参数方程的概念课件
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高中数学人教A版选修4-4第二讲 一 1. 参数方程的概念 课件
[思路点拨] 此类问题关键是参数的选取．本例中由于 A、 B 的滑动而引起点 P 的运动，故可以 OB 的长为参数，或以角 为参数，不妨取 BP 与 x 轴正向夹角为参数来求解．
[解] 法一：设 P 点的坐标为(x，y)，过
P 点作 x 轴的垂线交 x 轴于 Q.如图所示，则 Rt△OAB≌Rt△QBP.
∴xy＝＝bascions
θ， θ.
这就是所求的轨迹方程．
9．如图所示，OA是圆C的直径，且OA＝2a， 射线OB与圆交于Q点，和经过A点的切线 交于B点，作PQ⊥OA，PB∥OA，试求点P 的轨迹方程．
解：设 P(x，y)是轨迹上任意一点，取∠DOQ＝θ， 由 PQ⊥OA，PB∥OA，得 x＝OD＝OQcosθ＝OAcos2θ＝ 2acos2θ，y＝AB＝OAtan θ＝2atan θ. 所以 P 点轨迹的参数方程为xy＝＝22aatcaons2θθ，， θ∈－π2，π2.
解析：x轴上的点横坐标可取任意实数，纵坐标为0.
答案：D
2．若点P(4，a)在曲线x＝2t ， (t为参数)上，则a等于(
)
y＝2 t
A．4
B．4 2
C．8
D．1
解析：根据题意，将点P坐标代入曲线方程中得
4＝2t ， a＝2 t
⇒ta＝＝84，2.
答案：B
3．在方程
参数方程是曲线方程的另一种表达形式，点与曲线 位置关系的判断，与平面直角坐标方程下的判断方法是 一致的．
1．已知点 M(2，－2)在曲线 C：x＝t＋1t ， (t 为参数)上， y＝－2
则其对应的参数 t 的值为________． 解：由 t＋1t ＝2 知 t＝1. 答案：1
2．已知某条曲线 C 的参数方程为xy＝＝a1t＋2 2t， (其中 t 为参数， a∈R)．点 M(5,4)在该曲线上，求常数 a.
[解] 法一：设 P 点的坐标为(x，y)，过
P 点作 x 轴的垂线交 x 轴于 Q.如图所示，则 Rt△OAB≌Rt△QBP.
∴xy＝＝bascions
θ， θ.
这就是所求的轨迹方程．
9．如图所示，OA是圆C的直径，且OA＝2a， 射线OB与圆交于Q点，和经过A点的切线 交于B点，作PQ⊥OA，PB∥OA，试求点P 的轨迹方程．
解：设 P(x，y)是轨迹上任意一点，取∠DOQ＝θ， 由 PQ⊥OA，PB∥OA，得 x＝OD＝OQcosθ＝OAcos2θ＝ 2acos2θ，y＝AB＝OAtan θ＝2atan θ. 所以 P 点轨迹的参数方程为xy＝＝22aatcaons2θθ，， θ∈－π2，π2.
解析：x轴上的点横坐标可取任意实数，纵坐标为0.
答案：D
2．若点P(4，a)在曲线x＝2t ， (t为参数)上，则a等于(
)
y＝2 t
A．4
B．4 2
C．8
D．1
解析：根据题意，将点P坐标代入曲线方程中得
4＝2t ， a＝2 t
⇒ta＝＝84，2.
答案：B
3．在方程
参数方程是曲线方程的另一种表达形式，点与曲线 位置关系的判断，与平面直角坐标方程下的判断方法是 一致的．
1．已知点 M(2，－2)在曲线 C：x＝t＋1t ， (t 为参数)上， y＝－2
则其对应的参数 t 的值为________． 解：由 t＋1t ＝2 知 t＝1. 答案：1
2．已知某条曲线 C 的参数方程为xy＝＝a1t＋2 2t， (其中 t 为参数， a∈R)．点 M(5,4)在该曲线上，求常数 a.
人教A版数学【选修4-4】ppt课件：2-2第二讲-参数方程
【解】
如图所示：
由动点C在该椭圆上运动，故可设C的坐标为(6cosθ，3sinθ)， 点G的坐标为(x，y)，由题意可知A(6,0)，B(0,3)，由三角形重心坐 标公式可知：
x＝6＋0＋6cosθ＝2＋2cosθ， 3 0＋3＋3sinθ y＝ ＝1＋sinθ. 3 x－22 由此，消去参数θ，得到所求的普通方程为 4 ＋(y－1)2＝ 1.
x－1＝cosθ， 3 【解】 (1)由题意可设 y＋2 ＝sinθ， 5
x＝1＋ 3cosθ， y＝－2＋ 5sinθ
即
(θ为参数)为所求．
2 2 x y (2)x2－y2＝4变形为： 4 － 4 ＝1.
