组合数学与图论试卷A.

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图论期末考试试题和答案

图论期末考试试题和答案****一、单项选择题（每题2分，共20分）1. 图论中，图的基本元素不包括以下哪一项？A. 顶点B. 边C. 权重D. 节点答案：D2. 在图论中，一个图的路径是指什么？A. 一系列顶点B. 一系列边C. 一系列顶点和边的序列D. 一系列权重答案：C3. 有向图和无向图的主要区别是什么？A. 边的方向B. 顶点的数量C. 边的数量D. 图的颜色答案：A4. 在图论中，一个完全图是指什么？A. 所有顶点都相连的图B. 所有边都相连的图C. 所有顶点和边都相连的图D. 所有权重都相同的图答案：A5. 图论中的欧拉路径是指什么？A. 经过每条边恰好一次的路径B. 经过每个顶点恰好一次的路径C. 经过每条边恰好一次的回路D. 经过每个顶点恰好一次的回路答案：C6. 图论中的哈密顿路径是指什么？A. 经过每条边恰好一次的路径B. 经过每个顶点恰好一次的路径C. 经过每条边恰好一次的回路D. 经过每个顶点恰好一次的回路答案：B7. 在图论中，二分图是指什么？A. 图的顶点可以被分成两个不相交的集合B. 图的边可以被分成两个不相交的集合C. 图的顶点和边可以被分成两个不相交的集合D. 图的权重可以被分成两个不相交的集合答案：A8. 图论中的最短路径问题是指什么？A. 寻找从一个顶点到另一个顶点的最短路径B. 寻找从一个顶点到所有其他顶点的最短路径C. 寻找所有顶点之间的最短路径D. 寻找所有边之间的最短路径答案：A9. 图论中的最小生成树问题是指什么？A. 寻找一个图中所有顶点的最小生成树B. 寻找一个图中所有边的最小生成树C. 寻找一个连通图中所有顶点的最小生成树D. 寻找一个连通图中所有边的最小生成树答案：C10. 图论中的网络流问题是指什么？A. 在图中寻找最大流量B. 在图中寻找最小流量C. 在图中寻找最大流和最小割D. 在图中寻找最小流和最大割答案：C二、填空题（每题2分，共20分）1. 在图论中，如果一个图的任意两个顶点都由一条边连接，则称这个图为______图。

图论与组合数学期末复习试题含答案

图论与组合数学期末复习试题含答案组合数学部分第1章排列与组合例1：1)、求⼩于10000的含1的正整数的个数；2、)求⼩于10000的含0的正整数的个数；解：1)、⼩于10000的不含1的正整数可看做4位数,但0000除外.故有9×9×9×9－1＝6560个.含1的有：9999－6560=3439个2)、“含0”和“含1”不可直接套⽤。

0019含1但不含0。

在组合的习题中有许多类似的隐含的规定，要特别留神。

不含0的1位数有19个，2位数有29个，3位数有39个，4位数有49个不含0⼩于10000的正整数有()()73801919999954321=--=+++个含0⼩于10000的正整数9999－7380=2619个。

例2：从[1,300]中取3个不同的数，使这3个数的和能被3整除，有多少种⽅案？解：将[1,300]分成3类：A={i|i ≡1(mod 3)}={1,4,7,…,298},B={i|i ≡2(mod 3)}={2,5,8,…,299},C={i|i ≡0(mod 3)}={3,6,9,…,300}.要满⾜条件，有四种解法：1)、3个数同属于A;2)、3个数同属于B ；3)、3个数同属于C;4)、A,B,C 各取⼀数；故共有3C(100,3)+1003=485100+1000000=1485100。

例3：（Cayley 定理：过n 个有标志顶点的数的数⽬等于2-n n ）1）、写出右图所对应的序列；2）、写出序列22314所对应的序列；解：1）、按照叶⼦节点从⼩到⼤的顺序依次去掉节点（包含与此叶⼦节点相连接的线），⽽与这个去掉的叶⼦节点相邻的另外⼀个内点值则记⼊序列。

如上图所⽰，先去掉最⼩的叶⼦节点②，与其相邻的内点为⑤，然后去掉叶⼦节点③，与其相邻的内点为①，直到只剩下两个节点相邻为⽌，则最终序列为51155.。

2）、⾸先依据给定序列写出（序列长度+2）个递增序列，即1234567，再将给出序列按从⼩到⼤顺序依次排列并插⼊递增序列得到：112223344567。

组合数学及其图论试题库

组合数学及其图论1、一个图G 是指一个有序三元组（V （G ），E （G ），G ϕ），其中G ϕ是：________________.关联函数2、是有40个点的简单图且中任两个点之间有且只有1条路，则。

393、只有一个顶点所构成的图称为：________________平凡图4、如果H 是G 的子图，其中V （H ）=V （G ）和E （G ）=E （H ）至少有一个不成立，就称H 是G 的：_____________.真子图5、设G 是p 阶简单图，则__________________等号成立当且仅当G 是完全图。

q(G)≤p(p-1)/26、如果一条途径的_________与___________相同，就称这条途径为闭途径。

起点终点7、如果对图G=（V ，E ）的任何两个顶点u 与v ，G 中存在一条（u-v ）路，则称G 是___________否则称为是______________连通图、非连通图8、设G 是P 阶连通图，则__________________.q(G)≥p-1 9、若二分图有Hamilton 回路，则与满足。

