小船渡河经典PPT
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渡河所需时间为： t=L /v水sinθ
v船 v2 θ
船头与河岸垂直时，
v1
L 渡河时间最短：
v水
t min=L /v水
方法技巧
2. 船在静水中的航速为v1，水流的速度为v2.为使船行驶到河正 对岸的码头，则v1相对v2的方向应为( )
解析：为使船行驶到正对岸，必须使v1、v2的合速度方向指 向正对岸，只有C图象正确． 答案： C
又已知水流速度是5 m/s，且沿河岸方向，图中v1等于AC，过C 点作AB的垂线交AB于D点，则CD长就是小船的最小速度，由 几何关系求得vmin＝1. 92 m/s，故选B正确．方法二：如图所示， 为了使小船有最小速度，船头应斜向上游，与河岸的夹角为θ.
将船速 v2 分解为 vx 和 vy，则 vx＝v2cos θ，vy＝v2sin θ.
2．斜拉问题：
物体的运动为合运动，绳的运动为其中一个分 运动．
如图所示，在不计滑轮摩擦和绳子质量的条件下，当小 车匀速向右运动时，物体A的受力情况是( )
A. 绳的拉力大于A的重力 B. 绳的拉力等于A的重力 C. 绳的拉力小于A的重力 D. 拉力先大于重力，后小于重力
【点拨】
速度分解 → 运用三角函数 → 利用牛顿运动定律计算
50
120
由等时性可知 v2sin θ＝v1－v2cos θ，
整理可得
v2
＝
5v1 12sin θ＋5cos θ
＝
25
12sin θ＋5cos θ，
因为 12sin θ＋5cos θ＝13sin(θ＋φ)，
所以 v2＝
25
θ＋φ ，
解得 vmin＝1.92 m/s
【答案】 B
【备选题】如图所示，A、B 两物体用细绳相连， 在水平面上向左运动，当α=45 ° ，β=30 °时，物体 B 的速度为2 m/s ，这时A 的速度为多大？
垂直河岸的以恒定速度来渡河，另一种是随水以 水流速度向下漂移.而渡河时间只由河宽与垂直河 岸的速度共同来决定，由分运动的独立性可知， 水流速度不影响渡河时间，它只影响小船登陆地 点和运动轨迹.
【练3—2】 （满分样板 12分） 河宽L＝300 m， 水速u＝1 m/s，船在静水中的速度v＝3 m/s，欲分别 按下列要求过河时，船头应与河岸成多大角度？过 河时间是多少？
（1）以最短时间过河； （2）以最小位移过河； （3）到达正对岸上游100 m处．
解题样板规范步骤，该得的分一分不丢！
【解析】 （1）以最短时间渡 河时，船头应垂直于河岸航行，即 v 与河岸成900角．最短时间为：
v合 L
t＝ L ＝ 300 s ＝100 s
θu
v
3 ……（2分）
渡河问题分析与计算
注意：船的实际运动 v（相对于河岸的运动）
——是合运动。
方法技巧
1. 处理方法 小船在有一定流速的水中过河时，实际上参与了两个方向的分 运动，船的实际运动是两个运动的合运动. 2. 二种情景
(1)渡河时间最短：若使小船过河的时间最短，应使船头正对河岸行 驶，如图所示，此时过河时间 t＝vd1 (d 为河宽)．
(2)小船渡河路径最短(v1＞v2)：小船垂直河岸过河航程最短，最 短航程为 d；若小船要垂直于河岸过河，应将船头偏向上游，如 图所示，此时过河时间 t＝vd合＝v1sdin θ.
