九年级数学锐角三角函数11

合集下载

初中九年级数学中考锐角三角函数知识点总结

初中九年级数学中考锐角三角函数知识点总结1、勾股定理：直角三角形两直角边a 、b 的平方和等于斜边c 的平方。

2、如下图，在Rt △ABC 中，∠C 为直角，则∠A 的锐角三角函数为(∠A 可换成∠B)：3、任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值；任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值。

4、任意锐角的正切值等于它的余角的余切值；任意锐角的余切值等于它的余角的正切值。

5、0°、30°、45°、60°、90°特殊角的三角函数值(重要)A 90B 90∠-︒=∠︒=∠+∠得由B A 对边邻边 CA 90B 90∠-︒=∠︒=∠+∠得由B A6、正弦、余弦的增减性：当0°≤α≤90°时，sin α随α的增大而增大，cos α随α的增大而减小。

7、正切、余切的增减性：当0°<α<90°时，tan α随α的增大而增大，8、解直角三角形的定义：已知边和角（两个，其中必有一边）→所有未知的边和角。

依据：①边的关系：222c b a =+；②角的关系：A+B=90°；③边角关系：三角函数的定义。

(注意：尽量避免使用中间数据和除法)9、应用举例：(1)仰角：视线在水平线上方的角；俯角：视线在水平线下方的角。

(2)坡面的铅直高度h 和水平宽度l 的比叫做坡度(坡比)。

用字母i 表示，即hi l=。

坡度一般写成1:m 的形式，如1:5i =等。

把坡面与水平面的夹角记作α(叫做坡角)，那么tan hi lα==。

3、从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角，叫做方位角。

如图3，OA 、OB 、OC 、OD 的方向角分别是：45°、135°、225°。

4、指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫做方向角。

如图4,OA 、OB 、OC 、OD 的方向角分别是：北偏东30°（东北方向），南偏东45°（东南方向），南偏西60°（西南方向），北偏西60°（西北方向）。

2024九年级数学下册提练第11招求三角函数值的常见技巧课件新版新人教版

人教版九年级下
典例剖析
例计算：sin21°＋sin22°＋…＋sin288°＋sin289°. 解题秘方：灵活运用关系式sin2α＋cos2α＝1与sinα＝ cos(90°－α)(0°<α<90°)是解答本题的关键．
解：原式＝sin21°＋sin22°＋…＋sin244°＋sin245°＋
【解】∵sin α 是方程 2x2－7x＋3＝0 的一个根， ∴sin α＝12或 sin α＝3(不符合题意，舍去)． ∵sin2α＋cos2α＝1，∴cos2α＝1－122＝34.
∵α 为锐角，∴cos α＞0.∴cos α＝ 23.
∴ 1－2sin αcos α＝ sin2α＋cos2α－2sin αcos α＝
4.计算tan 1°·tan 2°·tan 3°·…·tan 88°·tan 89°的值．【解】tan 1°·tan 2°·tan 3°·…·tan 88°·tan 89° ＝ (tan 1°·tan 89°)·(tan 2°·tan 88°)·…·(tan 44°·tan 46°)·tan 45°＝1.
(sin α－cos α)2＝|sin α－cos α|＝12－ 23＝
3－1 2.
cos244°＋…＋cos22°＋cos21°＝(sin21°＋cos21°)＋
(sin22°＋cos22°)＋…＋(sin244°＋cos244°)＋sin245°＝
44＋
222＝44＋12＝4412.
分类训练
1.已知
α
为锐角，cos
α＝13，求
tan
α－1－cossinα
的值． α
【解】由 α 为锐角，cos α＝13，得 sin α＝ 1－cos2α＝232，

人教版九年级下册数学《锐角三角函数》培优说课教学复习课件

探究新知
【思考】一般地，当∠A 取其他一定度数的锐角时，它的对边与斜边的比是否也是一个固定值？
探究新知
任意画 Rt△ABC 和 Rt△A'B'C'，使得∠C＝∠C'＝90°，
∠A＝∠A'＝α，那么
BC AB
与 B' C'
A' B'
有什么关系？你能解释一
下吗？
B' B
A
C A'
C'
探究新知
因为∠C＝∠C'＝90°，∠A＝∠A'＝α，所以Rt△ABC ∽Rt△A'B'C'. 因此
50m，那么需要准备多长的水管？
B' B
35m 50m
A
C C'
AB'＝2B'C' ＝2×50＝100(m).
在一个直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么不管
三角形的大小如何，这个角的对边与斜边的比值都等于
1 2
.
探究新知
如图，任意画一个Rt△ABC，使∠C＝90°，A
∠A＝45°，计算∠A的对边与斜边的比
AB BC A' B' B' C'
BC B' C' AB A'B'
在直角三角形中，当锐角 A 的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠A 的对边与斜边的比都是一个固定值．
探究新知
归纳：如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，我们把锐角 A 的
对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作 sin A 即
OP OA2 AP2 32 42 5.
因此 sin AP 4 .

辽宁省鞍山市第四十五中学九年级数学下册教案：11解直角三角形应用

实践活动中的分组讨论非常热烈，学生们积极参与，相互交流。但在实验操作环节，我发现部分学生动手能力较弱，对测量工具的使用不够熟悉。这可能需要我在以后的课程中增加一些实践操作的训练，以提高他们的实际操作能力。
小组讨论中，学生们的思维非常活跃，他们能够将所学的知识应用到讨论中，提出不少有创意的想法。但在引导讨论的过程中，我也意识到需要提高自己的提问技巧，提出更具启发性和开放性的问题，以便更好地激发学生的思考和探究。
举例：在求解一个建筑物的倾斜角度时，学生可能需要将问题转化为直角三角形的形式，并选择合适的三角函数进行求解。对于非90度的特殊直角三角形，如30°-60°-90°或45°-45°-90°，学生需要知道这些特殊三角形的边长比例，并能快速计算出答案。
难点突破策略：
-通过直观的图形和实物演示，帮助学生理解三角函数的定义和适用场景；
辽宁省鞍山市第四十五中学九年级数学下册教案：11解直角三角形应用
一、教学内容
辽宁省鞍山市第四十五中学九年级数学下册教案：11解直角三角形应用
本节课，我们将深入探讨《解直角三角形》的应用，对应教材第十一章内容。具体包括以下知识点：
1.利用锐角三角函数解直角三角形；
2.应用实例：测量距离、高度等实际问题；
-通过大量例题和练习，加强学生对三角函数值记忆和应用的能力；
-引导学生通过画图和建立数学模型，将实际问题转化为解直角三角形的问题；
-教学中强调计算器的正确使用方法，提高学生解题的效率和准确性。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《解直角三角形应用》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过需要测量距离或高度的情况？”比如，我们想知道学校旗杆的高度，或是测量两栋建筑物之间的距离。这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索解直角三角形的奥秘。