10、若G 是2-边连通图，则G 有强连通的________________. 定向图11、边数最少的连通图是。

树12、没有回路的连通图称为_______________.树13、的图是图或图。

平凡图，不连通图14、树T的每一个非悬挂点都是T的 __________.割点15、二分图中若与满足，则必有完美对集。

16、给定一个图G，如果图G的一个生成子图T是一棵树，则称T是G的一个_______________.生成树17、设G是无环图，e是G的一条边，则τ(G)=___________________________.τ（G－e）+τ(G·e)18、是阶简单图，则，等号成立当且仅当是图。

，完全图 2、19、___________________________的生成树称为最优生成树。

哈工大2005年秋季学期《集合论与图论》试题

集合论与图论计算机学院05年秋季一、解答下列问题，要求只给出答案（每题2分，共16分）1.设A B 、为集合，试求一个集合X ，合得A X B ∆=。

（ A B ∆ ）2.设{}1,2,3,4A =，{}1,2B =，试求从A 到B 的满射的个数。

（42214-=）3.设{}1,2,,10A = ，试求A 上反自反二无关系的个数。

（29022n n -=）4.设{}12,,,p A u u u = ，()112q p p ≤-。

试求以V 为顶点集具有条边的无向图的个数。

（ ⎝⎛-2/)1(p p q）5.设T 是一个有P 个顶点的正则二元树，试求下的叶子数，其中P 是奇数。

（12P +）6.正整数m 和n 为什么值时,Km n 为欧拉图？（m n 和为偶数）7.设(),G V E =为无向图，,V P E P ==。

如果G 是边通图，那么G 至少有几个生成树？（3个）8. 具有p 个顶点q 条边的平面连通图中，p 和q 应满足什么样的关系式？(36q p ≤-)二、以下各题要求只给出答案（每题2分，共14分）１.设{}()()(){},,,,,,,,,X a b c d R a b b c c a ==，试求R 的传递闭包。

（()()()()()()()()(),,,,,,,,,,a a b b c c a b b c c a a c b a c b ，，，，，，，）2.将置换（123456789791652348）分解为循环置换的乘积，然后分解成对换的乘积()()()()()()()()()173298465171329282426=。

3.设0000010110100000010000000A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦12345110000210110310100410110500001⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 如果A 4.设{}{}0,1,,,,,,,B E a b c x y z == 。

图论测试题及答案

图论测试题及答案一、选择题1. 在图论中，如果一个图的每个顶点的度数都是偶数，那么这个图一定存在欧拉路径吗？A. 是的B. 不一定C. 没有欧拉路径D. 无法确定答案：B2. 图论中的哈密顿路径是指什么？A. 经过图中所有顶点的路径B. 经过图中所有顶点的回路C. 经过图中某些顶点的路径D. 经过图中某些顶点的回路答案：A3. 如果一个图是完全图，那么它的边数是多少？A. 顶点数的一半B. 顶点数的平方C. 顶点数的两倍D. 顶点数减一答案：B二、填空题4. 在无向图中，如果存在一条路径，使得每个顶点只被经过一次，并且起点和终点相同，这样的路径被称为________。

答案：欧拉回路5. 图论中的二分图是指图中的顶点可以被分成两个不相交的集合，使得同一个集合内的顶点之间没有边，而不同集合之间的顶点之间有边，这种图也被称为________。

答案：二部图三、简答题6. 请简述图论中的最短路径问题，并给出解决该问题的一种算法。

答案：最短路径问题是在图中找到两个顶点之间的最短路径的问题。

解决该问题的一种算法是迪杰斯特拉算法（Dijkstra's algorithm），该算法通过维护一个顶点集合来记录已经找到最短路径的顶点，并迭代更新距离，直到找到从起点到所有顶点的最短路径。

7. 描述图论中的图着色问题，并说明其在实际生活中的应用。

答案：图着色问题是将图的顶点着色，使得任何两个相邻的顶点颜色不同。

在实际生活中，图着色问题可以应用于时间表的安排、频率分配、电路设计等领域，其中每个顶点代表一个任务或频道，而颜色则代表不同的时间段或频率。

结束语：以上是图论测试题及答案，希望能够帮助大家更好地理解和掌握图论的基本概念和算法。

集合论与图论参考答案

℘({∅, {∅}}) = {∅, {∅}, {∅, {∅}} }
这是错误的，记住对任意的集合A，℘(A)中的元素个数总是2的幂，所以不可能是3个元素。注意下面几个集合的差别：
∅
{∅}
{{∅}}
{{{∅}}}
对于(3)，有些同学没有想到上面的说明方法，对于计算℘℘℘({∅})又没有耐心，所以要么计算错，要么直接写上了答案（我怀疑是参考别人的答案）。对于(4)，很多同学忘记了 ℘(A) = A这个等式，而在计算时也有不少同学出错，最多错的答案是：
(1) A ∪ B ∪ C ∪ D = {−7, −6, −5, −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 12, 15, 16, 18, 21, 24, 27, 30, 32, 64}
(2) A ∩ B ∩ C ∩ D = ∅ (3) B − (A ∪ C) = {−7, −6, −5, −4, −3, −2, −1, 0, 4, 5, }
若且，则。 (5) A∈B B∈C A∈C
解答：
(1) 该命题为真。因为B ⊆ C意味着对任意的x，若x∈B，则x∈C，因此若A∈B，则A∈C。
该命题为假。例如，则及，但。的子 (2)
A = {1}, B = {{1}}, C = {{1}, 2} A∈B B ⊆ C A ⊆ C C
由，就得到。 A∪ ∼ A = E B ∩ E = B, C ∩ E = C
B=C
点评：这一比较简单，类似课堂上举的例子：A ∩ B = A ∩ 且C A ∪ B = A ∪ C蕴含B = C，但有
些同学没有认真听课，而没有想到这一点。
作业1.8 化简下列各式

