误差原理第四章 最小二乘法
最小二乘法原理
最小二乘法原理：等精度测量的有限测量系列，寻求一个真值， 最小二乘法原理 使得误差的平方和达到最小。
xi 现在来证明 证明，只有按公式（1－16） x = ∑ n = x0 计算得到 证明 i =1 的最佳估计值，才具有最小的残差（或偏差）平方和。
n
设有一独立等精度的测量列xi(i=1,2,…,n)，其残差为 vi = xi − x 残差的平方和为：
2 2 i =1 i =1
n
2
n
2
= n x + n x − 2n • x • x = n( x − + x − 2 • x • x) = n( x − x) 2 > 0
所以
n n
2
由此证明了: 算术平均值具有残差平 方和最小值的特性
∑ d <∑ v
2 i =1 i i =1
2
n
i
即
∑ vi 为最小值。
8
d i = x i − x ，则残差的平方和为
n
∑d
i =1
2 i
= ∑ ( xi − x ) = ∑ ( xi − 2xi x + x )
2 2 i =1
n
n
n
2
i =1
= ∑ xi − 2 x ∑ xi + n x
2 i =1 n i =1
2
n
2
2 1 n = ∑ xi − 2n • x • ∑ xi + n x n i =1 i =1
= ∑ xi − 2n • x • x + n x
2 i =1
n
2
（1： i =1 m
m
xi ∑ n+k i =1
最小二乘法的原理及其应用
最小二乘法的原理及其应用1. 最小二乘法的原理最小二乘法是一种常用的数学优化方法，其原理是通过最小化残差平方和来寻找数据的最佳拟合线或曲线。
当数据存在随机误差时，最小二乘法可以有效地估计模型参数。
最小二乘法的基本原理可以概括为以下几个步骤：1.首先，假设模型的形式，如线性模型：y=mx+b。
2.然后，定义一个衡量模型拟合程度的误差函数，通常采用残差的平方和：$E(m, b) = \\sum_{i=1}^{n} (y_i - (mx_i + b))^2$。
3.接下来，根据最小二乘法的原理，我们需要通过对误差函数求偏导数，得出使误差函数最小化的模型参数。
4.最后，通过优化算法，如梯度下降法等，迭代地调整模型参数，使误差函数达到最小值，从而获得最佳拟合模型。
最小二乘法的原理非常简单和直观，因此被广泛应用于各个领域，如统计学、经济学、工程学等。
2. 最小二乘法的应用最小二乘法在实际问题中有着广泛的应用，下面将介绍其中的几个应用场景。
2.1 线性回归线性回归是最小二乘法最常见的应用之一。
在线性回归中，最小二乘法用于估计自变量与因变量之间的线性关系。
通过最小化残差平方和，我们可以找到一条最佳拟合直线，从而对未知的因变量进行预测。
线性回归广泛应用于经济学、社会学等领域，帮助研究者探索变量之间的相互关系。
2.2 曲线拟合最小二乘法还可以用于曲线拟合。
当我们需要拟合一个非线性模型时，可以通过最小二乘法来估计参数。
通过选择适当的模型形式和误差函数，可以得到最佳拟合曲线，从而准确地描述数据的变化趋势。
曲线拟合在信号处理、图像处理等领域具有重要的应用。
2.3 数据降维数据降维是指将高维度的数据转化为低维度表示，以便于可视化和分析。
最小二乘法可以用于主成分分析（PCA）等降维方法中。
通过寻找投影方向，使得在低维度空间中的数据点到其投影点的平均距离最小化，可以实现数据的有效降维。
2.4 系统辨识在控制工程中，最小二乘法经常被用于系统辨识。
误差原理第四章-最小二乘法知识分享
解 列出误差方程
式中
t l i
——在温度 下铜捧长度的测得值；
i
——铜棒的线膨胀系数。
令 y0x1,y0x2为两个待求估计参数，则误差方程可写为
根据误差方程，我们可列出正规方程 又
将以上计算的相应系数值代入上面的正规方程得 解得 即 因此铜棒长度随温度的线性变化规律为
三、不等精度测量线性参数最小二乘法处理 不等精度误差方程转化为等精度误差方程为
例4-2 已知测量方程
对 Y i 的测量数据及其相应的标准差为
试列出最小二乘估计的正规方程。 解 列出残余误差方程
确定各测量数据的权。
根据误差方程及各测量数据的权，我们写出正规方程 式中
则正规方程为
四、非线性参数最小二乘法 非线性转化为线性：
的近似值，即
将函数在 R10 , R20 处展开，取一次项，有
代入残差方程，得线性残差方程 五、对同一量重复测量数据的最小二乘法
4.2精度估计 一、测量数据的精度估计 1. 等精度测量数据的精度估计
例4-4 试求例4-1中铜棒长度的测量精度。 解 已知残余误差方程
可得残余误差为
则标准差为 2．不等精度测量数据的精度估计
4、最小二乘原理
1）最小二乘法原理 --- 残差平方和最小
n 次重复测量（ x1, x2, …, xn ）
最佳估计
^
xOPT
^
残差 vi xi xOPT 平方和最小
^ 2
S^ ^ xxOPT
vi2
(xixOP )TSmin
^
1
xOPT n