第11讲特殊锐角的三角比的值 (解析版)

第11讲特殊锐角的三角比的值【学习目标】特殊锐角的三角比的值是九年级数学上学期第二章第一节的内容，本讲主要讲解利用几何方探求30°、45°和60°这三个特殊锐角的三角比的值，重点是熟练运用其进行相关计算，难点是在几何图形中的灵活运用．【基础知识】一、特殊锐角的三角比的值αsin α cos αtan αcot α30°31245° 1 160°312【考点剖析】考点一：特殊锐角的三角比的值例1．如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，45A ∠=︒，BC = a ．求A ∠的三角比的值．【难度】★ 【答案】22sin =A ，22cos =A ，1tan =A ，1cot =A ．【解析】∵45A ∠=︒，∴2245sin sin =︒=A ，2245cos cos =︒=A ， 145tan tan =︒=A ，145cot cot =︒=A ．【总结】本题主要考查特殊角45角的三角比的值．例2．如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，30A ∠=︒，BC = a ．求A ∠的三角比的值．【难度】★ 【答案】21sin =A ，23cos =A ，33tan =A ，3cot =A【解析】∵30A ∠=︒∴2130sin sin =︒=A ，2330cos cos =︒=A ， 3330tan tan =︒=A ，330cot cot =︒=A ．【总结】本题主要考查特殊角30角的三角比的值．例3．如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，60A ∠=︒，AC = a ．求A ∠的三角比的值．【难度】★ 【答案】23sin =A ，21cos =A ，3tan =A ，33cot =A ．【解析】∵60A ∠=，∴2360sin sin =︒=A ，2160cos cos =︒=A ，360tan tan =︒=A ，3360cot cot =︒=A ．【总结】本题主要考查特殊角60角的三角比的值．例4．填空：tan 60°= ______；cot 45°= ______；sin 30°= ______；cos 45°= ______．【难度】★ 【答案】，1，21，【解析】主要考察特殊角的锐角三角比值．例5．用特殊锐角的三角比填空：（1）12=______ = ______；（22=______ = ______；（3）1=______ = ______；（43=______ = ______．【难度】★【答案】（1）sin 30°，cos 60°；（2）sin 45°，cos45°；（3） tan45°，cot 45°；（4）sin 60°，cos30°．【解析】主要考察特殊角的锐角三角比值．例6．已知，等腰ABC ∆的顶角A ∠=120°，求B ∠的三角比的值．【难度】★ 【答案】21sin =B ，23cos =B ，33tan =B ，3cot =B【解析】∵等腰ABC ∆的顶角A ∠=120°，∴︒=∠=∠30C B ．∴2130sin sin =︒=B ，2330cos cos =︒=B ，3330tan tan =︒=B ，330cot cot =︒=B ．【总结】本题一方面考查等腰三角形的性质，另一方面考查特殊角30角的三角比的值．例7．正方形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，求OAB ∠的三角比的值．【难度】★ 【答案】22sin =∠OAB ，22cos =∠OBA ，1tan =∠OAB ，1cot =∠OAB 【解析】∵正方形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ， ∴︒=︒⨯=∠=∠45902121BAC OAB ．∴2245sin sin =︒=∠OAB ，2245cos cos =︒=∠OAB ，145tan tan =︒=∠OAB ，145cot cot =︒=∠OAB ．【总结】本题一方面考查正方形的性质，另一方面考查45角的三角比的值．例8．求满足下列条件的锐角α：（1）3cos 02α-=；（2）．【难度】★【答案】（1）︒=30α；（2）︒=45α．【解析】（1）由题意可得：3cos 2α=，则︒=30α；（2）由题意可得：1tan =α，则︒=45α．【总结】本题主要是对特殊锐角三角比的值的综合运用．例9．若A ∠是锐角，且3tan A =，则cos A = ______．【难度】★★ 【答案】【解析】∵3tan A =，∴︒=∠30A ，∴2330cos cos =︒=A ．【总结】本题主要考查特殊角的锐角三角比的值以及它们之间的关系．例10．已知，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，cos B =12，求tan A 的值．【难度】★★ 【答案】【解析】∵1cos 2B =，且∠B 是锐角，∴︒=∠60B ．∵︒=∠+∠90B A ，∴︒=∠30A∴3330tan tan =︒=A ．【总结】本题主要考查特殊角的锐角三角比的值以及它们之间的关系．考点二：特殊锐角的三角比的值的应用例1．sin 45°+ cos 45°的值等于（） A ． B ．312+ C ．312+ D ．1【难度】★ 【答案】A【解析】sin 45°+ cos 45°=22222=+．例2．下列不等式，成立的是（） A ． B ． C ． D ．【难度】★ 【答案】D【解析】A 答案，正确应为：； B 答案，正确应为：； C 答案，正确应为：【总结】一个锐角的正弦值和正切值随着角度的增大而增大，一个锐角的余弦值和余切值随着角度的增大而减小．例3．计算：（1）；（2）．【难度】★【答案】（1）2；（2）316．【解析】（1）原式=23232322223=-+=⨯-⨯+（2）原式=【总结】本题考查利用特殊角的锐角三角比的值进行实数计算．例4．计算：（1）；（2）．【难度】★【答案】（1）0；（2）32- 【解析】（1）原式=01112323=-=-；（2）原式=．【总结】本题考查利用特殊角的锐角三角比的值进行实数计算．例5．计算：．【难度】★★ 【答案】3【解析】原式=()32132324321343243=--+-+=-++-+．【总结】本题考查利用特殊角的锐角三角比的值进行实数计算．例6．计算：．【难度】★★ 【答案】【解析】原式=．【总结】本题考查利用特殊角的锐角三角比的值进行实数计算．例7．计算：．【难度】★★【答案】45【解析】原式=．【总结】本题考查利用特殊角的锐角三角比的值进行实数计算．例8．计算：．【难度】★★【答案】6- 【解析】原式=．【总结】本题考查利用特殊角的锐角三角比的值进行实数计算．例9．计算：．【难度】★★ 【答案】3 【解析】原式=．【总结】本题考查利用特殊角的锐角三角比的值进行实数计算．例10．已知030α︒<∠<︒，化简：．【难度】★★【答案】13cot 2--α 【解析】∵030α︒<∠<︒，∴330cot cot =︒>α．∴．【总结】一个锐角的度数越大，余切值反而越小．例11．已知方程()2sin 2sin 2sin 120x x ααα-+++=有两个相等的实数根，求锐角α的大小．【难度】★★ 【答案】30°【解析】∵方程()2sin 2sin 2sin 120x x ααα-+++=有两个相等的实数根，∴()()12sin sin 42sin 42+⨯⨯-+=∆αααααααsin 48sin 416sin 16sin 422--++=0sin 3216=-=α．