◆．小船渡河问题的分析方法
【例1】一条宽度为L的河流，已知船在静水中 的速度为V船，水流速度为V水，那么：
问题1：小船如何渡河时间最短？ 【解析】设船头斜向上游与河岸成任意角θ，这 时船速在垂直于河岸方向的速度分量： v1=v水sinθ
◆．小船渡河问题的分析方法
【例2】一条宽度为L的河流，已知船在静水中 的速度为V船，水流速度为V水，那么：
问题2：若V船>V水，怎样渡河位移最小？
【解析】渡河的最小位移即河的宽度。为了使
渡河位移等于L，必须使船的合速度V的方向与河 岸垂直。这是船头应指向河的上游，并与河岸成一 定的角度θ。
根据三角函数关系有：V水cosθ─V船=0.
∵ 0≤cosθ≤1
∴ 只有在V船>V水时，船才 v船
有可能垂直于河岸横渡。
θ
v L
v水
方法技巧
【练3—1】小船在静水中速度为v，今小船要渡
过一条小河，船在行驶过程中，船头始终与河岸垂
直.若航行到河中间时，水流速度增大，则渡河时间
与预定的时间相比（ B ）
A.减少
B.不变
C.增加
D.无法确定
【解析】小船实际上参与了两种运动.一种是
4 5 m/s
与水平方向夹角为arctan
1 2
好啦、今天的课 就讲到这里!!
一、小船渡河问题的分析方法
◆．小船渡河问题的分析方法：
方法一：小船在有一定流速的水中渡河时，将 船渡河的运动看作参与两个方向的分运动，即随水 以速度 v水 漂流的运动和以速度 v船 相对于静水的 划行运动，这两个分运动互不干扰具有等时性。
方法二： 将船对水的 速度沿平行于河岸和垂直 河岸方向正交分解。
【例4】如图所示，绳子以恒定速率v 沿水平方 向通过定滑轮牵引小船靠岸，当绳子与水面夹角为 θ时，船的速度为多大？
【解析】1．沿绳子方向两个绳连接的物体沿
绳子方向的速度大小相等（ v∥ =v ）。
2．当绳与物体运动方向有夹角时，沿绳子方向
和垂v直绳子方向速物度体为运分动速的度方. 向为合速度方向。
v∥
【解析】沿绳的方向上各点的速度大小相等
vA⊥
vA
Aα
vA∥
vB∥ vB β B
vB⊥
【拓展】如图所示，长L的杆AB，它的两端在 地板和竖直墙壁上，现拉Aห้องสมุดไป่ตู้由图示位置以速率v匀 速向右运动，则B端坐标y和时间的函数关系是： ___________。B端滑动的速度是___________。
y
B
vB sin
（2）以最小位移过河，船的实际航向应垂直 河岸，即船头应指向上游河岸．设船头与上游河 岸夹角为θ，有：
vcosθ=u，
v
θ=arccosu/v=arccos1/3.
v合 L
……（2分） θ
u
sinθ＝
1－cos2θ
＝
22 3
……（1分）
渡河时间为
L t＝vsinθ
＝3×30s0inθ
s≈106.4 s．
【解析】寻找分运动效果
B
v
【答案】 vB=vsinθ
A
v sin
v
◆．实例分析——小结：
1．渡河问题： （1）要使过河的时间最短，则船头必须垂直 河岸；
（2）要使过河的位移最短： ①. 若v船 > v水,则船头必须指向河岸上游方向， 使合速度垂直河岸，最小位移等于河宽。
②. 若v船 < v水,只有当V船 ⊥ V合 时，过河的位移 最小。
物体在竖直方向上做初速度为零的匀加速直线运动，则上
升的高度h＝12a2t22＝4 m，
此时竖直向上的分速度v2＝a2t2＝4 m/s， 此时物体的速度v＝ v21＋v22＝4 5 m/s， 设速度和水平方向夹角为 ，如图丙所示
则tan θ＝vv21＝48＝12，故θ＝arctan
1 2.
