10第四章 解析函数的级数表示(习题课)
第4章 解析函数的级数表示法
f
n 1
n
( z ) f1 ( z ) f 2 ( z ) f n ( z )
(4.2)
称为复变函数项级数，记作 f n ( z ) . 级数的 n 1 最前面n项的和
sn ( z) f1 ( z) f 2 ( z) f n ( z)
s( z) f1 ( z) f 2 ( z) f n ( z)
| f ( z) sn ( z) |
27
一致收敛性 定义4.2.1 对于级数(4.2），如果在点集D上有一个 函数 f (z ) ，使对任意给定的 0 ，存在正整数 N N ( ) ，当 n N 时，对一切的 z D 都有 | f ( z) sn ( z) | 则称级数(4.2）在D上一致收敛于 f (z ) 。 定理4.2.1 (柯西一致收敛准则）级数(4.2)在点集D 上一致收敛于某函数的充要条件是：任给 0 存在正整数 N N ( ) ，使当 n N 时，对一切 z D ，都有
n 1 n 1
lim an 0 和 lim bn 0 .
n n
所以复数项级数 n收敛的必要条件是
n1
lim n 0
n
重要结论: lim n 0 级数 n发散. n
n1
15
例如,im n lim e in 0,
(定理二)
实数项级数的审敛问题
13
1 i 课堂练习 级数 (1 ) 是否收敛？ n n1 n 1 解 因为 an 发散; n1 n1 n 1 bn n2 收敛. n1 n1
解析函数的级数表示
111
111
= 1 + + + + ... - 2 × + + + ....
234
246
111
111
= 1 + + + + ... - 1 + + + + .... = 0
234
234
实际上 I = ln 2
(- 1)n-1
Sum
, {n, 1, ∞}
n
Log[2]
可逐项相乘，下式右边仍为绝对收敛级数（乘法分配率与交换律？）
p = 1 时，(1. 2) 式退化为 ：
p
wn+k(z0) = z0N+1 - z0N+2 = 1 - 10-MN+1 2 - 10-M > 1 - 10-MN+1
k=1
p=1
因为 N 与 z 无关，M 变化时 ，N 不变，因此对那个找到的与 z 无关的 N(ε)，我们可以取足够大的 M，
比较一致收敛与非一致收敛的充要条件：
▲ 一致收敛的充要条件：
∀ （任意） ε > 0， ∃ （一个） N (ε)， 使得当 n > N(ε) 时 （对任意的 n > N），对任意 z ∈ D 或 z ∈ L，对任意自然数 p，均有
p
Sn+p(z) - Sn(z) = wn+k(z) < ε
试试看能不能证明一致收敛 。
p
用 ε - N 判别：∀ ε > 0, 需要导出存在 N，使得对任意 n > N ， wn+k(z) < ε 成立
第四章 解析函数的幂级数表示方法
第四章 解析函数的幂级数表示方法第一节 级数和序列的基本性质 1、复数项级数和复数序列： 复数序列就是：111222,,...,,...n n n z a ib z a ib z a ib =+=+=+在这里，n z 是复数，,Im ,Re n n n n b z a z ==一般简单记为}{n z 。
按照|}{|n z 是有界或无界序列，我们也称}{n z 为有界或无界序列。
设0z 是一个复常数。
如果任给0ε>，可以找到一个正数N ，使得当n>N 时ε<-||0z z n ,那么我们说{}n z 收敛或有极限0z ，或者说{}n z 是收敛序列，并且收敛于0z ，记作0lim z z n n =+∞→。
如果序列{}n z 不收敛，则称{}n z 发散，或者说它是发散序列。
令0z a ib =+，其中a 和b 是实数。
由不等式0||||||||||n n n n n a a b b z z a a b b --≤-≤-+-及容易看出，0lim z z n n =+∞→等价于下列两极限式：,lim ,lim b b a a n n n n ==+∞→+∞→因此，有下面的注解：注1、序列{}n z 收敛（于0z ）的必要与充分条件是：序列{}n a 收敛（于a ）以及序列{}n b 收敛（于b ）。
注2、复数序列也可以解释为复平面上的点列，于是点列{}n z 收敛于0z ，或者说有极限点0z 的定义用几何语言可以叙述为：任给0z 的一个邻域，相应地可以找到一个正整数N ，使得当n N >时，n z在这个邻域内。
注3、利用两个实数序列的相应的结果，我们可以证明，两个收敛复数序列的和、差、积、商仍收敛，并且其极限是相应极限的和、差积、商。
定义4.1复数项级数就是12......n z z z ++++或记为1n n z +∞=∑，或n z ∑，其中n z 是复数。
定义其部分和序列为：12...n n z z z σ=+++如果序列{}n σ收敛，那么我们说级数n z ∑收敛；如果{}n σ的极限是σ，那么说n z ∑的和是σ，或者说n z ∑收敛于σ，记作1nn zσ+∞==∑，如果序列{}n σ发散，那么我们说级数n z ∑发散。
复变函数项级数
(M
z z0
n
)
n1
z1 z0
收敛，同时根据正项级数的比较判别法可知，
Cn(z z0 )n
n1
收敛， 从而级数 Cn(z z0 )n 绝对收敛. n0
8
定理1的几何意义
如 果 幂 级 数 在 点1z收 敛 ， 那 么 幂 级 数 在 以z0 为 圆 心 ， 以z1 z0 为 半 径 的 圆 周 内 部 的 任意 点z处收敛.
