济南大学高等数学下历年考题答案PPT课件
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0910高等数学B( 二)试题答案济南大学
一、填空题（每小题 2 分，共 10 分） 1．过点 M 0 (3,0, 1)且与平面 3 x 7 y 5 z 12 0 垂直的直线方程为为 ；
解
所求直线的一个方向向量 n (3, 7,5)
所求直线方程为 x 3 y0 z 1 3 7 5
2.设函数 z f ( x , y )是由方程 x 2 y 2 z 2 4z 给出， 则全微分 dz ；xdx ydy
2 n 1 x n arctan x ( 1) 2n 1 n 0
见教材P282
二、选择题 （每小题2分，共10分） 1、 f ( x, y )在点 ( x0 , y0 ) 可微是两个偏导数 f x ( x0 , y0 ), f y ( x0 , y0 )
都存在的 [ A. C.
(1)
n 1
n 1
n ; n 1 3
解 (1) 记 un sin
而级数
n 1
3
n
,
vn
3
n
.
因为 limsin
n
3
n
3
n
1
3
n
收敛，故原级数收敛.
n 1
un1 n1 3 1 lim n . ( 2) lim n u n 3 n 3 n
2 z u z v 2x 3x z 2 ln(3 x 2 y ) 2 x u x v x y y (3 x 2 y )
2. 计算
D
yd , 其中D 是抛物线
及直线
y 2 y2 x
所围成的闭区域. 解: 为计算简便, 先对 x 后对 y 积分, 则
解
所求直线的一个方向向量 n (3, 7,5)
所求直线方程为 x 3 y0 z 1 3 7 5
2.设函数 z f ( x , y )是由方程 x 2 y 2 z 2 4z 给出， 则全微分 dz ；xdx ydy
2 n 1 x n arctan x ( 1) 2n 1 n 0
见教材P282
二、选择题 （每小题2分，共10分） 1、 f ( x, y )在点 ( x0 , y0 ) 可微是两个偏导数 f x ( x0 , y0 ), f y ( x0 , y0 )
都存在的 [ A. C.
(1)
n 1
n 1
n ; n 1 3
解 (1) 记 un sin
而级数
n 1
3
n
,
vn
3
n
.
因为 limsin
n
3
n
3
n
1
3
n
收敛，故原级数收敛.
n 1
un1 n1 3 1 lim n . ( 2) lim n u n 3 n 3 n
2 z u z v 2x 3x z 2 ln(3 x 2 y ) 2 x u x v x y y (3 x 2 y )
2. 计算
D
yd , 其中D 是抛物线
及直线
y 2 y2 x
所围成的闭区域. 解: 为计算简便, 先对 x 后对 y 积分, 则
大学高等数学下考试题库(附答案).pptx
试卷 1 参考答案
2. cosxyydx xdy .
3. 6x 2 y 9 y 2 1 .
4.
n0
1 2n1
n
xn
.
5. y C1 C2 xe 2x .
三.计算题
1. z exy ysinx y cosx y ， z e xy xsinx y cosx y.
x
y
z 2 x z 2y
参考答案
一、选择题 1、D 2、C 10,A 二、填空题
3、C
4、A
5、B
6、D
7、C
8、A
9、B
9
学海无 涯
1、 ar cos 2 , arcsin 8
18
21
2、0.96，0.17365
3 、 л 4 、 0，+
x2
5、 y ce 2 , cx 1
1
y
三、计算题 1 、 -3 2 -8
解 ： △= 2 -5 3 = （-3）× -5 3 -2× 2 3 +（-8）2 -5 =-138
1 7 -5
7 -5
1 -5
17 2 -8
△x= 3 -5 3 =17× -5 3 -2× 3 3 +（-8）× 3 -5 =-138
2 7 -5
7 -5
2 -5
27
同理：
-3 17 -8
△y= 2 3 3 =276 , △z= 414 1
2 -5
x
y
z
所以，方程组的解为 x 1, y 2, z 3
n0
5. y x3 .
三.计算题
1. 8i 3 j 2k .
2. z 3x 2 sin y cos ycos y sin y, z 2x3 sin y cos ysin y cos y x3 sin3 y cos3 y .