xi
4.1 经典最小二乘法
一.两个未知量情况
第四章-最小二乘参数辨识方法及原理
脉冲传递函数描述：
Y ( z ) b0 b1 z 1 bn z n B( z 1 ) G( z) = 1 n 1 U ( z ) 1 a1 z an z A( z )
2.随机模型
v(k )
u(k )
G (k )
x(k )
y(k )
观测值可表示为：
本章的学习目的
1、掌握最小二乘参数辨识方法的基本原理
2、掌握常用的最小二乘辨识方法 3、熟练应用最小二乘参数辨识方法进行模型参数辨识 4、能够编程实现最小二乘参数辨识
回
顾
辨识目的：根据过程所提供的测量信息，在某种准则意 义下，估计模型的未知参数。 Input
Process 目 的
Output
工程实践
88 1010
95.7 1032
表 1 热敏电阻的测量值
t (C ) R ()
20.5 765
26 790
32.7 826
40 850
51 873
61 910
73 942
80 980
88 1010
95.7 1032
R a bt
N N N N ˆ Ri 2 R a 702ti.762i ti ti i 1 i 1 a i 1 i 1 ˆ 2 N N ˆ N. t i2 t i b 3 4344 i 1 i 1 N N N N Ri t i Ri t i i 1 i 1 b i 1 ˆ R 943 .1682 N N 2 N ti ti i 1 i 1
上述N个方程可写成下列向量－矩阵形式
y (n) y (1) u (n 1) y (n 1) y (n 2) y (n 1) y (2) u ( n 2) y (n N ) y (n N 1) y ( N ) u (n N )
误差理论与测量平差四章
引用参数 X=H1
X%
h%1 h%4 h%5 0
h%1 h%2 h%6 0
h%3 h%4 h%6 0
h%1
1 0
1
1
0 0
1 0
X% HA
011 000 110 000
0
0
1
1
0
hh%%12
1
2
x
2 m in
1
nE(
1
2
)
2
n
得证
二、最小二乘原理 1.最小二乘法
例：匀速运动的质点在时刻的位置y表示为：
yˆ ˆ ˆ
实际上： y v ˆ ˆ
为了求ˆ 与
ˆ, 在
1， 2，L
测定其位置，
n
得y1, y2 L yn ,则：
vi ˆ ˆ yi , (i 1, 2L n)
W AL A0
二、附有参数的条件平差函数模型 例 引用参数 X=SAB 参数的个数 U=1 n=5, t=3
r=n-t=5-3=2 条件方程个数：
C=r+U=3 可以列出三个条件方程：
S%12 S%22 X%2 2S%2 X%cos L%1 0 S%12 S%22 X%2 2S%1X%cos L%2 0 S%12 S%22 X%2 2S%1 S%2 X%cos L%3 0
hh%%34
hh%%56
0
0
0 1
X%
0
0
0
H
A
最小二乘方法
最小二乘方法：原理、应用与实现一、引言最小二乘方法是数学优化中的一种重要技术，广泛应用于各种实际问题中。
它的基本原理是通过最小化误差的平方和来估计未知参数，从而实现数据拟合、线性回归等目标。
本文将对最小二乘方法的原理、应用与实现进行详细介绍，并探讨其在实际问题中的应用。
二、最小二乘方法的原理最小二乘方法的基本原理可以概括为：对于一组观测数据，通过最小化误差的平方和来估计未知参数。
具体而言，设我们有一组观测数据{(xi, yi)}，其中xi是自变量，yi是因变量。
我们希望找到一个函数f(x)，使得f(xi)与yi之间的差距尽可能小。
为了量化这种差距，我们采用误差的平方和作为目标函数，即：J = Σ(f(xi) - yi)²我们的目标是找到一组参数，使得J达到最小值。
这样的问题称为最小二乘问题。
在实际应用中，我们通常采用线性函数作为拟合函数，即：f(x) = a + bx其中a和b是待估计的参数。
此时，最小二乘问题转化为求解a 和b的问题。
通过求解目标函数J关于a和b的偏导数，并令其为零，我们可以得到a和b的最优解。
这种方法称为最小二乘法。
三、最小二乘方法的应用数据拟合：最小二乘方法在数据拟合中有广泛应用。
例如，在物理实验中，我们经常需要通过一组观测数据来估计某个物理量的值。
通过采用最小二乘方法，我们可以找到一条最佳拟合曲线，从而得到物理量的估计值。
这种方法在化学、生物学、医学等领域也有广泛应用。
线性回归：线性回归是一种用于预测因变量与自变量之间关系的统计方法。
在回归分析中，我们经常需要估计回归系数，即因变量与自变量之间的相关程度。
通过采用最小二乘方法，我们可以得到回归系数的最优估计值，从而建立回归方程。
这种方法在经济学、金融学、社会科学等领域有广泛应用。
图像处理：在图像处理中，最小二乘方法常用于图像恢复、图像去噪等问题。
例如，对于一幅受到噪声污染的图像，我们可以采用最小二乘方法对图像进行恢复，从而得到更清晰、更真实的图像。
