参数方程化普通方程练习题有答案

参数方程化普通方程

1．参数方程⎩

⎪⎨⎪⎧x ＝cos 2

θ

y ＝sin 2

θ，(θ为参数)表示的曲线是( ) A ．直线 B ．圆 C ．线段

D ．射线

解析：选＝cos 2

θ∈[0，1]，y ＝sin 2

θ∈[0，1]，∴x ＋y ＝1，(x ，y ∈[0，1])为线段．

2．(1)参数方程⎩

⎪⎨⎪⎧x ＝2t

y ＝t (t 为参数)化为普通方程为____________．

(2)参数方程⎩

⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos θ

y ＝1－sin θ，(θ为参数)化为普通方程为____________．

解析：(1)把t ＝12x 代入y ＝t 得y ＝1

2x .

(2)参数方程变形为⎩⎪⎨

⎪

⎧x －1＝cos θ，y －1＝－sin θ，

两式平方相加，得(x －1)2＋(y －1)2

＝1. 答案：(1)y ＝12

x (2)(x －1)2＋(y －1)2

＝1

3．曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12t

y ＝t 2

，(t 为参数)的形状为____________．

解析：因为t ＝2x ，代入y ＝t 2

，得y ＝4x 2

，即x 2

＝1

4

y ，所以曲线C 为抛物线．

答案：抛物线

4.将下列参数方程化为普通方程：

(1)⎩⎨⎧x ＝t ＋1

y ＝1－2t

，(t 为参数)； (2)⎩

⎪⎨⎪⎧x ＝5cos θy ＝4sin θ－1，(θ为参数)； (3)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋3

2t y ＝2－1

2t ，(t 为参数)；

(4)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t 1＋t 2y ＝1－t 21＋t

2

，(t 为参数)．

[解] (1)由x ＝t ＋1≥1，有t ＝x －1， 代入y ＝1－2t ， 得y ＝－2x ＋3(x ≥1)．

(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5cos θ

y ＝4sin θ－1得⎩⎪⎨⎪⎧cos θ＝x

5sin θ＝y ＋14

， ① ②

①2

＋②2

得x 2

25＋（y ＋1）

2

16

＝1.

(3)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋32t y ＝2－12t 得⎩⎪⎨⎪⎧x －1＝3

2t y －2＝－12t ， ① ②

②÷①得

y －2x －1＝－33，∴y －2＝－3

3

(x －1)(x ≠1) ∴3x ＋3y －6－3＝0，

又当t ＝0时x ＝1，y ＝2也适合，故普通方程为3x ＋3y －6－3＝0. (4)由⎩⎪⎨⎪

⎧x ＝2t 1＋t 2y ＝1－t 21＋t 2得⎩

⎪⎨⎪

⎧x 2＝4t 2

（1＋t 2）2

y 2＝1＋t 4－2t 2（1＋t 2）

2

，

①

② ①＋②得x 2＋y 2

＝1.

5.参数方程⎩

⎪⎨⎪⎧x ＝2＋sin 2

θ

y ＝－1＋cos 2θ，(θ为参数)化为普通方程是( )

A ．2x －y ＋4＝0

B ．2x ＋y －4＝0

C ．2x －y ＋4＝0，x ∈[2，3]

D ．2x ＋y －4＝0，x ∈[2，3]

解析：选 D.由x ＝2＋sin 2

θ，则x ∈[2，3]，sin 2

θ＝x －2，y ＝－1＋1－2sin 2

θ＝－2sin 2

θ＝－2x ＋4，即2x ＋y －4＝0，故化为普通方程为2x ＋y －4＝0，x ∈[2，3]．

6.把参数方程⎩

⎪⎨⎪⎧x ＝sin θ－cos θ

y ＝sin 2θ，(θ为参数)化成普通方程是____________．

解析：将x ＝sin θ－cos θ两边平方得x 2

＝1－sin 2θ， 即sin 2θ＝1－x 2

，代入y ＝sin 2θ，得y ＝－x 2

＋1. 又x ＝sin θ－cos θ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4，∴－2≤x ≤2，

故普通方程为y ＝－x 2＋1(－2≤x ≤2)． 答案：y ＝－x 2

＋1(－2≤x ≤2)

7.已知曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4＋cos t y ＝3＋sin t ，(t 为参数)，C 2：⎩

⎪⎨⎪

⎧x ＝8cos θy ＝3sin θ.，(θ为参数)．

(1)化C 1，C 2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线？

(2)若C 1上的点P 对应的参数t ＝π

2

，Q 为C 2上的动点，求PQ 中点M 到直线C 3：

⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋2t ，y ＝－2＋t

(t 为参数)距离的最小值及此时Q 点坐标． [解] (1)由C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4＋cos t

y ＝3＋sin t ，(t 为参数)，

则⎩

⎪⎨⎪⎧cos t ＝x ＋4，

sin t ＝y －3， 由sin 2t ＋cos 2

t ＝1得(x ＋4)2

＋(y －3)2

＝1，即曲线C 1的普通方程．C 1表示的是

圆心为(－4，3)，半径为1的圆.2分

由C 2：⎩

⎪⎨⎪⎧x ＝8cos θ，

y ＝3sin θ.(θ为参数)，

则⎩

⎪⎨⎪

⎧cos θ＝x

8，

sin θ＝y

3，

由cos 2θ＋sin 2

θ＝1得x 264＋y 29＝1，即曲线C 2的普通方程．C 2表

示的是中心在坐标原点，焦点在x 轴上，长半轴长为8，短半轴长为3的椭圆.5分

(2)当t ＝π

2时，P (－4，4)，Q (8cos θ，3sin θ)，

故M ⎝ ⎛⎭

⎪⎫－2＋4cos θ，2＋32sin θ，6分 C 3为直线x －2y －7＝分

则点M 到直线C 3的距离d ＝55|4cos θ－3sin θ－13|＝5

5

|5cos(θ＋φ)－13|，9分

从而当cos φ＝45，sin φ＝35时，d 取得最小值85

5.

11分

此时，Q 点的坐标为⎝

⎛⎭

⎪⎫325，－95.12分

8.(2015·高考陕西卷)在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨

⎪

⎧x ＝3＋1

2

t ，

y ＝32t

(t 为参数)．以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，⊙C 的极坐标方程为ρ＝

23sin θ.

(1)写出⊙C 的直角坐标方程；

(2)P 为直线l 上一动点，当P 到圆心C 的距离最小时，求P 的直角坐标．

解：(1)由ρ＝23sin θ，得ρ2

＝23ρsin θ，