x＝2secα， ∴参数方程为 y＝2tanα
2 x ＝ 2 pt ， 2 2．抛物线y ＝2px(p>0)的参数方程为 y＝2pt
y 1 由于 x ＝ t ，因此参数t的几何意义是抛物线上除顶点外的点与 抛物线的顶点连线的斜率的倒数． 3．几个结论 x2 y2 (1)焦点在y轴上的椭圆的标准方程为 b2 ＋ a2 ＝1(a>b>0)，其参 数方程是 [0,2π)．
x2 y2 a2＋b2＝1
x＝acosφ， y＝bsinφ
x2 y2 a2－b2＝1
x＝asecφ， y＝btanφ
点的坐标
(rcosθ， rsinθ)
(acosφ，bsinφ)
(asecφ，btanφ)
这三种曲线的参数方程都是参数的三角形式．其中圆的参数θ 表示旋转角，而椭圆、双曲线的参数φ表示离心角，几何意义是不 同的，它们的参数方程主要应用价值在于： (1)通过参数(角)简明地表示曲线上任一点的坐标； (2)将解析几何中的计算问题转化为三角问题，从而运用三角 函数性质及变换公式帮助求解最值、参数的取值范围等问题．
2.1.1《参数方程的概念、圆的参数方程》 课件(人教A版选修4-4)
)
【解析】选D. 当x=t-1=0时，t=1,y=t+2=3;当y=t+2=0时， t=-2,x=t-1=-3.曲线与坐标轴的交点坐标为（0，3），
（-3，0）.
x=sin 2.下列各点在方程 (θ 为参数)所表示的曲线上的是 y=cos2
(
（B） ( 1 , 2 )
3 3
)
（A）(2,-7) （C） ( 1 , 1 )
(1)将极坐标方程化为普通方程，并选择恰当的参数写出它的
参数方程； (2)若点P(x,y)在该圆上，求x+y的最大值和最小值.
【解析】(1)由 2 -4 2cos(- )+6=0得
4
ρ2-4ρcosθ-4ρsinθ+6=0, 即x2+y2-4x-4y+6=0为所求,
由圆的标准方程(x-2)2+(y-2)2=2,
【解析】设飞机在点H将物资投出机 舱，记此时刻为0 s，设在时刻t s 时的坐标为M（x,y）,如图,建立平 面直角坐标系，由于物资做平抛运 动，依题意，得
x=100t x=100t 1 2 ,即 y=h- gt y=h-5t 2 2
令x=100t=1 000,得t=10(s), 由y=h-5t2=h-500=0,得h=500 m. 答案:500 m
∴x=sin 2θ= - 3 .
4
1 4
x=3+cos 6.曲线 (θ 为参数)上的点到坐标轴的最近距离为 y=4+sin
( (A)0 (B)1 (C)2
y=4+sin
)
(D)3
【解析】选C.曲线 x=3+cos (θ为参数) 即(x-3)2+(y-4)2=1,表示圆心为C（3,4），半径为1的圆，圆 上的点到坐标轴的最近距离为2.
参数方程ppt课件演示文稿
＋( 10cos α)t＋32＝0，设 M、N 对应的参数分别为 t1、t2，而由参数 t 的几何意义得|PM|
(t 为
参数)．
思路点拨：参数方程通过消去参数可以化为普通方程．对于(1)直接消去参数 k 有困难， 可通过两式相除，先降低 k 的次数，再运用代入法消去 k；对于(2)可运用恒等式(sin θ＋cos θ)2 ＝1＋sin 2θ 消去 θ；对于(3)可运用恒等式(11－＋tt22)2＋(1＋2t t2)2＝1 消去 t.
(1)将参数方程化为普通方程，需要根据参数方程的结构特征，选取适当的 消参方法．常见的消参方法有：代入消参法、加减消参法，平方消参法等，对于含三角函数 的参数方程，常利用同角三角函数关系式消参如 sin2θ＋cos2θ＝1 等．
(2)将参数方程化为普通方程时，要注意两种方程的等价性，不要增解．
【例 2】 (2010 年苏、锡、常、镇模拟)已知曲线 C 的方程 y2＝3x2－2x3，设 y＝tx，t 为 参数，求曲线 C 的参数方程．
4．直线
l
的参数方程为x＝t＋3 y＝3－t
，(参数
t∈R)，圆
C
的参数方程为x＝2cos y＝2sin
θ θ＋2
(参
数 θ∈[0,2π))，则圆心到直线 l 的距离为________．
解析：参数方程化为普通方程分别为 l：x＋y＝6，C：x2＋(y－2)2＝4，所以圆心(0,2) 到直线的距离 d＝ 4 ＝2 2.
y 解：(1)两式相除，得 k＝2yx，将其代入，得 x＝1＋3·22yxx2， 化简得所求的普通方程是 4x2＋y2－6y＝0(y≠6)． (2)由(sin θ＋cos θ)2＝1＋sin 2θ＝2－(1－sin 2θ)， 得 y2＝2－x.又 x＝1－sin 2θ∈[0,2]， 得所求的普通方程为 y2＝2－x，x∈[0,2]． (3)由(11－ ＋tt22)2＋(1＋2tt2)2＝1，得 x2＋4y2＝1， 又 x＝11－＋tt22≠－1，得所求的普通方程是 x2＋4y2＝1(x≠－1)．
课件1：1.参数方程的概念~2.圆的参数方程
为参数)
名师点睛
1.曲线的普通方程直接地反映了一条曲线上的点的横、 纵坐标之间的联系,而参数方程是通过参数反映坐标变量x、 y间的间接联系.在具体问题中的参数可能有相应的几何意 义,也可能没有什么明显的几何意义.曲线的参数方程常常 是方程组的形式,任意给定一个参数的允许取值就可得到曲 线上的一个对应点,反过来对于曲线上任一点也必然对应着 其中的参数的相应的允许取值．
(1)求常数a； (2)求曲线C的普通方程． 【思维启迪】本题主要应根据曲线与方程之间的关系,可知 点M(5,4)在该曲线上,则点M的坐标应适合曲线C的方程，从 而可求得其中的待定系数,进而消去参数得到其普通方程．
解 (1)由题意可知有1at＋2＝2t4＝5，故ta＝＝21.∴a＝1. (2)由已知及(1)可得，曲线 C 的方程为xy＝＝t12＋2t. 由第一个方程得 t＝x－2 1代入第二个方程，得 y＝x－2 12，即(x－1)2＝4y 为所求．
∴x2＋y2 的最大值为 11＋6 2，最小值为 11－6 2.
