2.6二阶张量的分解

N =P+D
于是 其中
T = N + = P + D+ 1 T i 1 T i j j P = P j g i g = J 1 δ j g i g = J1 G 3 3 1 k P T N J1 = J1 = J1 = N k 3 1 N 2 1 N 3 P P J 2 = J1 J3 = J1 3 27
i3
1 (i1 + i2 + i3 ) n= 3
N 在八面体等斜面上作用的矢量分量： 在八面体等斜面上作用的矢量分量：
σ
i3' n i2' pn
1 (N1i1 + N 2 i2 + N 3i3 ) pn = N n = 3
pn 的法向分矢量： 的法向分矢量：
i1
i1'
ω τ
i2
1 1 N σ = ( N : nn )n = (N1 + N 2 + N 3 )n = J1 n 3 3
π J cos ω 3
D 2
π J cos ω + 3
D 2
2 D3 = 3
J 2D cosω
就可满足前述三式。 就可满足前述三式。利用其中第三式可证
cos3ω =
27 J 3D 2J
D 32 2
不失广泛性， 不失广泛性，可设 D1 ≥ D2 ≥ D3 ，因此必有 D1 ≥ 0, D3 ≤ 0, 从而
2
T T T = H T QT Q H = H 2 > O
后二式存在方根，且其方根也是正张量， 后二式存在方根，且其方根也是正张量，即
H = T T T > O
H1 = T T T > O
可证： 从而H 具有相同的主分量， 可证：T TT 和TT T、从而 和 H1 具有相同的主分量，但其 从而 主方向之间差一个刚性转动。 主方向之间差一个刚性转动。 唯一地确定正交张量Q（ （2）由T 与H（或H1）唯一地确定正交张量 （或Q1）。 ） （ H-1 与H1-1存在，故唯一有 存在，
( )
( )
的特征矢量。 空间任意一组正交标准化基都是 P 的特征矢量。 任意两组球形张量都是比例张量。 任意两组球形张量都是比例张量。
D = Di j gi g j = N i j P i j gi g j
J =0
D 1
(
)
1 N J = J J1 3
D 2 N 2
( )
2
<0
1 N N 2 N J = J J1 J 2 + J1 3 27
二阶张量的乘法分解 极分解） 的乘法分解（ 2.6.2 二阶张量的乘法分解（极分解）
定理 正则的二阶张量T 必定可以分解为一个正交张量 正则的二阶张量 Q（或Q1）与一个正张量H（或H1）的点积 （ 与一个正张量 （
T = QH T = H1 Q1
左、右极分解都是唯一的。 右极分解都是唯一的。
(右极分解 ) (左极分解 )
Q = T H
T
Q
T 1
( = (H
T 1
Q =T H
1 T T 1 1
1
1 T
Q1 = ( H1 ) T
1
T
) = (H ) T T ) = T H
T 1 1
1 1 T 1 1
= H
( )
T 1
T T = H 1 T T
Q T Q = H 1 T T T H 1 = H 1 H 2 H 1 = G G = G
i j
(
)
1 (Tij T ji ) 2 1 i i j = (T j T ji ) 2
ij =
1 ij N = T + T ji 2 1 j j j i = Ti T i 2
ij
(
)
(
)
ij =
1 ij (T T ji ) 2
的加法分解是存在且唯一的。 由此可证 T 的加法分解是存在且唯一的。 球形张量与偏斜张量 2.6.1.1 球形张量与偏斜张量 可进一步分解为球形张量 对称二阶张量 N 可进一步分解为球形张量 P 与偏斜张量 D，即 ，
pn 的切向分矢量： 的切向分矢量：
1 N τ = pn J1 n 3 1 1 N 1 N 1 N = N1 3 J1 i1 + N 2 3 J1 i2 + N 3 3 J1 i3 3
i3
1 (D1i1 + D2 i2 + D 3 i 3 ) = 3
σ
i3' n i2' pn
)
T 的7个基本的迹不变量: 个基本的迹不变量: 个基本的迹不变量
2
， ， ， trN， tr (N ) tr (N ) tr ( ) tr Ν 2 2 ，
(
)