北工大-集合与图论选择题

1、在0 Φ之间应填入（）符号。

A 、= ；B 、⊂；C 、∈；D 、∉。

2、设A={{1，2，3}，{4，5}，{6，7，8}}，下列各式中（）是错的。

A 、A ⊆Φ；B 、{6，7，8}∈A ；C 、{{4，5}}⊂A ；D 、{1，2，3}⊂A 。

3、下列结论中，( ) 为正确的。

A 、{Ф}∈{Ф,{{Ф}}} ；B 、{Ф}⊆{Ф,{{Ф}}}；C 、Ф∈{{Ф}}；D 、{a,b}∈{a,b,{a},{b}}。

4、下列结论中，( )是正确的。

A 、所有空集都不相等；B 、{Ф}≠Ф；C 、{Ф}=Ф；D 、若A 为非空集，则A ⊂A 成立。

5、设P={x|(x+1)2≤4且x ∈R},Q={x|5≤x 2+16且x ∈R}，则结论（）正确。

A 、Q ⊂P ；B 、Q ⊆P ；C 、P ⊂Q ；D 、P=Q 。

6、下列各式中， ( ) 是对的。

A 、{a,b}={x|(x-a)(x-b)(x-c)=0}；B 、{a,b,c} ={x|(x-a)(x-b)(x-c)=0}；C 、{b,a}={x|x 2-(a+b)x+ab=0}；D 、{b,a}={a,b,c}。

7、设A={1，2，3，4，5}，下面（）集合等于A 。

A 、{1，2，3，4，5，6}；B 、}25{2≤x x x 是整数且； C 、}5{≤x x x 是正整数且；D 、}5{≤x x x 是正有理数且。

8、设S 1={1，2，…，8，9}，S 2={2，4，6，8}，S 3={1，3，5，7，9}，S 4={3，4，5}，S 5={5}，在条件31S X S X ⊄⊆且下X 与（）集合相等。

A 、S 2或S 5 ；B 、S 4或S 5；C 、S 1，S 2或S 4；D 、X 与S 1，…，S 5中任何集合都不等。

9、设}}2,1{},1{,{Φ=S ，则有（）S ⊆。

A 、{{1,2}}；B 、{1,2 }；C 、{1}；D 、{2}。

离散数学考试题及答案

离散数学考试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 下列哪个选项不是离散数学的研究对象？A. 图论B. 组合数学C. 微积分D. 逻辑学答案：C2. 在逻辑学中，下列哪个命题是真命题？A. 如果今天是周一，那么明天是周二。

B. 如果今天是周一，那么明天是周三。

C. 如果今天是周一，那么明天是周四。

D. 如果今天是周一，那么明天是周五。

答案：A3. 在集合论中，下列哪个符号表示集合的并集？A. ∩B. ∪C. ⊆D. ⊂答案：B4. 在图论中，下列哪个术语描述的是图中的顶点集合？A. 边B. 路径C. 子图D. 顶点答案：D二、填空题（每题5分，共20分）1. 如果一个集合A包含5个元素，那么它的子集个数是______。

答案：322. 在逻辑学中，如果命题P和命题Q都是真命题，那么复合命题“P且Q”的真值是______。

答案：真3. 在图论中，如果一个图的顶点数为n，那么它的最大边数是______。

答案：n(n-1)/24. 如果一个二叉树的深度为3，那么它最多包含______个节点。

答案：7三、简答题（每题10分，共30分）1. 请简述什么是图的连通性，并给出一个例子。

答案：图的连通性是指在图中任意两个顶点之间都存在一条路径。

例如，在一个完全图K3中，任意两个顶点之间都可以通过一条边直接连接，因此它是连通的。

2. 解释什么是逻辑蕴含，并给出一个例子。

答案：逻辑蕴含是指如果一个命题P为真，则另一个命题Q也必须为真。

例如，命题P：“如果今天是周一”，命题Q：“明天是周二”。

如果今天是周一，那么根据逻辑蕴含，明天必须是周二。

3. 请描述什么是二叉搜索树，并给出它的一个性质。

答案：二叉搜索树是一种特殊的二叉树，其中每个节点的左子树只包含小于当前节点的数，右子树只包含大于当前节点的数。

它的一个性质是中序遍历可以得到一个有序序列。

四、计算题（每题15分，共30分）1. 给定一个集合A={1, 2, 3, 4, 5}，请计算它的幂集，并列出所有元素。

组合数学与图论复习题与参考答案

组合数学与图论复习题及答案1．Show that if n+1 integers are chosen form the set {1,2, …,2n},then there are always two which differ by at most 2.从{1,2, …,2n}中选出n+1个数，在这n+1个数中，一定存在两个数，其中一个整数能整除另外一个整数。

任何一个数都可以写成2k*L，其中k是非负数，L是正奇数。

现在从1到2n之间只有n个奇数。

由于有n+1个数都能表示成2k*L，而L的取值只有n中，所以有鸽子洞原理知道，至少有两个数的L是一样的，于是对应k小的那个就可以整除k大的另一个数。

2．Show that for any given 52 integers there are exist two of them whose sum, or else difference, is divisible 100.设52个整数a1，a2，…，a52被100除的余数分别是r1,r2,…,r52，而任意一个数被100除余数为0，1，2，…，99，一共100个。

他们可以分为51个类{0},{1,99},{2,98},…,{49,51},{50}。

将这51个集合视为鸽笼，则将r1,r2,…,r52放入51个笼子中，至少有两个属于同一个笼子，所以要么有ri＝rj，要么有ri＋rj ＝100，也就是说ai－aj|100或者ai＋aj|100。

