 3 1 P ( X 1) P ( X 2) P ( X 3) c( ) c( ) c( ) 3 3 3
k 0, 1, 2, ..., 6
4 5 6
X
0
1
2
3
P 0.0002 0.0044 0.0330 0.1318 0.2966 0.3560 0.1780
(2) 最近6天内至少有5天用水量正常的概率为： P (X ≥ 5 ) = P (X= 5 ) + P ( X = 6 ) = 0.3560 + 0.1780 = 0.5340 (3)最可能正常的天数：k0=[(n+1)p]=[21/4]=5
注 （1）为了直观，概率分布表示为：
X x1 x2 … xn …
P p1 p2 … pn … (2) (X=x1 ), (X=x2 ), … , (X=xn) ，…构成完备事件组.
1
2.概率分布的性质
(1) pk≥0， k = 1,2,… ；
P (X= xk ) = pk ,
k = 1, 2, …
且当 i j 时， x i x j ，则称 X 服从离散型均匀分布.
例 掷一枚骰子，出现的点数X服从均匀分布. P(X=k)=1/6 X P 1 1/6 k=1，2，3，4，5，6. 2 3 4 1/6 5 6
1/6 1/6
1/6 1/6
13
4. 二项分布 (1) 定义
若X表示“n重贝努里试验中事件A发生的次数”， X的可能取 值为0,1,2, … , n ,对应的概率分布为：
由性质知
27 解得 c 38
3.会求概率分布及相关概率
例1 掷一枚骰子，求出现的点数的概率分布及P(X≤3) .
解：设X表示出现的点数，则 X=1，2，3，4，5，6. P(X=1)=P(X=2)=P(X=3)=P(X=4)=P(X=5)=P(X=6)=1/6. 所以，X的概率分布为： P(X=k) =1/6 , k =1,2,3,4,5,6. 或 X P 1 1/6 2 1/6 3 1/6 4 1/6 5 1/6 6 1/6
求这20个产品中废品率不大于0.15的概率.
解 设A={废品} X=20次抽取中事件A 发生的次数 则X～b(n, p)，其中n=20， p=0.1， 20个产品中废品率不大于0.15的概率
P( X 20 0.15) P( X 3) P( X k ) P( X 0) P( X 1) P( X 2) P( X 3)
k 练习设随机变量X的概率函数为 P ( X k ) , k 1, 2, 3,4,5 15 1 5
X 1 2 3 4 5 pk 1/15 2/15 3/15 4/15 5/15 则 (1)P(X =1 或X =2)= P(X=1 )+P(X=2)= 1/15 + 2/15=1/5
1 (2) P ( <X 5 )= P(X=1 )+P(X=2)= 1/15 + 2/15=1/5 2 2
iaLeabharlann xibp)i
证明： ( a X b )