最小二乘法方差推导
最小二乘法方差推导导言最小二乘法是一种常用的回归分析方法，用于建立变量之间的关系模型。
在使用最小二乘法进行回归分析时，我们通常会考虑误差的大小和分布情况。
方差是一种常用的衡量误差大小的指标，通过推导最小二乘法的方差，可以更好地理解最小二乘法的原理和应用。
一、线性回归模型线性回归模型是最简单也是最常用的回归模型之一。
假设我们有一组观测数据(x1,y1),(x2,y2),...,(x n,y n)，其中x i表示自变量，y i表示因变量。
线性回归模型的基本形式可以表示为：y=β0+β1x+ϵ其中y表示因变量，β0和β1分别表示截距和斜率，ϵ表示误差。
二、最小二乘法原理最小二乘法的目标是找到一条直线，使得观测数据到这条直线的距离最短。
假设观测数据的真实值为y i，模型预测值为y î，则观测数据的误差可以表示为e i=y i−y î。
最小二乘法的原理是通过最小化误差的平方和来估计回归模型的参数。
具体来说，我们希望找到一组参数β0̂和β1̂，使得观测数据的误差平方和最小。
误差平方和可以表示为：nSSE=∑(y i−y î)2i=1三、最小二乘法方差的推导最小二乘法方差是衡量观测数据与回归模型之间的离散程度的指标。
我们通过推导最小二乘法的方差，可以更好地理解模型的可靠性和拟合程度。
3.1 残差在推导最小二乘法方差之前，我们首先定义残差e i。
残差表示观测数据的真实值与模型预测值之间的差异。
对于线性回归模型，残差可以表示为e i=y i−y î。
3.2 方差推导方差是衡量观测数据与回归模型之间的离散程度的指标。
我们通过推导最小二乘法的方差，可以衡量回归模型的可靠性和拟合程度。
方差可以表示为残差平方和除以观测数据的数量。
具体来说，方差可以表示为：Var=SSE n其中，n表示观测数据的数量，SSE表示观测数据的误差平方和。
四、小结最小二乘法是一种常用的回归分析方法，可以用于建立变量之间的关系模型。
通过最小化观测数据与模型预测值之间的误差平方和，可以得到回归模型的参数估计值。
最小二乘法的原理
最小二乘法的原理
最小二乘法是一种统计学中常用的参数估计方法，用于拟合数据并找到最适合数据的数学模型。
其原理是通过最小化实际观测值与预测值之间的误差平方和，来确定模型参数的取值。
具体而言，假设有一组数据点，其中每个数据点包括自变量（即输入值）和因变量（即输出值）的配对。
我们要找到一条最佳拟合曲线（或者直线），使得曲线上的预测值尽可能接近实际观测值。
而最小二乘法的目标就是使得残差的平方和最小化。
假设要拟合的模型为一个一次多项式：y = β0 + β1*x，其中β0和β1是待估计的参数，x是自变量，y是因变量。
我们要找到
最优的β0和β1，使得拟合曲线的误差最小。
为了使用最小二乘法，我们首先需要构建一个误差函数。
对于每个数据点，误差函数定义为实际观测值与预测值之间的差，即e = y - (β0 + β1*x)。
我们的目标是最小化所有误差的平方和，即最小化Sum(e^2)。
通过对误差函数求导，并令导数为0，可以得到最小二乘法的
正规方程组。
解这个方程组可以得到最优的参数估计值，即
β0和β1的取值。
最终，通过最小二乘法，我们可以得到一条最佳拟合曲线（或直线），使得曲线的预测值与实际观测值的误差最小。
这条拟
合曲线可以用于预测新的因变量值，或者理解自变量与因变量之间的关系。
最小二乘法基本原理
最小二乘法基本原理最小二乘法是一种常用的参数估计方法，它的基本原理是通过最小化观测数据的残差平方和来确定模型的参数。
在实际应用中，最小二乘法被广泛应用于回归分析、曲线拟合、信号处理等领域。
本文将介绍最小二乘法的基本原理，以及其在实际问题中的应用。
首先，我们来看最小二乘法的基本原理。
假设我们有一组观测数据$(x_1, y_1), (x_2, y_2), ..., (x_n, y_n)$，我们希望找到一个模型来描述这些数据。
通常情况下，我们会假设模型具有如下形式：$$y = f(x; \theta) + \varepsilon$$。
其中，$f(x; \theta)$是关于参数$\theta$的函数，$\varepsilon$是误差。
我们的目标是通过调整参数$\theta$的取值，使得模型预测值$f(x; \theta)$与观测值$y$之间的残差平方和最小化。
换句话说，我们希望找到最优的参数$\theta$，使得残差平方和$S(\theta)$达到最小值：$$\min_{\theta} S(\theta) = \sum_{i=1}^{n} (y_i f(x_i; \theta))^2$$。
这就是最小二乘法的基本原理，通过最小化残差平方和来确定模型的参数。
在实际应用中，我们通常会选择一些常见的函数形式作为$f(x; \theta)$，比如线性函数、多项式函数、指数函数等，并利用最小二乘法来估计参数$\theta$的取值。
接下来，我们来看最小二乘法在回归分析中的应用。