题型三 参数方程的实际应用
例3 某飞机进行投弹演习,已知飞机离地面高度为H＝ 2 000 m,水平飞行速度为v1＝100 m/s,如图所示．
(1)求飞机投弹t s后炸弹的水平位移和离地面的高度； (2)如果飞机追击一辆速度为v2＝20 m/s同向行驶的汽车， 欲使炸弹击中汽车，飞机应在距离汽车的水平距离多远处 投弹？(g＝10 m/s2)
点击1 考查圆的参数方程的应用 1.已知圆 C 的参数方程为xy＝＝1c＋ os sαin，α(α 为参数)，以原点为
极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为 ρsin θ＝1，则直线 l 与圆 C 的交点的直角坐标为________．
高等数学课件：极坐标参数方程
∵ 0 表示极点，而曲线 2acos 通过极点， ∴ 2acos 即为所求.
例 2．将极坐标方程2 a2cos2 化为直角坐标方程： 解： 2 a2(cos 2sin2), 4 a22(cos2sin2), 4 a2[(cos)2 (sin)2], (x2 y2)2 a2(x2 y2).
（三）极坐标系中曲线的对称性
（2）当 R, R 时，
M(, )
的量法 ：逆转为正，顺转为负. O
0
x
的量法 ： 0 时，则在角的 终边上取 M 点，使OM ；
0 时，则在角的 终边的反向延长线上取 M 点，
使 OM .
O
0
x
M(, )
M(, )
(, )
O
x
M1(, )
这样，一对实数(, ) 对应唯 一 点 M，
(, 2k) (, (2k
2．
椭圆
x2 a2
y2 b2
1
(ab0)
的参数方程：
xacost
ybsint
,
t[0, 2].
椭圆
(
x
x a2
)2
(
y
y b2
)2
1
(ab0)
的参数方程：
x y
x y
acost bsint
(a
b
0),
t[0, 2].
3．摆线的参数方程：
xa(t sint) y a(1cost )
(
y
)
2 3
1
，
aa
2 22
故普通方程为 x 3 y 3 a 3 .
（二）几种常见曲线的参数方程
1． 圆 x2 y2 a2 的参数方程：
x acost yasint
例 2．将极坐标方程2 a2cos2 化为直角坐标方程： 解： 2 a2(cos 2sin2), 4 a22(cos2sin2), 4 a2[(cos)2 (sin)2], (x2 y2)2 a2(x2 y2).
（三）极坐标系中曲线的对称性
（2）当 R, R 时，
M(, )
的量法 ：逆转为正，顺转为负. O
0
x
的量法 ： 0 时，则在角的 终边上取 M 点，使OM ；
0 时，则在角的 终边的反向延长线上取 M 点，
使 OM .
O
0
x
M(, )
M(, )
(, )
O
x
M1(, )
这样，一对实数(, ) 对应唯 一 点 M，
(, 2k) (, (2k
2．
椭圆
x2 a2
y2 b2
1
(ab0)
的参数方程：
xacost
ybsint
,
t[0, 2].
椭圆
(
x
x a2
)2
(
y
y b2
)2
1
(ab0)
的参数方程：
x y
x y
acost bsint
(a
b
0),
t[0, 2].
3．摆线的参数方程：
xa(t sint) y a(1cost )
(
y
)
2 3
1
，
aa
2 22
故普通方程为 x 3 y 3 a 3 .
（二）几种常见曲线的参数方程
1． 圆 x2 y2 a2 的参数方程：
x acost yasint
直线的参数方程 课件
当 θ＝π2时，|AB|min＝ 2，当 θ＝0 时，|AB|max＝2 2.
(2)∵t1t2＝－cos2θ＋12sin2θ＜0，设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，
∴y1＝t1sin θ，y2＝t2sin θ，S△AOB＝12|OF|·(|y1|＋|y2|)＝12×1·|t1－t2|·sin θ＝1＋2ssiinn2θθ＝
【例题 1】 (1)化直线 l1：x＋ 3y－1＝0 的方程为标准形式的参数方程(参数为 t)，
并说明 t 和t的几何意义；
(2)化直线 l2的参数方程xy＝＝－1＋3＋3tt， (t 为参数)为普通方程，并说明t的几何意义．
• 思维导引：求直线的参数方程首先确定定点， 再确定倾斜角．化参数方程为普通方程关键 在于消参．
解析：(1)令
y＝0，得
x＝1，所以直线
l1
过定点(1,0)，斜率
k＝－
1 ＝－ 3
33，设倾
斜角为 α，tan α＝－ 33，α＝56π，∴cos α＝－ 23，sin α＝12.所以 l1 的参数方程为
x＝1－ 23t， y＝12t
(t 为参数)．t 是直线 l1 上定点 M0(1,0)到直线上任意一点 M(x，y)的有
(2)∵P 在 C1 上，将xy＝＝－3＋1＋tsintcαo.s α， 代入方程 x2＋y2－2x－2y＝0 得 t2－4(cos α
－sin α)t＋6＝0， 设点 B，D 对应的参数分别为 t1，t2. 则|PB|＝|t1|，|PD|＝|t2|，又 t1t2＝6，∴|PB|·|PD|＝|t1||t2|＝|t1t2|＝6.