济南大学2009～2010学年第一学期课程考试试卷(A卷)答案
概念 极限 性质 计算方法
概念 连续 基本结论 性质 初等函数的连续性 闭区间上连续函数的性质
左右极限
第二章主要内容回顾
导数的概念、几何意义 定义求导 导数 求导方法 基本公式、四则运算、复合求导 反函数求导 特殊函数求导 隐函数求导 高阶导数
0
证明至少存在一点 (0,1) ，使得 f ( )(1 ) f ( x)dx
证:
令F ( x) (1 x) f (t )dt
0
x
F ( x) f (t )dt (1 x) f ( x)
0
x
显然，F ( x)在[0,1]上连续，在 0,1)内可导，且 (0) F (1), ( F
原积分
xdf ( x )
2
2
xf ( x)
f ( x)dx
2
4
1
五、解答题（8分）
y f ( x)
的极值。
dy t 2 1 2 0 dx t 1
由参数方程
x t 3 3t 1 3 y t 3t 1
确定，求
f ( x)
3 1 x 3 2 x x
x0 x0
5．设
x ln(1 t an t )dt 0 f ( x) x2 a
2
在原点处连续，则
a
0
lim
x 0
x2 0
ln( tan t )dt 1 x
2
2 x ln( tan | x |) 1 lim x 0 2x
济南大学1516高等数学 二BW参考解答
lim
n
un1 ( x) un (x)
lim (n 1) xn1
n nxn
| x |
当 x 1, 当 x 1,
时级数收敛 故收敛半径为 R 1.
时级数发散
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5. 级数
的和为____.
教材P182-185
解:
Sn
n (2)k k 1 3
x0
0
y0
得 lim f (x x, y y) f ( x, y )
x0 y0
即
函数
zz
=
f f(x( ,xy)
在 点x , y(x,
y)y可) 微f
(函x ,数y )在该点连续
下面两个定理给出了可微与偏导数的关系:
d(1z)函d数f 可 微A x B y 偏导数存在 (2z)偏A导 x数连B续 y o ( ) 函数可微
f ( x, y ) 在点( x, y) 可微，A Δx B Δ y 称为函数 f ( x, y )
在点 (x, y) 的全微分, 记作
dz d f Ax By
若函数在域 D 内各点都可微, 则称此函数在D 内可微.
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当函数可微时 :
lim z lim ( A x B y ) o ( ) 0
即 8x y 3z 4 0
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3. 设 z z(x, y) 是由方程 z3 x y z 0确定的隐函数 求 z , z . x y 知识点:隐函数求导公式, 教材P99-101
解： 令 F z3 x y z.
济南大学高数考试试题0405高等数学A(二)参考答案
一、二题：选择题：ABCAC ，DACDA填空题：1、0)3()1(4)1(2=---+-z y x ；2、dy y x f dx x ⎰⎰010),(3、⎰⎰⎰3042020sin dr r d d ϕϕθππ 4、R x n x n x x x x n n n n n ∈+-=++-+-+-∑∞=++,)!12()1()!12()1(!5!30121253 5、x x e C e C y 221+=-三、四题：三、求偏导数1、22yx x x z +=∂∂……………………………………………………………….3分 2222)(2y x xy y x z +-=∂∂∂………………………………………………………3分 2、方程两边分别求x 的导数得：033=--x x z xyz yz z e ………………….2分 xye yz z z x 33-=……………………………2分 e xy e yz z z z x333,1)1,0()1,0()1,0(=-==……………………..2分 四、解：xQ y P x Q xy P ∂∂=∂∂==22故曲线积分与路径无关……………………………..3分 设A )0,2(π 选折线段，原积分=⎰⎰+ABOA …………………………………….2分 42π=………………………………………………..3分 (其他方法参考本过程给分)五、六题：五、解：n n n n nx a x n ∑∑∞=∞==+11))12( 112321−−→−++=∞→+n n n n n a a 收敛半径R=1………………………………………………..2分由于1±=x 时级数发散，故收敛区间为(-1，1)………………..2分 在区间(-1，1)上，设和函数为)(x s ，则∑∞=+=1))12()(n n