回归分析是统计学中的一种重要方法，用于研究自变量和因变量之间的关系。
最小二乘法可以用来拟合回归模型，并估计模型的参数。
例如，考虑简单线性回归模型$y = \beta_0 + \beta_1x + \varepsilon$，我们可以利用最小二乘法来估计参数$\beta_0$和$\beta_1$的取值，从而找到最佳拟合直线。
此外，最小二乘法还可以用于曲线拟合。
最小二乘法的基本原理
最小二乘法的基本原理
最小二乘法（Least Square Method，LSM）是一种数学优化方法，根据一组观测值，找到最能够复合观测值的模型参数。
它是求解最优化问题的重要方法之一，可以用于拟合曲线、拟合非线性函数等。
一、基本原理
（1）最小二乘法依据一组观测值的误差的平方和最小找到参数的最优解，即最小化误差的函数。
（2）为了求解最小量，假设需要估计的参数维度为n，那么应该在总共的m个观测值中找到n个能够最小二乘值的参数。
（3）具体的求解方法为，由所有的数值计算最小和可能性最大的可能性，从而求得最佳拟合参数。
二、优点
（1）最小二乘法最大的优点就是可以准确测量拟合实际数据的结果。
（2）有效利用活跃度原则让处理内容变得简单，操作计算量少。
（3）可以有效地节省计算过程，提高计算效率，使用计算机完成全部计算任务。
（4）具有实用性，可以根据应用的不同情况来自动判断最优的拟合参数，比如用最小二乘法来拟合异常值时，就可以调整参数获得更好的拟合效果，而本没有定义可以解决问题。
三、缺点
（1）对于（多维）曲线拟合问题，最小二乘法计算时特别容易陷入局部最小值，可能得到估计量的质量没有较优的实现；
（2）要求数据具有正态分布特性；
（3）数据中存在外源噪声，则必须使用其它估计方法；
（4）最小二乘法的结果只对数据有效，对机器学习的泛化能力较弱。
误差理论与平差基础课件 第3、4章
求函数向量 x = [ x1
x 2 ]T 的方差。
-5-
第三章 协方差传播律 三、两个函数 y ,
r ,1
r ,t
t ,1
z 的互协方差阵
⎡ 4 0 0⎤ ⎢0 2 0⎥ 例3设有观测向量L，已知其协方差阵为，D = ⎢ ⎥ 3, 3 ⎢ 0 0 3⎥ ⎣ ⎦ 求下列函数的协方差。
DYZ = FDXX K T
T DYY = FDXX F T = DYY r ×r
-4-
第三章 协方差传播律
例1已知 L1 ...L3
⎤ ⎡3 DL = ⎢ 2 ⎥ ⎥ ⎢ 3, 3 ⎢ 4⎥ ⎦ ⎣
求函数 x = 5L1 − L2 + 2 L3 − 7 的方差。
例2已知 L1 ...L3
⎡ 3 − 1 1⎤ DL = ⎢− 1 2 0⎥ ⎥ ⎢ 3, 3 ⎢ 1 0 4⎥ ⎦ ⎣ x 2 = − L2 + 3L3 − 2 函数 x1 = 2 L1 − L2 + 5,
单位权中误差 比例因子 权为1的观测值对应的中误差
3
测量中常用的方法
（1）水准测量的权 （2）同精度观测值的算术平均值的权 （3）距离丈量的权 （4）三角高程测量的权
-15-
第三章 协方差传播律 九、协因数和协因数传播律 1 2 3 4 5
协因数 协因数阵 协因数阵的特点 互协因数阵 权阵
-16-
第三章 协方差传播律--协因数和协因数传播律
当观测值互不相关时，权阵为对角阵，主对角 线上的元素为观测值的权。
L = [ L1 ......Ln ]T
2 ⎡σ L1 ⎢ 2 ⎢σ 0 1 = 2 DL = ⎢ ... σ0 ⎢ ⎢ 0 ⎢ ⎣
QLL
第四章参数的最小二乘法估计讲解
第四章 最小二乘法与组合测量§1概述最小二乘法是用于数据处理和误差估计中的一个很得力的数学工具。
对于从事精密科学实验的人们来说，应用最小乘法来解决一些实际问题，仍是目前必不可少的手段。
例如，取重复测量数据的算术平均值作为测量的结果，就是依据了使残差的平方和为最小的原则，又如，在本章将要用最小二乘法来解决一类组合测量的问题。
另外，常遇到用实验方法来拟合经验公式，这是后面一章回归分析方法的内容，它也是以最小二乘法原理为基础。
最小二乘法的发展已经经历了200多年的历史，它最先起源于天文和大地测量的需要，其后在许多科学领域里获得了广泛应用，特别是近代矩阵理论与电子计算机相结合，使最小二乘法不断地发展而久盛不衰。
本章只介绍经典的最小二乘法及其在组合测量中的一些简单的应用，一些深入的内容可参阅专门的书籍和文献。
§2最小二乘法原理最小二乘法的产生是为了解决从一组测量值中寻求最可信赖值的问题。
对某量x 测量一组数据n x x x ,,,21 ，假设数据中不存在系统误差和粗大误差，相互独立，服从正态分布，它们的标准偏差依次为：n σσσ ,,21记最可信赖值为x ，相应的残差x x v i i -=。
测值落入),(dx x x i i +的概率。