3．从1，2，3，…，2n中任选n+1个数，证明在这n+1个数中至少有一对数互质。

鸽子洞原理，必有两个数相邻，相邻的两个数互质4．Prove that Ramsey number R(p,q)≤R(p,q-1)+R(p-1,q).令N＝R(p,q-1)+R(p-1,q)，从N个人中中随意选取一个a，F表示与a相识的人，S表示与a不相识的人。

在剩下的R(p,q-1)+R(p-1,q)－2＋1个人中，由鸽子洞原理有，或者F中有R(p,q-1)人，或者S中有R(p-1,q)人。

集合论与图论期末考试试题 A 卷,2008年1月

1 2 3 4 5 6 1 1 2 1 3 2 3 2 4 2 5 3 5 4 5 4 6 5 6 1 1 2 3 4 5 6
0 1 2 3 4 5
0
1/v1 1 /v1
4/v1 3/v2 3 /v2
∞ 8/v2 8/v2 7/v5 7 /v5
∞ 6/v2 4/v3 4 /v3
∞ ∞ ∞ 10/v5 9/v4 9 /v4
解答：由不饱和点x 出发构造增广路径P ：
u eu x1 •
y1
3 4 5 2g www gg qqq g PPg gg ww g {{ {{ P q g { q PPqqg gg ww g {{ {{ g { q w gg ww {g qq PP ggg {{ gg ww {{{ g PP gg {{{ qqqq www gg {{ g g { PP g{ g g { qq ww {g PP {{{{gggg qqq {{ ggg wwww g q g { q wq g g g P{ g g {{ {{PP qqqwww ww g ggg ggg {{ { q q P { { gg g { PP qqqggg www {{ g g {{{ ww qqq {{
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《集合论与图论》期末考试试题（A 卷，2008年1月）
设R和S是非空集A上的等价关系，则下面的关系中是等价关系的是：
A. (A × A) − R B. R◦R C. R−S D.
设R和S是非空集A上的等价关系，则下面命题中正确的是： A A. 若R和S 是自反的，则R ◦ S也是自反的 B. 若R和S 是对称的，则R ◦ S也是对称的 C. 若R和S 是反对称的，则R ◦ S也是反对称的 D. 若R和S 是传递的，则R ◦ S也是传递的 4. 设f ◦ g 是满函数，则： A A. f 必定是满函数 B. f 必定是单函数 C. g 必定是满函数 D. g 必定是单函数 5. 记Z是整数集合，函数f : Z→Z定义为，∀x ∈ Z, f (x) = |x| − 2x，则f 是： A A. 单函数 B. 满函数 C. 双函数 D. 既不是单函数也不是满函数 6. 下列哪个序列不可能构成一个图的结点度数序列？ C

小学数学课件——组合数学之基本图论练习题

10．证明：平面图均可以用五种颜色染色，使得相邻的区域不同色。证明：这个题可以转化为图论问题，每个区域可以看做是一个点，相邻的区域就在点之间连线。
用数学归纳法，假设当平面图的点数是k时成立，我们考虑n=k+1时的情况。由上题的结论知道，存在一个点V0，连的
边数小于等于5，考虑除掉这个点以外的图，这个图可以被染成五色，
小学数学课件——组合数学之基本图论练习题
1．在某国的一些城市之间有空中直达航线，
求证：其中必有两个城市，与二者直接通航的
城市数目相同。证明：设有空中直达航线的城市共有n个，于是每个城市至少有1条航线，至多有n−1条航线，
由抽屉原理知，用航线条数做抽屉，把n个城市放入这n−1个抽屉中，
必有一个抽屉中有两个城市，即与这两个城市直接通航的城市数目相同。
证明：先选定一个点A，由它出发的连线有5条，
这5条线中至少有3条是同色的（比如是红色的），
那么不妨设AB、AC、AD A
F
都是红色的，对于B、C、D
E
三个点之间的连线，
B
D
如果有一条是红色的，例
C
如BC是红色，则△ABC是红
色三角形；
如果B、C、D之间没有红色的线，那么△BCD是蓝色三角形。
F A
8．称首尾相连但不含圈的一些边是一条链，最长的链的长度也就是这个图的直径，把这些链称为树的主干，证明：对于一棵树中所有主干，它们都必然经过树的中心。证明：只证明同时有两个中心的情况，只有一个中心的情况是完全类似的。
对于直径是2k−1的图，它的任一点x的离径都大于等于k，这是因为取直径的两个端点a、b，由三角不等式可以知道x和a的距离加上x和b的距离大于等于a和b的距离，

大学数学系《组合数学》试题及答案

大学专业考试试卷及答案202X-202X 学年 1 学期《生理学》课程闭卷时间120分钟，48学时，3学分，总分100分，占总评成绩60% 年月日班级姓名学号一．填空题（每空3分，共27分）1．食品店有三种不同的月饼（同种月饼不加区分），第一种有4个，第二种有6个，第三种有8个，如果一盒装4个（盒内无序），则不同的装法数有F(3,4)=15 种；如果一盒装6个（盒内无序），则不同的装法数又有F(3,6)- F(3,1)=25 种。

2．3个女士4个男士围圆桌就坐，则其中（1）女士两两不相邻的入坐方式数有3!·4!=144 , 种；（2）所有女士坐在一起的方式数有4!·3!=144 种。

3．棋盘C如图1所示，则棋子多项式R(C) = (1+3x+x2)(1+x)=1+4x+4x2+x3图14．1,2,…,7作全排列，其中恰有3 个数不在其自然位置上的排列个数为C(7,3)·D3=70（数i 不在其自然位置上是指数i 不排在第i 位）。