x n x s∑∑∑∑∞=∞=-∞=∞=+=+1111122n n n n n nn n x nx x x nx ∑∑∞=∞=+'11)(2n n n nx x x ＝xx x x x -+'-=1)1(2………………………………3分 )11(,)1(31)1(2222<<---=-+-=x x x x x x x x …………………………………….3分 (其他方法参考本过程给分)六、解：设容器的底两边分别为x 、y ，高为z ，则无盖长方体容器的容积为为xyz V = 其中0,,36223>=++z y x yz xz xy …………………………….4分令 )36223(-+++=yz xz xy xyz F λ362230)22(,0)23(,0)23(=++=++==++==++=yz xz xy x y yx F z x xz F z y yz F z y x λλλ …………………………………….3分 得唯一驻点，(2，2，3)，由问题最值的存在性，知该点为最值点，即当容器的长宽高分为2、2、3米时，容器体积最大。
济南大学高数试题及答案
济南大学高数试题及答案一、选择题（每题5分，共30分）1. 函数f(x)=x^2在区间[0,1]上的定积分值是：A. 0.5B. 1C. 0D. 22. 极限lim(x→0)(sin(x)/x)的值是：A. 0B. 1C. -1D. 无法确定3. 以下哪个函数是奇函数？A. f(x) = x^2B. f(x) = x^3C. f(x) = sin(x)D. f(x) = cos(x)4. 曲线y=x^3在点(1,1)处的切线斜率是：A. 0B. 1C. 3D. 275. 以下哪个选项是二阶可导的？A. f(x) = |x|B. f(x) = x^(1/3)C. f(x) = e^xD. f(x) = ln(x)6. 以下哪个级数收敛？A. 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + ...B. 1 + 2 + 3 + 4 + ...C. 1 - 1/2 + 1/4 - 1/8 + ...D. 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ...二、填空题（每题5分，共20分）1. 函数f(x)=2x+3的反函数是______。
2. 定积分∫(0到1) x dx的值是______。
3. 函数f(x)=x^2-4x+3的极小值点是______。
4. 曲线y=x^2在点(2,4)处的法线方程是______。
三、解答题（每题10分，共50分）1. 求函数f(x)=x^3-3x^2+2在区间[0,3]上的最大值和最小值。
2. 计算定积分∫(0到π/2) sin(x) dx。
3. 求函数f(x)=x^3-6x^2+11x-6的单调区间。
4. 证明函数f(x)=x^2-2x在区间[1,2]上是增函数。
5. 求曲线y=x^2-4x+3在点(2,-1)处的切线方程。
答案：一、选择题1. A2. B3. B4. C5. C6. C二、填空题1. f^(-1)(x) = (x-3)/22. 0.53. x=34. y=-x+6三、解答题1. 最大值：f(3)=2，最小值：f(1)=-22. ∫(0到π/2) sin(x) dx = 13. 单调递增区间：(2,+∞)，单调递减区间：(-∞,2)4. 证明略5. 切线方程：y=2x-5。
济南大学高等数学下历年考题答案
L
L
是抛物线 2 x y
解
2
上从点 (0, 0) 到点 ( 2 ,1) 的一段弧.
2
Q x
P 2 y cos x 6 xy y
L1
积分与路径无关
L2 : x
选取积分路径 O(0,0) A( ,0) B( ,1) 2 2
L2
L1 : y 0, x [0, ] 2
得f x ( x, x) f x ( x, x) x 2
y( x) -2e 2 x f ( x, x) x 2e 2 x
一阶线性微分方程
P( x) 2
Q( x ) x 2e 2 x
P ( x ) dx
ye
P ( x ) dx
[C Q( x )e
x y (0 z 1) 取下侧.
2 2
解：
2 2 x dydz y dzdx ( z x )dxdy
1 2
1
影 为0 对于 1 : z 1. 向yoz和xoz投
x 2 dydz y 2 dzdx ( z x )dxdy
1
( z x )dxdy
2 2
曲面不是封闭曲面, 为利用高斯公式 解：
1
补充 1 : z 1 ( x 2 y 2 1) (上侧)
1围成空间区域 . 在上使用高斯公式,
1 2 2 x dydz y dzdx ( z x )dxdy ( 2 x 2 y 1)dv
2
4
y c1e x c2e 2 x
r2 r 2 0
2
2
L
是抛物线 2 x y
解
2
上从点 (0, 0) 到点 ( 2 ,1) 的一段弧.