α，
(t 为参数，0≤α≤π)，
以坐标原点 O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2 的极坐标方程为ρ＝
(2)∵t1t2＝－cos2θ＋12sin2θ＜0，设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，
∴y1＝t1sin θ，y2＝t2sin θ，S△AOB＝12|OF|·(|y1|＋|y2|)＝12×1·|t1－t2|·sin θ＝1＋2ssiinn2θθ＝
【例题 1】 (1)化直线 l1：x＋ 3y－1＝0 的方程为标准形式的参数方程(参数为 t)，
并说明 t 和t的几何意义；
(2)化直线 l2的参数方程xy＝＝－1＋3＋3tt， (t 为参数)为普通方程，并说明t的几何意义．
• 思维导引：求直线的参数方程首先确定定点， 再确定倾斜角．化参数方程为普通方程关键 在于消参．
解析：(1)令
y＝0，得
x＝1，所以直线
l1
过定点(1,0)，斜率
k＝－
1 ＝－ 3
33，设倾
斜角为 α，tan α＝－ 33，α＝56π，∴cos α＝－ 23，sin α＝12.所以 l1 的参数方程为
x＝1－ 23t， y＝12t
(t 为参数)．t 是直线 l1 上定点 M0(1,0)到直线上任意一点 M(x，y)的有
(2)∵P 在 C1 上，将xy＝＝－3＋1＋tsintcαo.s α， 代入方程 x2＋y2－2x－2y＝0 得 t2－4(cos α
－sin α)t＋6＝0， 设点 B，D 对应的参数分别为 t1，t2. 则|PB|＝|t1|，|PD|＝|t2|，又 t1t2＝6，∴|PB|·|PD|＝|t1||t2|＝|t1t2|＝6.
α，
(t 为参数，0≤α≤π)，
以坐标原点 O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2 的极坐标方程为ρ＝
高中数学《参数方程》第一课时 课件
2
2
所以，点M的轨迹的参数方程是
x
y
cos s in
3(为参数)
5、若已知直线的参数方程为xy
1 1
t (t为参数) t
求它与曲线xy
2 c os 2 sin
(为参数)的交点。
解：参数方程xy
1 1
t (t为参数)的普通方程为 t
x y20
曲线xy
2 cos 2 s in
(为参数)的普通方程为x2
x 2 pt2
y
2 pt
圆锥曲线的参数方程
从三角换元看参数方程
换元依据： cos2 sin2 1
圆
心在
原点，
半径
为r的
圆的
参数
方 程 xy
r r
cos sin
(为参
数)
中心在
原点
的椭圆
的 参数 方 程 xy
a cos b sin
(为
参数)
换元依据： sec2 tan2 1
32
22
y
M(x,y)
r
o
M0 x
x y
x0 y0
r r
cos s in
(为参数)
对应的普通方程为(x x0 )2 ( y y0 )2 r 2
2、指出参数方程xy
2cos 5 3 2sin
(为参数)所
表示圆的圆心坐标、半径，并化为普通方程。
(x 5)2 ( y 3)2 4
2
)
以a,b(a>b>0)为半径作两个圆,点B是大圆半 径OA与小圆的交点，过点A作AN⊥Ox,垂 足为N,过点B作BM⊥AN,垂足为M,求当半 径OA绕点O旋转时点M的轨迹的参数方程.
参数方程的概念(课件)
对于参数方程 x = a*cos(t), y = a*sin(t) (其中 t 为参数)，可 以通过分离参数 t，得到简单 方程 tan(t) = y/x，进而求解 x 和 y。
参数代入法
01 总结词
通过将参数方程中的参数代入 到已知的函数或表达式中，求 解未知数。
02
详细描述
参数代入法的基本思想是将参 数方程中的参数代入到已知的 函数或表达式中，从而得到一 个关于未知数的简单方程。这 个简单方程通常比较容易求解 ，从而得到原参数方程的解。
在计算机图形学中，参数方程被广泛应用于动画制作和游戏开发 等领域。
在经济学中的应用
在经济学中，参数方程可以用来描述经济数据的趋势和变化规律。
在生物学中的应用
在生物学中，参数方程可以用来描述生物种群的增长规律和生态系 统的平衡状态。
03
参数方程的求解方法
消去参数法
总结词
通过消去参数，将参数方程转化为普通方程，从 而求解未知数。
通过参数的变化，可以描述曲线的几 何性质和动态变化。
x=x(t), y=y(t) 或 x=x(t), y=y(t), z=z(t)，其中 t 是参数。
参数方程的表示形式
平面参数方程
在平面直角坐标系中，如果用参数 t 表示曲线上点的横坐标和纵坐标，则平面 参数方程可以表示为 x=x(t), y=y(t)。
2. 通过代数方法消去 参数 t；
3. 得到直角坐标方程 。
02
参数方程的应用
在几何图形中的应用
描述平面曲线
参数方程可以用平面曲线的几何 性质和形状，通过参数的变化来 描述曲线上的点。
旋转和放缩
通过参数方程，我们可以方便地 实现图形的旋转和放缩，从而得 到不同角度和大小的图形。
参数方程 课件(共29张PPT)
解:根据题意,作出如图所示的单位圆.所要求的函数 f(θ)＝
sin cos
θθ－－12的最大值与最小值,就转化为求动点
P
与定点(2,1)
连线的斜率的最大值与最小值.从图可以得知,当直线 PM
和圆相切时,分别得到其最大值与最小值.设直线 PM 的斜
率为 k,所以,其方程为:y－1＝k(x－2),即 kx－y＋1－2k＝0.
