统计物理的基本概念

玻耳兹曼系统、玻色系统、费米系统
玻耳兹曼系统：由可分辨的全同近独立粒子组成，且 处在一个个体量子态上的粒子数不受限制的系统。 玻色系统：由不可分辨的全同近独立玻色粒子组成， 不受泡利不相容原理的约束，即处在同一个个体量子 态上的粒子数不受限制的系统。 费米系统：由不可分辨的全同近独立费米粒子组成， 受泡利不相容原理的约束，即处在同一个个体量子态 上的粒子数最多只能为1个粒子的系统。
§13-4
等概率原理 热力学概率
一、等概率原理
对于处在平衡态的孤立系统，系统的各个可能 的微观状态出现的概率是相等的。
因为大量的微观状态都可以满足具有同一确定 N、E、V 的宏观条件，没有理由认为哪一个状态出 现的概率更大一些。这些微观状态应当是平权的。
等概率原理是统计物理学中的一个合理的基本
假设。该原理不能从更基本的原理推出，也不能直
例： 设系统由两个粒子组成，粒子的个体量子 态有3个，如果这两个粒子分属玻耳兹曼系统、 玻色系统、费米系统时，试分别讨论系统各有哪 些可能的微观状态？
对于玻尔兹曼系统可有9种不同的微观状态 1 2 3 4 5 6 7 8 9 量子态1 AB A B 量子态2 AB 量子态 3
AB
B A A B B A B A
A B
对于玻色系统可以有6种不同的微观状态 1 2 3 4 5 6 量子态1 AA 量子态2 AA 量子态3
AA
A A A A A
A
对于费米系统可以有3个不同的微观状态 量子态1 1 2 3 A 量子态2 A A 量子态3 A A
A
在确定N、E、V的宏观状态下，系统可能的微 观状态是大量的。为了研究系统的宏观性质，没必 要也不可能追究微观状态的复杂变化，只要知道一 个宏观状态对应的微观状态数以及各个微观状态出 现的概率，就可以用统计方法求微观量的统计平均 值获得相应的宏观性质。 因此，确定一个宏观状态对应的微观状态数以 及各微观状态出现的概率是统计物理的根本问题。
四、玻耳兹曼系统的微观状态数 同一个分布对于玻耳兹曼系统、玻色系统、费 米系统给出的微观状态数显然是不同的，先讨论玻 耳兹曼系统。 粒子可以分辨，若对粒子加以编号，对任一能 级 i ， N i个编了号的粒子占据能级上的 g i 个量子 态时共有 g i Ni 个占据方式。
N1 , N 2 , Ni 个编了号的粒子分别占据能级 Ni 1 , 2 , i 上的量子态共有 gi 种方式
二者的联系： 热力学对热现象给出普遍而可靠的结果，可以用 来验证微观理论的正确性；

