线性系统应用实例

0 0 A 0 0 0
1 0 0 0
0 a23 0 0
0 0 1 0 0
0 - a43
0 小车 a25 0 吊钩 - a45 - a55 驱动装臵
（23a）
其中
a23
mB g 1 (m mB ) g 1 1 , a25 , a43 A , a45 , a55 mA mA mAl mAl TA
一般情况下，吊车的工作任务在于：首先将负载从地面上吊 至一个预先规定的位臵(改变zB)，然后再送至某个对象的上方(改 变sA) ，最后将负载在一个确定的位臵上卸下(再次改变zB) 吊车的上述动作在利用闭环调节（控制）装臵实现过程控 制自动化时，常常会遇到这样一些问题： 1）由于小车在s轴方向上的启动与制动，会使吊钩出现不希望 的摆动（通过θ角的变化与大小来反映）；由于系统阻尼通常 很小又将使这种摆动的衰减变得十分缓慢，从而增加负载上吊 与下卸时的困难与时间。 2）吊车的传送能力，即工作效率在很大程度上是同上吊与下 卸速度有关的，并且吊车工作过程的自动化又将同此速度构 成一个有机的整体。 因此，如何借助于调节手段来避免或减弱θ角的这种不 希望的摆动，或者至少将其限制在允许的范围内，这就是自 动控制应解决的问题。
A
(11)
至此，小车-吊钩（机械）系统可用式(10)、(11)两个二阶非 线性微分方程进行描述，显然这是一个四阶动力学系统。 解析求解式(10)、(11)是困难的，也没有必要，可以从工程 角度（或通过非线性方程线性化）进行化简。
从调节（控制）技术角度讲，常可采用某种调节（控制）手 段，如全状态反馈闭环调节（控制），使θ 角的变化（相对于稳 ，在此前提 3 态值的偏差量）控制在一个很小的范围内，例如 下，就可以进行如下近似处理，即令:
小车 吊钩系统
+ + mBg/mA 1/s2 y1
(mA mB ) g x3 ] 1/(mAl) 1 /[ s mAl
2
y2
图8.6.2 桥式吊车系统简化后的结构图
假定系统参数如下：KA=0.1(kN/V)、TA=1(s), mA=1000(kg), mB=4000(kg), l=10(m),则有： a23=39.2(m/s2),a25=10-3(1/kg),a43=4.9(1/m2),a45=10-4(1/(kg*m)), a55=1(1/s),b5=0.1(kV/(V*s))
8.6.1 小车-吊钩(机械)系统动力学方程
在不计小车与桥架(轨道)之间摩擦力的情况下，小车在水 平(s轴)方向上有如下作用力平衡方程：
mAA FA p sin s
(1)
对于吊钩，则在水平与垂直(z轴)方向上可分别得到如下 作用力平衡方程：
mB B p sin s mB B mB g p cos z
2 2 2 2
（26）
1， 0，3， 2 4
( m A mB ) g j a43 j , 5 a55 1 / TA m Al
（27a,b,c）
1， 0，3， j2.21(1/s) 5 1(1 / s) , 2 4
（28a,b,c）
A s
mB g 1 FA mA mA
（15） （16） （17）
(mA mB ) g 1 F A m Al m Al -1 K (14)式 FA FA A u A TA TA
如下选择状态变量：
x1 s A (m), x2 s A (m / s), x3 (rad ) x (rad / s), x F (kN )
（23b）
b 0 0 0 0
小车 b5=KA/TA 吊钩
b5


（24a）
（24b）
驱动装臵
c11 0 0 C 0 0 c23 c11 c23 1
0 0 0 0
（25a）
（25b）
显然，这是一个单输入、多输出量系统， 另外，在A、b中，小车、吊钩和驱动装臵对应 的由各有关参数构成的子系统可由虚线加以区 分。
x4
x3=y2
a43：吊钩自身的负 a43 (m A m ：吊 1 反馈作用， a23B ) g 钩对小车的反作用 x3 图8.6.1 桥式吊车系统结构图 x4 x5 m l m l
A A
-1 KA x5 x5 u TA TA
驱动装臵
u KA/(TAs+1) 1/mA
利用上述参数，在初始条件x(0)=0(相当于小车静止地位于s-z 平面的坐标原点)，且在直流电动机电压由0V阶跃地变化至10V 时，经仿真计算可得如下响应曲线。 (m/s) sA sA(m) 6
100 80 60 40 20 0 0 5 10 15 20 25 30 4 2
0
0 5 10 15 20 25 30
（20a） （20b） （20c） （20d）
x3 x4 x4 x5
-1 KA x5 u TA TA
（20e）
以及由式(18)、(19b,c)可得：
y1 x1, y2 x3
可写成如下标准形式：
（21a,b）
x Ax bu, y Cx
式中
（22a,b）
(2) (3)
与上述3个力平衡方程相对应，在假定绳索长度l不变条件 下，还可得如下两个运动学方程： sB s A l sin (4)
z B l cos
(5)
为消去式(1)~(3)中的中间变量:绳索拉力p,可将式(1)、(2)两 边相加得：
mAA mB B FA s s
为简化分析又不失一般性，下面将吊车工作过程自动调节 (控制)的设计任务仅限于： 1） 对用来驱动并与系统瞬时状态有关的小车之马达这样加以 控制，使小车在s轴上（y=0）能从一个起始位臵变化至另一个事 先规定的位臵，并最后在那里停下来（这个过程中负载的重量与 绳索长度均保持不变，即系统参数可视为常数）。 2）要求工作过程有个较好的动态特性。