2
Q x
P 2 y cos x 6 xy y
L1
积分与路径无关
L2 : x
选取积分路径 O(0,0) A( ,0) B( ,1) 2 2
L2
L1 : y 0, x [0, ] 2
得f x ( x, x) f x ( x, x) x 2
y( x) -2e 2 x f ( x, x) x 2e 2 x
一阶线性微分方程
P( x) 2
Q( x ) x 2e 2 x
P ( x ) dx
ye
P ( x ) dx
[C Q( x )e
x y (0 z 1) 取下侧.
2 2
解：
2 2 x dydz y dzdx ( z x )dxdy
1 2
1
影 为0 对于 1 : z 1. 向yoz和xoz投
x 2 dydz y 2 dzdx ( z x )dxdy
1
( z x )dxdy
2 2
曲面不是封闭曲面, 为利用高斯公式 解：
1
补充 1 : z 1 ( x 2 y 2 1) (上侧)
1围成空间区域 . 在上使用高斯公式,
1 2 2 x dydz y dzdx ( z x )dxdy ( 2 x 2 y 1)dv
2
4
y c1e x c2e 2 x
r2 r 2 0
2
2
高数(一)(下)考题讲解课件
详细描述
一阶常微分方程是只含有一个导数的常微分 方程，其解法包括初值问题和积分问题等。 常用的解法有分离变量法、变量代换法、积 分因子法等。
二阶常微分方程
总结词
理解二阶常微分方程的解法是解决复杂常微 分方程问题的基础。
详细描述
二阶常微分方程是含有两个导数的常微分方 程，其解法包括齐次化处理、降阶法、参数 法等。二阶常微分方程在物理、工程等领域 有广泛的应用，如振动问题、质点运动问题
等。
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ERA
不定积分的概念与性质
基础概念
不定积分是微积分中的一个基础概念，它表示一个函数的原函数或反导数。不定 积分具有一些重要性质，例如线性性质、积分常数性质和分部积分法等。
不定积分的计算
计算方法
不定积分的计算是学习微积分过程中的一个重要环节。常用的不定积分计算方法包括直接积分法、换元积分法和分部积分法 等。这些方法可以帮助我们解决各种形式的不定积分问题。
和公式。
定积分的应用
总结词
理解定积分的应用是解题的重要环节。
VS
详细描述
定积分的应用非常广泛，包括求平面图形 的面积、求体积、求长度等。在解题过程 中，需要根据具体问题选择合适的公式和 方法进行计算。同时，需要注意定积分的 实际意义和应用背景，以便更好地理解题 目和解题思路。
05
常微分方程
BIG DATA EMPOWERS TO CREATE A NEW
导数与微分
BIG DATA EMPOWERS TO CREATE A NEW
ERA
导数的概念与性质
01
02
03
导数的定义
导数是函数在某一点的变 化率的极限，表示函数在 该点的切线斜率。
济南大学高数下1习题课-精品文档
第一章 函数与极限
习题
1-7
sin x tan x 4（4） lim 2 3 x 0 (1 x 1 )( 1 sin x 1 ) sin x tan x 解： lim 2 3 x 0 ( 1 x 1 )( 1 sin x 1 ) 1 2 x( x ) tan x (cos x1 ) 2 lim lim x 0 1 2 1 x 0 1 3 x sin x x 3 2 6
2 x lim 1 2 2 x x x x x
6
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第一章 函数与极限
( 1 3 tan x ) 4（4）lim
2 x 0
2 cot x
( 1 3 tan x ) 解：lim
2 x 0
2 cot x
2 lim ( 1 3 tan x ) x 0
3 1 2 3 tan x
3 x （5） lim x 6 x
x1 2
3 e
3 lim 1 x 6 x
3 (x 1 ) 6 x 2 (6 x) 3
Байду номын сангаас
x 1 2
3 lim1 x 6x
e
3 2
7
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第一章 函数与极限
1 tan x 1 sin x （6） lim 2 x 0 x1 sin x x
解：
1 tan x 1 sin x lim 2 x 0 x1 sin x x
tan x sin x 1 lim 2 x 0 tan x 1 sin x x ( 1 sin x 1 )1 1 2 x x 1 tan x ( 1cos x ) 1 2 lim lim 3 x 0 1 2 x0 2 x 2 xsin x 2
高等数学B二试题答案济南大学PPT课件
有f关(，x, y ) 在点( x, yA)Δx B Δ y 称为函数 f (x, y)
在可点微，(x, y) 的全微分,
记作
dz d f Ax By
若函数在域 D 内各点都可微,则称此函数在D 内可微.