答案：4 m
L
vB
b
【答案】
y L2 b vt 2
寻找分运动效果
A x v vB sin v cos
v cos
vB v ctg
2. (2010·广州模拟)如图所示，一个质量为1 kg的物体静止在粗 糙的水平面上，物体与地面之间的动摩擦因数μ＝0.4.现对物体 施加一水平向右的恒力F＝12 N，经过t1＝1 s后，迅速将该力 的方向改为竖直向上，大小不变，则再经t2＝2 s，物体相对于 地面的高度及物体的速度的大小和方向各为多少？(g＝10 m/s2)
……（2分）
（3）设船头与上游河岸夹角为α，则有：
（vcosα－u）t＝x ……（2分）
vtsinα＝L ……（2分） x
两式联立得：
v
α＝53°，
t＝125 s．
vcosa a
……（1分）
vsina L u
【答案】 见解题样板
二、绳(杆)连接物问题
绳子末端运动速度的分解，应按运动的实际 效果进行分解
解析：车水平向右的速度(也就是绳子末端
的运动速度)为合速度，它的两个分速度v1、 v2如图所示，其中v2就是拉动绳子的速度， 它等于A上升的速度．由图得v1＝vsin θ， v2＝vcos θ， 小车匀速向右运动过程中， θ逐渐变小，可知v2逐渐变大，故A做加速 运动，由A的受力及牛顿第二定律可知绳的 拉力大于A的重力. 故选A正确．
答案： A
小船在河中参与了两个运动，一是小船自身的运动，二是 随水流的运动，小船的实际运动是这两个运动的合成，解答时 往往想当然地确定分速度方向而不是按照平行四边形定则确定 分速度方向．从而造成错误．
有一小船正在渡河，离对岸50 m时，已知在下游120 m处有一危险区，假设水流速度为5 m/s，为了使小船不通过 危险区到达对岸，小船相对静水的最小速度应是( )
Cv船 θ A
v⊥ B
v船 =v/cosθ
◆．绳子末端速度的分解方法
【练4—1】如图所示，汽车沿水平路面以恒定 速度v前进，则当拉绳与水平方向成θ角时，被吊起 的物体M的速度vM为多大？
【解析】寻找分运动效果。
物体M 处于平衡？
超重？失重？
v⊥
vM
θ
v
v∥
vM =v·cosθ
【练4—2】如图所示，以速度v沿竖直杆匀速下 滑的物体A，用细绳通过定滑轮拉动物体B在水平桌 面上运动，当绳与水平面夹角为θ时，物体B的速率 为多大？
解析：在改变恒力F方向之前，物体做匀加速直线运动， 设加速度为a1，经t1＝1 s后的速度为v1，分析物体受力 如图甲所示，由牛顿第二定律得F－Ff＝ma1，且Ff＝ μmg，解得a1＝8 m/s2，
则v1＝a1t1＝8 m/s. 将F改为竖直向上后，受力如图乙所示，此时由于F>G，物体 将飞离地面做类平抛运动，设此时的加速度为a2，由牛顿第 二定律得F－G＝ma2.解得a2＝2 m/s2.
A. 2.08 m/s B. 1. 92 m/s C. 1. 58 m/s D. 1. 42 m/s 【错解】 误认为船头垂直河岸，船的速度最小，则有vv12＝15200，所
以 v1＝5102×05 m/s＝2.08 m/s.答案为 A
【剖析】 由于速度是矢量，矢量的运算法则是平行四边形定 则，所以要求解船的最小速度，必须通过做平行四边形定则进 行分析．方法一：如图所示小船以最小速度渡河时，从A出发， 从B上岸，则AB就是小船的合位移，那么小船的合速度也是沿 AB方向.
如图所示，人用绳子通过定滑轮拉物体A，当人 以速度v0匀速前进时，物体A的实际运动也即为 物体A的合运动(即绳的末端的运动)可看做两个 分运动的合成：
(1)沿绳的方向被牵引，绳长缩短，绳长缩短的 速度即等于v0.
(2)垂直于绳以定滑轮为圆心的摆动，求得物体 A 的速度 vA＝cosv0 θ.