5.将5个无区别的球放入3个无区别的盒子中的放法数为 5 。

6.将6个有区别的球放入5个无区别的盒子中,盒子不空的放法数为S2(6,5)=15；将6个有区别的球放入4个无区别的盒子中,盒子不空的放法数又为 65 。

（注：将7个有区别的球放入5个无区别的盒子中,盒子不空的放法数为140）组合数学试题共5 页，第1 页组合数学试题共 5 页，第 2 页二. (11分) 用a 、b 、c 、d 四个字母组成长为n 的字符串，在字符串中a 要求出现偶数次,b 要求出现奇数次, c 要求至少出现两次。

求这样的长为n 的字符串有多少个？解：设这样的长为n 的字符串有a n 个，则序列a 0，a 1，a 2，…，a n ，…的指数母函数为 f e （x ）＝)!2!11)(!3!2)(!3!1)(!4!21(232342 ++++++++++x x x x x x x x＝x x xx xx e x e e e e e )1(22--⋅-⋅+--＝)1(41334-++----x xx x x e xe xe e e＝∑∞=---+-+⋅--111!))1()1(334(41n n n n n n n n xn n故⎪⎩⎪⎨⎧>-+-+⋅--==--0n ))1()1(334(41n011n n n n n n n n a三. (9分) 用容斥原理求重集B={5.a , 6.b, 4.c }的7-组合数。

组合数学与图论复习题及参考答案

任何一个数都可以写成2k*L，其中k是非负数，L是正奇数。

现在从1到2n 之间只有n个奇数。

由于有n+1个数都能表示成2k*L，而L的取值只有n中，所以有鸽子洞原理知道，至少有两个数的L是一样的，于是对应k小的那个就可以整除k大的另一个数。

他们可以分为51个类{0},{1,99},{2,98},…,{49,51},{50}。

将这51个集合视为鸽笼，则将r 1,r2,…,r52放入51个笼子中，至少有两个属于同一个笼子，所以要么有ri＝rj，要么有ri＋rj＝100，也就是说ai－aj|100或者ai＋aj|100。

3．从1，2，3，…，2n中任选n+1个数，证明在这n+1个数中至少有一对数互质。

在剩下的R(p,q-1)+R(p-1,q)－2＋1个人中，由鸽子洞原理有，或者F中有R(p,q-1)人，或者S中有R(p-1,q)人。

专题40排列组合与图论第三缉(原卷版)-备战2025年高中数学联赛之历年真题分类汇编

备战2025年高中数学联赛之历年真题分类汇编专题40排列组合与图论第三缉1．【2020年吉林预赛】若(1+x+x2)1010的展开式为a0+a1x+a2x2+⋯+a2020x2020，则a0+a3+a6+⋯+a2019=()A.3670B.3669C.31009D.311002．【2019年贵州预赛】在Rt△ABC中,∠B=90°,AB=15,BC=20.则顶点B与斜边各点的连线中(含边AB,BC)长度为整数的线段的条数是()A.9B.10C.11D.123．【2019年吉林预赛】将1,2,3,…,9这9个数全部填入下图的3x3方格内,每个格内填一个数,则使得每行中的数从左至右递增,每列中的数从上至下递减的不同填法共有()种(A)12(B)24(C)42(D)484．【2024年四川预赛】在(x+y+z)8的展开式中,所有形如x2y a z b(a,b∈N)的项的系数之和是() (A)112(B)448(C)1792(D)143365．【2024年黑龙江预赛】形如45132这样的数称为“波浪数”,即十位数字,千位数字均比与它们各自相邻的数字大,则由1、2,3、4、5可构成数字不重复的五位“波浪数”个数为()(A)20(B)18(C)16(D)116．【2024年贵州预赛】将1,2,⋯,9这九个数字填在如图所示的九个空格中,要求每一行从左到右,每一列从上到下分别依次增大.当5固定在图中中央位置时,则填写空格的方法种数为()(A)12(B)15(C)16(D)187．【2024年辽宁预赛】将2、3、4、6、8、9、12、15共八个数排成一行,使得任意相邻两个数的最大公约数均大于1.则所有可能的排法共有()种A．720 B．1014 C．576 D．12968．【2024年湖南预赛】在某次乒乓球单打比赛中，原计划每两名选手各比赛一场，但有三名选手各比赛两场之后就退出了，这样全部比赛只进行了50场. 则上述三名选手之间比赛的场数为（）A．0 B．1 C．2 D．39．【2015年四川预赛】已知n为正整数，二项式(x2+1x3)n的展开式中含有x7的项，则n的最小值为（）.A．4 B．5 C．6 D．710．【2021年广西预赛】某校n名同学通过选拔进入学校的数学讨论班，在一次讨论班上他们讨论A、B和C三个问题.已知寿位同学都和班里的其他所有同学讨论了其中的一个问题.每两位同学只讨论一个问题.若至少有3名同学互相之间讨论的是同一个问题，求n的最小值，并给出证明.11．【2020高中数学联赛A卷（第02试）】给定凸20边形P.用P的17条在内部不相交的对角线将P分割成18个三角形,所得图形称为P的一个三角剖分图.对P的任意一个三角剖分图T,P的20条边以及添加的17条对角线均称为T的边.T的任意10条两两无公共端点的边的集合称为T的一个完美匹配.当T取遍P的所有三角剖分图时,求T的完美匹配个数的最大值.12．【2020年福建预赛】将一个2020×2020方格表的每个格染黑、白两种颜色之一，满足以下条件：方格表中的任意一个格A，它所在的行与列的所有格中，与A异色的格多于与A同色的格.证明：染色后，方格表中每行每列两种颜色的格一样多13．【2019年上海预赛】设n为正整数,称n×n的方格表T n的网格线的交点(共(n+1)2个交点)为格点.现将数1,2,…,(n+1)2分配给T n的所有格点,使不同的格点分到不同的数称T n的一个1×1格子S为“好格”:若从S的某个顶点起按逆时针方向读出的四个顶点上的数依次递增(例如,图中是将数1,2,…,9分配给T2的格点的一种方式,其中,B、C为好格,而A、D不为好格)设T n中好格个数的最大值为f(n).(1)求f(2)的值;(2)求f(n)关于正整数n的表达式14．【2019年贵州预赛】我们知道,目前最常见的骰子是六面骰,它是一颗正立方体,上面分别有一到六个洞(或数字),其相对两面之数字和必为七.显然,掷一次六面骰,只能产生六个数之一(正上面)。