∴21sin =α． ∴︒=30α．【总结】本题将根的判别式与锐角三角比结合在一起，完成相应计算．【过关检测】一、单选题1．（2021·上海九年级一模）在ABC 中，如果1sin 2A =，3cot =B ）A ．等腰三角形B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．直角三角形【答案】D【分析】根据特殊的三角函数值可知，∠A ＝30°，∠B ＝60°，即可判断三角形的形状．【详解】∵ 1sin 2A =，cot =B∴∠A ＝30°，∠B ＝60°， ∴ ∠A ＋∠B ＝90°，∴ 这个三角形一定是直角三角形，故选：D ．【点睛】本题考查特殊角的三角函数值，三角形内角和定理，属于基础题型．2．（2021·上海九年级一模）在Rt ABC ∆中，90C =∠，如果33,4AC cosA == ，那么 AB 的长为（） A ．94B ．4C ．5D ．【答案】B【分析】根据cosA 34==AC AB ，即可得出AB 的值【详解】解：在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=3，又∵,osA 34c ==AC AB ∴AB=4 故选：B ．【点睛】本题考查锐角三角函数的定义，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 3．（2020·上海民办华二浦东实验学校九年级期中）在Rt ABC △中，90C ∠=︒，B β∠=，AB a ，那么BC 的长为（） A ．sin a β B ．cos a βC ．cos aβD ．tan a β【答案】B【分析】根据余弦的定义进行解答即可．【详解】解：根据已知条件可画出图形，如图： ∵∴cos BC a β=．故选：B【点睛】本题考查了锐角三角函数，掌握余弦的定义是解题的关键．4．（2019·上海九年级月考）在ABC ∆中，90C ∠=︒，若cos B =，则sin A 的值为( )A B ．C ．D ．12【答案】C【分析】根据特殊角的三角函数值求出∠B ，再求∠A ，即可求解.【详解】在ABC ∆中，90C ∠=︒，若cos B =∠B=30°故∠A=60°，所以sinA= 故选：C【点睛】本题考查的是三角函数，掌握特殊角的三角函数值是关键.5．（2020·上海九年级期中）ABC ∆中，90C ∠=︒，3AC =，4CB =，则tan A 的值为（） A ．45B ．35C ．43D ．34【答案】C【分析】角的正切值=，代入求值即可. 【详解】tan A =，故选：C.【点睛】此题考察三角函数，角的正切值=，熟记公式即可正确解答.6．（2019·上海全国·九年级单元测试）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC 的三个顶点均在格点上，则tan ∠ABC 的值为( ) A ．35B ．43C ．D ．34【答案】D【解析】如图，∠ABC 所在的直角三角形的对边AD =3，邻边BD =4，所以，tan ∠ABC = 34．故选D ．7．（2019·上海九年级期中）已知∠A 为锐角，且sinA ＝12，那么∠A 等于（） A ．15° B ．30°C ．45°D ．60°【答案】B试题分析：∵∠A 为锐角，sinA=12，∴∠A=30°．故选B ．考点：特殊角的三角函数值．二、填空题8．（2021·上海九年级一模）在Rt ABC 中，90C ∠=︒，6AC =，3cos 4A =，那么AB 的长为__．【答案】8【分析】根据余弦函数的定义即可直接求解．【详解】解：∵，∴AB=34AC ＝634＝8，故答案为：8．【点睛】本题考查了余弦函数的定义，是所邻的直角边与斜边的比，理解定义是关键． 9．（2021·上海九年级专题练习）sin60°•tan45°﹣cos60°•cot30°=_____．【答案】0 【解析】原式1102-=．故答案为0．10．（2021·上海九年级一模）如图，点P 在线段BC 上，AB BC ⊥，DP AP ⊥， CD DP ⊥，如果10BC =，2AB =， 1tan 2C =，那么 DP 的长是 _____ ．【分析】由已知条件，根据同角的余角相等得，根据1tan 2C =得1tan 2AB APB BP ==∠，求出4BP =，得出6PC =，利用1tan 2C =和勾股定理即可得DP 的长．【详解】解：∵AB BC ⊥，DP AP ⊥，CD DP ⊥， ∴90B APD PDC ∠=∠=∠=︒，90C DPC ∠+∠=︒，， ∴， ∵1tan 2C =， ∴1tan tan 2AB APB C BP ===∠， ∵2AB =，10BC =， ∴4BP =，6PC =，设DP 的长是x ， ∵，∴22CD DP x ==，∴222PC DP CD =+，即()22262x x =+，解得x =5-．【点睛】本题考查三角函数-正切，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题． 11．（2021·上海九年级一模）计算：_______________．【答案】74【分析】根据cos45°=， sin60°=代入运算即可．【详解】解：原式2 3=1+47=4，故答案为：74．【点睛】此题考查了特殊角的三角函数值，属于基础题，解答本题的关键是熟练记忆一些特殊角的三角函数值．12．（2021·上海九年级一模）已知一个锐角的正切值比余切值大，且两者之和是133，则这个锐角的正切值为________．【答案】3【分析】设这个锐角为α，根据题意和三角函数的性质可知：，解方程即可．【详解】解：设这个锐角为α，∴由①，得10cot tan3αα=-③将③代入②，得解得：1 tan3α=或当1tan3α=时，∴cotα=3＞tanα∵α的正切值比余切值大∴此时不符合题意，舍去；当时，cotα=13＜tanα∴此时符合题意．故答案为：3．【点睛】此题考查的是锐角三角函数值的运算，掌握三角函数的性质是解题关键．13．（2021·上海九年级一模）计算：2sin30tan45-=______．【答案】0【分析】把特殊角的三角函数值代入计算即可得到答案．【详解】解：2sin30tan45-=121110, 2⨯-=-=故答案为：0.【点睛】本题考查的是特殊角的三角函数值，掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．14．（2021·上海九年级一模）计算____．【答案】【分析】先代入特殊角的三角函数值，然后再进行计算即可．【详解】1sin 30cot 602︒⋅︒=故答案为：．【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值、实数乘法运算，熟记特殊角的三角函数值是解题关键．三、解答题 15．（2021·上海九年级一模）计算：22532sin 60tan 301cot 301cos 4︒︒-+-︒-︒【答案】52【分析】根据各个特殊角的三角函数值和实数的运算法则计算即可．【详解】解：22532sin 60tan 301cot 301cos 4︒︒-+-︒-︒=221⎝⎭-+-⎝⎭ ==3312-- =52．【点睛】此题考查的是特殊角的三角函数值的混合运算，掌握各个特殊角的三角函数值是解题关键． 16．（2021·上海九年级一模）计算()01cot 3012sin 60cos 60tan 30︒--︒+︒+︒．【分析】根据特殊三角函数值化简即可求解．【详解】()01cot 3012sin 60cos 60tan 30︒--︒+︒+︒121-+=【点睛】此题主要考查不同特殊角三角函数值的混合运算，解题的关键是熟知特殊三角函数值．。