四、绳子末端速度的分解方法
v船 v2 θ
船头与河岸垂直时，
v1
L 渡河时间最短：
v水
t min=L /v水
方法技巧
2. 船在静水中的航速为v1，水流的速度为v2.为使船行驶到河正 对岸的码头，则v1相对v2的方向应为( )
解析：为使船行驶到正对岸，必须使v1、v2的合速度方向指 向正对岸，只有C图象正确． 答案： C
又已知水流速度是5 m/s，且沿河岸方向，图中v1等于AC，过C 点作AB的垂线交AB于D点，则CD长就是小船的最小速度，由 几何关系求得vmin＝1. 92 m/s，故选B正确．方法二：如图所示， 为了使小船有最小速度，船头应斜向上游，与河岸的夹角为θ.
将船速 v2 分解为 vx 和 vy，则 vx＝v2cos θ，vy＝v2sin θ.
2．斜拉问题：
物体的运动为合运动，绳的运动为其中一个分 运动．
如图所示，在不计滑轮摩擦和绳子质量的条件下，当小 车匀速向右运动时，物体A的受力情况是( )
A. 绳的拉力大于A的重力 B. 绳的拉力等于A的重力 C. 绳的拉力小于A的重力 D. 拉力先大于重力，后小于重力
【点拨】
速度分解 → 运用三角函数 → 利用牛顿运动定律计算
50
120
由等时性可知 v2sin θ＝v1－v2cos θ，
整理可得
v2
＝
5v1 12sin θ＋5cos θ
＝
25
12sin θ＋5cos θ，
因为 12sin θ＋5cos θ＝13sin(θ＋φ)，
所以 v2＝
25
θ＋φ ，
解得 vmin＝1.92 m/s
【答案】 B
【备选题】如图所示，A、B 两物体用细绳相连， 在水平面上向左运动，当α=45 ° ，β=30 °时，物体 B 的速度为2 m/s ，这时A 的速度为多大？
垂直河岸的以恒定速度来渡河，另一种是随水以 水流速度向下漂移.而渡河时间只由河宽与垂直河 岸的速度共同来决定，由分运动的独立性可知， 水流速度不影响渡河时间，它只影响小船登陆地 点和运动轨迹.
【练3—2】 （满分样板 12分） 河宽L＝300 m， 水速u＝1 m/s，船在静水中的速度v＝3 m/s，欲分别 按下列要求过河时，船头应与河岸成多大角度？过 河时间是多少？
（1）以最短时间过河； （2）以最小位移过河； （3）到达正对岸上游100 m处．
解题样板规范步骤，该得的分一分不丢！
【解析】 （1）以最短时间渡 河时，船头应垂直于河岸航行，即 v 与河岸成900角．最短时间为：
v合 L
t＝ L ＝ 300 s ＝100 s
θu
v
3 ……（2分）
渡河问题分析与计算
注意：船的实际运动 v（相对于河岸的运动）
——是合运动。
方法技巧
1. 处理方法 小船在有一定流速的水中过河时，实际上参与了两个方向的分 运动，船的实际运动是两个运动的合运动. 2. 二种情景
(1)渡河时间最短：若使小船过河的时间最短，应使船头正对河岸行 驶，如图所示，此时过河时间 t＝vd1 (d 为河宽)．
(2)小船渡河路径最短(v1＞v2)：小船垂直河岸过河航程最短，最 短航程为 d；若小船要垂直于河岸过河，应将船头偏向上游，如 图所示，此时过河时间 t＝vd合＝v1sdin θ.