n0
n0
n0
f (z) g(z) ( anzn ) ( bnzn ),
n0
n0
(anb0 an1b1 a0bn )zn ,
n0
z R R min( r1, r2 )
17
2. 幂级数的代换(复合)运算
如果当 z r 时, f (z) anzn, 又设在
n0
z R 内 g(z)解析且满足 g(z) r, 那末当 z R
10
对于形如 Cn (z z0 )n的幂级数当, z z0时，可能 n1
出现如下的三种情况
(1)对 任 意 的z z0 , 级 数 Cn (z z0 )n均 发 散 n1
(2)对 任 意 的 z, 级 数 Cn (z z0 )n均 收 敛 。 n1
(3)存 在 一 点z1 z0 , 使 得 级 数 Cn (z1 z0 )n收 敛 . n1
a
n0 n 1
简言之: 在收敛圆内, 幂级数的和函数解析;
幂级数可逐项求导, 逐项积分.
(常用于求和函数)
22
例3 求幂级数 zn 1 z z2 zn
n0
的收敛范围与和函数.
解 级数的部分和为
sn
1
z
z2
级数 复习题
第四章、级数----习题课： 1、 设已给复数序列}{n z 。
如果ζ=∞→n n z lim ，其中ζ是一个有限复数，那么ζ=+++∞→nz z z n n ...lim 21。
2、 证明：任何有界的复数序列一定有一个收敛的子序列。
3、 证明在两相乘级数中，一个收敛，一个绝对收敛时，第1段中关于柯西乘积的结果仍成立。
4、 证明定理2.1及2.2。
5、 试求下列幂级数的收敛半径：(1)∑∞+=02n nnz q，其中1||<q ； (2) ∑∞+=1!n n z;(3)∑∞+=0n np zn，其中p 是一正数；(4) ∑∞+=-+0])1(3[n nnn z；(5) n n nz nn ∑∞+=!；(6)...)1(!2)1()1(12++++++z c c b b a a z c ab...)1)...(1(!)1)...(1()1)...(1(+-++-++-+++nz n c c c n n b b b n a a a其中a 、b 、c 是复数，但c 不是零或负整数。
6、 设在R z <||内解析的函数)(z f 有泰勒展式......)(2110+++++=nn z z z z f αααα试证：（1）令|)(|max )(20θπθi re f r M ≤≤=，我们有n n rr M )(||≤α （柯西不等式），在这里;0,...;2,1,0R r n <<=（2）由(1)证明刘维尔定理； （3）当R r <≤0时∑⎰∞+==022202||d |)(|21n nn i rre f αθππθ。
7、 证明：如果在上r z <||及ρ<||z 内，我们分别有∑∞+==0)(n nn za z f 及∑∞+==0)(n nn zb z g ，其中+∞<<ρ及r 0，而且)(z f 在r z ≤||内连续，那么在ρr z <||内，⎰∑=∞+==r n nn n z g f i z b a ||0d )()(21ζζζζζπ。
第四章解析函数的级数表示(Therepresentationofpower
(The representation of power series of analytic function)
§4.1 复数项级数
§4.2 复变函数项级数
§4.3 泰勒（Taylo§4.1 复数项级数 §4.2 复变函数项级数
f z fnz n1
二、 幂级数
形如：
的复函数项级数称为幂级数,其中 a,c0,c1,
c2 ,…, 都是复常数. 以上幂级数还可以写成如下形式
cnzn c0 c1z c2z2 cnzn
n0
定理4.5(阿贝尔)如果幂级数(4.3) 在某点z1(≠a)收敛,则它必在圆 K:|z-a|<|z1-a|(即以a为圆心圆周通过z1的圆) 内绝对收敛.
