材料力学基本第二章 内力与内力图

弯矩：横截面上沿法线方向的分布内力系的主矩M。
符号规则： 剪力：以绕梁段内任意一点顺时针转向者为
正，反之为负。
弯矩：以使梁段产生向下凸的弯曲变形者为 正，反之为负。
图5-7
例 简支梁受载如图所示，求C处的左侧截面1－1和右侧截面2－2的剪力与弯矩的值。
解：支座约束力分别为
FAy
Me 2a
，
FBy
AD段 MeD T3 0
C
d) T3
D
T /Nm
T3 MeD 1018.6 N m e)
1018.6 (+)
(3) 扭矩图
636.6
(-)
x
1273.2
绝对值最大的扭矩发生在CA段的各截面上
T 1273.2 N m max
结论 任一横截面上的扭矩等于该截面一侧(左侧或右侧) 所有外力偶矩的代数和。
第二章 内力与内力图
§2-1 内力与内力分量 §2-2 轴力图 §2-3 扭矩图 §2-4 剪力图与弯矩图 §2-5 钢架的内力图 §2-6 结论与讨论
2.1 内力与内力分量
2.1.1 内力与内力分量的概念 1） 内力的概念
受力构件内相邻两部分间的相互作用力，称为内力。 • 内力完全由外力引起，并随着外力改变而改变； • 这个力若超过了材料所能承受的极限值，杆件就
外法线方向一致时为正(图3-4a)，反之为负(图3-4b)。
Me
T (+)
T (+)
Me
a)
Me
T (-)
T (-)
Me
b)
扭矩图
扭矩图 反映扭矩随横截面位置变化的情况
按选定的比例尺，以沿杆轴线方向的坐标表 示横截面的位置，以垂直于杆轴线的坐标代 表扭矩T，正的扭矩画在横轴上方，负的画 在下方。
例3-1 传动轴如图3-5a所示，主动轮A输入功率PA=72
◆ 轴力随横截面位置变化的图线称为轴力图。
[例 2-1] 试作出图示拉压杆的轴力图。 解：（1）分段计算轴力
FN1 4 kN 拉
Fx 0 ： FN2 2 kN 压
（2）绘制轴力图 ◆ 轴力图上正下负。 ◆ 轴力图的位置要与杆件位置对应。
2.3 扭矩图
一、扭转变形
杆件在两端受到两个大小相等、转向相反、作用面垂 直于杆件轴线的力偶的作用，杆件的任意两个横截面 发生绕轴线的相对转动，这样的变形称为扭转变形。
要在 m-m 面处断裂； • 内力反映了材料对外力有抗力，并传递外力。
FN — 轴力 Fsy — 剪力
Fsz — 剪力
T — 扭矩 M y — 弯矩
M z — 弯矩
2.1.2 内力分量的正负号规则 正面—外法线沿着坐标正方向的截面 ；反之为负面 正面上与坐标正方向相同的内力为正 ；反之为负。 负面上与坐标正方向相反的内力为正 ；反之为负。
2.4 剪力图和弯矩图
2.4.1 剪力和弯矩
支座约束力分别为
FAy
ql 2
，
FBy
ql 2
由
Fy得 0
ql FAy qx FQ 2 qx FQ 0
FQ
ql 2
qx
剪力：与横截面相切的分布内力系的主矢FQ。
MO 0
F Ayx
qx2 2
M
ql 2
x
qx2 2
M
0
M ql x qx2 22
列平衡方程 ∑Fx=0：FN - FP = 0 得 FN = FP（主矩为0） 轴力：杆件截面m-m上的分布内力系的合力。
符号规定：拉伸（背离截面）时为正，压缩（指向截面）时为负。
2.2、轴力图
下面运用截面法确定拉、压杆横截面上的内力：
◆ 拉、压杆横截面上内力的作用线与杆的轴线重合，故 称为轴力，记作 FN 。规定：背向截面使杆件受拉伸的 轴力为正，指向截面使杆件受压缩的轴力为负。
2.1.3 截面法Байду номын сангаас定截面上的内力
轴力
m
FP
FP
m
截开，取左边为研究对象
（1）沿横截面m-m假想地把杆件截分成两部分
（2）将移去部分对保留部分的作用以截面上分布内力系的合力来代替，用 FN 表示
m
FP
FN
x
m
代以分布内力系，简化为 主矢、主矩
（3）轴力FN视为左半部分的外力，由于整 个杆件处于平衡状态，故左半部分也应平衡。
kW，从动轮B、C、D输出功率分别为PB=PC=20 kW，
PD=32 kW，转速n=3M0e0B r/minM。e C 试绘制轴的扭矩M图e D。
1
2
3
a)
B
1
C2
A3
D
解 (1) 外力偶矩的计算
72 MeA 9549 300 2291.8 N m
M eB
M eC
9549
20 300
636.6N m
二、以扭转变形为主的杆件称为轴
F
0
F
Me
Me
Me
a)
b)
扭转力偶矩的计算
发生扭转变形的外力偶矩，称为扭转力偶矩
1. 已知外力
Me (FT1 FT2 )R
R
FT1
FT2
2. 已知传递的功率P(kW)和转速n(r/min)
得
P
M e
Me
2 n
60
Me
9549
P n
(N m)
轴横截面上的内力偶矩-扭矩
32 MeD 9549 300 1018.6 N m
Me B
Me C
Me D
(2) 扭矩的计算
1
2
3
a)
B
1
C2
A3
D
BC段 T1 M eB 0
Me B
T1 MeB 636.6 N m
b)
T1
CA段 T2 MeC MeB 0
BMe B
Me C T2
Me D
T2 MeC MeB 1273.2 N m c) B
例 简支梁承受满跨的均布载荷如图所示，试列出梁的剪力方程和弯矩方程，并 作剪力图和弯矩图
解： 1. 求支座约束力
由 M A， 0 得M B： 0
FAy
FBy
ql 2
2. 列剪力方程和弯矩方程
FQ (x)
FAy
qx
ql 2
qx
(0 x l)
M
(x)
FAy x
qx
Me 2a
FQ11
Me 2a
，
M11
Me 2a
a
Me 2
FQ22
Me 2a
，
M 22
Me 2a
2a
Me
Me 2
二、剪力方程和弯矩方程
将剪力和弯矩表示成截面位置x的函数，即
剪力方程： FQ FQ (x) 弯矩方程： M M (x)
2.4.2、剪力图和弯矩图
剪力图：表示剪力值变化情况的图线。 弯矩图：表示弯矩值变化情况的用图线。
求横截面n-n上的内力偶矩 Me I n
截面法
a)
II
Me
Mx 0 T Me 0
n
T Me
Me I n
作用于横截面上的内力偶矩称为扭矩 b)
T
x
n
由作用与反作用原理可知，在
部分Ⅱ横截面n-n上也必然有
n
II
Me
大小相等、转向相反的扭矩T c) T
x
n
符号规定
以右手的四指顺着扭矩的转向，若拇指的指向与截面