当函数可微时 :
lim z lim ( Ax By ) o ( ) 0
a2 x2 y2d .
则 a _B__.
x2 y2 a2
A. 1 B. 3 3 C. 3 3
2
4
D. 3 1 2
解：被积函数 z a2 x2 y2表示上半球面，半径为R 1.
由二重积分的几何意义得
原式 2 a3 . a 3 3 .
3
2
3.在点P处函数 f (x, y),的全微分 df 存在的充分条件是
x0
0
y0
得 lim f (x x, y y) f (x, y)
x0 y0
即 函数 z = f (x, y) 在点 (x,
y) 可z微 f (x x, y y) f (函x,数y)在该点连续
下面两个定理给出了可微与偏导数的关系:
d(1z) 函d f数可Ax By 偏导数存在 (微2z) 偏A导x 数 B连y o( ) 函数可微
y (1,1)
(1,1)
因此有4 a 1 0 ，即 a 5.
补充. 设函数f (x, y) 2x2 ax xy2 2y 在 (1, 1)
处取得极值，试求常数a，并确定极值的类型．
解： 求二阶偏导数
B
C
fxx (x, y) 4, fxy (x, y) 2 y , fyy (x, y) 2x
高等数学试卷PPT课件
2 函数 f (x) 的单调增加区间为 [0,2]， 单 调 减 少 区 间 为 [2,4] ， 曲 线
y f (x) 的拐点为 (1,3) ， f (4)
2 1 . 并在同一坐标图纸中描绘出函数 2
f (x) 图形的示意图.
y 4 3
2 1
O
123
4x
-1
y f (x)
第7题
解：在 0, 2 内 f (x) 0 ，在 2, 4内 f (x) 0
f
(x)
在区间[a, b] 上的几
^
何平均值 f ，并根据几何平均值不超过算术平均值，写出相应的积分不等式.
答
将[a, b] 作 n 等分，分点 xk
a
k
b
n
a
，
xk
ba
.
n
^
f
lim n
1
f (x1) f (x2) f (xn) n
lim ln f ( x1 )ln f ( x2 )ln f ( xn ) ba
的收敛性.
解：
I
dx
d ln ln x
3 x ln x (lnln x)a 3 (lnln x)a
当 a 1 时， I ln ln 3 1a ；
a 1 当 a 1时， I .
13.（10 分）如右图所示，一容器的侧面是由曲
线 L 绕 y 轴旋转而成，L 的方程为 x2 y2 1
的面积的 2 倍，且曲线 L 经过点 ( 0 , 1 ) ，求 L 的方程.
答
t
1 y2 dx 2
t
ydx
0
0
1 y2 2y ， y (2y)2 1
arcosh(2y) 2t C ，或 ln 2 y (2 y)2 1 2t C
y f (x) 的拐点为 (1,3) ， f (4)
2 1 . 并在同一坐标图纸中描绘出函数 2
f (x) 图形的示意图.
y 4 3
2 1
O
123
4x
-1
y f (x)
第7题
解：在 0, 2 内 f (x) 0 ，在 2, 4内 f (x) 0
f
(x)
在区间[a, b] 上的几
^
何平均值 f ，并根据几何平均值不超过算术平均值，写出相应的积分不等式.
答
将[a, b] 作 n 等分，分点 xk
a
k
b
n
a
，
xk
ba
.
n
^
f
lim n
1
f (x1) f (x2) f (xn) n
lim ln f ( x1 )ln f ( x2 )ln f ( xn ) ba
的收敛性.
解：
I
dx
d ln ln x
3 x ln x (lnln x)a 3 (lnln x)a
当 a 1 时， I ln ln 3 1a ；
a 1 当 a 1时， I .
13.（10 分）如右图所示，一容器的侧面是由曲
线 L 绕 y 轴旋转而成，L 的方程为 x2 y2 1
的面积的 2 倍，且曲线 L 经过点 ( 0 , 1 ) ，求 L 的方程.