n1 n
n1
n
n1 n
n1
n
因为级数 1 发散, n1 n
(1)n 1收敛,
n1
n
故 原 级 数 仍 发 散.
定理4.3级数 收敛的必要条件是
其中zn xn yn
证明 因为级数 收敛的充分必要条件是
都收敛，再由实级数 收敛的必要条件是
定理4.4若级数 zn n 1
收敛，
则级数
z
n也收敛.
lim
n
zn
z0
.
此时也称复数列{zn }收敛于 z0 .
定理4.1设复数列n an ibn, a ib,则
lim
n
n
的充分必要条件是
证明
那末对于任意给定 0
就能找到一个正数N,
从而有
所以
lim
n
an
a.
同理
lim
n
bn
解析函数的级数表示法
4.2.2 幂级数
cn (z a)n c0 c1(z a)2 c1(z a)n
n0
或 cn zn称为幂级数。
阿贝n尔0 （Abel)定理
如果级数 cn z在n z z0 (收0敛) ，那么对满足
z z |发z |散| z，0 |的那么n满0，足级数必| z绝||对的z0收| 敛，，级如数果必在发散z。 级z0 数
上一致收敛。
| z | r(r 1)
29 第29页，共107页。
定理4.2.2 设级数 fn的(z)各项在点集E上连续，并且在C
上一致收敛于
，n1则f和(z函) 数
f (z) fn(z)
也在E上连续.
n1
定理4.2.3 设级数
fn (的z) 各项在曲线C上连续，并且在
C上一致收敛于 n，1 则f (沿z)C可以逐项积分：
24 第24页，共107页。
定理4.4
（１）一个绝对收敛的复级数的各项可以 任意重排次序，而不致改变其绝对收敛 性，亦不致改变其和。
（2）两个绝对收敛的复级数可按对角线方 法得出乘积级数。
25 第25页，共107页。
4.2 幂级数
4.2.1 复变函数项级数
设 { fn (z)}(n 1,2,)为一复变函数列，其中 各项在区域D内有定义. 表达式
n
i. 1
解：先分解 n an ibn，然后分别考察 an
和 bn的极限，再确定数列 {的n} 收敛性。
（1）
(1 i )n 2
1 2n 2
(cos
n
4
i sin n ) 0(n )
4
5 第5页，共107页。
（2）
1 ni 1 ni
1 1
第4章 解析函数的级数表示法
§4.1 复数项级数 §4.2 幂级数 §4.3 解析函数的泰勒展开 §4.4 解析函数的罗朗展开 §4.5 孤立奇点
第一节 复数项级数
1. 复数列和复数列的极限 2. 复级数
1. 复数列和复数列的极限
定义4.1 设an(n 1,2,)为一复数列，其中 an n i n .
ak
k 1
k 1
ak
，故有
lim
n
k 1
ak
ak ,
k 1
即 ak ak .
k 1
k 1
利用不等式 an
2 n
2 n
n
n 可以得到下
面的结论 .
推论4.1 设an n in , n 1,2,.则级数 an绝对 n1
收敛的充要条件是级数 n和 n都绝对收敛 .
n1
n1
例4.1 下列级数是否收敛？是否绝对收敛？
n
应
的
部
分
和
数
列S
n
收
敛
于
n1
常 数S， 即
lim
n
Sn
S,
那 么 an称 为 收 敛 的 级 数. n1
数S叫 做 该 级 数 的 和 ， 记 为
an S .
n1
若
lim
n
Sn
不
存
在
，
则
称
n1
an为
发
散
的
级
数.
定理4.2 复级数 an收敛于S的充要条件是实级数 n1
n和 n分别收敛于 和，其中S i，
i 1
和 n分别收敛于 和，从而定理得证 .