dx v P i i ii )2exp(2122σπσ-=根据概率乘法定理，测量n x x x ,,,21 同时出现的概率为n i ii ni i dx v P P )]()(21exp[)2(12∑-∏=∏=σπσ 显然，最可信赖值应使出现的概率P 为最大，即使上式中页指数中的因子达最小，即∑=iii Min v 22σ权因子：22o i i w σσ=即权因子i w ∝21iσ，则2[]i i wvv wv Min ==∑再用微分法，得最可信赖值x11ni ii nii w xx w===∑∑ 即加权算术平均值这里为了与概率符号区别，以i ω表示权因子。
最小二乘法的原理及应用
最小二乘法的原理及应用最小二乘法是一种统计学上的回归分析方法，它用于确定两个变量之间的线性关系。
最小二乘法可以用于处理一组数据，以得到数据中变量之间的关系。
在实际应用中，最小二乘法的应用非常广泛，如经济学、物理学、工程学等领域。
一、最小二乘法的原理最小二乘法的原理是通过最小化误差平方和来确定数据之间的线性关系。
在最小二乘法中，误差指的是预测值与实际值之间的差异。
最小二乘法的步骤如下：1. 收集数据，并绘制出散点图。
2. 绘制最佳拟合直线，使所有数据点到直线的距离之和最小。
3. 计算最佳拟合直线的方程式。
最小二乘法是通过最小化误差平方和的数学公式来计算最佳拟合直线的。
误差平方和等于每个数据点与最佳拟合直线之间的距离的平方和。
最小二乘法的目的就是要使这个误差平方和最小。
二、最小二乘法的应用最小二乘法的应用非常广泛，其中一些典型的应用包括：1. 经济学在经济学中，最小二乘法被用于研究价格、产量和需求之间的关系。
最小二乘法可以帮助经济学家确定供求曲线，并预测价格和数量的走向。
2. 物理学在物理学中，最小二乘法被用于研究物理系统中的不确定性。
物理学家可以使用最小二乘法来确定实验数据中的误差以及物理定律的适用性。
3. 工程学在工程学中，最小二乘法被用于研究不同变量之间的关系。
最小二乘法可以帮助工程师预测材料的性能、机器的寿命、以及其他相关的工程问题。
最小二乘法在各种学科中的应用范围是非常广泛的，它可以帮助研究人员发现不同变量之间的关系，从而预测未来的趋势。
因此，最小二乘法在科学研究和实践中具有重要地位。
误差理论线性参数的最小二乘法处理实验报告
误差理论线性参数的最小二乘法处理实验报告一、实验目的1.掌握误差理论线性参数的最小二乘法处理原理；2.熟悉误差理论线性参数的最小二乘法处理过程；3.进一步理解误差源与观测量之间的关系。
二、实验原理1.误差理论线性参数的最小二乘法处理原理：最小二乘法是一种常见的数据处理方法，通过最小化观测值与估计值之间的残差，来求取未知参数的最优估计值。
对于误差理论线性参数的最小二乘法处理，可以根据观测值和其对应的误差，通过建立含有未知参数的线性方程组，然后通过最小化残差平方和的方法求解最优估计值。
2.误差理论线性参数的最小二乘法处理步骤：(1)确定线性关系的函数模型；(2)建立观测值与理论值之间的代数关系；(3)建立每个观测值与误差之间的代数关系；(4)构建误差方程；(5)求解未知参数的最优估计值；(6)分析残差，并进行精度评定。
三、实验内容及步骤1.实验准备：(1)阅读实验教材，了解实验原理；(2)确定实验使用的观测仪器和测量对象；(3)清洗、校准测量仪器。
2.实验步骤：(1)根据实验要求，确定需要测量的多个观测值，并为每个观测值确定一个相应的误差；(2)建立观测值与理论值之间的线性关系；(3)构造观测值和误差的方程，并对方程进行变换和简化；(4)解线性方程组，求解未知参数；(5)计算观测值的残差，并分析精度。
四、实验数据处理1.实验数据：假设有三个观测值，测量结果如下：观测值1：4，误差：0.1观测值2：7，误差：0.2观测值3：10，误差：0.32.实验数据处理：(1) 建立观测值与理论值之间的线性关系模型：y = ax + b；(2)构造观测值和误差的方程：观测值1：4=a*1+b+ε1观测值2：7=a*2+b+ε2观测值3：10=a*3+b+ε3(3)对方程进行变换和简化，得到：4=a+b+ε17=2a+b+ε210=3a+b+ε3(4)构建误差方程：ε1=4-a-bε2=7-2a-bε3=10-3a-b(5)将误差方程代入原方程组，并最小化残差平方和，得到最优解：2a+b=35a+b=6(6)解得未知参数的最优估计值为：a=1,b=1(7)计算观测值的残差：观测值1的残差：ε1=4-1-1=2观测值2的残差：ε2=7-2-1=4观测值3的残差：ε3=10-3-1=6五、结果分析1.通过最小二乘法处理，我们得到未知参数的最优估计值为：a=1,b=12.通过计算观测值的残差，我们可以评定估计结果的精度，其中残差ε1=2,ε2=4,ε3=6实验结果表明，通过误差理论线性参数的最小二乘法处理，我们可以准确地估计未知参数的值，并评价估计结果的精度。
误差理论与数据处理最小二乘法PPT课件
AT A C
5-17
第17页/共25页
标准差的估计
1、直接测量结果的标准差估计
残差
vi2
s i nt
2、待求量的标准差估计
wivi2
s i nt
（加权）
未知量个数 方程个数