锐角三角函数

书不记，熟读可记；义不精，细思可精。

1 / 2ABCab锐角三角函数讲义学生：年级：初三学科：数学上课时间：11／25目标：理解锐角三角函数的意义，熟记特殊角的三角函数值，会利用锐角三角函数解直角三角形重点：锐角三角函数解直角三角形考点1 锐角三角函数的概念直角三角形ABC 中，∠C =90°，a 、b 、c 、∠A 、∠B 这五个元素间有哪些等量关系呢？ (1)三边之间关系：a 2 +b 2 =c 2 (勾股定理) (2)锐角之间关系∠A +∠B =90°． (3)边角之间关系例1 如图1，在下列网格中，小正方形的边长均为1，点A 、B 、O 都在格点上，则∠AOB 的正弦值是()(B)(C)考点2 特殊角的三角函数值例2 (1)（2014包头）计算sin 45°＋cos30°tan60°，其结果是( )(A)2(B)1(C)52(D)54(2)（2014凉山州）在△ABC 中，若1cos 2A -＋（1－tanB ）2＝0，则∠C 的度数是( )( A)45° (B)60° (C)75° ( D)105° 考点3 解直角三角形例3如图3，在△ABC 中，∠ABC ＝90°，∠A ＝30°，D 是边AB 上一点，∠BDC ＝45°，AD ＝4，求BC 的长．（结果保留根号）考点4 解非直角三角形例4（2014济宁）如图4，在△ABC 中，∠A ＝30°，∠B ＝45°，AC ＝AB 的长为_______．考点5 应用解直角三角形的知识解决实际问题例5（2014聊城）如图6，美丽的徒骇河宛如一条玉带穿城而过，沿河两岸的滨河大道和风景带成为我市的一道新景观，在数学课外实践活动中，小亮在河西岸滨河大道一段AC 上的A ，B 两点处，利用测角仪分别对东岸的观景台D 进行了测量，分别测得∠DAC ＝60°，LDBC ＝75°，又已知AB ＝100米，求观景台D 到徒骇河西岸AC 的距离约为多少米（精确到1米）．(tan60°≈1.73，tan75°≈3.73)考点 6同角三角函数的基本关系式(1)平方关系：22sin cos 1αα+=(2)商数关系：sin tan cos ααα= (3)倒数关系：tan cot 1⋅=αα，（4）平方关系式的变形：2222sin 1cos cos 1sin αααα=-=-，，212sin cos (sin cos )αααα±⋅=± 例6．已知tan α=2，求sin α，cos α的值例7．已知tan α=3，求下列各式的值。

华师大版九年级数学上册《锐角三角函数》课件

6、“教学的艺术不在于传授本领，而在于激励、唤醒、鼓舞”。2021年11月2021/11/82021/11/82021/11/811/8/2021 ❖7、“教师必须懂得什么该讲，什么该留着不讲，不该讲的东西就好比是学生思维的器，马上使学生在思维中出现问题。”“观察是思考和识记之母。”2021/11/82021/11/8November 8, 2021 ❖8、普通的教师告诉学生做什么，称职的教师向学生解释怎么做，出色的教师示范给学生，最优秀的教师激励学生。 2021/11/82021/11/82021/11/82021/11/8
AC=4X
∴ sinABC3 COSAAC4
AB 5
AB 5
tanABC3 AC 4
C
B
课后作业
1．（概念题）在 Rt△ ABC 中， C 90 ， AC 24cm， BC 7cm，则 sin A （ B ）
Ａ．
24 25
cm
Ｃ．
24 25
Ｂ． 24 cm2
25
Ｄ．
7 25
2．（概念题）在 Rt△ ABC 中， C 90 ， a 4 ， b 5 ，
C
B
2. 同角之间的三角函数的关系
si2A nco 2A s1 .
❖1、“手和脑在一块干是创造教育的开始，手脑双全是创造教育的目的。” ❖2、一切真理要由学生自己获得，或由他们重新发现，至少由他们重建。 ❖3、反思自我时展示了勇气，自我反思是一切思想的源泉。 ❖4、好的教师是让学生发现真理，而不只是传授知识。 ❖5、数学教学要“淡化形式，注重实质.
例1：求出如图所示的Rt△ABC中，
∠A的四个三角函数值
A
解： Rt△ABC中，根据勾股定理得：
A B B C 2 A C 22 8 9 1 7

用锐角三角函数概念解题的常见方法(含答案11页)

用锐角三角函数概念解题的常见方法知识要点1．锐角三角函数（1）锐角三角函数的定义我们规定：sinA=ac，cosA=bc，tanA=ab，cotA=ba．锐角的正弦、余弦、正切、余切统称为锐角的三角函数．（2）用计算器由已知角求三角函数值或由已知三角函数值求角度对于特殊角的三角函数值我们很容易计算，甚至可以背诵下来，但是对于一般的锐角又怎样求它的三角函数值呢？用计算器可以帮我们解决大问题．①已知角求三角函数值；②已知三角函数值求锐角．2αsinαcosαtanαcotα30º123233345º22221 160º3212333直角三角形中，30°的锐角所对的直角边等于斜边的一半． 3．锐角三角函数的性质（1）0<sinα<1，o<cosα<1（0°<α<90°）（2）tan α·cot α=1或tan α=1cot α；（3）tan α=sin cos αα，cot α=cos sin αα．（4）sin α=cos （90°-α），tan α=cot （90°-α）．方法点拨有关锐角三角函数的问题，常用下面几种方法：一、设参数例1. 在ABC ∆中，︒=∠90C ，如果125tan =A ，那么sinB 的值等于（） 512.125.1312.135.D C B A 解析：如图1，要求sinB 的值，就是求AB AC 的值，而已知的125tan =A ，也就是125=AC BC 可设k AC k BC 125==，则k k k AB 13)12()5(22=+=13121312sin ==∴k k B ，选B 二、巧代换例2. 已知3tan =α，求ααααcos sin 5cos 2sin +-的值。