◆．小船渡河问题的分析方法
【例1】一条宽度为L的河流，已知船在静水中 的速度为V船，水流速度为V水，那么：
问题1：小船如何渡河时间最短？ 【解析】设船头斜向上游与河岸成任意角θ，这 时船速在垂直于河岸方向的速度分量： v1=v水sinθ
◆．小船渡河问题的分析方法
【例2】一条宽度为L的河流，已知船在静水中 的速度为V船，水流速度为V水，那么：
问题2：若V船>V水，怎样渡河位移最小？
【解析】渡河的最小位移即河的宽度。为了使
渡河位移等于L，必须使船的合速度V的方向与河 岸垂直。这是船头应指向河的上游，并与河岸成一 定的角度θ。
根据三角函数关系有：V水cosθ─V船=0.
∵ 0≤cosθ≤1
∴ 只有在V船>V水时，船才 v船
有可能垂直于河岸横渡。
θ
v L
v水
方法技巧
【练3—1】小船在静水中速度为v，今小船要渡
过一条小河，船在行驶过程中，船头始终与河岸垂
直.若航行到河中间时，水流速度增大，则渡河时间
与预定的时间相比（ B ）
A.减少
B.不变
C.增加
D.无法确定
【解析】小船实际上参与了两种运动.一种是
4 5 m/s
与水平方向夹角为arctan
1 2
好啦、今天的课 就讲到这里!!
一、小船渡河问题的分析方法
◆．小船渡河问题的分析方法：
方法一：小船在有一定流速的水中渡河时，将 船渡河的运动看作参与两个方向的分运动，即随水 以速度 v水 漂流的运动和以速度 v船 相对于静水的 划行运动，这两个分运动互不干扰具有等时性。
方法二： 将船对水的 速度沿平行于河岸和垂直 河岸方向正交分解。
【例4】如图所示，绳子以恒定速率v 沿水平方 向通过定滑轮牵引小船靠岸，当绳子与水面夹角为 θ时，船的速度为多大？
【解析】1．沿绳子方向两个绳连接的物体沿
绳子方向的速度大小相等（ v∥ =v ）。
2．当绳与物体运动方向有夹角时，沿绳子方向
和垂v直绳子方向速物度体为运分动速的度方. 向为合速度方向。
v∥
【解析】沿绳的方向上各点的速度大小相等
vA⊥
vA
Aα
vA∥
vB∥ vB β B
vB⊥
【拓展】如图所示，长L的杆AB，它的两端在 地板和竖直墙壁上，现拉Aห้องสมุดไป่ตู้由图示位置以速率v匀 速向右运动，则B端坐标y和时间的函数关系是： ___________。B端滑动的速度是___________。
y
B
vB sin
（2）以最小位移过河，船的实际航向应垂直 河岸，即船头应指向上游河岸．设船头与上游河 岸夹角为θ，有：
vcosθ=u，
v
θ=arccosu/v=arccos1/3.
v合 L
……（2分） θ
u
sinθ＝
1－cos2θ
＝
22 3
……（1分）
渡河时间为
L t＝vsinθ
＝3×30s0inθ
s≈106.4 s．
【解析】寻找分运动效果
B
v
【答案】 vB=vsinθ
A
v sin
v
◆．实例分析——小结：
1．渡河问题： （1）要使过河的时间最短，则船头必须垂直 河岸；
（2）要使过河的位移最短： ①. 若v船 > v水,则船头必须指向河岸上游方向， 使合速度垂直河岸，最小位移等于河宽。
②. 若v船 < v水,只有当V船 ⊥ V合 时，过河的位移 最小。
物体在竖直方向上做初速度为零的匀加速直线运动，则上
升的高度h＝12a2t22＝4 m，
此时竖直向上的分速度v2＝a2t2＝4 m/s， 此时物体的速度v＝ v21＋v22＝4 5 m/s， 设速度和水平方向夹角为 ，如图丙所示
则tan θ＝vv21＝48＝12，故θ＝arctan
1 2.