xj d jj 误差传播系数 AT wA 1 对角元素
3、待求量的相关系数
ij
dij diid jj
第18页/共25页
1,2, ,n
测得值 落入xi
的 x概i , x率i dx
pi
i
1
2
exp( vi2 )dx
2
2 i
5-3
第3页/共25页
最小二乘法原理
测得值 x1, x2同, 时出, x现n 的概率为
P pi i
1
exp
1i ( 2 )n 2 Nhomakorabeai
vi
i
2
(dx)n
i
最可信赖值满足
i
vi2
AT L 0 0
1 0
0 1
1 0
1 1
1 1
1.020 2.016
1.981
8.014 6.033
3.032
0.500 0.250 0 6.063 1.028
xˆ 0.250
0.500
0.250
8.014
0.983
0 0.250 0.500 6.033 1.013
直接测量量的标准差
AT wA 1元素
5-18
5-19
第三节 组合测量的最 小二乘法处理
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组合测量基本概念
组合测量，指直接测量一组被测量的不同组合值，从它们相互所依赖的若干函数 关系中，确定出各被测量的最佳估计值。
最小二乘法的基本原理和多项式拟合
最小二乘法的基本原理和多项式拟合Document number：NOCG-YUNOO-BUYTT-UU986-1986UT最小二乘法的基本原理和多项式拟合一最小二乘法的基本原理从整体上考虑近似函数同所给数据点 (i=0,1,…,m)误差(i=0,1,…,m)的大小，常用的方法有以下三种：一是误差(i=0,1,…,m)绝对值的最大值，即误差向量的∞—范数；二是误差绝对值的和，即误差向量r的1—范数；三是误差平方和的算术平方根，即误差向量r的2—范数；前两种方法简单、自然，但不便于微分运算，后一种方法相当于考虑 2—范数的平方，因此在曲线拟合中常采用误差平方和来度量误差 (i=0，1，…，m)的整体大小。
数据拟合的具体作法是：对给定数据 (i=0,1,…，m)，在取定的函数类中,求,使误差(i=0,1,…,m)的平方和最小，即=从几何意义上讲，就是寻求与给定点 (i=0,1,…,m)的距离平方和为最小的曲线（图6-1）。
函数称为拟合函数或最小二乘解，求拟合函数的方法称为曲线拟合的最小二乘法。
在曲线拟合中，函数类可有不同的选取方法.6—1二多项式拟合假设给定数据点 (i=0,1,…,m)，为所有次数不超过的多项式构成的函数类，现求一,使得(1)当拟合函数为多项式时，称为多项式拟合，满足式（1）的称为最小二乘拟合多项式。
特别地，当n=1时，称为线性拟合或直线拟合。
显然为的多元函数，因此上述问题即为求的极值问题。
由多元函数求极值的必要条件，得(2)即(3)（3）是关于的线性方程组，用矩阵表示为(4)式（3）或式（4）称为正规方程组或法方程组。
可以证明，方程组（4）的系数矩阵是一个对称正定矩阵，故存在唯一解。
从式（4）中解出 (k=0,1,…，n)，从而可得多项式(5)可以证明，式（5）中的满足式（1），即为所求的拟合多项式。
我们把称为最小二乘拟合多项式的平方误差，记作由式(2)可得(6)多项式拟合的一般方法可归纳为以下几步：(1) 由已知数据画出函数粗略的图形——散点图，确定拟合多项式的次数n；(2) 列表计算和；(3) 写出正规方程组，求出；(4) 写出拟合多项式。
最小二乘法的原理及证明
最小二乘法的原理及证明最小二乘法是一种常用的数据拟合方法，它的本质是通过寻找最小化残差平方和的参数组合进行数据拟合。
在现实生活中，很多实际问题都可以通过最小二乘法来求解，如线性回归、曲线拟合、方程求解等。
本文将介绍最小二乘法的原理及证明。
一、最小二乘法的原理最小二乘法是一种基于误差最小化的思想进行模型参数求解的方法。
对于含有n个数据点的模型，其最小二乘法的表示形式为：$min[\sum_{i=1}^n(y_i-f(x_i))^2]$其中，$y_i$为第i个数据点的观测值，$f(x_i)$为模型在$x_i$处的预测值。
最小二乘法的目的是寻找一个最优的模型参数集合，使得预测值与观测值之间的误差平方和最小。
以线性回归为例，线性回归模型的基本形式为：$y=\beta_0+\beta_1x+\epsilon$其中，$\beta_0$和$\beta_1$为线性回归的系数，$\epsilon$为误差项。
通过最小二乘法，我们需要求解$\beta_0$和$\beta_1$，使得预测值与真实值之间的残差平方和最小。
在实际应用中，最小二乘法可以通过求解模型参数的偏导数，进而得到参数的估计值。
同时，最小二乘法还可以通过矩阵运算的形式进行求解，这种方法称为矩阵最小二乘法。
二、最小二乘法的证明最小二乘法的原理可以通过数学证明来得到。
在数学推导中，我们需要利用概率论和统计学的相关知识。
1、最小二乘法的基本假设首先，我们需要对最小二乘法做出一些假设。