定理4.3 复级数 an收敛的必要条件是 n1
复变函数第四章 解析函数的级数表示法
lim an 0 和 lim bn 0 .
n n
所以复数项级数 n收敛的必要条件是
n1
lim n 0
n
重要结论:
lim n 0 级数 n发散.
n n1
例如, 级数 e in :
n1
因为lim n lim e in 0,
an和 bn都收敛。
n 1 n 1
例1
1 i 级数 (1 ) 是否收敛？ n n1 n
1 解 因为 an 发散; n1 n1 n 1 bn 2 收敛. n1 n1 n
所以原级数发散.
必要条件
因为实数项级数 an和 bn收敛的必要条件是
4. 收敛半径的求法
n 关于幂级数 c z n n 0
( 3)的 收 敛 半 径 求 法 ， 有
cn1 定理4.6 1 / 若 lim ，则 R (比值法) n cn 0
1 / cn ，则 R 0
0 0
n 1
: lim n 0. 定理4.3 级 数 n收 敛 的 必 要 条 件 n
定义4.3
若 n 收 敛 ， 则 称 n为 绝 对 收 敛 ；
n 1 n 1
若 n 发 散 ， 而 n收 敛 ， 则 称 n为
n 1 n 1 n 1
0
定理4.7 若 lim n n (根值法)
0
例 (1) 解
求下列幂级数的收敛半径:
z 3 n n 1
(1)
n
(2)
【2019年整理】复变函数第四章 解析函数的级数表示法
不满足必要条件, 所以原级数发散.
启示:
判别级数的敛散性时,
可先考察
lim
n
n
?
0
lim 如果n
n
0,
lnimn 0,
级数发散; 应进一步判断.
由定理4.2，复数项级数的收敛问题可归之为 两个实数项级数的收敛问题。
定理4.3 级数
收敛
n
的
必要条件:
lim
n
n
0.
n1
定义4.3
若
n
收
敛
，
则
称
为
n
n
n
k k ,n n
k 1
k 1
n1
n1
由定理4.4的证明过程，及不等式 an2 bn2 an bn 有 :
推论4.1级数 n 收敛 an 和 bn 都收敛。
n1
n1
n1
? 若
收
n
敛
n1
n1
n收敛.(例如 :
n1
(1)n i n
)
例2 下列级数是否收敛？是否绝对收敛？
1. 幂级数的概念
定义
▪设复变函数列：{ fn(z)} z D, n 1,2, fn (z) f1(z) f2 (z) fn (z) (1) n1
---称为复变函数项级数
▪级数的最前面n项的和
n
sn (z) f1(z) f2(z) fn (z) fk (z)
k 1
1
i
(8i)n
(1)n i
(1) (1 ) (2)
n1 n
n
n0 n!
(3) (
n1
n
2n )
解
(1)
4 解析函数的级数表示 (2014)
因| z | 1,所以lim | z |n1 0, lim zn1 lim | z |n1 0.
n
n 1 z n |1 z |
有lim zn1 0. n 1 z
lim
n
Sn
lim n
n
zk
k 1
1 1 z
即| z | 1时，1 z z2 ... zn ... 1 . 1 z
lim
n
xn
0和 lim n
yn
0,
立即可得 lim n
zn
0, 从而推出复数项级数
n1
zn收敛的必要条件是
lim
n
zn
0.
11 11
复变函数与积分©变Co换pyright 湖南师大 2006
湖南师范大学工学院电子系 - 课程讲义
§4.1.2 复数项级数
定理4.4
所以
lim
n
zn
z0 .
注解：利用两个实数序列的相应的结果，可以证明两个
收敛复数序列的和、差、积、商仍收敛，并且其极限
是相应极限的和、差、积、商。
66
复变函数与积分©变Co换pyright 湖南师大 2006
湖南师范大学工学院电子系 - 课程讲义
§4.1.2 复数项级数
复数项无穷级数
设{zn}={xn+iyn}(n=1,2,...)为一复数序列, 表达式
湖南师范大学工学院电子系 - 课程讲义
例：判别下列级数的敛散性.
