【高中数学】极限与连续的习题

n2
n2
n2
P8 8 证明：有一个收敛子列的单调数列是收敛数列。
假设{xn} ，有一个子列{xnk } ，且xnk a，
0,K 0,当k K ,有a xnk a; 取N nK 1,当n N nK 1,有a xnK1 xn a;
设计、制作：韩淑霞
2.5 习题课 （第二章极限与连续）
f (0 0) , f (1 ) 0, f (1 ) 1, x 0是无穷间断点； x 1是跳跃间断点。
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P8 10
已知xn
a
yn，且lnim ( yn
xn )
0，证明lim n
xn
lim
n
yn
a
提示：由lim( n
yn
xn
)
0知：
0,N,n N, yn xn ,即xn yn xn
a yn xn a ,
lim
n
yn
a
a 2 yn xn a,
lim
n
xn
a
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2.5 习题课 （第二章极限与连续）
P8 7（2）
3,3
1 ,3 3
3
1
1
,3
3
1
1
,
3
31
xn
3, xn1
3
1 xn
xn1
xn
1 xn
1 xn1
(1)(xn xn1) x xn n1
(1)n(x2 x1)
x x x x x 2 2
2
n n1 n2
21
x2n1 , x2n , x2n 3, x2n1 x2
2.5 习题课 （第二章极限与连续）
1. 求 f (x) (1 x) sin x 的间断点, 并判别其类型. x (x 1)(x 1)
解: lim (1 x) sin x 1 sin1 x 1 x (x 1)(x 1) 2
x = –1 为第一类可去间断点
lim f (x)
x1
x = 1 为第二类无穷间断点
x
2e
4
x
e
3 x
x
lim
0
e
4 x
1
sin x
x
1
lim
x0
2 1
1
ex
4
ex
sin x x
lim
x0
2 1
1
ex
4
ex
sin x
x
1
原式 = 1
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2.5 习题课 （第二章极限与连续）
练习.wenku.baidu.com
求
lim
(1
2x
3x
)
1 x
.
x
解: 令
f
(x)
(1
2x
3x
1
)x
3
x , y 有 f (x y) f (x) f ( y) , 若 f (x) 在 x 0 连续,
证明 f (x) 对一切 x 都连续 . 提示:
lim f (x x) lim [ f (x) f (x)]
x0
x0
f (x) f (0)
f (x 0) f (x)
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lim ex b x0 (x a)(x 1)
lim
x0
(
x
a)(x ex b
1)
a 1b
0
a 0,b1
x
1
为可去间断点
,
lim
x1
ex b x (x 1)
极限存在
lim(ex b) 0
x1
b lim ex e
x1
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2.5 习题课 （第二章极限与连续）
P18 6. 设 f (x) 定义在区间( , ) 上 , 且对任意实数
(13) x
( 32 ) x
1
1 x
则
3
f
(x)
1
33x
利用夹逼准则可知 lim f (x) 3 .
x
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2.5 习题课 （第二章极限与连续）
三. 无穷小量与无穷大量
1求无穷小的主部 3 cosx 1, x 0
3
cosx 1 3 1 (cosx 1) 1~ 1 (cosx 1) 3
P5 1（13）若x满足： 0, x a ,则x a;反之亦然。
P5
2（3）若
k , k
N,N,对于n
N,有
xn
A
1。 k
P6 2（5） N, 0,对于n N,有 xn A 。
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2.5 习题课 （第二章极限与连续）
P7 6（3） limn1/n2 1 n
1 n1/n2 n 111 n n2 1 1 n 1
2.5 习题课 （第二章极限与连续）
P12 9（1） 讨论x=0时的函数极限
f
(x)
1
x
1
1 2x
f (0 ) 0, f (0) 1,
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2.5 习题课 （第二章极限与连续）
P12 9（2） 求
lim
x0
2 1
1
ex
4
ex
sin x
x
.
lim
x0
2 1
1
ex
4
ex
sin x
2.5 习题课 （第二章极限与连续）
第二章 习题课
一.数列极限 二. 函数极限，两个重要极限 三. 无穷小量与无穷大量 四. 函数的连续性
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2.5 习题课 （第二章极限与连续） 一.数列极限
P5 1（11）单调数列有一个收敛子列的必收敛。 P5 1（12）夹在两个收敛数列之间的数列收敛。
lnim xn
l
3 2
13
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2.5 习题课 （第二章极限与连续） 二. 函数极限，两个重要极限
P9 1（3） 开区间上每一点函数的极限存在，则该函数是该区间上的有界函数。
P9 1（4）
若f (x)是(a,b)上的无界函数，则存在(a,b)内的{xn}使得f (xn)无界。
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提示: f (0 ) lim a (1 cos x) a
x0
x2
2
f (0 ) lim ln (b x2 ) ln b x0 a 1 ln b 2
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1 cos x ~ 1 x2 2
四. 函数的连续性 2.5 习题课 （第二章极限与连续）
P19 题10. 证明: 若 f (x) 在[a , )内连续, lim f (x) A x
取
M max A 1 , A 1 , M1 则 f (x) M , x [a ,
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2.5 习题课 （第二章极限与连续）
练习4.
设函数f (x)
(x
ex b a)(x
1)
有无穷间断点 x 0
及可去间断点 x 1, 试确定常数 a 及 b .
解: x 0 为无穷间断点, 所以
~ 1 x2 6
2当x 1时，2(x 1)是ln x2的无穷小主部， 而x2 1不是ln x2的无穷小主部。
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2.5 习题课 （第二章极限与连续）
练习3. 设函数f (x)
a (1cos x2
x)
,
1,
ln( b x2 ) ,
x0 x0 x0
在 x = 0 连续 , 则 a = 2 , b = e .
lim f (x) 1, lim f (x) 1,
x 0
x 0
x = 0 为第一类跳跃间断点
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2.5 习题课 （第二章极限与连续）
P17 3 （7）（8）
f (x) e1/ x 1 e1/ x 1
f (0 ) 1, f (0 ) 1, x 0是跳跃间断点。
f (x) 1 e 1 x /( x1)
存在, 则 f (x)必在 [a , ) 内有界.
证:
令 lim f (x) A, 则给定 1, X x
y
0
M, 当1f (
x
x)
X
时, 有 A 1 f (x) A 1
A
又 f (x) C [a , X ] , 根据有界性定理X, Mo 1 0X, 使 x
f (x) M1 , x [a , X ]