最小二乘法的假设包括：(1)数据点满足线性关系；(2)误差项满足高斯分布；(3)误差项具有同方差性；(4)误差项之间相互独立。
在这些假设的基础上，我们可以得出以$X$为自变量，$Y$为因变量的线性模型：$Y=\beta_0+\beta_1X+\epsilon$其中，$\beta_0$和$\beta_1$为线性模型的系数，$\epsilon$为误差项。
我们需要利用概率论和统计学的方法，通过参数的似然函数来求解模型的系数。
最小二乘法的原理
最小二乘法的原理
最小二乘法是一种常用的数学方法，用于拟合数据和估计参数。
它的原理很简单，但在实际应用中却有着广泛的用途。
首先，让我们来看看最小二乘法的基本原理。
最小二乘法的目标是找到一条直
线（或者曲线），使得这条直线与给定的数据点之间的误差平方和最小。
换句话说，就是要找到一条直线，使得所有数据点到这条直线的距离之和最小。
那么，如何找到这条直线呢？最小二乘法的关键就在于定义误差的度量方式。
通常情况下，我们使用数据点到直线的垂直距离的平方来作为误差的度量。
这样，我们就可以将问题转化为一个最优化问题，即找到使得误差平方和最小的直线参数。
在实际应用中，最小二乘法通常用于拟合数据和估计参数。
例如，在回归分析中，我们可以使用最小二乘法来拟合数据，并得到回归方程的参数估计。
在信号处理中，最小二乘法可以用来估计信号的频率和幅度。
在机器学习中，最小二乘法也被广泛应用于线性回归等模型的参数估计。
除了上述应用外，最小二乘法还有许多其他的应用场景。
例如，在地理信息系
统中，最小二乘法可以用来拟合地图数据，估计地图上各点的海拔高度。
在金融领域，最小二乘法可以用来估计资产收益率的参数。
在物理学中，最小二乘法可以用来拟合实验数据，估计物理模型的参数。
总之，最小二乘法是一种非常重要的数学方法，它不仅在理论研究中有着重要
的地位，而且在实际应用中也有着广泛的用途。
通过最小二乘法，我们可以拟合数据，估计参数，从而更好地理解数据背后的规律。
希望通过本文的介绍，读者对最小二乘法有了更深入的理解。
最小二乘法
最小二乘法最小二乘法（Least Squares Method）是一种统计学上常用的参数估计方法，通过最小化观测数据与理论模型之间的误差的平方和，来估计模型的参数。
在统计学和数学中，最小二乘法被广泛应用于曲线拟合、回归分析、数据处理以及信号处理等领域。
最小二乘法的基本思想是，通过找到可以使得各观测数据与理论模型预测的数据之间的差异最小的参数估计值，从而得到最佳的拟合结果。
它是一种数学上比较成熟且有效的方法，可以用来解决具有一定误差的线性和非线性函数拟合问题。
在应用最小二乘法时，首先需要建立数学模型来描述观测数据与自变量之间的关系。
这个数学模型可以是线性的，也可以是非线性的，根据实际问题的特点来确定。
然后，根据观测数据和数学模型，利用最小二乘法的原理来求解模型的参数估计值。
最小二乘法的基本步骤如下：1. 建立数学模型：通过分析问题的背景和要求，确定观测数据与自变量之间的关系，并建立数学模型。
2. 确定误差函数：定义误差函数，它是观测数据与数学模型之间的差异度量。
3. 最小化误差函数：通过最小化误差函数，即求解误差函数的导数为0的参数估计值，来得到最佳的模型拟合结果。
4. 评估拟合结果：通过各种统计指标和图示分析来评估最小二乘拟合的效果，并对结果进行解释和验证。
最小二乘法的优点在于它是一种数学上比较简单和直观的方法，并且在实际应用中得到了广泛的应用。
它能够充分考虑观测数据的误差，通过最小化误差的平方和来估计模型的参数，从而得到较为可靠的拟合结果。
最小二乘法的应用非常广泛，涵盖了许多学科领域，如物理学、经济学、工程学、生物学和地球科学等。
在曲线拟合中，最小二乘法可以用来拟合直线、曲线和曲面等；在回归分析中，最小二乘法可以用来建立回归模型，并进行参数估计和显著性检验；在数据处理中，最小二乘法可以用来进行信号滤波和数据平滑等。
总之，最小二乘法是一种重要的数学和统计方法，在许多实际问题中起着重要的作用。
它不仅可以用来拟合曲线和回归分析，还可以应用于信号处理、数据处理和参数估计等领域。
最小二乘法均方误差
最小二乘法均方误差最小二乘法是一种常见的数据拟合方法，通过寻求一条直线或曲线使其在坐标系中“最拟合”已知数据点，从而达到预测未知数据的目的。
其中，均方误差是最小二乘法中一个重要的概念，它可以用来评估我们得到的拟合曲线与真实数据之间的误差大小。
接下来，我们将详细介绍最小二乘法和均方误差的相关知识。
一、最小二乘法的基本原理最小二乘法是一种拟合数据的数学方法，其基本思想是通过寻找一条“最合适”的直线或曲线，使得这条直线或曲线上的点到真实数据点的距离最小。
最小二乘法的核心是寻找一个函数，该函数能够最小化与真实数据的误差平方和。
如果我们将拟合求解过程表达为一个方程，那么这个方程就成为了最小二乘法的优化目标函数。