2α(0＜α＜2π),M 为 PQ 的中点.
(1)求 M 的轨迹的参数方程;
(2)将 M 到坐标原点的距离 d 表示为 α 的函数,并判断 M 的
轨迹是否过坐标原点.
【解】 (1)依题意有 P(2cos α,2sin α),Q(2cos 2α,2sin 2α),
因此 M(cos α＋cos 2α,sin α＋sin 2α).
2π).
(1)x2＋y2＝(－1＋2cos θ)2＋( 3＋2sin θ)2 ＝4( 3sin θ－cos θ)＋8＝8sin(θ－π6)＋8, ∴当 θ－π6＝π2,即 θ＝23π时,(x2＋y2)max＝16. (2)x＋y＝2(sin θ＋cos θ)＋ 3－1 ＝2 2sin(θ＋π4)＋ 3－1, ∴当 θ＋π4＝32π,即 θ＝54π时, (x＋y)min＝ 3－2 2－1.
变式训练
1.(2013·高考江苏卷)在平面直角坐标系 xOy 中,直线 l 的参 数方程为yy＝＝2t＋t 1， (t 为参数),曲线 C 的参数方程为
x＝2tan2θ， y＝2tan θ
(θ 为参数).试求直线 l 和曲线 C 的普通方程,
并求出它们的公共点的坐标.
解:因为直线 l 的参数方程为xy＝＝2t＋t 1 (t 为参数),由 x＝t＋ 1,得 t＝x－1,代入 y＝2t,得到直线 l 的普通方程为 2x－y－2 ＝0. 同理得到曲线 C 的普通方程为 y2＝2x. 联立方程组yy＝2＝22xx－1 ,解得公共点的坐标为(2,2),(12,－ 1).
2.1 1.参数方程的概念 课件(人教A选修4-4)
返回
在 Rt△QBP 中， |BQ|＝acos θ，|PQ|＝asin θ. ∴点 P 在第一象限的轨迹的参数方程为
x＝asin θ＋cos y＝asin θ.
θ，
π (θ 为参数，0＜θ＜ )． 2
返回
求曲线参数方程的主要步骤 第一步，画出轨迹草图，设M(x，y)是轨迹上任
转角为参数．此外，离某一定点的“有向距离”、直线的倾斜角、
斜率、截距等也常常被选为参数． 第三步，根据已知条件、图形的几何性质、问题的物理意 义等，建立点的坐标与参数的函数关系式，证明可以省略．
返回
1．设质点沿以原点为圆心，半径为 2 的圆作匀角速度运动， π 角速度为 rad/s，试以时间 t 为参数，建立质点运动轨 60 迹的参数方程．
(t 为参数)．
(1)判断点 M1(0,1)，M2(5,4)与曲线 C 的位置关系． (2)已知点 M3(6，a)在曲线 C 上，求 a 的值． [思路点拨] 由参数方程的概念，只需判断对应于点的
参数是否存在即可，若存在，说明点在曲线上，否则不在曲 线上．
返回
[解]
(1)把点 M1 的坐标(0,1)代入方程组，
解：选 t＝x，则 y＝2t＋3
x＝t， 由此得直线的参数方程为 y＝2t＋3，
(t 为参数)．
也可选 t＝x＋1，则 y＝2t＋1.
x＝t－1， 参数方程为： y＝2t＋1.
(t 为参数)
返回
[例 2]
x＝3t 已知曲线 C 的参数方程是 y＝2t2＋1
答案：D
返回
4．已知某条曲线 C
x＝1＋2t， 的参数方程为 y＝at2
(其中 t 为参
数，a∈R)．点 M(5,4)在该曲线上，求常数 a.