《组合数学》测试题含答案

《组合数学》测试题含答案测试题——组合数学⼀、选择题1. 把101本书分给10名学⽣，则下列说法正确的是（）A.有⼀名学⽣分得11本书B.⾄少有⼀名学⽣分得11本书C.⾄多有⼀名学⽣分得11本书D.有⼀名学⽣分得⾄少11本书2. 8⼈排队上车，其中A ，B 两⼈之间恰好有4⼈，则不同的排列⽅法是（）A.!63?B.!64?C. !66?D. !68?3. 10名嘉宾和4名领导站成⼀排参加剪彩，其中领导不能相邻，则站位⽅法总数为（）A.()4,11!10P ? B. ()4,9!10P ? C. ()4,10!10P ? D. !3!14-4. 把10个⼈分成两组，每组5⼈，共有多少种⽅法（）A.???? ??510B.510510 C.49 D. 4949 5. 设x,y 均为正整数且20≤+y x ，则这样的有序数对()y x ,共有（）个A.190B.200C.210D.2206. 仅由数字1，2，3组成的七位数中，相邻数字均不相同的七位数的个数是（）A.128B.252C.343D.1927. 百位数字不是1且各位数字互异的三位数的个数为（）A.576B.504C.720D.3368. 设n 为正整数，则∑=???? ??nk k n 02等于（）A.n 2B. 12-n C. n n 2? D. 12-?n n 9. 设n 为正整数，则()k kn k k n 310???? ??-∑=的值是（）A.n 2B. n 2-C. ()n2- D.0 10. 设n 为正整数，则当2≥n 时，∑=???? ??-nk k k 22=()A.3n B. ?+21n C. +31n D. 22+ n 11. ()632132x x x +-中23231x x x 的系数是（）A.1440B.-1440C.0D.112. 在1和610之间只由数字1，2或3构成的整数个数为（） A.2136- B. 2336- C. 2137- D. 2337 - 13. 在1和300之间的整数中能被3或5整除的整数共有（）个A.100B.120C.140D.16014. 已知(){}o n n f ≥是Fibonacci 数列且()()348,217==f f ，则()=10f （） A.89 B.110 C.144 D.28815. 递推关系3143---=n n n a a a 的特征⽅程是（）A.0432=+-x xB. 0432=-+x xC. 04323=+-x xD. 04323=-+x x16. 已知()??=?+=,2,1,0232n a n n ，则当2≥n 时，=n a （）A.2123--+n n a aB. 2123---n n a aC.2123--+-n n a aD. 2123----n n a a17. 递推关系()=≥+=-312201a n a a n n n 的解为（） A.32+?=n n n a B. ()221+?+=n n n aC. ()122+?+=n n n aD. ()n n n a 23?+=18. 设()??=?=,2,1,025n a n n ，则数列{}0≥n n a 的常⽣成函数是（）A.x 215-B. ()2215x - C.()x 215- D. ()2215x -19. 把15个相同的⾜球分给4个⼈，使得每⼈⾄少分得3个⾜球，不同的分法共有（）种A.45B.36C.28D.2020. 多重集{}b a S ??=4,2的5-排列数为（）A.5B.10C.15D.2021. 部分数为3且没有等于1的部分的15-分拆的个数为（）A.10B.11C.12D.1322. 设n,k 都是正整数，以()n P k 表⽰部分数为k 的n-分拆的个数，则()116P 的值是（）A.6B.7C.8D.923. 设A ，B ，C 是实数且对任意正整数n 都有+ + =1233n C n B n A n ，则B 的值是（）A.9B.8C.7D.624. 不定⽅程1722321=++x x x 的正整数解的个数是（）A.26B.28C.30D.3225. 已知数列{}0≥n n a 的指数⽣成函数是()()t t e e t E 521?-=，则该数列的通项公式是（）A.n n n n a 567++=B. n n n n a 567+-=C. n n n n a 5627+?+=D. n n n n a 5627+?-=⼆、填空题1. 在1和2000之间能被6整除但不能被15整除的正整数共有_________个2. ⽤红、黄、蓝、⿊4种颜⾊去图n ?1棋盘，每个⽅格涂⼀种颜⾊，则使得被涂成红⾊的⽅格数是奇数的涂⾊⽅法共有_______种3. 已知递归推关系()31243321≥-+=---n a a a a n n n n 的⼀个特征根为2，则其通解为___________4. 把()3≥n n 个⼈分到3个不同的房间，每个房间⾄少1⼈的分法数为__________5. 棋盘??的车多项式为___________6. 由5个字母a,b,c,d,e 作成的6次齐次式最多可以有_________个不同类的项。