二、使用最小二乘法拟合数据最小二乘法的拟合过程需要先根据已知数据点的横纵坐标计算出直线或曲线的函数表达式。
在一些简单的情况下，函数表达式可以用一条直线来表示：y = mx + b。
这时，我们需要寻找出直线的斜率m和截距b，使数据点到直线的距离平方和最小。
如果使用的是一条直线拟合，那么可以使用下面的步骤：1. 计算数据点的平均值：x和ȳ；2. 计算斜率m：m = ∑(xi - x)(yi - ȳ) / ∑(xi - x)²;3. 计算截距b：b = ȳ - m x。
三、均方误差的计算方法均方误差是衡量真实数据点与最小二乘法拟合曲线之间偏差的一种方法。
均方误差是所有误差的平方和与数据点数量之比的平均值，用来表示数据的离散程度。
均方误差越小，表明拟合效果越好，预测能力也更高。
均方误差的计算方法如下：1. 首先计算每个数据点到拟合曲线的距离平方（残差平方）；2. 对每个残差平方求和，得到总和SS；3. 将以上结果除以数据点数量n，得到均方误差MSE。
四、最小二乘法的应用最小二乘法广泛应用于各个领域中，例如统计学、物理学、金融学等。
在统计分析中，它被用来分析接受者工作特征曲线，处理样本量过于庞大的数据等问题。
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X (C*)1 AT PL
三、待求量稻度估计 1.等精度测量 不定乘数
2.不等精度测量 不定乘数
三、不等精度测量线性参数最小二乘法处理 不等精度误差方程转化为等精度误差方程为
例4-2 已知测量方程
对 Yi 的测量数据及其相应的标准差为
试列出最小二乘估计的正规方程。 解 列出残余误差方程
确定各测量数据的权。
根据误差方程及各测量数据的权，我们写出正规方程 式中
则正规方程为
四、非线性参数最小二乘法 非线性转化为线性：
第二步，正规方程
则 解得 第三步，测量数据精度估计
则测量数据标准差为
第四步，估计量精度估计 求解不定乘数
解得 则估计量的标准差为
4.3矩阵最小二乘法 一、线性模型
二、最小二乘法解
1.等精度情况下的矩阵形式的正规方程
ATV 0
X C1AT L
2.不等精度测量时，正规方程可表示为
AT PV 0
x1
[bb][al] [ab][bl] [aa][bb] [ab][ab]
x2
[ab][al ] [aa][bl] [aa][bb] [ab][ab]
二.T个未知量的情况
注意到方程组形式上有如下特点：
(1)沿主对角线分布着平方项系数 aa,bb,L hh 都为正数。
(2)以主对角线为对称线，对称分布的各系数彼此两两相等。
的近似值，即
将函数在 R10, R20 处展开，取一次项，有
代入残差方程，得线性残差方程 五、对同一量重复测量数据的最小二乘法
4.2精度估计 一、测量数据的精度估计 1. 等精度测量数据的精度估计
例4-4 试求例4-1中铜棒长度的测量精度。 解 已知残余误差方程可得 Nhomakorabea余误差为
则标准差为 2．不等精度测量数据的精度估计
为获得非线性函数的展开式．必须首先确定待求估计量的近似 值，其方法有二个：
x (1)直接测量：若条件允许，可直接测量待求量， r 所得结果
即可作为其近似值。
(2)利用部分方程式进行计算。
例4-3 将下面的非线性残余方程组化成线性的形式。
取方程组中前二式，令 v1 0, v2 0 ，则可得 R1与 R2
4、最小二乘原理
1）最小二乘法原理 --- 残差平方和最小
n 次重复测量（ x1, x2, …, xn ）
最佳估计
^
xOPT
^
残差 vi xi x OPT 平方和最小
^
2
S ^ ^ x xOP T
vi2
(xi x OPT ) Smin
^
1
x OPT
n
xi
4.1 经典最小二乘法
一.两个未知量情况
二、最小二乘估计量的精度估计 1.等精度测量时最小二乘估计量的精度估计
标准差为
式中 ——测量数据的标准差
2. 不等精度测量的情况 不等精度测量的情况与等精度的类似
例4-5 试求例4-1中铜棒长度和线膨胀系数估计量的精度。 解 已知正规方程为
测量数据 li 的标准差为 求解不定乘数的方程为
解得 估计量的标准差为 因 故
例4-6 已知 x1 35.3 ，测得xi x j 的值为 lij，并已知 l12 69.5 l13 4.4, l14 28.3, l23 64.4, l24 42.1, l34 21.9 试用最小二乘法求 x2 , x3, x4及其误差。
解 第一步，残余误差方程组
已知 x1 35.3, 代入上式得
例4.1 在不同温度下．测定铜捧的长度如下表，试估计 0C
时的铜棒长度y0和铜的线膨胀系数 。
解 列出误差方程
式中
li ——在温度 ti 下铜捧长度的测得值；
——铜棒的线膨胀系数。
令 y0 x1, y0 x2为两个待求估计参数，则误差方程可写为
根据误差方程，我们可列出正规方程 又
将以上计算的相应系数值代入上面的正规方程得 解得 即 因此铜棒长度随温度的线性变化规律为