随机事件的概率与古典概型(解析版)

随机事件的概率与古典概型

1.下列事件中，不可能事件是( )

A.三角形内角和为180°

B.在同一个三角形中大边对大角

C.锐角三角形中两个内角的和小于90°

D.三角形中任意两边的和大于第三边

【答案】 C.

【解析】“三角形内角和为180°”、“在同一个三角形中大边对大角”、“三角形中任意两边的和大于第三边”都为为必然事件，锐角三角形中两个内角的和大于90°，小于90°为不可能事件.

2.下列说法中不正确的是（ ）．

A ．不可能事件的概率为0，必然事件的概率为1

B ．某人射击9次，击中靶3次，则他击中靶的概率为13

C ．“直线y=k(x+1)过定点（－1，0）”是必然事件

D ．“将一个骰子抛掷两次，所得点数之和大于7”是随机事件

【答案】B

3. 某人将一枚硬币连掷了10次，正面朝上的情形出现了6次，若用A 表示正面朝上这一事件，则A 的( )

A.概率为53

B.频率为 5

3 C.频率为6 D.概率接近0.6

【答案】B.

4.某战士在打靶中，连续射击两次，事件“至少有一次中靶”的对立事件是( )

(A)至多有一次中靶 (B)两次都中靶

(C)两次都不中靶 (D)只有一次中靶

【答案】C

5.把标号为1，2，3，4的四个小球随机地分发给甲、乙、丙、丁四个人，每人分得一个.事件“甲分得1号球”与事件“乙分得1号球”是( )

(A)互斥但非对立事件 (B)对立事件

(C)相互独立事件 (D)以上都不对

【答案】A

6.从1，2，3，4，5这5个数中任取两数，其中：①恰有一个是偶数和恰有一个是奇数；②至少有一个是奇数和两个都是奇数；③至少有一个是奇数和两个都是偶数；④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数．上述事件中，是对立事件的是（ ）

A ．①

B ．②④

C ．③

D ．①③

【思路点拨】分析四组事件：①中表示的是同一个事件，②前者包含后者，④中两个事件都含有同一个事件，只有第三所包含的事件是对立事件．

【答案】C

【解析】∵在①恰有一个是偶数和恰有一个是奇数中，这两个事件是同一个事件， 在②至少有一个是奇数和两个都是奇数中，至少有一个是奇数包括两个都是奇数， 在③至少有一个是奇数和两个都是偶数中，至少有一个是奇数包括有一个奇数和有两个奇数，同两个都是偶数是对立事件，

在④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数中，都包含一奇数和一个偶数的结果， ∴只有第三所包含的事件是对立事件

故选：C

7.甲、乙两人下棋，和棋的概率为12，乙获胜的概率为13，求： （1）甲获胜的概率；（2）甲不输的概率．

【答案】（1）

【解析】 甲、乙两人下棋，其结果有甲胜、和棋、乙胜三种，它们是互斥事件，甲获胜可看做是“和棋或乙胜”的对立事件．“甲不输”可看做是“甲胜”“和棋”这两个互斥事件的并事件，亦可看做“乙胜”的对立事件．

（1）“甲获胜”是“和棋或乙胜”的对立事件，所以“甲获胜”的概率1111236P =-

-=． 即甲获胜的概率是16

． （2）解法一：设事件A 为“甲不输”，可看做是“甲胜”“和棋”这两个互斥事件的并事件，所以112()623

P A =+=． 解法二：设事件A 为“甲不输”，可看做是“乙胜”的对立事件，所以12()133P A =-

=． 即甲不输的概率是23

． 8.在一次“知识竞赛”活动中，有12,,,A A B C 四道题，其中12,A A 为难度相同的容易题，B 为中档题，C 为较难题. 现甲、乙两位同学均需从四道题目中随机抽取一题作答.

（Ⅰ）求甲、乙两位同学所选的题目难度相同的概率；

（Ⅱ）求甲所选题目的难度大于乙所选题目的难度的概率.

【答案】（Ⅰ）38（Ⅱ）516

【解析】由题意可知，甲、乙两位同学分别从四道题中随机抽取一题，所有可能的结果有16个，它们是：11(,)A A ，12(,)A A ，1(,)A B ，1(,)A C ，21(,)A A ，22(,)A A ，2(,)A B ，2(,)A C ，1(,)B A ，2(,)B A ，(,)B B ，(,)B C ，1(,)C A ，2(,)C A ，(,)C B ，(,)C C . （Ⅰ）用M 表示事件“甲、乙两位同学所选的题目难度相同”，则M 包含的基本事件有：11(,)A A ，12(,)A A ，21(,)A A ，22(,)A A ，(,)B B ，(,)C C . 所以63()=168

P M =

. （Ⅱ）用N 表示事件“甲所选题目的难度大于乙所选题目的难度”，则N 包含的基本事件有：1(,)B A ，2(,)B A ，1(,)C A ，2(,)C A ，(,)C B . 所以5()16

P N =. 9.某中学生物兴趣小组在学校生物园地种植了一批名贵树苗，为了解树苗的生长情况，从这

批树苗中随机地测量了其中50棵树苗的高度（单位：厘米），并把这些高度列成了如下的频

（1（2）这批树苗的平均高度大约是多少？（计算时用各组的中间值代替各组数据的平均值）；

（3）为了进一步获得研究资料，若从[40，50）组中移出一棵树苗，从[90，100]组中移出两棵树苗进行试验研究，则[40，50）组中的树苗A 和[90，100]组中的树苗C 同时被移出的概率是多少？

【答案】（1）825；（2）73.8；（3）14

【解析】（1）∵高度不低于80厘米的频数是12+4=16， ∴高度不低于80厘米树苗的概率为1685025

=． （2）根据题意，样本容量即各组频率之和为2+3+14+15+12+4=50， 则树苗的平均

高度452553651475158512954369073.8cm 5050

x ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯===； （3）设[40，50）组中的树苗为A 、B ，[90，100]组中的树苗为C 、D 、E 、F ，

则基本事件总数为12，它们是：ACD 、ACE 、ACF 、ADE 、ADF 、AEF 、BCD 、BCE 、BCF 、BDE 、BDF 、BEF ，

而满足A 、C 同时被移出的事件为ACD 、ACE 、ACF 共3种，

∴树苗A 和树苗C 同时被出的概率31124

p ==． 10.袋中有五张卡片，其中红色卡片三张，标号分别为1，2，3；蓝色卡片两张，标号分别为1，2．

（1）从以上五张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率；

（2）现往袋中再放入一张标号为0的绿色卡片，从这六张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不同且标号之和不大于4的概率．

【答案】（1）310；（2）23

【解析】（1）从五张卡片中任取两张的所有可能情况有如下10种：红1红2，红1红3，红1蓝1，红1蓝2，红2红3，红2蓝1，红2蓝2，红3蓝1，红3蓝2，蓝1蓝2． 其中两张卡片的颜色不同且标号之和小于4的有3种情况：红1蓝1，红1蓝2，红2蓝1，

故所求的概率为310

P =． （2）加入一张标号为0的绿色卡片后，从六张卡片中任取两张，除上面的10种情况外，多出5种情况：红1绿0，红2绿0，红3绿0，蓝1绿0，蓝2绿0，总共有15种情况．

其中颜色不同且标号之和不大于4的有10种情况：红1蓝1，红1蓝2，红2蓝1，红2蓝2，红3蓝1，红1绿0，红2绿0，红3绿0，蓝1绿0，蓝2绿0，共计10种，

所以，要求的概率为102153

P ==．