哈工大2004年秋季学期《集合论与图论》试题答案

《集合论与图论》试题哈工大2004/2005年秋季学期参考答案一、1．｛2，5，6｝ 2．３．２４４．２４５．６６．５７．２162６８．９．１０．４122164二、１．２． rq C 222n n+ ３．{( ４． P ＝2n －1 ５．q －p ＋1６．m ＝n ７．４８．()９．不存在１０．没有零因子，若有零因子,),(,)}a c a b (1),, (2),,,a b N a b N r R n N rn N nr N ∀∈−∈∀∈∈∈∈0a ≠，则存在b ≠0，使得，0ab ob ==由消去律有矛盾 0a =三、（1） p ＝6，q ＝9（2）不一定是平面图。

如K 3,3就不是平面图．（3）G 一定是哈密顿图。

因为对任一对不相邻的顶点,u v V ∈，degu ＋degv ≥p ＝6 G 不是平面图。

因为G 的顶点度数不全是偶数。

四、1.解1：a 与a -1，b 与b -1同阶，故ab 与a -1 b -1＝（ba ）-1同阶。

而（ba ）-1与ab 同阶，故ab与ba 同阶。

解2：设a 的阶为n ，则有111111()()()()nn bab bab bab bab ba bbeb e −−−−−−===L =−)nbab e −；反之，设bab 的阶为n ，即(11=，得1n ba b − e =，而1n a b eb −e ==，所以与bab a 1−同阶，而ab 与同阶。

1bab b ba −=2．设G e ，则由3个元素构成的群如表所示{,,}a b =x e a be e a ba ab e b be a3．因为R 为环，故乘法满足分配律左边＝()()na b a a a b n =+++L 1442443)((ab ab ab a b b b a nb n n =++=+++=L L 14424431442443=右边个个个五、1.因为F 有四个元支，所以（F ，＋）群的阶为4，由Lagrange 定理知，F 中每个元素对加法的阶只能为1，2，4，又因为元素的特征数只能是素数，所以特殊数只能为2。

图论考试题及答案

图论考试题及答案一、单项选择题（每题2分，共10分）1. 在图论中，如果一个图的任意两个顶点之间都存在路径，则称该图为连通图。

以下哪个图不是连通图？A. 树B. 完全图C. 环图D. 一个孤立的顶点答案：D2. 无向图中，如果存在一条边连接顶点u和顶点v，则称u和v为相邻顶点。

以下哪个选项描述了两个相邻顶点？A. 顶点u和顶点v之间有一条边B. 顶点u和顶点v之间没有边C. 顶点u和顶点v之间有两条边D. 顶点u和顶点v之间有三条边答案：A3. 在图论中，图的遍历是指访问图中的每个顶点恰好一次。

以下哪种遍历算法不能保证访问每个顶点恰好一次？A. 深度优先搜索B. 广度优先搜索C. 欧拉路径D. 迪杰斯特拉算法答案：D4. 图的着色问题是指将图中的顶点着色，使得相邻的两个顶点颜色不同。

以下哪个图的顶点着色数最少？A. 完全图K3B. 环图C4C. 完全二分图K2,2D. 树答案：D5. 图论中的哈密顿路径是一条经过图中每个顶点恰好一次的路径。

以下哪个图一定存在哈密顿路径？A. 完全图K5B. 环图C5C. 完全二分图K3,3D. 树答案：A二、填空题（每题2分，共10分）1. 在无向图中，如果存在一条边连接顶点u和顶点v，则称u和v为________顶点。