答
t
1 y2 dx 2
t
ydx
0
0
1 y2 2y ， y (2y)2 1
arcosh(2y) 2t C ，或 ln 2 y (2 y)2 1 2t C
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4（4）lim (13ta2x n)co2x t x 0
解：lim (13ta2x n)co2x t
x 0
lim (13ta2nx)3ta12nx3 e3
x0
x1
x1
（5）
lim x
3 6
x x
2
lx im (6xx1))
3
e2
7
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第一章 函数与极限
（6） lim 1taxn 1six n x 0 x1si2n xx
解：lim 1taxn 1six n x 0 x1si2n xx
lim ta x s nx in
1
x 0x (1 s2 ix n 1 ) 1 ta x n 1 sx in
12lxim 0ta1nxx(1sinc2 xosx)
第一章 函数与极限
3（6）limsinxsina
解：
xa xa limsinxsina
2sinxacoxsa
lim 2
2
xa xa
xa
xa
co as
（7） lim ( x2xx2x) x
解：lim ( x2xx2x)
x
lim 2x
1
x x2x x2x
6
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第一章 函数与极限
第一章 函数与极限
第五节 极限运算法则
济南大学数学科学学院
总界面 结束
第一章 函数与极限
习题 1-5
1（14）lxi m 1(11x13x3). 解 lxi m 1(11x13x3)lxim 1 x21xx3 2
lx i1m (1 (xx)2(x)2(x x1)1) lxi m 1x2xx211.
1112高等数学A(二)试题答案 济南大学
C的一般项不趋于零，级数发散 B 条件收敛, A, D绝对收敛
当 q 1时,收敛 n aq n 0 当 q 1时, 发散
1 当p 1时,收敛 p n n 0 当p 1时,发散
1 ( 1)n1 发散 , 收敛 , n n 0 n 0 n
是抛物线 2 x y2上从点(0, 0) 到点 ( 2 ,1) 的一段弧. 解: 设P 2 xy 3 y 2 cos x, Q 1 2 y sin x 3 x 2 y 2 , 则 P Q 2 6 xy 2 y cos x . 所以曲线积分与路径无关. y x ( 取折线积分路径OBA,其中B 2 , 0) ,则
三、计算题（每小题10分，共40分） 1. 设
2 2 z z z z 2 z x sin y , 求 , , . 2 x y y x y
解:
2.
求函数
的极值.
解: 第一步 求驻点. 解方程组 得驻点:
2x 2
B
f x y ( x, y ) e2 x (4 y 4),
1 分析. 间断点处收敛于 [ f (0 ) f (0 )] 2 1 1 (0 1) . 2 2
.
二．选择题(每小题2分,共10分)
1. 函数 f ( x, y ) 在点 ( x0 , y0 )处的全微分存在的 充分条件是(
C
)
(A) f ( x, y ) 在点 ( x0 , y0 )处的两个一阶偏导数都存在. (B) f ( x, y ) 在点 ( x0 , y0 ) 处连续. (C) f ( x, y ) 在点 ( x0 , y0 ) 处的两个一阶偏导数都连续 . (D) f ( x, y ) 在点 ( x0 , y0 ) 处连续并且两个一阶. 一阶偏导数都存在.
当 q 1时,收敛 n aq n 0 当 q 1时, 发散
1 当p 1时,收敛 p n n 0 当p 1时,发散
1 ( 1)n1 发散 , 收敛 , n n 0 n 0 n
是抛物线 2 x y2上从点(0, 0) 到点 ( 2 ,1) 的一段弧. 解: 设P 2 xy 3 y 2 cos x, Q 1 2 y sin x 3 x 2 y 2 , 则 P Q 2 6 xy 2 y cos x . 所以曲线积分与路径无关. y x ( 取折线积分路径OBA,其中B 2 , 0) ,则
三、计算题（每小题10分，共40分） 1. 设
2 2 z z z z 2 z x sin y , 求 , , . 2 x y y x y
解:
2.
求函数
的极值.
解: 第一步 求驻点. 解方程组 得驻点:
2x 2
B
f x y ( x, y ) e2 x (4 y 4),
1 分析. 间断点处收敛于 [ f (0 ) f (0 )] 2 1 1 (0 1) . 2 2
.
二．选择题(每小题2分,共10分)
1. 函数 f ( x, y ) 在点 ( x0 , y0 )处的全微分存在的 充分条件是(
C
)
(A) f ( x, y ) 在点 ( x0 , y0 )处的两个一阶偏导数都存在. (B) f ( x, y ) 在点 ( x0 , y0 ) 处连续. (C) f ( x, y ) 在点 ( x0 , y0 ) 处的两个一阶偏导数都连续 . (D) f ( x, y ) 在点 ( x0 , y0 ) 处连续并且两个一阶. 一阶偏导数都存在.
