计算方法复习习题

第1章 误差

三、重、难点分析

例1. 近似值0.45的误差限为（ ）。

A ． 0.5 B. 0.05

C ． 0.005 D. 0.0005.

解 因 210450.00.45⨯=，它为具有3位有效数字的近似数，

其误差限为 123102

1

101021--⨯=⨯⨯=

ε。 或3,2==p m ，其误差限为 132102

1

1021--⨯=⨯=ε 所以 答案为B.

例2.. 已知 4142135.12==*x ，求414.1=x 的误差限和相对误差限。

解：（绝对）误差限：0005.00003.00002135.0241.1<<=-=∆ x

所以（绝对）误差限为0003.0=ε，也可以取0005.0=ε。 一般地，我们取误差限为某位数的半个单位，即取 0005.0=ε。 相对误差限：

r

x x x x εδ=<=-=-=*0002.000015.0414

.14142135.1414.1)(

所以，相对误差限0002.0=r ε

例3 .已知 ,1415926.3*

==πx 求近似值142.3=x 的误差限，准确数字

或有效数字。

解 由,00041.01415926.3142.3<-= x ∆ 误差限为3102

1

-⨯=

ε 因为4,3,1=--==p m p m ，所以由定义知x 是具有4位有效数字的近似值，准确到310-位的近似数。

注意：当只给出近似数x 时，则x 必为四舍五入得到的有效数，则可直接求出误差限和有效数字。

例 4. 已知近似数,635.0,2864.1==b a 求b a b -,2的误差限和准确数位。

解 因41021-⨯=

）（a ε，3102

1

-⨯=）（b ε ()()23102

1

1021635.022--⨯<⨯⨯⨯<≤+=b b b b b b bb ∆∆∆∆

所以 ()

,102

1

22-⨯=

b ε 2b 准确到 210-位。 ,102

1

10211021)()()(234---⨯<⨯+⨯=

+≤∆-∆=-∆b a b a b a εε b a -准确到210-位。

注意：函数运算的误差概念，特别是其中的符号。

第2章 线性方程组直接解法

三、重、难点分析

例1 用列主元消元法的方程组

⎪⎩⎪

⎨⎧=++=++=++5

3368435532321

321321x x x x x x x x x

注意：每次消元时主元的选取是各列中系数最大的。 解 第1列主元为3，交换第1、2方程位置后消元得，

⎪⎪⎪

⎩

⎪

⎪⎪⎨

⎧

=+=-=++331351313168433232321x x x x x x x 第2列主35

，元为交换第2、3方程位置后消元得

⎪⎪⎪

⎩

⎪

⎪⎪⎨

⎧

=-=+=++5252331356843332321x x x x x x 回代解得 2,2,1123==-=x x x

第3、4章 插值与拟合

三、重、难点分析

例1 已知,3)9(,2)4(==f f 用线性插值计算)5(f ，并估计误差。 解 取插值节点x 0= 4,x 1= 9，两个插值基函数分别为

)9(51)(1010--=--=

x x x x x x l )4(5

1

)(0101-=--=x x x x x x l

故有 5

65)4(53)9(52

)()()(11001+=-+--=+=x x x y x l y x l x L 2.25

6

55)5()5(1=+=≈L f 误差为 )(2)95)(45(!

2)

()5(2ξξf f R ''-=--''=

例3已知的函数表

求在[0，2]

解 因为y i 关于x 严格单调减少，用反插值法求f(x) 零点的近似值比较简单， 具体作法如下：

先作反函数表

将节点x 0=8,x 1=-7.5，x 2=-18及对应函数值y 0=0,y 1=1,y 2=2代入二次拉格朗日插值多项式（2.2），再令x=0,得

445

.02

)

5

.718)(818()

35.70)(80(1)185.7)(85.7()180)(80(0)188)(5.78()180)(5.70()0(2≈⨯+----+-+⨯+---+-+⨯++++=

L 于是得f(x)在[0，2]内零点445.0)0()0(21

*

≈≈=-L f

x

值得注意的是，只有所给函数（或函数表）在[a,b]上严格单调情况下，才能使用反插值方法，否则可能得出错误结果。

例4 已知数表：

解 设最小一次式为x a a x g 101)(+=，由系数公式得： 310=+=n s ∑===2

016i i

x

s 142

23==∑=i i x s

∑===

2

021i i

y

f 2.4820

1==∑=i i i x y f

于是有法方程组 ⎩⎨⎧=+=+2.4814621

6310

10a a a a

解法方程组得 1.3*

1=a 8.0*0=a

所以最小二乘一次式 x x g 1.38.0)(1+=

例5 求下列矛盾方程组的最小二乘解。

⎪⎩⎪

⎨⎧=-=+=+2724212121x x x x x x

解 令 ⎪⎩⎪

⎨⎧--=-+=-+=2

724213

212211x x u x x u x x u

23222121u u u x x ++=）（ϕ

2

21221221)2()72()4(--+-++-+=x x x x x x

由 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+=∂∂=-+=∂∂0)1662(20)1323(2212

211

x x x x x x ϕϕ

得法方程组 ⎩⎨

⎧=+=+166213

2321

21x x x x

解得

7

23

1=

x

7

112=

x