(1)
(1 i ) n1 n 2n
1+5i n
(2) n0
2
2019年09第四章解析函数的级数表示40238.doc
第四章 解析函数的级数表示§1. 复数项级数 一. 复数序列的极限定义： 设{}n z 为一个复数序列，其中n n n y i x z +=，又设000y i x z +=为一个复定值. 若,0,0>∃>∀N ε使得,N n >∀有不等式ε<-0z z n恒成立，则称复数序列{}n z 收敛于0z ，或称{}n z 以0z 为极限，记作0lim z z n n =∞→ 或()∞→→n z z n 0.如果对于任意复数0z ，上式均不成立，则称复数序列{}n z 不收敛或发散.定理1 设000y i x z +=，n n n y i x z +=，则⎪⎩⎪⎨⎧==⇔=∞→∞→∞→.lim ,limlim 000y y x x z z n n n n n n 定理1说明: 可将复数列的敛散性转化为判别两个实数列的敛散性.二. 复数项级数定义： 设{}n z 为一个复数序列，表达式+++++n z z z z 321称为复数项无穷级数.如果它们的部分和序列() 2,1321=++++=n z z z z S n n有极限S S n n =∞→lim （有限复数），则称级数是收敛的，S 称为级数的和；如果{}n S 没有极限，则称级数是发散的. 例1.当1<z 时，判断级数++++++nz z z z 321是否收敛？定理2 级数 ++++n z z z 21收敛的充分必要条件是实数项级数 ++++n x x x 21与 ++++n y y y 21都收敛.定理2说明: 可将复级数的敛散性转化为判别两 个实级数的敛散性.定理3 （级数收敛的必要条件）若级数++++n z z z 21收敛，则0lim =∞→n n z . 显然，收敛级数的各项一定有界.定理4 若级数+++++=∑∞=n n n z z z z z 3211收敛，则级数+++++=∑∞=n n nz z z z z3211一定收敛.定义： 若级数 ++++=∑∞=n n n z z z z 211收敛， 则称级数 ++++=∑∞=n n n z z z z 211绝对收敛，若级数 ++++=∑∞=n n n z z z z 211发散，而级数 ++++=∑∞=n n n z z z z 211收敛，则称级数 ++++=∑∞=n n nz z z z211条件收敛.例2.判断下列级数的敛散性：（1）∑∞=⎪⎭⎫⎝⎛+121n n i n ；（2）∑∞=1n nn i ；（3）∑∞=12n n n i .§2. 复变函数项级数一. 复变函数项级数定义： 设(){}() ,,n z f n 21=为区域D 内的函数序列，称以()z f n 为一般项的复级数 ()()()()+++++z f z f z f z f n 321为区域D 内的复变函数项级数.该级数的前n 项的和()()()()()z f z f z f z f z S n n ++++= 321称为该级数在D 内的部分和. 设0z 为区域D 内的一个定点，若极限()()00lim z S z S n n =∞→存在，则称该复变函数项级数在0z 点收敛，()0z S 为其和，即()()01z S z f n n=∑∞=.如果该复变函数项级数在D 内处处收敛，则称该复变函数项级数在D 内收敛，由此所定义的函数()z S 称为和函数，记作()∑∞=1n n z f .即 ()()∑∞==1n n z f z S二. 幂级数定义：形如()()()()+-++-+-+=-∑∞=nn n nnz z C z z C z z C C z z C 02020100的复变函数项级数称为幂级数，其中n C 与0z 均为复常数.定理5 如果幂级数()∑∞=-00n nn z z C 在点()011z z z ≠ 收敛，则该级数在圆域010z z z z -<-内绝对收敛.推论如果幂级数()∑∞=-10n nn z z C 在点2z 发散，则在区域020z z z z ->-内发散.定义：若存在圆R z z <-0，使得幂级数()∑∞=-10n nn z z C 在此圆内绝对收敛，在此圆外发散，则称该圆为幂级数的收敛圆，称该圆的半径R 为幂级数的收敛半径. 结论：对幂级数()∑∞=-10n nn z z C 而言，一定存在某一圆()+∞<<<-R Rz z 00，使得该幂级数在此圆内绝对收敛，在此圆外发散；即幂级数一定存在收敛圆。
【高数课件】第四章 解析函数的级数表示
n
,
lim
n
xn
1, lim n
yn
0,
zn
(1
1 n
i
)e
n
收敛，且有
lim
n
zn
1.