《圆的参数方程一》课件
在物理学中，参数方程常用于描述周期性运动，如简谐振动、圆 周运动等。
工程设计中的应用
在工程设计中，参数方程常用于描述曲线和曲面，如机械零件的轮 廓曲线、建筑设计中的曲面等。
计算机图形学中的应用
在计算机图形学中，参数方程常用于描述二维或三维图形，如贝塞 尔曲线、旋转面等。
05
圆的参数方程的习题与解 析
基础习题及解析
01
02
03
04
基础习题1
求圆心在原点，半径为3的圆 的参数方程。
基础习题2
已知圆的参数方程为 x=3+4cosθ, y=4+4sinθ，
求该圆的圆心和半径。
基础习题3
将圆的参数方程转换为直角坐 标方程。
基础习题4
已知圆的直角坐标方程为 x^2+y^2=16，求该圆的参
数方程。
进阶习题及解析
高阶习题及解析
高阶习题1
高阶习题2
已知圆的参数方程为x=a+rcosθ, y=b+rsinθ，求该圆在任意点(x,y)处的切线 方程。
已知圆上两点A、B的坐标分别为 (3+2cosθ1, 2+2sinθ1)和(3+2cosθ2, 2+2sinθ2)，求线段AB的中点M的坐标。
高阶习题3
高阶习题4
已知圆的参数方程为x=a+rcosθ, பைடு நூலகம்=b+rsinθ，求该圆在任意点(x,y)处的法线 方程。
进阶习题1
已知圆的参数方程为 x=3+2cosθ, y=2+2sinθ，求
该圆在x轴上的截距。
进阶习题2
将给定的参数方程转换为极坐 标方程。
进阶习题3
工程设计中的应用
在工程设计中，参数方程常用于描述曲线和曲面，如机械零件的轮 廓曲线、建筑设计中的曲面等。
计算机图形学中的应用
在计算机图形学中，参数方程常用于描述二维或三维图形，如贝塞 尔曲线、旋转面等。
05
圆的参数方程的习题与解 析
基础习题及解析
01
02
03
04
基础习题1
求圆心在原点，半径为3的圆 的参数方程。
基础习题2
已知圆的参数方程为 x=3+4cosθ, y=4+4sinθ，
求该圆的圆心和半径。
基础习题3
将圆的参数方程转换为直角坐 标方程。
基础习题4
已知圆的直角坐标方程为 x^2+y^2=16，求该圆的参
数方程。
进阶习题及解析
高阶习题及解析
高阶习题1
高阶习题2
已知圆的参数方程为x=a+rcosθ, y=b+rsinθ，求该圆在任意点(x,y)处的切线 方程。
已知圆上两点A、B的坐标分别为 (3+2cosθ1, 2+2sinθ1)和(3+2cosθ2, 2+2sinθ2)，求线段AB的中点M的坐标。
高阶习题3
高阶习题4
已知圆的参数方程为x=a+rcosθ, பைடு நூலகம்=b+rsinθ，求该圆在任意点(x,y)处的法线 方程。
进阶习题1
已知圆的参数方程为 x=3+2cosθ, y=2+2sinθ，求
该圆在x轴上的截距。
进阶习题2
将给定的参数方程转换为极坐 标方程。
进阶习题3
高中数学第二节 参数方程ppt课件
2．参数方程与普通方程的互化 通过消去_参__数__从参数方程得到普通方程，如果知道 变数 x，y 中的一个与参数 t 的关系，例如 x＝f(t)，把它 代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系 y＝g(t)， 那么xy＝＝gf（（tt）），就是曲线的参数方程．
3．常见曲线的参数方程和普通方程
解：(1)由xy＝＝s3icnoαs α，消去参数 α，得x92＋y2＝1， 即 C 的普通方程为x92＋y2＝1， 由 ρsinθ－π4＝ 2，得 ρsin θ－ρcos θ＝2，① 将xy＝＝ρρscionsθθ，，代入①得 y＝x＋2， 所以直线 l 的倾斜角为π4.
选修4-4 坐标系与参数方程
第二节 参数方程
最新考纲
考情索引
2018·全国卷Ⅱ，
1.了解参数方程及 其参数的意义. 2.能选择适当的参 数写出直线、圆和 椭圆的参数方程.
T22 2018·全国
卷Ⅲ，T22 2017·全国卷Ⅰ， T22 2017·全国卷
Ⅲ，T22 2016·全国卷Ⅱ，
T23
核心素养
[变式训练]
(2019·郑州质检)在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C
的参数方程为xy＝＝s3icnoαs
α， (α
为参数)，在以原点为极点，
x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线 l 的极坐标方程为
ρsinθ－π4＝ 2. (1)求 C 的普通方程和 l 的倾斜角；
(2)设点 P(0，2)，l 和 C 交于 A，B 两点，求|PA|＋|PB|.
(2)(人A选修4－4·P37例2改编)在平面直角坐标系
xOy中，若直线l：
x＝t， y＝t－a
(t为参数)过椭圆C：
x＝3cos y＝2sin
参数方程ppt课件
考虑多种情况
注意单位的统一
在求解参数方程时，需要注意单位的 统一，避免出现单位不匹配的情况。
对于某些参数方程，可能需要考虑多 种情况，分别进行讨论和求解。
03 参数方程的应用实例
物理中的参数方程应用
总结词
描述物理中参数方程的应用，如行星运动、电磁波传播等。
详细描述
在物理学中，参数方程被广泛应用于描述各种现象，如行星运动轨迹、电磁波 传播路径等。这些参数方程通过引入一些变化的参数，能够精确地描述物理量 之间的关系，帮助我们更好地理解物理规律。
参数方程在其他领域的应用将有助于 推动相关领域的技术进步和理论发展 。
随着科技的发展，参数方程在数据科 学、机器学习等领域的应用也将逐渐 增多，为解决实际问题提供更多思路 和方法。
如何提高参数方程的应用水平
加强数学教育和普及工作，提高公众对参数方程的认识和理解，培养更多的数学人才和应用 型人才。
加强学科交叉和合作，促进参数方程与其他学科的融合和应用，共同推动相关领域的发展。
理解。
参数方程与线性代数的关联
参数方程可以用于描述线性代 数中的向量和矩阵的变化规律 。
通过参数方程，可以理解线性 变换的概念，以及矩阵的运算 和性质。
参数方程在解决线性代数问题 中也有一定的应用，例如求解 线性方程组、矩阵的逆和行列 式等。
参数参数方程与复变函数的关系
复变函数是一种描述复数域上的函数的方法，而参数方程可以用于描述复数域上的 函数的变化规律。
参数方程ppt课件
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
• 参数方程的基本概念 • 参数方程的求解方法 • 参数方程的应用实例 • 参数方程与其他数学知识的关联 • 参数方程的未来发展与展望
01 参数方程的基本概念
高中数学人教A版选修4-4课件：2.1曲线的参数方程
因为 θ∈ 0,
2
所以 sin θ +
4
,所以 θ+ ∈
4
∈
2
,1
2
3
,
4 4
4
Hale Waihona Puke ..,即 2sin θ +
故 x+y 的最大值是 2,最小值是 1.