答案：4 m
L
vB
b
【答案】
y L2 b vt 2
寻找分运动效果
A x v vB sin v cos
v cos
vB v ctg
2. (2010·广州模拟)如图所示，一个质量为1 kg的物体静止在粗 糙的水平面上，物体与地面之间的动摩擦因数μ＝0.4.现对物体 施加一水平向右的恒力F＝12 N，经过t1＝1 s后，迅速将该力 的方向改为竖直向上，大小不变，则再经t2＝2 s，物体相对于 地面的高度及物体的速度的大小和方向各为多少？(g＝10 m/s2)
……（2分）
（3）设船头与上游河岸夹角为α，则有：
（vcosα－u）t＝x ……（2分）
vtsinα＝L ……（2分） x
两式联立得：
v
α＝53°，
t＝125 s．
vcosa a
……（1分）
vsina L u
【答案】 见解题样板
二、绳(杆)连接物问题
绳子末端运动速度的分解，应按运动的实际 效果进行分解
解析：车水平向右的速度(也就是绳子末端
的运动速度)为合速度，它的两个分速度v1、 v2如图所示，其中v2就是拉动绳子的速度， 它等于A上升的速度．由图得v1＝vsin θ， v2＝vcos θ， 小车匀速向右运动过程中， θ逐渐变小，可知v2逐渐变大，故A做加速 运动，由A的受力及牛顿第二定律可知绳的 拉力大于A的重力. 故选A正确．
答案： A
小船在河中参与了两个运动，一是小船自身的运动，二是 随水流的运动，小船的实际运动是这两个运动的合成，解答时 往往想当然地确定分速度方向而不是按照平行四边形定则确定 分速度方向．从而造成错误．
有一小船正在渡河，离对岸50 m时，已知在下游120 m处有一危险区，假设水流速度为5 m/s，为了使小船不通过 危险区到达对岸，小船相对静水的最小速度应是( )
Cv船 θ A
v⊥ B
v船 =v/cosθ
◆．绳子末端速度的分解方法
【练4—1】如图所示，汽车沿水平路面以恒定 速度v前进，则当拉绳与水平方向成θ角时，被吊起 的物体M的速度vM为多大？
【解析】寻找分运动效果。
物体M 处于平衡？
超重？失重？
v⊥
vM
θ
v
v∥
vM =v·cosθ
【练4—2】如图所示，以速度v沿竖直杆匀速下 滑的物体A，用细绳通过定滑轮拉动物体B在水平桌 面上运动，当绳与水平面夹角为θ时，物体B的速率 为多大？
解析：在改变恒力F方向之前，物体做匀加速直线运动， 设加速度为a1，经t1＝1 s后的速度为v1，分析物体受力 如图甲所示，由牛顿第二定律得F－Ff＝ma1，且Ff＝ μmg，解得a1＝8 m/s2，
则v1＝a1t1＝8 m/s. 将F改为竖直向上后，受力如图乙所示，此时由于F>G，物体 将飞离地面做类平抛运动，设此时的加速度为a2，由牛顿第 二定律得F－G＝ma2.解得a2＝2 m/s2.
A. 2.08 m/s B. 1. 92 m/s C. 1. 58 m/s D. 1. 42 m/s 【错解】 误认为船头垂直河岸，船的速度最小，则有vv12＝15200，所
以 v1＝5102×05 m/s＝2.08 m/s.答案为 A
【剖析】 由于速度是矢量，矢量的运算法则是平行四边形定 则，所以要求解船的最小速度，必须通过做平行四边形定则进 行分析．方法一：如图所示小船以最小速度渡河时，从A出发， 从B上岸，则AB就是小船的合位移，那么小船的合速度也是沿 AB方向.
如图所示，人用绳子通过定滑轮拉物体A，当人 以速度v0匀速前进时，物体A的实际运动也即为 物体A的合运动(即绳的末端的运动)可看做两个 分运动的合成：
(1)沿绳的方向被牵引，绳长缩短，绳长缩短的 速度即等于v0.
(2)垂直于绳以定滑轮为圆心的摆动，求得物体 A 的速度 vA＝cosv0 θ.
四、绳子末端速度的分解方法