济南大学高等数学下历年考题答案共111页文档
济南大学高等数学下历年考题答案
36、“不可能”这个字(法语是一个字 )，只 在愚人 的字典 中找得 到。--拿 破仑。 37、不要生气要争气，不要看破要突 破，不 要嫉妒 要欣赏 ，不要 托延要 积极， 不要心 动要行 动。 38、勤奋，机会，乐观是成功的三要 素。(注 意：传 统观念 认为勤 奋和机 会是成 功的要 素，但 是经过 统计学 和成功 人士的 分析得 出，乐 观老的誓言，没有不变的承 诺，踏 上旅途 ，义无 反顾。 40、对时间的价值没有没有深切认识 的人， 决不会 坚韧勤 勉。
66、节制使快乐增加并使享受加强。 ——德 谟克利 特 67、今天应做的事没有做，明天再早也 是耽误 了。——裴斯 泰洛齐 68、决定一个人的一生，以及整个命运 的，只 是一瞬 之间。 ——歌 德 69、懒人无法享受休息之乐。——拉布 克 70、浪费时间是一桩大罪过。——卢梭
36、“不可能”这个字(法语是一个字 )，只 在愚人 的字典 中找得 到。--拿 破仑。 37、不要生气要争气，不要看破要突 破，不 要嫉妒 要欣赏 ，不要 托延要 积极， 不要心 动要行 动。 38、勤奋，机会，乐观是成功的三要 素。(注 意：传 统观念 认为勤 奋和机 会是成 功的要 素，但 是经过 统计学 和成功 人士的 分析得 出，乐 观老的誓言，没有不变的承 诺，踏 上旅途 ，义无 反顾。 40、对时间的价值没有没有深切认识 的人， 决不会 坚韧勤 勉。
66、节制使快乐增加并使享受加强。 ——德 谟克利 特 67、今天应做的事没有做，明天再早也 是耽误 了。——裴斯 泰洛齐 68、决定一个人的一生，以及整个命运 的，只 是一瞬 之间。 ——歌 德 69、懒人无法享受休息之乐。——拉布 克 70、浪费时间是一桩大罪过。——卢梭
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解
an n1
lim an1 a n
n
limn 2 1
n n 1
R1 故收敛区间为(-1,1)
当x-1时,级数为 (-1)n(n1), 发散;
当x1时, 级数为(n1), 发散
n0
n0
故收敛域为(-1,1)
s(x) (n1)xn ( xn1 ) ( xn1 )
n0
n0
n0
( x ) 1 x
2
;
2
CH10微分方程与差分方程
B
A
y' 1 y 1 x
B CH10微分方程与差分方程
D
B
y [Q (x )e P (x )dd x x C ]e P (x )d
[ e1xdxdxC]e1xdx
[
1dxC]x x
xlnxCx
1 z arctany x
z z ，求 ,
x y
2、
ez xyz0，求
1
（由对称性）2xdv2ydv0
上式dv
2d
1
1
rdr dz
0
0
r2
1 2
3、计算曲面积分 Ix2dy dy2zdz d(zxx)dxd y
，其中为抛物面 zx2y2(0z1)取下侧.
解： x2dy dyz2dzd (x zx)dxd 1y
1
2
1
对1 于 : z1.向yo和 z xo投 z 影0为
(2)dxdy
D
-18
3、计算曲面积分 Ix2dy dy2zdz d(zxx)dxd y
，其中为抛物面 zx2y2(0z1)取下侧.
解：曲面不是封闭曲面, 为利用高斯公式
1
补 1:充 z 1 (x 2 y 2 1 )(上 侧)
1围 成 空 间区 .在域 上使用高斯公式,
x2dy dyz2dzd (x zx)dxdy(2x2y1)dv
解 记所围成的空间区域为
利用高斯公式
x3dydyz3dzdxzdxdy(3x23y21)dxdydz
(柱面 )2 d 坐 3 rd （ 3 标 3 r2 1 ） dz
0
00
五、应用题（10分）设 f (u,v) 具有连续偏导数，且满足
fu(u,v)fv(u,v)u . 求v y(x)e2xf(x,x)
高等数学A（二）
0
r210 ri
C 1cox sC2six n
3
64
当 x为端点x 时,
f ( ) f ( )
1
收敛于
2
.