4
∈ 1, 2 .
HONGDIAN NANDIAN
S 随堂练习
UITANG LIANXI
首 页
J 基础知识 Z 重点难点
ICHU ZHISHI
关系比较明显,容易列出方程.
首 页
1
2
J 基础知识 Z 重点难点
ICHU ZHISHI
HONGDIAN NANDIAN
S 随堂练习
UITANG LIANXI
3
思考 2 求曲线参数方程的步骤是什么?
提示:第一步,画出轨迹草图,设 M(x,y)是轨迹上任意一点的坐标.画图
时要注意根据几何条件选择点的位置,以利于发现变量之间的关系.
C.相切
D.相离
解析:圆的普通方程为 x2+y2=4,圆心(0,0)到直线 xcos φ+ysin φ-2=0 的距离
2
1
d= =2.因为圆的半径为 2,所以直线与圆相切.
答案:C
首 页
J 基础知识 Z 重点难点
ICHU ZHISHI
HONGDIAN NANDIAN
1
x = 1 + 2θ,
3.将参数方程
HONGDIAN NANDIAN
1
2
1.与普通方程 xy=1 表示相同曲线的参数方程(t 为参数)是(
2
所以 sin θ +
4
,所以 θ+ ∈
4
∈
2
,1
2
3
,
4 4
4
Hale Waihona Puke ..,即 2sin θ +
故 x+y 的最大值是 2,最小值是 1.
4
∈ 1, 2 .
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J 基础知识 Z 重点难点
ICHU ZHISHI
关系比较明显,容易列出方程.
首 页
1
2
J 基础知识 Z 重点难点
ICHU ZHISHI
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UITANG LIANXI
3
思考 2 求曲线参数方程的步骤是什么?
提示:第一步,画出轨迹草图,设 M(x,y)是轨迹上任意一点的坐标.画图
时要注意根据几何条件选择点的位置,以利于发现变量之间的关系.
C.相切
D.相离
解析:圆的普通方程为 x2+y2=4,圆心(0,0)到直线 xcos φ+ysin φ-2=0 的距离
2
1
d= =2.因为圆的半径为 2,所以直线与圆相切.
答案:C
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J 基础知识 Z 重点难点
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1
x = 1 + 2θ,
3.将参数方程
HONGDIAN NANDIAN
1
2
1.与普通方程 xy=1 表示相同曲线的参数方程(t 为参数)是(
参数方程的概念、圆的参数方程 课件
联系变数 x，y 之间关系的变数 t 叫做参变数，简称参数．相
对于参数方程而言，直接给出的点的坐标间的关系的方程叫
做
普通方程 ．
2．圆的参数方程 (1)如图 2－1－1 所示，设圆 O 的半径为 r，点 M 从初始 位置 M0 开始出发，按逆时针方向在圆上运动，设 M(x，y)， 点 M 转过的角度是 θ，
又 3－d<71010，故满足题意的点有 2 个． 【答案】 B
1．本题利用三角函数的平方关系，消去参数；数形结合， 判定直线与圆的位置关系．
2．参数方程表示怎样的曲线，一般是通过消参，得到普 通方程来判断．特别要注意变量的取值范围．
如图 2－1－2，已知点 P 是圆 x2＋y2＝16 上的 一个动点，定点 A(12,0)，当点 P 在圆上运动时，求线段 PA 的中点 M 的轨迹．
【思路探究】 (1)将点 M 的横坐标和纵坐标分别代入参 数方程中的 x，y，消去参数 t，求 a 即可；
(2)要判断点是否在曲线上，只要将点的坐标代入曲线的 普通方程检验即可，若点的坐标是方程的解，则点在曲线上， 否则，点不在曲线上．
【自主解答】 (1)将 M(－3,4)的坐标代入曲线 C 的参数
【自主解答】 如图，设 C 点坐标为(x，y)，∠ABO＝θ， 过点 C 作 x 轴的垂线段 CM，垂足为 M.
