10第四章 解析函数的级数表示(习题课)

第四章 解析函数的级数表示（习题课）

例1. 设级数∑∞=02n n n c 收敛,而级数∑∞

=02n n n

c 发散,试证:幂级数∑∞=0n n n z c 的收敛半径为2 .解，幂级数在2点收敛，所以R 大于等于2，若R

大于2，则当z 的模等于2，CnZn 次方模收敛，与已知矛盾，所以R 小于等于2，所以R 等于2

例 2. 若幂级数在收敛圆域的边界上的某一点1z 处

绝对收敛,则该幂级数在此闭域上绝对收敛.

例3. 将下列函数展成z 的幂级数，并指出其收敛

区域：

（1）Ln (1+z ) （2） z e

z -1

（3）⎰z dz z

z sin 0. 定理（1）一个绝对收敛的复级数的各项可以任意

重排次序，所得的新级数的绝对收敛性及和

均不变；

（2）两个绝对收敛的复级数的柯西积在其公共收敛域内仍然绝对收敛，且其和即为两级数的和的乘积。

例4. 求下列函数在指定点的泰勒展式：

（1）;z ,z 1102=， （2）;i z ,z +=-13410

（3）;z ,z sin 10=

例5. 例7. 若()∑∞

==0n n n z a z f 在r z ≤上解析,试证级数 ()∑∞

==0!n n n z n a z ϕ 在+∞

()()().,r z k k r z e r M z Me z <<ϕϕ

其中M 为正常数,k 为任意自然数. . 0 sec )( 的泰勒展开式在

点求==z z z f