答案：相邻2. 图的遍历算法中，________算法使用栈来存储待访问的顶点。

答案：深度优先搜索3. 图的顶点着色数是指给图的顶点着色时，使得相邻顶点颜色不同所需的最少颜色数。

在图论中，一个图的顶点着色数不会超过其________数。

答案：最大度数4. 图论中的欧拉路径是指一条经过图中每条边恰好一次的路径，而________路径是指一条经过图中每个顶点恰好一次的路径。

答案：哈密顿5. 在图论中，如果一个图的任意两个顶点之间都存在路径，则称该图为________图。

答案：连通三、简答题（每题10分，共20分）1. 描述图论中的最短路径问题，并给出解决该问题的算法。

初中数学竞赛专题复习第四篇组合第29章图论初步试题新人教版

第29章图论初步29.1.1* 某大型晚会有2009个人参加，已知他们每个人至少认识其中的一个人．证明：必有一个人至少认识其中的二个人．解析 2009这个数目较大，我们先考虑：某小型晚会有5人参加，已知他们每个人至少认识其中的一个人．证明：必有一个人至少认识其中的二个人．用5个点1v 、2v 、3v 、4v 、5v 表示5个人，如果两个人彼此认识（本章中的“认识”都是指相互认识），就在表示这两个人的顶点之间连一条边．对顶点功来说，由于1v 所表示的人至少认识其他4个人的一个，不妨设1v 与2v 认识，即1v 和2v 相邻，同样，设3v 与4v 相邻，如图所示．对于顶点5v 来说，无论它与1v 、2v 、3v 、4v 哪个相邻，都会出现一个顶点引出两条边的情况．于是问题得以解决．v 1vv 3v 4v 5用同样的方法可以证明，对2009个人来说，命题成立．其实，把2009换成任意一个大于l 的奇数，命题也成立．29.1.2* 在一间房子里有n （n >3）个人，至少有一个人没有和房子里每个人握手，房子里可能与每个人都握手的人数的最大值是多少？解析用n 个顶点表示n 个人，若某两个人握过手，就在他们相应的顶点之间连一条边，这样就得到了一个图G ．因为不是任何两个人都握过手，所以G 的边数最多是完全图n K （即n 个点每两点之间恰连一条边）的边数减1，去掉的那条边的两个端点v 和v '所表示的两个人未握过手．所以房子里可能与每个人都握手的人数的最大值是2n -．29.1.3*** 九名数学家在一次国际数学会议上相遇，发现他们中的任意三个人中，至少有两个人可以用同一种语言对话．如果每个数学家至多可说三种语言，证明至少有三个数学家可以用同一种语言对话．解析用9个点1v ，2v ，…，9v 表示这九名数学家，如果某两个数学家能用某种语言对话，就在他们相应的顶点之间连一条边并涂以相应的颜色．我们要证明的是：存在三个顶点i v 、j v 、k v ，使得边（i v ，j v ）和（i v ，k v ）是同色的．这样的，i v 、j v 、k v 这三名数学家就能用同一种语言对话．下面就顶点1v ，分两种情形：（1）1v 与2v ，…，9v 均相邻，由于每个数学家至多能说三种语言，所以每一个顶点引出的边的颜色至多是三种．根据抽屉原理知，从1v 发出的8条边中至少有2条是同色的，不妨设为（1v ，2v ）、（1v ，3v ）．于是1v 、2v 、3v 所表示的三名数学家能用同一种语言对话．见图（a ）．(a)(b)vv 3v 4569v 32v(c)v 1v 2v 3v 4v 5v 6v 7v 8123456791011128（2）1v 与2v ，3v ，…，9v 中的至少一点不相邻，不妨设功与功不相邻．由于任意三个数学家中，至少有两个人可以用同一种语言对话，所以，3v ，4v ，…，9v 中的每一个不是和研相邻就是和功相邻，根据抽屉原理可知，其中至少有4个点与1v 或2v 相邻．不妨设3v 、4v 、5v 、6v 与1v 相邻，如图（b ），再对1v 引出的这4条边用抽屉原理可得，至少有2条边是同色的，设为（1v ，3v ）、（1v ，4v ）．于是1v 、3v 、4v 所表示的三名数学家能用同一种语言对话．评注若本题中的九改成八，则命题不成立．反例如图（c ）所示．图中每条边旁的数字表示不同的语种．29.1.4** 证明任何一群人中，至少有两个人，它们的朋友数目相同．解析设任意给定的一群人有n 个．用顶点表示这n 个人．当且仅当顶点u 、v 表示的两个人是朋友时令u 、v 相邻，得到n 个顶点的简单图G ．对G 中任意x ，由于它可以和其他1n -个顶点相邻，所以顶点x 的度d （x ）满足()01d x n -≤≤，即图G 的顶点度只能是n 个非负数0，1，…，1n -中的一个．如果图G 的顶点的度都不相同，则图G 具有0度顶点u 和1n -度顶点v ．1n -度顶点和G 中其他顶点都相邻，特别地和顶点u 相邻．但0度顶点u 和G 中任何顶点都不相邻，矛盾．这就证明了G 中必定有两个顶点，它们的度相同．也就是说，这群人必有两个人，他们的朋友一样多．29.1.5*** 有一个参观团，其中任意四个成员中总有一名成员原先见过其他三名成员．证明：在任意四名成员中，总有一名成员原先见过所有成员．解析用图论语言表示即：图G 的任意四点中至少有一个顶点和其他三个顶点相邻．证明图G 任意四个顶点中至少一个顶点和G 中其他所有顶点都相邻．用反证法．如果命题不成立，则G 中有四个点x 、y 、z 、w ，它们和图G 中的其他所有顶点不都相邻．于是存在四个顶点x '、y '、z '、w '（不一定不同）它们依次与x 、y 、z 、w 都不相邻．如图．所以x '不是y 、z 、w 中的一个，且y '与x 是两个不同的顶点．如果y '与x '不同，则x 、y 、x '、y '中没有一个顶点和其他三个顶点都相邻，和已知矛盾．所以y '和x '重合．同理可证，z '和x '重合．于是x '和y '、z 、w 都不相邻，和已知矛盾．这就证明了图G 中任意四个顶点中至少有一个顶点和G 的其他所有顶点都相邻．x'y'z'w'xwz29.1.6** 是否存在这样的多面体，它有奇数个面，每个面有奇数条棱？解析不存在这样的多面体．事实上，如果这样的多面体存在，那么用顶点表示这个多面体的面，并且仅当i v 、j v 所代表的两个面有公共棱时，在图G 相应的两顶点之间连一条边，依题意()d v 是奇数，于是奇数个奇数和也是奇数．而这一个图中的顶点的和为偶数矛盾．评注关于图G 的顶点和边数之间的关系，有如下定理：图G 中边数的两倍等于顶点度数之和．即若G 中n 个顶点为1v ，2v ，…，n v ，边数为e ，则()()()122n d v d v d v e ⋯+++=．29.1.7* n 名选手进行对抗赛，每名选手至多赛一场，每场两名选手参加，已赛完1n +场．证明：至少有一名选手赛过三次．解析把选手看成顶点．当且仅当i v 、j v 所代表的两名选手比赛过时，令i v 、j v 相邻，得到含n 个顶点的简单图．由于总共赛过1n +场，所以，图G 的边数是1n +．于是 ()()()()1221n d v d v d v n ⋯+++=+．如果图G 中所有顶点的度都不超过2，则由上式得到 ()()()()12212n n d v d v d v n ⋯+=+++≤，这不可能．因此图G 中至少有一个顶点x ，它的度至少是3．于是，顶点x 所表示的选手至少赛过三次． 29.1.8** 一航空线路共连结50个城市，现要求从一个城市到另一城市至多需换乘两次飞机，问航空线路最少要多少条（任两城市之间的航空线路数为0或1）？解析不妨将50个城市看成50个点，它们之间连的线构成一连通图．图论告诉我们，如果每一点的度（即出发的线条数）至少为2，则由于边数为点度之和的一半，其数值不小于50；若有一个点的度为1（显然连通图不存在度为0的孤立点），则可通过删去该点证明。