统计物理学则可以深入热现象的本质，使热力学 的理论获得更深刻的意义，二者相辅相成。

§13-2
相空间
粒子是指组成物质系统的基本单元。 粒子的运动状态是指它的力学运动状态。 如果粒子遵从经典力学的运动规律，对粒子运 动状态的描述称为经典描述。 如果粒子遵从量子力学的运动规律，对粒子运 动状态的描述称为量子描述，称为量子态。
一、系统微观运动状态的经典描述
1）全同粒子 具有完全相同内禀属性(如质量、电荷和自旋) 的同类微观粒子。
2）近独立粒子 忽略粒子间的相互作用(没有势能只有动能)， 系统能量为单个粒子能量之和。
E N11 N2 2 Ni i Ni i
i
经典认为全同粒子是可以分辨的(因为经典粒 子的运动是轨道运动，原则上是可以被跟踪的)。 如果在含有多个全同粒子的系统中，将两个粒子 的运动状态加以交换，交换前后，系统的力学运 动状态是不同的。
N1 , N2 ,, Ni ,为 1 , 2 ,, i ,上的粒子数，用符 号 {Ni }表示数列 N1 , N 2 ,, Ni , ，称为一个分布。
显然，对于具有确定的N，E，V的宏观状态满足：
N
i
i
N
N
i
i i
E
给定了一个分布，只能确定处在每一个能级上 的粒子数，它与系统的微观状态(具体安排哪些粒 子处于哪个状态)是两个性质不同的概念。
第十三章
统计物理的基本概念 §13-1 引言
宏观物体具有微观结构，是由大量的微观粒 子（分子、原子等）所组成的。而这些微观粒子在 不停地作无规则的运动----热运动。 宏观物体的物理特征正是建立在微观粒子热运 动的基础上的。
热力学是研究物质热运动的宏观理论，它以热力 学实验定律为基础，应用数学方法，通过逻辑推理和 演绎，得出有关物质各种宏观性质之间的关系，以及 宏观物理过程进行的方向和限度等方面的结论。
一、粒子运动状态的经典描述
自由度为r 的一个微观粒子的微观运动状态由 2r 个广义坐标和广义动量确定。 广义坐标:
q1 , q2 , q3 , qr
广义动量： p1 , p2 , p3 , pr
能量＝（q1 , q2 , qr；p1 , p2 , pr）
由此2r 个直角坐标构成的2r 维空间称为μ空间。 μ空间： q1 , q2 , qr；p1 , p2 , pr） （
一个粒子在某时刻的力学运动状态可以用μ空 间中一个点来表示，由N个全同粒子组成的系统在 某时刻的微观运动状态可以用μ空间中的N个点表 示，那么如果交换两个代表点在μ空间的位置，相 应的系统的微观状态是不同的。
二、系统微观运动状态的量子描述
微观粒子全同性原理：全同粒子是不可分辨的。在 含有多个全同粒子的系统中，将任意两个全同粒子 加以交换，不改变整个系统的微观状态。 对于不可分辨的全同粒子，确定由全同近独立粒子 组成的系统的微观状态归结为确定每一个量子态上 的粒子数。
接从实验上验证。它的正确性在于从它推出的各种 结论与客观实际相符而得到肯定。
二、热力学概率
在确定N、E、V的宏观状态下，系统可能的 微观状态是大量的。
根据等概率原理，一种宏观状态对应的微观 状态越多，则这种宏观状态出现的概率就越大。
热力学概率是指一种宏观态对应的微观状态数。
三、分布{Ni}
对于确定的宏观状态下，粒子数按能级的排列方式 能级： 1 , 2 ,, i , 简并度： g1 , g 2 ,, gi , 粒子数： 1 , N 2 ,, Ni , N
最概然分布
我们得到了与一个分布相对应的系统的微观状态 数。对于一个孤立系统的约束条件N、E、 V不变的条 件下，不同的分布，系统的微观状态数是不同的。可 能存在这样一个分布，它使系统的微观状态数最多。 根据等概率原理，对处于平衡态的孤立系统，每 一个可能的微观状态出现的概率是相等的。因此，微 观状态数最多的分布，出现的宏观状态概率最大，称 为最可几分布(最概然分布)。
微观粒子的分类
1)玻色子与费米子 a)费米子：自旋量子数为半整数的基本粒子或复 合粒子。如：电子、质子、中子等。 b)玻色子：自旋量子数为整数的基本粒子或 复合粒子。 如：光子、Л介子等。 c)复合粒子的分类 ：凡是由玻色子构成的复合粒子 是玻色子；由偶数个费米子构成的复合粒子是玻色 子，由奇数个费米子构成的复合粒子是费米子。
μ空间中任何一点代表力学体系中一个粒子的 一个运动状态，这个点称为代表点。当粒子运动状 态随时间改变时，代表点相应地在μ空间中移动， 描画出一条轨迹。
二、粒子运动状态的量子典描述
微观粒子具有波粒二象性 根据不确定关系，微观粒子不可能同时有确 定的动量和坐标，说明微观粒子的运动不是轨道 运动。微观粒子的运动状态不是用坐标和动量来 描述的。
•优点：具有很高的可靠性和普遍性；
•缺点：由于热力学理论不涉及物质的微观结构和 粒子的运动，把物质看成是连续的，因此不能解释 宏观性质的涨落。
统计物理学是研究物质热运动的微观理论，它从 “宏观物质系统是由大量微观粒子组成的”这一基本 事实出发。认为物质的宏观性质是大量微观粒子运动 的集体表现，根据微观粒子的行为来解释物质的宏观 性质，认为宏观量是微观量的统计平均值。 •优点：它可以把热力学的几个基本定律归结于一个 基本的统计原理，阐明了热力学定律的统计意义； •缺点：由于对物质微观结构所做的往往只是简化的 模型假设，因而所得到的理论结果往往只是近似的。
相空间体积元中的状态数（相格数）为
源自文库
d 1 g 3 3 dxdydzdpx dp y dpz h h
相空间体积元中的能量认为是相同的，故体积元 中g个状态具有相同的能量，因此又可以说是简并 的，g即为简并度。
§13-3
宏观态与微观态
宏观状态和微观状态的区别
宏观状态：平衡状态下由一组参量表示 如N、E、V（热力学） 微观状态：每个微观粒子的运动状态（统计物理）

i
玻耳兹曼系统的粒子可以分辨，交换粒子将给出 系统不同的状态，将N个粒子交换，交换数是 N !。 因为前面已考虑了同一能级上 N 个粒子的交换， i Ni ! 所以交换数应除以

i
N! 所以，对于玻尔兹曼系统 WM .B. giNi Ni ! i 分布相应的微观状态数为：
l
§13-5
根据不确定关系，微观粒子在某一方向上位 置的不确定度与动量不确定度的乘积在数量级上 最小等于普朗克常量。
xpx h
因此，一个自由度为3的微观粒子在相空间的位 置只能确定在大小为h3的空间内，称为一个相格。 每一个相格对应微观粒子的一个量子态。
自由度为3的微观粒子需要6维相空间描述。 相空间体积元 d dxdydzdpx dp y dpz
描述方式
单个粒子的经典运动状态，由r个广义坐标和 个广义动量来描述，当组成系统的N个粒子在某一 r时刻的运动状态都确定时，也就确定了整个系统 的在该时刻的运动状态。因此确定系统的微观运 动状态需要
qi1 , qi 2 ,, qir , pi1 , pi 2 ,, pir i 1,2 N
这 2rN 个变量来确定。