2 现代控制理论题解分析与指导，龚乐年， 东南大学出版社，2005
主要内容
8.6.1 小车-吊钩(机械)系统动力学方程 8.6.2 小车驱动装臵的数学描述
8.6.3 行车系统的状态空间方程
8.6.4 行车系统对应的方框图 8.6.5 行车系统对应的(开环)特征值 8.6.6 调节对象(行车系统)自身动态特性分析 8.6.7 行车系统可控性分析 8.6.8 利用极点配臵法设计全状态反馈调节器 8.6.9 实际系统全状态观测器设计 8.6.10 行车系统设计调节器以及全状态观测器后闭环调节特性 分析
下图为大型工厂中使用的桥式吊车(又称行车，天车)示意图， 后续分析全部在由s轴与z轴构成的平面中进行(y=0)。 图中，点A表示运行在桥架上的吊车,其中sA为小车在s轴上的 坐标(sA≠0,zA=0)，mA为小车质量，FA为作用在小车上由驱动马 达产生的水平驱动 sA 力，p为由吊钩与负 小车 y轴 载(后面简称吊钩)产 A sB FA s轴 O mA 生并作用在小车上的 绳索拉力。 点B表示吊钩， 桥架(轨道) 墙 墙 m Ag θ p 体 sB,zB分别为吊钩在s 体 l 轴和z轴上的坐标， mB为吊钩质量。 -p 吊钩 zB l,θ分别为绳索 B (含负载) 长度、绳索同垂直 m Bg 方向之间的夹角 l sin z轴 （摆角）。
sin , cos 1, 2 sin 0
由此，式(10)、(11)可分别写为：
ห้องสมุดไป่ตู้
(mA mB )A mBl FA s
(12)
A l g 0 s
(13)
上述近似处理，亦可理解为此系统在稳态工作点附近进行 线性化处理，由此得到的式(12)、(13)即为与此相对应的二阶 线性微分（偏差量)方程,其中sA可理解为相对于稳态工作点的位 臵偏差量，而θ则为相对于垂直方向的摆角偏差量。FA亦应理解 为偏差量。
8.6.2 小车驱动装臵的数学描述 该驱动装臵可用如下所示放大倍数为KA(kN/s),时间 常数为TA(s)的一阶惯性环节，即一阶线性定常微分方 程加以描述：
TA FA FA K Au A
式中uA(伏)为驱动用直流电动机的控制电压。
（14）
8.6.3 行车系统的状态空间方程 至此我们得到了描述整个行车系统的三个线性定常 动力学方程(12)、(13)、(14)，联立(12)、(13)可得：
4 5 A
（18a,b,c,d,e）
控制量与输出量：
u u A (V), y1 s A (m), y2 (rad)
则由式(15)~(17)和式(18)、(19a)可得：
（19a,b,c）
x1 x2 x2 mB g 1 x3 x5 mA mA ( m A mB ) g 1 x3 x5 m Al m Al
θ(rad)
0
FA(kN)
2.84
1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0
-0.01
-0.02
0
5
10
15
20
25
30
5
10
15
20
25
30
图8.6.3 桥式吊车开环系统响应曲线
8.6.5 行车系统对应的(开环)特征值
由式(23a)可知此调节对象对应的开环特征方程为：
( m A mB ) g 1 ( a43 )( a55 ) 0 ( )( ) 0 m Al TA
8.6.4 行车系统对应的方框图
驱动装臵 u 小车 吊钩系统 x1=y1
b5
+
_
1/s
a55
x5
a25
_
+ + a23 x3
1/s
x2
1/s
x1 x2
a45 _ _ 1/s 1/s mB g 1 x2 x3 x5 mA mA a25与a45：驱动装臵 Kd 对小车与吊钩的作用， 阻尼系数 x3 x4
(6)
将(2)、(3)两边分别乘以cosθ和(-sinθ)后再相加得：
mB B cos mB B sin mB g sin s z
(7)
式(6)、(7)中不再含参数p，进一步由(4)、(5)又可分别得：
B A l ( 2 sin cos ) mAA mB B FA s s s s (8) B l ( 2 cos sin ) z mB B cos mB B sin mB g sin (9) s z
8.6.6 调节对象(行车系统)自身动态特性分析
5 1/ TA 描述的是驱动装臵的特性，由于该装臵是串
联接入的一阶惯性环节，所以其对应的特征值将为负实数并可 单独给予分析。
x1与 x2 之间，也就是在sA与 A之间相当于存在两个相互串联的 s 积分环节，且无反馈支路存在。
1,2 0 描述的是小车之动力学特性，因为在系统结构图中
最后，把式(8)、(9)代入式(6)、(7)后可分别得：
(mA mB )A mBlcos mBl 2 sin FA s
(10)
mB (A l cos - l 2 sin ) cos s mB ( l 2 cos lsin ) sin mB g sin cos l g sin 0 s
(mA mB ) g 3, 4 j a43 j m Al 这一对共轭虚数特征值描述 的是吊钩的无阻尼(Kd=0)振荡(摆动)之动力学特性，因为在系统 结构图中下方闭环负反馈子系统对应的传递函数为
8.6 桥式吊车工作过程自动调节 在状态空间分析中的设计与计算
调节：通过适当的控制作用将系统由初始状态x0 驱动到平衡状态xe=0。 跟踪：使系统输出y(t)跟踪已知的或未知的参考 信号y0(t)。 跟踪问题可以看成为调节问题的一种推广。
参考书
1 现代调节技术---基础理论与分析方法， 龚乐年，东南大学出版社，2003