解析：已知是正切值，而所求的是有关正弦、余弦的值，我们可以利用关系式3cos sin tan ==ααα，作代换ααcos 3sin =，代入即可达到约分的目的，也可以把所求的分式的分子、分母都除以αcos 。

专题11 锐角三角函数重难点题型专训(7大题型)(解析版)

专题11锐角的三角函数重难点题型专训（7大题型）【题型目录】题型一正弦、余弦与正切的概念辨析题型二求角的正弦值题型三已知正弦值求边长题型四求角的余弦值题型五已知余弦值求边长题型六求角的正切值题型七已知正切值求边长【知识梳理】知识点1：正切与余切1.正切直角三角形中一个锐角的对边与邻边的比叫做这个锐角的正切（tangent ）．锐角A 的正切记作tan A ．tan A BC a A A AC b锐角的对边锐角的邻边．2.余切直角三角形中一个锐角的邻边与对边的比叫做这个锐角的余切（cotangent ）．锐角A 的余切记作cot A ．cot A AC b A A BC a锐角的邻边锐角的对边．ac A BC b知识点2：正弦与余弦1.正弦直角三角形中一个锐角的对边与斜边的比叫做这个锐角的正弦（sine ）．锐角A 的正弦记作sin A ．sin A BC a A AB c锐角的对边斜边．2.余弦直角三角形中一个锐角的邻边与斜边的比叫做这个锐角的余弦（cosine ）．锐角A 的余弦记作cos A ．cos A AC b A AB c 锐角的邻边斜边．a c A BC b【经典例题一正弦、余弦与正切的概念辨析】1．（2023上·福建泉州·九年级校考期中）若A 是锐角，下列说法正确的是（）A ．tan sin A AB ． 2sin 1sin 1A AC ． cos tan 90A AD ．sin cos 1A A 【答案】A【分析】本题考查三角函数．根据三角函数的定义和性质，逐一进行判断即可．【详解】解：如图，90C ，则：tan ,sin a a A A b c，∵b c ，∴tan sin A A ；故A 正确；∵0sin 1A ，∴ 2sin 11sin A A ；故B 错误；∵ cos ,tan 90tan b b A A B c a，∴ cos tan 90A A ；故C 错误；∵sin ,cos a b A A c c ，35BC AB ，设3BC k ，由勾股定理得：cos AC A AB 故选：C ．【点睛】本题考查了锐角三角函数，勾股定理，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题关键．3．（2021上格点上，则，得出∵CD是斜边AB∴A ACD(1)利用锐角三角函数的定义求证：(2)若tan 2 ，求sin cos sin cos 【答案】(1)见解析(2)3【经典例题二求角的正弦值】A．12【答案】B【分析】本题考查网格中求三角函数值，三角函数定义，勾股定理及其逆定理，连接设小正方形边长为22AB24A ．34【答案】C【分析】本题考查圆周角定理，求角的正弦值．连接OBF ACD ，得到∵F 为弦BC 的中点，∴,OF BC BOF ∴90OBF BOF ∵CD AB ，是解题的关键．由题意知，22AC BC AB ∴222222sin sin BC AC A B AB AB 故答案为：1．4．（2023上·广西贵港·九年级统考期中）如图，在【答案】55/155【分析】本题考查正方形的性质，E 、C 、B 共线，再根据角三角形解决问题．【详解】解：如图，连接设正方形的边长为a ，由题意得∴AEC AEF ∴E 、C 、B 共线，【经典例题三已知正弦值求边长】A．2【答案】C【分析】连接OB、OC求出【点睛】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，特殊角的三角函数，解题关键是利用圆周角定理和等腰三角形的性质求出 3．（2023上·重庆万州·九年级重庆市万州第二高级中学校考期中）则cos A 的值为．【答案】215【分析】本题考查了三角函数：则5AB k ，由勾股定理可求得【详解】解：如图，∵sin 52BC A AB，∴设2BC k ，其中k 由勾股定理得AC AB =54．（2023下·九年级课时练习）在【答案】21或11【详解】如下图，过点AD AB Bsin满足的条件是两边一角，【易错点分析】条件中ABC所以对三角形的形状、大小进行确定性判断是不漏解的重要方法．5．（2023上·上海崇明·九年级校联考期中）如图，在(1)求BC的长．(2)若点D在BC边上，且在Rt ABE △中，∵3sin 5AE B AB，AB ∵:3:2BD CD ，BC ∴6BD ，4CD ，在Rt DHC △中，tan C【经典例题四求角的余弦值】则23BC AC ，23BC AC ，∴22223AB AC AC B C∵ 1,2A，【答案】2 2【分析】连接AF，由矩形的性质可得中点可得DE CE∵四边形ABCD是矩形，2AB CD，AD∵点E是CD的中点，11DE CE CD(1)求AC的长；(2)求cos OCA与tan B 的值．【答案】(1)AC的长为12(2)12cos13OCA，tan B【分析】本题考查了直角三角形中，斜边的上的中线等于斜边的一半，勾股定理，求角的余弦和正切等知识点．熟记相关几何结论是解题关键．（1）由“斜边的上的中线等于斜边的一半（2）由“斜边的上的中线等于斜边的一半定义即可求解．【详解】（1）解：ACB∵213AB CO.5BC∵，【经典例题五已知余弦值求边长】A．212B．9【答案】C【分析】根据题意得出CD边上一点，A ．94B ．125【答案】A【分析】根据4AC ，4cos 5A，可求出【详解】∵Rt ABC △，4AC ，cos A【点睛】本题考查了锐角三角函数，勾股定理，圆周的侧面积，熟练掌握圆锥的侧面积公式是解题关键．4．（2022秋·九年级单元测试）如图所示，在四边形2BE ，则sin DBE【答案】255/255【分析】先根据余弦的定义可得AD AB AE BE可求出x的值，从而可得(1)求证；BEA ADC∽(2)求证：··CD AD AC BE(3)若2AD 5，cos ABE 【答案】(1)见解析【经典例题六求角的正切值】A ．27【答案】C【分析】证明ABE △A．13B【答案】A【分析】根据题意，先证明CDE ADE ADC，【答案】12/0.5【分析】根据折叠的性质可得Rt AED△，再利用正切函数的定义求解．【答案】1174【分析】由题意可知，90CAH ACB，可得，∵EF BC，∴AH EF∴CAH CEF ，∴BCD CEF ，ABCD (1)求证：CDE CBF △△≌；(2)求CF 的长；(3)求tan BCF 的值．【答案】(1)见解析(2)35CF∵CDE CBF △△≌，∴45FBR EDC ，∴BRF △是等腰直角三角形，RF RB ，【经典例题七已知正切值求边长】在边AD A ．53B ．2【答案】A【分析】连接AP ，根据折叠的性质和平行线的性质，求得DF 的长度，根据勾股定理即可求得答案．【详解】如图所示，连接AP 根据折叠的性质可知AE EF ∴1tan 3EF FBE BF ．∵FP AD ∥，∴AEB EPF ．∴FEB EPF ．∴PF EF ．∴AE EF AP PF ．∵180DEF DFE D ∴DEF BFC ．又D C ，∴DEF CFB △∽△．∴13EF DF BF BC ．A．4033B．3340【答案】A【分析】作BH AD于H，延长∵4tan 3BH BAD AH ，∴令4BH x ，3AH x ，∴255AB BH DH x ，【答案】313【分析】点G 为求出AD ，利用正切的定义求出∵点G 为ABC ∴BD 是中线，∴132AD AC ∵1tan ABG90PQO ，∵4tan 3O ，43PQ OQ ，设4PQ x ，则3OQ x ，同理可求3OQ ，1MQ ，4OM OQ MQ ；综上所述：2OM 或4．故答案：2或4．(1)求证：四边形BCEF (2)BG CE 于点G ，连结①求CG 的长．②求平行四边形BCEF 【答案】(1)见解析BG的结论，勾股定理求得∵是CE的中点，GEC EG CG，22∵四边形BCEF是平行四边形，，EF BCFB EC设EG CG x，则FB【重难点训练】九年级校考阶段练习）如图，融创乐园彩虹滑梯的高度为A ．cos h【答案】D∵90,BCA CD 是∴5CD AD BD ∴10,AB ACD ∵6BC ，A ．BDBC B ．BCAB 【答案】C【分析】此题主要考查了锐角三角函数的定义，得出【详解】解：∵AC BC CD AB ，∵四边形ABCD 是菱形，∴AC BD AB BC ，∴22OB AB AO∵3PC AP ，∴118422AP AC ，∴448OP AO AP ，∴3tan 8OB BPC OP，【答案】55/155【分析】题目主要考查勾股定理解三角形及其逆定理，余弦函数的定义，先根据勾股定理的逆定理判断出ABC 的形状，再由锐角三角函数的定义即可得出结论．【详解】解：∵由图可知，【答案】2【分析】本题考查了三角形内角和定理，作垂线，正弦．熟练掌握作垂线，由作图可知，CF是BD的垂直平分线，根据【答案】5 8【分析】此题主要考查了正方形性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，求出BM是解本题的关键．根据正方形性质，证明（1）tan FEC（2）若15AB ，则CF【答案】377/37【答案】②③【分析】本题考查了三角形综合．交BD于点H，由2sin3D 即可求出由勾股定理即可求解，④过点在PDC中，利用三角形的三边关系即可求出∵2sin 3D ，2AD ，∴24sin 233AH AD D∴1144223ABD S BD AH △③∵2AD ，4BD ，1AD ∵90ABC ，1tan 2BAC ∴1tan tan 2DAP BAC，∴12DP AD ，【答案】菱形的边长为26cm 【分析】本题考查菱形的性质、，得出(1)以O 点为旋转中心，将ABC 逆时针方向旋转(2)画出A 关于直线1BB 的对称点D ；(3)在1AC 上画点P ，使1tan 3ACP【答案】(1)画图见解析，131C , (2)画图见解析(3)画图见解析，延长∴ 131C , ；（2）如图，D 即为所求，（3）如图，P 即为所求；【点睛】本题考查的是复杂作图，旋转的性质，轴对称的性质，全等三角形的判定与性质，平行线分线段成比例的应用，锐角三角函数的应用，掌握扎实的基础知识并应用于作图是解本题的关键．15．（2023上·安徽六安·九年级统考阶段练习）如图，于E ，点M 在AC 上，且AM AD ，连接(1)求证：2CF GE AE (2)求FM MG的值；(3)求tan CMF 的值．【答案】(1)证明见解析(2)222FM MG，再由等腰三角形的性质得。