则∠CBM＝23π－θ， ∴xy＝ ＝aacsions23θπ＋－aθco，s23π－θ， 即xy＝ ＝aassiinnθθ＋ ＋ππ63， . (θ 为参数，0≤θ≤π2)为所求．
求曲线的参数方程的方法步骤 (1)建立适当的直角坐标系，设曲线上任一点 M 的坐标； (2)写出适合条件的点 M 的集合； (3)用坐标表示集合，列出方程； (4)化简方程为最简形式； (5)证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点 (此步骤可以省略，但一定要注意所求的方程中所表示的点是 否都表示曲线上的点，要注意那些特殊的点)．
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参数方程：
-1
x y
cos sin
(R)
x cos
y
sin
( [0，])
2
y
1 •M
x •Ox=θcoHsθyM=•s0in θ
-1
思考：这两个参数方程都表示圆C吗？
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15
四、课堂小结.提升能力
1、知识内容： 知道圆的参数方程以及曲线参数方程的概念； 能选取适当的参数建立参数方程； 通过对圆和直线的参数方程的研究，理解其中参 数的意义。
A
C
O
x
解：设|MA|=t,易知 BAC ,
4
M 点的轨迹方程是
xMtco4s122t1 yMtsi4 n222t2
x
y
2 t 1 2 （0t4 2) 2t2 2
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12
三、巩固概念.理解应用 y 跟踪练习
tB
如图所示，已知点A(1，2)，B(5，6)， M•
H
点M是线段AB上的一个动点，试求 点M(x,y)轨迹的参数方程
54因此32Mt把t 21点在因M曲16a，2此线的这，C3坐2个t上ta标2=方9(程51,4，组)代解无入得解方t，=程2因,a组此=9，点得M到2不在
曲线 C上
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10
三、巩固概念.理解应用
x 1 t2
1.曲线
A.(1,4)
y
4t
B3 .((t25为参,0)数)与C.x(轴1,-的3)焦点D.坐( 标25 是,0()B)
高二年级第二学段人教版数学选修4-4
参数方程的概念
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1
一、创设情境探求新知
A
B
A
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B C
2
一、创设情境.探求新知
B
A
A
B
C
思考：
若齿轮A、B、C的半径相等，他们转动时的角速度分别是x、y、t，方向忽略不计
(1) 第一组图中，A与B角速度之间的关系是____x_=_y_________；
(1) 第一组图中，它们角速度之间的关系是____y____4__x_______；
x 1 t
2
(2) 第二组图中，它们角速度之间学习的交关流系PP是T _____y____2 _t _______；
4
二、建构概念.突破难点
1.填写下列两个表格，思考方程和方程的区别与联系
方程
xy y4x
1 4
4 1
4
y x
x
1 2
t
y 2 t
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9
三、巩固概念.理解应用
x 3t
例2.已知曲线C的参数方程是
y
2t
2
1(t为参数)
(1)判断点M1(0,1)，M2(5,4)与曲线C的位置关系
(2)已知点M3(6,a)在曲线C上，求a的值
解：解(1：)把(2点) M因1为的点坐M标3((06,,1a))代在入曲方线程C上组，，所解以得t=0，
16
16
2.方程
x y
sin cos
([0,2))所表示的曲线上一
点是( D )
12
11
A.(2,7) B.( , ) C.( , ) D.(1,0)
33
22
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11
三、巩固概念.理解应用
y
跟踪练习
B
如图所示，已知点A(1，2)，B(5，6)， tM•
点M是线段AB上的一个动点，试求 点M(x,y)轨迹的参数方程
2 8
3
4
5
12
16
20
方程
x1
2
3
4
5
x 1 t 2 y 2 t
ty
2 4
4 8
6
8
10
12
16
20
2.满足方程的点(x,y) 所形成的图形是什么呢？
方程表示的是一条直线
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5
二、建构概念.突破难点
例1.如图，设圆的圆心在坐 标原点，半径为1
►求出该圆的标准方程
-1
步骤：建 设 限 代 化
(θ是中间量，[0， 2))
x y
f (t) n
g(t)
(t
D)
概括归纳：
一般的，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的
坐标x,y都是某个变数t的函数并且对于t的每一个允许值，
由方程组所确定的点M(x,y)都在这条曲线上，那么方
程就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x,y的变数t叫
做参变数，简称参数.
xt (2) 第二组图中，A与C角速度之间的关系是________________； y t B与C角速度之间的关系是________________；
x t
故A、B、C三个角速度之间的关系可以表示为
y t 学习交流PPT
3
一、创设情境.探求新知
B A
B AC
思考： 若齿轮A、B、C的半径分别为4、1、2，他们转动时的角速度分别是x、y、t，方向 忽略不计
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7
二、建构概念.突破难点
概括归纳：
相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方 程叫做普通方程.
参数是联系变数x,y的桥梁，可以是一个有物理意义或 几何意义的变数，也可以是没有明显实际意义的变数.
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8
二、建构概念.突破难点
思考: 下列两个方程，是参数方程吗？
x y
标准方程：x2 y2 1
►试一试：能不能找出一个 变量，“连接”圆上点的 横坐标x和纵坐标y,进而 得出圆的方程的不同表现
形式?
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y
1 •M
x •Ox=θcoHsθyM=•s0in θ
-1
方程：
x cos
y
sin
6
二、建构概念.突破难点
x y
1
2 2
t
x
（t是中间量）
t
y
cos sin
2、思想与方法：参数思想。
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16
五、课后作业
课后习题A组练习1、2、3
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17
谢谢！
学习交流PPT
18
A
C
O
x
方案二：解：设|MB|=t,易知 BMH ,
4
xM5tco4s522t
yM6tsi4 n622t
M 点的轨迹方程是
x
Hale Waihona Puke 5y 62t 2 （0t4 2) 2t
2
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13
三、巩固概念.理解应用
y
例1.如图，设圆的圆心在坐 标原点，半径为1
►求出该圆的普通方程
-1
步骤：建 设 限 代 化
1 •M
x •Ox=θcoHsθyM=•s0in θ
普通方程：x2 y2 1
-1
►试一试：能不能找出一个
变量，“连接”圆上点的 横坐标x和纵坐标y,进而
参数方程：
x y
cos sin
得出圆的参数方程?
►还能不能找出类学似习交的流PP变T 量？
弧长、面积、周长 14
三、巩固概念.理解应用
例1.如图，设圆O的圆心在 坐标原点，半径为1