tr Ν 2 2 Ν
(
)
T 的任意标量不变量均为这 个迹不变量的函数。然而，这7 的任意标量不变量均为这7个迹不变量的函数 然而， 个迹不变量的函数。 个迹不变量都可以由6个参量 来表示，应该认为这7 个迹不变量都可以由 个参量 Ni，ωi 来表示，应该认为这 个迹不变量之中只有6个是独立的 个是独立的。 个迹不变量之中只有 个是独立的。在7个迹不变量所构成的 个迹不变量所构成的 7维空间，它们的取值并不能全部充满；只有与 个参量所对 维空间， 维空间 它们的取值并不能全部充满；只有与6个参量所对 应的6维子空间是 个迹不变量的取值范围 应的 维子空间是7个迹不变量的取值范围。 维子空间是 个迹不变量的取值范围。
0≤ω ≤
π
如果采用 ψ =
π
6
3
2 D2 = 3
ω ，则
D 2
2 D1 = 3
2 D3 = 3
2π J sin ψ + 3
4π J sin ψ + 3
D 2
J 2D sinψ
其中
sin 3ψ =
27 J 2J
D 3 D 32 2
π
6
≤ψ ≤
π
6
的主方向。 进一步还可以得到 D 的主方向。然后利用下式
N1 N =0 0
0 N2 0
0 0 N3
13 0 ω3 ω2 2 0 ω1 3 = ω3 0 ω2 ω1 0
0 12 2 0 = 1 31 32
的反偶矢量。 为 的反偶矢量。T 的任意非零的标量 不变量都可用6个参数 来表示。例如： 不变量都可用 个参数 Ni，ωi 来表示。例如：
ω = (ω1 , ω2 , ω3 )
T
trN = N1 + N 2 + N 3
tr N
2 3
( ) = tr( N N ) = (N ) + (N ) + (N ) tr (N ) = tr ( N N N ) = ( N ) + ( N ) + (N )
2 2 2 1 2 3 3 3 1 2 3
比较
T = QH
由左右极分解得唯一性可知
Q = Q1
若
式中
H = Q T H1 Q
则 ~~ H1 = ∑ λi ei ei
i =1 3
H = ∑ λi ei ei
i =1
3
~ ei = Q ei
1 N i N = D + J1 δ j 3
i j i j
的主分量， 的主方向。 就可以得到 N 的主分量，而其主方向就是 D 的主方向。
ω 的物理意义
N 的主分量：N1，N2，N3 的主分量： N（从而 ）的三个互相正交的主方向：i1，i2，i3 （从而D）的三个互相正交的主方向： 八面体等斜面的法线方向： 八面体等斜面的法线方向：
张量分析 及连续介质力学
2.6 二阶张量的分解
二阶张量的加法分解 2.6.1 二阶张量的加法分解
T 的对称化运算 T 的反对称化运算
1 N ij = (Tij + T ji ) 2
1 N = T +TT 2 1 = T T T 2
( (
) )
)
N
j i
1 j j = Ti + T i 2
(
1 i N = T j + T ji 2
= 2[N N (ω ) + N N (ω ) + N N (ω ) ]
2 3 3
tr Ν 3 2 = tr N 2 2 N = tr Ν 2 N 2
3 1 2 2 2 3 3 2 2 3 2 1
(
) ( ) ( ) = tr ( N ) = tr ( N ) = [N (ω + ω ) + N (ω + ω ) + N (ω
3
tr = 0
tr
( ) = 2[(ω ) + (ω ) + (ω ) ] tr ( ) = 0
2 2 2 2 1 2 3 3
tr ( N ) = tr ( N ) = 0
tr Ν
(
2
) = [N (ω + ω ) + N (ω tr (N ) = 0
1 2 2 2 3 2
2
2 3
+ ω + N3 ω + ω
证明 （1）对于正则的二阶张量 存在唯一的正张量 与H1。 ）对于正则的二阶张量T 存在唯一的正张量H与 若左右极分解成立， 若左右极分解成立，则
T T = (Q H ) = H T Q T = H Q T
T
T = (H1 Q1 ) = Q1T H1T = Q1T H1
T T
T T T = H1 Q1 Q1T H1T = ( H1 ) > O
2 1 2 1
)