2
C
B
A
A
B
1、
z x
2xsiny
2z
x y 2xcosy
z x2 cos y y
2z y2
x2
siny
3计算题：求微分方程 yln xd xx ln yd 0 y
( 2 x 3 y y 2 cx o ) d s ( x 1 2 y sx i n 3 x 2 y 2 ) dy L 1 L 2
20d x1[12ysin 3()2y2]dy
0
0
22
2
4
3. x3dydzy3dzdxzdx，其d中y是圆柱体：x2 y2 9，0z3 的整个表面的外侧.
满足初始条件 y |x1 e 的特解.
分离变量 l nxdx l nydy
x
y
积分 ln x(dlx n )ln y(dlyn )
即
(lny)2 (lnx)2
C
2
2
将y|x1e代 入 上 式 ，C 1
2
特解为 (ly n)2(lx n)21
4. 求幂级数 (n 1)xn 的收敛域及和函数.
n0
y e 2 d x [C x 2 e 2 x e2 d x d x ]
e2x[C x2dx]
e2x[C x3 ] 3
济南大学2010～2011学年第二学期课程考试试卷（A卷） 高等数学A（二）
2
4
yc1exc2e2x
r2r20
2
当 x是 f ( x)的间断点时,
f (x ) f (x )
收敛于
y (x ) - 2 e 2 x f(x ,x ) x 2 e 2 x 即 y2yx2e2x 一阶线性微分方程
P(x)2 Q(x)x2e2x
y e P (x )d x [C Q (x )e P (x )d x d x ]
即 y2yx2e2x 一阶线性微分方程 P(x)2 Q(x)x2e2x
所满足的一阶微分方程，并求其通解.
解 等y(式 x)e2xf(x,x)两边 x求 关导 于，
y ( x ) - 2 e 2 x f ( x ,x ) e 2 x [ f x ( x ,x ) f x ( x ,x )]
由 fu(u ,v)fv(u ,v)uv得 fx(x ,x )fx(x ,x )x 2
x2dydz y2dzdx(zx)dxdy 1
(zx)dxdy (1 x)dxdy
1
由 D 对称 x性 dxd0y
x2dyd y2d zz d (z xx)dDxd -y
2
五、（10分）求幂级数 nx n1
n 1
ห้องสมุดไป่ตู้
的收敛域及其在收敛区间内的和函数；并求 n 1
z , z x y
Fy xz
z Fy y Fz
ez
xz , xy
3、已知 zf(x,yx2y2)，求 z z
x y
解：
Zxf1y2xf2 Zyf1x2yf2
教材章9.4节课后习题8是类似的题
四、计算下列积分（每小题10分，共30分）
1、 yd x d y ，其中Ｄ是由直线 y x ,y x 1 ,y 0 及 y 1
D
y
所围成的平面区域.
解：
1
y1
yd x d y dy ydx
D
0
y
1
1
0 y(y1y)dy
0
x
1 2
2、设L 为取正向的圆周 x2 y2 9，计算曲线积分
(2x y2y)dx(x24x)dy L
解：记L所围成的封闭区域D为
P 2x2 y
Q 2x4 x
应用格林公式,得
(2x y2y)dx(x24x)dy L
1 (1 x )2
1 (x6y)dxd，y 其中 D是由 yx ，y 5x 和 x 1
D
所围成的闭区域.
y 5x
1
5x
0 dx
(x6y)dy
x
yx
0
1
2 . ( 2 x 3 y y 2 cx o ) d s ( x 1 2 y sx i n 3 x 2 y 2 ) d，y 其中 L L
是抛物线
2x
y2上从点 (0, 0)
到点
( 2
,1)
的一段弧.
解
Q x
2ycoxs6x2y
P y
积分与路径无关
选 取 积 O (0,0) 分 L 1 A (,路 0) L 2B (径 ,1 )
L1:
y0,x[0,
] 2
2
2
L2:x2,y[0,1]
(2 x 3 y y 2 cx o ) d s( x 1 2 y sx i n 3 x 2 y 2 ) dy L