(2)zn n cos in
1 n(en en ) 2
ncosh n
n (en en ) 1 nen (e2n 1)
2
2
lim
n
zn
lim
n
1 2
nen (e2n
1)
,
所以复数列{z}n 发散.
lim
n
xn
x0 ,
同理可得：lim n
yn
y0.
充分性
已知
lim
n
xn
x0
,
lim
n
yn
y0，
0, N N ,当n N时，都有
xn x0
2 , ( yn y0 )
，
2
zn z0 (xn x0) i(yn y0) xn x0 (yn y0) ,
lim
n
zn
z0.
S称为级数的和，如果数列{Sn}不收敛，则称级数
n1
zn发散.
• 例1．当| z | 1时，判断级数1 z z2 zn 是否收敛？
解：部分和Sn (z) z z2
zn 1 zn1 1 zn1 1 z 1 z 1 z
lim zn1 lim | z |n1 0, lim zn1 0,
▪ 关于复数项级数和复变函数项级数的某些概念和 定理都是实数范围内的相应的内容在复数范围内 的直接推广，因此，在学习中结合高等数学中无 穷级数部分的复习，并在对此中进行学习．
复变函数与积分变换第4章解析函数的级数展开及其应用
解当 ≥1时，
，故 发散;
当 <1时,
又部分和函数
故和函数为
于是 的收敛域为z<1.
页 退出
复变函数与积分变换
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定理4.6设{fn(z)}(n=1,2,…)是定义在平面点集E上的复变函数列, 对充分大 的n，存在正数列 (n=1,2,…)使得
如果正项级数
收敛，则
证由正项级数的比较原理知 收敛.
页 退出
复变函数与积分变换
出版社 理工分社
下面的定理给出了求收敛半径的方法，其证明完全类似于实函数的情形. 定理4.9如果幂级数式（4.2）的系数满足
则幂级数式（4.2）的收敛半径
页 退出
复变函数与积分变换
定理4.10如果幂级数式（4.2）的系数满足 则幂级数式（4.2）的收敛半径
出版社 理工分社
页 退出
复变函数与积分变换
例4.8求sin z，cos z在
处的Taylor级数.
解利用f(z)=sin z的定义及展开式（4.7）得
但当n为偶数时
于是
出版社 理工分社
页 退出
复变函数与积分变换
因为 所以有 应用定理4.11中的逐项微分性质，在等式（4.8）两边微分有 即cos z在z0=0处的Taylor级数为
和 都绝对收敛，再由定理4.2
知
收敛.
定义4.3若
收敛，则称
绝对收敛，若
收敛,而
发散，则称
条件收敛.
定理4.5假设zn =xn+iyn(n=1,2,…)，则
绝对收敛的充分必要条件是
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第四章 解析函数的级数表示（习题课）
例1. 设级数∑∞=02n n n c 收敛,而级数∑∞
=02n n n
c 发散,试证:幂级数∑∞=0n n n z c 的收敛半径为2 .解，幂级数在2点收敛，所以R 大于等于2，若R
大于2，则当z 的模等于2，CnZn 次方模收敛，与已知矛盾，所以R 小于等于2，所以R 等于2
例 2. 若幂级数在收敛圆域的边界上的某一点1z 处
绝对收敛,则该幂级数在此闭域上绝对收敛.
例3. 将下列函数展成z 的幂级数，并指出其收敛
区域：
（1）Ln (1+z ) （2） z e
z -1
（3）⎰z dz z
z sin 0. 定理（1）一个绝对收敛的复级数的各项可以任意
重排次序，所得的新级数的绝对收敛性及和
均不变；
（2）两个绝对收敛的复级数的柯西积在其公共收敛域内仍然绝对收敛，且其和即为两级数的和的乘积。
例4. 求下列函数在指定点的泰勒展式：
（1）;z ,z 1102=， （2）;i z ,z +=-13410
（3）;z ,z sin 10=
例5. 例7. 若()∑∞
==0n n n z a z f 在r z ≤上解析,试证级数 ()∑∞
==0!n n n z n a z ϕ 在+∞<z 内处处收敛,且
()()().,r z k k r z e r M z Me z <<ϕϕ
其中M 为正常数,k 为任意自然数. . 0 sec )( 的泰勒展开式在
点求==z z z f。