11锐角三角函数1

在边相的似A夹BC角和对应A相B等C的中两个三A角形
AB AC
B
AB AC
A A
C A'
∴△ABC∽ △A\B\C\ B'
C'
(２)相似三角形对应边成比例，
对应角相等．
A
∵△ABC∽ △A\B\C\
A A B B B
C
C C
A'
AB AC BC
AB AC BC B'
C'
经常会听人们说“陡”这个字，比如这里摆放的两个梯子，你能辨别出那一个比较陡吗？
坡度越大，坡面越陡。
B B
60米
A
100米
C
A
C
D
tan A=
= 60
100
0.6
坡面与水平面夹角称为坡角。
坡面的铅直高度与水平宽度的比称为坡度i(坡比).
即坡度等于坡角的正切.
巩固练习：
1.如图,小明从黄山百步云梯脚下的点A约走了1000m后，到达山顶的点B.已知山顶B到山脚下的垂直距离约是 600m,求山坡的坡度.
自学指导:看课本第2页“想一想”，思考课本上的三个问题，说明理由，总结你发现的结论。
(1).Rt△AB1C1和Rt△AB2C2有什么关系?
B1
(2). B1C1 和 B2C2 有什么关系 ?
AC1 AC2
(3)如果改变B2在梯子上的位置(如B3C3 )呢?
由此你得出什么结论?
B2
B3
A
C3 C2
C1
当倾斜角确定时，其对边与邻边之比随之确定，
这个比只与倾斜角有关，与直角三角形的大小无关。
正切的定义：
在Rt△ABC中，锐角A的对边与邻边之比叫做∠A的正切(tangent)，记作tanA.

【人教版】九年级下册数学《锐角三角函数》全章知识点复习及同步习题

c ，则有： s in A = a = cos B ， cos A = = sin B ， tan A = ，这就是锐角三角函数所以 cos B = sin(90 - B) = sin A = ．在 Rt△BCD 中， cos B = ，所以 = ．， cos A = ， =（sin 2A 、cos 2A 分别表示 sin A 、cos A 2 2锐角三角函数我们知道，在 Rt△ABC 中，∠C ＝90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为 a 、b 、b ac c b的定义．根据锐角三角函数的定义，再结合直角三角形的性质，我们可以探索出锐角三角函数之间的三个特殊关系．一、余角关系由上面的定义我们已得到 sin A =cos B ，cos A =sin B ，而在直角三角形中，∠A＋∠B ＝90°，即∠B ＝90°－∠A ．因此有：sin A =cos （90°-A ），cos A =sin （90°-A ）．应用这些关系式，可以很轻松地进行三角函数之间的转换．例１如图，在 Rt△ABC 中，∠C ＝90°，CD ⊥AB 于 D ，已知 sin A =＝2，求 BC 的长．解：由于∠A ＋∠B ＝90°，12BD 2 1BC BC 2所以 BC ＝4．二、平方关系a b 由定义知 sin A = c c1 2 ，BD所以 sin 2 A + cos 2 A = a 2 b 2 a 2 + b 2+ c c c 2的平方）．又由勾股定理，知 a 2+b 2=c 2，所以 sin 2A +cos 2A = c 2 c 2=1．应用此关系式我们可以进行有关锐角三角函数平方的计算．例 2 计算：sin256°+sin245°+sin234°．=⎪⎪ + 1 = 由定义中 sin A = a， cos A = ，得 = c = ⨯ = = tan A ．所以原式 = = =- ．5 12 5 12所以 sin B = = ．应选(B)．5解：由余角关系知 sin56°=cos（90°-56°）=cos34°．所以原式＝sin245°+（sin234°+cos234°）⎛ 2 ⎫2 ⎝ 2 ⎭3 2 ．三、相除关系b c casin A a c a cos A b c b bc利用这个关系式可以使一些化简求值运算过程变得简单．例 3 已知 α 为锐角，tan α =2，求 3sin α + cos α 4cos α - 5sin α的值．解：因为 tan α = sin α cos α= 2 ，所以 sin α =2cos α ，6cos α + cos α 6 + 1 74cos α - 10cos α 4 - 10 6求三角函数值的方法较多，且方法灵活．是中考中常见的题型．我们可以根据已知条件结合图形选用灵活的求解方法．四、设参数法例 4 如图 △1，在 ABC 中，∠C =90°，如果 t a n A =(A)(B) (C) (D)13 13 12 55 12 ，那么 sin B 等于（）分析：本题主要考查锐角三角函数的定义及直角三角形的有关性质．因为 tan A = a 5 =b 12，所以可设 a =5k ，b =12k (k >0)，根据勾股定理得 c =13k ，图 1b 12c 13五、等线段代换法例 5如图 2，小明将一张矩形的纸片 ABC D 沿 C E 折叠，B 点恰好落在 A D 边上，设此点为 F ，若 BA ：BC =4：，则 c os∠DCF 的值是______．分析：根据折叠的性质可知 E △B C ≌ EF C ，所以 C F=CB ，又 C D=AB ，AB ：BC =4：5，所以 C D ：C F=4：5，图 2=．113911，即=，所以C E=，在Rt△A E C中，tan∠CA E==3=．所以tanα=．C3445所以DB==，所以tanα=，选(A)．在Rt D△C F中，c os∠D C F=DC4 CF5六、等角代换法例6如图3，C D是平面镜，光线从A点出发经C D上点E反射后照射到B点，若入射角为α（入射角等于反射角），AC⊥C D，B D⊥C D，垂足分别为C、D，且AC＝3，B D＝6，C D＝11，则tanα的值为（）B（A）（B）（C）（D）311119A分析：根据已知条件可得∠α=∠CA E，所以只需求出tan∠CA E．α根据条件可知△A C E∽B DE，所以AC CE3CE=BD ED611-CEC E图3D11311CE11AC39119七、等比代换法例7如图4，在Rt△ABC中，ACB=90，D⊥AB于点D，BC=3，AC=4，设BC D=α，tanα的值为（）(A)(B)(C)(D)435分析：由三角形函数的定义知tanα=DB DC，由Rt△C D△B∽Rt ACB，BC33DC AC44图4（：锐角三角函数测试1．比较大小：sin41°________sin42°． 2．比较大小：cot30°_________cot22°． 3．比较大小：sin25°___________cos25°． 4．比较大小：tan52°___________cot52°． 5．比较大小：tan48°____________cot41°． 6．比较大小：sin36°____________cos55°．7、下列命题①sin α 表示角α 与符号 sin 的乘积；② 在△ABC 中，若∠C=90°，则 c=α sinA 成立；③任何锐角的正弦和余弦值都是介于 0 和 1 之间实数.其正确的为（）A 、②③B.①②③C.②D. ③8、若 △R t ABC 的各边都扩大 4 倍得到 △R t A ′B ′C ′,那么锐角 A 和锐角 A ′正切值的关系为()A.tanA ′=4tanA B.4tanA ′=tanAC.tanA ′=tanAD.不确定.9（新疆中考题） 1）如图（1）、 2），锐角的正弦值和余弦值都随着锐角的确定而确定，变化而变化．试探索随着锐角度数的增大．它的正弦值和余弦值变化的规律．（2）根据你探索到的规律，试比较 18°，34°，50°，62°，88°，这些锐角的正弦值的大小和余弦值的大小。

九年级数学上册《26.1 锐角三角函数》教学课件

∵∠A=45°,
∴a=b。
∴tan A=tan 45°=
a 1 。
b
这样(zhèyàng),就得到tan 30°=3
,
3
tan 45°=1,tan 60°= 3 。
2021/12/11
第十页，共十七页。
[知识(zhī shi)拓展] 1.正切是一个比值(bǐzhí),没有单位。 2.正切值只与角的大小有关,与三角形的大小无关。
3.tan A是一个整体符号,不能写成tan ·A。 4.当用三个字母表示角时,角的符号“∠”不能省略,如tan∠ABC。
5.tan2A表示(biǎoshì)(tan A)2,而不能写成tan A2
2021/12/11
第十一页，共十七页。
检测反馈
1.如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,三边分别(fēnbié)为a,b,c,则tan A等于 ( B)
(事实上,求轮船距灯塔的距离(jùlí),就是在Rt△ABC中,已知 ∠C=90°,∠BAC=55°,AC=5 km,求BC长度的问题)
2021/12/11
第二页，共十七页。
学习新知
=
.
直角三角形中锐角的对边与邻边的比是定值
1.如图，在Rt△ ABC中和Rt△ ABC 中，
C = C =90°.
当 A=
解:(1)在Rt△ABC中,
∵∠A=30°,
∴∠B=60°,且
a
1 2
c。
∴ b c2 =a2
c=2
2c。 2
3 2c
∴tan A=tan 30°= ,
tan B=tan 60°=
2021/12/11
b a1 2c
3 2 c
3 3

锐角三角函数锐角三角函数

03
证明方法
利用正弦定理和余弦定理，将边的关系转化为角的关系，再利用三角函数的性质推导得出。
05
锐角三角函数的作图及演示
利用计算器或计算机软件绘制锐角三角函数图像
总结词
通过使用计算器或计算机软件，我们可以轻松地绘制出锐角三角函数的图像。
详细描述
首先，我们需要输入锐角的角度值，然后在计算器或计算机软件中选择对应的三角函数（正弦、余弦或正切）。这样，我们就可以得到一个关于角度的函数值。将这些值在坐标系中表示，就可以形成锐角三角函数的图像。
证明方法
通过正弦定理将角的关系转化为边的关系，再利用勾股定理推导得出。
正切定理的公式及证明
01
02
总结词
详细描述
正切定理是指在一个三角形中，任意两边长度的比值等于这两边所夹角的正切值与第三边所对应角的正切值的比值。
正切定理的公式为 tan(A)/tan(B) = c/b。其中，A、B、C 分别代表与三边相对应的角度，a、b、c 分别代表三角形的三边长。
求边长
已知直角三角形的一个锐角和对应的边长，可以应用锐角三角函数来求解另一条边长。例如，在直角三角形ABC中，已知角A为30度，对应边a为10单位长度，那么对应边b的长度可以通过应用三角函数求解。
在实际问题中求解角度或边长
地球定位
在地球上定位一个点，需要知道该点与北极的夹角和该点到北极的距离。这些信息可以通过应用锐角三角函数来求解。
余弦定理
对于任意三角形ABC，有cosA = (b² + c² - a²) / (2bc)，其中a、b、c分别是三角形的三边长度。这表明一个角的余弦值等于由该角两边长度和它们夹角所确定的三角形的另一边的平方与两邻边平方和的差与两邻边的积之比。

初中数学九年级第4章锐角三角函数知识点清单最新最全

第4章锐角三角函数4.1 正弦和余弦知识点1 正弦1.正弦的定义2.特殊角的正弦值3.利用计算器求锐角的正弦值或由正弦值求锐角。

特别提醒1. sinα是完整的数学符号,是一个整体,不能理解成sin·a2.正弦符号后面可以跟单个小写希腊字母或单个英文字母或三个大写英文字母或数字表示的角,也可以跟度数,如sinα,sin A, sin∠ ABC,sin∠2, sin 70°.知识点2 余弦1.余弦的定义2.特殊角的余弦值3.利用计算器求锐角的余弦值或由余弦值求锐角。

知识点3 互余两角正弦值和余弦值的关系1.同一锐角的正弦值和余弦值之间的关系：sin²A+cos²A=1(平方关系)2.互余两角的正弦值和余弦值之间的关系：3.sin A=cos(90°-∠A) cos A=sin(90°-∠A)锐角三角函数之间的关系都可用定义推理得出.4.2 正切知识点1 正切1.正切的定义2.特殊角的正切值3.利用计算器求锐角的正切值或由正切值求锐角。

4.拓展：(1)互余两角的正切值之间的关系：tan α·tan(90°-α)=1.(2)锐角α的正弦值、余弦值、正切值之间的商数关系：tan α= sinαcosα特别提醒：1.tan a是完整的数学符号,是一个整体,不能理解成tan・α.2.tan α中的α角的符号"∠"习惯上省略不写,但对于用三个大写英文字母或数字表示的角,角的符号不能省略。

3. tanα的值只与角α的大小有关,与所在直角三角形的边的长短无关.4.正切符号后面可以跟单个小写希腊字母或单个大写英文字母或三个大写英文字母或数字表示的角,也可以跟度数.知识点2 锐角三角函数1.定义：从正弦、余弦、正切的定义看到，任意给定一个锐角a都有唯一确定的比值sin α(或cos α,tan α)与它对应.当角α变化时，它的比值sin α(或cos α,tan α)也随之变化.因此我们把锐角α的正弦、余弦和正切统称为角α的锐角三角函数2.特殊角的三角函数值：特别提醒并非只有在直角三角形中才有三角函数值,而是只要有角就有三角函数值.锐角三角函数的定义说明了直角三角形中的边角之间的关系,它是一个比值,无单位,这些比值只与锐角的大小有关.在锐角三角函数中,自变量是角a.4.3 解直角三角形知识点1 解直角三角形的定义一般地，在直角三角形中，除直角外,共有五个元素，即三条边和两个锐角，在直角三角形中利用已知元素求其余未知元素的过程叫作解直角三角形.(1)在直角三角形中、除直角外的五个元素中，已知其中的两个元素(至少有一个是边),可求出其余的三个未知元素(知二求三)(2)一个直角三角形可解，则其面积可求.但在一个解直角形的题中，如无特别说明，则不包括求面积.知识点2 直角三角形中的边角关系1.直角三角形中的边角关系：在直角三角形ABC中，∠C为直角，∠A,∠B,∠C所对的边分别为a,b,c,那么除∠C外的5个元素之间有如下关系：1)三边之间的关系：a²+b²=c²(勾股定理)(2)两锐角之间的关系：∠A+∠B=90(3)边角之间的关系：sinA=∠A的对边斜边= ac,sinB=∠B的对边斜边= bc,cosA =∠A的邻边斜边= bc, cosB =∠B的邻边斜边= ac,tanA=∠A的对边∠A的邻边= ac, tanB =∠B的对边∠B的邻边= ac,3.运用关系式解直角三角形时，常常要用到以下变形：（1）锐角之间的关系：∠A=90°-∠B，∠B=90°-∠A；（2）三边之间的关系：a=√c2−b2, b=√c2−a2,c=√a2+b2;（3）边角之间的关系：a=c·sinA ,a=c·cosB ,a=b·tanA ,b=c·sinB ,b=c·cosA ,b=a·tanB,4.4 解直角三角形的应用知识点1 解直角三角形在实际中的应用1.利用解直角三角形解决实际问题的一般步骤：(1)画出平面图形，将实际问题抽象为数学问题，转化为解直角三角形的问题；(2)根据已知条件的特点，灵活选用锐角三角函数等知识解直角三角形；(3)得到数学问题的答案；(4)得到实际问题的答案.2.解决实际问题时，常见的基本图形及相应的关系式如下表所示.特别提醒1.当实际问题中涉及的图形可以直接转化为直角三角形时,可利用解直角三角形的知识直接求解.2.在解直角三角形时,若相关的角不是直角三角形的内角,应利用平行线的性质或互余互补的角的性质将其转化为直角三角形的内角,再利用解直角三角形的知识求解.3.问题中有两个或两个以上的直角三角形,当其中一个直角三角形不能求解时,可考虑分别由两个直角三角形找出含有相同未知元素的关系式,运用方程求解。